Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор методов моделирования в задачах оценки состояния средств инфотелекоммуникаций 13
1.1. Анализ технологий измерения в инфотелекоммуникационных системах 13
1.2. Анализ научно-методического аппарата оценки технического состояния средств ИТС 22
1.3. Анализ особенностей моделирования средств ИТС в задаче идентификации их состояний 34 1.4. Постановка научной задачи 43
Выводы по главе 1 52
2. Гармоническое моделирование сигналов средств инфотелекоммуникаций, как объектов диагностирования по комплексному показателю 53
2.1. Исследование гармонических моделей импульсных сигналов средств ИТС 53
2.2. Гармоническое моделирование модулированных сигналов 69
2.2.1 Амплитудно-модулированные сигналы 69
2.2.2 Амплитудно-манипулированные сигналы 70
2.2.3 Фазо-манипулированные сигналы 72
2.2.4 Частотно-манипулированные сигналы 74
2.3. Экспериментальное исследование условий существования решения задачи диагностирования средств ИТС по комплексному показателю . 75
Выводы по главе 2 37
3. Дискретизация диагностических моделей средств инфотелекоммуникаций при идентификации их состояний по комплексному показателю 88
3.1. Анализ существующих методик расчета числа ординат корреляционных функций 88
3.2. Обеспечение условия единственности решения задачи диагностирования средств ИТС по комплексному показателю 93
3.3. Алгоритм определения объема выборки измерения
коэффициентов взаимной корреляции сигналов 99
Выводы по главе 3 102
4. Стохастическое моделирование средств инфотелекоммуникационнои системы при оценке их технических состояний 104
4.1. Стохастическая модель средств ИТС, как объектов диагностирования по комплексному показателю 104
4.2. Обеспечение устойчивости решения задачи идентификации состояний средств ИТС по комплексному показателю 113
4.3. Алгоритм расчета алфавита классов технических состояний средств ИТС 122
4.4. Методика оценки технического состояния средств ИТС по комплексному показателю 128
4.4.1. Объект оценки 128
4.4.2. Цель оценки 128
4.4.3. Общие положения 128
4.4.4. Используемые показатели оценки технического состояния объекта... 129
4.4.5. Результаты моделирования средств ИТС 130
4.4.6. Алгоритм методики 132
4.4.7. Устройство для реализации методики 134
4.4.8. Эффективность методики 137
Выводы по главе 4 139
Заключение 140
Список использованных источников
- Анализ особенностей моделирования средств ИТС в задаче идентификации их состояний 34
- Гармоническое моделирование модулированных сигналов
- Обеспечение условия единственности решения задачи диагностирования средств ИТС по комплексному показателю
- Обеспечение устойчивости решения задачи идентификации состояний средств ИТС по комплексному показателю
Введение к работе
Актуальность темы.
В настоящее время наблюдается интенсивное развитие инфотелекомму-никационных технологий, совершенствование средств передачи и обработки информационных сигналов. Возрастают требования к показателям процесса передачи информации, качеству всей инфотелекоммуникационной системы (ИТС), а также эффективности оценивания состояния технических средств ИТС.
Однако расширение функциональных возможностей средств ИТС сопровождается повышением их структурной сложности, а это приводит к росту числа параметров, характеризующих техническое состояние (ТС) объекта и подлежащих измерению при контроле. Все классификации методов и средств измерений построены на разделении по измеряемым параметрам. Комплексное решение по программе измерений в современных системах связи может включать сотни таких параметров и анализ процессов взаимосвязи между ними. В результате, поставив в основу классификации измеряемые параметры, получить комплексные решения возможно только в самых простых случаях.
Анализ измерительной технологии в ИТС требует перейти от измерения параметров сигналов к анализу алгоритмов работы, а процесс преобразования сигнала заменить алгоритмическим процессом изменения протокола. В измерительных задачах телекоммуникационных систем приходится использовать как классическую метрологию и классические средства измерений, так и измерительную технологию. Но поскольку каждый вид параметра оценивается с помощью специального средства измерения, то при этом будет возрастать и количество необходимой измерительной аппаратуры. Увеличение числа измерительных приборов неизбежно приводит к повышению продолжительности оценки состояния объекта, т.е. к снижению оперативности контроля.
Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью разрешения противоречий, обусловленных следующими двумя основными группами факторов.
Первая группа факторов - наличие ряда практических противоречий между возрастающими требованиями к оперативности передаваемой информации в современных ИТС, готовности технических средств к обеспечению связи и увеличением продолжительности параметрического контроля средств ИТС, обусловленной сложной структурой современной аппаратуры связи, значительным объемом номенклатуры параметров, характеризирующих техническое состояние средств ИТС.
Вторая группа факторов - недостаточный уровень развития методических основ постановки и решения задачи оценки технического состояния современных средств ИТС с использованием измерительных технологий. Указанный недостаток проявляется, прежде всего, в отсутствии математически корректно обоснованных моделей, алгоритмов и методик диагностирования объектов по комплексному показателю.
Объектом исследований являются средства инфотелекоммуникационных систем, при оценке технического состояния которых измеряются выходные сигналы.
Предметом диссертационных исследований являются методы моделирования средств ИТС при оценке их технических состояний.
Цель диссертационных исследований состоит в повышении эффективности оценивания технического состояния средств инфотелекоммуникационных систем по комплексному показателю.
Научная задача исследований состоит в совершенствовании методов моделирования средств ИТС, как объектов диагностирования по комплексному показателю, с целью повышения эффективности оценивания их технических состояний на основе комплексного применения технологий математического моделирования, вычислительного эксперимента и результатов натурных измерений.
Для решения поставленной общей научной задачи была проведена ее декомпозиция на следующие частные задачи:
Гармоническое моделирование средств инфотелекоммуникационной системы, как объектов диагностирования по комплексному показателю.
Дискретизация диагностических моделей средств ИТС при идентификации их состояний по комплексному показателю.
Стохастическое моделирование средств ИТС при классификации их технических состояний.
Предложения по реализации моделей и методов диагностического контроля средств ИТС по комплексному показателю.
Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе научных задач использован математический аппарат спектрального анализа, теории вероятностей и случайных процессов, распознавания образов, способы компьютерного и имитационного моделирования, а также методы решения интегральных уравнений в обратных задачах математической физики.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулируемых на их основе выводов обеспечивается строгостью производимых математических выкладок, базирующихся на аппарате решения некорректных задач. Справедливость выводов относительно эффективности предложенных методов подтверждена математическим и компьютерным моделированием, а также результатами измерительного эксперимента.
Научная новизна работы заключается в следующем:
На основе гармонического анализа сигналов с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента предложен общий поход к моделированию средств ИТС, как объектов диагностирования по комплексному показателю в виде коэффициента взаимной корреляции (КВК) эталонного и искаженного сигналов.
При решении задачи дискретизации диагностических моделей средств ИТС впервые разработан алгоритм определения минимально возможного количества измерений КВК при заданной частоте исследуемого сигнала и допусти-
мом значении невязки решения недоопределенной системы линейных алгебраических уравнений.
В качестве результата решения задачи стохастического моделирования средств ИТС представлен алгоритм расчета алфавита классов технических состояний средств ИТС, распознаваемых по комплексному показателю с минимальной ошибкой при допустимой глубине диагностирования.
Разработана методика оценки технических состояний средств ИТС, учитывающая интервальные оценки комплексного показателя, объем измерительной выборки и количество классов технических состояний средств.
Практическая значимость работы состоит:
в расчете минимально возможного количества измерений коэффициентов взаимной корреляции искаженного и эталонного сигналов КВК, позволяющего обеспечить оперативность диагностического контроля средств ИТС;
в определении глубины диагностирования средств ИТС, обеспечивающей допустимую вероятность ошибочного распознавания классов технических состояний средств ИТС по комплексному показателю;
в сокращении числа измерительных приборов, используемых для контроля и диагностики состояний средств ИТС;
4) в использовании компьютерных программ VisSim и Electronics
Workbench для реализации гармонического моделирования средств ИТС, по
зволяющего повысить эффективность спектрального анализа сигналов при про
ведении научных исследований и учебных занятий по дисциплинам информа
ционных, телекоммуникационных и энергетических специальностей.
На основные технические решения по реализации результатов работы получены 3 патента РФ на изобретения. На защиту выносятся:
Комплекс диагностических моделей средств ИТС и результатов эксперимента, подтверждающий существование решения обратной задачи.
Алгоритм определения количества измерений коэффициентов взаимной корреляции эталонного и искаженного сигналов, обеспечивающего единственность решения обратной задачи.
Алгоритм расчета алфавита классов технических состояний средств ИТС, обеспечивающего устойчивость решения обратной задачи.
Методика оценки технических состояний средств ИТС по комплексному показателю и устройства для ее реализации в виде схемных решений на уровне изобретений.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 4-й научно-технической конференции (НТК) «Электроника и ин-форматика-2002» (Москва: МИЭТ, 2002 г.), 6-й региональной НТК «Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону» (Ставрополь: СевКавГТУ, 2002 г.), 33-й межвузовской НТК по итогам работы профессорско-преподавательского состава за 2003 г. (Ставрополь: СевКавГТУ), 11-й всероссийской НТК «Микроэлектроника и информатика-2004» (Москва: МИЭТ, 2004 г.), 4-й региональной НТК «Математическое моделирование и информационные технологии» (Георгиевск: ГТИ, 2004 г.), 5-й международной научно-практической конференции (НПК)
«Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики» (Новочеркасск: ЮРГТУ, 2004 г.), 1-й и 2-й международных НТК «Инфотелекоммуника-ционные технологии в науке, производстве и образовании» (Ставрополь: Сев-КавГТУ, 2004 и 2006 гг.), 4-й и 5-й региональных НПК «Совершенствование методов управления» (Ставрополь: СИУ, 2004 и 2005 гг.), а также на научных семинарах в Северо-Кавказском государственном техническом университете (2003-2006 гг.), филиале Ростовского военного института ракетных войск (2004 г.), Ставропольском институте управления (2004-2005 гг.), филиале Поволжской государственной академии телекоммуникаций и информатики (Ставрополь, 2005 г.), НИИ специальных информационно-измерительных систем (Ростов-на-Дону, 2006 г.).
Публикации. Полученные автором результаты достаточно полно изложены в 19 научных работах, среди которых 6 статей, в том числе, опубликованных в журналах «Известия вузов. Электроника» и «Физика волновых процессов и радиотехнические системы» (входящих в перечень ВАК РФ), а также в журналах «Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте», «Информационные технологии моделирования и управления» и в сборнике научных трудов филиала Поволжской ГАТИ; 10 тезисов докладов на научно-технических конференциях; описания 3 патентов РФ на изобретения.
Реализация результатов исследования. Основные результаты исследований внедрены (что подтверждено соответствующими актами):
в научном учреждении - НИИ специальных информационно- измерительных систем в виде «Методики оценки технического состояния формирователей сигналов» - при рассмотрении вариантов контроля в рамках ОКР «Адресат АТК-М» (акт о реализации от 19.01.2006 г.);
в учебном процессе при подготовке и проведении учебных занятий по дисциплинам в Ставропольском институте управления (акт о реализации от 2.05.2006 г.);
в промышленности - при внедрении результатов в состав математического обеспечения внутренней вычислительной сети, действующей в аппарате управления и проектном отделе Нефтегазовой компании «Ставрополье» (акт приема-передачи научной продукции от 3.05.2006 г.).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложений и заключения. Ее основное содержание изложено на 148 страницах текста, проиллюстрировано 34 рисунками и 9 таблицами. Библиографический список содержит 174 наименования.
Анализ особенностей моделирования средств ИТС в задаче идентификации их состояний 34
Задачи, связанные с созданием математической модели, удобно решать в два этапа. На первом этапе на основе априорных сведений о физико- химических процессах, происходящих в аппаратуре ИТС, составляется исходная модель. Обычно эта модель содержит неизвестные величины, получение которых на основе априорных знаний слишком сложно или невозможно.
В решении задач второго этапа существенную роль играет эксперимент, наблюдение за выходными и входными переменными (параметрами и показателями). Путем математической обработки этих наблюдений и уточняется структура и определяются неизвестные параметры модели. Этот второй этап, т.е. определение структуры и параметров по наблюдениям (экспериментальным данным), принято называть идентификацией [47, 57,143].
Близкое понятие идентификации, хотя и в другой формулировке, вводится в [158]. В то же время некоторые авторы иначе трактуют понятие идентификации. Например, в [47] и [57] различаются идентификация в узком смысле, под которой понимается только определение параметров, и идентификация в широком смысле — определение структуры и параметров. В [158] под идентификацией понимается только выбор класса моделей, а определение параметров выделяется в отдельную задачу, в [46] к идентификации относится только определение параметров.
Особо следует выделить понятие «технологии идентификации в инфо-коммуникационной среде» [53], под которым понимается порядок использования различных идентификационных документов (чип-карт, сервисных телефонных карт, радиочастотных идентификаторов и т.д.) для распознавания пользователей информационных ресурсов. Исследование идентификационных технологий, не затрагивающего вопросы диагностики технического состояния средств ИТС, выходит за рамки данной работы.
При создании системы диагностирования средств ИТС на основе идентифицированной модели неминуемо возникнет еще один вопрос: как влияет точность полученного при идентификации результата на качество распознавания классов ТС объектов. Но так как этот вопрос ближе к задачам синтеза стратегий выбора решений (управления) [146], чем к задачам идентификации, то ответ на него не рассматривается в данной работе. Синтез субоптимальных алгоритмов осуществляется на основе методов теории чувствительности [85], стохастического [37] и минимаксного подходов.
Более подробные исследования свойств различных методов идентификации можно найти в достаточно многочисленных источниках, среди которых методы рекуррентного оценивания параметров подробно исследованы в [143]. Материалы обзорного характера по идентификации нелинейных моделей содержатся в [148,158].
К особенностям работы [148] следует отнести также приведенное в ней сопоставление рекуррентных методов не только по их асимптотическим свойствам, но и по результатам численного сопоставления на конечных выборках. Указанное сопоставление выполнено путем статистического моделирования по различным критериям оценки: близости в пространстве параметров, "грубости" к параметрам настройки алгоритма, изменчивости процессов сходимости параметров, времени вычисления. Такое сопоставление позволяет получить рекомендации, часто существенно отличающиеся от рекомендаций, полученных при исследовании асимптотических свойств метода. Например, в [158] показано, что при нормальном распределении помех метод наименьших квадратов (МНК) оптимален с точки зрения минимизации нормы отклонений в пространстве идентифицируемых параметров. В то же время оказывается, что на конечных выборках МНК по тому же критерию существенно (в 1,5—2 раза) проигрывает другим методам.
Несмотря на большое число работ, опубликованных как по технической диагностике, так и по вопросам идентификации, в большинстве из них указанные вопросы рассматриваются отдельно (за редким исключением, например [44, 76]). Такое положение обусловлено тем, что исторически эти научные области развивались, как самостоятельные и для каждой из них разрабатывалась своя теория с соответствующими моделями, методами и алго 36 ритмами. Между тем задачи идентификации и технической диагностики тесно взаимосвязаны в общую конечную цель: установить, пригоден ли объект для выполнения возложенных на него функциональных задач или требует совершенствования путем доработки, ремонта, настройки, наладки и т.п. [44].
По существу, идентификация и техническое диагностирование есть единый и неделимый процесс получения информации для выработки целенаправленных воздействий на объект или условия его применения с целью получения наибольшего эффекта от его использования. В большинстве опубликованных работ эта связь практически не раскрывается. Охватывая широкий круг теоретических проблем, они вместе с тем не всегда содержат достаточно отработанные методы и рекомендации прикладного характера, учитывающие сложность и другие особенности современных технических систем. Поэтому диссертационная работа, в которой в сжатой форме излагались бы основные проблемы и методы идентификации и технической диагностики с указанием их практических приложений, позволит в определенной степени компенсировать недостаточность научно-методического аппарата, используемого в этой области.
Гармоническое моделирование модулированных сигналов
Аналитическое выражение амплитудно-модулированного (AM) сигнала имеет вид [8,92]: лм (0 = [Vm + а «( )]«» coHt, (2.22) где Um и сон - соответственно амплитуда и частота высокочастотного (ВЧ) сигнала в отсутствии модуляции; u{t) - модулирующее колебание; а - коэффициент пропорциональности; cfu(t)=AUm(t) - приращение огибающей ВЧ сигнала.
Соотношение между амплитудой несущего колебания Um и максимальным приращением амплитуды модулированного колебания A/OT(f) характеризует глубину модуляции, оцениваемой коэффициентом модуляции: m = №M„JV.- (2-23)
Если модулирующее колебание является периодическим сигналом, то оно содержит ряд гармонических составляющих: N wW= tf cosOv+0» )» (2-24) к=\ и в этом случае выражение для AM сигнала преобразуется к виду: SAM\4-Um N l+2 Acos( v + ) =1 cos Ы, (2.25) где тк =aUk/Um - парциальный коэффициент модуляции. Проведя тригонометрические преобразования в формуле (2.25), получим выражение для спектрального состава AM сигнала: (t) = Umcos(coHt)+ І - cosK +u)k)t + pk] + k=l l + Y? toi( oH-cok)t-cpk\ (2.26) k=\ l
В частном случае тональной модуляции (N=\) спектр AM сигнала содержит три составляющие, причем уровень боковых составляющих определяется коэффициентом модуляции т (что следует из выражения (2.26)).
На рисунке 2.5 представлены результаты гармонического моделирования AM сигнала, выполненные с использованием программы EWB 5.0. Как следует из представленной схемы, указанный сигнал получен за счет суммирования трех гармонических сигналов, формируемых отдельными источниками. При этом глубина модуляции (параметр, контролируемый при оценке ТС передатчиков сигнала) определяется уровнями боковых составляющих, т.е. амплитудами гармоник, начиная с первой.
При амплитудной манипуляции (телеграфировании) (AT) изменяемый параметр ВЧ несущего колебания - амплитуда принимает два дискретных значения: Um - при передаче посылок логической «единицы» и 0 - при передаче посылок логического «нуля». В результате, колебание AT в виде после довательности радиоимпульсов с прямоугольной огибающей имеет аналитическое описание [8,92]: sAT(t) = 0,5 -Um[\ + u(t)] - cos{u)Ht), (2.27) где функция u{f) повторяет закон манипуляции, принимая значения ± 1. за счет суммирования семи гармонических колебаний (на несущей частоте и двух боковых полосах), формируемых отдельными источниками. Небольшие уровни сигналов на временных участках логических «нулей» обусловлены ограниченным числом учитываемых гармоник (N=3). ІООНвО
Рисунок 2.7 - Схема формирования и временная осциллограмма AT сигнала, полученные с использованием программы EWB 5. При фазовой манипуляции (телеграфировании) (ФТ) в интервалах логических «единицы» и «нуля» формируются колебания одной частоты с различными начальными фазами. Сигнал ФТ при разности начальных фаз Щ\-Щ2 її можно рассматривать как результат суммирования двух колебаний AT с противоположными фазами, следовательно спектр сигнала ФТ находится суммированием спектров колебаний sAT(t) и sAT [18]: t ( t \ + uj вт(ку /2)_ + у + _ у_ - cos[( yw + ксо0 )t + 7г] - cos[( yw - кй)0 )t + л]}- (2.29)
Анализ формулы (2.29) свидетельствует о составе спектра ФТ сигнала: несущее колебание (первое слагаемое), верхняя и нижняя боковые полосы, содержащие спектральные составляющие частот сон ± ка 0. На рис 2.8 представлены спектры ФТ сигнала при различных значения скважности сигнала. Спектры фазо-манипулированных сигналов со скважностями манипулирующих импульсов a = T/tu =2 и а - 6 [18]
Для частного случая T/tu = 2 на рисунке 2.9 представлена схема моделирования ФТ колебания с помощью генераторов гармонических сигналов и временная осциллограмма данного сигнала, полученная с использованием программы EWB 5.0.
Схема формирования и временная осциллограмма ФТ сигнала, полученные с использованием программы EWB 5. При частотной манипуляции (телеграфировании) (ЧТ) частота ВЧ колебания скачком изменяется на ± Асот относительно несущей частоты, принимая значения щ=сон + Асот, 6){=CQH- Асот в зависимости от значения манипулирующего сигнала: «О» или «1». Спектр ЧТ сигнала определяется как результат наложения двух спектров колебаний AT [18]: s4T{t)=s/AT(t) + s T=Umt- cos(cDlt) + Um ( т \ cos м+ + Um k t Smfaful) {cosfo + кщ )t + COsfa - кщ Tk=l kco0tu/2 -cos(o)2 + кщУ-cos(tf 2 -kco0)t}. (2.30) Первое слагаемое в формуле (2.30) определяет спектральную составляющую на частоте щ, второе слагаемое - составляющую на частоте со2; под знаком суммы записаны боковые составляющие для частот щк а 2 В общем виде диагностическую модель (1.5) идентификации состояния средства ИТС по комплексному показателю q представим интегральным уравнением Фредгольма I рода [20]:
Задача решения уравнения (2.31) относительно исследуемого сигнала su eS будет иметь решение на паре метрических пространств (S,Q), если любому элементу (результату измерения) qeQ соответствует решение su є S (условие существования решения).
Вопрос о существовании решения уравнения (2.31) тесно связан с условиями, налагаемыми на ядро S3 (г, t) (в виде функции эталонного сигнала, сдвинутого на время г относительно исследуемого сигнала su{t)) и правую часть g(r)/K. Относительно функции S3(z, t) предполагаем, что она измерима и принадлежит классу L2 на квадрате 0 г, t Т [61]: т.е. является ядром (оператором) Гильберта-Шмидта [74]. Интеграл э(г, п dt существует в силу теоремы Фубини [61] и условия (2.32) почти о для всех г. Иначе говоря, S3 (т, t) как функция от t при почти всех г принадлежит L2[O,T].
Так как произведение функций с суммируемым квадратом суммируемо, то интеграл, стоящий справа в (2.31) существует для почти всех г, т.е. функция q(r) определена почти всюду. В силу неравенства Коши- Буняков ского [61] для почти всех т имеем:
Обеспечение условия единственности решения задачи диагностирования средств ИТС по комплексному показателю
Достоинством концепции идентификации состояния объектов по комплексному показателю при сравнении с диагностированием по отдельным параметрам является более высокая оперативность оценки технического состояния объекта. Диагностический контроль средств ИТС состоит в измерении функции показателя q от одного из параметров (например, временной задержки т эталонного сигнала по отношению к искаженному сигналу на выходе объекта), изменяющегося в заданных пределах т є [О, Т\. T \S3(T,t) Su(t)dt = q(T), 0 т Т, (3.8) о и в сравнении с функциями {уа}л=Гл - эталонами классов ТС объекта [157].
Здесь для упрощения последующих аналитических выражений в правой части (3.8) представлена нормированная (к мощностям сигналов) функция.
Диагностическая модель средства ИТС в общем виде, определяемая выражением (3.8), представляет собой интегральное уравнение Фредгольма I рода, для которого S3(r,t) - ядро; su(t) - искомая функция искаженного сигнала; q{r) - измеряемая корреляционная функция. Поиск неизвестной функции su(t) по результатам измерения q{r) представляет собой обратную задачу, классическим решением которой является сведение уравнения (2) к системе линейных алгебраических уравнений вида (СЛАУ) [ПО]: ts№-s = qh / = й, (3.9) /=l где Sf = pi -S TjJi) элементы некоторой матрицы А размера nxL; su su{ti): ЧІ ЖІ) Pi - Д /2 - при / = 1 или / = L, pi = At - иначе.
Целью проводимых исследований в данной главе является обоснование параметров L и п дискретизации диагностической модели (3.8) при представлении ее в виде СЛАУ (3.9) с учетом требований к обеспечению единственности решения обратной задачи идентификации состояний средств ИТС по комплексному показателю.
При решении задачи диагностирования средств ИТС по показателю переход от интегрального уравнения (3.8) к СЛАУ (3.9) на практике означает дискретизацию искаженного сигнала su{t) по текущему времени t, корреляционной функции q(z) по времени задержки т и эталонного сигнала S3(z,t) одновременно по параметрам t и г (см. рисунок 3.1). Как показано ниже, от соотношения количеств дискретных отсчетов параметров /иг зависит выбор метода решения системы уравнений (3.9) и точность полученных решений. h тп Г
Графическая иллюстрация процесса дискретизации искаженного сигнала su{t) - (а), эталонного сигнала S3(T, t), задержанного на время т (б) и корреляционной функции д(т) - (в)
Известно [117], что любую периодическую функцию s(t) с финитным (ограниченным) спектром, в том числе, описывающую эталонный s3(t) и искаженный su(t) сигналы, можно интерполировать по ее отсчетам s(l-At), взятым через интервалы At l/(2fe), где /в - верхняя частота спектра функции. Если предположить, что вся энергия сигнала s(t) лежит в полосе частот / /в, а почти все отсчеты за пределами интервала [Г]5 Т2] равны нулю, то разложение сигнала в ряд можно представить в виде ряда Котельникова [117]: W ытх1м К 2z-fe{t-hAt) (ЗЛО)
Предельное число отсчетов сигнала L = T/At определяется только техническими возможностями преобразователя и, в конечном итоге, не влияет на продолжительность Тдк диагностического контроля. Количество отсчетов корреляционной функции п = Т/Ат, где А г - дискрет временной задержки А г между искаженным и эталонным сигналами, будет влиять на значение Тдк, т.к. каждый отсчет КВК измеряется в течении периода сигнала Т в соответствии с выражением (1.4).
Выражение (3.9) можно представить в операторном виде [110]: As„ = q, s„eS, qeQ, (3.11) где А - заданный непрерывный оператор; s„ - искомое решение; q - заданная правая часть; S и Q - некоторые гильбертовы пространства.
Количество отсчетов L сигнала s(t) и объем измерений КВК п определяют размеры матрицы А. В зависимости от соотношения размеров матрицы А система уравнений вида (3.9) или (3.11) может быть переопределенной (n L), определенной (w = L) и недоопределенной (n L). Рассмотрим основные подходы к решению различных типов СЛАУ.
1. Если в прямоугольной матрице А п L, то переопределенную СЛАУ можно решить методом наименьших квадратур Гаусса, в результате чего получим псевдорешение [110]. Здесь данный случай не представляет практического интереса, так как с увеличением числа п отсчетов КВК возрастает время диагностического контроля средства ИТС.
2. Если п = L, то матрица А квадратная и определенную СЛАУ можно решать по правилу Крамера, методами Гаусса, Краута-Холецкого [26] и др.
При этом, если вместо q и А заданы q и А такие, что -д д, А-А , где 8 и Е, - погрешности задания соответственно правой части уравнения (3.11) (погрешности измерения КВК) и матрицы А (размеры областей неопределенности в параметрической гиперплоскости), то часто используемой оценкой погрешности решения является следующая [21]:
Обеспечение устойчивости решения задачи идентификации состояний средств ИТС по комплексному показателю
Третьим условием корректности обратной задачи (3.8), которую можно представить в операторном виде как (3.11), является условие устойчивости решения, имеющее следующую формулировку [47]: бесконечно малым ошибкам (вариациям) исходных данных соответствует бесконечно малые ошибки (вариации) решений.
Математически формулировка устойчивости решения имеет вид [20, 21]: для любой погрешности є 0 можно указать такое 5(є) 0, что если расстояние pq\cj ,q J S(s), то расстояние ps\A lq ,A lq" ) s, т.е. обратный оператор А непрерывен на Q.
Проведем некоторую конкретизацию приведенных выше расстояний / (-) и уоД-) применительно к решаемой задаче [130-132, 135]. Пределы вариаций исходных данных /? () (корреляционной функции qeij)) будут определяться абсолютной погрешностью ее измерения относительно эталонной признак-функции Ya{r), соответствующей а-му классу технического состояния диагностируемого объекта, т.е. pq )=py(Ya, qE)
Что же касается вариаций решений /?5(-), то в процессе диагностики средств ИТС важны не результаты оценки вида выходного сигнала .sw(f#), а параметры 9, характеризирующие техническое состояние объекта. Поэтому вместо расстояния ps{) (вариации решения) будем рассматривать отклонения результата оценки параметра в относительно некоторого эталонного значения &f для я-го класса технического состояния объекта, т.е.
Проблема устойчивости решения обратных задач связана с построением таких методов, которые позволяют определять приближенные решения 0, близкие к искомому 02, на основе имеющейся приближенно заданной исходной информации. Впервые проблема устойчивого решения обратных задач была поставлена А. Н. Тихоновым [118].
Устранение неустойчивости решения обратной задачи основывается на использовании априорной информации о решении задачи 0. Априорная информация, как правило, связана с тем, что неизвестная характеристика 9Z представляет собой некоторую физическую величину, имеющую определенные свойства: положительность, монотонность и т.п. Такого типа априорная информация позволяет в ряде случаев сузить класс элементов 0, которому принадлежит точное решение 9Z до некоторого множества 0га, на котором решение обратной задачи будет устойчиво.
Для некорректных задач использование априорной информации принципиально важно по следующим причинам [18]: с одной стороны, локализации решения (6e0za) позволяет повысить точность приближений, особенно при определении тонкой структуры решения; с другой стороны, в случае его неединственности, учет априорных сведений в алгоритме дает возможность получить решение, удовлетворяющее физическим требованиям задачи, среди множества других, не представляющих практической ценности.
Идея сужения класса возможных решений обратной задачи до некоторого множества, на котором ее решение устойчиво, лежит в основе введенного М.М. Лаврентьевым [73] понятия корректности по Тихонову или условной корректности задачи.
Задача решения уравнения Ав-q называется корректно поставленной по Тихонову (условно-корректной), если выполнены следующие условия: 1) априори известно, что решение уравнения существует и принадлежит некоторому заданному множеству 07Д пространства 0; 2) решение уравнения единственно на множестве 0za; 3) существует непрерывная зависимость решения уравнения от правой части q, когда вариации q не выводят решение за пределы множества Qza.
Исследуем возможность применения методов решения некорректных задач для определения параметрической области, соответствующей множеству Qza и представляющую в физической интерпретации определенный класс технического состояния Za контролируемого средства.
Идея понятия корректности по Тихонову была высказана с целью обоснования широко используемого при решении обратных задач метода подбора [74]. Сущность метода подбора при решении диагностических задач состоит в следующем.
Исследователь на основании моделей средства ИТС, как объекта диагностирования, и преднамеренно внесенных отказов в аппаратуру строит физическую модель для различных отказов. Далее решается прямая задача, соответствующая диагностической модели: рассчитывается значения правой части уравнения (3.8) для различных отказов.
Оператор в процессе поиска неисправности сопоставляет диагностические модели с данными измерений правой части. На основании этого сопоставления подбирается новая модель с тем, чтобы данные решения прямой задачи у новой модели были ближе к экспериментальным. В основе метода подбора лежит предположение о том, что исследуемая параметрическая область, соответствующая определенным отказам аппаратуры, не слишком сложна, число этих отказов ограничено, статистические характеристики параметров описываются известными законами и находятся в определенных пределах. Отмеченные предположения являются гипотезами о принадлежности искомых решений определенным компактным множествам корректности.
