Содержание к диссертации
Введение
1. Имитационное моделирование, случайные процессы и методы их генерирования 9
1.1 Определение и классификация моделей 9
1.2 Имитационное моделирование 11
1.2.1 Оценка точности результатов имитационного моделирования 14
1.3 Случайные процессы 15
1.4 Характеристики случайных процессов 18
1.4.1 Основные статические характеристики случайных процессов 18
1.4.2 Основные динамические характеристики случайных процессов 19
1.5 Генерирование с заданными вероятностными взаимосвязями как объективная необходимость в динамической имитации 22
1.6 Классификация методов генерирования случайных процессов 24
1.7 Определение меры близости случайных процессов на основе вейвлет коэффициентов 27
1.8 Описание существующих методов генерирования 28
1.8.1 Метод разложения в ряд Фурье 30
1.8.2 Процессы авторегрессии и скользящего среднего (AR- и ARMA-процессы) 33
1.8.3 Метод формирующего фильтра 34
1.8.4 Аналитические преобразования первичной случайности 36
1.8.5 Метод неканонических разложений 38
1.8.6 Метод, основанный на безынерционном нелинейном преобразовании нормального случайного процесса 39
1.8.7 Метод перестановок 40
1.8.8 Анализ и генерирование нестационарных случайных процессов 44
1.8.9 Сравнение существующих методов 45
1.9 Выводы по главе I и постановка задачи диссертационного исследования... 48
2. Перестановочные Методы И Алгоритмы 51
2.1 Метод перестановки интервалов 51
2.2 Определение параметров метода 63
2.3 Пример работы предложенного автором алгоритма 69
2.4 Генерирование взаимно-коррелированных случайных процессов 75
2.4.1 Алгоритм генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов, основанный на методе перестановок 75
2.4.2 Алгоритм генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов, основанный на методе перестановки интервалов 84
2.5 Оценка точности результатов применения метода 87
2.6 Выводы по главе II 96
3. Применение предлагаемых автором методов, алгоритмов и программных средств для имитационного моделирования 98
3.1 Подготовительные мероприятия для проведения имитационного моделирования 98
3.2 Применение методов для моделирования инерционного звена автоматической системы 101
3.2.1 Описание структуры моделируемой автоматической системы и определение цели моделирования 101
3.2.2 Решение задачи с помощью математических преобразований 105
3.2.3 Описание процесса моделирования и результаты 107
3.3 Программное средство «Генерирование случайных процессов» 111
3.4 Имитационная,модель Коршуновского ГОКа 117
3.5 Описание программных средств, созданных для проведения исследований 123
3.6 Выводы по главе III 127
Заключение 129
Список использованных источников 131
Приложения 140
- Имитационное моделирование
- Классификация методов генерирования случайных процессов
- Генерирование взаимно-коррелированных случайных процессов
- Применение методов для моделирования инерционного звена автоматической системы
Введение к работе
Актуальность темы. Во многих задачах исследования сложных систем внешние воздействия могут быть охарактеризованы как случайные процессы. Аая работы с ними применимы методы теории вероятностей и математической статистики, в том числе теории случайных процессов и спектральной теории сигналов. Привлекаемые методы позволяют дать описание имеющихся данных, на основании которых формируются требования к процессам, оказывающим влияние на имитационную модель. Это приводит к необходимости формирования внешних воздействий с заданными вероятностными характеристиками.
Вклад в работы, связанные с генерированием случайных процессов, внесли отечественные и зарубежные ученые В. С. Пугачев, В. И. Тихонов, Н. П. Бусленко, Н. В. Смирнов, В. В. Быков, Д. Нейман, Дж. Бендат и другие, а так же представители иркутской научной школы генерирования случайных процессов Е. И. Попов, Г. П. Хамитов, А. В. Петров, В. В. Братищенко, В. В.Ступин, С. И. Молчан. Их работы посвящены разработке методов генерирования случайных процессов с требуемыми статистическими свойствами: одномерным законом распределения вероятностей и автокорреляционной функцией (АКФ). Необходимость учета взаимных корреляционных связей между параметрами системы, а так же отсутствие методов, позволяющих получать взаимно-коррелированные случайные процессы для их применения в имитационном моделировании, являются объективными факторами, определяющими актуальность разработки методов генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов.
Цель работы и задачи исследования. Целью работы является разработка численных методов генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов с последующей реализацией и тестированием алгоритмов и программных средств, созданных для экспериментальной проверки разработанных методов.
^ая достижения цели необходимо решить следующие задачи: 1. Выполнить анализ преимуществ и недостатков существующих методов генерирования случайных процессов с требуемой автокорреляционной функцией.
Разработать методы преобразования первичной случайности, позволяющие получать случайные процессы с требуемой одномерной плотностью распределения вероятностей и требуемыми корреляционными и взаимно-корреляционными свойствами.
Разработать программное обеспечение, реализующее разработанные методы, и провести вычислительные эксперименты для подтверждения их работоспособности.
При выполнении работы применялись методы:
Теории вероятностей и математической статистики, в том числе теории случайных процессов, спектральной теории сигналов — для генерирования и преобразования случайности, изучения и вычисления характеристик случайных процессов.
Имитационного моделирования, теории автоматического управления, теории процессов обогащения полезных ископаемых — для проведения вычислительных экспериментов с моделями систем.
Научную новизну диссертации составляют следующие положения:
Метод перестановки интервалов для генерирования случайных процессов с заданными статистическими свойствами.
Методика определения параметров для метода перестановки интервалов;
Алгоритмы генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов, основанные на методе перестановок и на методе перестановки интервалов.
Программное обеспечение «Генерирование случайных процессов», содержащее средства генерирования многомерных и взаимно-коррелированных случайных процессов с различными законами распределения, включая графические средства отображения полученных результатов и проверку статистических гипотез.
Научно-практическая значимость. Научная значимость работы заключается в создании нового инструментария, позволяющего генерировать взаимно-коррелированные случайные процессы при реализации и экспериментировании с моделями сложных систем. Учет взаимных корреляционных свойств позволяет более полно отражать свойства исследуемой системы в имитационной модели. Практическая ценность заключается в создании программного средства «Генерирование случайных процессов», которое применяется в образовательном процессе кафедры автоматизированных систем ИрГТУ для обучения студентов по дисциплинам «Теория вероятностей и математическая статистика» и «Моделирование систем».
Перестановочные методы внедрены в институте технологий обогащения минерального сырья (г. Иркутск), и используются для построения имитационных моделей обогатительных фабрик в рамках вероятностно-статистического научного направления гравитационных методов обогащения для моделирования стохастических процессов движения зерен и среды.
Апробация работы. Материалы диссертации прошли апробацию на конференциях и семинарах: XII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении», г. Иркутск, 2007; IX школе-семинаре молодых ученых «Математическое моделирование и информационные технологии», г. Иркутск, 2007; Пятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», г. Санкт-Петербург, 2008; XII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении», г. Иркутск, 2008; На III Всероссийской конференции «Винеровские чтения 2009» г. Иркутск, 2009; На научно-методических семинарах кафедры «Автоматизированные системы» Иркутского государственного технического университета в период 2005-2009 гг.
Публикации. Основное содержание работы отражено в 9 публикациях, в том числе 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Получены два свидетельства об отраслевой регистрации алгоритмов, реализующих разработанные методы.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (102 наименования), и восьми приложений. Общий объем работы 155 страниц (основной текст 119 страниц), содержит 58 рисунков и 14 таблиц.
Имитационное моделирование
В связи с тем, что данная работа посвящена имитационным моделям, следует раскрыть понятие имитационного моделирования. Термин «имитационное моделирование» иногда заменяют термином «компьютерное моделирование». Это обусловлено тем, что необходимым инструментом для выполнения имитационных исследований являются средства вычислительной техники, реализующие значительные объемы расчетов. Другими словами, имитационное моделирование — это численный эксперимент с математическими моделями элементов исследуемой системы, объединенными на информационном уровне. «Моделирование на ЦВМ, или цифровое моделирование, - это разновидность математического моделирования. Оно обладает рядом известных преимуществ перед другими методами исследований (универсальность, гибкость, экономичность) и позволяет в значительной мере разрешить одну из основных проблем в современной науке — проблему сложности» .
На основе математического моделирования с помощью ЭВМ выполняется изучение некоторого действующего или проектируемого объекта, «проигрывается» его поведение в различных условиях для получения ответов на интересующие вопросы. Вопросам имитационного моделирования посвящены работы [12—14, 19, 29, 30, 35, 37, 38, 45, 47, 52, 57, 67, 79, 89, 96].
Идея имитационного моделирования заключается в том, что при таком способе моделирования в компьютере вырабатывается информация, описывающая элементарные явления исследуемых процессов с учетом их связей и взаимовлияний. Получаемая таким образом информация о состоянии процесса используется для определения тех характеристик процессов, которые требуется получить в результате моделирования. С точки зрения перерабатываемой в компьютерах информации моделирование является имитацией элементарных явлений, составляющих исследуемый процесс, с сохранением структуры взаимодействия между ними.
Методы, применяемые в имитационном моделировании, как и сам вид такого моделирования, получили широкое распространение и имеют широкую сферу применения. Существуют имитационные модели производственных, экономических, социальных процессов, модели систем автоматизированного управления и пр. Большинство существующих систем являются очень сложными, и для них невозможно создать реальную модель, описанную математически. Можно привести примеры использования имитации как единственно возможного способа исследования из различных областей, в которых происходит теоретическая проработка того или иного процесса, затем эта теоретическая проработка того или иного процесса подвергается проверке с использованием как реально существующих данных, так и предполагаемых данных и потом -эксплуатации.
При построении имитационных моделей и проведении экспериментов с ними особое значение имеет соответствие имитируемых процессов их физической сущности и эффективность хранения статистической информации. От того, каким образом организованы эти процессы, существенно зависит машинное время, затрачиваемое на экспериментирование. Несоответствие статических и динамических характеристик случайных процессов, получаемых описанными методами, а так же низкая точность генерирования могут привести к серьезным ошибкам при проведении имитационных экспериментов [66, 102].
Имитационное моделирование может применяться в самых различных сферах деятельности. Ниже приведен список задач, при решении которых моделирование особенно эффективно [35]: проектирование и анализ производственных систем; оценка различных систем вооружений и требований к их материально-техническому обеспечению; определение требований к оборудованию и протоколам сетей связи; определение требований к оборудованию и программному обеспечению различных компьютерных систем; проектирование и анализ работы транспортных систем; оценка проектов создания различных организаций массового обслуживания; модернизация различных процессов в деловой сфере; определение политики в системах управления запасами; анализ финансовых и экономических систем.
Американские исследователи Лейн, Мансор и Харпелл [101] в своих отчетах за период с 1973 по 1988 год приходят к выводу, что имитационное моде лирование входит в число трех наиболее важных методов исследования операций. К двум другим они относят математическое программирование и статистику. Американский исследователь и программист Уманг Гупта [98] установил, что из тринадцати упоминающихся в зарубежной литературе технологий моделирование занимает второе место, пропустив вперед лишь математическое программирование.
Классификация методов генерирования случайных процессов
Под методами генерирования случайных процессов понимаются физически, либо алгоритмически реализованные процедуры, позволяющие получать дискретные либо непрерывные процессы, которые по своей природе являются случайными, либо псевдослучайными (в зависимости от допущений относительно природы генерируемого процесса [19, 24, 67]). В данной работе рассматриваются алгоритмические методы преобразования первичной случайности. Под случайностью допустимо понимать набор случайных или псевдослучайных чисел, который в зависимости от требований исследования может быть рассмотрен как множество реализаций одномерной или многомерной случайной величины, либо в качестве реализации одномерного или многомерного случайного процесса, либо в качестве реализации случайного поля.
Проблема создания источников случайности может быть решена двумя путями: созданием источников, доставляющих исследователю случайность, обладающую требуемыми статическими и/или динамическими свойствами; созданием источников первичной случайности, насчитывающих весьма ограниченное число разновидностей, и разработкой различных методов ее преобразования для получения заданных свойств. Необходимость создания физической или алгоритмической процедуры, адекватно воспроизводящей те или иные реальные явления, порождающие вполне определенные вероятностные свойства генерируемой случайности, приводит ко вполне понятным трудностям в реализации первого способа. По этой причине получили распространение методы, основанные на преобразовании первичной случайности. В качестве первичной случайности выбираются случайные или псевдослучайные числа X, имеющие равномерный в интервале [0,1] закон распределения вероятностей и являющиеся независимыми между собой.
Методы преобразования первичной случайности могут быть классифицированы по конечным целям преобразований на Р-методы, R-методы и PR-методы [91]. Применение этих методов, соответственно, позволяет получать случайные процессы первого, второго и третьего уровня универсальности. По способам воплощения эти же методы могут быть разделены на физические устройства и алгоритмические процедуры. Простота и дешевизна реализации последних обусловили их преимущественное использование в имитационном моделировании. В связи с этим в работе рассматриваются только алгоритмические преобразования случайности.
Под Р-методами понимаются процедуры для получения некоррелированных наборов случайных (или псевдослучайных) чисел, обладающих требуемым законом распределения вероятностей. В зависимости от точности воспроизведения последовательности случайных чисел одномерного закона распределения вероятностей Р-методы можно разделить на точные и приближенные. К числу точных методов относится метод обратных функций (метод Н.В. Смирнова) и специальные методы. К приближенным - метод Неймана и метод кусочной аппроксимации (метод Н.П. Бусленко) [19].
R-методы - это процедуры, позволяющие генерировать наборы- случайных чисел с требуемыми динамическими свойствами и произвольным (как правило, нормальным) законом распределения вероятностей. Сюда входят метод разложения в ряд Фурье, процессы авторегрессии и скользящего среднего и другие [2, 10, 19, 21, 25, 35, 94].
PR-методы - это такие преобразования первичной случайности, которые наряду с требуемыми статистическими свойствами позволяют получить необходимые динамические свойства в генерируемых наборах случайных или псевдослучайных чисел. К ним относятся аналитические методы, метод неканонических разложений, перестановочная технология, метод, основанный на безынерционном нелинейном преобразовании нормального случайного процесса. Результатом применения описанных R-, и PR-методов являются случайные процессы, автокорреляционная функция которых R(r) должна быть, по своим значениям, как можно ближе к требуемой R (т).
Для оценки точности генерирования вводят величину, выражающую отклонение полученной автокорреляции от требуемой [19]: где г - интервал времени между двумя реализациями случайного процесса. Понятно, что чем меньше значение оценки є, тем выше точность генерирования. Если значение є намного больше нуля, следует применить %2 критерий для проверки гипотезы о соответствии теоретической и эмпирической автокорреляционной функции.
Самым первым по времени разработки методом генерирования случайных процессов является метод статистических испытаний, представляющий собой численный метод, который применяется для получения, случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (такая процедура получила название метода Монте-Карло) [13,37,82].
Генерирование взаимно-коррелированных случайных процессов
Многомерные случайные процессы широко используются при моделировании сложных объектов. В [5, 9, 21, 22, 31, 76, 88] приведены, помимо определений совместных вероятностных характеристик, разные методы их оценивания и проверки гипотез. Следует отличать многомерные случайные процессы от случайных процессов, обладающих взаимной корреляцией. Элементы реализации многомерного случайного процесса принадлежат некоторому многомерному закону распределения, и потому находятся в пространстве, размерность которого соответствует размерности этого закона. Поэтому корреляционная функция многомерного случайного процесса оценивает корреляцию между реализациями векторов одного процесса, а автокорреляционная функция каждого из измерений многомерного случайного процесса оценивает корреляцию значений внутри этого измерения. Взаимная корреляционная функция нескольких случайных процессов оценивает корреляцию между элементами реализаций этих процессов. В том случае, если процессы многомерные, элементы реализаций также являются векторами. Специфика взаимной корреляционной функции такова, что если автокорреляционные функции Яі(т) и R4 (т) (1.4) отличаются друг от друга, то Rilh(j) (1-5) может оказаться равной 0. В таком случае говорят, что случайные процессы некоррелированны. В случае, когда взаимная корреляция существует, R(A(j) ведет себя аналогично Rf(r) [58].
Взаимная корреляция предполагает совпадение вероятностных свойств элементов реализаций случайных процессов в зависимости от некоторой переменой. Чаще всего в качестве такой переменной рассматривают время. Совпадение вероятностных свойств выражается в том, что, кроме прочего, элементы реализаций случайных процессов в определенный момент времени близки друг к другу своими значениями. Каждый из взаимнокоррелированных случайных процессов имеет свою автокорреляционную функцию, причем эта функция связана с взаимной корреляционной функцией процессов (например, [58]). Поэтому, при генерировании методом перестановок случайных процессов, обладающих взаимной корреляцией, в качестве элементов реализации следует выбирать такие значения из бункера, которые, кроме того, что наилучшим образом удовлетворяют выбранному критерию перестановки, отражают зависимость друг от друга, обусловленную схожестью вероятностных свойств элементов реализаций.
Для того, чтобы ввести взаимную корреляцию двух случайных процессов, автором предлагается следующий алгоритм, основанный на методе перестановок (п. 1.8.7) [18]. В дальнейшем, при описании алгоритма, для большей наглядности будет использован критерий минимизации модуля первой разности, дающий экспоненциально-косинусную автокорреляционную функцию вида (2.6).
Чтобы получить методом перестановок М взаимно-коррелированных случайных процессов i(t),i = 1,М с экспоненциально-косинусной функцией взаимной корреляции (2.6), необходимо выполнить следующие действия.
Пусть 77/(1),/ /(2),...,/ = 1,Л/ - реализации исходных некоррелированных случайных процессов с одномерными законами распределения вероятностей, которыми должен обладать каждый из генерируемых случайных процессов g.(t),t = \,Tti = l,M. Для реализации метода перестановок необходимо поло жить Д1) = r]j(\),i = \,M и образовать массив из п элементов п - параметр упорядочения. Чем больше п, тем сильнее вводимая корреляция.
После этого вводится корреляция внутри массива С/(2). Для этого значения в его столбцах переставляются таким образом, чтобы разность всех элементов в каждом столбце была минимальной.
После того, как значения в массиве упорядочены, формируется промежуточный массив отклонений
В получившемся массиве отклонений в каждой строке выбирается минимальный элемент Ajj (2). Когда минимальные в каждой строке значения находятся в одном столбце массива, соответствующие им значения массива выбираются в качестве элементов реализации генерируемых процессов. В противном случае минимальное в каждой строке значение отклонения вычитается от остальных значений в соответствующей строке массива, кроме нулевых, до тех пор, пока не будет получен столбец, состоящий из нулей.
Элементы столбца массива U(2), соответствующего столбцу массива отклонений, состоящему из нулей, принимаются в качестве элементов реализаций генерируемых взаимно-коррелированных случайных процессов. На место выбранных из U(2) значений заносятся новые значения из исходных реализаций, остальные значения не меняются.
Применение методов для моделирования инерционного звена автоматической системы
При исследовании систем автоматического управления сталкиваются с воздействием на них случайных процессов. Не всегда решение задачи, например оценка спектральной плотности на выходе системы или определение оптимальных параметров ее функционирования, может быть получено аналитически. Причиной этого может быть сложность входящих в описание системы выражений, либо невозможность формального описания некоторых ее элементов. Решению задачи, в таком случае, может помочь имитационное моделирование и применение методов генерирования случайных процессов с заданными динамическими характеристиками. Обязательным этапом решения задачи, как и в предыдущем случае, должно стать составление описания системы, ее элементов и процессов происходящих в ней.
Для расчета различных систем автоматического управления они обычно разбиваются на динамические звенья. Под динамическим звеном понимают устройство любой физической природы, описываемое определенным дифференциальным уравнением. Классификация звеньев проводится по виду дифференциального уравнения [8].
Предположим, что звено описывается дифференциальным уравнением, представленным в стандартной форме (3.1) (рисунок 41):
При нулевых начальных условиях, то есть в том случае, если для t 0 входная и выходная величины, а так же их производные тождественно равны нулю, и при отсутствии внешнего возмущения fit) = 0 может быть найдена передаточная функция звена как отношение изображения по Лапласу выходной и входной величин. где кх - коэффициент передачи звена, Т3=к2/ кх - постоянная времени.
При известной передаточной функции выходная величина (точнее, ее изображение по Лапласу) может находиться из выражения
Аналогичным образом может быть найдена передаточная функция звена по возмущению, если положить при нулевых начальных условиях входное воздействие равным нулю (х, =0). Тогда искомая передаточная функция будет равна отношению изображений выходной величины и внешнего возмущения:
Данный пример ставит своей целью доказательство эффективности применения выносимых на защиту методов и подтверждение правильности их работы. Поэтому будет выбрана простейшая автоматическая система, получено аналитическое решение для нее, а затем, с помощью моделирования, будет показано что решение, полученное путем моделирования соответствует решению, полученному аналитически. Таким образом, будет доказана эффективность применения методов и правильность их работы.
Выберем в качестве примера задачу из книги [26, стр. 494]. Структурная схема исследуемой автоматической системы показана на рисунке 42. Процессы, протекающие в системе, можно описать следующим образом: где e(t) - ошибка, x(t) - задающее воздействие, u(t) - выходная координата первого звена, y{t) - выходная координата системы, р — — - оператор диффеирования. Передаточные функции объектов системы: где ko6l,ko62 - коэффициенты передачи первого и второго объектов, Тоб1,Т1оо6,Т1ооб - постоянные времени первого и второго объектов. Для наибольшей наглядности применения методов изменим условие задачи следующим образом: пусть на вход звена автоматической системы воздействует: - аддитивная смесь некоррелированных случайных процессов x(t) = s(t) + n(t), где s(t) - случайный процесс с нулевым средним значе нием и функцией корреляции rs(r) = (T e a COSG QT; n{t) - статистически независимый от s(t) стационарный нормальный белый шум со спек N тральной плотностью Sn (со) = —-,—оо со оо; - аддитивная смесь взаимно коррелированных случайных процессов x(t) = s(t) + n(t) с нулевыми средними значениями и функциями корреля ции вида г (г) = y2se a COSW0T;гп(г) = сгп2е rr cosсо0т, гт (?) = rns(?) = v]neM cosй)0т. Требуется определить спектральную плотность Sy(a ) ВЫХОДНОГО процесса y(t).
