Новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов Кадченко Сергей Иванович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Дискретные операторы. Регул яризованные следы операторов 38

1.1. Спектр оператора. Самосопряженные и ядерные операторы ...38

1.2. Следы дискретных операторов 43

Глава 2. Теоретическое обоснование нового метода нахождения первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов 49

2.1. Регуляризованные следы дискретных операторов целого порядка. Числовые ряды поправок теории возмущений 49

2.2. Вычисление поправок теории возмущений самосопряженных операторов 59

2.3. Новый метод вычисление сумм числовых рядов поправок теории возмущений дискретных операторов 64

2.4. Составление характеристического многочлена векового определителя для приближенных значений первых собственных чисел дискретных операторов 71

2.5. Нахождение предельных абсолютных погрешностей вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов 75

2.6. Алгоритм вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов .79

Глава 3. Алгоритмы нахождения собственных чисел спектральных задач гидродинамической теории устойчивости методом регуляризованных следов 81

3.1. Спектральная задача Орра- Зоммерфельда 81

3.2. Спектральная задача Пуазейля 104

3.3. Спектральная задача Куэтта 128

Глава 4. Численные эксперименты 154

4.1. Вычисление собственных чисел спектральной задачи Орра -Зоммерфельда методом регуляризованных следов 154

4.2. Вычисление собственных чисел спектральной задачи Пуазейля методом регуляризованных следов 170

4.3. Вычисление собственных чисел спектральной задачи Куэтта методом регуляризованных следов 175

Основные результаты и выводы 181

Приложения 182

Список литература 274

• Спектр оператора. Самосопряженные и ядерные операторы
• Вычисление поправок теории возмущений самосопряженных операторов
• Нахождение предельных абсолютных погрешностей вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов
• Вычисление собственных чисел спектральной задачи Пуазейля методом регуляризованных следов

Введение к работе

Постановка задачи. Рассмотрим дискретный, полуограниченный оператор Т и ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть {/-tnj-^Li ~ собственные числа оператора Т , занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а {ш_п}₌₁ - его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим собственным числам. Допустим, ЧТО {/Зп}=1 -собственные числа оператора Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Обозначим d_n = \ц_п+і — №п\, п Є N. Если для натурального числа so

оператор [Rfj,(T)]^s является ядерным и для некоторого натурального

2||р|| числа по выполняется неравенство —-— < 1, то по собственных чисел

{j3_n}n=i оператора Г+Р являются решениями системы щ нелинейных

уравнений

По Щ 00

/ = Х>*+«?Vo), v = w (сі)

fc=l k=l fc=l

( ) (—l)^k+1p Г l^k

Здесь а^(щ) = ————Sp J ii^p~^l \PRfj,(T) dfi -поправки теории

Z7TKI rp L -

-*n₀
rn p П rn \^"П₀ + 1 + Дно

возмущении оператора 1 + P, 1_По - круг радиуса р_По = — с

центром в начале координат комплексной плоскости, -КДТ) - резольвента оператора Т. Правые части уравнений (0.1) явно выражаются через характеристики невозмущенной задачи и возмущающего оператора Р, а поправки теории возмущений о^(по) вычисляются с помощью теории вычетов.

Система уравнений (0.1) позволяет разработать новый численный метод нахождения собственных чисел дискретньїх операторов. Идея

метода впервые была высказана В. А. Садовничим и В. В. Дубровским в работе [110] и состоит в следующем. Составим систему нелинейных уравнений (0.1) относительно щ первых собственных чисел {(З_п}п=1

оператора Т + Р и выразим симметрические многочлены 52 /?, Р =

к=1

1,щ от по переменных через правые части системы уравнений (0.1). Используя теорему Виета, получим многочлен степени по со старшим коэффициентом, равным единице (остальные коэффициенты могут быть найдены со сколь угодно большой точностью по формулам Ньютона), корнями которого будут первые по собственные числа {Ai}nLi оператора Т + Р. Известно, что комплексные корни многочлена со старшим коэффициентом, равным единице, непрерывно зависят от его коэффициентов. Поэтому, решая приближенно подходящим способом это уравнение, можно найти его корни {PnY^Li ^с какой угодно большой точностью. Предельные абсолютные погрешности первых собственных чисел оператора Т + Р будут зависить от того, как точно вычислены суммы числовых рядов ^2 (х (щ) поправок теории возмущения опе-

к=1

ратора Т + Р.

Чтобы этот метод можно было применять для численных расчетов необходимо:

1. Разработать эффективные алгоритмы вычисления поправок тео
рии возмущений а^ (щ) и числовых рядов Релея - Шредингера

к=1

2. Создать методики оценок сходимости метода и нахождения пре
дельных абсолютных погрешностей вычисления первых собственных
чисел оператора Т + Р.

3. Рассмотреть примеры его применения к различным спектральным задачам.

Как известно, процесс математического моделирования состоит из трех основных этапов: создания математической модели, разработки на ее основе алгоритмов вычислений и написания пакетов программ, позволяющих проводить на ЭВМ численные эксперименты. В диссертации разработан новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов, который лежит в основе математических моделей, позволяющих находить собственные числа спектральных задач для широкого класса операторов. Для проверки метода созданы алгоритмы нахождения приближенных значений собственных чисел классических задач гидродинамической теории устойчивости Орра-Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта. Написаны пакеты программ в среде "Maple б", использованные в численных расчетах. При сравнении метода с известными, показана его высокая эффективность, особенно в случае, когда заранее известны следы дискретных операторов необходимого порядка.

Обоснование интереса к проблеме. С момента получения формул регуляризованных следов порядка а Є R

^ [А* - А_а(п)] = Б_в> (0.2)

где Х_п - собственные числа дифференциального оператора А, А_а(п) -известные числа, обеспечивающие сходимость числовых рядов, В_а - явно вычисляемые через характеристики дифференциального оператора числа, были предприняты попытки применить их для приближенного вычисления первых собственных чисел оператора А. В самом деле,

формулы (0.2) могут быть использованы для написания алгебраической системы уравнений

J2K = Bjp\t_p)_{t P} = l^r₀,t_peN, (0.3)

71=1

связывающей приближенные значения {A_n}^_x первых щ собственных чисел {Ап}^ оператора А. Правые части уравнений (0.3) содержат t_p частичные суммы сходящихся числовых рядов и определены в случае общих дифференциальных выражений и общих граничных условий с точностью до О(п₀ ^{г р} 1п^г+ тго), где г - целое число больше по, получаемое из асимптотики A_n, no = qr -f к, к - дефект регуляризации [110]. Величины 0{щ^{г р} 1п^г+1 по) плохо поддаются оценкам и могут сильно расти при по —У оо.

В некоторых случаях из нелинейной системы (0.2) были найдены приближенные значения первых собственных чисел {Ап}^ дифференциальных операторов и точность оказалась удовлетворительной, но этот факт нельзя принимать за обоснование такого метода вычислений приближенных значений первых собственных чисел, поскольку оценки величин О(п₀^{г р}1п^г+1по) не проводились, а остатки сходящихся числовых рядов отбрасывались. Кроме того, универсального алгоритма вычисления правых частей (0.3) для широкого класса операторов пока не существует. Известные методы нахождения В_р (t_p) применяются либо только к спектральным задачам Штурма - Лиувилля и требуют знание асимптотики собственных чисел [111], либо требуют знание повторных функций Грина спектральных задач для операторов с ядерными резольвентами, нахождение которых представляет во многих случаях сложные математические задачи [21].

Поэтому возникла необходимость: 1) обосновать предлагаемый метод приближенного вычисления первых собственных чисел дискретных операторов, основанного на использовании уравнений (0.3), получаемых из формул регуляризованных следов (0.2) целого порядка; 2) создать эффективные алгоритмы вычисления правых частей (0.3); 3) разработать методики оценок сходимости метода и нахождения предельных абсолютных погрешностей, с которыми вычислены первые собственные числа оператора Т + Р.

В дальнейшем указанный метод будем называть методом регуляризованных следов или методом PC .

Историография вопроса. Спектральная теория операторов впервые возникла в процессе описания малых колебаний механических систем [68]. Изучение колебаний струны приводит к простейшей спектральной задаче о собственных числах для дифференциального оператора. В случае неоднородной струны надо рассматривать задачу Штурма - Лиувилля для дифференциального оператора с переменными коэффициентами, решение которой нельзя получить в явном виде. В связи с этим возникает потребность в качественном или асимптотическом ее решении [156]. При рассмотрении колебаний мембран или трехмерных упругих тел возникают спектральные задачи для многомерных дифференциальных операторов. К задачам на собственные числа операторов приходят в исследованиях по теории упругости в гидродинамике, квантовой механике, и др.

Работы Г. Вейля и Э.Ч. Титчмарша дали толчок для появления большого количества статей, связанных с исследованием распределе-

ния собственных чисел многомерных дифференциальных операторов, имеющих дискретный спектр. Методы, используемые для вычисления асимптотики спектра, можно разделить на две группы: вариационные, восходящие к работам Г. Вейля [173] и Р. Куранта [71] и тауберовы, родоначальником которых следует считать Т. Карлемана [160]. Преимущество вариационных методов в том, что они слабо чувствительны к гладкости коэффициентов операторов и границам областей, но они не дают (по крайней мере, к настоящему времени) достаточно точных оценок асимптотики собственных чисел. В последствии вариационные методы были существенно развиты М.Ш. Бирманом и его учениками. Тауберовые методы подразделяются на: метод гиперболического уравнения, параболического уравнения и резольвентный метод. Резольвентный метод впервые был предложен Т. Карлеманом [160], метод гиперболического уравнения - В.Г Авакумовичем в [159] и Б.М. Левитаном в [73], а метод параболического уравнения - С. Манак-шисундарамом и А. Плейелем [169]. Промежуточное положение между вариационными и тауберовыми методами занимает появившийся сравнительно недавно метод приближенного спектрального проектора, предложенный В.А. Туловским в [144] и М.А. Шубиным в [157]. Достаточно полный обзор научной литературы по различным вопросам спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных дан в работе [109].

Обозначим через N(X) число собственных чисел оператора А, не превосходящих Л, с учетом их кратности. Исследованию асимптотического поведения N(X) при Л —> +оо посвящено большое количество

научных работ. Г. Вейль в статье [174] получил, без оценки остаточного

члена, главный член асимптотики

N{X) ~ а\^п/т,

где т - порядок оператора А, п - размерность многообразия М, на котором действует оператор А. Здесь же была высказана гипотеза о существовании второго члена асимптотики N(X), связанного с граничными условиями, если оператор А задан на многообразии с краем. Л. Хёрмандер [166] показал следующие: если А положительный самосопряженный эллиптический оператор, заданный на компактном многообразии без края, то при А —> +оо

N{\) = а\^п/т + О (A⁽ⁿ~^1)/m). (0.4)

Если при А —) +оо

N(X) = aXⁿl^m + 6A(ⁿ-^x)/^m + o(A<ⁿ-W^m), (0.5)

где a,b - константы, то говорят, что функция N(X) имеет вейлевскую асимптотику [17]. В случае

ЩХ) = аХ^п/т + ЬХ^-¹»"¹ + Q(A)A⁽ⁿ~^1)/m + оЫ⁷¹'¹^"¹), (0.6)

где a, b - константы, a Q(X) - ограниченная, равномерно непрерывная на R¹ функция, говорят, что функция N(X) имеет квазивейлевскую асимптотику . Если существует константа с > 0, арифметическая прогрессия {u)k}kLi ^и сходящаяся к нулю последовательность положительных чисел {є_к}_к^ю₌₁ таких, что

[Щш_к + е_к) - N(u_k - є_к)] > сХ^п/^т, (0.7)

то говорят, что функция -/V(A) имеет кластерную асимптотику . Вейлевская асимптотика является частным случаем квазивейлевской. Наличие кластеров исключает (0.5).

Когда функция N{X) имеет кластерную асимптотику (0.7), невозможно улучшить остаточный член в (0.4), более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики. Поскольку дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра, по сути, невозможно, надо перейти к исследованию более "тонкой" структуры спектра. Стандартным инструментом такого исследования является получение формул регуляризованных следов (0.2) оператора [109].

Первая формула такого вида для оператора Штурма - Лиувилля

-и" + р{х)и = Хи, и(0) = и(тг) = 0 (0.8)

была получена в статье [15] И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном. Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных операторов были получены В.Б. Лидским и В.А. Садовничим в [74], где установлено, что вывод формул вида (0.2) для широкого класса краевых задач сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой. Работа [15] дала толчок в исследовании разнообразных обобщений. В статьях [3], [14], [22], [23], [112], [165] можно наблюдать развиватие абстрактного направления этой ветви спектрального анализа. Сильный результат для конечномерных возмущений получен в [115], где были охвачены некоторые классы неограниченных возмущений. Наиболее интенсивно в этом направлении работают В.А. Садовничий и его ученики [1], [5],

[8], [И], [25]-[50], [77], [78], [80], [94]-[101], [102], [105], [106], [114]-[127], [142], Муртазин Х.Х [2], [87]-[89], [146], Хасанов А.В. [151]. Заслуживает внимания работа П. Лакса [168], в которой, правда без строгих доказательств, предложен оригинальный метод вычисления следов, основанный на известном по его работам в теории обратных задач методе дифференцирования семейства операторов по внешнему параметру. В работе [161] получен регуляризованный след для неядерного интегрального оператора.

В статьях Садовничего В.А., Дубровского В.В. и других [51]-[60], [128]-[130] рассматриваются вопросы связанные с обратными задачами спектрального анализа.

Актуальность темы диссертации. В 1952 году А.А. Дородницын в статье [21] рассмотрел задачу, связанную с равенствами:

} 1

/ G_p(x, x)dx = Y, др , Р Є N, (0.9)

о ^{n=0 п}

где G_p(x,x) - р - повторные функции Грина оператора. Используя то, что ряды справа абсолютно сходятся, и их остатки можно оценить для конечного набора значений А_п от этих равенств, можно перейти к приближенным равенствам, которые содержат справа конечные суммы. Решив полученную систему, можно вычислить первые собственные числа. Принципиальным недостатком этого метода является то, что в общем случае числа слева в (0.9) не выражаются в конечном виде через характеристики оператора, и явного алгоритма их вычисления нет. Кроме того, в работе [21] не дано теоретического обоснования метода и нет оценок, позволяющих судить о точности вычисления первых

собственных чисел оператора. В последствии В.А. Садовничий, В.В. Дубровский и Е.М. Малеко в работах [61], [80]-[82], [131] обосновали метод вычисления первых собственных чисел дифференциальных операторов с ядерной резольвентой, предложенный А.А. Дородницыным, и построили алгоритм вычисления первых характеристических чисел симметричных интегральных уравнений. Однако, их исследования относятся к так называемому "одномерному" случаю. "Многомерный" случай (в частности, приложений к дифференциальным операторам в частных производных) нуждается в дальнейших исследованиях.

В 1957 году Л.А. Дикий в статье [19] предложил способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма - Лиувилля. Идея способа состояла в следующем: пусть {^_n}^=i - собственные числа оператора Штурма - Лиувилля (0.8). Как известно, собственные числа больших номеров допускают асимптотическое разложение

A_n~n² + c₀ + ^ + ^ + ^ + ... (0.10)

_пг _п4 _пь

Допустим, что нам известны регуляризованные следы оператора Штурма - Лиувилля (0.8) всех целых порядков, то есть, известны правые части уравнений (0.2), где под А_р(п) понимается начальный отрезок асимптотического разложения (0.10), обеспечивающий сходимость ряда (0.2). Коэффициенты асимптотического разложения (0.10) выражаются в конечном виде через граничные условия (0.8) и потенциал р(х). Числа В_р, входящие в формулы (0.2), так же вычисляются в конечном виде [20]. И.М. Гельфанд и Л.А. Дикий предположили, что для любого

є > 0 найдется такое число щ Є N, что

^{J2 [К - А}_р^(п)

и при этом решения системы по алгебраических уравнений

Y, [К - Мп)] - Ч^По)М = о, j> = w (о.п)

71=1

приближают по первые собственные числа {А^}^ спектральной задачи [20]. Преимущества этого способа, по сравнению с методом Дородницына, в том, что числа А_р(п) и В_Р (t_p) в системе (0.11) выражаются в конечном виде через характеристики оператора. Но в работе [19] не дано теоретическое обоснование этого способа, а лишь приводится пример вычисления первых трех собственных чисел уравнения Матье с хорошей точностью. Впоследствии С.А. Шкарин в статье [152] показал, что этот метод в таком виде применяться не может, так как система (0.11) имеет бесконечно много решений, причем, существуют решения с любым наперед заданным конечным набором {Ап}^. Метод будет давать при разном выборе щ и отрезка асимптотики Х_п случайные числа, не связанные с собственными числами исходного оператора.

В работе В.А. Садовничего и В.Е. Подольского [111] впервые сделано теоретическое обоснование вычисления первых собственных чисел оператора Штурма - Лиувилля, основанное на системе, составленной из регуляризованных следов оператора (0.11). Они ввели следующий класс операторов Штурма - Лиувилля: оператор

-у" + q(x)y = \у, (0.12)

1/(0) - hy(0) = 0, у'(тг) - Яу(тг) - 0 (0.13)

принадлежит классу S, если решение задачи Коши

имеет при |А| —> оо асимптотическое разложение

/ лч / /т \ 7 / _Nsin(\/Aa;) . соз(л/А:г)

>(ж, А) ~ cos(VAz) + h{x)—^v^ ^У + fc₂(a;) Ц + ...+

v А А

, .sinf-v/Az) , . .cos(>/Aa:)

+&2п-і(я) 7= + к₂п{х) \ + . . .

(а/А)²"""¹ ^^п

такое, что лишь конечное число коэффициентов kj(x) отлично от нуля

на отрезке [0,7г]. Было показано, что класс операторов S плотен в

множестве операторов Штурма - Лиувилля с потенциалом из Zi2[0,7r].

Если {A_n}L₀ - спектр некоторого оператора из класса S и

п=0

является полной системой регуляризованных следов оператора, то эта система однозначно определяет спектр {Х_п}^₌₀. В этом случае для любого положительного є существуют натуральные числа N и К такие,

= В_р

что если использовать в А_р(п), р = 1, К, первые N членов асимптотического разложения А^ по степеням р, то будут верны неравенства

_{Е [}^ХР_{п - М")}

71=0

Эти утверждения позволяют говорит о том, что произвольный оператор Штурма - Лиувилля приближается (в операторной форме) с заданной точностью оператором из класса S. Из принципа максимума следует: если норма разности операторов меньше є, то и модуль разности собственных чисел этих операторов с одинаковыми номерами не превосходит є. Поэтому для оператора класса S собственные

числа находятся из системы регуляризованных следов с любой заданной наперед точностью. Параметры N и К можно выразить через є, норму р(х), h, Н и для любого оператора Штурма - Лиувилля можно построить приближающий его оператор класса S.

Различные результаты в теории следов были получены методами теории возмущений дискретных операторов, отраженные в работах М.Г. Крейна, В.А. Садовничего, В.А. Любишкина, В.В. Дубровского [70], [ПО], [ИЗ], [120], [121], [132], [133].

Л.Л. Фадеевым и B.C. Буслаевым [9], [10], [145] получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром. С. Хальберг, В. Крамер, Р. Гильберт [163], [164], [165] для случая, когда

ряд Y2 (В<р_п, (р_п) сходится, получили формулу

п=1

оо оо

53(А_п - fin) = ^(^В(Рпі 4>п)-
п=1 п—\

Здесь {/}^^ - собственные числа с учетом кратности самосопряженного ограниченного снизу оператора А, действующего в гильбертовом пространстве Н_} занумерованные в порядке возрастания их величин, а {ір_п}₌₁ соответствующие им ортонормированные собственные функции, {Хп}п=1' собственные числа с учетом кратности самосопряженного ограниченного снизу оператора С. Причем АиС имеют одинаковую область определения Da и В = С — А.

В 1994 году В.А. Садовничий и В.В. Дубровский [110] получили оценки поправок теории возмущений а_кf (щ) дискретного полуограниченного снизу оператора Т

\"?ы\ < jH>HI(^OIji^i*^)*~''^к -^{s(h (ол4)}

в случае, когда существует такое натуральное число so, что оператор

((Т — fiE)^-1) является ядерным. Здесь R^(T) - резольвента опе-

2||Р|| ратора Т. Это позволило при —-— < 1 и условии ограниченности

оператора Р записать нелинейные уравнения

Е я=Е^+Е^'ы+о((^Р) ! (0.15)

^tp "2||Р||\*р+1-^

к=\ к=\ k=i ^Jn

t_p > s₀, р = 1,п₀

для нахождения первых щ собственных чисел {/3_n}n=i оператора Т + Р. При этом было показано, что ряды поправок теории возмущений

^2 о^(по) сходятся, а о^(по) явно вычисляются через характеристики

fc=i

операторов Т и Р с помощью теории вычетов.

Таким образом, в работе [110] впервые были сформулированы идеи нового метода приближенного вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов (метода PC). В отличие от выше рассмотренных методов, он основывается на формулах, в которые входят конечные суммы целых степеней первых собственных чисел операторов Т + Р и Т. Кроме того, так как поправки теории возмущений щ \Щ) вычисляются для большого класса операторов, область применения этого метода гораздо шире, чем других известных методов. Замечательным обстоятельством является применение этого метода для нахождения собственных чисел дифференциальных операторов в частных производных.

Теоретическому обоснованию метода PC и разработки методики его применения к некоторых задачам гидродинамической теории устойчивости и посвящена данная диссертация.

В.В. Дубровский и В.В. Распопов в работах [62], [103], [104], [105] опираясь на результаты исследований СИ. Кадченко [182], [186], [187], обобщили их на случай полуцелых регуляризованных следов.

Хотелось бы отметить, что с краевыми задачами теории гидродинамики вязкоупругих сред тесно связаны работы Г.А. Свиридюка и его учеников [139]-[141]. В области построения конечномерных редукций для гладких экстремальных задач интенсивно работает Ю.И. Сапронов [137], [138].

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие основные результаты:

1. Теоретически обоснован новый метод PC, позволяющий строить алгоритмы вычисления первых собственных чисел дискретного оператора Т + Р с необходимой точностью.

2. В отличие от известных численных методов нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов, метод PC не является итерационным.

3. Применение метода PC не требует положительной определенности оператора Т -\- Р.

4. Найдены оценки поправок теории возмущений <Щ (щ) дискретных операторов.

5. Доказана сходимость числовых рядов поправок теории возмущений целого порядка оператора Т + Р.

6. Получены оценки t_p остатков ef (щ) числовых рядов Y1 4 (^по)

^Р к=1

дискретного оператора Т + Р.

7. Получены явные формулы первых четырех поправок теории воз-

мущений с* {щ) {к = 1,4, р Є АГ) дискретных операторов.

8. Разработаны алгоритмы вычисления поправок теории возмущений (ц (щ) дискретных операторов для любых fc,p Є АГ.

9. Разработаны алгоритмы вычисления сумм числовых рядов поправок теории возмущений оператора Т + Р, позволяющие находить предельные абсолютные погрешности, с которыми они найдены.

10. Разработаны алгоритмы вычисления собственных чисел дискретных операторов с оценкой предельных абсолютных погрешностей, с которыми они находятся, методом PC.

11. На основе алгоритмов метода PC созданы пакеты программ в среде "Maple б", позволяющие вычислять первые собственные числа спектральных задач гидродинамической теории устойчивости Орра -Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта.

Теоретическая и практическая значимость. Разработка алгоритма, в основе которого лежит новый метод нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов, имеет большой научный интерес, так как с его помощью расширяются возможности в решении спектральных и краевых задач.

Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в спектральной теории операторов и при разработке некоторых модификаций метода PC, которые основываются на регу-ляризованных следах дискретных операторов рациональных степеней. Они могут найти применение в исследованиях, проводимых в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, в математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, в математическом инсти-

туте им. С.Л. Соболева, во Владимирском государственном педагогическом университете, в Воронежском государственном университете, в Челябинском государственном университете, в Башкирском государственном университете в Магнитогорском государственном университете. Кроме того, результаты диссертации можно использовать в теории возмущений линейных операторов и вычислительной математике, а также при составлении пакетов программ, вычисляющих собственные числа задач, порожденных линейными дифференциальными и интегральными операторами.

Методы исследования. Для решения поставленных выше задач использовались методы функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов, теории возмущений и вычислительной математики. Основными методами в работе являются методы, разработанные В.А. Садовничим и его учениками: В.А. Любишкиным и В.В. Дубровским. При составлении пакетов программ в среде "Maple 6" использовались подпрограммы, составленные диссертантом на основе известных алгоритмов вычислительной математики.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 29 работ [175] - [203] совместно с В.А. Садовничим, В.В. Дубровским и В.Ф. Кравченко, которым принадлежит постановка задач. Доказательство лемм, теорем, составление пакета программ и численные расчеты выполнены диссертантом.

Все результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором и докладывались:

на конференции им. М.Г. Крейна "Теория операторов и их при-

ложения" (Украііна, г. Одесса, 1997 г.);

на Международной конференции, посвященной девяностолетию со дня рождения Л.С. Потрягина (г. Москва, МГУ, 1998 г.);

на восьмой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, СГТУ, 1998 г.);

на Международной конференции по теории операторов и их приложениям к научным и индустриальным проблемам (Канада, г. Виннипег, 1998 г.);

на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г. Москва, МГУ, 1998 г.);

на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, ВГПУ, 2000 г.);

на конференции "Modern Trends in Computational Physics" (г. Дубна, Объединенный институт ядерных исследований, 2000 г.);

на Международной конференции "Differential Equations and Related Topics", посвященной столетию со дня рождения И.Г. Петровского (г. Москва, МГУ, 2001 г.);

на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (г. Челябинск, ЧелГУ, 2002 г.);

на Международной конференции "Колмогоров и современная математика" (г. Москва, МГУ, 2003 г.).

Результаты работы обсуждались на научных семинарах академика РАН России В. А. Садовничего, профессора В. Б. Лидского, профессора В. В. Дубровского, профессора Г. А. Свиридюка.

Работа диссертанта была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант РФФИ № 00-01-0777, 1999-2002 г.).

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, сформулированы цели, задачи и научная новизна диссертации. Кратко излагается содержание работы.

В первой главе рассмотрены известные факты из спектральной теории линейных операторов, которые используются в диссертации.

Вторая глава посвящена теоретическому обоснованию метода PC.

В пункте 2.1 получены оценки поправок теории возмущений, используя которые доказывается сходимость числовых рядов и оцениваются их остатки. Доказана теорема, позволяющая вычислять следы дискретных операторов.

Рассмотрим дискретный, полуограниченный снизу оператор Т и ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Я. Пусть {/j,_n}₌₁ - собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а {ш_п}₌₁ - соответствующие им ортонормированные собственные функции. Допустим, что {(3_n}%Li - собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности.

Теорема 2.1.1. Пусть Т - дискретный полу ограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если для натурального числа sq оператор [В.ц(Т)]³ является ядерным и для некоторого натурально-

2|HI -, го числа щ выполняется неравенство —— < 1, то щ собственных

dno чисел {^n}^Li оператора Т -f- Р являются решениями системы щ

нелинейных уравнений

fc=l k=l к=1

( ) (~i)^k Г ~\^k

2ш _T

Здесь сцf (no) = —-——Sp J fi^pRfj,(T) PRn(T) dfj, -поправки теории

возмущений оператора T + P, є\ = Yl сц(щ), Т_По - круг ради-

k=t_p+l
Мпо+1 + Мпо ->

уса р_По = с центром в начале координат комплексной

плоскости, Рц{Т) - резольвента оператора Т, d_no = \p,_no+i — Ип₀\

Показано, что поправки теории возмущений а\по) оператора Т + Р можно вычислять по формулам

^^{>(по) = (}'^ZS^lsp / ^¹ [^РДЛ^Т)] V

Лемма 2.1.1. Если Т дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабелъном гильбертовом пространстве Н, то оператор f pP~^l PR^T) d\± не

более чем riok - мерен.

Теорема 2.1.2. Пусть Т - дискретный полу ограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабелъном гильбертовом пространстве Н. Если для некоторого натурального числа sq оператор [R^T)]¹*⁰ является ядерным и для натуралъ-ного числа щ выполняется неравенство —— < 1, то для поправок теории возмущений щ (щ) оператора Т + Р справедливы оценки

Wf Ы\ < щррР_ПоЧ\ Vk,_PeN.

Теорема 2.1.3. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепара-бельном гильбертовом пространстве Н. Если для sq Є N оператор [R^T)]⁸⁰ является ядерным и для щ Є N выполняется неравенство

—— < 1, то числовые ряды ^ сц^Р (щ) поправок теории возмущё
нно k=l

ний оператора Т + Р абсолютно сходятся.

Теорема 2.1.4. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабель-ном гильбертовом пространстве Н. Если для некоторого натурального числа sq оператор [R^T)]¹*⁰ является ядерным и для некоторого

2\\Р\\ натурального числа щ выполняется неравенство —-— < 1, то для

dn₀

t_p остатков ef (по) числовых рядов ]Г) а^ (щ) поправок теории воз-

^р k=i

мущений оператора Т + Р справедливы оценки

\$Ы\ < pnopP,^-, t_p > s₀, Vp Є N.

При разработке алгоритма нахождения приближенных значений первых собственных чисел {(З_п}₌₁ оператора Т + Р необходимо знать

»,

суммы числовых рядов Y1 ^ак (^по) поправок теории возмущений опе-

к=1

ратора Г + Р, которые можно вычислить для многих спектральных задач только численно. При этом предельные абсолютные погрешно-

»,

сти вычислений Y1 сц (щ) можно оценить, используя теорему 2.1.4.

В пункте 2.2 разработан алгоритм вычисления поправок теории возмущений и впервые приведены аналитические формулы первых четырех поправок. Получены оценки действительных и мнимых частей ря-дов Y2 ^ак^Р \^по) дискретного оператора Г+Рв случае, когда оператор

к=1 Р мнимый.

Теорема 2.2.1. Пусть Т - дискретный полу ограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабель-ном гильбертовом пространстве Н. Тогда поправки теории возмущений (2.1.11) оператора Т + Р, для любых к, р,щ Є N, вычисляются по формулам:

I -|\--И По 00 fc „_1

п=1 _ju...,_jk=l _m=l П(М-М^)

, m + 1, т < к, где Vij = (Pu)i,ujj), s

1, т = к

О, im 7^ n, Vm = 1, к,

П »

_{П (м - /О}

m=l

771=1

I - число совпадений j_m = n для любых m = l,k, {/^nl^Li ^u {^wn}^Li -собственные числа и соответствующие им ортонормированные собственные функции оператора Т.

Надо отметить, что по мере возрастания порядка к поправок теории

возмущений а_кf (щ) вычислительная эффективность СЕ алгоритма

их нахождения, которую можно определить по формуле СЕ — — (є

- ошибка приближенного решения, at- время исполнения алгоритма) [148], резко уменьшается. Это связанно с тем, что формулы по которым вычисляются а (по) содержат к -мерные числовые ряды и производные до к — 1 порядка включительно. Поэтому возникла необходимость

»,

создать новый метод вычисления сумм Y1 ос' (по).

Jfe=l В пункте 2.3 разработан новый метод вычисления сумм числовых

oo . .

рядов ]Г) а^(по) поправок теории возмущений дискретных Операторі

ров, позволяющий строить эффективные численные алгоритмы.

Теорема 2.3.1. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабель-ном гильбертовом пространстве Н. Если оператор Т + Р положительно определенный в Н и система координатных функций {(pk}kLi является базисом Н, тогда метод Бубнова -Галеркина в применении к задаче об отыскании собственных чисел спектральной задачи

(Т + Р)ч> = pip,

построенный на этой системе функций, сходится.

Теорема 2.3.2. Пусть Т - дискретный полу ограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабель-ном гильбертовом пространстве Н. Допустим, что система собственных функций {uJk}kL\ оператора Т является базисом Н. Если

для некоторого sq Є N оператор [Я,ц(Т)]³ является ядерным и для

2\\Р\\ некоторого щ N выполняется неравенство —— < 1, тогда

"п₀
оо по р—1

fc=l fc=l m=0

no p

J!,...,jp = l S=l

Ыщ)\< Е4^1}ы

_qt₁₊l

+ ЩРп₀-, , h Є N,

k=2
*p no p—2

1-q

_{\*рЫ\ < | E«? w - E (E} ^С_ЖГ+

k=2 jx=l m=0

ъ p t_p+l

⁺ 2J П ^aMr) I + Р^пЛ₀3^~> P = ²> Щ, 4 Є W.

J2,-,jp = l 8=1

n=l

По ~

Здесъ <5p(n₀) = 2 5_fcp(n₀), 5fcp(n₀) = / - /3(no), {/3*}Li - собствен-

fc=i Hwe числа оператора T + P, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности, {^k{ⁿo)Yk=i ~ приближенные значения по Бубнову - Галерки-ну соответствующих собственных чисел {/}^ оператора Т -+ Р, акт = Цк^кт + Укт, V_km = (Ріо_к,иі_т), {^k}kLi ~ собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, a {ukYkLi ~ ^его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим собственным числам, р_По =

l/ino₊l+//nol _r= J *+*> ^S^P:
^{2 ,Г} \ 1, 8=_Р.

В пункте 2.4 описан алгоритм, который позволяет из системы нели-

нейных уравнений (0.1) получить многочлен степени по, корнями которого являются первые собственные числа {(Зп}п=1 оператора Т + Р. Обозначим через s_p(t_p) приближенные значения правых частей уравнений (0.1), а через 6s_p предельные абсолютные погрешности, с которыми найдены правые части уравнений (0.1). Тогда приближенный аналог нелинейной системы щ уравнений (0.1) для нахождения приближенных значений собственных чисел {fik{tp)Yk=\ дискретного оператора Т + Р запишем в виде

J2 [Ы*р)]^Р = s_p(t_p), t_p Є N,p = І^щ. (0.17)

fc=i

Используя теорию симметрических многочленов, задача нахождения

корней системы уравнений (0.17) сводится к задаче нахождения корней многочлена щ степени

⁽

~ \ /~ \п₀ /~ \ п₀ — 1

«*p)J = (/*&)) +Mtp)(p(tp)) +

/~ \n₀-2 ^ ~ _ (U.loj

+02fe)|/3(tp)J +... + a_no-i(tp)(3{t_p) + a_nQ(t_p), коэффициенты которого находятся по рекуррентным формулам

₁ к-1

o*(tp) - (-1)) = -- [?_fc(t_p) + ^(-l)^mSjfc-_m(t_p)5F_ro(t_p)]. (0.19)

m=l

Это позволяет построить эффективный алгоритм нахождения коэффициентов многочлена fl(3(t_p)\.

В пункте 2.5 разработан алгоритм, позволяющий оценить предельные абсолютные погрешности, с которыми находятся собственные числа {Р_п}^₌₁ оператора Г + Р.

Приближенные значения первых щ собственных чисел {(3k(tp)}2₌i оператора Т-\-Р являются корнями многочлена (0.18), коэффициенты которого вычисляются приближенно по формулам (0.19), используя значения 7s_p(tp). При численной реализации метода надо знать предельные абсолютные погрешности, с которыми находятся собственные

числа Ш*р)}Т=г

Если вычислять t_p первых поправок теории возмущений а (щ), используя теорему 2.2.1, тогда числа ^_p(t_p), входящие в уравнения (0.17), находятся по формулам

ЗрЫ = ]С ^ ⁺ S ^а<к\^по)> Р = Т7щ, t_p Є N,

fc=l k=l

а предельные абсолютные погрешности 5- , с которыми записаны правые части уравнений (0.17), равны

К = 1*1? (*>)

Используя лемму 2.1.4, имеем

Если для нахождения s_p(t_p) при t_p —У со использовать методику вычисления сумм числовых рядов поправок теории возмущений

Y2 щ \^по) описанную в пункте 2.3, тогда оценки предельных абсолютні ных погрешностей 8s_p, с которыми записаны правые части уравнений

(0.17), определяются теоремой 2.3.1

h _{(1) q}ti+i
ht = \8і(щ)\ < Е <Ч Ы) +^поРп₀-і , h Є N,

к=2 i-q

Ss_p = Ыпо)\ < І E af(no) - E ( E c^vfj^

¹ fc=2 ji=l ⁴m=0

+ E П ^aisjr) + PWoP^i -, P = 2, n₀, *„ Є TV.

П On}=0

n=l

Обозначим через 5 предельную абсолютную погрешность, с которой найден к - тый коэффициент a,k(t_p) многочлена (0.18), а через 8^_к предельную абсолютную погрешность, с которой вычислена величина

0k{t_P), к = 1, п₀, t_p є N. Тогда

fc_k = ^а_к, к = 1,П₀,

а предельные абсолютные погрешности 6а_к, с которыми найдены коэффициенты многочлена f(/3(t_p))_: определяются по формулам

к-1

$а_к = ^{Ss_k + ^2 [\^rn(tp)\Ss_k__m + |Sfc-m(*p)|m] }, к = ї~^. m=l

Полная погрешность 5k(t_p) нахождения собственного числа /3k{t_p) складывается из безусловной погрешности 6_к (t_p) и условной погреш-

НОСТИ Sf. (t_p)

h(t_P) = s\t_p) + 4^U)fe). * = 1^, i_P є iV.

Безусловная погрешность б\. (t_p) нахождения собственного числа Pk(tp) связана с точностью вычисления коэффициентов многочлена (0.18) и вычисляется по формуле

по—т

1 '"и

^fMt_p)^^k{tp))\^m=

-Л

Условная погрешность <$[^u'(t_p) нахождения собственного числа /3k(t_p) определяется модулем разности найденного решения и ближайшего к нему точным решением. В случае однократного корня fik(t_p) для ее вычисления можно использовать формулу Ньютона, которая определяет эту погрешность с точностью до бесконечно малых второго порядка

/()) |

*П*р)

t(«)

В пункте 2.6 описан алгоритм метода PC вычисления первых собственных чисел дискретных операторов.

Третья глава посвящена классическим задачам линейной гидродинамической теории устойчивости. Известно, что сложности, возникающие в данной теории, в значительной мере связаны с математической проблемой нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов. Кроме того, нахождение приближенных значений первых собственных чисел спектральных задач Орра - Зоммерфельда, Пуа-зейля, Куэтта являются трудными задачами вычислительной математики. Поэтому проверка нового метода приближенного вычисления

первых собственных чисел дискретных операторов была проведена на этих задачах.

В пункте 3.1 рассмотрены вопросы применения метода PC к спектральной задаче гидродинамической теории устойчивости плоского течения вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями (задача Орра - Зоммерфельда):

(Т² + и_о- /ЗТ₀)<р = О, 0 < у < 1, (0.20)

^) = -^ = ^) = -^ = 0, (0.₂₁)

d² ( d²U(y)\

где Т₀ = — —-г + a², U₀ = iaR[U(y)T₀ -\ г-~ ), в - комплексный

dy² V dy^l /

2тг спектральный параметр, а = —— волновое число, Л - длина волны

возмущения, U(y) = 4—у(1—у)+у^-у, U_s - скорость верхней плоскости

U if. U -if

относительно нижней, U_c - скорость в середине промежутка между плоскостями (у = Ь), когда последние неподвижны, R = * - число

Рейнольдса, v - кинематическая вязкость жидкости, /* = -U_s + U_c, L* = 26.

Введем оператор G₀:

G₀ = Т² + U₀- (ЗТ₀,

заданный в сепарабельном гильбертовом пространстве І^ОД]- К области определения Dq₀ оператора G_Q отнесем все функции <р(у) класса

С⁴(0,1) pIC^-jO, 1], -j-T L2[0,l], удовлетворяющие граничным уело-

dy' виям (0.21):

D_Go = [р | ір Є С⁴(0,1) Г) С¹[0, 1], 0 Є L₂[0,1],

Рассмотрим дифференциальный оператор

^т>=-^^+0?

с областью определения Dt₍

о\

d⁴lp

D_Toi = {| Ч> Є С⁴(0,1) П С%1], ^ Є L₂[0,1], _V(y) |^_{о i} = О} и неоднородную краевую задачу

т> = т, і < „ < о, _{(о 22)}

ф) = _V(l) = 0.

Теорема 3.1.1. Решение задачи (0.22) в области Dt₀ единственно

и выражается формулой

і у

v(y) = li*^/⁵^¹ - 01/КК - І^Ну - 0]/«К}-

о о

Так как задача (0.22) имеет единственное решение в области Dt₀ ,

то Т₀₁ имеет обратный оператор:

і у

^T_'^s _{= К ли I}^sh[a(1 _-^imm_{- f}^sh[a{y_-«]/«)«}

о 0

Непосредственно применять метод PC к нахождению первых собственных чисел спектральной задачи (0.20), (0.21) нельзя, так как опе-

⁽

rP-ТТ \ UT₀ + -ту) ^не является ограниченным на 1/2[0,1].

Но можно построить вспомогательную задачу, множество собственных чисел которой совпадает с множеством собственных чисел спектральной задачи (0.20), (0.21) и к которой применим разработанный метод PC. Для этого сделаем замену (р = Г"¹/. Тогда

G₀ip = (Т²₀ +U₀- /?t₀)t-V-

Лемма 3.1.1. На множестве функций Dt₀

Dt, = {Л / Є С\0,1), 0 є L₂[0,1], ^dT*^f{y)

2/=0,1

_}

выполняются равенства

ЗІТ"¹/ = /, T-'TJCv) = /(y)

sh(m/) sha ch(ay) — cthash.(ay) /(0).

/(1)-

Используя лемму 3.1.1, имеем

G_o4> = (т_о² + Uо - (ЗТ^Т-¹/ = (т₀ + UoT'¹ - /?)/.

Поэтому спектральную задачу (0.20), (0.21) можно записать в следующем виде:

(г_о + Р₀)/ = /3/, feD_To, (0.23)

Го = *Д (и + 0т-¹) .

Очевидно, что множество собственных чисел задач (0.20), (0.21) и (0.23) совпадают, а их собственные функции связаны соотношением

Теорема 3.1.2. Для нормы оператора Р₀ = U₀T~^, заданного в се-парабельном гильбертовом пространстве Li[0,1], справедлива оценка

d²u(y)

dy'

IIР₀|| < aR\ max \и(у)\ -\—» max ¹ " ^_ Lo<2/Wl a²o

Найдем собственные числа и собственные функции следующей краевой задачи:

Т₀ш = ци, (0.24)

dT-^O) dT~^(l)

= 0.

(0.25)

Теорема 3.1.3. Спектральная задача (0.24), (0.25) имеет множество собственных чисел:

{О? + «J}~ J

и множество собственных функций:

I C₂n г :—- sin(g„y) + cos(q_ny) \ , (0.26)

где числа q_n являются корнями трансцендентного уравнения Aae~^aq - 2ol (і + е~^2а) q cos q + (і - е~^2а) (а² - g²) sin g = 0. (0.27)

Теорема 3.1.4. Собственные функции оператора Т₀, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.

Числа {C2n}%Li, входящие в (0.26), находятся из условий нормировки.

Теорема 3.1.5. Оператор Т₀ с областью определения Dt₀ является дискретным в 1/2 [0,1].

Обозначим через Lt₀ подпространство ^[0,1], элементами которого являются собственные функции спектральной задачи (0.23).

Замечание 3.1.7. Поскольку все собственные числа fi задачи (0.23) положительные, то для всех ш Є Lt₀, Ьт₀ С ^[0,1] имеем

(T₀uj,uj) = ^(ш,ш) > 0.

Следовательно, оператор Т₀ положительный на Lt₀, а значит он полуограниченный снизу.

Для нахождения приближенных значений первых щ собственных чисел {Pn(tp)}n=i задачи (0.23) воспользуемся приближенным анало-

гом нелинейной системы по уравнений (0.1), записанную в виде

Е [&(*p)J = ^spfe)> t_p > s₀, р = l,n₀,

По tp

(0.28)

fc=l k=l

В зависимости от способа вычисления чисел ^_p{t_p) (см. пункт 2.5), предельные абсолютные погрешности 5s_p, с которыми записаны уравнения в системе (0.28), оцениваются неравенствами

qtp+i

Щ,

$s_p < РГС0Р_о:|——' Ч > ^s0, P= 1, или неравенствами

^tl Q^tl+1

k=2 ^q

n₀ p-2

₊

_{ь < IE 4}^р)_{ы - E (E <%i%mr}

ji=l m=0

A=2

tp + 1

9'

n₀ P

⁺ E П ^aJ'->) I + Р^п<Лу—> P = 2, n₀

І2, -,jp = l S=l

П On}=0

n=l

Систему уравнений (0.28) для нахождения приближенных значений первых по собственных чисел {c_n(tp)}n=i спектральной задачи (0.23)

можно записать в виде

"о -і _г "и "р / \ А;

=i fc=i

*=i (iaR) ^L_fc= ^{V У}

(0.29)

(-1)*⁺¹р Л ^

А*

,(р)

/с

_{тГЫ =}

_{Е.Е (ПМг(}

п=1л„-Л=1 т=1

.p-i

т=1

Wkm — т-^, Укт = I Po^ki ы_т) Величины jjF (щ) не зависят от числа Рейнольдса R для Vno, к,р N, поэтому их значения можно использовать при вычислении собственных чисел {сп^р)}п=1 задачи Орра -Зоммерфельда для различных R. При этом должно выполняться неравенство

cx,R Щ >

max \U(y)\ + -= max |tf"(y)|l. (0.30)

Неравенство (0.30) позволяет определить число уравнений в системе (0.29).

В конце параграфа сформулирован алгоритм вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра - Зоммерфельда.

В пункте 3.2 рассмотрена спектральная задача гидродинамической теории устойчивости осесимметрического течения вязкой жидкости в круглой трубе (задача Пуазейля). Разработан алгоритм вычисления собственных чисел спектральной задачи Пуазейля.

В пункте 3.3 рассмотрены вопросы применения метода PC к спектральной задаче гидродинамической теории устойчивости осесимметрического течения вязкой жидкости между двумя концентрическими вращающимися цилиндрами (задача Куэтта). Приведен алгоритм вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Куэтта.

Четвертая глава посвящена вычислительным экспериментам по нахождению собственных чисел спектральных задач Орра - Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта. Проведенные численные расчеты показали высокую эффективность разработанного в диссертации нового метода вычислений собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов.

Благодарности. Автор диссертации выражает искреннюю благодарность академику РАН Виктору Антоновичу Садовничему, консультанту профессору Виктору Филипповичу Кравченко за чуткое руководство, обсуждение научных результатов. Благодарит ректорат и кафедру прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за поддержку и доброе отношение к диссертанту. Особенно автор благодарен, безвременно ушед-

шему из жизни, профессору Владимиру Васильевичу Дубровскому

Работа посвящается светлой памяти профессора Владимира Васильевича Дубровского.

Спектр оператора. Самосопряженные и ядерные операторы

Рассмотрим линейный ограниченный оператор А, заданный в гильбертовом пространстве Н, и оператор А — \±Е = B(fi). Допустим, что для некоторого /І оператор А — fiE имеет обратный R = (А — цЕ) 1. Оператор Rfj, называется резольвентным оператором для оператора А. Значения fi, при которых R существует, определен во всем пространстве Н и ограничен, называются регулярными значениями оператора А или принадлежащими резольвентному мносисеству оператора А. Множество всех ц, не являющихся регулярными, называется спектром оператора А. Таким образом, спектр оператора - это множество, которое является дополнением к резольвентному. Понятно, что все собственные числа оператора принадлежат его спектру. Если [І такое, что -j—— 1, то оператор А — \хЕ имеет обратный Rft, и при этом: Следовательно спектр оператора А принадлежит множеству \ц\ \\А\\. В бесконечномерном пространстве спектр оператора делится на: 1. Точечный спектр - это те значения fi, при которых существует ненулевое решение Af = fif. Точечный спектр оператора совпадает с множеством собственных чисел оператора. 2. Непрерывный спектр - это те значения /І, для которых оператор В = А — цЕ имеет обратный В х = R с плотной областью определения, не совпадающей со всем пространством. 3. Остаточный спектр - те значения /І, ДЛЯ которых оператор В = А — \іЕ имеет обратный B l = Дм, однако область его определения не плотна во всем пространстве. Спектр линейного ограниченного оператора состоит из трех непересекающих множеств: точечного, непрерывного и остаточного. Определение 1.1.1. Пусть Т - линейный оператор, заданный в гильбертовом пространстве Н, и область определения его DT плотна в Н. Пусть g - какой-нибудь элемент из Н, которому моэюно поставить в соответствие некоторый элемент д таким образом, чтобы равенство (Tf,g) = (/,# ) выполнялось для всех f Є DT- При этом g однозначно определяется элементом g , и формула g = Т д задает некоторый оператор Т , называемым сопряженным по отношению к оператору Т. Ясно, что оператор Т - линейный.

Определение 1.1.2. Линейный оператор Т, действующий в гильбертовом пространстве Н, называется симметрическим или эрмитовым, если область определения DT его плотна в Н и (Т/, д) — (f,Tg) для любых векторов f,g Є DT Определение 1.1.3 Оператор Т называется самосопряженным, еслиТ = Т . Теорема 1.1.1. (критерий самосопряженности) Пусть Т - симметрический оператор в гильбертовом пространстве Н, тогда самосопряженность оператора Т эквивалентна каждому из следующих двух условий: а) Т замкнут и Z(T ± гЕ) = {0}; б) R(T±iE) = H. Здесь Z(T ± гЕ) - пространство нулей оператора Т ± iE, a R(T ± ЇЕ) - область значений оператора Т ± гЕ. Можно доказать еще один простой критерий самосопряженности симметрического оператора. Теорема 1.1.2. (критерий самосопряженности) Если для симметрического оператора Т существует такое число \i, что как элемент вида (Т — /лЕ)х, так и элементы (Г — JlE)x (х Є DT) пробегают все Н, когда х пробегает DT, то Т - самосопряженный оператор. Определение 1.1.4. Определенный всюду в гильбертовом пространстве Н линейный оператор А называется вполне непрерывным, если он переводит всякое ограниченное множество точек в такое множество, из всякой бесконечной последовательности которого можно выделить сходящуюся подпоследовательность к некоторому элементу Н. Вполне непрерывный оператор ограничен. Утверждение 1.1.1.

Если А вполне непрерывный оператор, а оператор В определен всюду в Н и ограничен, то АВ вполне непрерывУтверждение 1.1.2. Если А - ограниченный линейный оператор, определен всюду в И и если А А вполне непрерывный, то и оператор А вполне непрерывный. Следствие 1.1.1. Если оператор А вполне непрерывный, то тем же свойством обладает оператор А . Следствие 1.1.2. Если А - вполне непрерывный оператор, а линейный оператор В, определенный всюду в Н, ограничен, то оператор АВ вполне непрерывный . Пусть А - произвольный вполне непрерывный оператор. Построим оператор В = А А, который является вполне непрерывным и положительным. Обозначим через {А }Ь=І последовательность отличных от нуля его собственных значений (/ifc — 0), а через {fk} Li - ортонорми-рованную последовательность его собственных функций, отвечающих числам //. Тогда имеем

Вычисление поправок теории возмущений самосопряженных операторов

Известно, что задача нахождения наибольшего по модулю корня многочлена неустойчива по отношению к изменению его коэффициентов [149]. В случае использования (при вычислениях на ЭВМ) системы чисел с плавающей запятой с небольшой мантиссой, найти все собственные числа {fik(tp)Yk=i с удовлетворительной точностью нельзя [92]. В этом случае, для нахождения щ первых приближенных значений собственных чисел { (tp)} !, можно использовать следующий алгоритм. Вначале найдем наименьший по модулю корень (3mi(tp), mi = 1,по многочлена (2.4.6). Далее составим систему (2.4.1) из по уравнений для щ + І собственных чисел, из которых одно (3mi(tp) уже известно и, следовательно, получим новую систему уравнений относительно по неизвестных. Опять найдем наименьший по модулю корень (3m2(tp) , 77І2 = 1, Щ, ТП2 ф т\ многочлена (2.4.6), который соответствует новой системе уравнений (2.4.1). Повторяя этот процесс необходимое число раз, определим все {/ )} .

Если при вычислениях на ЭВМ использовать систему чисел с плавающей запятой с достаточно большой мантиссой (например в среде Maple 6 можно заказывать мантису длиной до 268435448 [64], то проблема неустойчивости корней многочлена (2.4.6) к изменению его коэффициентов не возникает.

Теоремы доказанные в данной главе и методика нахождения предельных абсолютных погрешностей, с которыми вычисляются собственные числа возмущенных самосопряженных операторов, позволяют сформулировать следующий алгоритм метода PC.

Алгоритм метода PC 2.6.1. Пусть дана спектральная задача где Т - дискретный полуограниченный оператор, а Р - ограниченный оператор, которые действуют в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Требуется найти приближенное значение первых щ собственных чисел {РпУп=\ оператора Т + Р. Для этого необходимо: 1. Найти собственные числа \in оператора Т и занумеровать их в порядке возрастания величин с учетом кратности {fj,n}=l. 2. Найти ортонормированные собственные функции {а } оператора Т, которые соответствуют собственным числам {/} . 3. Определить число щ, для которого выполняется неравенство 4. Найти, если это возможно, аналитические формулы, по которым вычисляются скалярные произведения Vkm = (Ри к,и}т), п,к Є N. Если не удается найти аналитические формулы для Vnk, их необходимо вычислять численно, но это уменьшает эффективность алгоритма.

Замечание 2.6.1. Отметим, что по данному алгоритму очень удобно составлять программы на любом языке программирования высокого уровня. Причем, для различных спектральных задач изменяются только программы, связанные с первыми четырьмя пунктами алгоритма метода PC.

Известно, что сложности, возникающие в линейной теории устойчивости течения вязкой жидкости, в значительной мере связаны с математической проблемой нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов. Кроме того, нахождение приближенных значений первых собственных чисел спектральных задач Орра - Зоммерфельда, Пуазейля, Куэтта являются трудными задачами вычислительной математики, поэтому проверку нового метода приближенного вычисления первых собственных чисел дискретных операторов мы проведем на этих задачах.

Рассмотрим плоскопараллельное течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными параллельными плоскостями, которые могут двигаться параллельно друг другу с постоянными скоростями, а могут быть неподвижными. В последнем случае течение жидкости осуществляется за счет градиента гидродинамического давления. Возьмем декартову систему координат с осью Оу, направленной перпендикулярно плоскостям, уравнения которых есть у — О и у — 26. Предположим, что наблюдатель движется вместе с нижней плоскостью. Обозначим через Us скорость верхней плоскости относительно нижней, а через Uc - скорость в середине промежутка между плоскостями {у = 6), когда последние неподвижны. Введем характерные величины [75] тогда скорость основного течения и(у) вязкой жидкости в безразмерной форме можно записать в виде [76]

Чтобы установить устойчивость течения, используем метод малых колебаний, накладывая на основное движение (3.1.1) малые нестационарные возмущения. Если эти возмущения затухают со временем, считают основной поток устойчивым, в противном случае - неустойчивым. В случае двумерного течения вязкой несжимаемой жидкости его можно описать с помощью функции тока ф(х, у, t) такой, что [108] В безразмерной форме функция тока ф(х,у,Ь) удовлетворяет уравнению вихря [108]

Нахождение предельных абсолютных погрешностей вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов

В пункте 3.1. было показано, что множества собственных чисел спектральных задач (3.1.3), (3.1.4) и (3.1.12) совпадают. Проиллюстрируем это, вычислив первые собственные числа задач для некоторых значений числа Рейнольдса R и а, используя метод Бубнова - Галер-кина. Доказательство сходимости метода Бубнова - Галеркина, построенного на системе функций (4.1.1), при нахождения собственных чисел задачи Орра - Зоммерфельда (3.1.3), (3.1.4), впервые было дано в работе Г.И. Петрова [93] и, познее, приводилось многими авторами в различных формах [90]. Приближенные значения собственных чисел (3.1.3), (3.1.4) будем обозначать с, а задачи (3.1.12) с. Рассмотрим систему функций { ps(y)}f=1 которую впервые предложил Г. И. Петров [93]. Здесь 2 (a sin qs — qs sin a) Коэффициенты &2S находятся из условий нормировки. Эти функции являются решениями краевой задачи UJS - собственные функции (3.1.14), (3.1.15). Тогда приближения по Бубнову - Галеркину спектральной задачи Орра- Зоммерфельда (3.1.3), (3.1.4) ищутся в виде

Причем, коэффициенты bj1 выбираются так, чтобы невязка G0f была ортогональна всем элементам из DQ , а коэффициенты а выбираются так, чтобы невязка (Т0 + Р0-/3)/ была ортогональна всем элементам из D , то есть {Hk}kLi" собственные числа спектральной задачи (3.1.14), (3.1.15), занумерованные в порядке возрастания их величин. Приравняв к нулю определители этих систем, получим уравнения определяющие, приближенные значения собственных чисел задач (3.1.3), (3.1.4) и (3.1.12) единичная матрица.

Используя уравнения (4.1.2), были вычислены собственные числа задач (3.1.3), (3.1.4) и (3.1.12), при а = 1 для плоской задачи Куэт-та (Us — 0, Uс = 1) и плоской задачи Пуазейля (Us = 1, Uc = 0). Некоторые результаты расчетов представлены в таблицах 4.1.1, 4.1.2. Через Пс обозначена размерность пространства DQ , а через п - размерность пространства D . Для нахождения приближенных значений сисе необходимой точностью, размерность пространств DQ И Dp все время увеличивалась. Процесс счета продолжался до тех пор, пока max \с- — с) и max \с) — с) были больше заданной точности. При помощи переменной среды Digits, увеличивалась точность вычислений Єс, Єс- Результаты численных расчетов приведены в В пункте 2.2 доказана теорема 2.2.1, позволяющая вычислять по- правки теории возмущений щ (по) любого целого порядка р Є N. Но, как отмечалось в замечании 2.2.1, эти алгоритмы имеют очень низкую вычислительную эффективность. Поэтому для создания эффектив оо , . ных алгоритмов вычисления сумм рядов 2 ск (по) в 2.3 был разрабо k=l тан новый метод, который прост в численной реализации. Сравним эти методы, на примере задачи Орра - Зоммерфельда. Для этого запишем уравнение (2.1.1) в виде где a (no) = —-.———, a / - собственные числа спектральной задачи (3.1.14), (3.1.15). Такая форма записи связана с тем, что для вычислений при больших числах Рейнольдса R уравнение (3.1.12) удобно представить в виде Sp(no), приближенные значения 5р(по), найденые первым методом (теорема 2.2.1) и вторым ( теорема 2.3.2) соответственно. В таблицах 4.1.3 и 4.1.4 приведены результаты вычислений 5р(по) и Бр{щ) для плоского течения Куэтта и плоского течения Пуазейля соответственно, при а = 1. Сравнение результатов вычисления частичных сумм числовых рядов J2 сц (по) по двум методикам проведено при небольших числах Рейнольдса R. Это связано с тем, что при больших R первая методика мало эффективна.

Расчеты показывают, что в рамках принятой точности результаты вычислений по двум методикам хорошо согласуются.

Сравним результаты вычисления собственных чисел задачи Орра - Зоммерфельда, найденные методом PC, с полученными ранее. При этом необходимо учитывать, что при рассмотрении плоского течения Куэтта, большинство авторов считали, что профиль скорости основного течения U (у) имеет вид U (у) = у (—1 у 1),ив качестве масштаба скорости они брали полуразность скоростей пластин, а в качестве масштаба длины - половину зазора между ними. Поэтому число Рейнольдса # , вводимое ими, в четыре раза меньше, чем число Рей-нольдса R в нашей работе.

В таблице 4.1.5 приведены значения мнимых частей с\ и с\ - первых собственных чисел плоской задачи Куэтта, взятые из работы [154] и вычисленные методом PC используя алгоритм 03 3.1.1 соответственно, при а = 1 и различных числах Рейнольдса R.

Вычисление собственных чисел спектральной задачи Пуазейля методом регуляризованных следов

В пункте 3.2 было показано, что множества собственных чисел задач (3.2.3), (3.2.4) и (3.2.18) совпадают. Для иллюстрации этого вычислялись первые собственные числа задач при некоторых значений числа Рейнольдса Л и Л, методом Бубнова - Галеркина. Проведенные численные расчеты подтвердили вывод о равенстве множеств собственных чисел этих задач. Построим графические зависимости первых собственных чисел задачи Пуазейля от некоторых значений волнового числа Л и числа Рейнольдса І2, которые получены по алгоритму Р 3.2.1.

На рисунках 4.2.1 и 4.2.2 представлены зависимости действительных частей собственных чисел ап (п = 1,5) задачи Пуазейля от волнового числа Л, при R = 500 и R = 1000 соответственно. Номер графика на рисунках определяет номер собственного числа в последовательности {on}=i, члены которой занумерованы в порядке возрастания \Rean\.

На рисунках 4.2.3 - 4.2.6 изображены графические зависимости Rean п = 1,3 задачи Пуазейля от числа Рейнольдса R при Л = 0.01, Л = 0.1, Л = 1 и Л = 10 соответственно. Результаты вычислений первых собственных чисел спектральной задачи Пуазейля, найденных методом PC, сравнивались с результатами вычислений, полученных методом Бубнова - Галеркина. Во всех случаях результаты хорошо согласуются. Приближения по Бубнову - Галеркину задачи (3.2.18) искались в виде:

По аналогичной схеме применялся метод Бубнова - Галеркина для нахождения приближенных собственных чисел задачи (3.3.3), (3.3.4).

В пункте 3.3 было показано, что множества собственных чисел задач (3.3.3), (3.3.4) и (3.3.12) совпадают. Для иллюстрации этого вычислялись первые собственные числа этих задач для некоторых значений числа Рейнольдса R и Л, по методу Бубнова - Галеркина. Проведенные численные расчеты подтвердили вывод о равенстве множеств собственных чисел этих задач.

Результаты вычислений первых собственных чисел задачи Куэтта, найденных методом PC по алгоритму К 3.3.1, сравнивались с результатами вычислений методом Бубнова - Галеркина. Во всех случаях результаты совпадали с хорошей точностью. Для течения Куэтта между двумя концентрическими вращающимися цилиндрами, как показал Сайндж [60], устойчивое при А 0, то есть

Следовательно, по Саймону, течение, должно быть устойчивое, что и подтверждает численный расчет, проведенный по методу PC. Построим графические зависимости первых собственных чисел задачи Куэтта от некоторых значений волнового числа Л, числа Рейнольдса R, радиусов внешнего и внутреннего цилиндров R\ и . и угловых скоростей Г 2, І і их вращения. На рисунках 4.3.1, 4.3.2 изображены графические зависимости действительных частей собственных чисел ап от числа Рейнольдса R, при А = 0,1, — = 2, — = -. Номер графика на рисунках определяет но мер собственного числа в последовательности {o } Li, члены которой занумерованы в порядке возрастания і2е5 п.

На рисунках 4.3.3, 4.3.4 представлены графические зависимости действительных частей собственных чисел оп от волнового числа Л, при

Проведенные численные расчеты по нахождению первых собственных чисел спектральной задачи Куэтта, пользуясь алгоритмом К 3.3.1, показали высокую эффективность метода PC разработанного в диссертационном исследовании.

Разработан новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов. Проведенные численные расчеты показали высокую вычислительную эффективность нового метода.

Разработан новый метод вычисления сумм числовых рядов поправок теории возмущений дискретных операторов.

Доказана сходимость числовых рядов поправок теории возмущений целого порядка дискретных операторов.

На основе алгоритмов метода PC созданы пакеты программ в среде "Maple 6"для вычисления первых собственных чисел спектральных задач гидродинамической теории устойчивости: Орра- Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта.

Теоретические результаты, полученные в работе, позволяют получить ряд обобщений метода PC. В частности на случай рациональных степеней следов и на случай использования регуляризованных следов возмущенных самосопряженных операторов.

Похожие диссертации на Новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов

Алгоритмы и методы вычисления первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с негладким потенциалом на единичной двумерной сфереПорецков Олег Александрович

Математическое моделирование потенциальных полей методом операторов преобразования для областей со сферической симметриейПарфёнова, Юлия Алексеевна

Метод базисных операторов построения дискретных моделей сплошной средыКоробицын, Владимир Анатольевич

Вычислительные методы в спектральной теории оператора Штурма-ЛиувилляАбзалимов Рамиль Рафикович

Разработка методов параметрической идентификации дробных дифференциальных операторов на основе математических моделей в форме разностных уравненийБазовкина Анна Сергеевна

Математическое моделирование и синтез метода интеллектуальной поддержки процессов тренировки эмоционального самоконтроля оператораУнакафов Антон Михайлович

Итерационные методы решения некоторых вариационных неравенств с псевдомонотонными операторамиАли Мохамед Саддеек Абд Эллах

Развитие численных методов для математического моделирования нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторовКакушкин, Сергей Николаевич

Обобщенный непараметрический метод вычисления положительно однородных индексов Конюса-Дивизиа и его приложения к анализу товарных и фондовых рынковКондраков, Иван Александрович

Математическое моделирование стеганографических объектов и методы вычисления оптимальных параметров стегосистемРазинков, Евгений Викторович