Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Параметрическое приближение кривых
1.1. Постановка задач параметрического приближения кривых 8
1.2. Полиномиальная интерполяция 11
1.3. Сплайн-приближение 17
1.4. Параметрические сплайны 21
1.5. Интерполяционные кубические параметрические сплайны 24
1.6. Составные кривые Фергюсона 26
1.7. Параметрические В-сплайны 27
1.8. Способы параметризации кривой 28
1.9. Наилучшая параметризация в задаче интерполяции кривой .31
1.10. Среднеквадратичная аппроксимация 48
1.11. Наилучшая параметризация в задаче среднеквадратичной аппроксимации кривой 56
Глава 2. Параметрическое приближение поверхностей
2.1. Параметризация поверхности 67
2.2. Классификация методов параметрического приближения поверхностей 68
2.3. Интерполяция двумерными полиномами 71
2.4. Поверхности Кунса 72
2.5. Поверхности Фергюсона 74
2.6. Параметрические двумерные сплайны 76
2.7. Бикубические параметрические интерполяционные сплайны 77
2.8. В-сплайновые поверхности 78
2.9. Наилучшая параметризация в задаче интерполяции поверхности 79
Заключение 98
Список литературы
- Полиномиальная интерполяция
- Интерполяционные кубические параметрические сплайны
- Классификация методов параметрического приближения поверхностей
- Бикубические параметрические интерполяционные сплайны
Введение к работе
Актуальность темы. Задачи приближения играют исключительно важную роль в современной вычислительной математике, так как идеи приближения лежат в основе многих численных методов (см., например, [3, 5, 6, 56, 59, 70]).
Параметрическое приближение обладает рядом преимуществ по сравнению с традиционным. Параметрические функции позволяют дать простое математическое описание пространственных кривых, кривых и поверхностей, имеющих вертикальные касательные, в том числе замкнутых. Кроме того, параметрический способ задания кривых и поверхностей освобождает от привязки к какой либо определенной системе координат, позволяя наиболее просто осуществлять аффинные преобразования, такие как перенос и вращение. Благодаря данным преимуществам методы параметрического приближения получили широкое применение в компьютерной графике, при программировании станков с числовым управлением и других практических задачах, требующих построения кривых и поверхностей геометрически сложной формы. Достоинства параметрического приближения более подробно обсуждаются в работах [2, 14, 19, 67, 68, 106, 115].
Главной особенностью задач параметрического приближения кривых и поверхностей, как отмечается в [19], является то, что кривые и поверхности бывают заданы совокупностью точек, лежащих на них, а информация о способах параметризации отсутствует.
В задачах приближения кривых необходимо выбрать некоторый параметр и каждой заданной точке поставить в соответствие значение этого параметра. Во многих работах, например [2, 20, 58, 67, 100, 104, 105, 114, 115, 116, 124, 127, 139], при исследовании различных методов параметрического приближения кривых отмечается, что выбор параметра имеет критическое влияние на форму интерполирующей или аппроксимирующей кривой. При неудачном выборе параметра на кривой появляются осцилляции, а в некоторых случаях даже петли. Однако проблема выбора наилучшего параметра в данных работах не рассматривалась.
Для реализации параметрического приближения поверхности необходимо выбрать два параметра, задающих криволинейные координаты на поверхности таким образом, чтобы поверхность отображалась на прямоугольник в плоскости выбранной криволинейной системы координат. Как отмечается в работах [2, 20, 67, 104, 116, 124], выбор таких параметров имеет значительное влияние на форму приближающей поверхности. При неудачном выборе параметров на поверхности появляются нежелательные плоские и складчатые области. Проблема выбора наилучших параметров в задаче приближения поверхностей ни в одной работе не рассматривалась.
Цель и задачи работы. Целью данной работы является развитие общего подхода использования наилучшей параметризации в задачах приближения.
В связи с поставленной целью были решены следующие задачи
Сформулировать и доказать необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задаче интерполяции поверхностей.
Сформулировать и доказать необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задачах интерполяции и среднеквадратичной аппроксимации пространственных кривых.
Провести обзор и сравнительный анализ методов параметрического приближения кривых и поверхностей и способов параметризации кривых и поверхностей в задачах параметрического приближения.
Разработать алгоритмы и программы, реализующие параметрическое приближение кривых и поверхностей различными методами и с использованием различных способов параметризации. Сравнить результаты численных экспериментов с теоретическими утверждениями.
Методы исследования. В работе используются методы теории приближений, линейной алгебры, математического анализа, вычислительной геометрии.
Для построения кривых и поверхностей использовались методы интерполяции сплайнами, полиномиальной интерполяции и среднеквадратичной аппроксимации.
Доказательство необходимых и достаточных условий наилучшей параметризации основано на методе продолжения решения по параметру, с выбором наилучшего параметра, развитом в работах Шалашилина В.И. и Кузнецова Е.Б. [16, 28-34, 71, 138]. Данный метод применим для построения однопараметрических множеств, таких как решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, задач Коши для ОДУ, краевых задач для ОДУ, дифференциально-алгебраических, функционально-дифференциальных, интегральных уравнений и т.п. При этом наилучшим параметром является длина дуги, вычисляемая вдоль кривой множества решений задачи. В работе [35] идея наилучшей параметризации обобщается на многомерный случай. В работах [32, 71, 138] рассмотрены необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задачах интерполяции и среднеквадратичной аппроксимации плоских кривых.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задаче интерполяции поверхностей. Проведены численные эксперименты, подтверждающие доказанные утверждения.
Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия наилучшей параметризации в задаче интерполяции и среднеквадратичной аппроксимации пространственных кривых. Проведены численные эксперименты, подтверждающие доказанные утверждения.
3. Установлена эффективность метода представления аппроксимирующих полиномов в виде линейной комбинации ортогональных полиномов в задаче среднеквадратичной аппроксимации параметрическими полиномами.
Достоверность научных утверждений и выводов подтверждена строгими математическими доказательствами и численными экспериментами.
Практическая значимость работы обеспечивается широким лрименением параметрического приближения во многих современных практических задачах, требующих построения кривых и поверхностей геометрически сложной формы, например таких, как обводы летательных аппаратов, корпусы судов, кузова автомобилей, лопасти турбин. Параметрическое приближение используется как на стадии проектирования, для визуализации кривых и поверхностей на экране дисплея ЭВМ и подготовки информации для автоматических чертежных устройств, так и на стадии производства, при программировании станков с числовым управлением.
Краткое содержание диссертации.
Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и заключения.
Первая глава посвящена задачам параметрического приближения кривых. В параграфе 1.1 формулируются задачи параметрического приближения кривых. В параграфах 1.2 - 1.7 описываются методы интерполяции кривых. В параграфе 1.8 описываются наиболее распространенные способы параметризации кривых. В параграфе 1.9 рассматривается проблема наилучшей параметризации в задаче интерполяции кривых. Параграф 1.10 посвящен методам среднеквадратичной аппроксимации кривых. В параграфе 1.11 рассматривается проблема наилучшей параметризации в задаче среднеквадратичной аппроксимации кривых.
Вторая глава посвящена задачам параметрического приближения поверхностей. В параграфе 2.1 формулируются задачи параметрического приближения поверхностей и проблема параметризации поверхности. В параграфах 2.2 - 2.8 рассматриваются методы интерполяции поверхностей. В параграфе 2.9 рассматривается проблема наилучшей параметризации в задаче интерполяции поверхностей.
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [36-40, 118-119].
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на XII Международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы", г. Владимир, 30 июня-5 июля 2003г.; в Крымской осенней математической школе, г. Севастополь, 15-30 сентября, 2004 г.; на Международной конференции "International Conference of Computational Methods in Sciences and Engineering 2004", Аттика, Греция, 19-23 ноября 2004 г.; на XI Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы конструкций и сплошных сред", с. Ярополец, Моск. обл., 14-18 февраля, 2005 г.; на XIV Международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы", г. Алушта, Крым, 25-31 мая 2005 г.
Полиномиальная интерполяция
Пусть задано упорядоченное множество точек Р,, / = 0,«, в пространстве Е2 или R3 и каждой точке поставлено в соответствии значение параметра /,.. Задача полиномиальной интерполяции состоит в построении вектор-функции р(0 = 2 /, A,.eR3, /є[ґ0;/я], (1.2.1) удовлетворяющей условиям Р( ,) = А// = Р„ / = 0,/1. (1.2.2) Для каждого набора узловых точек (t,,Р,), і = 0,п, существует единственный интерполяционный полином (1.2.1).
Определитель матрицы системы (1.2.3) является определителем Вандермонда, который отличен от нуля для любых попарно различных значений tr Следовательно, векторы коэффициентов полинома Ау однозначно определены. См., например, [18, 70].
На практике система (1.2.3) не используется для вычисления коэффициентов интерполяционного полинома, поскольку она часто бывает плохо обусловленной. Существуют различные удобные явные формы записи интерполяционного полинома, которые и применяются при интерполяции.
Интерполяционный полином в форме Лагранжа имеет вид у=о (1.2.4) где \j - базисные полиномы, называемые лагранжевыми многочленами влияния МО=ГЇт-т- (L2-5) /=0, tj - tt
Достоинством этой формы записи интерполяционного полинома является то, что число арифметических операций, необходимых для построения полинома Лагранжа пропорционально пг и является наименьшим для всех форм записи. К достоинствам можно также отнести то, что формула (1.2.4) содержит в явном виде значения Р ? что бывает удобно при некоторых вычислениях, например, при построении формул численного интегрирования.
К недостаткам полинома Лагранжа можно отнести то, что при изменении числа узлов приходится все вычисления проводить заново. Интерполяционный полином в форме Ньютона имеет вид p(0=Po+( -Wo i]+( -0( -A)[W ] + "-+( - o)-"( -0[V.../J, гпр Tt t Л _ "і "о 7 f t 1 _ U» 2J "l/o J Г 1 _ \?У" піУОТ--Лп-\і _ 0 2 0 л " 0 разделенные разности.
Для полинома Ньютона, в отличие от полинома Лагранжа, добавление новых узлов интерполяции приводит лишь к добавлению новых слагаемых, без изменения остальных. Интерполяционный многочлен Ньютона удобен для построения формул численного дифференцирования. Кроме того, он удобен для проведения апостериорных оценок погрешности интерполяции.
Кривая Безье степени п на отрезке 0 ґ 1 определяется при помощи векторного уравнения p„(0=2d,B;(o, (1.2.6) .7=0 Здесь базисными полиномами B"(t) являются полиномы Бернштейна В"( = чҐ .4, 0-0 - (1.2.7) В случае, если отрезок изменения параметра произволен a t b, уравнение кривой Безье имеет вид t-a р.(0=2Хв; у=о ч «. (1.2.8) Коэффициенты dj в формулах (1.2.6) и (1.2.8) представляют собой координаты опорных точек кривой Безье. Коэффициенты dy могут быть найдены из условий (1.2.2).
Кривые Безье предназначены для интерактивного построения кривых на экране ЭВМ. Кривая Безье лежит внутри выпуклой оболочки, натянутой на ее опорные точки, начинается в первой и заканчивается в последней точке. Опорные точки определяют касательные векторы кривой в узловых точках. Меняя расположение опорных точек можно получить желаемую форму кривой. Теория кривых Безье изложена в работах [46, 47, 88-90, 108, 113].
На практике не рекомендуется использовать интерполяционные полиномы степени больше 5. Полиномы больших степеней имеют тенденцию к осцилляциям (см. напр. [3, 56, 116]), и их значения между узлами могут значительно отличаться от значений интерполируемой функции. Эту тенденцию хорошо иллюстрирует пример Рунге [131] интерполяции функции f{x) = 1/(1 + 25л:2) на отрезке [-1,1] при равномерном распределении узлов. Одним из способов решения этой проблемы является интерполяция полиномами Эрмита Н2„+1(О=ЕРДІ-2І;.(/УК/-О)]І;(О+ЕР;(?-О)1У(О. у=о у=о
Основной недостаток этого метода в том, что он требует знания значений производных в узловых точках PJ с высокой степенью точности.
Интерполяционные кубические параметрические сплайны
Интерполяционным параметрическим кубическим сплайном на сетке А = {а -10 tx b) называется функция r{t) = (Sx(t),Sy(t),Sz(t)\ , Sx(t),Sy(t),Sz(t)eC2[a,b], которая на каждом отрезке изменения параметра [tntM], / = 0,п -1, представляет собой многочлен третьей степени r(t) = ri(t) = Ai(tif + Bi(ti)2+Ci(ti) + l)i (1.5.1) и удовлетворяет условиям г(0 = Р,., / = 0Я (1.5.2)
Здесь ApB CpD,. - векторы коэффициентов сплайна, Pj=(xl,yi,zi)T заданные узловые точки. Для нахождения коэффициентов сплайна используются условия (1.5.2), условия непрерывности сплайна и его первой и второй производной во всех внутренних узловых точках Р,,...,РИ_, г/(0 = ,( ,) (1-5-3) ,) = ,(/,), и граничные условия.
В качестве граничных условий можно выбрать одни из следующих а) Равенство нулю вторых производных сплайна в граничных точках r0v)=o, 1-:.,(6)=0. Сплайн с такими граничными условиями называют естественным. б) Для замкнутых кривых можно положить tn = t0 и использовать периодические граничные условия r0(a) = r„_,(6), i» = r„ _,(Z ), (я) = !;_,( ). в) Можно задать значения первых производных на границах отрезка интерполирования ії(я)=р;, r[_x{b)=K г) Можно использовать в качестве граничных условий равенство третьих производных во второй и предпоследней точке iJ40 = »№), ,( ,) = (0
Обозначим через Р/ значения производных в узловых точках. Подставив в выражение для /-го сегмента кубического сплайна (1.5.1) и его производной значения t, и tM с учетом условий 1-(0 = 1% r/(f,)=P;, гД.+,) = г/+1(/,+1) = Р,ч1, ,-+))- гі\( і+\) Р/+і получим систему уравнений (1.6.1) Р/+1 = АДАО3 + В,(Д/,)2 + С,(ЛО + D,, ЗАДА +гВДАО + С,.. Здесь Af, = tM - /., / = 0, я -1. Выразим из этой системы векторы коэффициентов Л.2(Р1-Р +А/ (Р;+РД1) (АО3 З -Р -Д +РД,) В ш,у (1.6.2)
Подставляя выражения для коэффициентов сплайна (1.6.1), (1.6.2) в (1.5.1) получим формулу для сегмента составной кривой Фергюсона
Формула (1.6.3) фигурирует в работе Фергюсона 1964 г. [103]. В более ранней работе 1963 г. [102] была получена формула аналогичная (1.6.3) с использованием целочисленной параметризации, т.е. при ti = /, At, = 1.
Четыре функции параметра t в правой части равенства (1.6.3) часто называют функциями сопряжения. При использовании целочисленной параметризации, f. = /, выражения для В-сплайнов упрощаются.
Как отмечалось ранее, любой сплайн степени к -1 можно представить в виде линейной комбинации В-сплайнов степени к -1 п r(/) = d,Ba(0, п к, tz[tk_x,tnJ. (1.7.3) /=0 Кривая, задаваемая формулой (1.7.3) называется В-сплайновой кривой порядка к (степени к-\).
В-сплайновые кривые с равномерной параметризацией узлов называют однородными, с неравномерной - неоднородными.
Отметим, что для построения В-сплайновой кривой необходимо задать дополнительные значения tQ,...,tk_2 и /л+2,» „+ которые могут быть выбраны произвольно. Поведение кривой в окрестности границ отрезка интерполирования в зависимости от этих значений рассматривается в работах [84,84-86,116].
Векторы коэффициентов d, задают координаты опорных точек В-сплайновой кривой.
В задаче интерполяции В-сплайновыми кривыми компоненты векторов d. могут быть найдены из условия прохождения кривой через узловые точки (1.5.2) и условий непрерывности к-2 производных в узловых точках. В результате получаются линейные алгебраические системы с ленточной структурой матрицы, поэтому вычисление коэффициентов осуществляется достаточно просто.
В-сплайны играют большую роль при построении численных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. В частности, линейные В-сплайны лежат в основе популярного метода конечных элементов.
Как отмечалось в параграфе 1.1, для реализации алгоритмов параметрического приближения необходимо каждой узловой точке Р, поставить в соответствие значение параметра tn і = 0,п. При этом выбор значений /,., очевидно, не единственен. Для того, чтобы приближающая функция г(7) была однозначной, достаточно, чтобы значения параметра ti в узловых точках образовывали строго монотонную последовательность чисел. Во многих работах, например [2, 20, 58, 67, 100, 104, 105, 114, 115, 116, 124, 127, 139], отмечается, что выбор параметра имеет значительное влияние на форму интерполирующей или аппроксимирующей кривой. При неудачном выборе параметра на кривой появляются осцилляции, а в некоторых случаях даже петли.
Рассмотрим некоторые возможные способы параметризации кривой. Равномерная параметризация - параметризация, при которой отрезок изменения параметра [а, Ь] делится на равные части. Значения параметра в узловых точках Р, принимаются равными = (Ь-а)1/п + а, / = 0,и.
Частный случай равномерной параметризации - целочисленная параметризация, при которой в качестве значений параметра в узловых точках принимаются номера узловых точек f. = /, і = 0,п. Отметим, что при линейной замене параметра t - kt + а форма приближающей кривой не изменяется. В работах [1, 69] при интерполяции параметрическими сплайнами рекомендуется использовать целочисленную параметризацию, поскольку она упрощает алгоритм построения сплайнов и выполнение операций со сплайнами. Однако, как отмечается в [67, 116], равномерная параметризация дает приемлемые результаты только в случае, когда узловые точки расположены достаточно равномерно.
Классификация методов параметрического приближения поверхностей
Методы параметрического приближения поверхностей можно разделить на три типа. Описание этих типов будет основано на фундаментальной работе Гордона [109] и обзоре Форреста [107]. В работе [107] процедура приближения кривых представляется в общем виде как применение оператора Ф, к векторной функции исходных данных Р(/): г(0 = Ф,Р(0, а процедура приближения поверхностей представляется как применение оператора Фиу к векторной функции исходных данных P(w,v): ф,у) = ФИУР(и,у).
Оператор Фцу в пространстве функций двух переменных слишком сложен для изучения. Поэтому были найдены способы аппроксимации Фм v с помощью композиции двух одномерных операторов Фи и Фу. Чаще всего для этого используют тензорное произведение двух одномерных операторов. Тогда процедура приближения поверхности записывается следующим образом r(M,v) = O„.OvP0/ v). (2.2.1)
В результате такой операции Фи будет действовать на данные P(M;.,V), а Фу будет действовать на P(w,vy). Операция тензорного произведения коммутативна, т.е. Фи»Фу=Фу»Фи, при условии непрерывности P(M,V).
Методы, основанные на уравнении (2.2.1), называют методами тензорного произведения. Если поверхность задана конечным числом значений P(w/,vy), то уравнение (2.2.1) принимает вид я т r(M,v) = P(W,,vy)F;(M)G,(v), i =0 /=0 где Ft(u) и Gy(v) - интерполяционные или аппроксимационные функции одной переменной. Методы тензорного произведения наиболее широко применяются на практике. К методам тензорного произведения относится, например, приближение двумерными полиномами, а также двумерными полиномиальными сплайнами.
Вместо аппроксимации двумерного оператора тензорным произведением двух одномерных операторов можно использовать принцип суперпозиции. Однако простое сложение двух операторов Ф„ и Фу в точках пересечения двух семейств интерполяционных функций удваивает значение аппроксимируемой функции. Чтобы устранить этот недостаток, выполняют следующую операцию [109] r(u,v) = [Ф„ ФУ]Р(М,v) = [Ф„ + Фу - Фи.Фу]Р(и,v). (2.2.2)
Обозначим через Ф множество всех идемпотентных линейных отображений из линейного пространства на некоторое подпространство. Гордон [109] показал, что алгебраическая структура (Ф,{«, 8 }) является дистрибутивной решеткой, а если, кроме того, определен единичный элемент и операция дополнения, то эта структура является булевой алгеброй. Гордон также доказал, что аппроксимация Фиу=Фн»Фу является минимальной, поскольку ошибка соответствующей интерполяции равна нулю в минимальном числе точек - в узлах сетки, а аппроксимация Фи v = Фи 8 Фу является максимальной, поскольку ошибка соответствующей интерполяции равна нулю в максимальной числе точек, а именно во всех точках на линиях сетки Фи P(w,v) и Фу Р(и,у). Аппроксимация последнего типа называется булевой суммой или расширенным методом Кунса. Кривые, на которых погрешность интерполяции равна нулю, называются граничными кривыми, а множители, с которыми граничные функции входят в выражение для приближающей поверхности, называют функциями сопряжения.
Третий тип методов построения поверхностей основан на использовании только одного из двух операторов Фи или Фу. Таким образом получается одна из двух аппроксимаций: Г(М,У) = ФИР(М/,У) или г(и,у) = ФуР(и,уу).
Методы этого типа называют плазовыми. Плазовые методы представляют поверхность в виде множества продольных гладких кривых, проводя их через точки, определяемые предварительно построенным набором поперечных сечений. Эти методы используются в тех приложениях, где конструируемая поверхность вытянута в основном вдоль одного направления (как, например, фюзеляж самолета).
Плазовые методы были известны до появления методов тензорного произведения и булевой алгебры. Методы булевой алгебры появились в 60-х годах. Позднее, в 70-х годах начали разрабатываться методы тензорного произведения.
Бикубические параметрические интерполяционные сплайны
Подставляя выражения для множителей Лагранжа (2.9.13) в формулы (2.9.12) получим выражения для компонентов векторов аир ." , , f" ,»»,. ATT- -JW ,=1АЗ- (2-9Л4) (42,+4+4) К+4+4) доставляющих экстремум функции Лагранжа (2.9.9).
Если выражения для а, и Д (2.9.14) подставить в равенства (2.9.10), то получаем, что определитель системы должен удовлетворять равенствам Д = ±(д2 + А?2 + 423)"2 =±(4f, +4 + 4)"2 (2.9-15) и экстремум функции Лагранжа достигается при значениях tf,=4s Д= Ч 1- = 1,2,3. (2.9.16)
При этом, как следует из выражений (2.9.15) и (2.9.13), множители Лагранжа будут определяться выражениями
Рассмотрим достаточные условия экстремума функции Лагранжа. Второй дифференциал функции Лагранжа можно представить в виде (2.9.18) +(F2 d/32 -fydp,)dax +{Vxdp, -V2d/3x)da2 + (Fyd& -xd/32)da3]. Запишем выражение для дифференциала первого из равенств (2.9.6) 2(at dat + a2da2 + ayday ) = 0. (2.9.19)
Подставив в (2.9.19) вместо at выражения (2.9.16) и умножив полученное равенство на Д/2, получим равенство Audax + A2ida2 + А аъ = 0 (2.9.20) или (F,A-FrA)«fo, +(FxA-F ) +(FrA-FxA) =0. (2.9.21) Запишем выражение для дифференциала равенства (1.9.21) {Vzdp2-Vyd&)da, + {Vxdp,-Fzdpx)da2 + {fydpx-?sdp2)da, = 0. (2.9.22)
С учетом равенств (2.9.22) и (2.9.17) второй дифференциал функции Лагранжа (2.9.18) принимает вид d b = -b\idaxfHdb?Hd(b?Hdfr?Hd&?4d&?\ (2.9.23) Из выражения (2.9.23) следует, что знак второго дифференциала функции Лагранжа определяется знаком определителя матрицы системы уравнений продолжения А.
Если Д 0, то d L 0 и функция Д принимает наибольшее значение, если Д 0, то d2L 0 и функция Д принимает наименьшее значение. Следовательно, д принимает наибольшее значение, когда компоненты векторов аир удовлетворяют равенствам (2.9.16).
Установим расположение по отношению к интерполируемой поверхности векторов аир, компоненты которых удовлетворяют равенствам (2.9.16).
Вычислим скалярные произведения Ь,«) и \Js,p), іде 1 =(1 ,1 ,1 вектор нормали к поверхности FrA..+FvAn+F.A, (N,a) = F,g,+F,flr2+Rg3=± \ (2.9.24) Fv А„ + F, А„ + F. А-,-, (Nj) = FxPl+FyP2 + F:P3=± 21 УА22 - 23. Суммы в числителях дробей правых частей равенств (2.9.24) представляют собой суммы произведений элементов 3-й строки определителя Д на алгебраические дополнения элементов 1-й и 2-й строки. В силу свойства определителей (см., например, [41]) все такие суммы равны нулю.
Следовательно, векторы аир ортогональны вектору нормали N = (FJC,F ,FZ) , т.е. лежат в плоскости, касательной к поверхности. Докажем ортогональность векторов аир. Скалярное произведение этих векторов (а,р) = афх + афг + афъ = ±4іА±4іАМзА (2.9.25) равно нулю, так как числитель дроби правой части равенства (2.9.25) равен нулю в силу свойства определителей. Следовательно, векторы аир, определяющие в каждой точке поверхности направление измерения наилучших параметров, ортогональны.
Докажем, теперь, что наилучшие параметры и и v являются длинами дуг параметрических линий v = const и и = const соответственно.
При v-const дифференциал параметра v равен нулю, и система уравнений продолжения решения (2.9.7) принимает вид ax a2 аъ (dx\ (du\ A A A dy = 0 № V FJ \dz) Ы (2.9.26)
Разделив все уравнения системы (2.9.26) на dut получим систему линейных уравнений относительно производных xu=dx/dut yu=dy/du, zu = dzldu хЛ ro и У» \ZuJ г ax a2 cc3 (2.9.27) A A A F F F yxx y z;
Решение системы (2.9.27) может быть записано по правилу Крамера в виде (2.9.28) - , / = 1,2,3. _4± Zu = Х" " Л Уи А Выражения для производных хи, уи, zu (2.9.28) совпадают с выражениями для компонентов вектора а (2.9.16), доставляющих наилучшую обусловленность системе уравнений продолжения (2.9.7). Т.е. при v = const выполняются равенства != „ Х2=Уы Хз=г«- (2.9.29) Продифференцировав первое из выражений (2.9.5) по и, получим равенство , dx dy dz \ = ах — + аг- - + аъ— . (2.9.30) du du du Подставляя значения (2.9.29) в (2.9.30) и умножая полученное равенство на du, получим равенство (du)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2, (2.9.31) которое является равенством для дифференциала длины дуги. Т.е. параметр и является длиной дуги кривой v = const. Аналогично можно показать, что при и = const выполняются равенства A= v =Л. А= „ (2.9-32) и дифференциал параметра v удовлетворяет соотношению (dvf = (dxf + (dy)2 + (dz)2. (2.9.33) Необходимость доказана.
Достаточность. Выберем в качестве параметров и и v длины дуг ортогональных параметрических линий v = const ин = const.
Смысл единичных векторов аир состоит в том, что они определяют направление изменения параметров, поэтому по условию теоремы они должны быть касательными к кривым v-const и и = const и взаимно ортогональны.
Векторы частных производных rm={xM9yu,zJ и rv = (xv,jv,zv) также являются касательными к параметрическим линиям v = const и и = const. Следовательно, вектор а коллинеарен вектору гя, а вектор р коллинеарен вектору rv.
