Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предельные возможности противоударного изолятора 26
1.1 Предельные возможности изоляции удара в трех-компонентной системе 26
1.2 Оптимизация изоляторов в трех-компонентной системе 28
1.2.1 Модель механической системы и уравнения движения 28
1.2.2 Анализ предельных возможностей. Задача оптимального управления 30
1.2.3 Пример. Мгновенный удар 35
1.2.4 Обобщение для модели со многими степенями свободы 37
1.2.5 Пример для системы с тремя степенями свободы 41
1.3 Предельные возможности противоударной защиты человека с учетом интегрального критерия ожидаемой тяжести травмы головы 49
1.3.1 Интегральный критерий ожидаемой тяжести травмы головы 49
1.3.2 Постановка задачи оптимального управления 54
1.3.3 Построение решения 56
1.3.4 Анализ и обсуждение результатов 62
1.3.5 Минимизация функционала КОТТГ при ограниченном пути торможения 68
1.3.6 Другие законы управления 69
Заключение 73
Глава 2. Параметрический синтез противоударного изолятора 75
2.1 Противоударный изолятор с упреждающим управлением 75
2.1.1 Постановка задачи и некоторые известные результаты 75
2.1.2 Параметрический синтез пассивного упреждающего противоударного изолятора 78
2.1.3 Оценка эффективности работы упреждающего изолятора при неточном знании времени упреждения 82
2.2 Оптимальная защита системы с двумя степенями свободы от ударов и
вибраций 84
2.2.1 Постановка задачи 84
2.2.2 Результаты компьютерного моделирования 87
Заключение 89
Глава 3. Разработка программной системы 91
3.1 Алгоритмы 91
3.2 Графический интерфейс пользователя 96
Заключение 98
Заключение 99
Список литературы
- Оптимизация изоляторов в трех-компонентной системе
- Пример для системы с тремя степенями свободы
- Постановка задачи и некоторые известные результаты
- Графический интерфейс пользователя
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Средства эффективной защиты человека и оборудования от ударов необходимы при авариях на транспорте. Примером автомобильной аварии является лобовое соударение автомобиля о препятствие на дороге. Средствами защиты водителя и пассажиров в автомобиле служат ремни безопасности, воздушная подушка безопасности, а также конструкция передней части автомобиля. Примером аварии летательного аппарата является падение и удар о землю вертолета с неработающим двигателем. Средствами защиты экипажа и пассажиров вертолета служат изолятор удара, расположенный между креслом пассажира и полом вертолета, а также конструкция шасси вертолета. Примером аварии на водном транспорте является подводный взрыв, которому подвергается военно-морской корабль. Средством защиты электронного оборудования на корабле служит противоударная стойка, расположенная на палубе корабля. Во всех перечисленных случаях необходимы максимально эффективные средства безопасности.
Один из способов уменьшения уровня ударов и вибрации, передаваемых людям и оборудованию, это крепление сидений пассажиров и других устройств не твердо к основанию, а гибко, с помощью систем, называемых изоляторами ударов. Изоляторы суть управляющие устройства, которые реагируют на внешние динамические воздействия так, чтобы уменьшить нагрузки, действующие на защищаемый объект. В настоящее время существует большое разнообразие систем изоляции, от относительно простых пассивных изоляторов, состоящих из пружины и гидравлического демпфера, до достаточно сложных систем, содержащих датчики, которые измеряют воздействие и характеристики движения, и цифровые контроллеры.
Причиной обращения к теме противоударной изоляции сейчас являются высокие требования безопасности человека, предъявляемые к современным автомобилям и другим видам транспорта. Например, требование безопасности пешехода. Когда автомобиль сбивает пешехода, пешеход не должен получить тяжелую травму при ударе головой о капот автомобиля. Поэтому производители автомобилей заинтересованы в повышении эффективности средств безопасности.
Для разработчиков устройств травмобезопасности необходимо знать предельные возможности этих устройств, а также закон управления, реализующий эти возможности. Под предельными возможностями понимаются, например, минимальные геометрические размеры устройства при заданном качестве защиты от удара. Закон управления это
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ і 1
осциллограмма управляющей силы, прикладываемой устройством к защищаемому телу. Об осциллограмме управляющей силы нужна такая информация как наличие или отсутствие импульсных компонент. Важна оценка эффективности изолятора удара, если закон управления отличается от оптимального.
Впервые задача о предельных возможностях изоляции была сформулирована Е. Севиным в 1950-х годах. В задаче рассмотрена двухкомпонентная модель системы изоляции, когда в состав системы изоляции входят основание, подвергающееся удару, и защищаемый объект. Изолятор, расположенный между основанием и объектом, производит силу, зависящую от времени. Требуется определить такую силу, при которой отклонение объекта относительно основания минимально, а ускорение объекта ограничено заданной величиной. В терминах теории управления, это задача определения оптимального программного управления. Методы решения такой задачи для различных ударных воздействий были предложены В. В. Турецким, Е. Севиным и У. Пилки (1960-70-е гг.)
Наряду с задачей о предельных возможностях изоляции удара известна задача параметрического синтеза изолятора удара. В этой задаче задана силовая характеристика изолятора удара. Требуется определить оптимальные параметры силовой характеристики. В терминах теории управления, это задача определения оптимального управления с обратной связью. Для широкого класса пассивных у пру го-демпфированных изоляторов и мгновенного удара оптимальные параметры были определены Н. Н. Болотником (1983г.)
В теории оптимальных систем защиты от ударов анализ проводится на основе моделей механических систем, известных в биомеханике и автомобилестроении. Среди них трехкомпонентная модель, описывающая динамическое поведение позвоночника человека и прилегающей к нему части тела при продольном ударном нагружении, трехкомпонентная модель динамического поведения груди человека при поперечном ударе, двухкомпонентная модель механического поведения головы человека при ударе о твердую поверхность. Эти модели позволяют рассчитывать значения механических характеристик, на основе которых можно судить о степени тяжести травм, получаемых человеком в результате ударов. Перечисленные модели могут быть применены для оценки эффективности и оптимизации средств противоударной защиты человека на транспорте, на производстве, в спорте и других сферах деятельности, связанных с повышенной опасностью травм в результате ударов.
В настоящее время теория изоляции ударов для двухкомпонентных систем сформирована. Для некоторых видов внешних воздействий
2 -; ' " ... :
''ч it *****
получены аналитические решения задачи о предельных возможностях и задачи параметрического синтеза. Разработан фафо-аналитический и численные методы решения задачи о предельных возможностях. Исключение составляет задача оптимального торможения головы человека при ударе о твердую поверхность. Особенность этой задачи в сложной форме критерия тяжести травмы головы. Насколько известно автору, детальный анализ задачи с таким критерием не проводился, хотя в частных случаях оптимальные управления строились (Й. Окамото (1994г.))
В трехкомпонентной модели системы изоляции в состав системы входят основание, подвергаемое удару, корпус и защищаемый объект. Корпус и защищаемый объект соединены пружиной и демпфером, а оптимизируемый изолятор располагается между основанием и корпусом. В задаче о предельных возможностях требуется определить силу изолятора, при которой смещение корпуса относительно основания минимизируется, а ускорение защищаемого объекта и смещение объекта относительно корпуса ограничены. Баландиным (2001 г) предложен численный метод решения такой задачи. Автору представляется полезным решение задачи о предельных возможностях изоляции в трехкомпонентной системе, в которой между объектом и корпусом также располагается оптимизируемый изолятор.
Одним из современных направлений в ударозащите является оптимальная противоударная изоляция с упреждающим управлением. При таком управлении изолятор удара начинает действовать не одновременно с началом ударного воздействия, а за некоторое время до него. Д.В.Баландиным и Н.Н. Болотником (2001 г) была доказана высокая эффективность оптимального изолятора с упреждающим управлением. Д.В. Баландин (2003г) определил оптимальные параметры упреждающего изолятора, реализованного на основе пружины без демпфера. Автор отмечает необходимость исследования влияния демпфирования на эффективность противоударного изолятора с упреждением.
Цель работы
Целью диссертационной работы является аналитический и численный расчет оптимальных систем защиты от ударов. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие основные задачи.
1. Исследование предельных возможностей изоляции удара в многомассовой системе, состоящей из основания, корпуса и защищаемого объекта, соединенных противоударными изоляторами. Защищаемый объект представляет собой набор масс, соединенных упругими и демпфирующими элементами.
2. Исследование предельных возможностей противоударных
травмозащитных средств с учетом интегрального критерия ожидаемой
тяжести травмы головы на основе модели удара по нормали к поверхности
при поступательном движении головы человека.
-
Исследование возможностей защиты от удара с помощью изолятора упреждающего действия на основе линейного упругого элемента и квадратичного демпфера одностороннего действия.
-
Определение оптимальных параметров противоударного изолятора в трехкомпонентной системе изоляции удара и вибраций.
5. Разработка программной системы для численного расчета
предельных возможностей защиты от ударов различной формы в двух- и
трехкомпонентных системах.
Основные результаты, выносимые на защиту
1 Предложен метод решения задачи о предельных возможностях
изоляции удара в многомассовой системе. Метод основан на решении
исходной задачи со многими степенями свободы с помощью решения
дополнительной задачи с меньшим количеством степеней свободы.
Дополнительная задача решается, как правило, численными методами, но
для некоторых систем с двумя или тремя степенями свободы она может
быть решена аналитически. Определен класс задач, решаемых этим
методом. Эффективность метода подтверждена примерами.
-
Найден оптимальный закон торможения головы человека при ударе головой о поверхность с противоударным покрытием. Установлено, что оптимальный закон торможения содержит участки, на которых величина ускорения головы очень велика. Число таких участков возрастает с увеличением скорости удара головой о поверхность и с уменьшением максимально допустимого значения критерия ожидаемой тяжести травмы головы.
-
Найдены оптимальные параметры упреждающего противоударного изолятора на основе упругого и демпфирующего элементов. Установлено, что настройка такого изолятора на упреждающий режим позволяет более чем в три раза уменьшить значение критерия качества по сравнению с неупреждающим режимом. Использование такого типа изолятора позволяет в полтора раза улучшить качество защиты по сравнению с оптимальным упреждающим изолятором на основе линейной пружины без демпфирования. Исследовано влияние ошибки в определении времени удара на качество противоударной изоляции.
4. Численно определены оптимальные параметры противоударного изолятора в трехкомпонентной системе изоляции удара и вибраций.
5. Разработана программная система для численного расчета предельных возможностей защиты от ударов различной формы в двух и трехкомпонентных системах.
Методы исследования
Применяемые в диссертации методы исследования используют математический аппарат теории дифференциальных уравнений, механики, математического анализа, а также теорию численных методов, включают в себя методы создания комплексов программ.
Обоснованность научных положений
Теоретические результаты, полученные в диссертации, представлены в виде аналитических выражений. Приведены формулировки задач и их математически строгие решения. Правильная работа программной системы проверена путем сравнения результатов численного решения и известных аналитических решений для некоторых частных случаев.
Научная новизна работы
-
Сформулирована оригинальная задача о предельных возможностях изоляции удара в многокомпонентной системе. В отличие от известных задач, в которых необходимо оптимизировать один противоударный изолятор, в данной задаче требуется оптимизировать два изолятора. Предложен метод решения такой задачи.
-
Аналитически решена задача об оптимальном законе торможения головы человека при ударе головой о поверхность с противоударным покрытием. В отличие от известных ранее результатов, установлено, что для некоторых случаев оптимальный закон торможения содержит не один, а несколько участков, на которых величина ускорения головы очень велика.
3. Рассмотрены оптимальные противоударные изоляторы
упреждающего действия. Установлено, что противоударный изолятор, в
состав которого входит демпфирующий элемент, является более
эффективным, чем изолятор без такого элемента.
Практическая значимость работы
Результаты работы являются вкладом в теорию оптимальных систем противоударной защиты. Результаты работы могут быть использованы в технике при проектировании средств защиты человека от травм, причиняемых ударами, и средств противоударной защиты оборудования.
Предложенный метод решения задачи о предельных возможностях изоляции удара в многомассовой системе может быть использован при
проектировании таких устройств как автомобили, вертолеты, средства креплений кресел на колесах при перевозке в транспорте. Например, в современных автомобилях изоляция водителя и пассажиров от лобовых ударов обеспечивается не только системой ограничения их перемещения внутри автомобиля (ремни безопасности и воздушные подушки), но также с помощью соответствующих деформационных свойств передней части автомобиля. В этом случае роль основания, корпуса и объекта играют передний бампер автомобиля, кабина и водитель (пассажир) соответственно. Ремень и воздушная подушка могут рассматриваться как изоляторы между объектом и корпусом, а деформируемая передняя часть автомобиля - как дополнительный изолятор между основанием и корпусом.
Решение задачи о предельных возможностях изоляции с учетом критерия ожидаемой тяжести травмы головы может быть использовано при проектировании подкладок шлемов и удароизолирующих покрытий детских и спортивных площадок.
Оптимальный противоударный изолятор с упреждением может быть использован в вертолете для защиты пилота от травмы спины в случае аварийной посадки. Противоударный изолятор располагается между корпусом вертолета и сиденьем пилота. Время включения упреждающего изолятора рассчитывается на основе данных высотомера вертолета.
Разработанная в диссертации программная система может служить эффективным инструментом для инженера-проектировщика средств противоударной защиты на первых этапах проектирования удароизолирующих устройств.
Результаты диссертации использованы в работе по проектам РФФИ № 02-01-00157, № 04-01-00222, Программы поддержки ведущих научных школ России НШ-1627.2003.1, НШ-1729.2003.2, НШ-1638.2003.8, NSF BES-0302337, NATO PST.CLG.979409.
Апробация работы
Результаты, полученные в настоящей диссертации, доложены на трех всероссийских и международных конференциях:
6-я Всероссийская конференция «Нелинейные колебания механических систем,» Н. Новгород, сентябрь 2002;
International conference "Physics and Control (PhysCon2003)," Russia, S.Petersburg, August 2003;
2nd international conference "Physics and Control (PhysCon2005)," Russia, S.Petersburg, August 2005.
Результаты работы также доложены на шестой и седьмой научных конференциях по радиофизике (Н. Новгород, 2002 и 2003), на
Нижегородской акустической научной сессии (Н. Новгород, 2002) и на восьмой Нижегородской сессии молодых ученых (Н. Новгород, 2003).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, в том числе в 4 статьях в реферируемых журналах и в 8 статьях в сборниках трудов конференций.
Структура работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Содержит і'ЗО страниц, включая список литературы из ЗУ наименований и ^3 иллюстраций.
Оптимизация изоляторов в трех-компонентной системе
Рассмотрим систему трех масс, изображенную на Рис. I. Движение тела О (основания) описывается относительно фиксированной (инерциальной) системы отсчета. Тело 1 прикреплено к основанию с помощью управляющего устройства, которое производит управляющую силу Fx. Тело 2 прикреплено к телу 1 управляющим устройством, которое производит управляющую силу F2.
Предполагается, что все три тела способны перемещаться вдоль одной и той же прямой линии. Движение системы описывается уравнениями х0 =ст(0, mlxl=Fi-F2, m2x2=F2, (1.2.1) гдед:0, Xj и х2 - координаты (смещения) соответствующих тел относительно инерциальной системы отсчета, т1 и т2 - массы тел I и 2, соответственно, и a(t) заданная функция, которая описывает возмущение основания.
Модель (1.2.1) часто используется в теории изоляции удара. В этом случае, основание отождествляется с несущим телом (транспортным средством или подвижным основанием), подвергаемым ударному воздействию, тело 1 отождествляется с корпусом, прикрепленным к основанию с помощью изолятора, который производит управляющую силу Fx, а тело 2 отождествляется с объектом, защищаемым от удара. Объект прикреплен к корпусу с помощью дополнительного изолятора, который производит управляющую силу F2.
Эта модель допускает различные интерпретации в терминах техники. Рассмотрим две из них, которые довольно типичны с точки зрения проектирования травмобезопасных транспортных средств стойких к ударным воздействиям. Важна проблема создания общественной перевозки такой же безопасной для инвалидов, использующих кресла на колесах, как и для других людей. Было бы полезно иметь надежные системы ограничения (крепления), которые прикрепляют кресло на колесах к телу транспортного средства (например, автобуса), а пассажира кресла на колесах к сиденью этого кресла. В случае удара, эта система, в идеале, обеспечила бы эффективную изоляцию от удара которая была бы не хуже изоляции, обеспечиваемой стандартными ремнями безопасности. Можно использовать модель (1.1.1) для анализа предельных возможностей такой системы ограничения. В этом случае, основание отождествляется с автобусом, тело 1 с креслом на колесах, а тело 2 с пассажиром кресла на колесах. Управляющая сила Fl характеризует крепление кресла на колесах к телу автобуса, а управляющая сила F2 действует из-за устройства ограничения, сохраняющего пассажира в его/ее сиденья.
Другая ассоциация связана с проектированием машин стойких к ударным воздействиям с помощью оптимизации деформационных свойств передней части автомобиля и системы ограничения водителя/пассажира. В этом случае основание отождествляется с препятствием, ударяемым машиной в случае аварии, тело 1 отождествляется с кабиной автомобиля, а тело 2 с водителем или пассажиром. Управляющая сила Fl производится из-за аварийной деформации тела автомобиля, а управляющая сила F2 из-за действия системы ограничения пассажира (ремня безопасности). Задача определения оптимальных характеристик деформации тела автомобиля для заданных характеристик ремня безопасности была рассмотрена в [69].
Далее мы будем решать задачу оптимального управления для системы (1.1.1), где управляющая сила F2 подвергается ограничению в то время как управляющая сила Ft неограничена. В этом случае удобно представить эту систему в терминах ускорений, д?0 = о"(/), .к, = щ, х2=и2, где щ = (F1 - F2)lтг, и2 = F2/m2. (1.2.2)
В системе (1.2.2), управляющие переменными являются ускорения щ и и2. Ускорение и2 ограничено поскольку сила F2 ограничена, а щ неограничено. Поэтому и, и щ могут рассматриваться как независимые управляющие функции. Получив управляющие функции их и и2, можно легко рассчитать управляющие силы Fx = ШуЩ + т2и2, F2 = т2и2. (1.2.3) В дальнейшем будем ссылаться на переменные щ и и2 как на управляющие силы, чтобы избежать использование «неуклюжего» термина управляющее ускорение.
Пример для системы с тремя степенями свободы
Рассмотрим систему с тремя степенями свободы, изображенную на Рис. 2. Эта система включает в себя основание, контейнер (тело I массой /и,), и защищаемое тело 2. Тело 2 состоит из двух тел - основание тела массой т2 и внутренней массы /и. Основание тела и внутренняя масса соединены элементом пружина/демпфер с коэффициентом упругости к и коэффициентом демпфирования с. Корпус прикреплен к основанию с помощью изолятора удара, который производит управляющую силу Fl. Основание тела прикреплено к корпусу другим ударным изолятором, который производит силу F2. Движение системы описывается с помощью набора уравнений х0 = o(t), т. х. = F.-F,, 1112 (1.2.58) m2x2+fii(y+x2) = F2, М(У+х2) = -су-ку, где х0, х1 и х2 - смещения основания, корпуса и основания тела, соответственно, относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета, у - смещение внутренней массы относительно основания тела, и a(t) - заданное ускорение основания (ударный импульс).
Система (1.2.58) является частным случаем системы (1.2.39) для п = \ и У = -су - ку. (Когда рассматриваемая система содержит только одну внутреннюю массу, мы будем опусткать нижний индекс 1 у параметра //, который представляет величину этой массы и у переменной у, которая представляет смещение внутренней массы относительно основания тела.)
Модель (1.2.58) может быть использована, например, для анализа предельных возможностей системы изоляции удара, созданной для предотвращения повреждения спины пилота вертолета в случае тяжелой аварийной посадки. В этом случае основание может быть отождествлено с колесами шасси вертолета, тело 1 (корпус) с корпусом вертолета, основание тела с нижней частью тела пилота, внутренняя масса с верхней частью тела пилота, сила F1 с силой взаимодействия корпуса вертолета с шасси, и сила F2 с управляющей силой, производимой сиденьем кресла пилота чтобы уменьшить тяжесть травм спины пилота. Элемент пружина/демпфер моделирует упругие и диссипативные свойства позвоночника пилота. Функция cr(t) описывает осциллограмму ускорения колес шасси в течение тяжелой посадки. Используем преобразование Ui=ElZR, и2= -, /Z = A с=-, к=-. (1.2.59) /и, т2 т2 /л /л чтобы привести (1.2.58) к форме (1.2.40). Таким образом, х0 = ст(0, .. .., (1-2.60) х2+ (у + х2) = и2, у + х2=-су-ку, Рассчитаем поведение этой системы с помощью четырех критериев качества: (a) максимальная величина смещения нижней части тела пилота относительно основания кресла (жестко связанного с корпусом вертолета), Jl(ui,u2) = max x,(0- i(OI» (1.2.61) /є[0,«) (b) максимальная величина управления щ, приложенная сиденьем кресла к нижней части тела пилота,
Следуя подходу предыдущего раздела, решим сначала вспомогательную задачу (Задачу 1.7). Это задача оптимального управления движения защищаемого тела (пилота) по отношению к основанию (земле), а не по отношению к корпусу (вертолету). В отличие от основной задачи управления (Задачи 1.6), вспомогательная задача включает только одну управляемую переменную, и2. Эта переменная ограничена в постановке задачи, что значительно облегчает численное решение.
Чтобы решить Задачу 1.7, мы применили метод [39], основанный на дискретизации и сведении задачи оптимального управления к задаче линейного программирования.
Решение Задачи 1.7 изображено на Рис. 3-5. Рисунок 3 изображает осциллограмму управляющей переменной щ. Рисунок 4 показывает осциллограмму смещения нижней части тела пилота, х2, относительно колес шасси вертолета. Рисунок 5 представляет осциллограмму смещения верхней части тела пилота, у, относительно нижней части тела пилота.
Поскольку в рассматриваемом примере х0 = 0 (колеса шасси мгновенно останавливаются в результате удара и затем остаются неподвижными), значение критерия J,(w2) в (1.2.50) равно максимуму модуля переменной х2. Следовательно, как видно из Рис. 4, Ja= 0.612м. (1.2.72) В соответствии с (1.2.71) и (1.2.72), имеем J D3. Поэтому, как следует из (1.2.16), минимум максимального смещения нижней части тела пилота по отношению к основанию кресла jrmm =J"-D3=0.\62M. (1.2.73) Из (1.2.54), оптимальное управление «,(/) для Задачи 1.6 определяется 6{t), (1.2.74) «.(О-A-U(t)+j-y(t)+j-y(0 -v„ -A j, т2 тг ) J\ где y(t) - функция, построенная на Рис. 5. Закон управления (1.2.74) содержит основную компоненту (0=-Ы"2(0+—Я0+—ХО = 0.735«2(0+30.06ЯО+3550ЯО(1.2.75) Jx у т2 тг ) и импульсную компоненту «;(/)=-v0 - - (0 = -2.4885(/). (1.2.76) Основная компонента оптимального управления ux(t) изображена на Рис. 6. Вернемся к исходной модели (1.2.58). Эта модель включает управляющую силу Fx, приложенную шасси вертолета к корпусу вертолета. В соответствии с (1.2.58) и (1.2.59), эта сила определяется и,Ч—- и2 Fl ml /и, (1.2.77) Ч У где тх - масса корпуса вертолета. Поэтому, чтобы рассчитать оптимальную силу Ft выражение (1.2.74) нужно подставить вместо и, и функцию u2(t) вместо и2 в (1.2.77). Заметим, что член (т21тх}и2 в (1.2.77) намного меньше чем и,, в то время как, как следует из (1.2.74) и (1.2.75), основная компонента управляющей функции
Mi(0 и управляющей функции u2(t)(= u2(t)) имеют один и тот же порядок величины, а масса вертолета намного больше массы пилота. Поэтому Fx может быть аппроксимирована
Постановка задачи и некоторые известные результаты
Пусть защищаемый объект массы т прикреплен к подвижному основанию с помощью противоударного изолятора. Основание и объект моделируются материальными точками, которые движутся вдоль одной прямой. Пусть х — смещение объекта относительно основания, х0 — смещение основания относительно инерциальной системы отсчета. Управляющая сила и (характеристика изолятора) зависит от смещения х, относительной скорости л: и времени /. Считаем, что в момент времени / = 0 основание подвергается мгновенному удару интенсивности р 0. В этом случае уравнение движения системы имеет вид тх - и(х, х, t) = -тх0, xQ = /3S(t), (2.1.1) где 5(t) — дельта-функция Дирака. Предполагается, что перед ударом в момент времени / = -/0, t0 0, объект покоится относительно основания. Начальные условия движения объекта имеют вид х(-/0) = 0, (-/ ,) = 0. (2.1.2) Пусть противоударный изолятор начинает действовать с силой u(x,x,t) в момент времени t = 0. Показателями, характеризующими качество защиты объекта от удара, служат максимум модуля отклонения защищаемого объекта относительно основания /,(«,ґ0)= max х(0 (2.1.3) и максимум модуля силы, действующей на защищаемое тело JJu,t0)= max \u(x,x,t)\ (2.1.4) Сформулируем задачу о предельных возможностях изоляции удара при упреждающем управлении.
Задача 2.1. Пусть движение системы описывается уравнением (2.1.1) с начальными условиями (2.1.2). Требуется определить кусочно-непрерывное управление u0(t) и значение / начального момента времени /0 такие, что Jx(uQ/0) = mm{Jx(u,tu) I J2(u,t0) U}, (2.1.5) И. о где U - заданное число.
Такая постановка задачи соответствует требованию минимизации максимального смещения изолируемого объекта при условии, что сила, действующая на объект, не превышает U. Значение критерия качества (и0, ), рассчитанное в результате решения задачи, не может быть уменьшено выбором конструкции изолятора или момента времени t0. Задача о предельных возможностях изоляции удара решена в книге [39] с помощью графоаналитического метода. Показано, что минимальное значение максимума модуля отклонения защищаемого объекта определяется выражением lot/ Использование упреждающего управления позволяет значительно улучшить предельные возможности изоляции удара по сравнению с неупреждающим управлением. В последнем случае /0=0 и предельно достижимое минимальное значение функционала J, определяется выражением Мщ/о)= - (2.1.7)
Таким образом, при использовании упреждающего управления значение величины Jx уменьшается в 8 раз.
При проектировании систем защиты объектов от ударов часто необходимо использовать только пассивные изоляторы, характеристики которых не зависят явно от времени [39]. Рассмотрим пассивный изолятор, характеристика которого зависит от смещения х защищаемого объекта относительно основания и относительной скорости х: u(x,x) = cx + f(x,k)x, (2.1.8) где с — коэффициент жесткости, f(x, к) — неотрицательная функция, зависящая от относительной скорости защищаемого объекта х и коэффициента демпфирования к. Второе слагаемое в выражении (2.1.8) характеризует демпфирующие свойства изолятора. Упреждающее действие такого изолятора может быть осуществлено путем предварительного сжатия («взвода») изолятора и освобождения его в определенный момент времени до удара. Пусть в момент времени t = 0 изолятор сжат на величину а О. Тогда начальные условия движения защищаемого объекта имеют вид хИ0) = л, (-/„) = 0. (2.1.9)
Мгновенный удар /35(t) эквивалентен мгновенному изменению относительной скорости защищаемого объекта х в момент времени удара t = 0, смещение объекта х при этом не изменяется. Следовательно, уравнение движения защищаемого объекта (2.1.1) может быть заменено уравнением mx + cx+f(x,k)x = 0 (2.1.10) с дополнительными условиями при t = 0: х(+0) = х(-0), х(Щ = х(-0) + /3, (2.1.11) где х(-0) и х(-0) обозначают координату (смещение) и скорость защищаемого объекта непосредственно перед ударом, а х(+0) и х(+0) - значения этих переменных непосредственно после удара. Критерии качества (2.1.3) и (2.1.4) принимают вид: Jt(c,k,t0,a)= max (f), ч- -"0 (2.1.12) J2(c,k,t0,a)= max \cx + f(x,k)x\. »є[- о.)
Сформулируем задачу оптимизации параметров противоударных изоляторов с упреждающим управлением.
Задача 2.2. Пусть движение защищаемого объекта относительно основания описывается уравнением (2.1.10) с начальными условиями (2.1.9) и дополнительными условиями (2.1.11). Требуется определить оптимальные значения времени упреждения (/„ =t 0), начальной координаты защищаемого объекта (а = а0), коэффициента жесткости изолятора (с = с0) и коэффициента демпфирования ( к = к0) такие, что «ЛОоАЛ ао)= vtin{Jx(c,k,tQ,a)\J2{c,k,tQ,a) U}, (2.1.13) c,k,lg,a где U - заданное число.
В этой задаче осуществляется минимизация по четырем переменным. Рассмотрим упругий пассивный изолятор без демпфирования (пружину). В этом случае f(x,k) = 0 и характеристика изолятора (2.1.8) имеет вид и = сх. Для такого изолятора [1] Мс0,ґ0,а0) = . (2.1.14)
Сравнение равенств (2.1.14) и (2.1.7) показывает, что настройка упругого линейного изолятора без демпфирования на упреждающий режим позволяет в два раза улучшить качество изоляции по сравнению с неупреждающим режимом. Вместе с тем оптимальный упреждающий изолятор на основе линейной пружины дает в четыре раза худшее качество защиты по сравнению с предельными возможностями изолятора с упреждающим управлением (см. (2.1.6)).
Графический интерфейс пользователя
Рассмотрим механическую систему, изображенную на рис.1. Защищаемое тело (верхнее тело) крепится к основанию с помощью системы изоляции. Система изоляции состоит из нижнего тела, нижнего изолятора и верхнего изолятора. Обозначим тх и т2 массы нижнего и верхнего тел соответственно. Основание движется прямолинейно. Тела могут двигаться относительно основания так, что линии движения тел и основания совпадают. Основание и тела считаются абсолютно твердыми.
Нижний и верхний изоляторы пассивные. Предполагается, что управляющая сила У (характеристика изолятора) нижнего изолятора зависит от смещения л:, нижнего тела относительно основания и его относительной скорости JC,.
Управляющая сила /2 верхнего изолятора предполагается зависящей от разницы между относительными смещениями верхнего и нижнего тел. Считается, что каждый изолятор состоит из пружины и демпфера с линейными характеристиками. Характеристики нижнего и верхнего изоляторов определяются уравнениями: (2.2.1) J\ \х\ xi ) = i- i "+" /Cj fj, J2 \Х2 Х1» Х2 Х1 ) С2 \Х2 Х1) " " 2 V 2 Хі)ш Здесь сх О, с2 О и кх О, к2 О коэффициенты упругости и демпфирования нижнего и верхнего изоляторов соответственно. Обозначим х0 смещение основания относительно инерциальной системы отсчета. При внешнем воздействии кинематического типа, когда известно ускорение основания как функция времени x0(t), уравнения, описывающие относительные движения нижнего и верхнего тел, имеют вид: х2 +С2(х2 -хх) + К2(х2-хх) = -х0(t), 2 5с, - МС2 (х2 — хх)- МК2 (х2 -хх) + Qxx + Кххх = -х0 (ґ).
Здесь Сх=сх/т1, С2=с2/т2 и Kx=kxlmx, K2=k2/m2 относительные коэффициенты упругости и демпфирования нижнего и верхнего изоляторов соответственно; М = т2/тх. Коэффициенты С2, К2 и М определены: С2 =700 1/с2, К2=5 1/с, М = 0.5. Считается, что внешнее воздействие начинает действовать в момент времени / = 0. Для однозначного определения движения защищаемого тела из уравнений (2.2.2) зададим начальные условия в момент времени г = 0: хх(0) = х2 (0) = 0, W W (2.2.3) хх (0) = х2 (0) = 0.
При ударном внешнем воздействии наиболее важными критериями, характеризующими качество защиты от удара, являются максимум модуля ускорения защищаемого тела по отношению к инерциальной системе отсчета (абсолютное ускорение) JX(CX,KX), максимум модуля относительного смещения нижнего тела J2(CX,KX) и максимум модуля смещения верхнего тела относительно нижнего тела /3 (Q Кх):
Абсолютное ускорение характеризует силу, действующую на защищаемый объект, которая может нарушить нормальное функционирование объекта. Относительные смещения тел влияют на габаритные размеры системы изоляции удара. При внешнем вибрационном воздействии наиболее важным критерием, характеризующим качество защиты от вибраций, является максимальное (амплитудное) значение абсолютного ускорения защищаемого тела при установившихся колебаниях этого тела: У4(С„ ) = тахх20(01, (2.2.5) /е[0,«о) где х20 - функция, описывающая смещение защищаемого объекта относительно инерциальной системы отсчета в установившемся движении.
Считается, что параметры нижнего изолятора удовлетворяют ограничениям СХ С, Кх К, где С, К константы. Малое значение коэффициента С, соответствует большому статическому смещению нижнего изолятора и, следовательно, большим габаритным размерам системы изоляции. Малое значение коэффициента Кх соответствует длительному времени гашения колебаний, вызванных внешним ударным воздействием.
Таким образом, задача вычисления параметров системы защиты от ударов и вибраций может быть сформулирована следующим образом.
Задача. 2.3 Пусть движение механической системы описывается уравнением (2.2.2) с начальными условиями (2.2.3). Требуется определить область параметров нижнего изолятора Q = ((С,, А",):С, С,Кх К) такую, что JX(CX,KX)ZU, J2(CX,KX) D, J3(CX,KX) B, J4(CX,KX) R, (2.2.6) где U, D, В, R константы. Параметры U, D, В, R, С и К заданы: U = 3g, D = 0.05 м, В = 0.043 м, R = 0.2g, С = 2001/с2, ЛГ = 10 1/с. Некоторые из этих данных соответствуют требованиям к системам изоляции вибраций и ударов в стандартах США [55], [56]. Такая постановка задачи соответствует требованию, чтобы сила, действующая на защищаемый объект, не превышала допустимый уровень U при ограничениях на габаритные размеры системы изоляции, время гашения удара и качество изоляции вибраций.
