Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Метод Зейделя и его развитие 31
1. Сравнительный анализ метода Зейделя с методом последовательных приближений 31
1.1. Метод Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений 37
1.2. Норма оператора как одна из возможных характеристик скорости сходимости метода последовательных приближений 39
1.3. Точные значения и оценки матричных норм 41
1.4. Спектральный радиус и его оценки 42
1.5. О возможности эквивалентной перенормировке пространства, при которой норма неотрицательной матрицы будет сколь угодно близкой к значению ее спектрального радиуса 45
1.6. Операторная форма записи метода Зейделя. Обобщение метода Зейделя 47
2. Достаточное условие, гарантирующее более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений 51
3. Ускорение сходимости метода Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений 56
4. Некоторые варианты модификации метода Зейделя 62
4.1. Связь скорости сходимости метода Зейделя с его порядком 62
4.2. Синтез метода Зейделя с методом однопараметрического 69
итеративного агрегирования
ГЛАВА 2. Развитие метода Зейделя на случай интегральных уравнений и операторных уравнений произвольной природы 73
1. Метода Зейделя для приближенного решения интегральных уравнений 73
1.1. Распространение метода Зейделя на класс интегральных уравнений 73
1.2. Вспомогательные факты теории конусов 75
1.3. Сравнение спектральных радиусов г (А) и r(D) интегральных операторов Л и D = {I - А{)~х А2,тдр А- А{+ А2 77
1.4. Ускорение сходимости метода Зейделя 82
2. Метод Зейделя для уравнений с абстрактным оператором в банаховом пространстве с телесным и нормальным конусом 84
2.1. Полуупорядоченное пространство 84
2.2. Реализация метода Зейделя в случае абстрактного оператора 85
2.3. Достаточное условие более быстрой сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений 88
2.4. Ускорение сходимости метода Зейделя 91
3. Развитие метода Зейделя на случай пространств с нетелесным конусом 93
ГЛАВА 3. Оценки спектрального радиуса линейного оператора 100
1. Двусторонние оценки спектрального радиуса линейных операторов... 101
1.1. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора 101
1.2. Оценки спектрального радиуса абстрактного оператора 106
І.З.Уточнение оценок спектрального радиуса 109
2. Новые оценки сверху спектрального радиуса интегрального оператора 112
3. Двусторонние оценки решения операторного уравнения 116
4. Алгоритм определения скорости сходимости метода Зейделя для уравнений в гильбертовом пространстве 119
5. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору х*, отвечающему ведущему собственному значению 123
5.1. Случай линейного положительного оператора 123
5.2. Случай нелинейного оператора 135
Заключение 138
Литература
- Норма оператора как одна из возможных характеристик скорости сходимости метода последовательных приближений
- Достаточное условие, гарантирующее более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений
- Вспомогательные факты теории конусов
- Двусторонние оценки решения операторного уравнения
Введение к работе
Многие математические модели экономических, физических, инженерных задач могут быть реализованы с помощью операторных уравнений. К операторным уравнениям приводится также широкий класс задач анализа, алгебры, теории интегральных и дифференциальных уравнений. При этом в большинстве случаев соответствующие уравнения приходится рассматривать в полуупорядоченных пространствах. Это объясняется тем, что, как правило, в постановке задачи практического содержания существенную роль ифают соображения, связанные с положительностью решения или монотонной зависимостью решения от некоторых входящих в уравнение элементов.
Решение операторных уравнений при достаточно большом количестве неизвестных только в исключительных случаях удается найти в явном виде, например, в виде ряда. Поэтому для их решения приходиться использовать итерационные методы, которые позволяют найти приближенное решение с определенной степенью точности.
В последнее время с развитием электронно-вычислительной техники и увеличением ее быстродействия значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам. Это связано с тем, что численные методы являются важнейшим связующим звеном между постановкой задачи и ее реализацией на ЭВМ.
Актуальность темы. Актуальной задачей большого теоретического и практического значения является указание способа выбора наиболее рационального метода приближенного решения операторного уравнения. При этом важно знать не только то, что выбираемый метод имеет более высокую скорость сходимости, но и иметь возможность провести сравнительный анализ эффективности применения того или иного численного метода, уметь оценить точность найденного приближения, а также уметь оценить «зазор» скорости сходимости применяемых методов (т.е. сравнить выгоду, которую дает скорость сходимости, с трудоемкостью метода).
Исследованию этих вопросов и посвящена данная диссертация, которая продолжает исследования в области теории операторных уравнений и применение к их приближенному решению численных методов, проведенные М.Г. Крейном, О.И. Прозоровской, М.А. Красносельским, В.Я. Стеценко и их учениками.
Объектом диссертационных исследований являются приближенные методы решения различных классов операторных уравнений, а предметом -сравнительный анализ скорости сходимости метода последовательных приближений и метода Зейделя, различные модификации последнего.
Цель и задачи диссертационной работы. Целью диссертационного исследования является указание способа выбора наиболее эффективного метода приближенного решения операторных уравнений посредством сравнения спектральных радиусов двух положительных операторов, разработка новых приемов ускорения сходимости итераций к решению операторных уравнений и их применение, уточнение оценок спектрального радиуса линейного оператора и априорных оценок решения операторного уравнения.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.
1. Провести сравнительный анализ скорости сходимости метода Зейделя и метода последовательных приближений (МПП) к точному решению линейных систем алгебраических уравнений, интегральных уравнений, уравнений с абстрактным оператором, действующим в банаховом пространстве с телесным и нормальным конусом, интегральных уравнений в пространстве функций с нетелесным конусом, с целью указания наиболее рационального метода.
2. Разработать варианты модификации метода Зейделя по ускорению сходимости к точному решению различных классов операторных уравнений.
3. Уточнить двусторонние оценки значений спектрального радиуса линейного оператора.
4. Применить разработанные методы к нахождениям приближенных решений операторных уравнений.
5. Создать программное обеспечение, позволяющее реализовать предложенные методы.
Научная новизна выполненной диссертации заключается в следующем:
1. При сравнении метода Зейделя с МПП, получены достаточные условия, гарантирующие более высокую скорость сходимости метода Зейделя. Приведены формулы, характеризующие величину зазора между приближениями, полученными по методу Зейделя и по МПП при решении различных классов операторных уравнений.
2. Разработаны приемы ускорения сходимости метода Зейделя.
3. Получены более точные оценки, по сравнению с ранее известными, снизу и сверху спектрального радиуса линейного оператора.
4. Выведен алгоритм определения скорости сходимости метода Зейделя для уравнений в гильбертовом пространстве.
5. Предложен метод построения приближений по недостатку и по
избытку к положительному собственному вектору х , отвечающему ведущему собственному значению.
6. Разработаны программы на языке программирования C++, позволяющие реализовывать некоторые из полученных в данной работе методов и алгоритмов.
Методы исследований. Решение поставленных научных задач основывается на использовании численных методов, математического моделирования, функционального анализа, теории положительных операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается строгостью постановки задач и производимых математических выкладок, базирующихся на теории операторных уравнений в полуупорядоченных банаховых пространствах и классического функционального анализа.
Эффективность предложенных методов подтверждается результатами вычислительных экспериментов.
Практическая значимость работы. Практическая ценность представляется разработанными алгоритмами монотонных быстросходящихся приближений к искомому решению операторных уравнений, рассматриваемых в различных пространствах, а также в возможности применения результатов исследования при анализе и решении конкретных задач математики (системы линейных алгебраических уравнений, интегральных уравнений), задач математической экономики, математической физики, механики, и других задач, сводящихся к операторным уравнениям. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий по численным методам.
На защиту выносятся следующие положения: 4 1. Достаточные условия, обеспечивающие более высокую сходимость
метода Зейделя по сравнению с МПП для различных классов операторных уравнений.
2. Варианты модификации метода Зейделя по ускорению сходимости к точному решению различных классов операторных уравнений.
3. Уточненные оценки спектрального радиуса линейного оператора. (Щ 4. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к точному решению линейных и нелинейных операторов.
Реализация результатов. Теоретические и практические результаты работы использованы в учебном процессе СГУ в рамках дисциплин специализации.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002г.), на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2003г.). На 49-й, 50-й научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2004г., 2005г.). На IV,V-fi региональных научно-практических конференциях «Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование» (Ставрополь, 2004г., 2005г.), на XXXIV научно-технической конф. по результатам работы профес.-препод. состава, аспирантов и студентов Сев.-Кав. ГТУ за 2004 г. (Ставрополь, 2005 г.)
Диссертация состоит из введения, трех глав и приложений. В ней принята нумерация параграфов по главам, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер главы и порядковый номер утверждения или формулы.
Часть результатов диссертации получена автором совместно с научным руководителем профессором Стеценко В.Я. и его учеником к.ф.-м.н. Плюта А.И., при этом Стеценко А.Я. и Плюта А.И. в соответствующих результатах принадлежат постановка задачи и общие рекомендации относительно их метода решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих утверждений.
В диссертации используется терминология функционального анализа и, в частности, теория полуупорядоченных пространств [11], [12], [22],[23], [24], ifc [35], [47]. Прежде чем перейти к обзору основных результатов, приведем некоторые определения.
Норма оператора как одна из возможных характеристик скорости сходимости метода последовательных приближений
Пусть в пространстве Е наряду с заданной в Е нормой \х\ рассматривается еще какая-либо нормал: , эквивалентная заданной. Напомним, что две нормы \х\ и д называются эквивалентными, если можно указать такие положительные постоянные т и М, что для каждого х є Е выполняется неравенство т\\х\\ Ц[ М\\х\.
Известно, что в любом конечномерном пространстве любые две нормы являются эквивалентными. В пространстве бесконечного числа измерений не всякие две нормы будут эквивалентными. Так, если в пространстве непрерывных функций x(t), заданных на отрезке [0,1], рассматривать две нормы: \\x(t)\\= max\x(t)\ (1.9) її Щ o t r и \\x(t)\\2 = )\x(s)\ds, (1.10) о то эти две нормы не являются эквивалентными, ибо в противном случае из полноты пространства С[0.,] по одной из норм вытекала бы полнота этого пространства по любой другой эквивалентной норме. В тоже время пространство С[о1] является полным по норме (1.9) и не является, как известно [48], полным по норме (1.10).
Приведем известную [33] теорему, позволяющую оценить скорость сходимости метода последовательных приближений с помощью нормы оператора.
Теорема 1.5. Пусть Е - линейное нормированное пространство, А - линейный оператор действующий в Е, и \А\ -норма этого оператора в банаховом пространстве Е, порожденная какой-либо нормой JC в пространстве Е. Тогда для любого Я, удовлетворяющего неравенству я 4 О-11) уравнение Ax = Ax + f (1.12) при каждом f єЕ имеет, и притом единственное, решение х = x(f), к которому сходится последовательность {хт}: Яхт+1 = Ахт+/ (го=0,1,...) (1.13) при любом начальном приближении х0 є Е. При этом справедливо неравенство (/)- „. Пир (1.14) которое является оценкой близости приближения xmtl к точному решению
Тем самым, метод последовательных приближений (1.13) при выполнении неравенства (1.11) сходится к точному решению x (f) уравнения и (1.12) со скоростью, не меньшей q = y-j, т.е. не медленнее, чем геометриче ц екая прогрессия дт: /и н\"г ЧЛУ
Доказательство этого утверждения является прямым следствием неравенства (1.14), которое, в свою очередь, является непосредственным следствием принципа Банаха сжатых отображений, так как формулу (1.13) можно переписать в том же виде, что и в классическом методе последовательных приближений для уравнения с оператором —. При этом при выполнении не равенства (1.1 1) /, ! А оператор — является оператором сжатия. Свойство (1.11), влекущее за собой Я выполнение неравенства (1.14), позволяет получать дополнительные сведения о методе последовательных приближений. В частности, можно указать необходимый минимум шагов итерации т, который дает приближение к решению уравнения (1.12) с точностью, не превосходящей заданного числа є 0. Выражение (1.16) не позволяет получить точные значения нормы матрицы в случае евклидовой нормировки пространства. Можно доказать, что точное значение нормы матрицы А выражается формулой И=лДГ где А, - наибольшая абсолютная величина собственных значений симметричной матрицы АА\ где А - сопряженная к Л матрица, т.е. если А-(а0), то A =(«yj, где горизонтальная черта означает операцию комплексного сопряжения.
Так как норма оператора вводится по заданной в пространстве норме элементов, то, вводя в пространстве Е разные нормы, будет получать, вообще говоря, разные нормы для одного и того же оператора. В этой связи в рассмотрение вводится числовая характеристика, являющаяся инвариантом в классе всех эквивалентных норм пространства Е.
Определение 1.1. Спектральным радиусом г (А) линейного оператора Л, действующим в банаховом пространстве Е, называется величина г(А) = Ш$Щ, (1.17) если этот предел существует. Лемма 1.1 [31]. Величина предела (1.17) одна и та же в любой эквивалентной норме пространства Е.
Роль спектрального радиуса линейного положительного оператора поясняется следующей теоремой [31].
Теорема 1.6. Если Л г(А), то уравнение вида Лх = Ах + f при любом /из банахова пространства Е имеет и притом единственное решение, которое может быть получено по методу последовательных приближений Лхп+1 =Axn+f (/г = 0,1,2,...) при любом начальном приближении х0 из Е. Из приведенного результата следует, что метод последовательных при ближений сходится тем быстрее, чем меньше величина .
Вычислить точное значение спектрального радиуса г(А) оператора не всегда просто. В связи с этим большое значение приобретают его всевозможные оценки.
Для получения оценок спектрального радиуса матрицы удобно использовать следующий факт [59]: спектральным радиусом г{А) неотрицательной матрицы А является наибольшая абсолютная величина собственных значений этой матрицы.
Достаточное условие, гарантирующее более высокую скорость сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений
В связи с последним утверждением возникает естественный вопрос о том, в каких случаях метод Зейделя обладает более высокой скоростью сходимости. В общем случае это не всегда имеет место: для алгебраических систем с верхней треугольной матрицей метод Зейделя фактически совпадает с методом последовательных приближений, а поэтому их скорости сходимости одинаковы. Следующая теорема содержит простое и легко проверяемое достаточное условие более высокой скорости сходимости метода Зейделя по сравнению с методом последовательных приближений.
Теорема 1.12. Пусть матрица А і переводит каждый вектор и0 с положительными координатами в вектор Ахи0 с положительными координатами, т.е. из и0 » О следует, что Aji0 » О. Пусть Г(А) 1.
Тогда имеет место строгое неравенство т.е. метод Зейделя в этом случае гарантирует более высокую скорость сходимости приближений к решению операторного уравнения (1.26) по сравнению с методом последовательных приближений.
Доказательство. Выберем с О так, чтобы выполнялось неравенство г{А) + є \. Пусть г/0 » 0 и Аи0 [г(А) + є}і0. По условию вектор A\ii0 имеет только положительные координаты, поэтому существует такое р О, для которого выполняется неравенство A{uQ PuQ. (1.36) В общем случае можно считать, что Р 1, т.к. если Р \, то, выбирая Д, 1 р, усиливаем неравенство (1.36) 4"о /Ч /W Справедлива следующая цепочка соотношений (1.37) [г{А) + є щ + 4н0 = (Л, + А2)и0 -[l-є-г(Л)]4и0 [r( )+4/0-/?[i- -K )k Введем обозначение (1.38) а = г(Л) + -Ді--фО]. Тогда, на основании (1.37), выполняется неравенство А2и0 a(l-А{)и0 -[г(А) + є-а]4г о Применяя к обеим частям последнего неравенства положительный, а значит, и монотонный оператор (/-Л,)"1, и, учитывая, что в силу (1.36) \-р С-4)"Ч = Е4Ч ;Ио, лМ) будем иметь a_r{A) + s-ap \-р "о = и0 = а-аР-г{А)Р-єР + ар а-г(А)Р єР llr \-р " \-р Подставляя в это неравенство значение а из (1.38), найдем Г{А) + Б-Р + ЕР + Г{Л)Р-Г{А)Р-ЕВ Г(А) + Є-Р 0 \-p \-P
Из последнего неравенства в силу теоремы 1.7 об оценке сверху спектрального радиуса неотрицательной матрицы D по ее поведению на векторе и0 с положительными координатами приходим к справедливости неравенства г(А) + є-р r(D) \-р Так как г{А) 1 и є 0 выбрано произвольно, то из последнего неравенства следует, что гф Л І ЛХІ-Р) К J \-Р \-р У Теорема 1.12 полностью доказана. Теорема 1.12 допускает развитие на случай, когда у матрицы А] не обязательно все элементы строго больше нуля. Как и прежде предлагается, что А 0 и г{А) \.
Определение 1.3. Операторе называется и0-ограниченным снизу, где и0 О - фиксированный ненулевой элемент конуса К, если для каждого х О можно указать такое натуральное т=т(х) и такое а = а(х) О, для которых выполняется неравенство
Атх аи0, и называется и0 -ограниченным сверху, если для каждого х О существует такое натуральное п = п(х) и такое /? = Р(х) О, что A"x fiu0. Теорема 1.13. Пусть матрица Л/ является г/0-ограниченным сверху оператором относительно конуса /?л+ и для элемента uQ є R при некотором Д 0 выполняется неравенство Тогда r{D) r(A).
Доказательство теоремы 1.13 аналогично доказательству предыдущей теоремы. Повторяя рассуждения до соотношения (1.37), получим неравенство А2и0 «,(/- А1 )и0 -[г(А) + -а,]А,и0, где ах = г (А) + е- p\[-s- г (А)]. Применим к обеим частям последнего неравенства положительную матрицу (/- Ах) х. В результате получим DuQ = (1- А1у1А2щ a{uQ -[г(А) + є-а{](1 -ЛГЧ о «і"о Д"о = (а\ ДК где Р\=а\ \г(А) + -ocl] l al. Тем самым r(D) (ax-px) r(A), т.к. ах г(А), Д 0. Теорема доказана. Следствие. В условиях теоремы 1.12 имеет место неравенство r(A)-r{D) J-. (1.39)
Справедливость последнего неравенства проверяется непосредственно.
Неравенство (1.39) позволяет оценить «зазор» между г(А) и r(D) и, тем самым позволяет выяснить эффективность применения метода Зейделя в сравнении с методом последовательных приближений. Этот «зазор» не меньше, чем правая часть неравенства (1.39).
Проиллюстрируем эффективность достаточного условия на следующем примере, в котором проведем сравнительный анализ скорости сходимости к точному решению матричного уравнения метода Зейделя с методом последовательных приближений.
Вспомогательные факты теории конусов
Как и в случае систем линейных алгебраических уравнений, основой для сравнения методов последовательных приближений и Зейделя служит спектральный радиус интегрального оператора. Будем рассматривать пространство С непрерывных на отрезке [a,b] функций, полуупорядоченное относительно конуса К непрерывных, неотрицательных Щ на [a,b] функций. Отметим, что в случае, если г(А) 1 существует оператор (1-А) ], а также для любого неотрицательного непрерывного ядра K{(t,s) такого, что 0 К ,з) К(1,з), (2.8) выполняется неравенство: г(Л,) фО, где Aj - оператор с ядром K t ) [21]. Поэтому также существует оператор (7-Д)-1, причем этот оператор является положительным, т.е. для хеК также (І-А1) 1хє К.
Укажем [13], [32] важные свойства конуса К в пространстве C[a6j, существенно используемые в дальнейшем. {Ь 1. Конус К телесен, при этом каждая из функций z/0(/), принимающая на [а,Ь] положительные значения, является внутренним элементом К. В частности, К- воспроизводящий конус. 2. Конус К нормален, это значит, что из неравенства вида - у х у вытекает, что х .
В полуупорядоченном при помощи конуса К пространстве Е элемент и называется supremumom{x,y} если и х, и у и для всякого элемента v, обладающего этим же свойством, т.е. v х, v у, следует, что v и.
Поэтому соответствующий элемент sap{x,y} называется точной верхней гранью элементов х и у. Понятие точной нижней грани, т.е. inf{x,y} вводится по аналогии.
3. Конус К миниэдрален, т.е. для любых элементов х = x{t), у = y(t) из См существует snp{x,y} и inf{x,yj.
4. К является сильно миниэдральным конусом. Это значит, что для любого множества М={х} элементов, ограниченного в смысле полуупорядоченности (т.е. для каждого х є М выполняется при некотором иеЕ соотношение х и), существует точная верхняя грань supM и точная нижняя грань infM. Заметим, что в общем случае, не каждый миниэдральный конус обладает таким свойством. Некоторые достаточные условия сильной миниэдральности миниэдральных конусов приведены в [32], [61].
5 В пространстве С[аф в отличие от пространства Rn, не любые две нормы являются эквивалентными, в чем проявляется специфика бесконечномерных пространств. Важную роль в пространстве С[аб] играет и0-норма элементах, обозначаемая Ы и определяемая по формуле \\х\\ио=пшх{аї,а2}, где я и а2 соответственно я,0 = sup{ax: а{ 0 и х ахий}, а2 = inf{a2 а2 - 0 " х - -я2г/о } Для всякого х, для которого определена г/0-норма, эта норма обладает свойствами обычной нормы. В пространстве С[й4] г/0-норма подчинена обычной норме U(0l= wax\x(t)\, а 1 Ь а в случае, когда и0-внутренний элемент К, то и0 -норма и обычная норма в C[a4j являются эквивалентными.
Множество всех элементов х, для которых определена и0 -норма Ы , обозначается символом Еи .
6 . Множество Еи является линейным многообразием и в случае, если конус К нормален, линейное многообразие Еи является полным нормированным пространством относительно и0 -нормы, т.е. пространством Банаха.
7. Для интегральных операторов с неотрицательным ядром, являющихся вполне непрерывными операторами в пространстве С[аі], имеет место аналог теоремы Перрона [14]: число Л = г(А) является собственным значением интегрального оператора А, и этому числу соответствует (не равная тождественно нулю) неотрицательная функция х = x (t) 0: ь \K{t,s)x {s)ds = r(A)x\t), а т.е. г (А) является собственным значением ядра K(t,s).
Двусторонние оценки решения операторного уравнения
При использовании принципа Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его справедливости играет условие вида г{А) \, (3.24) где г(А) - спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t,s). Естественно необходимо иметь признаки, обеспечивающие выполнение условия (3.24). Укажем соответствующие признаки для случая, когда А - интегральный оператор вида Ax(t) = JK(t, s)x(s)ds, (3.25) п где Q - ограниченное замкнутое множество евклидова пространства R%, K(t,s) измеримая по s є Q почти при всех значениях t є Q функция, для которой при некоторых р 1 и q = —-— выполняется условие:
При выполнении условия (3.26) оператор (3.25), действующий в пространстве Lp(Q), как известно [61], является вполне непрерывным оператором в этом пространстве. Предварительно напомним определение неразложимости оператора. Положительный линейный оператор А называется неразложимым, если из того, что Л: 0, х аАх {а 0), следует, что х » 0. Введем в рассмотрение следующие функции Р(0 = l\K(t,s)\ds, Q(t) = j\K(s,t)\ds. п п
Теорема 3.4. Пусть для некоторого а є [0;1] выполняется следующее неравенство Pa{t)Qx a{t) \ (teQ) (3.27) и, кроме того, выполняется одно из двух условий: 1 ) в неравенстве (3.27) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль; 2 ) в неравенстве (3.27) строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества w є Q, mes w 0, оператор A - неразложим в пространстве L (Q). Тогда спектральный радиус г{А) оператора А в пространстве L (О.) меньше, чем единица: г(А) 1.
Доказательство. В общем случае, будем считать, что K{t,s) 0, т.к. в противном случае мы бы перешли от оператора А к оператору А+: A+x{t)= \\K{t,s)\x(s)ds, п для которого выполняются все условия теоремы и ядро, которого неотрицательно. Если для этого оператора будет доказано утверждение теоремы, т.е. если докажем, что г(А+) 1, то учитывая неравенство 114 r(A) r(A+), получим утверждение теоремы. Итак, можно сказать, что K(t,s) 0, т.е. оператор А положителен в Lp(Q). Положим Ал = ЛА. Очевидно Ал, а, следовательно, и г{Ах) непрерывно зависят от Я, а так как при Л = О А0 = О и г{А ) = 0, то для всех достаточно малых Л О выполнено неравенство г(Ал) \. Возможны два случая: 1)г(4) 1; 2)г(Л,) 1.
В первом случае теорема доказана, так как А{ = А. Во втором случае найдется хотя бы одно значение Л = Л0 є (0;1], для которого г{А? ) = 1. В этом случае г(А? ) = 1 является собственным значением оператора А; , которому отвечает неотрицательная собственная функция x0(t) є LAQ): 4ю о(0 = Л (0 откуда в силу (3.27) \К (t,s)x0(s)ds Ра(t)Q{ a№Q{t), о. где к ) = л0к ).
Установим, что в неравенстве (3.27) знак строгого неравенства имеет место на некотором множестве wl : \vx є Q, mes \\\ О для каждого из случаев 1),2).
При условии 2) утверждение следует из того, что неотрицательная собственная функция положительного неразложимого оператора в пространстве Lp(Q), как квазивнутренний элемент конуса неотрицательных функций
