Содержание к диссертации
Введение
1. Производящие функции для индексов влияния 15
1.1. Вычисление индексов влияния с помощью производящих функций 15
1.1.1. Индекс Банцафа и индекс Шепли-Шубика 16
1.1.2. Индекс Холлера и индекс Дигана-Пакела 19
1.2. Индекс Хеде-Баккера в терминах производящих функций 27
1.2.1. Индекс Хеде-Баккера 27
1.2.2. Модификация индекса Хеде-Баккера 31
1.2.3. Индекс Хеде-Баккера в терминах производящих функций 34
2. Производящие функции для нахождения п-ядра и составления комитетов 44
2.1. п-ядро для игр голосования 44
2.2. Производящие функции для процедуры выбора комитета 58
2.2.1. Процедуры минисуммы и минимакса 58
2.2.2. Производящие функции для процедур минисуммы и минимакса 63
3. Применение метода производящих функций при вычислении индексов влияния партий в выборных органах 68
3.1. Определение силы влияния партий Государственной думы Российской Федерации I-V созывов 69
3.1.1. Первый созыв 69
3.1.2. Второй созыв 71
3.1.3. Третий созыв 75
3.1.4. Четвертый созыв 78
3.1.5. Пятый созыв 80
3.2. Определение силы влияния партий в Законодательном собрании Забайкальского края первого созыва 82
3.3. Моделирование игр голосования с влиянием одних игроков на других 85
Заключение 89
Библиографический список 91
Приложение 98
- Индекс Хеде-Баккера в терминах производящих функций
- Индекс Хеде-Баккера в терминах производящих функций
- Производящие функции для процедуры выбора комитета
- Определение силы влияния партий в Законодательном собрании Забайкальского края первого созыва
Введение к работе
Актуальность темы.
Игры голосования являются частью кооперативной теории игр. Первые работы по анализу роли игроков в коалиции принадлежат Л. Шепли [56,57]. Вектор Шепли широко используется в различных прикладных задачах, связанных с принятием решений в управлении сложными социальными и экономическими системами. Развитие современной теории кооперативных игр характеризуется разработкой методов, позволяющих более глубоко описывать процессы принятия коллективных решений. Одним из таких методов является анализ распределения влияния участников в органах, осуществляющих коллективное принятие решений, таких, как выборные органы и органы коллегиального управления. Проблема распределения влияния привлекает внимание именно потому, что без учета этого феномена принятие решений не может корректно моделироваться.
В выборных органах, например, парламентах, решения принимаются путем голосования. Решение считается принятым, если число голосов, поданных за него, превышает некоторую квоту, которая определяется конкретной процедурой голосования (например, наиболее распространенная процедура -
"простое большинство голосов", в которой для принятия решения требуется более 50% голосов "за"). При наличии трех или более партий в парламенте вполне возможно, что ни одна из них не обладает числом голосов, превосходящим заданную квоту, и, следовательно, не может в одиночку обеспечить принятие решений; таким образом, для проведения решений партиям необходимо вступать в коалиции. Важную роль играют коалиции, которые могут обеспечить необходимое большинство.
После работы Шепли появились различные исследования в области теории кооперативных игр. Важные результаты в этой области представлены Шмайдлером, Банцафом, Холлером, Шубиком, Диганом, Пакелом в [27,34,36,37,41,44,51,54,55].
Коалиция называется выигрывающей, если она может принять решение без голосов остальных партий. В противном случае коалиция называется проигрывающей. Чем больше коалиций, которые данная партия делает выигрывающими, тем больше у нее возможностей влиять на исход голосования. На первый взгляд, влияние партии напрямую зависит от числа её голосов. Чтобы проиллюстрировать, что это не совсем так, рассмотрим пример. Пусть парламент, состоящий из 99 мест, представлен 3 партиями А, В, С с числом голосов каждой партии равным 33. Правило принятия решений - простое большинство, т.е. 50 голосов. В этом случае выигрывающие коалиции: А+В, А+С, В+С, А+В+С, т.е. любая партия делает выигрывающими две парные коалиции. В силу симметрии, очевидно, что все партии имеют одинаковое
влияние. Теперь представим себе, что распределение мест в этом парламенте изменилось и у партий А и В стало по 48 голосов, а у партии С только 3 голоса. Однако, выигрывающие коалиции остались те же, и партия С, несмотря на резкое уменьшение числа голосов, делает выигрывающими то же число коалиций, что и остальные партии, т.е. возможности всех партий влиять на исход голосования по-прежнему одинаковы. Приведенный пример показывает, что число голосов не является точным показателем влияния партии. Поэтому вводятся индексы влияния, измеряющие степень влияния партии в парламенте на основании числа коалиций, которые партия делает выигрыва.-ющими.
Наиболее известны следующие индексы:
Индекс Шепли-Шубика для игры голосования G — (N, W),
Sh{G) = (ShiG), ...,Shn(G)), где
Shk(G) = ^ (fc = l,..,n), (1)
Pk - число коалиций, в которых игрок к является ключевым.
Индекс Банцафа для игры голосования G — (TV, W),
Bz(G) = (BZl(G),...,Bzn(G)), где
Bzfc(G) = -=^-, (A: = 1,..., n), (2)
2-і Vj
щ - число коалиций, в которых игрок к является ключевым.
Индекс Пенроуза-Банцафа, также называемый ненормализованным или
абсолютным индексом Банцафа, для игры голосования G = (N, W),
PBz(G) = (PBZl(G),...,PBzn(G)), где
PBzk(G) = fk = ^-v (Л = 1,...,n), (3)
Pk ~ обозначает общее число коалиций, содержащих игрока к.
Индекс Дигана-Пакела для игры голосования G = (N, W),
DP{G) = {DP^G^.^DPniG)), где
DP^ = i Е ? (^ = 1,.-.^), (4)
SeM-.keS
М - набор всех минимальных выигрывающих коалиций, т - общее число выигрывающих коалиций, и s - число игроков в S.
Индекс Холлера для игры голосования G — (N, W),
Я(С) = (#і(С0,...,Яп(С0),где
Hk(G) = -^-, (к = 1,..., п), (5)
гпк - число минимальных выигрывающих коалиций, содержащих игрока к.
Индекс Шепли для игры голосования G = (N, W),
ip(G) = (v?i(G),...,
(s - l)!(n — s)! , , ....
^ ^ ЧФ) - v(s/i)), (6)
sciv n-
s - число игроков, входящих в рассматриваемую коалицию, п - общее
число игроков, v(s) - функция выигрыша рассматриваемой коалиции,
v(s/i) - функция выигрыша этой коалиции без зафиксированного игрока.
Эти индексы применяются в политической теории при анализе распределения влияния в выборных органах.
Кроме теоретического исследования, важную роль играет практическое применение индексов влияния для определения влияния партий в выборных органах. Значительное число работ посвящено исследованию разнообразных институтов власти: Государственных Дум Российской империи, Совета Министров Евросоюза, парламентов Японии, Германии, России. Кроме того, индексы находят широкое применение не только в политике, но и в экономике, экологии, менеджменте, юриспруденции и других науках [1,24,25,26,51,54,59].
Перечисленные индексы не учитывают возможного влияния одних игроков на других. Такое влияние учитывает индекс Хеде-Баккера:
HBk(gd(B)) = ^i gd(Bp), (7)
где gd(Bp) - коллективное решение.
Этот индекс был предложен в 1982 году. Некоторые его свойства были рассмотрены в [40,52,53]. Кроме того, А.Русиновской и Де Свартом был предложен обобщенный индекс Хеде-Баккера:
GHB{gd{B)) = і ( J2 9d(Bp) - J2 9d{Bp)\ , (8)
\p:pk=l P-Pk=0 /
который охватывает большее число игр голосования, нежели индекс Хеде-Баккера.
Кроме голосования "за" или "против" какого-либо решения, в управляющих органах и в административном аппарате разнообразных организаций
проходят выборы комитетов или представительских групп. Такая ситуация также была описана, и для ее разрешения были предложены процедуры ми-нисуммы и минимакса [31]. Кроме того в [31] предлагаются два способа измерения веса отдельного бюллетеня: индексный вес и вес близости. В зависимости от способа измерения весов бюллетеней и использования процедур минисуммы или минимакса в игре могут получаться разные результаты.
Практическое применение всех вышеперечисленных индексов и процедур весьма трудоемко, так как алгоритм их применения основан на полном переборе всевозможных комбинациіі партий, игроков, кандидатов. Упростить этот процесс можно с помощью применения производящих функций.
Производящей функцией некоторой последовательности {ап} называется сумма:
G{x) = aQ + aix + а2х2 + ... + апхп + ... (8)
Для индексов Шеили-Шубика и Банцафа производящая функция была определена и описана в работах [28,30,46].
Цель диссертационной работы заключается в построении комплекса методов и алгоритмов для вычисления индексов влияния и других теоретико-игровых характеристик в процедурах голосования с использованием производящих функций.
В работе проведено исследование следующих теоретико-игровых моделей:
игра голосования без влияния игроков друг на друга;
игра голосования с влиянием игроков друг на друга;
3. игра голосования для выбора комитета. Научная новизна работы.
Для игры голосования получено представление индексов Холлера, Дигана-Пакела, индекса Хеде-Баккера и его модификации с помощью производящих функций. Для индекса. Хеде-Баккера оператор перехода от векторов предпочтений к векторам решений представлен в линейной форме.
Для игр взвешенного голосования 3-х и 4-х лиц найдены точные выражения для n-ядра, выявлена взаимосвязь n-ядра в играх для п — 1 и п игроков.
Для игры голосования с выбором комитета предложен алгоритм для процедур минисуммы и минимакса, использующий производящие функции.
Практическую ценность работы представляет разработанный комплекс методов и алгоритмов для анализа, ситуаций в выборных органах.
Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения:
1. Получено представление индексов Холлера, Дигана-Пакела, Хеде-
Баккера и обобщенного индекса Хеде-Баккера в терминах производящих
функций.
Найден вид n-ядра во взвешеной игре голосования с 3-мя и 4-мя игроками и условия для связи n-ядра в играх для п-1 и п игроков.
Для игры голосования с выбором комитета разработаны алгоритмы определения выигрывающего комитета, использующие производящие функции.
4. Разработан комплекс программ для вычисления индексов Холлера, Дигана-Пакела и определения выигрывающего комитета в пакете символьных вычислений Mathematica.
Апробация работы. Результаты работы обсуждались и докладывались на следующих конференциях:
1. Межвузовская конференция "Проблемы прикладной математики",
г.Чита, ЗабГПУ, 5-7 мая 2005г.
Городская научная конференция к 100-летию Государственной Думы России "Российский парламентаризм: история и современность", г.Чита, 25-26 апреля 2006 г.
Всероссийская научно-практическая конференция "Выборы депутатов Государственной Думы Федерального собрания Российской Федерации в условиях демократизации Российского государства", г.Чита, 26-27 октября 2006 г.
V Московская международная конференция по исследованию операций (ORM-2007), посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Моисеева, г.Москва, 10-14 апреля 2007 г.
5. II Международная конференция по Теории игр и Менеджменту
GTM2008, г.Санкт-Петербург, 26-27 июня, 2008 г.
По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из них - 9 статей [6,7,8,9,11,12,13,14,15] и тезисы двух докладов [10,47].
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех
глав, заключения и библиографического списка; включает 106 страниц, 26 таблиц, 10 рисунков и 1 приложение.
Во введении отражена актуальность работы, поставлена цель исследования, обоснована новизна работы, дан краткий исторический обзор проблематики, сформулированы положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.
В первой главе рассматриваются индексы Банцафа, Шепли-Шубика, Холлера, Дигана-Пакела, Хеде-Баккера и обобщенный индекс Хеде-Баккера.
Доказаны теоремы о представлении индексов Холлера и Дигана.-Пакела в терминах производящих функций.
Для игры голосования с влиянием игроков друг на друга оператор перехода от векторов предпочтений к векторам решений представлен в линейной форме. Предложено разделение игроков на три непересекающихся множества: влияющих игроков; игроков, подверженных влиянию; независимых игроков. Для такой игры найдено представление индекса Хеде-Баккера и обобщенного индекса Хеде-Баккера в терминах производящих функций.
Во второй главе найдены точные выражения для n-ядра в играх взвешенного голосования 3-х и 4-х лиц, сформулирована теорема о связи п-ядра в играх голосования для п-1 и п игроков.
Рассмотрена задача выбора комитета. Игра состоит в следующем: избиратели заполняют бюллетени, в которых указывают предпочтительный состав комитета. Необходимо определить состав комитета, который бы удовлетворил
наибольшее число избирателей. Описаны процедуры минисуммы и минимакса, основанные на методе полного перебора всевозможных комбинаций состава комитета. Предложен алгоритм для процедур минисуммы и минимакса, использующий производящие функции.
В третьей главе представлены результаты применения метода производящих функций для определения индексов влияния партий в выборных органах.
Для исследования были использованы данные о составе Государственной Думы Росийской Федерации I-V созывов. Для всех партий, составляющих Думу в пяти созывах, с помощью производящих функций определены индексы влияния при двух традиционных значениях квоты: квоты простого большинства и квоты квалифицированного большинства. Кроме того, для некоторых созывов рассмотрены две ситуации: первая - депутаты, не примкнувшие ни к какой партии голосуют вместе, как одна партия; вторая -депутаты голосуют независимо друг от друга, как несколько партий, состоящих из одного человека. Также рассмотрена ситуация в Законодательном собрании Забайкальского края первого созыва. Представлены и проанализированы данные на начало работы Заксобрания, и на текущий период. К депутатам, не присоединившимся ни к какой партии, также было применено два подхода.
Проведено моделирование, поведения партий на основе данных о составе Законодательного Собрания Забайкальского края. Для разных сценариев по-
ведения определен индекс Хеде-Баккера.
В заключении представлены результаты, полученные в ходе исследования в рамках диссертационной работы.
Список использованной литературы включает 59 наименований.
Приложение содержит численное моделирование индексов Холлера и Дигана-Пакела для данных по Законодательному собранию Забайкальского края 1-го созыва и алгоритм определения выигрывающего комитета в игре с выбором комитета с помощью пакета Mathematica.
Индекс Хеде-Баккера в терминах производящих функций
Основные понятия, рассмотренные здесь, были введены Хеде и Бакке-ром в работе [40]. Рассмотрим ситуацию, в которой п 1 игроков должны одобрить (принять) или отклонить (не принять) некоторое решение. Пусть N = {1, ...,п} - набор всех игроков. Предположим, что каждый игрок имеет предпочтение проголосовать "за" (обозначим 1) или проголосовать "против" (обозначим 0). Пусть р - вектор предпочтений, он состоит из п компонент, 1 и 0, и указывает предпочтения игроков, и пусть Р - набор всех векторов предпочтений. \Р\ = 2п. Первоначальное решение игрока- это его предпочтение. Предположим, что в процессе игры одни игроки могут влиять на других, поэтому окончательное решение некоторых игроков может отличаться от их первоначального решения.
В результате, каждый вектор предпочтений р Є Р переходит в вектор решений 6, который также состоит из п компонент (0 и 1) и показывает, какие окончательные решения были сделаны игроками. В [40] рассмотрен оператор В : Р — В(Р), то есть, b = Вр, где В(Р) - набор всех векторов решения. Введем коллективное решение gd, которое является функцией, определенной на векторах решений Ь. Пусть эта функция принимает значение +1, если число игроков, проголосовавших "за", не меньше, чем q, и -1 - в противном случае. Здесь q - число голосов, достаточное для принятия решения (квота). Пусть рс = (р\, ...,Рп) обозначает дополнение р Є Р, то есть для каждого Обозначим gd(B) - композиция В и gd. Следуя Хеде и Баккеру, введем следующие аксиомы:
При заданном gd(B) индекс Хеде-Баккера игрока к Є N определяется как Некоторые свойства индекса Хеде-Баккера были исследованы А. Русинов-ской и Де Свартом, также ими было предложено несколько модификаций этого индекса [52], [53]. Воспользуемся тем же алгоритмом, что и в [40], но для линейного оператора В. где В = (Pjk)J!k=T - матрица влияния. 0, если игрок к не влияет на игрока j, 1, если игрок к влияет на игрока j. 0, если игрок j подвержен влиянию, 1,если игрок j не подвержен влиянию. Отметим, что такую игру можно представить в виде графа (без циклов), показывающего влияние одних игроков на других. Назовем такой граф общественной сетью. При этом мы не рассматриваем случаи одновременного влияния нескольких игроков на одного. По заданному графу строим матрицу В. Для нахождения числа игроков, проголосовавших "за", найдем скалярное произведение
Индекс Хеде-Баккера в терминах производящих функций
Ранее мы рассмотрели процедуру принятия решений выборным органом путем голосования. Процедура голосования применяется также и при выборе комитета. Комитеты могут избираться как в выборных органа.х, так и в административном аппарате различных учреждений; например, выборы совета факультета, выборы аудиторской комиссии и др. В [28] были предложены процедуры минисуммы и минимакса для выбора комитета. Рассмотрим их. Пусть дано п избирателей и к кандидатов. Каждый избиратель в своем бюллетене может проголосовать за стольких кандидатов, сколько соответствуют его предпочтениям. Такой вид голосования называется голосованием одобрения. При голосовании одобрения каждый избирательный бюллетень -это бинарный /с-вектор, (pi, ...,Рк), где pi равно 0 или 1. Эти бинарные векторы указывают одобрение или неодобрение каждого кандидата избирателем. Для обозначения выбранных комитетов мы будем пользоваться подобными бинарными векторами. Чтобы упростить запись, мы запишем избирательный бюллетень такой, как, например, (1,1,0), в виде 110. Это означает, что избиратель одобряет первого и второго кандидата и не одобряет третьего. Число различных избирательных бюллетеней или, что то же самое, число возможных результатов выбора, равно 2 . Пусть q = 2 и 4 избирателя заполняют бюллетени для трех кандидатов следующим образом: 1 избиратель: 100 1 избиратель: 110 2 избирателя: 101 Видно, что кандидат № 1 получил одобрение от всех 4-х избирателей, кандидат № 2 - от 1-го, и кандидат № 3 - от 2-х. То есть кандидаты № 1 и №3 избраны, а №3 - нет. Определение 2.4. Расстоянием Хемминга между двумя избирательными бюллетенями р и q, называется d(p,q), равное число компонент, которыми они отличаются. Например, для избирательного бюллетеня 110 расстояния Хемминга будут следующими (Таблица 2.3):
Теперь обратим внимание не на индивидуальные избирательные бюллетени, а на различные избирательные бюллетени и число раз, которое каждый из них был учтен. Например, комитеты 100 и 101 минимизируют сумму расстояний Хемминга для всех избирателей в нашем примере, это эквивалентно тому, что сумма растояний Хемминга всех различных избирательных бюллетеней имеет вес числа избирателей, заполнивших каждый из них. Определение 2.5. Индексным весом бюллетеня называется число его повторений. Процедура минисуммы состоит в определении минимума среди суммарных значений произведения расстояния Хемминга и весов всевозможных бюллетеней. Процедура минимакса состоит в определении минимума среди максимальных значений произведения расстояния Хемминга и весов всевозможных бюллетеней. Таблица 2.4 показывает индексные веса бюллетеней примера 2.2. во всех восьми возможных случаях создания комитета. ( отмечены минимальные значения) Ясно, что здесь два комитета-победителя: 100 и 101, чьи суммы минимизируют сумму расстояний Хемминга. В нашем примере такой комитет всегда содержит кандидата № 1, и может содержать или не содержать кандидата № 3. Рассмотрим другой способ определения комитета, представляющего интересы большинства слоев электората. Вместо поиска комитета, который минимизирует сумму индексных весов по всем избирательным бюллетеням, найдем комитст(ы), который(е) минимизирует(ют) максимум индексных весов. В нашем примере это три комитета: 100, 101 и 111. Помимо индексного веса, каждый бюллетень обладает весом близости. Веса близости отражают число избирателей, заполнивших каждый из различных избирательных бюллетеней. Но они также включают информацию о близости избирательного бюллетеня ко всем остальным избирательным бюллетеням, основанную на расстояниях Хемминга. Чем бюллетень ближе к большему числу избирательных бюлетеней, тем большее влияние он имеет при определении комитета. Определение 2.6. Вес близости избирательного бюллетеня qi есть где rrij - число избирателей, заполнивших избирательный бюллетень qi = (ОІІ -ЧЯП) и число различных заполненных избирательных бюллетеней. Знаменатель дроби - сумма расстояний Хемминга между избирательным бюллетенем j и всеми остальными избирательными бюллетенями (включая j). Процедуру минисуммы с весами близости проиллюстрируем на примере 2.2. Расстояние Хемминга избирательного бюллетеня 100 с ним самим, со 110 и с 101 равно 0, 1 и 1, соответственно. Поскольку эти избирательные бюллетени заполнены одним, одним и двумя избирателями, то избирательный бюллетень Избавимся для удобства от знаменателей, умножив их на 15; получим, что веса близости бюллетеней равны 5, 3, и 10, соответственно.
Заметим, что только комитет 101 минимизирует и сумму и максимум весов близости, в то время, как комитет 101 - также один из комитетов, выделенных критериями минисуммы и мииимакса, основанных на индексных весах. Это совпадение не обязательно будет нормой. В [28] показано, что результаты разных процедур могут быть антиподами. Пусть п избирателей голосуют за к кандидатов; избиратели заполняют п бюллетеней. Некоторые заполненные бюллетени могут повторяться. Пусть Используем для обозначения кандидатов метки jj, j — 1,..., к. Метки могут быть сокращены, если одновременно находятся в числителе и знаменателе одной дроби. Так, в примере 2.2. запись 7і7з означает комитет 101, 1 соответствует комитету 000. Опишем процедуру выбора комитета в терминах производящих функций. Составим последовательность всевозможных бюллетеней {0 , ,...,1 }. (2.4) к раз к раз к раз Последовательности бюллетеней (2.4) поставим в сответствие последовательность меток
Производящие функции для процедуры выбора комитета
Игры голосования являются частью кооперативной теории игр. Первые работы по анализу роли игроков в коалиции принадлежат Л. Шепли [56,57]. Вектор Шепли широко используется в различных прикладных задачах, связанных с принятием решений в управлении сложными социальными и экономическими системами. Развитие современной теории кооперативных игр характеризуется разработкой методов, позволяющих более глубоко описывать процессы принятия коллективных решений. Одним из таких методов является анализ распределения влияния участников в органах, осуществляющих коллективное принятие решений, таких, как выборные органы и органы коллегиального управления. Проблема распределения влияния привлекает внимание именно потому, что без учета этого феномена принятие решений не может корректно моделироваться.
В выборных органах, например, парламентах, решения принимаются путем голосования. Решение считается принятым, если число голосов, поданных за него, превышает некоторую квоту, которая определяется конкретной процедурой голосования (например, наиболее распространенная процедура "простое большинство голосов", в которой для принятия решения требуется более 50% голосов "за"). При наличии трех или более партий в парламенте вполне возможно, что ни одна из них не обладает числом голосов, превосходящим заданную квоту, и, следовательно, не может в одиночку обеспечить принятие решений; таким образом, для проведения решений партиям необходимо вступать в коалиции. Важную роль играют коалиции, которые могут обеспечить необходимое большинство.
После работы Шепли появились различные исследования в области теории кооперативных игр. Важные результаты в этой области представлены Шмайдлером, Банцафом, Холлером, Шубиком, Диганом, Пакелом в [27,34,36,37,41,44,51,54,55].
Коалиция называется выигрывающей, если она может принять решение без голосов остальных партий. В противном случае коалиция называется проигрывающей. Чем больше коалиций, которые данная партия делает выигрывающими, тем больше у нее возможностей влиять на исход голосования. На первый взгляд, влияние партии напрямую зависит от числа её голосов. Чтобы проиллюстрировать, что это не совсем так, рассмотрим пример. Пусть парламент, состоящий из 99 мест, представлен 3 партиями А, В, С с числом голосов каждой партии равным 33. Правило принятия решений - простое большинство, т.е. 50 голосов. В этом случае выигрывающие коалиции: А+В, А+С, В+С, А+В+С, т.е. любая партия делает выигрывающими две парные коалиции. В силу симметрии, очевидно, что все партии имеют одинаковое влияние. Теперь представим себе, что распределение мест в этом парламенте изменилось и у партий А и В стало по 48 голосов, а у партии С только 3 голоса. Однако, выигрывающие коалиции остались те же, и партия С, несмотря на резкое уменьшение числа голосов, делает выигрывающими то же число коалиций, что и остальные партии, т.е. возможности всех партий влиять на исход голосования по-прежнему одинаковы. Приведенный пример показывает, что число голосов не является точным показателем влияния партии. Поэтому вводятся индексы влияния, измеряющие степень влияния партии в парламенте на основании числа коалиций, которые партия делает выигрыва.-ющими.
Определение силы влияния партий в Законодательном собрании Забайкальского края первого созыва
Для игры голосования получено представление индексов Холлера, Дигана-Пакела, индекса Хеде-Баккера и его модификации с помощью производящих функций. Для индекса. Хеде-Баккера оператор перехода от векторов предпочтений к векторам решений представлен в линейной форме. Для игр взвешенного голосования 3-х и 4-х лиц найдены точные выражения для n-ядра, выявлена взаимосвязь n-ядра в играх для п — 1 и п игроков. Для игры голосования с выбором комитета предложен алгоритм для процедур минисуммы и минимакса, использующий производящие функции. Практическую ценность работы представляет разработанный комплекс методов и алгоритмов для анализа, ситуаций в выборных органах. Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения: 1. Получено представление индексов Холлера, Дигана-Пакела, Хеде Баккера и обобщенного индекса Хеде-Баккера в терминах производящих функций. 2. Найден вид n-ядра во взвешеной игре голосования с 3-мя и 4-мя игроками и условия для связи n-ядра в играх для п-1 и п игроков. 3. Для игры голосования с выбором комитета разработаны алгоритмы определения выигрывающего комитета, использующие производящие функции. 4. Разработан комплекс программ для вычисления индексов Холлера, Дигана-Пакела и определения выигрывающего комитета в пакете символьных вычислений Mathematica. Апробация работы. Результаты работы обсуждались и докладывались на следующих конференциях: 1. Межвузовская конференция "Проблемы прикладной математики", г.Чита, ЗабГПУ, 5-7 мая 2005г. 2. Городская научная конференция к 100-летию Государственной Думы России "Российский парламентаризм: история и современность", г.Чита, 25-26 апреля 2006 г. 3. Всероссийская научно-практическая конференция "Выборы депутатов Государственной Думы Федерального собрания Российской Федерации в условиях демократизации Российского государства", г.Чита, 26-27 октября 2006 г. 4. V Московская международная конференция по исследованию операций (ORM-2007), посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Моисеева, г.Москва, 10-14 апреля 2007 г. 5. II Международная конференция по Теории игр и Менеджменту GTM2008, г.Санкт-Петербург, 26-27 июня, 2008 г.
По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из них - 9 статей [6,7,8,9,11,12,13,14,15] и тезисы двух докладов [10,47]. Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка; включает 106 страниц, 26 таблиц, 10 рисунков и 1 приложение. Во введении отражена актуальность работы, поставлена цель исследования, обоснована новизна работы, дан краткий исторический обзор проблематики, сформулированы положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации. В первой главе рассматриваются индексы Банцафа, Шепли-Шубика, Холлера, Дигана-Пакела, Хеде-Баккера и обобщенный индекс Хеде-Баккера. Доказаны теоремы о представлении индексов Холлера и Дигана.-Пакела в терминах производящих функций. Для игры голосования с влиянием игроков друг на друга оператор перехода от векторов предпочтений к векторам решений представлен в линейной форме. Предложено разделение игроков на три непересекающихся множества: влияющих игроков; игроков, подверженных влиянию; независимых игроков. Для такой игры найдено представление индекса Хеде-Баккера и обобщенного индекса Хеде-Баккера в терминах производящих функций. Во второй главе найдены точные выражения для n-ядра в играх взвешенного голосования 3-х и 4-х лиц, сформулирована теорема о связи п-ядра в играх голосования для п-1 и п игроков. Рассмотрена задача выбора комитета. Игра состоит в следующем: избиратели заполняют бюллетени, в которых указывают предпочтительный состав комитета. Необходимо определить состав комитета, который бы удовлетворил наибольшее число избирателей. Описаны процедуры минисуммы и минимакса, основанные на методе полного перебора всевозможных комбинаций состава комитета. Предложен алгоритм для процедур минисуммы и минимакса, использующий производящие функции.
