Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Прямые и обратные задачи и методы их решения 23
1.1. Прямая и обратная задача моделирования процесса 23
1.2. Методы решения обратных задач 25
1.2.1. Прямые методы решения обратных задач 25
1.2.2. Оптимизационные методы решения обратных задач 26
1.3. Общая постановка задачи многоцелевой оптимизации 31
1.4. Метод решения 31
1.4.1. Общая схема алгоритма решения 32
1.4.2. Операторы и параметры генетического алгоритма 34
1.4.3. Модификация генетического алгоритма 38
1.5. Заключение по главе 1 44
Глава 2. Задача расположения датчиков, фиксирующих максимальные по амплитудам возмущения от источников заминимальное время 45
2.1. Общая постановка задачи 46
2.2. Постановки задач и результаты решений 46
2.2.1. Минимальное время обнаружения 46
2.2.2. Фиксация возмущений от всех источников с как можно большей амплитудой хотя бы одним датчиком конфигурации 60
2.2.3. Фиксация возмущений от каждого источника с как можно большей амплитудой за минимальное время 64
2.2.4. Точная или приближенная фиксация хотя бы одним датчиком возмущений от каждого источника с амплитудой, не меньшей (і...65
2.2.5 Точная фиксация хотя бы одним датчиком возмущений от каждого источника с амплитудой, не меньшей d, за минимальное время .67
2.2.6. Приближенная фиксация хотя бы одним датчиком всех возмущений с амплитудой, не меньшей d, за минимальное время 70
2.2.7. Точная или приближенная фиксация по крайней мере двумя датчиками возмущений от каждого источника с амплитудой, не меньшей d, за минимальное время 74
2.3. Заключение по главе 2 76
Глава 3. Задача проектирования проточной части гидротурбины с максимальным КПД и минимальными динамическими нагрузками 77
3.1. Общая постановка задачи оптимизационного проектирования проточных частей гидротурбины 77
3.1.1. Режимы работы гидротурбины и её универсальная характеристика 77
3.1.2. Критерии качества работы гидротурбины и ограничения на различных режимах её работы 79
3.2. Метод решения прямой задачи 79
3.3. Формирование пространства допустимых форм проточного тракта...80
3.4. Критерии качества работы гидротурбины и ограничения 81
3.4.1. Расчет КПД гидротурбины 81
3.4.2. Комбинированная методика определения потерь энергии 82
3.4.3. Локальный критерий эффективности гидротурбины 83
3.4.4. Задание режима, гидродинамическое ограничение, недостаток сформулированного локально критерия эффективности 84
3.4.5. Глобальный критерий эффективности гидротурбины 85
3.4.6. Критерий минимизации динамического воздействия прецессирующего вихревого жгута 86
3.5. Результаты оптимизационного проектирования 90
3.5.1. Эффективность спроектированных геометрий 92
3.5.2. Анализ спроектированной геометрии на интенсивность вихревого жгута 93
3.6. Заключение по главе 3 97
Глава 4. Задача определения параметров трещиновато-пористой среды по замеренным временным зависимостям давления и потерь бурового раствора в скважине на основе новой модели фильтрации 98
4.1. Модель плоскорадиальной фильтрации бурового раствора в трещиновато-пористую среду с вытеснением поровой жидкости 101
4.1.1. Общие допущения 101
4.1.2. Уравнения пьезопроводности и законы Дарси модели фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористую среду 102
4.1.3. Моделирование вытеснения поровой жидкости буровым раствором 105
4.2. Численный метод решения прямой задачи фильтрации бурового раствора в трещиновато-пористую среду с вытеснением поровой жидкости 107
4.2.1. Обобщенная запись уравнений пьезопроводности 107
4.2.2. Неявная консервативная конечно-разностная схема для уравнения пьезопроводности 107
4.2.3. Решение уравнения для границы раздела бурового раствора и поровой жидкости 110
4.3. Верификация численного метода решения прямой задачи и анализ чувствительности решения 111
4.3.1. Плоскорадиальный фильтрационный поток упругой жидкости... 111
4.3.2. Анализ чувствительности решения уравнений пьезопроводности 113
4.4. Сравнение поведения решений прямых задач для ньютоновской и неньютоновской жидкостей 116
4.5. Постановка обратной задачи определения параметров трещиновато-пористой среды 117
4.5.1. Данные экспериментальных замеров 117
4.5.2. Оптимизационная постановка обратной задачи 118
4.5.3. Методы решения оптимизационной задачи 118
4.6. Результаты решения обратной задачи 119
4.6.1. Подбор параметра кт 119
4.6.2. Подбор параметров кт, т0т, Кпор 119
4.6.3. Подбор параметров kT, m0n, OQ, т0т, г0 121
4.7. Заключение по главе 4 124
Глава 5. Задача определения параметров прискважинной области по результатам каротажного зондирования 125
5.1. Структура прискважинной области 125
5.2. Высокочастотное индукционное каротажное изопараметрическое зондирование (ВИКИЗ) 126
5.3. Математическая модель распространения электромагнитных волн 126
5.4. Постановка оптимизационной задачи определения структуры прискважинной области 127
5.5. Верификация численного алгоритма решения обратной задачи 128
5.5.1. Трехслойная модель прискважинной области 128
5.5.2. Четырёхслойная модель прискважинной области 130
5.6. Заключение по главе 5 132
Заключение 133
Список сокращений 135
Список литературы 136
- Общая постановка задачи многоцелевой оптимизации
- Фиксация возмущений от каждого источника с как можно большей амплитудой за минимальное время
- Критерии качества работы гидротурбины и ограничения на различных режимах её работы
- Неявная консервативная конечно-разностная схема для уравнения пьезопроводности
Введение к работе
Актуальность работы обусловлена необходимостью совершенствования методов решения обратных задач, в значительном количестве возникающих в различных областях науки и техники. В диссертации рассмотрены четыре таких задачи. При решении первой задачи находится оптимальное расположение датчиков для обнаружения волн цунами по критериям минимизации времени обнаружения и фиксации возмущений с максимальной амплитудой. Метод решения данной задачи может быть применен для более общего случая мониторинга и своевременного обнаружения воздействия опасных природных и антропогенных факторов. От решения задачи зависит успешность работ по предупреждению и эвакуации населения, а минимизация количества устанавливаемых датчиков позволит сэкономить значительные финансовые ресурсы. В связи с этим построение функционалов, одновременная минимизация которых обеспечит выполнение указанных выше критериев, а также разработка метода решения впервые предложенной в диссертации задачи представляют значительный интерес. Вторая задача посвящена проектированию формы проточного тракта гидротурбины, удовлетворяющей более совершенному критерию эффективности её работы и впервые сформулированному критерию минимизации динамических нагрузок, вызванных прецессирующим вихревым жгутом. Актуальность этой работы обусловлена необходимостью создания новых перспективных гидротурбин с повышенными требованиями к КПД и отсутствием вибрации и шума при их работе. Третья задача заключается в определении параметров трещиновато-пористой среды в окрестности скважины по давлению в скважине и потерям бурового раствора при её бурении. Четвертая задача состоит в определении структуры прискважинной области по результатам высокочастотного индукционного каротажного изопа-раметрического зондирования. Актуальность третьей и четвертой задач напрямую связана с совершенствованием технологии нефтедобычи, так как их решение сопряжено с разработкой инструментария для определения с высокой точностью свойств породы в окрестности скважин. При решении третьей задачи была построена наиболее полная на сегодняшний день численная модель (математическая модель и численный метод для её реализации) неустановившейся фильтрации упругой жидкости Гершеля-Балкли в упругой пористой среде, позволившая максимально точно на сегодняшний день описать фильтрацию бурового раствора в трещиновато-пористую среду. При решении четвертой задачи предложена модификация генетического алгоритма нахождения экстремумов в методе оптимизационного проектирования, позволившая избегать локальные экстремумы, ускорившая сходимость и повысившая точность нахождения глобального экстремума.
Разрабатываемый в диссертации оптимизационный метод решения обратных задач и подходы к решению перечисленных задач представляются актуальными и значимыми еще в связи с тем, что они относятся к приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники в РФ и перечню крити-
ческих технологий РФ . Первая задача относится к разделу «Технологии мониторинга и прогнозирования состояния окружающей среды, предотвращения и ликвидации ее загрязнения» перечня. Вторая — к разделу «Технологии новых и возобновляемых источников энергии, включая природную энергетику» перечня и разделу «Энергоэффективность, энергосбережение, ядерная энергетика» приоритетных направлений. Третья и четвертая задачи — к разделу «Технологии поиска, разведки, разработки месторождений полезных ископаемых и их добычи» перечня и разделу «Рациональное природопользование» приоритетных направлений.
Решение приведенных выше задач призвано способствовать дальнейшему развитию методологии решения обратных задач и созданию передовых технологий в перспективных областях науки и техники.
Объект исследования. Прямая задача моделирования каких-либо процессов (в том числе описанных выше) может быть представлена схематично
V = Дх), (1)
где х = (xv...,xN) - параметры модели, V - характеристики процесса, /- математическая модель процесса и метод её реализации. Тогда обратная задача моделирования записывается как
x = /"1(V*), (2)
где V* - требуемые характеристики процесса. Непосредственное решение уравнения (2) называется прямым, методом решения обратной задачи. Решение оптимизационной задачи
min|Fj,...,min|FM|, (3)
X X
F = V*-f(x) = (Fv...,FM), называется оптимизационным методом решения обратной задачи (2). Объектом исследований диссертационной работы являются обратные задачи моделирования процессов (2).
Предметом исследований являются закономерности и особенности работы оптимизационного метода решения обратных задач.
Целью работы является разработка и обоснование оптимизационного метода решения обратных задач и решение следующих задач:
определение расположения датчиков, фиксирующих максимальные по амплитуде возмущения от источников за минимальное время;
проектирование проточной части гидротурбины по критериям эффективности её работы и минимизации динамических нагрузок, вызванных прецес-сирующим вихревым жгутом;
определение параметров трещиновато-пористой среды по замеренным временным зависимостям давления и потерь бурового раствора в скважине на основе разработанной в диссертации численной модели фильтрации;
определение структуры прискважинной области по результатам индукционного каротажа.
1 Об утверждении приоритетных направлений развития науки, технологий и техники в Российской Федерации и перечня критических технологий Российской Федерации: Указ Президента Рос. Федерации от 7 июля 2011 г. № 899 // Собр. законодательства Рос. Федерации. — 2011. — № 28. — Ст. 4168.
Задачи, решенные для достижения цели:
-
Модификация оптимизационного метода решения обратных задач на основе улучшенного генетического алгоритма.
-
Формулировка и обоснование новой постановки задачи оптимизационного проектирования формы лопасти гидротурбины, обеспечивающей максимальное КПД при минимальных амплитудах пульсаций давления, вызванных прецессирующим вихревым жгутом.
-
Постановка задачи расположения датчиков, фиксирующих максимальные по амплитудам волны цунами за минимальное время.
-
Создание и обоснование модели неустановившейся фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористой среде с вытеснением поровой жидкости.
-
Построение абсолютно устойчивой консервативной разностной схемы для нелинейного уравнения пьезопроводности модели фильтрации и её адаптация в методе решения задачи определения параметров трещиновато-пористой среды.
-
Разработка алгоритмов решения поставленных задач и программных комплексов их реализации.
-
Верификация разработанных численных алгоритмов.
-
Решение перечисленных выше задач и анализ результатов.
Метод исследования. Основные результаты диссертации получены с применением современных методов математического моделирования, вычислительной математики, теории дифференциальных уравнений, теории оптимизации. В основу метода нахождения экстремумов функционалов положено решение прямой задачи для каждой вариации х и построение улучшенных вариаций х следующего поколения с помощью модифицированной стратегии генетического алгоритма, обеспечивающей сходимость к глобальному экстремуму задачи.
На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие четырем пунктам (1,3,4,5) паспорта специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам.
-
Модифицированный метод решения обратных задач на основе улучшенного генетического алгоритма и полученные по нему решения задач: расположения датчиков, фиксирующих максимальные по амплитудам возмущения от источников за минимальное время; проектирования проточной части гидротурбины по критериям эффективности её работы и минимизации динамических нагрузок, вызванных прецессирующим вихревым жгутом; определения параметров трещиновато-пористой среды по замеренным временным зависимостям давления и потерь бурового раствора в скважине; определения структуры прискважинной области по результатам индукционного каротажа.
-
Модель неустановившейся фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористой среде с вытеснением поровой жидкости.
3. Абсолютно устойчивая консервативная разностная схема для нелиней
ного уравнения пьезопроводности с разрывными коэффициентами модели
фильтрации.
4. Программные комплексы для решения поставленных обратных задач.
Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в
следующем.
Модифицированный на основе улучшенного генетического алгоритма оптимизационный метод решения обратных задач позволил найти решения новых актуальных задач.
Впервые предложены и обоснованы постановки задачи оптимального расположения датчиков, фиксирующих возмущение с максимальной амплитудой за минимальное время.
Предложена и обоснована новая постановка задачи оптимизационного проектирования проточной части гидротурбины по усовершенствованному критерию эффективности её работы и впервые сформулированному критерию минимизации динамических нагрузок, вызванных прецессирующим вихревым жгутом.
Построена наиболее полная на сегодняшний день модель неустановившейся фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористой среде с вытеснением поровой жидкости и предложена новая абсолютно устойчивая консервативная разностная схема для её численной реализации.
Практическая значимость диссертационной работы заключается в возможности применения её результатов (методик, алгоритмов и их программной реализации, результатов расчетов) для развития новых технологий мониторинга и прогнозирования состояния окружающей среды, создания технологий использования возобновляемых источников энергии, поиска, разведки, разработки месторождений полезных ископаемых и их добычи.
Результаты диссертационной работы используются в филиале ОАО «Силовые машины» «ЛМЗ» (г. Санкт-Петербург), ООО «Технологическая Компания Шлюмберже» (г. Новосибирск) и National Oceanic and Atmospheric Administration Center of Tsunami Research (г. Сиэтл, США), что подтверждают приложенные в конце диссертации акты об использовании научных результатов в практической деятельности.
Достоверность и обоснованность основных результатов, полученных в диссертации, основывается на строгом математическом описании используемых численных алгоритмов, детальных методических расчетах при решении известных и рекомендуемых тестовых задач, сопоставлении результатов численных расчетов с данными экспериментов и результатами, полученными другими авторами.
Представление работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на объединенном научном семинаре ИВТ СО РАН «Информационно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» под руководством академика РАН Ю.И. Шокина и профессора В.М. Ковени, на научном семинаре ИВМиМГ СО РАН «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» под руководством чл.-корр. РАН СИ. Кабанихина, на научном геофизическом семинаре
ИНГГ СО РАН, а также были представлены на 20 всероссийских и международных научных конференциях: Международная конференция International Workshop of Destruction (Япония, г. Иокогама, 2007); Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» XLVI, XLVII, XLVIII (Новосибирск, 2008-2010); Международная молодежная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2009, 2012, 2013); Всероссийская конференция с участием иностранных учёных «Проблемы мониторинга окружающей среды» (Кемерово, 2009); Летняя школа для аспирантов «3rd Nordic EMW Summer School for PhD Students in Mathematics» (Финляндия, г. Турку, 2009); Международная конференция International Tsunami Symposium, (Новосибирск, 2009); Международная конференция по математическому моделированию (Якутск, 2011), Третья научно-техническая конференция «Проблемы комплексного геофизического мониторинга Дальнего Востока России» (Петропавловск-Камчатский, 2011); Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2011); Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2011, 2012), Всероссийская научная конференция с международным участием «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2012), Летняя школа Gene Golub SIAM Summer School (США, г. Монтерей, 2012, Китай, г. Шанхай, 2013), VI Всероссийская школа-семинар по электромагнитным зондированиям земли имени М.Н. Бердичевского и Л.Л. Ваньяна (Новосибирск, 2013), Международная конференция High Performance Computing (Украина, г. Киев, 2013); а также на научных встречах финалистов конкурса Google Anita Borg (Швейцария, г. Цюрих, 2008-2010).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 28 печатных работах, в том числе (в скобках в числителе указан общий объём этого типа публикаций, в знаменателе - объем принадлежащий лично автору) 5 статей в изданиях рекомендованных ВАК [1-5] для представления основных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора или кандидата наук (9.44/5.7), 8 - в трудах международных и всероссийских конференций [6-13] (8.63/4.9), 2 - в свидетельствах о регистрации программ [14-15], 13 - в тезисах международных конференций (1.19/0.65).
Личный вклад автора. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад автора заключается в обсуждении постановок задач и выбора метода их решения, в разработке и усовершенствовании алгоритмов и компьютерных программ, их верификации, численном моделировании, создании программно-методического обеспечения, проведении численных экспериментов и оптимизационных расчетов с использованием разработанных программ и интерпретации результатов.
Структура и объем диссертации. Диссертация общим объемом 157 страниц состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений, списка сокращений и списка литературы, включающего 78 наименований. Диссертация содержит 68 рисунков и 25 таблиц.
Общая постановка задачи многоцелевой оптимизации
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 28 печатных работах, в том числе (в скобках в числителе указан общий объём этого типа публикаций, в знаменателе - объем принадлежащий лично автору) 5 статей в изданиях рекомендованных ВАК [2-6] для представления основных результатов диссертации на соискание ученой степени доктора или кандидата наук (9.44/5.7), 8 - в трудах международных и всероссийских конференций [7-14] (8.63/4.9), 2 - в свидетельствах о регистрации программ [15-16], 13 в тезисах международных конференций [17-29] (1.19/0.65).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№08-01-00364-а, №11-01-00475-а), Президиума СО РАН (Интеграционный проект СО РАН №130), Новосибирского технологического центра компании «Шлюмберже».
Личный вклад автора. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад автора заключается в обсуждении постановок задач и выбора метода их решения, в разработке и усовершенствовании алгоритмов и компьютерных программ, их верификации, численном моделировании, создании программно-методического обеспечения, проведении численных экспериментов и оптимизационных расчетов с использованием разработанных программ и интерпретации результатов.
Структура и объем диссертации. Диссертация общим объемом 157 страниц состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений, списка сокращений и списка литературы, включающего 78 наименований. Диссертация содержит 68 рисунков и 25 таблиц.
Содержание работы. Во введении обоснована актуальность выбранной темы исследований, формулируются объекты и предметы исследования, излагаются цель работы и задачи, которые необходимо решить для её достижения, указаны методы их решения, охарактеризована научная новизна и практическая значимость работы, дано ее краткое содержание. Формулируются основные положения, выносимые на защиту.
Глава 1 посвящена анализу известных оптимизационных методов решения обозначенных во введении классов обратных задач и построению модифицированного метода на основе генетического алгоритма.
В 1.1 определяются прямые и обратные задачи моделирования абстрактных процессов, а затем введенные понятия конкретизируются для указанных в цели работы четырех задач.
В 1.2 рассматриваются два класса методов решения обратных задач: прямые и оптимизационные методы. Последние в работе называются методами оптимизационного проектирования. Обосновывается использование метода оптимизационного проектирования для решения сформулированных четырех обратных задач. Анализируются методы решения оптимизационных задач, которые подразделяются на детерминированные и стохастические методы. Характерными представителями первого класса методов являются градиентные методы, развиваемые в работах СИ. Кабанихина, А.Л. Карчевского [30-32], А.Ф. Латыпова, Ю.В. Никуличева [33, 34] и др. Метод градиентного спуска применялся для решения задачи оптимизационного проектирования лопасти гидротурбины [35]. Задача определения структуры прискважинной области по результатам индукционного каротажного зондирования решалась как оптимизационная с использованием детерминированного метода деформируемых многогранников (Нелдера-Мида) М.И. Эповым, И.Н. Ельцовым [38, 39] и другими авторами. Классические градиентные методы спуска подходят для решения задач с непрерывными функционалами и малым числом варьируемых параметров. Методы Нелдера-Мида недостаточно надежно отыскивают глобальные экстремумы функционалов. Задача расположения датчиков своевременного обнаружения волн цунами решалась в [36] как частично оптимизационная: фиксировались шесть возможных мест их расположения, а затем в них помещались датчики от одного до шести и определялось максимальное время обнаружения волны от источников их генерации. Если датчиков было меньше шести, осуществлялся ручной перебор их возможных расположений в шести заданных местах. То есть минимизации времени обнаружения по местам расположения датчиков не проводилось. Постановка и решение обратной задачи фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористой среде, предлагаемые в диссертации, являются новым результатом.
Стохастические оптимизационные методы получили в последнее время более широкое распространение, чем детерминированные, так как в них не требуется гладкость целевых функционалов, они обладают способностью не останавливаться в локальных экстремумах и применяются для решения многокритериальных задач. Среди стохастических методов наиболее приемлемым для решения методом оптимизационного проектирования обозначен 14 ных в 1.1 четырех обратных задач является эволюционный генетический алгоритм. Он осуществляет поиск оптимального решения, одновременно анализируя множество текущих наборов параметров, называемых индивидуумами, которые эволюционируют на протяжении многих поколений в соответствии с предписанными правилами. Необходимость большого числа вычислений целевых функционалов компенсируется возможностью параллельного расчета. Генетический алгоритм успешно применялся для решения задачи оптимизационного проектирования рабочего колеса гидротурбины [37]. Поэтому модифицированный его вариант используется в диссертационной работе для решения этой же задачи, но с новыми улучшенными критериями. Также он применяется для решения остальных рассмотренных в работе обратных задачи.
В 1.3 ставится оптимизационная задача, обобщающая все четыре рассмотренные в диссертации обратные задачи. В общем случае требуется найти вектор параметров, обеспечивающий минимумы функционалам при наличии фазовых и целевых ограничений. В 1.4 предлагается схема решения этой задачи. Сначала случайным образом формируется начальное поколение индивидуумов. Затем для каждого индивидуума поколения решается прямая задача, проверяется степень выполнения требуемых характеристик и создается улучшенное поколение на основе операций генетического алгоритма. Далее цикл повторяется, пока не будет достигнута сходимость к оптимальному фронту Парето.
Операторы селекции и рекомбинации генетического алгоритма играют ключевую роль при создании нового поколения индивидуумов, максимально приближенного к индивидуумам фронта Парето. На основе многочисленных расчетов, проведенных в диссертационной работе, установлена зависимость параметра селекции от размера поколения в операторе селекции, формирующем множество наилучших родительских индивидуумов текущего поколения, которые будут участвовать в создании следующего поколения. Отбор наилучших индивидуумов проводится с помощью функции качества, выстраиваемой по рангу индивидуума и учитывающей ограничения.
В диссертации модифицирован оператор рекомбинации, который по двум индивидуумам, случайно выбранным лучших индивидуумов предыдущего поколения, формирует индивидуум нового поколения. В отличие от ранее использовавшегося оператора [37], в котором новый индивидуум случайным образом выбирался из окрестности с центром, расположенным ровно посередине между родительскими индивидуумами, в модифицированном операторе центр окрестности смещен к индивидууму, имеющему наименьшую функцию качества.
Модифицированный таким образом оптимизационный метод при решении обратной задачи о структуре прискважинной области позволил найти глобальный минимум задачи, который не определялся алгоритмом без модификации. Кроме того, в задачах, где алгоритм без модификации позволял найти точное решение, новый алгоритм работает в 5 раз быстрее. Несмотря на элементы случайности в формировании начального и последующих поколений, модификация обеспечила стабильность нахождения глобального минимума при каждом запуске оптимизационного расчета.
Фиксация возмущений от каждого источника с как можно большей амплитудой за минимальное время
В прямых методах решения обратных задач устанавливается непосредственная связь (3) между параметрами и характеристиками процесса. Эти методы зависят от используемых уравнений, представления параметров модели и в общем случае имеют одну достаточно узкую область применения.
Например, в случае прямого проектирования гидротурбин методы отличаются используемыми моделями течения жидкости, методиками представления геометрии, уравнениями связи форм и параметров потока, а также итерационными алгоритмами, которые находят форму, соответствующую заданным условиям для потока. В настоящее время методы прямого проектирования гидротурбин разработаны только для лопастных систем. Во всех работах фиксируется форма обода и ступицы и варьируется угловая координата лопасти, дополнительно может подбираться распределение толщин профиля.
Несомненным достоинством указанного подхода, позволяющим применять его в ежедневной инженерной практике, является малое время решения задачи проектирования - существенно меньшее затрачиваемого при оптимизационном проектировании. Однако он содержит также ряд недостатков. К примеру, для ГТ основные характеристики лопастной системы, такие как, КПД, коэффициенты потерь энергии и давления напрямую не связаны с распределениями скорости или давления, заданными в качестве целевого критерия. Поэтому нерешенными остаются вопросы о том, насколько заданный профиль закрутки в межлопастном канале или нагрузки на лопасть соответствует оптимальным энергетическим характеристикам всей установки, в какой мере возможны повышение ее КПД или снижение потерь в проточной части. Часто требуемые распределения скоростей или давлений априори неизвестны. Кроме того, в данном случае нет гарантии, что для заданных распределений существуют решения. 1.2.2. Оптимизационные методы решения обратных задач
Методы оптимизационного проектирования по сравнению с прямыми методами несущественно зависят от специфики задачи, поэтому подходят для решения классов задач из различных областей. Особенность этих мето 27
дов решения состоит не в поиске связей между параметрами и улучшаемыми характеристиками (как в прямых методах решения), а в выборе метода решения прямой задачи, подборе функционалов и ограничений. Адаптируемость и универсальность методов оптимизационного проектирования обуславливает использование одного из таких методов для решения четырех рассматриваемых в диссертации задач.
Оптимизационные методы решения обратных задач можно разделить на два больших класса: детерминированные или стохастические. Кроме того, важным является разбиение методов на одноцелевые и многоцелевые. В общем случае решением многоцелевой задачи является не одно решение, как в случае одноцелевой задачи, а целое множество решений, называемое фронтом Парето. Таким образом, фронт Парето - это множество оптимальных решений, каждое из которых лучше любого другого по крайней мере по одному целевому функционалу. Иными словами, множество решений многоцелевой оптимизации таково, что каждое из них неулучшаемо одновременно по всем функционалам.
. Детерминированные методы
Особенностью детерминированного алгоритма является его свойство получать один и тот же результат для одних и тех же исходных данных. Среди детерминированных методов можно выделить методы первого порядка и методы нулевого порядка. К методам первого порядка относятся методы градиентного спуска, покоординатного спуска, сопряженных градиентов и их модификации, которые применялись и развивались в работах СИ. Ка-банихина, А.В. Пененко [30, 31], А.Л. Карчевского [32]; А.Ф. Латыпова, Ю.В. Никуличева [33-34]; R. Eisinger [40]; F. Debeissat [41]; S. Thum [42]. Метод градиентного спуска также применялся для решения задачи оптимизационного проектирования лопасти гидротурбины [35]. Методы градиентного типа являются относительно простыми в реализации и не требующими больших вычислительных затрат. Тем не менее, они используются только для одноцелевых задач оптимизации, имеют требования на дифференци 28
руемость целевой функции, требуют хорошее начальное приближение, нестабильно работают на большом числе параметров (то есть не гарантируют нахождение глобального минимума задачи).
Методы, базирующиеся на функциях отклика [43, 44], предполагают построение аппроксимации на основе полинома первого или второго порядка. На основе планирования численного эксперимента или обучения нейронных сетей определяется серия расчетов значений функции отклика для наборов параметров. Для нахождения коэффициентов полинома по полученным значениям, как правило, используется метод наименьших квадратов. Далее отыскиваются экстремумы функции отклика, выраженной в явном виде, причем при поиске оптимального решения существенно сокращается количество анализируемых вариантов. Требование непрерывности исходных функциональных зависимостей является существенным ограничением этого метода.
К методам нулевого порядка, называемыми также методами прямого поиска, относятся алгоритмы Хука-Дживса, Нелдера-Мида (или метод деформируемых многогранников). Эти методы были разработаны одноименными учеными и использовались авторами Т. Rogalsky [45]; R. Eisinger [41]; S. Thum [42] при решении задач оптимизационного проектирования турбомашин. Кроме того, с помощью детерминированного метода деформируемых многогранников М.И. Эповым, И.Н. Ельцовым [38, 39] решалась задача определения структуры прискважинной области по результатам индукционного каротажного зондирования. Методы нулевого порядка также относительно просты в реализации и не требуют больших вычислительных затрат. Кроме того, их существенным отличием от градиентных методов является отсутствие требований на гладкость целевой функции. Тем не менее, методы прямого поиска используются только для задач одноцелевой оптимизации, при этом методы Хука-Дживса нестабильно работают на большом числе параметров и существенно зависят от начального приближения, а методы Нелдера-Мида недостаточно надежно отыскивают глобальные экстремумы функционалов при наличии в области поиска локальных минимумов. 1.2.2.2. Стохастические методы
Стохастические методы предполагают вероятностный характер используемого алгоритма. Алгоритм имитации отжига и другие алгоритмы, основанные на методе Монте-Карло, не требуют гладкости функционала и несущественно зависят от начального приближения. Однако чаще всего они используются в одноцелевой дискретной оптимизации. Использование метода имитации отжига в задачах непрерывной оптимизации осуществляется в работах Т. Rogalsky [45]; Н. Kim [46].
Кроме того, к стохастическим методам относятся генетический алгоритм (ГА), роевой интеллект [47], алгоритм муравьиной колонии и другие. Эти методы имеют неоспоримые преимущества: возможность применения для решения многокритериальных задач, отсутствие в них требования гладкости целевых функционалов и способность не останавливаться в локальных экстремумах. Поэтому стохастические оптимизационные методы получили в последнее время большое распространение. Среди множества стохастических методов наиболее приемлемым для решения методом оптимизационного проектирования обозначенных в 1.1 четырех обратных задач является эволюционный генетический алгоритм. Он осуществляет поиск оптимального решения, одновременно анализируя множество текущих наборов параметров, которые эволюционируют на протяжении многих поколений в соответствии с предписанными правилами. Необходимость большого числа вычислений целевых функционалов компенсируется возможностью параллельного расчета. Генетический алгоритм успешно применялся для решения задачи оптимизационного проектирования проточной части гидротурбины С.Г. Черным, Д.В. Банниковым, И.Ф. Лобаревой [35, 48, 37]; Y. Enomoto [49]; R. Eisinger [40].
Критерии качества работы гидротурбины и ограничения на различных режимах её работы
Как указывалось в разделе 3.2 "Метод решения прямой задачи" режим работы гидротурбины задается напором Н, частотой вращения РК п и открытием НА а0. Последний параметр должен определять отвечающий этому режиму расход Q. В то же время полученный в результате решения прямой задачи расход Q будет отличаться от требуемого из-за неточности установления соотношения между а0 и Q для проточного тракта ГТ, задаваемого в качестве прототипа проектируемой геометрии; осуществляемого изменения геометрии в процессе оптимизационного проектирования.
Следовательно, гидродинамическими ограничениями оптимизационной задачи (5)-(8) на заданном 1-м режиме должны быть, по крайней мере, следующие два неравенства (x) g«(x)-g« o, означающие сохранение расхода Q (х) внутри допустимого отрезка Пусть в соответствии с оптимизационной задачей (5)-(8) требуется минимизировать функционал (41) на режиме с расходом Q , прототип на котором дает КПД ту- (рисунок 40). Зависимость КПД прототипа от расхода на допустимом отрезке ч/л і Vn монотонно убывает, как отмечено на ри сунке 40 сплошной линией. Допустимым с позиции локального критерия эффективности будет решение оптимизационной задачи х, имеющее КПД
Для устранения недостатка локального критерия эффективности в настоящей диссертационной работе предлагается модификация глобального критерия эффективности, рассмотренного в [66, 68]. В указанных работах эффективность обеспечивается минимизацией функционала в котором r\ (Q)— зависимость КПД от расхода, предъявляемая к проектируемой геометрии; ту (х) КПД геометрии х на 1-м режиме работы гидротурбины. Причем в работах [66, 68] заданные на режимах значения расходов 5 строго выдерживаются при прямых расчетах в силу специфики используемых в них краевых условий. Гидродинамическими ограничениями в [66, 68] были сохранения напоров с заданной точностью. В настоящей диссертации за эффективность работы гидротурбины на I-м режиме отвечает функционал
При некоторых режимах работы гидротурбин в конусе отсасывающей трубы за рабочим колесом образуется вихревой жгут, прецессия которого оказывает негативное воздействие на работу всей гидротурбины. Критерием минимизации динамического воздействия вихревого жгута является обеспечение минимальной интенсивности его прецессии и уменьшение за счет этого амплитуды пульсаций давления, воздействующих на конструкцию гидротурбины. Чтобы в процессе оптимизационного проектирования оценивать каждую геометрию поколения х с точки зрения выполнения данного критерия, вообще говоря, при решении прямой задачи идеально было бы получать прецессирующий вихревой жгут, создающий пульсации давления амплитуды 4(х). Тогда в качестве второго минимизируемого целевого функционала в таблице 7 можно было бы взять
Однако это в настоящее время недостижимо из-за необходимости решения прямой задачи в нестационарной постановке. На проведение таких расчетов для всех геометрий поколений генетического алгоритма потребовались бы неоправданно большие временные затраты.
В диссертации предлагается критерий косвенного уменьшения интенсивности прецессии вихревого жгута путем формирования за РК "подходящего" профиля осевой составляющей скорости. Для нахождения такого "подходящего" профиля авторами были проведены многочисленные расчеты нестационарных течений в направляющем аппарате, рабочем колесе и отсасывающей трубе радиально-осевой гидротурбины в циклической и полной нециклической постановках и установлена следующая закономерность. Чем больший монотонный рост к втулке рабочего колеса имеет осредненная в окружном направлении осевая составляющая скорости, тем меньшую интенсивность прецессии имеет вихревой жгут. Иллюстрация этого утверждения представлена на рисунке 41, на котором приведены осредненный профиль осевой скорости из расчета течения во всем проточном тракте гидротурбины с сильной интенсивностью прецессии вихревого жгута и его модификации, задававшиеся во входном сечении ОТ при проведении расчета только в ней. Там же представлены соответствующие спектры пульсаций давления. При проведении расчетов в изолированной ОТ с модифицированными распределениями скорости во входном сечении обеспечивались сохранения заданного в исходном расчете расхода и распределений окружной составляющей скорости. fh » Рисунок 41- Профили осевой составляющей скорости (сверху: 1 - исходный; 2, 3, 4 - модификации) и соответствующие им спектры пульсаций давления (снизу). Используя установленную закономерность, можно сформулировать критерий косвенного уменьшения амплитуды пульсаций давления. Он заключается в формировании за лопастями РК распределения скорости с монотонным ростом к втулке рабочего колеса осевой её составляющей. Формализуем это требование. Для этого возможны два подхода. В первом - задается профиль осевой скорости Cz(r), который по мнению проектировщиков обеспечит минимум амплитуды пульсаций давления. Тогда в качестве второго минимизируемого целевого функционала в табл. 4 берется [66, 69] профиль скорости, полученный осреднением в окружном направлении осевых составляющих распределения вектора скорости в сечении за лопастями РК в поле течения, рассчитанном в геометрии х. Интегрирование в (44) ведется от оси вращения РК г= 0 до стенки конуса ОТ r= D/2. Очевидным недостатком данного подхода является то, что "предписанный" профиль Cz(r) неизвестен.
В диссертации предлагается новая формализация сформулированного выше критерия косвенного уменьшения амплитуды пульсаций давления. В этом подходе профили осевой составляющей скорости не подгоняются под заданный, вообще говоря, неизвестный профиль, а формируются так, чтобы их линеаризация имела как можно меньший угол наклона к оси Or в плоскости Cz- г (рисунок 42). Под линеаризацией профиля С\\ х.,г) подразумевается его приближение линейной функцией Clzm(x,r) = alm + blmr, (45) выстраиваемой с помощью линейной регрессии [70]. Метод построения функции (45) основан на подборе коэффициентов а1т и Ъ1ш\ минимизирующих интеграл квадрата отклонения исходного профиля
Неявная консервативная конечно-разностная схема для уравнения пьезопроводности
Из таблицы 11 видно, что при использовании модели без вытеснения не удается снизить значение функционала до значения, полученного по модели с вытеснением (функционалы принимают значения 764.28 и 743.63 соответственно). Более того, даже оптимизация по одному параметру (п. 4.6.1) по модели с вытеснением дает значения 760.37 меньшее, чем оптимизация по многим параметрам с моделью с единым описанием. Это позволяет сделать вывод о недостаточности модели с единым описанием бурового раствора и поровой жидкости для адекватного определения параметров среды. Судя по функционалам, модель с вытеснением поровой жидкости позволяет найти лучшее приближение к экспериментальному расходу и описать процесс фильтрации корректнее.
В данной главе на основе уравнения неразрывности получены уравнения радиальной фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористую среду, которые ранее в литературе не рассматривались. Построенная модель радиальной фильтрации в трещиновато-пористую среду также включает в себя описание вытеснения поровой жидкости буровым раствором.
Для решения прямой задачи разработан эффективный численный алгоритм на основе неявной консервативной конечно-разностной схемы. При создании схемы учитывались требования на устойчивость и быстроту счета. При этом возникающие при построении схемы трудности были связаны со скачком значений коэффициентов сжимаемости, степенного показателя и предела пластической деформации на границе жидкостей, описанием её движения, а также с необходимостью линеаризации уравнений.
Сформулирована обратная задача в виде оптимизационной и предложены надежные методы ее решения. Представлены результаты решения обратной задачи для различных групп варьируемых параметров. Исходя из оптимизационных расчетов, можно сказать, что модель с вытеснением поровой жидкости позволяет описать процесс фильтрации корректнее, чем модель без вытеснения поровой жидкости, за счет нахождения лучшего приближения к зависимости измерений расхода от времени, полученной в результате эксперимента.
В данной главе ставится и решается задача определения структуры прискважинной области по результатам высокочастотного индукционного каротажного изопараметрического зондирования (ВИКИЗ). Предполагается, что скважина окружена несколькими цилиндрическими слоями, каждый из которых характеризуется внешним радиусом, удельным электрическим сопротивлением (УЭС) и диэлектрической проницаемостью (ДП). Распространение магнитного поля описывается уравнениями Максвелла, входными параметрами которых являются радиусы, УЭС и ДП. Из решения уравнений определяются разности фаз и амплитуд магнитного поля. Зная из ВИКИЗ эти величины, можно поставить обратную задачу определения радиусов слоев, УЭС и ДП каждого из слоев, сформулировав её в виде оптимизационной задачи. В ней на наборе параметров структуры области решаются уравнения Максвелла, и минимизируется функционал отклонения между замерами и рассчитанными значениями разностей фаз и амплитуд. Другими словами, обратная задача состоит в подборе множества радиусов, УЭС и ДП для всех слоев, обеспечивающих максимальное совпадение рассчитанных и замеренных характеристик. В этой главе проводится модификация операторов селекции и рекомбинации ГА, позволяющая избегать сходимость ГА к локальным минимумам и ускоряющая саму сходимость. 5.1. Структура прискважинной области
Реальная прискважинная область моделируется набором из / цилиндрических слоев, включая саму скважину (рисунок 66). Каждый её г-ый слой (г= 1,...,/) характеризуется шириной слоя гиге, УЭС дє, ДП є\. У последнего слоя прискважинной области w\ = оо.
Высокочастотное индукционное каротажное изопараметрическое зондирование (ВИКИЗ) В результате ВИКИЗ имеется вектор Ре экспериментально полученных данных, зависящих от параметров слоев пласта реальной прискважинной области Ре = (Р,Р;,...,Р$ = РеК, <,..., wU, РЇ,...,РЇ, є[,...,є]) (85) Вектор Ре имеет размерность 2L и его компонентами являются ре ={А^' i = l,...,L; 1 [A-L, i = L + l,...,2L; где Лср - разность фаз, А - относительная амплитуда магнитного поля, L -число зондов, участвующих в эксперименте. Совпадение обозначения L с обозначениями числа датчиков и числа режимов, используемых в предыдущих главах, случайно и далее в главе 2 будет использоваться для обозначения количества зондов.
Разработанный численный алгоритм верифицирован на тестовых задачах, в которых задано три или четыре слоя с их известными свойствами. Решена прямая задача при 9 зондах. Полученные значения вектора Р = (Р1г.., Р18) взяты в качестве Ре для обратной задачи. Решение обратной задачи дало структуру, близкую к заданной. 5.5.1. Трехслойная модель прискважинной области
Решена задача для прискважинной области с тремя слоями I = 3, К = 8, х = (w1, w2, Pi, р2, Рг 5 еъ е2> ез)- Так как ДП не оказывает существенного влияния на экспериментальные данные Ре, то они фиксируются следующим образом е1 = 60, е2 = 20, е3 = 15. Ширина w1 и УЭС рх скважины -также известные величины щ = 0.31, рх = 2.0 и не варьируются при решении оптимизационной задачи. Таким образом, в рассматриваемой трёхслойной модели варьируются три параметра среды 0.01 < w2< 2.392, 0.01 < р2 < 200, 0.01 < р3 < 200. В таблице 12 приведены используемые при решении обратной задачи компоненты вектора Ре.
В результате расчетов было замечено, что для р = 100 решение задачи легко находится, а при р = 200 скатывается к локальному минимуму. Анализ распределения функционала показал, что между глобальным минимумом и областью локального минимума находится область высокого значения, затрудняющая переход. Структура этого распределения приведена в приложении А. Для того, чтобы сделать алгоритм более универсальным, рассматривались различные его модификации: введение функции качества по нишевому числу, зависимость параметра селекции от поколения, последовательное нахождение решения, использующее предыдущий шаг. Наиболее эффективным и к тому же простым оказался подбор параметра селекции.
Ситуации, когда нет сходимости к точному решению задачи, можно избежать, изменяя значение параметра селекции Тг. В процессе создания поколения участвуют Тг р (для Тг = 0.3, р = 1000, величина Тг р = 300) индивидуумовИз таблицы 11 видно, что при использовании модели без вытеснения не удается снизить значение функционала до значения, полученного по модели с вытеснением (функционалы принимают значения 764.28 и 743.63 соответственно). Более того, даже оптимизация по одному параметру (п. 4.6.1) по модели с вытеснением дает значения 760.37 меньшее, чем оптимизация по многим параметрам с моделью с единым описанием. Это позволяет сделать вывод о недостаточности модели с единым описанием бурового раствора и поровой жидкости для адекватного определения параметров среды. Судя по функционалам, модель с вытеснением поровой жидкости позволяет найти лучшее приближение к экспериментальному расходу и описать процесс фильтрации корректнее.
В данной главе на основе уравнения неразрывности получены уравнения радиальной фильтрации жидкости Гершеля-Балкли в трещиновато-пористую среду, которые ранее в литературе не рассматривались. Построенная модель радиальной фильтрации в трещиновато-пористую среду также включает в себя описание вытеснения поровой жидкости буровым раствором.
Для решения прямой задачи разработан эффективный численный алгоритм на основе неявной консервативной конечно-разностной схемы. При создании схемы учитывались требования на устойчивость и быстроту счета. При этом возникающие при построении схемы трудности были связаны со скачком значений коэффициентов сжимаемости, степенного показателя и предела пластической деформации на границе жидкостей, описанием её движения, а также с необходимостью линеаризации уравнений.
Сформулирована обратная задача в виде оптимизационной и предложены надежные методы ее решения. Представлены результаты решения обратной задачи для различных групп варьируемых параметров. Исходя из оптимизационных расчетов, можно сказать, что модель с вытеснением поровой жидкости позволяет описать процесс фильтрации корректнее, чем модель без вытеснения поровой жидкости, за счет нахождения лучшего приближения к зависимости измерений расхода от времени, полученной в результате эксперимента.
