Приближение решений задач тензорной томографии рядами по локальным и ортогональным базисам Полякова, Анна Петровна

Введение к работе

Актуальность работы. Методы томографического, то есть послойного исследования структуры неоднородных объектов, благодаря успехам вычислительной математики и современному аппаратному оснащению, последние 50 лет развивались очень интенсивно. Наибольшее признание вычислительная томография завоевала в биологии и медицине. Особенно стремительным был рост популярности сначала рентгено- диагностической, а затем ЯМР-диагностической вычислительной томографии. В то же время быстрый прогресс медицинской томографии сопровождался зарождением и развитием многих других приложений этого весьма универсального и информативного метода интроскопии. Методы вычислительной томографии стали все глубже проникать в технику физического эксперимента, геофизику, физику космоса и астрономию, биологию и аналитическую химию, внесли кардинальные перемены в дефектоскопию промышленных изделий. Таким образом, крупные достижения диагностической вычислительной томографии в 70-ые годы явились мощным стимулом для развития приложений в различных областях естествознания и техники.

Кратко упомянем основные математические средства, на которых основаны приближенные методы и алгоритмы томографии. Наиболее привлекательны, с математической точки зрения, формулы обращения. Широкое распространение получили также и алгебраические методы, в которых на первом этапе задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений, а на втором эта система решается, как правило, итерационными методами. Ряд алгоритмов томографии основан на Фурье- анализе и так называемой теореме о центральном сечении, связывающей преобразования Фурье и Радона. Наконец, применимы и хорошо известные вариационные подходы типа метода наименьших квадратов или, с привлечением функционального анализа, сингулярного разложения соответствующих томографических операторов.

Ранее метод наименьших квадратов (МНК) успешно использовался для решения двумерных задач эмиссионной, векторной и 2-тензорной томографии. В частности, в работах Е.Ю. Деревцова МНК применялся для восстановления соленоидальной части векторного и 2-тензорного поля, соответственно, для случая прямолинейного характера распространения лучей. В этих работах в качестве аппроксимирующей последовательности выступали поля, построенные на основе однородных многочленов. В дальнейшем было предложено для решения задачи двумер-

ной эмиссионной томографии использовать в качестве аппроксимирующей последовательности двумерные B-сплайны. Численные эксперименты показали безусловное преимущество предложенного алгоритма. Далее подход с использованием МНК с базисными полями, построенными на основе двумерных B-сплайнов, был развит и на случай векторных и симметричных 2-тензорных полей. Однако у этого подхода есть и недостаток, а именно для численной реализации алгоритма необходимы большие временные затраты (по сравнению с другими подходами). Это связано с тем, что для хорошей точности восстановления необходимо с большой точностью вычислять образы базисных полей под действием лучевых преобразований.

Для обращения томографических операторов также часто используется метод разложения по сингулярным числам. Суть метода заключается в том, что оператор представляется в виде ряда по сингулярным числам и базисным элементам в пространстве образов, тогда обратный оператор будет представлять собой ряд со схожей структурой, где задействованы прообразы этих базисных элементов и те же сингулярные числа. В скалярном и векторном случаях задача решена ранее, построены разложения как оператора Радона, так и некоторых операторов лучевых преобразований векторных полей. С.Г. Казанцевым и А.А. Бух- геймом построено сингулярное разложения оператора продольного лучевого преобразования веерного типа, действующего на соленоидальные тензорные поля. В задачах томографии метод сингулярного разложения позволяет также сконструировать приближенное обращение, в котором используется априори вычисленное ядро реконструкции.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование алгоритмов численного решения задач по восстановлению двумерных тензорных полей малого ранга по их известным лучевым преобразованиям; разработка и исследование алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона. Рассматриваются вопросы, связанные с численной реализацией всех предложенных алгоритмов.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) Модификация алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей ранга m ^ 2, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисных элементов, построенных на основе двумерных B-сплайнов. Получение аналитических выражений для вы-

числения образов тензорных полей малого ранга, построенных на основе двумерных B-сплайнов, под действием операторов лучевых преобразований.

1. Разработка алгоритмов для численного восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей, основанных на методе усеченного сингулярного разложения. Построение сингулярных разложений операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля.

2. Разработка алгоритма восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона, основанному на методе усеченного сингулярного разложения. Построение сингулярного разложения оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля.

3. Создание программ для численной реализации на ЭВМ всех предложенных алгоритмов и проведение численных экспериментов.

Методы исследования. Основные результаты работы получены с использованием интегральной геометрии тензорных полей, методов вычислительной математики, теории обратных и некорректных задач, методов математического моделирования. Для численного моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы прикладного программирования.

Научная новизна работы состоит в следующем:

3. 1. Получены аналитические выражения для образов симметричных тензорных полей ранга m ^ 2, построенных на основе двумерных B-сплайнов, под действием лучевых преобразований. Эти формулы легли в основу модификации алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей малого ранга, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисов, построенных на основе двумерных B-сплайнов.

   2. Построены сингулярные разложения операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2-тензорные поля. Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанные на методе усеченного сингулярного разложения. Получены оценки для норм операторов приближенного обращения операторов лучевых преобразований.

   3. Построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля. Разра-

   ботан алгоритм восстановления потенциальной части трехмерного векторного полей по их известному нормальному преобразованию Радона, основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Получена оценка для нормы оператора приближенного обращения оператора нормального преобразования Радона.

   Основные положения, выносимые на защиту:

   3. 3. 1. Предложены модификации алгоритмов восстановления двумерных симметричных тензорных полей ранга m ^ 2, основанных на методе наименьших квадратов с использованием базисов, построенных на основе двумерных B-сплайнов. Модификации заключаются в использовании полученных автором аналитических выражений для образов тензорных полей, построенных на основе двумерных B-сплайнов, под действием лучевых преобразований.

         2. Разработан алгоритм восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Построены сингулярные разложения операторов продольного, поперечного и смешанного лучевых преобразований, действующих на двумерные симметричные 2- тензорные поля.

         3. Разработан алгоритм для численного решения задачи по восстановлению потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона, основанный на методе усеченного сингулярного разложения. Построено сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона, действующего на трехмерные векторные поля.

         Практическая ценность работы. В работе предложены модификации алгоритмов восстановления двумерных тензорных полей малого ранга по их известным лучевым преобразованиям, основанных на МНК с использованием базисов, построенных на основе двумерных B-сплайнов. Построены и численно реализованы алгоритмы восстановления двумерных симметричных 2-тензорных полей по их известным лучевым преобразованиям, основанные на методе усеченного сингулярного разложения. Предложен и программно реализован алгоритм восстановления потенциальной части трехмерного векторного поля по его известному нормальному преобразованию Радона. Все эти алгоритмы могут быть применены для обработки экспериментальных данных в физической томографии, доплеровской томографии, томографии океана, при решении задач теории упругости, в теории электромагнетизма и в других обла-

         стях.

         Достоверность полученных результатов и выводов обоснована теоретически, подтверждается анализом разработанных численных алгоритмов и проведением численных экспериментов.

         Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XLVI, XLVIII международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2008 и 2010гг.), международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2008г.), всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009 (Новосибирск, 2009г.), первой, второй и четвертой молодежных международных научных школах-конференциях "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009, 2010 и 2012гг.), всероссийской конференции "Методы сплайн-функций", посвященной 80-летию со дня рождения Ю.С. Завьялова (Новосибирск, 2011г.), международной конференции "Моделирование - 2012" (Украина, Киев, 2012г.), шестой международной конференции "Inverse problems: modeling and simulation" (Турция, Анталия, 2012г.), всероссийской конференции "Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования" (Новосибирск, 2012г.), международной конференции "International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences" (Венгрия, Будапешт, 2012г.), а также на семинаре отдела условно-корректных задач ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. Романов В.Г., Аниконов Д.С.), семинаре "Математика в приложениях" ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. Годунов С.К.), семинаре "Избранные вопросы математического анализа" ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. Демиденко Г.В.), семинаре ИВМиМГ СО РАН (рук. Кабанихин С.И.).

         Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 17 работ, из них 2 входят в перечень ВАК.

         Личный вклад автора. Основные научные результаты диссертационной работы получены автором лично. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в работу вошли только те результаты, в получении которых автор принял непосредственное творческое участие.

         Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 56 наименова-

         Похожие диссертации на Приближение решений задач тензорной томографии рядами по локальным и ортогональным базисам

         Монотонные приближения к решению задач математической экономики с монотонно разложимыми операторами и с процедурой ускорения их сходимостиПавлова Марина Николаевна

         

         Математическая методика и программа KORAT-3D решения трехмерных задач диффузии нейтронов в групповом приближении на многопроцессорных ЭВМЗвенигородская Оксана Анатольевна

         

         Методы решения задачи о локальной управляемости в классе нелинейных дифференциальных уравнений с неуправляемыми системами линейного приближенияЗудашкина Оксана Валентиновна

         Численные методы решения задачи электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимостиГаврилов, Сергей Вадимович

         Численное решение задач тензорной и эмиссионной томографииБухгейм Александр Александрович

         Математические модели для решения прямой задачи и методы решения обратной задачи в диффузионной флуоресцентной томографииФикс, Илья Иосифович

         

         Вычислительные технологии решения задач рефракционной, векторной и тензорной томографииДеревцов Евгений Юрьевич

         Компьютерный метод кусочно-полиномиального приближения решений обыкновенных дифференциальных уравнений в применении к моделированию автоколебательных реакцийДжанунц, Гарик Апетович

         

         Численные методы приближения функций и решения уравнений на основе непрерывных дробейКорнеев Петр Кириллович

         

         Алгоритмы и программный комплекс решения задач теории кооперативных игр. Ядерные решения дискретных кооперативныхигрОганян Лев Сергеевич