Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Определение структуры среды с помощью математической модели процесса теплопроводности 20
1.1. Задача об определении коэффициента температуропроводности почвы и другие приложения обратных задач для моделей теплопроводности 21
1.2. Обзор литературы 29
1.3. Чувствительность модели к изменению коэффициента 35
1.3.1. Функции чувствительности 35
1.3.2. Построение оператора чувствительности 38
1.3.3. Исследование свойств гладкости оператора чувствительности . 44
1.4. Исследование сходимости алгоритма проекции градиента 48
1.5. Краткие выводы по главе 58
Глава 2. Применение дифференциально-разностной модели для построения численного алгоритма решения обратной задачи 60
2.1. Дифференциально-разностный аналог обратной задачи 60
2.1.1. Определения и свойства 60
2.1.2. Дискретно-аналитическая численная схема для ДР прямой задачи 68
2.1.3. Градиент функционала невязки ДР обратной задачи 71
2.2. О сходимости градиента функционала невязки для ДР модели к градиенту функционала невязки для исходной модели 73
2.2.1. Сильная сходимость аппроксимации оператора прямой задачи . 74
2.2.2. Сильная сходимость оператора производной на гладких функциях 81
2.2.3. Слабая сходимость оператора производной на кусочно-постоянных функциях 84
2.2.4. Сходимость градиента 88
2.3. Краткие выводы по главе 91
Глава 3. Численное решение обратной задачи 92
3.1. Вычисление алгоритмических конструкций 93
3.1.1. Алгоритм вычисления правой части численной схемы 93
3.1.2. Вычисление градиента функционала невязки и оператора чувствительности 97
3.2. Численные эксперименты 103
3.2.1. Алгоритм проекции сопряженных градиентов 104
3.2.2. Влияние различных факторов на сходимость алгоритма 106
3.3. Численное исследование обратной задачи об определении температуропроводности почвы 112
3.4. Сравнительный анализ результатов 117
3.5. Краткие выводы по главе 122
Заключение 123
Список использованных источников 125
Приложение
- Чувствительность модели к изменению коэффициента
- сходимости градиента функционала невязки для ДР модели к градиенту функционала невязки для исходной модели
- Вычисление градиента функционала невязки и оператора чувствительности
- Численное исследование обратной задачи об определении температуропроводности почвы
Введение к работе
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Непосредственно узнать внутреннюю структуру среды часто или невозможно без её разрушения (как, например, в медицине и технике) или неэффективно экономически (как в геофизике и экологии). Если же в среде протекает некоторый процесс, то на основе его математической модели, а также доступных для измерения характеристик этого процесса можно попытаться восстановить структуру среды и самого процесса методами решения обратных задач. В контексте математического моделирования речь идет о решении обратной задачи, состоящей в количественной оценке параметров модели.
Модели теплопроводности (диффузии) достаточно универсальны и описывают широкий спектр физических, биологических и даже социальных процессов. К конкретным примерам относятся процессы теплообмена в почве, процессы диффузии (фильтрации) в нефтяных пластах, процессы изменения электромагнитных полей. Обратные задачи на основе моделей теплопроводности возникают в таких областях как геофизика, динамика атмосферы и океана, теплотехника и физика ядерных реакторов, биология, химия, экономика и др.
Как правило, обратные задачи некорректны по Адамару. Вследствие этого, минимизация функционалов, описывающих разницу между рассчитанными по модели и измеренными величинами, не всегда связана с убыванием ошибки в решении обратной задачи. Отдельной актуальной задачей является построение устойчивых численных методов и алгоритмов для решения обратных задач на ЭВМ.
Для нахождения условий применимости оптимизационных методов целесообразно анализировать модели с позиций теории обратных и некорректных
задач, с тем, чтобы применять методы решения, адекватные найденным свойствам. Источником общих методов решения может служить теория некорректных задач, получившая развитие в работах А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова и созданных ими научных школ. К настоящему времени в этой области имеется теоретически обоснованный математический аппарат, позволяющий решать широкий класс научных и практических задач. Поэтому сведение различных обратных задач к постановкам, изучающимся в теории некорректных задач, позволяет активно использовать накопленный опыт, а возвращение от абстрактных постановок к математическим моделям даёт возможность получать новые знания о моделируемых процессах.
Объектом исследования являются процессы распространения тепла и диффузии вещества в среде.
Предметом исследования являются характеристики температуропроводности среды и методы их определения, обратные задачи для моделей теплопроводности с данными измерений на границах области, численные алгоритмы градиентного типа для решения обратных задач, численные схемы, используемые в реализации таких алгоритмов на ЭВМ.
Целью работы являются разработка и обоснование методов численного нахождения коэффициентов моделей теплопроводности по данным граничных измерений характеристик тепловых (диффузионных) процессов в слоистых средах.
Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:
на примере задачи об определении температуропроводности почвы выполнен переход от постановки физической задачи к общей обратной коэффициентной задаче для модели теплопроводности;
для исследования полученной обратной задачи и построения эффективного алгоритма её решения использованы методы теории обратных и некоррект-
ных задач:
введением оператора прямой задачи, обратная задача переписана в виде операторного уравнения;
построен оператор чувствительности, характеризующий связь между разницей коэффициентов температуропроводности сред и разницей соответствующих им данных измерений на границе области;
исследованы свойства оператора прямой задачи и оператора чувствительности, применен адекватный этим свойствам градиентный метод решения нелинейных некорректных задач;
на основе дифференциально-разностного аналога модели теплопроводности
в слоистой среде построен алгоритм решения дискретного аналога опера
торного уравнения:
изучена связь между итерациями алгоритма и решением исходной обратной задачи;
разработаны взаимно-согласованные дискретно-аналитические численные схемы для вычисления составляющих градиента функционала невязки;
создан комплекс программ и проведены серии численных экспериментов;
с помощью комплекса программ и полученных теоретических результатов
проведено численное исследование обратной задачи об определении темпе
ратуропроводности почвы.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с применением методов математического моделирования, теории обратных и некорректных задач, теории возмущений, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории оптимизации, методов вычислительной математики. Для получения и анализа формул использовалась система
компьютерной алгебры, а для повышения эффективности программной реализации - методы прикладного параллельного программирования. Основные результаты, выносимые на защиту:
построен оператор чувствительности, связывающий разницу коэффициентов дифференциальной модели теплопроводности с разницей следов функции состояния модели на границе области;
определены свойства градиентных алгоритмов решения дифференциально-разностного аналога обратной задачи, сформулированные в виде теорем:
о сходимости градиента функционала невязки дифференциально-разностной обратной задачи в операторной форме к градиенту функционала невязки исходной обратной задачи в операторной форме;
о характере локальной сходимости алгоритма решения дифференциально-разностной обратной задачи методом проекции градиента (с постоянным параметром спуска) к решению исходной обратной задачи;
разработаны численные алгоритмы для исследования и решения дифференциально-разностной обратной задачи на основе совместного использования пространственных локально-сопряженных задач для уравнения теплопроводности и спектральных методов;
с применением распараллеливания посредством ОрепМР создан комплекс программ, реализующий алгоритмы решения и исследования дифференциально-разностной обратной задачи;
на примере задачи об определении температуропроводности почвы с помощью оператора чувствительности исследована прикладная обратная коэффициентная задача для уравнения теплопроводности.
Научная новизна работы. Для исследования возможности восстановления коэффициентов модели процесса теплопроводности построен компактный интегральный оператор чувствительности и изучены его свойства.
Доказаны теоремы, описывающие сходимость алгоритма решения дифференциально-разностной обратной задачи методом проекции градиента с постоянным параметром спуска к решению исходной обратной задачи.
Построены новые согласованные численные схемы для решения дифференциально-разностных прямых и сопряженных задач, а также вычисления градиента функционала, в которых совместно применяются аналитические решения локально-сопряженных задач и спектральные методы.
Обоснованность и достоверность результатов подтверждены доказательствами, согласием между теоретическими выводами и результатами численных экспериментов, а также согласием с выводами других авторов.
Теоретическая и практическая значимость состоит в том, что полученные результаты развивают теорию и методы численного решения обратных задач для моделей, описываемых системами параболических уравнений. Они представляют интерес для специалистов по математическому моделированию, вычислительной математике, обратным и некорректным задачам. Разработанные алгоритмы и реализующие их комплексы программ могут быть использованы для решения прямых и обратных задач, описываемых уравнениями параболического типа.
Представление работы: Основные результаты докладывались и обсуждались на Международной научной конференции «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященной памяти академика А.А.Самарского, Москва 2009; на Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию академика С.К. Годунова, Новосибирск 2009; на Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009, Новосибирск 2009; на Международной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" Новосибирск 2009; на Украинском Математическом Конгрессе,
посвященном памяти академика Н.Н.Боголюбова, Киев 2009; на конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной памяти В.К. Иванова, Екатеринбург 2008; на Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск 2008; на 5-ом международном конгрессе "Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008)", Венеция 2008; на 6-ой Международной конференции "Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice", Дурдан (Париж) 2008; на 4-ой Международной конференции "Inverse Problems: Modeling and Simulation", Олудениз (Турция) 2008; на Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" посвященной 75-летию академика М.М. Лаврентьева, Новосибирск 2007; на Международной конференции, посвященной 100-летию академика И.Н.Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", Новосибирск 2007.
Основные результаты докладывались на семинарах: в Институте математики СО РАН на семинаре лаборатории волновых процессов (под рук. чл.-корр. РАН В.Г. Романова), в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН на семинаре под рук. проф. А.Ф. Воеводина, в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН на объединенном семинаре ИВМиМГ и кафедры вычислительной математики НГУ (под рук. проф. В.П. Ильина), в Институте математики и механики УРО РАН на семинаре отдела некорректных задач анализа и приложений (под рук. чл.-корр. РАН В.В. Васина), в Институте вычислительных технологий на семинаре "Информационно-вычислительные технологии" (под рук. акад. Ю.И. Шокина и проф. В.М. Ко-вени).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ. Из них (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе
- объем, принадлежащий лично автору) работа [29] в журнале, рекомендованном ВАК (14/6 стр.), [51, 48] в спец. выпусках журнала, рекомендованного ВАК (15/15 стр.), [106] в международном рецензируемом журнале (20/15 стр.), [104, 121] в международных рецензируемых журналах по материалам международных конференций (17/13 стр.), [105] в трудах международной конференции (7/3 стр.), [51, 53] в трудах конференций молодых ученых ИВМиМГ (22/22 стр.), одиннадцать работ в тезисах всероссийских и международных конференций [58, 55, 56, 57, 54, 50, 52, 120, 124, 122, 123](11/10.5 стр.).
Личный вклад автора. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором лично. В работе [29] автор принимал участие в постановке задачи, получил доказательство леммы о приближенном градиенте функционала невязки для обратной задачи в слабой постановке с использованием оценок, полученных проф. А.Гасановым для алгоритма грубых-тонких сеток ("coarse-fine mesh method") в его более ранней статье. Автор разработал и реализовал численный алгоритм, провел численные эксперименты. В [106] для задачи теплопроводности с обратным временем автор получил оценку сходимости итераций алгоритма градиентного спуска, минимизирующего функционал специального вида, реализовал алгоритм, провел численные эксперименты на примере задачи о восстановлении размытого изображения. В [104, 105] автор принимал участие в постановке задачи, подготовил разделы статей, посвященные обратной коэффициентной и "боковой" (sideways) задачам теплопроводности, разработал программы и провел расчеты. В [124] автор получил оценку скорости сходимости алгоритма градиентного спуска для "боковой" (sideways) задачи теплопроводности, реализовал программу и провел численные эксперименты.
Структура и объём работы: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 132 наименований.
Объем работы 161 страница (16 рисунков и 4 таблицы). Основной текст диссертации составляет 125 страниц.
Благодарности: Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору СИ. Кабанихину за внимание к работе и ценные замечания.
Краткое содержание диссертации
Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, излагаются цели и краткое содержание диссертации. Формулируются основные положения, выносимые на защиту.
В Главе 1 приводятся примеры практических задач, сводящихся к обратной коэффициентной задаче для модели теплопроводности в слоистых средах, теоретически исследуются свойства модели и на основе обнаруженных свойств доказывается теорема о характере локальной сходимости итераций численного алгоритма проекции градиента с постоянным параметром спуска к решению обратной задачи.
В Главе 2 обосновывается адекватность применения градиентного алгоритма решения обратной задачи для дифференциально-разностной модели теплопроводности в слоистых средах при решении исходной обратной задачи.
В Главе 3 обсуждаются вопросы вычисления конструкций, необходимых для реализации алгоритма решения обратной задачи на ЭВМ, приводятся результаты численных экспериментов и дается сравнение результатов с выводами других авторов.
В Заключении приводятся основные выводы и обсуждаются перспективы развития полученных результатов.
В приложении А даётся краткое описание комплекса программ. В приложении В приводятся различные вспомогательные утверждения, используемые в работе (как общеизвестные, так и полученные автором).
Чувствительность модели к изменению коэффициента
В работах [102, 83,8,37,5,6, 127, 111, 117, 112, 88, 118, 130, 131, 132,92, 93], приводятся результаты по единственности решений различных обратных коэффициентных задач (при различных предположениях о гладкости коэффициентов и доступной информации измерений). В работах [16, 97] представлены результаты о единственности решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности с кусочно-постоянными коэффициентами и с данными на границах области. В работе [101] исследуется устойчивость обратной задачи с гладкими коэффициентами.
Отметим здесь, что кроме обратных задач в литературе рассматривается класс задач управления для параболических уравнений с целью воспроизведения некоторых "данных наблюдений" [41, 24, 95]. В этом случае на передний план выходят вопросы о существовании и синтезе управлений, тогда как вопросы об их возможном количестве менее важны.
Другая часть работ по данной и аналогичным задачам посвящена алгоритмам их решения. Обзоры и анализ различных алгоритмов решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности даны в [103, 84, 3, 7, 95, 86, 108].
В работах [32, 86] рассматривается алгоритм, в котором неизвестный коэффициент, зависящий только от пространственной переменной, сначала выражается через решение краевой задачи, а затем дифференцированием по времени задача сводится к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению на решение переопределенной краевой задачи. Полученное интегро-дифференциальное уравнение решается методом квазиобращения. Недостатком алгоритма является сложность реализации, а также высокие требования на гладкость неизвестного коэффициента. Кроме того, в алгоритме участвуют операции деления и дифференцирования, численные аналоги которых являются некорректными.
Этот подход получил дальнейшее развитие в работах [108, 79]. Посредством преобразования Лапласа авторы переходят от параболического уравнения к эллиптическому, выражают неизвестный коэффициент и затем дифференцируют по параметру преобразования Лапласа. Получившееся нелинейное интегро-дифференциальное уравнение последовательно, по слоям параметра преобразования Лапласа, решается минимизацией взвешенных специальным образом функционалов невязки. Выбор веса для функционалов производится с использованием Карлемановских оценок для того, чтобы гарантировать строгую глобальную выпуклость получающихся функционалов. Недостатками этих алгоритмов также является сложность реализации, наличие параметров, выбор значений для которых приходится совершать вручную, а также не до конца понятная связь между результатом работы алгоритма, полученного в результате цепочки аппроксимаций, и решением задачи. Достоинством теоретического прототипа получающегося численного алгоритма является его глобальная сходимость и независимость от выбора начального приближения.
Следующая группа алгоритмов различными способами решает задачу о соответствии между "измеренными" и "смоделированными" посредством краевой задачи данными наблюдений. Такие алгоритмы зачастую используют теорию сопряженных уравнений [41, 43, 113]. Суть применения теории сопряженных уравнений состоит в том, чтобы связать вариацию неизвестной характеристики (например, коэффициента) с вариацией известной характеристики (например, смоделированных "данных наблюдений"), посредством семейства решений сопряженного уравнения. Развитие этого подхода состоит в объединении некоторого семейства функций чувствительности в единый оператор чувствительности [23] (как обобщение производной Фреше оператора прямой задачи). Авторы [101] не вводили понятия сопряженной задачи и обошлись понятиями теории потенциалов. Они вычислили производную Фреше оператора прямой задачи для своего случая (непрерывных коэффициентов, полубесконечной области и дельта источника, действующего в начальный момент времени), используя функцию Грина решения "сопряженной"задачи.
В группе методов, "основанных на представителях" (representer based), задаётся конечный набор решений сопряженных задач и решается получившаяся конечная нелинейная система. В частности, авторы [96] решали полученную конечную систему последовательно на серии одномерных линейных многообразий и показали, что их алгоритм сходится к некоторому результату, однако вопрос о том, как этот результат связан с решением задачи пока остается открытым. Кроме того, неизвестен критерий выбора представителей и линейных многообразий, на которых последовательно ищется решение. Достоинством алгоритма является экономичность вычислений, простота реализации, а также устойчивость результата к возмущениям в данных обратной задачи.
В работах, посвященных градиентным методам, авторы минимизируют норму между "измеренными" и "смоделированными" данными различными методами градиентного типа. Обзор различных методов оптимизации приводится в [61, 10, 3]. Сопряженные уравнения здесь используются для вычисления градиента функционала невязки [59, 3, 95, 28, 27, 23].
сходимости градиента функционала невязки для ДР модели к градиенту функционала невязки для исходной модели
В пар. 3.1. решается вопрос о построении численной схемы для решения ДР прямой задачи. В Лемме 2.4 посредством локально-сопряженных задач была построена трехточечная численная схема решения ДР прямой задачи. В п. 3.1.1. в Лемме 3.2 приводится решение задачи о вычислении правой части этой схемы посредством спектральных методов и методов аппроксимации в ГП. Результаты суммируются в Теор. 3.1. В п. 3.1.2. вычисляются градиент функционала невязки и оператор чувствительности ДР прямой задачи. В Лемме 3.3 приводится общий вид соответствующих вычислительных конструкций в терминах интегралов вида JQ f l+l UM &, % а.{і)Ум /с, х /j,(t)dxdt, а в Лемме 3.5( на основе Леммы 3.4, и След. 3.1) приводится алгоритм вычисления таких интегралов. Как и в п. 3.1.1. (о вычислении правой части) здесь используются спектральные методы и методы аппроксимации в ГП.
В пар. 3.2. обсуждаются численные эксперименты. В Опр. 3.2 приводится описание алгоритма проекции сопряженных градиентов, который используется при проведении расчетов. Переход от метода проекции градиента с постоянным параметром спуска к этому методу обусловлен его большей практической эффективностью. Метод проекции градиента с постоянным параметром спуска больше подходит для проведения теоретических исследований вследствие своей линейности. В п. 3.2.2. приводятся численные эксперименты по проверке выводов Теор. 1.2 на модельных обратных задачах. Исследуется влияние на сходимость таких факторов как: шум в данных измерений, погрешность вычисления градиента функционала, размерность конечномерного пространства, на которое проектируется градиент.
В пар. 3.3. на примере задачи об определении температуропроводности почвы приводится схема анализа прикладной обратной задачи посредством оператора чувствительности. Целью анализа является определение того "количества" информации, которое можно узнать о неизвестном коэффициенте, используя данные измерений различной точности. Выводы, полученные в ходе анализа, проверяются результатами применения к обратной задаче численного алгоритма проекции сопряженных градиентов.
В пар. 3.4. приводится сравнительный анализ результатов диссертации с выводами других авторов.
Для нахождения правой части схемы из Леммы 2.4, необходимо вычислять интегралы от решения задачи с предыдущего шага. Для вычисления градиента функционала невязки также требуются интегралы по пространству от производной решения дискретной прямой и сопряженной задач. В обоих случаях интегрирование сводится к вычислению скалярных произведений вида JXl+1 a(x)b(x)dx. По Лемме В.7 (о свойствах коэффициентов Фурье), их вычисление можно свести к суммированию абсолютно сходящихся рядов, содержащих коэффициенты Фурье по ОНБ пространства / (Ж ЖЙ-І). Более того, оказывается, что в нашем случае эти коэффициенты можно вычислить аналитически (Лемма 3.1 для правой части и Лемма 3.4 для градиента), поскольку они являются линейными комбинациями значений решений прямых и сопряженных задач и их пространственных производных в точках разрыва коэффициента. Аналогичную технику автор использовал в [106].
Для дальнейшего изложения введем следующее Теория Главы 1 была построена для алгоритма проекции градиента с постоянным параметром спуска, однако его теоретическая прозрачность в реальных расчетах сочетается с существенной потерей скорости сходимости относительно других градиентных алгоритмов, в частности, алгоритма проекции сопряженных градиентов.
Дробление отрезков на 3-ем шаге объясняется тем, что при увеличении Яі+о.5 сходимость рядов, определяющих функции S± и G± ухудшается. Введение остановки по принципу невязки также объясняется тем, что регуляризация посредством перехода к конечномерным пространствам сама по себе недостаточна для получения удовлетворительных результатов при уровнях шума, близких к реальным (1 — 5%).
Более подробное описание реализованного комплекса программ приводится в Приложении А.
Рассмотрим результат нахождения величин коэффициентов в трехслойной среде. Число точек по времени М = 200. В качестве точного решения к выбирается функция, значения которой сильно отличаются на разных слоях. Этот пример взят из приложения к обратной задаче электроразведки (см.например [71], [70]), где по данным электромагнитных измерений требуется построить кусочно-постоянную модель среды. Особенностью задачи является то, что электропроводности различных пород могут отличаться на порядки, поэтому для представления результатов восстановления будет использована логарифмическая шкала. В качестве потока на границе выбирается функция
Вычисление градиента функционала невязки и оператора чувствительности
При сверхточной системе измерений ( 54 = ±0.001С) убывание ошибки в результате работы алгоримта происходит вплоть до четвертой компоненты (снизу, справа). При неточной системе измерений 6\ — ±1С алгоритм эффективен вплоть до второй компоненты, однако при этом большие ошибки остаются в первой компоненте (сверху, справа), тогда как первая компонента при точных данных (снизу, справа) восстанавливается достаточно хорошо.
Сравним результаты и выводы, полученные в диссертационной работе, с результатами и выводами других авторов. В пар. 1.2. уже проводился анализ известных работ с точки зрения обоснованности тех или иных алгоритмов и трудоемкости их реализации. Напомним, что целью наших исследований было выяснить, какую информацию о структуре слоистой среды можно извлечь из результатов работы численного алгоритма при условии, что процесс теплопроводности описывается уравнением в частных производных и на поверхности известны температура и поток тепла. Дальнейшее уточнение теоретических постановок проводилось с целью приблизиться к решению практических задач, когда данные измерений известны неточно из-за погрешностей измерительных инструментов, когда на результаты влияют такие системные ошибки, как неточная модель процесса и погрешности расчетов на ЭВМ. Как выяснилось, результат работы алгоритма также зависит от априорных знаний о структуре среды (правильности указания границ раздела слоев), и поэтому ещё один аспект состоял в нахождении способов оценки такой ошибки.
Наиболее близкой к тематике диссертации по постановке обратной за слева), десятичный логарифм относительной ошибки (снизу, справа) дачи является работа [96]. Заметим сразу, что в ней ищутся гладкие коэффициенты. Обсудим различия в алгоритмах. Во-первых, различаются семейства пространств проектирования для представления коэффициентов. Для соответствия условиям гладкости в [96] используются пространства кусочно-линейных функций. В нашей работе рассматривается слоистая среда с разрывными коэффициентами из пространства кусочно-постоянных функций. Так как на данный момент показана сходимость алгоритма решения обратной задачи только в 1/г(0,1) т0 из рациональных соображений кусочно-постоянных функций вполне достаточно для сколь угодно точного описания элементов этого пространства. Кроме того, использование кусочно-постоянных функций позволило применить более точные дискретно-аналитические схемы, чем обычные конечно-разностные (как в [96]). Это важно в случае, когда реальный процесс лучше описывается дифференциальным уравнением, нежели разностной схемой. Во-вторых, в [96] проектирование решения всё время происходит на одномерное линейное многообразие. В-третьих, для выбора проекции (которая задавалась одним скаляром) на каждом итерационном шаге в алгоритме из [96] используется тождество Лагранжа при некоторой заданной системе входов сопряженной задачи. А в нашей работе проекция выбирается из условия минимума функционала невязки. Заметим, что в приведенных в [96] примерах (поток a(t) = t и к(х) порядка 1) используемый там алгоритм показывает хорошие результаты. По мнению автора диссертации это может быть обусловлено тем фактом, что в алгоритме "грубых-тонких" сеток отсутствует возведение в квадрат оператора чувствительности, которое происходит при использовании градиентного алгоритма минимизации функционала невязки. Это позволяет "задействовать" больше малых ненулевых сингулярных чисел. Однако это наблюдение требует строгого обоснования и проверки. Несмотря на различия в подходах, выводы согласуются: восстановлению по данным на границе поддается не очень большое количество информации (не больше 6-7 звеньев ломаной, аппроксимирующей искомый коэффициент в [96]).
Из работ, посвященных градиентным алгоритмам и алгоритмам, основанным на методе Ньютона, наиболее близкими к теме диссертации являются в теоретическом плане работы [59, 65, 64, 101] , а в алгоритмическом - [23]. В [59] на базе сопряженных уравнений строится градиент функционала невяз ки. В [65, 64] доказывается, что при точных данных градиентный алгоритм сходится к некоторому элементу, однако не уточняется, как этот элемент связан с решением задачи, особенно если принять, следуя [108], тезис о существовании у функционала локальных минимумов, или принять тезис о неточности входных данных или самой модели, используемой для решения обратной задачи. Ответ на вопрос о связи с решением содержится в След. 1.7, в котором утверждается, что в достаточно малой окрестности алгоритм будет сходиться к (единственному, при выполнении условий из [16]) решению обратной задачи. Работы [23] и [101] интересны в контексте вариантов построения оператора чувствительности и производной Фреше оператора прямой задачи. Если проанализировать тождество Лагранжа из Леммы 1.1, то станет ясно, что для получения нужного операторного соотношения чувствительности достаточно правую часть представить как некоторое ядро, действующее на вход сопряженной задачи. Так, в [101] решение сопряженной задачи представляется в виде интегрального оператора с ядром - функцией Грина, действующего на вход сопряженной задачи. Привлекательность этого подхода в том, что в случае бесконечной области (как в [101]) можно получить аналитическое выражение для функции Грина сопряженной задачи. Для случая конечной области по пространству реализовать такой подход возможно, но не так просто.
Численное исследование обратной задачи об определении температуропроводности почвы
Доказаны теоремы, описывающие сходимость алгоритма решения дифференциально-разностной обратной задачи методом проекции градиента с постоянным параметром спуска к решению исходной обратной задачи.
Построены новые согласованные численные схемы для решения дифференциально-разностных прямых и сопряженных задач, а также вычисления градиента функционала, в которых совместно применяются аналитические решения локально-сопряженных задач и спектральные методы.
Обоснованность и достоверность результатов подтверждены доказательствами, согласием между теоретическими выводами и результатами численных экспериментов, а также согласием с выводами других авторов.
Теоретическая и практическая значимость состоит в том, что полученные результаты развивают теорию и методы численного решения обратных задач для моделей, описываемых системами параболических уравнений. Они представляют интерес для специалистов по математическому моделированию, вычислительной математике, обратным и некорректным задачам. Разработанные алгоритмы и реализующие их комплексы программ могут быть использованы для решения прямых и обратных задач, описываемых уравнениями параболического типа.
Представление работы: Основные результаты докладывались и обсуждались на Международной научной конференции «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященной памяти академика А.А.Самарского, Москва 2009; на Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию академика С.К. Годунова, Новосибирск 2009; на Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009, Новосибирск 2009; на Международной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" Новосибирск 2009; на Украинском Математическом Конгрессе, посвященном памяти академика Н.Н.Боголюбова, Киев 2009; на конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной памяти В.К. Иванова, Екатеринбург 2008; на Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск 2008; на 5-ом международном конгрессе "Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008)", Венеция 2008; на 6-ой Международной конференции "Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice", Дурдан (Париж) 2008; на 4-ой Международной конференции "Inverse Problems: Modeling and Simulation", Олудениз (Турция) 2008; на Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" посвященной 75-летию академика М.М. Лаврентьева, Новосибирск 2007; на Международной конференции, посвященной 100-летию академика И.Н.Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", Новосибирск 2007.
Основные результаты докладывались на семинарах: в Институте математики СО РАН на семинаре лаборатории волновых процессов (под рук. чл.-корр. РАН В.Г. Романова), в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН на семинаре под рук. проф. А.Ф. Воеводина, в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН на объединенном семинаре ИВМиМГ и кафедры вычислительной математики НГУ (под рук. проф. В.П. Ильина), в Институте математики и механики УРО РАН на семинаре отдела некорректных задач анализа и приложений (под рук. чл.-корр. РАН В.В. Васина), в Институте вычислительных технологий на семинаре "Информационно-вычислительные технологии" (под рук. акад. Ю.И. Шокина и проф. В.М. Ко-вени).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ. Из них (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе объем, принадлежащий лично автору) работа [29] в журнале, рекомендованном ВАК (14/6 стр.), [51, 48] в спец. выпусках журнала, рекомендованного ВАК (15/15 стр.), [106] в международном рецензируемом журнале (20/15 стр.), [104, 121] в международных рецензируемых журналах по материалам международных конференций (17/13 стр.), [105] в трудах международной конференции (7/3 стр.), [51, 53] в трудах конференций молодых ученых ИВМиМГ (22/22 стр.), одиннадцать работ в тезисах всероссийских и международных конференций [58, 55, 56, 57, 54, 50, 52, 120, 124, 122, 123](11/10.5 стр.).
Личный вклад автора. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором лично. В работе [29] автор принимал участие в постановке задачи, получил доказательство леммы о приближенном градиенте функционала невязки для обратной задачи в слабой постановке с использованием оценок, полученных проф. А.Гасановым для алгоритма грубых-тонких сеток ("coarse-fine mesh method") в его более ранней статье. Автор разработал и реализовал численный алгоритм, провел численные эксперименты. В [106] для задачи теплопроводности с обратным временем автор получил оценку сходимости итераций алгоритма градиентного спуска, минимизирующего функционал специального вида, реализовал алгоритм, провел численные эксперименты на примере задачи о восстановлении размытого изображения. В [104, 105] автор принимал участие в постановке задачи, подготовил разделы статей, посвященные обратной коэффициентной и "боковой" (sideways) задачам теплопроводности, разработал программы и провел расчеты. В [124] автор получил оценку скорости сходимости алгоритма градиентного спуска для "боковой" (sideways) задачи теплопроводности, реализовал программу и провел численные эксперименты.
