Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. История вопроса 8
Глава 2. Диагностика закреплений механических систем 14
2.1. Диагностика закрепления стержня 14
2.1.1. Постановка задачи 14
2.1.2. Двойственность решения 16
2.1.3. Метод решения 22
2.1.4. Устойчивость решения 23
2.1.5. Примеры 24
2.2. Диагностика закрепления прямоугольной пла стины 28
2.2.1. Постановка задачи 29
3.1.1. Двойственность решения 31
2.2.1. Метод решения 36
2.2.2. Устойчивость решения 37
2.2.3. Примеры 37
2,3. Диагностика нераспадающихся закреплений механической системы 43
2.3.1. Постановка задали 43
2.3.2. Метод решения 45
2.3.3. Пример 48
Глава 3. Восстановление нераспадающихся краевых условий общего вида 50
3.1. Восстановление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 2-го порядка . 50
3.3.1. Постановка задачи 50
3.3.2. Метод решения 51
3.1.3. Устойчивость решения 54
3.1.4. Примеры 58
3.2. Восстановление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 3-го порядка 63
3.2.1. Постановка задачи 63
3.2.2. Единственность решения 64
3.2.3. Метод решения 72
3.2.4. Устойчивость решения 74
3.2.5. Пример 80
3.3. Восстаповление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 4-го порядка . 82
3.3.1. Постановка задачи 82
3.3.2. Решение задачи 83
3,4, Диагностика условий замыкания электронных систем 87
3.4.1. Постановка задачи 87
3.4.2. Метод решения 88
3.4.3. Примеры 90
3.5. Комплекс программ 91
Заключение 96
Литература 97
Приложения 106
- Диагностика закрепления прямоугольной пла стины
- Диагностика нераспадающихся закреплений механической системы
- Восстановление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 3-го порядка
- Восстаповление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 4-го порядка
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Работа посвящена исследованию задач определения вида и параметров закреплений механических систем и электронных систем по собственным частотам колебаний. Задачи рассматриваемого типа связаны с обратными спектральными задачами, задачами диагностики, виброзащиты и контроля колебательных процессов.
Исследованиям обратных спектральных задач посвящено много работ авторов, в том числе работы таких известных ученых как В.А. Амбарцумяп. Г. Борг, Н. Левинсощ М.Г. Крейи, Б.М. Левитан, В.А. Марченко, В.А. Садовничий, В.А. Юрко и других. В работах этих авторов требуется восстановить коэффициенты дифференциального уравнения и краевых условий. В качестве данных восстановления используются несколько спектров или же другие дополнительные спектральные данные (например, спектральная функция, весовые числа, функции Вейля). Однако, несмотря на свою актуальность, обратные задачи восстановления нераспадающихся краевых условий по конечному набору собственных значений серьезно не изучались.
В последнее время обществом стали предъявляться большие требования к диагностике. Возникающие техногенные катастрофы и опасности потребовали необходимости создания новых методов инженерного обследования и диагностики состояния объектов, пострадавших в результате чрезвычайных ситуаций. В настоящее время достаточно хорошо разработаны акустические методы обнаружения трещин, определения формы области или размера предмета, (см., например, работы И.И. Артоболевского, И. А. Биргера, М.Д. Генкина, Б.В. Павлова и др.). Развитие и взаимопроникновение методо и меха-пики, математической физики, спектральной теории операторов., дифференциальных уравнений, теории функций, алгебра-
ической геометрии и современных компьютерных технологий привели к новым возможностям в диагностике — диагностике вида и параметров закреплений упругих тел по собственным частотам их колебаний, что позволило ставить и решать новые задачи.
Целью диссертационной работы является исследование задал определения вида и параметров закреплений механических и электронных систем по собственным частотам колебаний на основе применения современной технологии математического моделирования, комплексов программ и вычислительного эксперимента. В соответствии с поставленной целью определены следующие задачи исследования: 1) исследование математических моделей для определения вида и параметров условий закрепления механических систем и условий сопряжения электронных систем по собственным частотам колебаний; 2) исследование задач определения общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков; 3) разработка метода и комплекса компьютерных программ для решения обратных спектральных задач восстановления краевых условий по конечному набору собственных значений; проведение вычислительных экспериментов.
Научная новизна. Впервые поставлена и решена задача идентификации условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока.
Сформулированы и решены проблемы определения вида и параметров закрепления на двух противоположных краях прямоугольной пластины и на обоих концах стержня по собственным частотам их изгибных колебаний.
Исследованы и решены задачи восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го. 3-го и 4-го порядков. Показано, что для задач с дифференциальным уравнением 4-го
порядка нельзя однозначно восстановить произвольные нераспадающиеся краевые условия.
Разработан метод и комплекс программ для решения задач определения краевых условий по конечному набору собственных значений.
Практическая значимость результатов. Разработанный метод и комплекс программ могут быть применены в диагностике недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем, строительных конструкций, а также условий замыкания для электронных систем. С помощью предложенного метода можно судить о виброзащитных закреплениях механических систем, а также подбирать условия замыкания провода для обеспечения нужного (безопасного) спектра частот колебаний напряжения в электронных системах.
Достоверность результатов подтверждена доказательством корректности поставленных задач, результатами вычислительных экспериментов, а также проведением сравнительных тестовых расчетов с численными результатами других авторов.
На защиту выносятся следующие основные результаты: 1) математические модели определения вида и параметров закреплений механических и электронных систем по собственным частотам их колебаний; доказательство существования, единственности или двойственности и устойчивости решений соответствующих обратных задач: 2) решения задач восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4 го порядков; 3) метод и комплекс компьютерных программ для решения задач определения краевых условий по конечному набору собственных значений; результаты вычислительны х э кеперименто В -
Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на: республиканской конференции
студентов и аспирантов по физике и математике (Уфа, 1997 г.); IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ (Уфа, 2004 г.); III конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов УНЦ РАН и АН РБ (Уфа, 2005); VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи-Дагомыс, 2005 г.): V Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2005 г.); Международной уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005 г.); научных семинарах проф. К. Б. Сабитова (Стсрлитамакская государственная педагогическая академия), проф. Я. Т. Султапаева (Башкирский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений), Института механики УНЦ РАН, А. М. Ахтямова (Башкирский государственный университет).
Публикации. Основное содержание и результаты диссертации, опуликованы в 12 работах.
В совместных работах А. М. Ахтямову принадлежит постановка задач, М. Тайхер, А. В. Муфтахову вывод соотношений Плюккера для уравнений 3-го и 4-го порядков. Соискателю принадлежат решения поставленных задач, комплекс компьютерных программ, результаты вычислительных экспериментов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и приложений. Полный объем диссертации составляет 144 страницы, включая приложения на 39 страницах.
Диагностика закрепления прямоугольной пла стины
Суть этого направления заключается в следующем: задачи диагностики вида и параметров закреплений упругих тел моделируются обратными спектральными задачами. Отыскание вида и параметров закреплений сводится к поиску коэффициентов краевых условий спектральных задач с известным уравнением по одному набору собственных значений. Так. например, в работе [10] рассмотрена задана определения вида закрепления круговой пластины по собственным частотам ее симметрических изгибных колебаний. Отыскание неизвестных условий закрепления круговой пластины сведено к определению коэффициентов двух распадающихся краевых условий некоторой спектральной задачи. В работе [69j исследована задача однозначного отыскания условий закрепления для диска переменной толщины. В работе [8] решена задача однозначного распознавания закрепления кольцевой мембраны на внешнем и внутреннем контурах по собственным частотам ее радиальных колебаний. В работах [12, 11] обоснована возможность однозначного распозновапия закрепления на внутреннем и внешнем контурах кольцевой пластины по собственным частотам ее осесимметричных или гармонических колебаний. В работе 5) рассмотрена математическая модель акустической диагностики закрепления одного из концов струны. В отличие от предыдущих работ, эта задача моделируется спектральной задачей с распадающимися краевыми условиями с полипомом в краевом условии. В работе [2] рассматривается обратная задача отыскания характера закрепления одного из концов стержня по собственным частотам ее изгибных коле баний. В работе [13] исследованы возможности акустического диагностирования параметров закрепления некоторой сложной механической системы. Наша работа продолжает исследования по данному направлению. Нами в частности рассмотрены задачи определения условий закрепления: прямоугольной пластины на двух противоположных краях, если па двух других реализуются условия свободного опирання; обоих концов однородного стержня. Нами показано, как по двум наборам собственных частот (вводя вспомогательную задачу) можно однозначно определить параметры закрепления одной сложной механической системы. Модифицированные методы работ [2]—[13] применены в пашей работе, по-видимому впервые, и к задачам электродинамики. Нами в данной работе рассмотрены также задачи восстановления общих нераспадающихся краевых условий для некоторых спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков.
Задачи данного направления связаны с задачами диагностики и обратными спектральными задачами. Задачами диагностики люди занимаются с самого начала появления техники. Этим задачам посвящено большое количество работ. См., например, библиографию в работах [15, 23].
Процессы, протекающие в механизмах и двигателях, являются источником шума. По шуму в двигателе часто можно судить о процессах, протекающих в нем J 24] Наука, изучающая возможности распознавания характеристик двиї ателя или другого механического механизма по его шуму, носит название виброакустической диагностики. Задачи виброакустической диагностики могут быть различными. В работе [33], например, рассматривались задачи обнаружения дефектов в судовых механизмах по шуму, вызываемому упругими колебаниями от соударения сопряженных деталей.
Аналогичные задачи обнаружения дефектов решались в [18. 27], по уже для поиска дефектов в автотракторных двига тслях. В [1, 15, 48] также решались задачи акустической диагностики механизмов.
Большое количество работ по виброакустической диагностике посвящено не только выявлению состояния двигателя по его шуму, но и также вопросам шумоподавления. В России интерес к задачам шумоподавления существовал всегда. См., например, книгу Зинчснко В. И. и Захарова В. К. [28] о снижении шума на судах, написанную в 1968 году. Однако следует признать, что наибольшее количесі во книг и статей издано за рубежом в связи с принятием там соответствующих законов о снижении шума в самолетах и других средствах передвижения (см. [78]).
Диагностика нераспадающихся закреплений механической системы
Близкие проблемам виброакустической диагностики задачи возникали также и в других работах. Так в 75] ставился вопрос: можно ли по звучанию барабана установить его форму? В [76] по сдвигам собственных частот определялись размерь! объекта и его положение в камере. Статья [20 была посвящена способу обнаружения шпал, потерявших шютный контакт с балластом насыпи, при помощи ударного возбуждения колебаний и анализа акустических сигналов. В работах [73, 74] исследовались условия на входе и выходе выхлопных .груб и трубопроводных систем, а в [63, 64] — задачи идентификации объектов по их акустическому отклику.
В отличие от всех этих работ по диагностике, в задачах нашего направления отыскиваются не форма области, размеры объекта, его местоположение или состояние, а вид его закрепления.
Отличаются задачи нашего направления по постановке и методам решения и от обратных спектральных задач. Под обратными спектральными задачами понимают задачи восстановления линейного оператора по тем или иным его спектральным характеристикам. Такими характеристиками могут быть спектры (при различных краевых условиях), спектраль пая функция, данные рассеяния и др. [17, 26, 43, 77. 68]. В обратных спектральных задачах (см., например, 43, 45, 68] и библиографию к этим книгам) требуется восстановить коэффициенты дифференциального уравнения и краевых условий. Однако в этих работах в качестве данных восстановления краевых условий используется не один спектр (как в задачах нашего направления), а несколько спектров или же другие дополнительные спектральные данные (например, спектральная функция, функция Вейля. или так называемые весовые числа). К тому же основной целью этих работ является восстановление коэффициентов в уравнении, а не в краевых условиях. Цель же задач нашего направления состоит в восстановлении краевых условий спектральной задачи с известными коэффи-циетами в уравнении по одному спектру.
Исследованиями в этом направлении занимались Н. Левин-сои. М.Г. Крейн. Б.М. Левитан, В.А. Марченко., В.А. Садовничий, В.А. Юрко и другие (иодробнее см. [43, 68]). Интерес к первоначальной постановке обратных спектральных задач -восстановлению краевой задачи по одному спектру - возродился сравнительно недавно в связи с задачами диагностики вида и параметров закреплений упругих тел по собственным частотам их колебаний. Выяснилось (см. [3, 25]), что если параметр входит в краевую задачу не линейно, а полиноминалы-ю, то краевую задачу во многих случаях удается восстановить, используя для этого лишь один набор собственных значений. Случай, рассмотренный В.А. Амбарцумяпом. как оказалось, не является исключением.
В настоящее время для решения обратной задачи с распадающимися граничными условиями (условиями Штурма-Лиувилля) разработано несколько методов. Одним из наиболее популярных методов решения обратных спектральных задач вплоть до середины 70-х годов XX века был метод операторов преобразования. Однако при решении обратной задачи для нераспадающихся краевых условий возникли трудности, связанные с применением операторов преобразования. Поэтому результаты в этой области долгое время не публиковались.
Таким образом, в классических методах решения обратных задач требуется звание всего спектра частот, а часто также и других дополнительных спектральных данных, что делает эти методы практически не применимыми в диагностике краевых условий механических и электронных систем. Нами для отыскания краевых условий оказывается е большинстве случаев достаточным только знание конечного набора собственных частот или собственных значений.
Восстановление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 3-го порядка
Если ранг системы (3.46) равен 19, то неизвестный вектор миноров Mijk находятся из этой системы с точностью до множителя. По этим минорам матрица А вида (3.32) может быть однозначно восстановлена с точностью до линейных эквива,-лентных матриц с помощью известных методов линейной алгебры.
Вообще, нетрудно показать, что элементы матрицы А могут быть представлены в виде нулей, единиц и миноров самой матрицы. Таким образом, верна следующая теорема
Теорема 3.4 (о существовании и единственности решения). Если девятнадцать собственных значений Хт спектра задачи (3.30), (3.31) таковы, что ранг матрицы системы (3.46) равен 19, то решение обратной задачи восстановления краевых условий (3.31) существует, и единственно.
Замечание 2. Теорема 3.4 сильнее теоремы 3.3, поскольку в теореме 3.4 для восстановления краевых условий используются 19 собственных значений, а не все собственные значения как в теореме 3.3. Однако теорема 3.3 полезна. При выборе некоторых 19 собственных значений может оказаться, что ранг системы (3.46) не равен 19 и тогда теорема 3.4 не применима, и мы не можем утверждать, что краевые условия (3.31) восстановятся однозначно. А теорема 3.3 гарантирует, что по всем собственным значениям краевые условия (3.31) могут быть найдены однозначно. Более того, теорема 3.3 гарантирует, что при какие бы два набора собственных значений из спектра задачи (3.30), (3.31) не взяли, для которых выполняются условия теоремы 3.4, то краевые условия, восстановленные по этим двум наборам будут совпадать.
В реальности собственные значения задачи (3.30), (3.31) определяются не точно, а с некоторой погрешностью. Если значения jv, т = 1,19 совпадают приближенно со собственными значениями задачи (3.30), (3.35), ранг системы (3.46) равен 19, то неизвестный вектор ми норов находится с точностью до множителя. Возникает задача определения матрицы А по приближенным значениям Мф. (l i j k 6).
Из алгебраической геометрии известно, что числа М\„.т являются минорами некоторой матрицы, тогда и только тогда, когда выполняются соотношения Плюккера или по другому квадратичные -соотношения [50]:
(3.59) как только X]m=i l m- Мт Здесь У- -вектор миноров основных миноров My-ft и неосновных миноров Pijk, У—вектор основных миноров Mijk и неосновных миноров Рф. По методу предыдущего параграфа матрица А может быть восстановлена однозначно с точностью до линейных эквивалентных матриц по вектору X миноров Mijk или вектору У, координатами которого являются значения основных миноров (3.48) и скорректированные значения Рць иесновных миноров. Аналогично, для восстановления матрицы В используется вектор X основных миноров Mijk Для задачи (3.30), (3.52) или вектор миноров У, координатами которого являются значения основных миноров и скорректированные значения Рц\ неосновных миноров.
Здесь исследована задача восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральной задачи с дифференциальным уравнением 4 го порядка по одному набору собственных значений. Показано, что для однозначного восстановления нераспадающихся краевых условий этой задачи. нужно дополнительно задавать ограничения на сами коэффициенты краевых условий.
Из свойств общей теории для линейных дифференциальных операторов следует, что А(А) является целой функцией (см. [47, с. 1-27]). Поскольку А(А) ф 0 (по условию теоремы не каждое значение А является собственным), то из теорем Вей-ерштрасса о представлении целой функции с помощью своих нулей (см. [36. с. 17]) следует, что функция А(А) восстаноав-ливается по своим нулям с точностью до множителя С е9 : где ?(А)— произвольная целая функция.
Поскольку функции г/8(ж,А), s = 1,4 являются целыми функциями первого порядка, то характеристический определитель (3.68) также является целой функцией первого порядка. Тогда, используя теорему Адам ара (см. [36, с. 38]), получаем, что функция Д(А) восстанавливается по своим нулям с точностью до множителя С еаХ. где а- произвольное число. Известно ([47, с. 24-27]), что нули определителя Д(Л) являются собственными значениями задачи (3.62), (3.63), причем кратность нуля функции А(А) совпадает с алгебраической кратностью соответствующего собственного значения задачи (3.62), (3.63).
Замечание 3. Теорема 3.6 показывает, что для однозначного восстановления краевых условий спектральной задачи с дифференциальным уравнением 4-го по одному набору собственных значений, в отличие от соответствующих задач для уравнений 2-го и 3-го порядков, нужно задавать дополнительные ограничения на сами краевые условия. В некотором смысле, случай с дифференциальным уравнением 3-го порядка является предельным.
В данном параграфе сформулирована и решена задача идентификации условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока. Приведены результаты вычислительных экспериментов.
Постановка задачи. Как известно, электрические колебания в проводе с пренебрежимо малыми сопротивлением R и утечкой G описываются телеграфными уравнениями vx + Lit = 0, ix + Cvt = 0 (-1 х l,Q t +оо), (3.75) где х — расстояние от середины провода до рассматриваемой точки на проводе (на проводе установлено положительное и отрицательное направления движения); v — v{x,t), і = %{x,t) — соответственно напряжение и сила тока в проводе; L, С соответственно коэффициенты самоиндукции и емкости, рассчитанные на единицу длины провода. Начальные условия задаются равенствами v(0,t) = f(x), i(0.t) д(х).
Таким образом, доказана следующая Теорема 3.7 (о существовании и единственности решения). Если три попарно различных собственных значения si) S2, S3 задачи (3.76), (3.77) не являются корнями уравнения sins — 0. то решение обратной задачи отыскания краевых условий (3.77) существует, и единственно. Более того. неизвестные коэффициенты а,Ъ,с краевых условий (3.77) являются решением сист,ем,ы уравнений (3.80).
Восстаповление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 4-го порядка
Программа "Прямоугольная пластина—миноры1 вычисляет неизвестные переменные х\. х 2,..., жю частотного уравнения (2.64) спектральной задачи (2.37)-(2.39), описывающей колебания однородной прямоугольной пластины. Входными параметрами данной программы являются собственные значения 1т, т = 1,9 спектральной задачи (2.37)-(2.39), длина сторон а и Ь, коэффициент Пуассона пи. Для реализации функциональной возможности «Расчет» данной программы разработана процедура PlastMinor. Программа «Прямоугольная пластина- -собственные значения» находит собственные значения спектральной задачи (2,37)--(2.39). Входные параметры — коэффициенты х\% ж2, стотного уравнения (2.64), длина сторон а и Ъ, коэффициент Пуассона пи. Для реализации функциональной возможности «Расчет» данной программы разработана процедура PlastSZ.
Программа «Стержень—миноры» вычисляет неизвестные переменные Ж, %%,..., хю частотного уравнения (2.28) спектральной задачи (2.1)-(2.3), описывающей колебания однородного стержня. Входные параметры данной программы — собственные значения 1т, т — 1,9 задачи (2.1)-(2.3). Для реализации функциональной возможности «Расчет» данной программы разработана процедура SterzhenMinor.
Программа «Стержень--собственные значения» вычисляет собственные значения спектральной задачи (2.1)-(2.3). Входные параметры — коэффициенты as, s = 1,8 краевых условий (2.2), (2.3), характеризующие условия закрепления стержня; значение 10, около которого следует искать значения спектра задачи (2,1)-(2.3), Для реализации функциональной возможности «Расчет» данной программы разработана процедура SterzhenSZ.
Программы «Механическая система (без опоры) -коэффициенты жесткости» и «Механическая система(опора)—коэффициенты жесткости» позволяют определять коэффициенты жесткости пружинок механической системы, колебания которой смоделированы спектральной задачей (2.70), (2.71) и задачей (2.70), (2.71), (2.72) в случае установки промежуточной упругой опоры. Входными данными для этих программ являются собственные значения 11,12,13 задачи (2.70), (2.71) или задачи (2.70), (2.71), (2.72) соответственно, изгибпая жесткость стержня alpha и дополнительные данные для программы «Механическая система(опора)- -коэффициенты жесткости»: значение а точки оси стержня, в которой установлена промежу точная опора, коэффициент жесткости промежуточной опоры к. Для реализации функциональной возможности «Расчет» данных программ разработаны процедуры MehanSysKG и MehanSysOporKG соответственно.
Программы «Механическая система(без опоры)- собственные значения» и «Механическая система(опора)- собственные значения» вычисляют собственные значения спектральной задачи (2.70), (2.71) и задачи (2.70), (2.71), (2.72) соответственно. Входными параметрами являются коэффициенты жесткости &0; kl к2, изгибная жесткость стержня alpha, значение Ю, около которого следует искать значения спектра задачи (2.70), (2.71) и дополнительные данные для программы «Механическая систсма(опора)—собственные значения»: значение а точки оси стержня, в которой установлена, промежуточная опора: коэффициент жесткости промежуточной опоры к. Для реализации функциональной возможности «Расчет» этих программ разработаны процедуры MehanSysSZ и MelianSysOporSZ соответственно.
Программа «Электрические колебания—условия сопряжения» вычисляет коэффициенты а, 6, с частотного уравнения (3.80) спектральной задачи (3.76), (3.77). описывающей электрические колебания в проводе. Входные параметры дайной программы собственные значения sm, т= 1,3 задачи (3.76), (3.77). Для реализации функциональной возможности «Расчет» данной программы разработана процедура ElektrKolUS.
Программа «Электрические колебания- -собственные значения» вычисляет собственные значения спектральной задачи (3.76)-(3.77). Входные параметры — коэффициенты а, 6, с краевых условий (3.77), характеризующие условия замыкания провода; значение s0, около которого следует искать значения спектра задачи (3.76)-(3.77). Для реализации функциональной возможности «Расчет» данной программы разработана процедура ElcktrKolSZ. Программа «Уравнение 2-го порядка—миноры» вычисляет неизвестные миноры Мі2, Міз, Мі4, М23, М24, М34 частотно-го уравнения (3.8) спектральной задачи 3.13), (3.14). Входные параметры данной программы — собственные значения 1т, т =1,5 задачи (3.13)-(3.14) и коэффициенты р, q дифференциального уравнения (3.13). Для реализации функциональной возможности «Расчет» данной программы разработана процедура UR2Minor.
Программа «Уравнение 2-го порядка—собственные значения» находит собственные значения спектральной задачи (3.13). (3.14). Входные параметры — коэффициенты o,[.s краевых условий (3.14); коэффициенты р, q дифференциального уравнения (3.13; значение /0, около которого следует искать значения спектра задачи (3.13), (3.14). Для реализации функциональной возможности «Расчет» данной программы разработана процедура UR2SZ.
Программа «Уравнение 3-го порядка—минор» вычисляет неизвестные миноры Mijk частотного уравнения (3.46) спектральной задачи (3.13), (3.14). Входными параметрами данной программы являются собственные значения 1т, т = 1,19 задачи (3.30), (3.31) и коэффициенты p,q,r дифференциального уравнения (3.30). Для реализации функциональной возможности «Расчет» данной программы разработана процедура URSMinor.
Программа «Уравнение 3-го порядка—собственные значения» находит собственные значения спектральной задачи (3.30), (3.31). Входные параметры — коэффициенты щя краевых условий (3.31); коэффициенты p,q,r дифференциального уравнения (3.30); значение /0, около которого следует искать значения спектра задачи (3.30), (3.31). Для реализации функциональной возможности «Расчет» данной программы разработана процедура UR3SZ.
