Содержание к диссертации
Введение
1. Метод самосогласованного базиса и метод интегрирования при помощи обобщенных степенных рядов
1.1. Общая схема метода самосогласованного базиса 20
1.2. Алгоритм решения задачи на собственные значения методом самосогласованного базиса 23
1.3. Общая схема символьно-численного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярными особыми точками 26
1.4. Алгоритм нахождения общего решения уравнения (1.3.1) 27
2. Применение метода самосогласованного базиса для решения двумерного уравнения Шредингера с дискретной C2v и C3v симметрией 28
2.1. Решение уравнения Шредингера для C2v симметричного двумерного гамильтониана 29
2.2. Решение уравнения Шредингера для С3у симметричного двумерного гамильтониана 47
3. Развитие метода самосогласованного базиса для решения двумерного уравнения Шредингера с пятиямным потенциалом
3.1. Классическая С4У симметричная двумерная система с одноямным потенциалом 63
3.2. Решение уравнения Шредингера с одноямным потенциалом методом самосогласованного базиса 65
3.3. Классическая динамика С4У симметричной двумерной системы, поверхность потенциальной энергии которой имеет пять локальных минимумов 77
3.4. Символьно-численный метод решения CAV симметричного двумерного уравнения Шредингера с пятиямным потенциалом 81
4. Использование метода интегрирования с помощью обобщенных степенных рядов для решения линеаризованного уравнения Навье- Стокса
4.1. Постановка задачи 91
4.2. Описание способа решения методом функции тока 95
4.3. Символьно-численное решение задачи обтекания сфероида вязкой несжимаемой жидкостью в виде обобщенного степенного ряда 99
Заключение 122
Список литературы 124
Приложение 135
- Алгоритм решения задачи на собственные значения методом самосогласованного базиса
- Решение уравнения Шредингера для С3у симметричного двумерного гамильтониана
- Решение уравнения Шредингера с одноямным потенциалом методом самосогласованного базиса
- Классическая динамика С4У симметричной двумерной системы, поверхность потенциальной энергии которой имеет пять локальных минимумов
Введение к работе
В последнее время внимание ученых сосредоточено на исследованиях задач, которые связаны с решением нелинейных дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений (см., например, [1-14]). С помощью программ аналитических вычислений исследователям удается провести огромную вычислительную работу и проанализировать многие ранее трудно решаемые задачи (см., например, [15-21]).
Дифференциальные уравнения и динамические системы, которые ими описываются, возникают при описании явлений, происходящих в различных областях науки и техники. Основная задача - получить разностороннюю информацию о таких явлениях, на основе решений соответствующих дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.
Первые методы интегрирования дифференциальных уравнений и систем были предложены в работах Ньютона, Лейбница, Эйлера и далее развиты такими математиками, как Лагранж, Пуассон, Лиувилль, Пуанкаре, Ляпунов и др. Основной идеей, лежащей в основе этих работ было предположение о том, что решение уравнений и систем всегда может быть представлено в виде некоторого выражения от известных функций, в частности в виде различного рода рядов. Позже для описания свойств уравнения, которые позволяют получить всю общую и частную информацию о математической модели, было введено и обобщено понятие интегрируемости. Однако применение этих методов без применения быстродействующих электронных вычислительных машин крайне затруднительно.
Точные, то есть решения в явном аналитическом виде для
5 большинства дифференциальных уравнений найдены в исключительных случаях. [22-26].
Поэтому, например, для решения задач на собственные значения, в частности стационарного уравнения Шредингера, разработано достаточно большое число различных как аналитических, так и численных методов [27-53].
При этом оказывается, что точность вычислений спектра и волновых функций ухудшается, если квантовая система допускает существование динамического хаоса в классическом пределе [54-55]. Для установления взаимосвязи между свойствами квантовых характеристик и режимом классического движения необходимо рассматривать классический и квантовый случаи для данной системы одновременно [56-67].
Так как вычисления всегда ограничены возможностями даже современных быстродействующих компьютеров, а универсального метода не существует, то приходится искать наиболее оптимальные вычислительные методы для решения конкретных задач. Перспективным современным подходом представляются комбинированные или символьно-численные методы, которые сочетают аналитические преобразования с последующим численным решением исходной задачи с использованием современных систем компьютерной алгебры (СКА).
В диссертационной работе развивается новый, так называемый метод самосогласованного базиса, с помощью которого найдены решения двумерного уравнения Шредингера с поверхностью потенциальной энергии с несколькими локальными минимумами, а также метод нахождения решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов с применением современных символьно-численных технологий.
Общая характеристика работы
Актуальность проблемы.
Большинство дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, которые возникают в математике, физике и других естественных науках, не интегрируется в квадратурах. Как правило, для них не существует и универсальных численных методов нахождения решений. К таким уравнениям относятся, в частности, стационарное двумерное уравнение Шредингера (при решении для него задачи на собственные значения) и уравнение Навье-Стокса. Настоящая диссертационная работа и посвящена исследованию решений этих уравнений с помощью систем компьютерной алгебры (СКА).
Разработка новых методов, как аналитических, так и численных, и особенно символьно-численных, реализация этих методов в виде программных средств с использованием современной эффективной СКА MAPLE и использование этих программ для исследования ряда важных математических моделей классической и квантовой механики является актуальной проблемой математического моделирования сложных физических систем.
В последние десятилетия в связи с активным исследованием детерминированного хаоса в классических системах возникла проблема исследования их квантовых моделей [68-70]. Существование хаотического движения и смешанных состояний (когда при одной и той же энергии в разных потенциальных ямах сосуществуют два типа движений: хаотическое и регулярное) и квантовые эффекты туннелирования приводят к дополнительным вычислительным трудностям в решении соответствующих
7 уравнений при квантово-механическом рассмотрении [54,62]. Аналогично исследование наноструктур, для математического моделирования которых необходимо применять квантовые уравнения, также приводит к решению задач на собственные значения [71-73].
Использование прямых численных способов решений этих задач не всегда приводит к цели, так как численные расчеты имеют большую неточность по сравнению с аналитическими, а также ограничены возможностями даже современных вычислительных систем. В ситуации, когда универсального способа получить решение не существует, приходиться искать более оптимальные вычислительные методы для конкретных математических моделей.
В диссертационной работе, на основе СКА, развиты метод самосогласованного базиса, с помощью которого найдены решения двумерного уравнения Шредингера с поверхностью потенциальной энергии с несколькими локальными минимумами, и метод обобщенных степенных рядов интегрирования линеаризованного при определенных условиях уравнения Навье-Стокса.
Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов и программ с использованием современной СКА Maple для решения задач на собственные значения для двумерных дифференциальных операторов Шредингера и проведение с их помощью численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики, а также интегрирования уравнения Навье-Стокса,
Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:
1. Разработка алгоритмов и программ для символьно-численного решения задачи на собственные значения для операторов: а) двумерного С,,,
инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность
потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума; б)
8 двумерного C3v инвариантного полиномиального гамильтониана,
поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, в) двумерного C4v инвариантного полиномиального гамильтониана с пятиямным потенциалом; 2. Разработка аналитического способа приближенного решения уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов и программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований для решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярной особой точкой. Использование этой программы для интегрирования линеаризованного уравнения Навье-Стокса с заданными граничными условиями при условии, когда перепад температуры мал.
Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, математического анализа, математической физики, численного анализа, компьютерной алгебры, вычислительной математики, использование прикладных пакетов программ.
Научная новизна. Разработаны алгоритмы и в среде MAPLE составлены символьно-численные программы, с помощью которых проведены вычисления энергетического спектра и волновых функций. Составленные программы позволили осуществить дальнейшее развитие метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для C2v, C3v и C4v симметричных двумерных полиномиальных
гамильтонианов,
Разработан аналитический способ и составлена программа на языке программирования СКА MAPLE для символьно-численного интегрирования линейных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярной особой точкой. С использованием полученной программы решено линеаризованное уравнение Навье-Стокса при заданных граничных условиях в случае обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью при малых перепадах температуры и получено
9 решение в виде обобщенных степенных рядов.
Практическая значимость и полезность полученных результатов.
Данная работа носит теоретический и практический характер. Результаты работы могут быть использованы для исследования динамики нелинейных классических гамильтоновых систем и для решения двумерных уравнений Шредингера. Разработанные символьно-численные алгоритмы и созданные на их основе комбинированные программы, реализованные на языке MAPLE, могут быть использованы для решения задач на собственные значения двумерных дифференциальных операторов Шредингера с полиномиальными потенциалами. Предложенный символьно-численный метод приближенного решения уравнения Навье-Стокса может быть использован для исследования процессов обтекания частиц произвольной формы и при произвольных перепадах температуры.
Положения, выносимые на защиту.
Символьно-численный метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного C2v, инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций.
Развитие символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С3г инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций.
Обобщение символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С4„ инвариантного
полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии
10
которого имеет пять локальных минимумов, результаты конкретных
численных расчетов собственных значений и собственных функций.
4. Символьно-численный метод интегрирования линейных
дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой и решение линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов в задаче обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью при малых перепадах температуры и результаты численных расчетов.
Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений, математического анализа, методов математической физики и применением методов численного анализа, а также исследованием точности полученных результатов в зависимости от параметров решаемых задач при символьно-численных вычислениях и воспроизведением имеющихся в литературе результатов, полученных другими методами и другими авторами.
Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы были представлены и докладывались на конференциях: VIII Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, 12-16 сентября, 2006); The 2nd International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (Kharkov, Ukraine, September 19-23, 2006); Международная научная конференция для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Украина, Харьков, 23-25 марта 2007); Международная молодежная научная конференция «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, 3-7 апреля, 2007); XLIII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 23-27 апреля, 2007); Международная конференция «Компьютерная математика в образовании и научных исследованиях»
(Феодосия, 10-15 сентября 2007); XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 21-25 апреля, 2008); Международная конференции по математическому моделированию (Феодосия, 15-20 сентября 2008), Международная научная конференция «X Белорусская математическая конференция» (Беларусь, Минск, 3-7 ноября 2008), на семинарах кафедры математического анализа БелГУ.
Связь с научными программами, планами и темами.
Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана
подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления
«Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11 2000 г., с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-02-16263).
Личный вклад автора. Автор диссертации самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и получил результаты, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 18 публикациях в виде статей в журналах и в трудах всероссийских и международных конференций. Программа вычисления собственных значений и функций симметричного двумерного оператора Шредингера методом самосогласованного базиса по теме диссертационного исследования зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и библиографического списка из 108 наименований. Общий объем диссертации составляет 140 страницы.
12 ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, подчеркивается научная новизна и практическая значимость работы, дается краткое описание результатов диссертации.
В главе 1 приведены метод самосогласованного базиса, решения задачи на собственные значения, и метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов. Даётся описание алгоритмов и программ, составленных на языке программирования СКА MAPLE для символьно-численного решения указанных задач.
В разделе 1.1 предложенный метод самосогласованного базиса описан для решения двумерного стационарного уравнения Шредингера
Нф{х,у) = Eip(x,y), где потенциальная часть V{x,y) гамильтониана имеет произвольный полиномиальный вид.
Решение этого уравнения ищется в полярных координатах (г, <р) в
виде ряда
г— А (г)
yjry/(r,(p) = u(r, +^][^/(r)cos/^ + Bt(r)s'ml(p], (1)
где А,(г) и В,(г) - неизвестные функции. С учетом ортогональности угловых
базисных функций и групповых свойств гамильтониана с помощью разработанной программы в среде Maple получены основные уравнения в виде однородных линейных бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для радиальных функций. Для каждой из этих систем, усеченных до конечного числа уравнений, для конкретного значения Е из заранее заданного диапазона решается задача Коши, находится фундаментальная система решений и строится общее решение системы ОДУ. Учет граничных условий по радиальной переменной в общем решении приводит к однородной системе линейных алгебраических
13 уравнений, из которой определяется энергетический спектр и собственные функции исходного уравнения.
В методе самосогласованного базиса "обрезание" базисной системы функций происходит по одной (угловой) переменной, а по другой (радиальной) ведется численное интегрирование. Это приводит к согласованию базисных функций со сложной потенциальной формой гамильтониана, и, следовательно, к увеличению точности расчетов и к уменьшению объема вычислений по сравнению, например с диагонализацией.
В разделе 1.2 описан алгоритм решения задачи на собственные значения методом самосогласованного базиса. Алгоритм символьно-численного решения стационарного двумерного уравнения Шредингера можно назвать комбинированным. Под комбинированным алгоритмом будем подразумевать алгоритм, который сочетает в себе аналитические преобразования исходной задачи и численное решение уже преобразованной задачи. Поэтому алгоритм разбит на два основных этапа: аналитических преобразований и численного решения.
В разделе 1.3 описан метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярными особыми точками
w» + jM_wi+ Я(?) w = o, (2)
JU "kfi \ ~~~ Л /
оо оо
где р(х) = ^2Рк(х ~ хоУ » ЯІХ) = ^2/Чк{х ~ xof - сходящиеся степенные
к=0 к=0
ряды, х0 - особая регулярная точка. Находим два линейно независимых решения Wx{_x) и W2(x). Решение уравнения (2) ищем в виде обобщенного ряда
W = (ж —ЖоУ^аДж —я0) , где показатель р есть некоторое постоянное
к=0
число, которое находится из определяющего уравнения
14 P(P - 1) + PQP + 4o = 0
Если корни определяющего уравнения различны и рх> рг, а их разность рх - р2 не равна целому положительному числу, то два линейно
независимых решения имеют вид: Wx = х^^а^, W2 = хр2У]ак'хк .
А=0 к=0
Если рх-рг есть целое положительное число, то одно решение,
соответствующее корню рх, по-прежнему имеет вид Wx = хр,^акхк , а второе
/ЫО
линейно независимое решение можно найти по формуле Остроградского-
-pdx
>, где С, С = const
W(
Лиувилля W2=WAC ^-^-dx + С
В разделе 1.4 описан алгоритм интегрирования при помощи степенных рядов приближенного уравнения Навье-Стокса.
В главе 2 развит метод самосогласованного базиса, с помощью которого решена задача на собственные значения для гамильтонианов инвариантных относительно дискретных C2v и C3v групп.
В разделе 2.1 методом самосогласованного базиса было решено двумерное уравнение Шредингера для C2v симметричного полиномиального
\(д2 д2Л
+
(дх2 дуг)
гамильтониана Н =
+ V (ж, у) с поверхностью
^2 2 \ 2
потенциальной энергии (ГШЭ) вида V(x,y) =—(x +у) х +
+Ьх2у2 + с(х2+у2)2, параметры (а,а',Ь,с) которого были выбраны так,
чтобы ППЭ имеет два локальных минимума и единственную седловую точку в начале координат. Вначале исследован классический аналог квантовой системы, затем вычислены спектр и волновые функции гамильтониана с двумя наборами параметров, с одним из которых классическая система является регулярной, а со вторым хаотической.
В разделе 2.2 методом самосогласованного базиса было решено
15 двумерное уравнение Шредингера для C3v симметричного полиномиального
КЗ2 д2Л
гамильтониана Н = —
+ V(x,y) с ГШЭ вида
+
дх2 ду2) V(x,y) = — (х2 +y2) + b х2у—у3 \ + сух2 +у2) , причем ППЭ имеет четыре
одинаково расположенных локальных минимума и три седловые точки.
С помощью разработанной программы SELFAC3V в среде MAPLE на основе метода самосогласованного базиса уравнение Шредингера приводится к системе ОДУ относительно неизвестных функций At(г), Bt(r) и найдены их решения.
В главе 3 развит метод самосогласованного базиса, с помощью которого решена задача на собственные значения для двумерного C4v
симметричного гамильтониана, параметры которого таковы, что его ППЭ имеет или один или пять локальных минимумов и четыре седловых точки. Отличительной чертой систем с несколькими минимумами является существование различных типов классической динамики (регулярной или хаотической) в разных потенциальных ямах при одной и той же энергии.
В разделе 3.1 исследована структура фазового пространства двумерного уравнения „ Шредингера для C4v симметричного
полиномиального гамильтониана И =
2 N
д2 . д
+
дх1 ду1)
+ V(x,y), с ГШЭ
V{x,y)-—{x +у ) + Ьх у +с(х +у ) , имеющей единственный минимум.
В разделе 3.2 методом самосогласованного базиса было решено двумерное уравнение Шредингера и при помощи символьно-численной программы SELFA_C4V вычислены спектр и волновые функции.
В разделе 3.3 исследовано двумерное уравнение Шредингера
# = --2
If О2 . д2Л
+
дх2 ду2)
+ V(x,y), с ППЭ вида V{x,y) = Ux2 +у2) +
+bx2y2 -c{x2 +y2)2 + dx2y2{x2 + y2)+e(x2 + y2)\ где параметры выбраны из
следующей области их изменения: о0, е>0,
c2>3e/2, (b-4с) <6(d + 4e), которые обеспечивают финитность
движения, а также наличие единственного минимума в начале координат с F(0,0) = 0 и четырех периферийных минимумов.
В разделе 3.4 методом самосогласованного базиса решено уравнение Шредингера для C4v симметричного гамильтониана.
В главе 4 с применением символьно-численных компьютерных методов, развит аналитический способ приближенного решения уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов и найдено решение задачи обтекания частицы сфероидальной формы в вязкой несжимаемой жидкости при малых относительных перепадах температуры.
В работе рассматривается случай, когда зависимость динамической вязкости от температуры выражена формулой jum = цс{Т„), Fn= const [31]
(здесь и всюду ниже индексом «е» помечаем параметры жидкости обтекающей частицу, индексом « оо » те же параметры, но на бесконечности). В разделе 4.1 формулируется задача обтекания сплюснутого сфероида потоком жидкости, который параллелен его оси вращения при малых относительных перепадах температуры. Здесь удобно перейти в систему координат, в которой сфероид предполагается находящимся в покое в начале координат, а жидкость имеет на бесконечности скорость Un, направленную в
сторону положительных значений оси z. Благодаря существующей симметрии, течение является осесимметричным.
В разделе 4.2 изложен способ решения задачи обтекания сфероида потоком жидкости на основе метода функции тока [32], в рамках которого, была получена формула для действующей на сфероид силы в виде
Fs=6xafieUJLX9 (23)
где К^ - поправочный коэффициент к известному закону Стокса для
сферической частицы, выражаемый формулой:
*.=
(23а)
и который путём разложения второго множителя в ряд, может быть представлен в виде
Л>1
4(w + l)
ЕЙ)"
з^лГй
2л+1
К =
(236)
to 7 (2и + 3)(2« + 1)^2
4 1
ЗлДо^ f Г 1У 4(^ + 1)До"+3 *(Л* Л
где' X = shs, Aq =
1-1/2
, Д0 - значение переменной Я на поверхности
сплюснутого сфероида.
В разделе 4.3 решена задача обтекания сфероида вязкой несжимаемой жидкостью без использования функции тока. Расчеты на ЭВМ показали с большой точностью совпадение значений коэффициентов К3 и Кх в данном
случае. Это означает, что использованный в нашей работе метод может быть применён и при больших перепадах температуры, когда затруднительно использовать метод функции тока. Разработан алгоритм и составлена символьно-численная программа в среде Maple, при помощи которой получены результаты, полностью совпадающие с результатами, полученными ранее.
В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
В приложении приведена программа SELFA_C4V для решения двумерного симметричного уравнения Шредингера с ППЭ, которая имеет пять локальных минимумов.
Алгоритм решения задачи на собственные значения методом самосогласованного базиса
Алгоритм символьно-численного решения стационарного двумерного уравнения Шредингера можно назвать комбинированным или символьно-численным. Под этим понимается алгоритм, который сочетает в себе аналитические преобразования исходной задачи с последующим численным решением уже преобразованной задачи. Поэтому алгоритм разбивается на два основных этапа: аналитических преобразований и численного решения. Этап 1. Аналитический 1. Ввод потенциальной части гамильтониана V(x,y), заданной в декартовых координатах. 2. Переход от декартовых (ж, у) к полярным координатам (г, ср). 3. Представление решения и(г, р) уравнения (1.1.2), (1.1.3) в виде тригонометрического ряда (1.1.4). 4. Ввод числа Neq уравнений в системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. 5. Вычисление числа п = 2Neq — 1 гармоник, учитываемых при разложении решения основного уравнения (1.1.1) по базисным функциям sin V и coslfcp в соответствии с (1.1.5) и (1.1.6), которое необходимо для получения требуемого количества дифференциальных уравнений системы ОДУ второго порядка (1.1.7). 6. Получение полной (то есть без учета симметрии уравнения
Шредингера (1.1.7)) однородной линейной системы ОДУ второго порядка размерностью п при помощи разложения основного уравнения (1.1.1) по базисным функциям sml tp и cos і ір в соответствии с (1.1.5) и (1.1.6). 7. Отбор Neq уравнений необходимого типа из полной системы ОДУ второго порядка. 8. Получение системы ОДУ dsys первого порядка (1.1.7) из системы (1.1.8). 1. Ввод начальных данных: а, а , Ь, с - параметры исходного гамильтониана, Дв Дяиі " диапазон поиска корней уравнения D(E) = 0 при решении однородной системы алгебраических уравнений (1.1.11), r0, Rend - граничные точки. 2. Построение численной процедуры DeteN вычисления детерминанта D{E): ввод матрицы начальных данных Mimt в левой граничной точке г0 для нахождения линейно независимых решений системы дифференциальных уравнений первого порядка, получение 2Neq частных решений SOLN системы (1.1.8), построение матрицы решений Mend на основе результатов предыдущего шага, получение матрицы граничных условий Mbord, вычисление определителя матрицы МЬоЫ. 3. Нахождение корней (собственных значений определенного типа уравнения) уравнения численной функции D{E) - детерминанта системы (1.1.11) в указанном диапазоне энергий (Ein,Eend). 4. Построение собственных функций в виде (1.1.4) на основе сингулярного разложения Mbord, соответствующей своему собственному значению Ej - конкретному корню уравнения D(E) = О 5. Получение волновых функций в декартовых координатах и визуализация результатов. Разработанная программа и ее листинг в применении для C4v приведены в Приложении А.
Решение уравнения Шредингера для С3у симметричного двумерного гамильтониана
В последнее время внимание ученых сосредоточено на исследованиях задач, которые связаны с решением нелинейных дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений (см., например, [1-14]). С помощью программ аналитических вычислений исследователям удается провести огромную вычислительную работу и проанализировать многие ранее трудно решаемые задачи (см., например, [15-21]).
Дифференциальные уравнения и динамические системы, которые ими описываются, возникают при описании явлений, происходящих в различных областях науки и техники. Основная задача - получить разностороннюю информацию о таких явлениях, на основе решений соответствующих дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.
Первые методы интегрирования дифференциальных уравнений и систем были предложены в работах Ньютона, Лейбница, Эйлера и далее развиты такими математиками, как Лагранж, Пуассон, Лиувилль, Пуанкаре, Ляпунов и др. Основной идеей, лежащей в основе этих работ было предположение о том, что решение уравнений и систем всегда может быть представлено в виде некоторого выражения от известных функций, в частности в виде различного рода рядов. Позже для описания свойств уравнения, которые позволяют получить всю общую и частную информацию о математической модели, было введено и обобщено понятие интегрируемости. Однако применение этих методов без применения быстродействующих электронных вычислительных машин крайне затруднительно.
Точные, то есть решения в явном аналитическом виде для большинства дифференциальных уравнений найдены в исключительных случаях. [22-26].
Поэтому, например, для решения задач на собственные значения, в частности стационарного уравнения Шредингера, разработано достаточно большое число различных как аналитических, так и численных методов [27-53].
При этом оказывается, что точность вычислений спектра и волновых функций ухудшается, если квантовая система допускает существование динамического хаоса в классическом пределе [54-55]. Для установления взаимосвязи между свойствами квантовых характеристик и режимом классического движения необходимо рассматривать классический и квантовый случаи для данной системы одновременно [56-67].
Так как вычисления всегда ограничены возможностями даже современных быстродействующих компьютеров, а универсального метода не существует, то приходится искать наиболее оптимальные вычислительные методы для решения конкретных задач. Перспективным современным подходом представляются комбинированные или символьно-численные методы, которые сочетают аналитические преобразования с последующим численным решением исходной задачи с использованием современных систем компьютерной алгебры (СКА).
В диссертационной работе развивается новый, так называемый метод самосогласованного базиса, с помощью которого найдены решения двумерного уравнения Шредингера с поверхностью потенциальной энергии с несколькими локальными минимумами, а также метод нахождения решения линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов с применением современных символьно-численных технологий.
Решение уравнения Шредингера с одноямным потенциалом методом самосогласованного базиса
Большинство дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, которые возникают в математике, физике и других естественных науках, не интегрируется в квадратурах. Как правило, для них не существует и универсальных численных методов нахождения решений. К таким уравнениям относятся, в частности, стационарное двумерное уравнение Шредингера (при решении для него задачи на собственные значения) и уравнение Навье-Стокса. Настоящая диссертационная работа и посвящена исследованию решений этих уравнений с помощью систем компьютерной алгебры (СКА).
Разработка новых методов, как аналитических, так и численных, и особенно символьно-численных, реализация этих методов в виде программных средств с использованием современной эффективной СКА MAPLE и использование этих программ для исследования ряда важных математических моделей классической и квантовой механики является актуальной проблемой математического моделирования сложных физических систем.
В последние десятилетия в связи с активным исследованием детерминированного хаоса в классических системах возникла проблема исследования их квантовых моделей [68-70]. Существование хаотического движения и смешанных состояний (когда при одной и той же энергии в разных потенциальных ямах сосуществуют два типа движений: хаотическое и регулярное) и квантовые эффекты туннелирования приводят к дополнительным вычислительным трудностям в решении соответствующих уравнений при квантово-механическом рассмотрении [54,62]. Аналогично исследование наноструктур, для математического моделирования которых необходимо применять квантовые уравнения, также приводит к решению задач на собственные значения [71-73].
Использование прямых численных способов решений этих задач не всегда приводит к цели, так как численные расчеты имеют большую неточность по сравнению с аналитическими, а также ограничены возможностями даже современных вычислительных систем. В ситуации, когда универсального способа получить решение не существует, приходиться искать более оптимальные вычислительные методы для конкретных математических моделей.
В диссертационной работе, на основе СКА, развиты метод самосогласованного базиса, с помощью которого найдены решения двумерного уравнения Шредингера с поверхностью потенциальной энергии с несколькими локальными минимумами, и метод обобщенных степенных рядов интегрирования линеаризованного при определенных условиях уравнения Навье-Стокса.
Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов и программ с использованием современной СКА Maple для решения задач на собственные значения для двумерных дифференциальных операторов Шредингера и проведение с их помощью численных исследований ряда математических моделей классической и квантовой механики, а также интегрирования уравнения Навье-Стокса,
Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи: 1. Разработка алгоритмов и программ для символьно-численного решения задачи на собственные значения для операторов: а) двумерного С,,, инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума; б) двумерного C3v инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, в) двумерного C4v инвариантного полиномиального гамильтониана с пятиямным потенциалом; 2. Разработка аналитического способа приближенного решения уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов и программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований для решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с регулярной особой точкой. Использование этой программы для интегрирования линеаризованного уравнения Навье-Стокса с заданными граничными условиями при условии, когда перепад температуры мал.
Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, математического анализа, математической физики, численного анализа, компьютерной алгебры, вычислительной математики, использование прикладных пакетов программ.
Научная новизна. Разработаны алгоритмы и в среде MAPLE составлены символьно-численные программы, с помощью которых проведены вычисления энергетического спектра и волновых функций. Составленные программы позволили осуществить дальнейшее развитие метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для C2v, C3v и C4v симметричных двумерных полиномиальных гамильтонианов,
Классическая динамика С4У симметричной двумерной системы, поверхность потенциальной энергии которой имеет пять локальных минимумов
Данная работа носит теоретический и практический характер. Результаты работы могут быть использованы для исследования динамики нелинейных классических гамильтоновых систем и для решения двумерных уравнений Шредингера.
Разработанные символьно-численные алгоритмы и созданные на их основе комбинированные программы, реализованные на языке MAPLE, могут быть использованы для решения задач на собственные значения двумерных дифференциальных операторов Шредингера с полиномиальными потенциалами. Предложенный символьно-численный метод приближенного решения уравнения Навье-Стокса может быть использован для исследования процессов обтекания частиц произвольной формы и при произвольных перепадах температуры. Положения, выносимые на защиту. 1. Символьно-численный метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного C2v, инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций. 2. Развитие символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С3г инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций. 3.
Обобщение символьно-численного метода самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного С4„ инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет пять локальных минимумов, результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций. 4. Символьно-численный метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой и решение линеаризованного уравнения Навье-Стокса в виде обобщенных степенных рядов в задаче обтекания нагретой частицы сфероидальной формы вязкой несжимаемой жидкостью при малых перепадах температуры и результаты численных расчетов. Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений, математического анализа, методов математической физики и применением методов численного анализа, а также исследованием точности полученных результатов в зависимости от параметров решаемых задач при символьно-численных вычислениях и воспроизведением имеющихся в литературе результатов, полученных другими методами и другими авторами. Апробация результатов.
Основные результаты диссертационной работы были представлены и докладывались на конференциях: VIII Международная конференция по математическому моделированию (Феодосия, 12-16 сентября, 2006); The 2nd International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (Kharkov, Ukraine, September 19-23, 2006); Международная научная конференция для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Украина, Харьков, 23-25 марта 2007); Международная молодежная научная конференция «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, 3-7 апреля, 2007); XLIII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 23-27 апреля, 2007); Международная конференция «Компьютерная математика в образовании и научных исследованиях» (Феодосия, 10-15 сентября 2007); XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 21-25 апреля, 2008); Международная конференции по математическому моделированию (Феодосия, 15-20 сентября 2008), Международная научная конференция «X Белорусская математическая конференция» (Беларусь, Минск, 3-7 ноября 2008), на семинарах кафедры математического анализа БелГУ. Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3.11 2000 г., с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-02-16263). Личный вклад автора. Автор диссертации самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и получил результаты, представленные в диссертации. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим.
