Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ особенностей моделирования и управления выплавкой стали и путей повышения качества управления .:.; 11
1.1. Краткая характеристика объекта управления и существующих моделей управления 11
1.2. Анализ направлений выбора наиболее адекватной модели твердости стали 24
1.3. Анализ возможных подходов к решению задачи управления в , условиях стохастичности модели 33
1.4. Выводы и постановка задачи исследования 41 ;;
2. Разработка и исследование моделей прогнозирования твердости стали на основе нечетких продукционных правил 44
2.1. Построение функций принадлежности нечетких интервалов изменения массовой доли химических элементов 44
2.2 Алгоритм достижения адекватности модели прогнозирования твердости стали с последующей ее проверкой 52
2.3. Приведение модели TSK к матричному виду 66
2.4. Выводы по второй главе 67
3. Разработка и исследование алгоритма управления конечной твердостью стали
3.1. Анализ возможности управления на основе решения матричного уравнения 69
3.2. Постановка задачи оптимального управления 74
3.3. Разработка алгоритма решения задачи оптимального управления с моделью TSK 81
3.4. Экспериментальное определение области сходимости приближений к решению задачи квазиквадратичного программирования 90
3.5. Анализ и сравнение существующих моделей прогнозирования твердости стали и модели на основе нечетких продукционных правил.. 98 ;,
3.6. Апробация алгоритма управления конечной твердостью стали 100
3.7. Выводы по третьей главе 102
Заключение 103
Список используемой литературы
- Анализ направлений выбора наиболее адекватной модели твердости стали
- Анализ возможных подходов к решению задачи управления в , условиях стохастичности модели
- Алгоритм достижения адекватности модели прогнозирования твердости стали с последующей ее проверкой
- Разработка алгоритма решения задачи оптимального управления с моделью TSK
Введение к работе
Одной из важных задач управления технологическим процессом выплавки стали является обеспечение заданной твердости (прокаливаемости) стали, распределенной по глубине выплавляемого изделия. Достижение заданного распределения твердости осуществляется выбором многокомпонентного химического состава стали, наряду с заданием соответствующего технологического режима.
Для выбора необходимого химического состава на многих предприятиях используются математические модели в виде регрессионной зависимости твердости от процентного содержания химических элементов. Учитывая сложность построения такой зависимости во всем диапазоне изменения химического состава, на множестве допустимых значений концентраций элементов выделяются интервалы значений состава, заданной (но не любой) совокупности которых соответствует определенная, как правило, линейная, регрессионная модель зависимости. По сути, такой подход соответствует кусочно-линейной аппроксимации нелинейной, многофакторной зависимости. При этом возникает задача выбора модели наиболее адекватной заданным начальным условиям химического состава стали. Эта задача решается переборным методом на основе эмпирических соображений специалистов-экспертов управляющих выплавкой стали. По выбранной регрессионной модели осуществляется прогноз распределения твердости стали, на основе которого методом перебора выбирается необходимый химический состав. Неизбежные ошибки, связанные с экспертным выбором адекватной модели и химического состава приводят к снижению качества выплавляемой стали. Повысить эффективность управления и качество выплавляемой стали можно при получении прогноза на основе моделирования зависимости «состав-твердость» системой нечетких продукционных правил Токаги-Суджено-Канга (модель TSK) и оптимизации выбора химического состава стали в условиях стохастичности параметров регрессионных моделей. Таким образом, обуславливается актуальность задачи анализа и совершенствования моделей и алгоритмов управления твердостью выплавляемой стали в условиях нечеткой и стохастической неопределенности.
Тематика диссертационной работы соответствует научному направлению кафедры прикладной математики Воронежской государственной технологической академии «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» (№ г.р. 01200003664).
Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка и анализ моделей прогнозирования твердости и исследование численных методов оптимального управления процессом выплавки стали с заданной твердостью, которые позволят повысить эффективность управления процессом и качество выплавляемого металла.
Достижение сформулированной цели предусматривает решение следующих задач:
- анализ особенностей моделирования и управления процессом выплавки и возможных подходов к решению задачи совершенствования моделей прогнозирования и алгоритмов управления твердостью стали; - разработка на основе аппарата нечеткой логики и анализ модели прогнозирования твердости, наиболее адекватной классам толерантности химического состава;
- синтез модели и алгоритмов выбора химического состава по заданному распределению твердости стали и исследование этих моделей и алгоритмов в условиях стохастичности параметров разработанной модели прогноза;
- апробация моделей и алгоритмов управления выплавкой стали с заданной твердостью с использованием данных промышленной статистики.
Научная новизна. В работе получены результаты, характеризующиеся научной новизной:
- модель прогнозирования распределенной твердости стали в зависимости от её химического состава, основанная на нечетком логическом выводе и отличающаяся представлением системы нечетких продукционных правил типа TSK в виде системы квазилинейных уравнений для соответствующей совокупности точек измерения твердости;
- методика исследования модели управления, представленной в виде решения системы квазилинейных уравнений на предмет значимости смещения полученных оценок решения, основанная на процедуре проверки соответствия областей определения и значения зависимости при решении прямой и обратной задачи;
- модель выбора химического состава стали для обеспечения заданного распределения её твердости в виде задачи квадратичного программирования, сводящаяся к известной задаче о неподвижной точке; алгоритм численной оценки области сходимости метода последовательного приближения при решении задачи управления твердости стали, характерной особенностью которого являются сканирование координатного пространства: твердость стали - глубина измерения твердости стали.
Методы исследования. Использовались методы математической статистики и теории вероятностей, регрессионного и корреляционного анализа статистических данных, методы теории принятия оптимальных решений в условиях неопределенности, теории нечетких множеств и нечеткого логического вывода.
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретические результаты работы, полученные для управления системы химический состав стали - распределенная твердость, можно использовать для управления более общими системами типа «состав - свойства». С этих позиций теоретическое значение работы состоит в развитии методов моделирования и анализа моделей при решении задач управления системой «состав-свойство» в условиях стохастической и нечеткой неопределенности. Предложено новое представление системы нечетких продукционных правил типа TSK в виде системы квазилинейных уравнений, что дает возможность решения не только прямых задач (задач прогнозирования свойства по заданному составу), но решения обратных задач - по заданному свойству определение необходимого состава. Показано, что решение обратной задачи сводится к известному методу последовательных приближений. Практическое значение работы состоит в применении полученных теоретических результатов в моделировании и управлении зависимостью «состав-твердость» при плавке стали с многокомпонентным химическим составом. Получение адекватных моделей обеспечивающих прогнозирование распределенной твердости металла по заданному химическому составу позволяет отказаться в процессе управления плавкой от экспертного выбора наиболее адекватной модели из существующего комплекса регрессионных кусочно-линейных зависимостей. Более того, появляется возможность автоматического определения химического состава плавки по заданному распределению твердости стали. Модели и алгоритмы, оформленные в виде программного комплекса управления плавкой дают возможность существенно повысить качество выплавляемой стали при снижении трудозатрат на управление.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на отраслевой научно-практической конференции «Системы автоматизированного управления производствами, предприятиями и организациями горнометаллургического комплекса» (Старый Оскол, 2003); региональной научно-практической конференции «Современные проблемы технического, естественно-научного и гуманитарного знания» (Губкин, 2004); научно-технической конференции ОАО ОЭМК (Старый Оскол 2005); региональной научной конференции «Образование, наука, производство и управление» (Старый Оскол, 2005); третьей конференции молодых специалистов «Металлургия XXI века» (Москва, 2007); всероссийской конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Ярославль, 2007); международной научной конференции «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта 2007); международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж 2007), научно - технической конференции ОАО ОЭМК (Старый Оскол 2007), четвертой конференции молодых специалистов «Металлургия XXI века» (Москва, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в десяти работах, две из которых опубликованы в изданиях рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата лично соискателю принадлежат: [1,4,6,9,10] - разработка и исследование математических моделей зависимости распределенной твердости стали от её химического состава; [2] - методика оценки значимости смещения при решении обратной задачи; [3,5,8] - алгоритм выбора химического состава при решении обратной задачи; [7] - обоснование системы допущений при моделировании зависимости твердость - химический состав стали.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Основная часть диссертации изложена на 117 страницах машинописного текста и содержит 19 рисунков, 18 таблиц. Список литературы включает 101 наименование. Приложение на 14 страницах машинописного текста, содержит 4 рисунка и 17 таблиц.
В первой главе проведен анализ особенностей моделирования и управления процессом выплавки стали с заданным распределением твердости y(h) по глубине изделия h. Описан существующий подход применения моделей прогнозирования твердости при управлении, основанный на использовании системы регрессионных зависимостей «STAHL-EISEN-Prutblatter» института стали VDEh (Германия). Рассмотрены подходы к выбору химического состава плавки обеспечивающего достижение требуемой твердости стали, на основе линейной регрессионной зависимости.
Вторая глава посвящена построению модели TSK для специфических условий управления выплавкой стали. Решаются задачи: фаззификации интервалов изменения химического состава; фаззифиикации соответствия входного химического состава модели TSK классам интервалов и объединений интервалов; проверке адекватности модели TSK на данных промышленной статистики и представление модели TSK в матричном виде.
В третьей главе рассматривается решение обратной задачи -отыскание вектора х по заданному вектору у. Показано, что решение задачи управления в виде решения системы линейных уравнений приводит к значимой величине смещения значений концентраций химических компонент. Альтернативным подходом к решению предложена задача квазиквадратичного программирования, решение которой осуществляется на основе метода последовательного приближения. Приводится численная оценка области сходимости процедуры последовательного приближения. Дано краткое описание программного комплекса, реализующего предложенные в работе модели и алгоритмы.
Анализ направлений выбора наиболее адекватной модели твердости стали
Поскольку разрабатываемая система управления выплавкой стали основывается на существующей системе регрессионных моделей прогнозирования твердости вида (1.3), необходимо провести детальный анализ ее возможностей.
Как уже отмечалось, в известной системе моделирования прокаливае-мости [9] весь диапазон изменения химического состава стали поделен на интервалы. Будем обозначать химические элементы последовательными номерами в порядке, принятом в таблице 1.2, т.е. 1 - углерод (С), 2 - кремний (Si), 3 - марганец (Мп), 4 - фосфор (Р), 5 - сера (S), 6 - медь (Си), 7 -алюминий (А1), 8 - хром (Сг), 9 - молибден (Мо), 10 - никель (Ni), 11 -титан (Ті), 12 - азот (N), 13 - бор (В). Содержание z -ого элемента обозначим х;, i= 1,2,...,13. Количество интервалов, на которые разбивается диапазон изменения массовой доли каждого /-го элемента, задано и ровняется щ— 8 для всех / =1, ..., 13 . Обозначим к-й интервал изменения /-го химического элемента Х,к. Все возможные классы сочетаний интервалов раз 25 личных элементов образуются с помощью операции прямого произведения множеств интервалов, Xt: XlxX2x...xXl3 = xlxl...,x}3);(x},Xl2,...,xf3);...,(Xf,xl,...,xf3)}. (1.6)
Каждый вектор, заключенный в круглые скобки, будем определять как некоторый класс возможных значений химического состава, и обозначать как KJ. Общее количество таких классов составляет 813. Классы выделяются с целью проведения кусочно-линейной аппроксимации зависимости твердости у по глубине h стали от химического состава У = ПКх), (1.7) » где х = {хх,х2,...,хи). Очевидно, что для такого большого количества классов осуществление аппроксимации невозможно. В существующей-системе выбирается лишь небольшое количество классов, в рамках которых осуществляется аппроксимация. Так в системе [9] выделяются восемь классов, которые представлены в таблице 1.3.
Приведенная в таблице 1.3 разбивка на классы осуществлена экспертами, исходя из соображений выделения наиболее часто встречающихся сочетаний значений содержания химических элементов для различных марок стали. Анализ таблицы 1.3 показывает, что интервалы разбиения всего допустимого диапазона изменения содержания каждого элемента, образующие классы К J, могут не только пересекаться, но и оказываются в ряде случаев вложенными один в другой, как показано на рис. 1.3. Каждому классу KJ ставится в соответствие линейная регрессионная (1.8) модель в виде системы линейных уравнении yJ = +AJxJ=\,2,. ..,8. или в развернутом виде
Оценка параметров моделей производилась по статистическим данным (пример данных приведен в приложении 2) из соответствующих классов. Полученные оценки элементов матриц AJ и химических элементов вектора al (приведены в приложении 1) суть случайные величины. Соответственно случайной величиной является и прогнозируемое значение у. Поскольку на прогнозируемые значения твердости стали заказной спецификацией накладываются ограничения по точности, целесообразно рассматривать доверительный интервал прогноза, сообразуя его с заданными допусками по точности.
Как известно [50, 64] доверительный интервал для функции множественной регрессии или для условного математического ожидания зависимой переменной Мх (у), найденный в предположении, что объясняющие переменные приняли значения, задаваемые вектором х0, определяется следующим выражением УхО - 1 а;к3ух0 Мх0(У) Ух0 +h-a;kS 0 (L9) где ухо - групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии, или в нашем случае прогнозное значение твердости; Syxo = д/ о К ковариационная матрица.
Отсюда следует, что размер доверительного интервала является функцией от значений вектора х0 или другими словами размер доверительного интервала прогноза твердости стали будет меняться с изменением химического состава. Нагляднее всего это можно показать на примере линейного однофакторного уравнения (см. рис. 1.4).
Таким образом, прогноз значений твердости стали по уравнению регрессии (1.8) оправдан, если значения объясняющих переменных, в нашем случае значения содержаний химических элементов, не выходит за диапазон их значений по выборке, определяемой границами интервалов разбиения из таблицы 1.3. При этом наилучшая точность достигается при прогнозе в точке близкой к математическому ожиданию массовых долей в выборке, которое, в свою очередь, предполагается в центре интервала. Экстраполяция, т.е. прогнозирование за пределами диапазона возможно, но может приводить к существенным ошибкам.
Проведенный анализ позволяет говорить о нечетком характере соответствия линейных моделей (1.8) выделенным классам изменения массовых долей химических элементов К " . Следовательно, существующую систему моделей прогнозирования распределенной твердости стали можно представить в виде (1.5), который для рассматриваемого случая записывается следующим образом
Анализ возможных подходов к решению задачи управления в , условиях стохастичности модели
Существующие модели вида (1.8), приведенные в приложении 1, имеют размерности вектора а0 и матрицы А , показанные в таблице 1.4.
Все приведенные модели представляют собой системы линейных уравнений и, с точки зрения анализа решений этих систем (как направления решения задачи управления), необходимо провести расчет рангов соответствующих матриц.
Вычисление определителей и миноров у моделей, приведенных в приложении 1 показало, что ранг матрицы А для всех моделей равен ее минимальной размерности (см. табл. 1.4), а ранг расширенной матрицы, посчитанный для выборочных значений у из всего диапазона возможного изменения, показан в таблице 1.4.
Анализ характеристик существующих регрессионных моделей показывает, что в большинстве случаев системы линейных регрессионных уравнений, отображающих модели зависимости твердости у от химического состава х, несовместны, т.е. не имеют решения (см.табл.1.4), и только в двух случаях имеют единственное решение (модель №1) и бесчисленное множество решений (модель №5). Отсюда следует, что непосредст венное использование этих моделей для управления, т.е. для вычисления вектора х по заданному вектору у, вообще говоря, невозможно.
Однако, если учесть тот факт, что в заказной спецификации, как правило, определено число точек заданной твердости стали меньшее, чем
число уравнений модели, то часть уравнений модели можно не рассматривать. Так в примере заказной спецификации, показанной в таблице 1.1, задано семь точек твердости, следовательно, можно рассматривать только семь соответствующих уравнений модели. Ранг матрицы А в этом случае будет равен 7 и система будет иметь бесконечное множество решений. Иногда, с целью получения квадратной матрицы А, к заданным в спецификации точкам можно добавлять новые, не нарушая требований спецификации.
Эти рассуждения позволяют рассматривать наиболее простой вариант реализации управления с помощью обращения матрицы А: х = А-\у-а0). (1.17)
В то же время известно [2], что случайный характер оценок параметров регрессионных зависимостей при обращении матрицы А влечет смещенность оценки вектора х, получаемой по выражению (1.17). Величину этого смещения нельзя оценить теоретически. Поэтому одна из задач исследования оценить величину указанного смещения на основе численного эксперимента.
Наличие бесчисленного множества решений в системе вида (1.8) позволяет рассматривать задачу оптимизации, с тем или иным критерием оптимальности и ограничениями вида (1.8) при этом желательно, чтобы постановка задачи одношагового оптимального управления обеспечивала единственность решения.
В самом общем виде, когда рассматривается несовместная система уравнений вида (1.8) и решение отсутствует, т.е. нельзя найти такие значения химических элементов вектора х, которые в точности удовлетворяли бы всем уравнениям системы, решение задачи управления может быть найдено исходя из следующих рассуждений.
Прежде всего, необходимо отметить, что отсутствие решения в математической постановке не означает, что решения нет в реальной ситуации, т.е. нельзя подобрать такие значения массовой доли химических элементов, которые обеспечили бы достижение заданной твердости стали с некоторой точностью. Если бы это было не так, то нельзя было бы варить сталь с заданными свойствами. Точное удовлетворение решения уравнениям модели не имеет смысла требовать по двум причинам:
- модель лишь приблизительно описывает свойства объекта, в том числе в силу случайного характера оценок своих параметров;
- неизбежные погрешности технологических операций выплавки стали, в частности погрешности, возникающие при добавлении химических элементов до необходимых содержаний, обуславливают задание требуемой твердости стали с определенным допуском (см. табл. 1.1).
Алгоритм достижения адекватности модели прогнозирования твердости стали с последующей ее проверкой
Для проверки адекватности модели TSK необходимо выбрать какие-либо критерии оценки правильности прогноза распределенной твердости стали. В качестве наиболее очевидного критерия можно рассматривать требование монотонного убывания значений твердости стали в векторе J = 0 №),...,; №„)), т.е. yQi yihj), если hi h}. (2.5)
Это требование соблюдения физического смысла прогнозного распределения твердости, которое применяется и при экспертном подборе наиболее адекватной модели из набора моделей приложения 1. Монотонное убывание прокаливаемости объясняется тем, что при закалке деталь охлаждается быстрее с поверхности и медленнее в середине. При закалке скорость охлаждение распределяется по сечению следующим образом; у поверхности скорость охлаждения максимальная, в центре минимальная [5].
Проведенный анализ существующих моделей показал, что не всегда свойство монотонности выполняется. Рассмотрим пример для химического состава представленного в таблице 2.1.
Для определения наиболее подходящих группы из существующих моделей воспользуемся следующим критерием: max=maXW( )} (2.6.)
Из данных таблицы 2.3. видно, что /ІШ = 0,333, то есть химический состав рассматриваемой плавки соответствует группе 5 (приложение 1). Произведем расчет твердости стали по данной группе. Полученные значения представлены в таблице 2.6. и рисунке 2.3.
Несмотря на то, что химический состав выбранной марки стали полностью соответствует допустимому диапазону для группы 5 монотонное убывание твердости в точки 5 не выполняется, что схематично изображено на рисунке 2.3.
Примерный график изменения твердости стали по его глубине. Во всех рассмотренных 308 плавках при использовании модели TSK свойство монотонности сохранялось. Результаты одной из рассмотренных плавок представлены на рисунке 2.4. y(h) 60 50 40 30 20 10 -т\—т г 1,5 3 5 15 Л. ММ Рис. 2.4. Примерный график монотонного изменения твердости стали по его глубине при использовании модели TSK.
В качестве второго критерия можно рассматривать попадания каждого расчетного значения твердости стали в допустимый диапазон.
Как отмечено в приложении 1 каждая модель содержит допустимые диапазоны твердости стали для каждого класса от 1 до 8. Эти допустимые диапазоны можно использовать для проверки адекватности модели TSK следующим образом 8 МК/(Х)УІ По формуле (2.4) yt= - можно определить допус тимый диапазон для модели TSK. Минимальное значение твердости для допустимого диапазона определяется по формуле V /—\ /пнп ХМку(х)Уі У / = 4 — (2.7) 7=1 Максимальное значение твердости для допустимого диапазона определяется по формуле Z /—\ /max у. = =4 (2.8)
Как видно из (2.7.) и (2.8.) в расчетное значение допустимого диапазона твердости стали модели TSK входят значения функции принадлежности Мк, ( ) зависящие от х .
Произведем расчет допустимого диапазона твердости стали для ранее рассмотренного примера. Для этого воспользуемся уже рассчитанными значениями коэффициентов принадлежности таблица 2.3.
Разработка алгоритма решения задачи оптимального управления с моделью TSK
Прежде чем приступать к разработке алгоритма, следует отметить одно из необходимых условий наличия решения задачи (3.12). Таким условием является условие совместности систем ограничивающих неравенств постановки (3.12), состоящее в том, что всегда должны найтись такие значения вектора х , которые бы одновременно удовлетворяли первой и второй системе неравенств.
Можно считать, что в задаче (3.8) с линейными ограничениями совместность ограничивающих систем неравенств обеспечивается эмпирически подобранными значениями ограничений массовых долей химических элементов: хтт,хтах. Эти значения отражены в индивидуальной заказной спецификации на выплавку стали и при отсутствии условий совместности заказ был бы попросту невыполнимым. Другими словами, в рассматриваемой конкретной задаче всегда существует, хотя бы единственное значение x =Dx , для которого по одной из моделей прогноза твердости стали будет рассчитан вектор у Е Dy, где Dx и Dy- области допустимых изменений соответствующих векторов. Неравенства (3.15) и (3.16) показывают, что при любых значениях х є Dx системы неравенств (3.13) обеспечивает y Dyi если все yj є D Vz, j. Следовательно, для модели TSK системы неравенств в постановке (3.13) всегда будут совместны при решении практических задач.
Рассмотрим особенности постановки задачи оптимизации, которые должны определить подходы к решению.
К характерным особенностям постановки задачи оптимизации (3.12) следует отнести: - высокую размерность задачи; - существенную нелинейность критерия оптимальности и ограничений; - отсутствие непрерывности функций критерия и ограничений, включающих нечеткие логические операции.
Решение задачи оптимизации вида (3.18) практически всегда сводится к некоторой итерационной процедуре [22, 43, 73, 81].
В некоторых случаях подходы основываются на поиске в пространстве решений с использованием алгоритмов градиентного поиска, например, метода сопряженных градиентов [22]. В этом случае предварительно задачу приводят к виду безусловной оптимизации, например с помощью метода штрафных функций [52]. Однако разрывность функций критерия и ограничений, а также высокая размерность задачи (3.12) существенно затрудняют использование этого подхода.
В последние годы для решения задач оптимизации стали широко применять генетические алгоритмы [24, 55, 72]. В принципе, генетические алгоритмы предназначены для решения задач оптимизации с особенностями присущими постановке (3.17). Однако вопросы сходимости генетических алгоритмов до сих пор не решены в общем виде [55], при том, что если эта сходимость и существует, то она очень медленная [81].
К итерационным методам с быстрой сходимостью относятся методы Ньютона [6, 26, 31, 34]. Однако стандартный метод Ньютона не совсем удобен в силу двух причин - локальной сходимости и больших вычислительных затрат при решении линеаризованной системы на каждом шаге итераций поиска [81].
Наиболее адекватным, с точки зрения постановки задачи оптимизации (3.18), представляется метод последовательных приближений [34, 37]. Суть этого метода заключается в следующем. Пусть будет задано некоторое начальное приближение 0 искомого вектора х в задаче (3.12). Тогда, при заданной зависимости коэффициентов от х и соответственно вычисленных значениях /лк (хо) можно рассчитать значения компонент матрицы A(XQ)= a;-(xQ) и вектора Й0(3со), котоРые превращаются в обычные матрицу и вектор. Соответственно задача (3.12) упрощается до классической задачи квадратичного программирования и принимает вид [16, 54] т 8 т 8 /=i /=i /=1 /=i J fmin A(x0)x + aQ(x0) fmax, (3.17) xzmin x,. x,max длл всех і.
Задача (3.18) превращается в обычную задачу квадратичного программирования, имеющую единственное решение - хх, которое рассматривается как следующее приближение к решению исходной постановки (3.13). При найденном приближении снова рассчитываются значения функций принадлежности и параметров ограничений в постановке (3.12), решается соответствующая задача квадратичного программирования и ее решение - х2. Продолжение описанных процедур порождает последовательность векторов х0,х,,..., ;,...; если эта последовательность сходится к некоторому конечному пределу, то этот предел и является решением исходной задачи (3.12) [81]. Таким образом, для решения задачи (3.12) необходимо установить сходимость последовательных приближений к решению преобразованной задачи. Известно, что от выбора начального приближения сходимость последовательности приближений не зависит [81].
Похожие диссертации на Прогнозирование и управление твердостью выплавляемой стали на основе моделей нечеткого логического вывода
