Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Тензорные поля на плоскости 51
1.1. Определения и предварительные результаты 51
1.1.1. Преобразование Радона 53
1.1.2. Векторные поля 60
1.2. Симметричные 2-тензорные поля 68
1.2.1. Лучевые преобразования 72
1.2.2. Формулы обращения 75
1.3. Симметричные m-тензорные поля 79
Глава 2. Численное решение задачи рефракционной томографии 88
2.1. Постановка задачи 89
2.2. Общая схема модифицированного алгоритма МНК 92
2.3. Конкретизация и особенности алгоритма 96
2.4. Задача рефракционной томографии в цилиндрической области 104
2.4.1. Метрики, допускающие наличие вполне геодезических подмногообразий 105
2.4.2. Алгоритм решения трехмерной задачи по слоям 110
2.5. Численные эксперименты 112
Глава 3. Алгоритмы векторной томографии на основе метода наимень ших квадратов. Евклидова метрика 121
3.1. Постановка задачи 122
3.2. МНК-алгоритм с использованием покоординатных базисов 124
3.3. Определение потенциальной части поля 133
3.4. Построение соленоидального базиса 137
3.5. Полиномиальное разложение векторных полей 139
3.6. Построение соленоидального базиса 31)-векторных полей 147
3.7. Численные эксперименты 159
Глава 4. Восстановление векторных полей в среде с рефракцией 167
4.1. Постановка задачи 168
4.2. Восстановление потенциала векторного поля сеточными методами 173
4.3. Отображение областей и преобразование оператора Лапласа-Бельтрами 174
4.4. Численное решение эллиптической задачи в прямоугольной области 188
4.5. Численные эксперименты 197
Глава 5. Алгоритмы восстановления симметричного 2-тензорного поля на основе МНК 205
5.1. Постановка задач и общие сведения 205
5.2. Аппроксимация тензорного поля. Покоординатный базис 207
5.3. Определение потенциальной части поля 218
5.4. Аппроксимация тензорного поля с помощью соленоидального базиса 222
5.5. Численные эксперименты и выводы 225
Глава 6. Восстановление полей на основе сингулярного разложения операторов лучевых преобразований 241
6.1. Предварительные сведения 242
6.2. Сингулярное разложение лучевых преобразований векторных полей 248
6.3. Сингулярное разложение лучевых преобразований симметричных 2-тензорных полей 253
6.4. Численные эксперименты 269
Глава 7. Восстановление сингулярного носителя 280
7.1. Поведение индикаторов разрыва векторного поля вблизи границы284
7.2. Численное моделирование 289
Заключение 300
Литература
- Симметричные 2-тензорные поля
- Конкретизация и особенности алгоритма
- Определение потенциальной части поля
- Восстановление потенциала векторного поля сеточными методами
Введение к работе
Актуальность темы. Начавшееся в 70-х годах XX века бурное развитие томографических методов, необходимым условием которого было появление и массовое использование быстродействующих ЭВМ, продолжается и в настоящее время, захватывая все новые области человеческой деятельности.
Отметим существенное обстоятельство: математические основы томографии были заложены в начале прошлого века в работах П. Функа1 и И. Радона2. В них были получены решения, в виде так называемых “формул обращения”, задач интегральной геометрии, поставленных на плоскости, в пространстве, и на сфере S . Иными словами, были указаны способы, которыми находится неизвестная функция, заданная на плоскости, в пространстве или на единичной сфере в R3, по известным интегралам от нее, вычисленным вдоль всех прямых (на плоскости); по всем плоскостям (в R3); вдоль всех больших кругов сферы S2, соответственно.
Наиболее привлекательная черта томографических исследований состоит в том, что способы измерений не разрушают объект. Так, в трансмиссионной томографии используется активное зондирующее физическое поле, взаимодействующее со средой и измеряемое после прохождения объекта. Для этого используются как электромагнитные поля с различным спектром, так и ультразвуковые волны в жидкости или газе, упругие волны в сплошной среде, и др. Измерения в эмиссионной томографии осуществляются с использованием собственных источников излучения, естественного или искусственного происхождения. Второй важной особенностью методов томографии является лучевое приближение, которое предполагает “накопление” информации о среде вдоль луча и ее регистрацию на выходе. Неотъемлемой чертой томографии являются и обычно большие объемы информации, обработка которой осуществляется нетривиальными математическими методами с применением ЭВМ и визуализацией результатов. Наконец, немаловажным обстоятельством, которое также следует иметь ввиду, является некорректность задач томографии.
Funk P. Uber eine geometrische Anwendung der Abelschen Integralgleichung // Math. Ann. — 1916. — V. 77. — P. 129—135.
Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integrabwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Math. Nat. Kl. — 1917. — V. 69. — P. 262—277.
Наряду с интенсивным развитием численных методов решения задач томографии по восстановлению функций, описывающих внутренние свойства объекта, в 70–80 гг. прошлого столетия появились работы, авторы которых Дж.Ф. Гринлиф, С.А. Джонсон (1975), Ф.А. Дак, С.Р. Хансен, М. Танака, А. Лент, Д.А. Кристенсен, Г. Фландро (1977, 1997), В. Манк, С. Вюнш (1979, 1982), С.Дж. Нортон (1987), Х. Браун, А. Хок (1991) и др., сформулировали и начали исследование задач, связанных с восстановлением векторных характеристик сред по данным томографического типа. В настоящее время направление в томографии, ориентированное на исследования векторных или тензорных характеристик сред неразрушающими методами, интенсивно развивается благодаря тому, что области приложений исследований нескалярных свойств объектов очень широки. Это потоки жидкости или газа, физический эксперимент и астрофизика, изучение анизотропных свойств промышленных материалов и земных пород, медицинские, биологические и многие другие приложения, отраженные, в частности, в работах Дж.Л. Кинси (1977), Р. Козловера, Р. Маквиллиамса (1986), А.Г. Горелика, В.В. Стерлядкина (1990), С.П. Юлина (1993), Г. Спарра, К. Стралена, К. Линдстрема, Х.У. Перссона (1995), Н.П. Полуэктова, Н.П. Ефремова (1998), А.Л. Баландина, И. Оно (2001), П.Дж. Бассера (2002), М. Дефриз, Г.Т. Галлберга (2005), Т. Шустера (2008).
Развитие томографии движется, в рамках общепринятых моделей, не только в направлении построения более совершенных алгоритмов для повышения точности реконструкции, но и в направлении усложнения самих моделей. Подавляющее большинство принятых в томографии моделей легко допускают включение в себя явления рефракции. Это делается путем задания римановой метрики, которая предполагается известной. При этом необходимой платой за большую общность является усложнение математического аппарата и утрата значительной части методов решения, основанных на преобразованиях Фурье, Рисса и Гильберта, формулах обращения и других подходах, разработанных в предположении прямолинейного характера распространения лучей в исследуемом объекте.
Тем не менее, усложнение модели представляется оправданным, так как явление рефракции очень существенно в ряде задач, например при рассмотрении распространения сигналов в Земле. Отметим также, что во многих моделях считать рефракцию известной не следует, так как это явление непосредственным образом связано с неизвестными характеристиками среды, которые мы хотим определить. Таким образом, в общей
постановке необходимо одновременно определить характеристики среды и найти лучи, вдоль которых происходит распространение сигнала. Один из способов решения этой нелинейной задачи — метод линеаризации, который, в частности, и приводит к постановке, в которой риманова метрика, моделирующая рефракцию, считается известной. Часто такие постановки возникают в связи с задачами сейсмики. Обратные задачи математической физики, задачи интегральной геометрии и томографии, в которых учитывается рефракция, и другие некорректные задачи рассматривались в работах многих авторов и, в частности, исследователями из научной школы по некорректным и обратным задачам, возглавляемой М.М. Лаврентьевым и В.Г. Романовым, см. М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, СП. Шишатский (1980, 1984), Р.Г. Мухометов (1981), Ю.Е. Аниконов, Л.Н. Пестов (1990, 1995, 1997), В.А. Шарафутдинов (1994, 1995, 2008), В.П. Голубятников (2000), СИ. Кабанихин (2008).
Постановки задач тензорной томографии связаны с изучением анизотропных сред. Так, распространение электромагнитных и упругих волн в анизотропной среде сопровождается явлением поляризации. В приближении геометрической оптики поведение эллипса поляризации описывается системой дифференциальных уравнений, связывающей свойства среды и значения электромагнитного поля, распространяющегося вдоль луча (Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов (1980)), и задача определения свойств среды по степени поляризации падающей и прошедшей через среду волны — задача поляризационной томографии. Эта задача имеет приложения в диагностике плазмы, см. А.Л. Баландин, Г. Фукс, В.В. Пикалов, Дж. Рапп, Х. Солтвиш (1995), Дж. Ховард (1996), Г. Фукс, В.В. Пикалов (1998), фотоупругости и волоконной оптике, см., например, Х.К. Абен (1975), В.А. Шарафутдинов (1993), Р.Г. Новиков, В.А. Шарафутдинов (2007, 2008).
Можно ставить задачи восстановления (по данным томографического типа) тензора деформации или напряжений, тензора электромагнитного поля. Усложнение объекта приводит к появлению новых типов преобразований. Прежде всего это продольное лучевое преобразование симметричного m-тензорного поля. Его можно определить, как и ряд других, не только в пространстве произвольной размерности (с евклидовой метрикой), но и на римановом многообразии. Это и укороченное поперечное лучевое преобразование, смешанное (продольно-поперечное) лучевое преобразование. Последнее возникает на пути применения лучевого метода для изотропной упругой среды, описываемой системой уравнений динамической упругости, и, далее, при переходе к квазиизо-
тропной среде, см. В. Червени, И.А. Молотков, И. Пшенчик (1977), В.А. Шарафутдинов (1993).
Математический аппарат для описания разрывных математических объектов первоначально разрабатывался в рамах теории обобщенных функций (И.М. Гельфанда М.И. Граев, Н.Я. Виленкин (1962), В.П. Па-ламодов (1990)). В настоящее время его развитие осуществляется, в основном, средствами микролокального анализа. Развитые в томографии алгоритмические средства направлены на восстановление функций класса гладкости по крайней мере С1. Поэтому они показывают значительно худшие результаты, если функция класса С или разрывная. Отсюда возникает необходимость в разработке специальных алгоритмических средств, направленных на реконструкцию множества точек разрыва исследуемой функции (или таких геометрических объектов, как векторные и тензорные поля), по томографическим данным. В подавляющем большинстве работ, как и в данной, под термином “восстановление разрывов” подразумевается “визуализация разрывов”. Попытки установить величину скачка разрывной функции предприняты, например, в работах А.Г. Рамма, А.И. Кацевича (1996, 1997).
Алгоритм решения задачи визуализации разрывов функции, заданной на плоскости, был впервые предложен в работе Е.И. Вайнберга, И.А. Казака, М.Л. Файнгойза (1985). Идея алгоритма состоит в двойном дифференцировании по переменной s (\s\ — расстояние от прямой, по которой производится интегрирование, до начала координат) томографических данных, представляющих собой двумерное преобразование Радона, с последующим применением оператора обратной проекции. Данный оператор производит визуализацию множества точек разрыва; поведение же гладкой составляющей объекта при этом искажается. В дальнейшем “алгоритм Вайнберга” получил развитие, в основном в рамках локальной томографии, в работах А. Фаридани с соавторами (1990, 1992, 1997), А.К. Луиса и П. Маасса (1993), и других. Д.С. Аниконовым (1994, 2000, 2007) была предложена иная последовательность действий, приводящая к решению задачи визуализации множества точек разрыва функции по данным томографического типа. Применяя к лучевому преобразованию оператор обратной проекции, получаем сингулярный интеграл (с искомой функцией в качестве подынтегрального выражения) со слабой особенностью. Дифференцирование по пространственным переменным приводит тогда к логарифмическому возрастанию при стремлении точки к линии разрыва. В частности, можно использовать оператор |V(-)|. Некоторые подходы определения сингулярного носителя тензор-
ного поля, заданного на римановом многообразии, по известному продольному лучевому преобразованию этого поля, предложены в работе В.А. Шарафутдинова, М. Скокана, Г. Ульмана (2005).
Кратко упомянем основные математические средства, численные методы и алгоритмы томографии. Распространенное семейство алгоритмов, основанных на формулах обращения и известных как алгоритмы свертки и обратной проекции, сначала получило применение, в двумерном варианте, в радиоастрономии, см. Р.Н. Брэйсуэлл, А.К. Риддл (1967). В применении к медицинским задачам один из его вариантов впервые описан в работах Г.Н. Рамачандрана, А.В. Лакшминарайанана (1971), Л.А. Шеппа, Б.Ф. Логана (1974). В дальнейшем развитие упомянутого подхода привело к многочисленным разновидностям алгоритмов реконструкции (см. Ф. Наттерер (1990)), носящих свои имена. Таковы алгоритмы Дэвисона-Грюнбаума, Мадиха-Нелсона, -фильтрации обратной проекции, Марра и др. Другой класс алгоритмов, основанных на проекционных теоремах, связывающих преобразования Радона и Фурье, носит наименование Фурье-алгоритмы, первые варианты которых предложены (в R2) для решения задач радиоастрономии, Р.Н. Брэйсу-элл (1979), и электронной микроскопии, Р.А. Кроутер, Д.Ж. Дерозье, А. Клюг (1970). Широкое распространение получили также и алгебраические алгоритмы, см. Р. Гордон, Р. Бендер, Г.Т. Херман (1970), Г.Н. Хаунсфилд (1973), в которых на первом этапе решения задачи строится система линейных алгебраических уравнений, а на втором эта система решается, как правило, итерационными методами и, прежде всего, методом Качмажа (последовательных ортогональных проекций), Г.Т. Хер-ман, А. Лент (1976), и др. Все упомянутые подходы и реализованные на их основе алгоритмы разработаны в предположении отсутствия явления рефракции в среде, и перспективы их использование в рамках рефракционной томографии неясны. Особое внимание, в силу возможности использования в моделях с рефракцией, в диссертации уделено вариационным подходам типа метода наименьших квадратов или, с привлечением аппарата функционального анализа, сингулярного разложения соответствующих томографических операторов.
Цель работы. Основная цель диссертационной работы состоит в создании вычислительных технологий приближенного решения задач рефракционной скалярной, векторной и тензорной томографии. Из основной с необходимостью вытекают следующие вспомогательные цели: разработка конструктивных методов и алгоритмов; обоснование правомерности подходов посредством теоретических исследований; обоснование
правомерности подходов методами математического моделирования.
Задачи исследования. В соответствии с поставленной основной целью в диссертации исследуются следующие основные задачи.
-
Задача эмиссионной томографии в рефрагирующих средах. Состоит в определении распределения внутренних источников, расположенных в среде с заданными коэффициентом поглощения и рефракцией, по его известному экспоненциальному лучевому преобразованию.
-
Задача векторной томографии. Состоит в восстановлении векторного поля или его частей по известным лучевым преобразованиям. Рассматриваются варианты моделей сред без рефракции и с рефракцией.
-
Задача восстановления симметричного 2-тензорного поля. Состоит в восстановлении симметричного 2-тензорного поля или одной из трех его частей, по известным лучевым преобразованиям. В основном рассматривается модель среды с прямолинейным характером распространения лучей.
-
Задача восстановления сингулярного носителя. Состоит в определении множества точек разрыва и (или) множества точек разрыва производных скалярных, векторных и тензорных полей, по их известным лучевым преобразованиям.
Цели и основные задачи диссертационной работы приводят к необходимости исследования и решения следующих вспомогательных, поставленных впервые задач.
-
Задача исследования структуры и свойств симметричных тензорных полей ранга m, заданных на плоскости; описание ядер, дифференциальных и интегральных свойств и связей лучевых преобразований таких полей; получения разложения полей, аналогичных разложению Гельмгольца-Ходжа векторного поля; построения формул обращения.
-
Задачи обоснования корректности применения алгоритмов, построенных на основе метода наименьших квадратов (МНК), для решения задачи обращения операторов лучевых преобразований симметричных тензорных полей, обладающих нетривиальными ядрами.
-
Задача построения сингулярных разложений операторов лучевых преобразований, действующих на векторные и тензорные поля.
-
Задачи обоснования правомерности применения алгоритмов, примененных для решения основных и вспомогательных задач, методами математического моделирования.
Методы исследования. Основные и вспомогательные задачи, сформулированные выше, исследовались методами дифференциальной геометрии, линейной алгебры, математического и функционального ана-
лиза, дифференциальных уравнений математической физики, теории обратных и некорректных задач, вычислительной математики.
Вычислительные технологии решения задач основаны на алгоритмах, в которых используются: а) новые формулы обращения операторов лучевых преобразований симметричных m-тензорных полей (глава 1); б) впервые построенные сингулярные разложения операторов лучевых преобразований векторных и симметричных 2-тензорных полей (глава 6); в) новые методы решения задач рефракционной, векторной и тензорной томографии, разработанные на основе МНК (главы 2–5).
Для решения основных задач использовались впервые построенные полиномиальные и локальные (на основе B-сплайнов) покоординатные и специальные базисы подпространств соленоидальных и потенциальных полей.
Заметную роль в методах исследования поставленных в диссертации задач сыграли экспериментальные методы в рамках идеологии математического моделирования. Все предложенные алгоритмы реализованы в форме комплексов программ, проведены всесторонние сравнительные исследования на тестовом материале, которые подтвердили правомерность всех разработанных подходов и показали хорошие результаты восстановления скалярных, векторных и симметричных 2-тензорных полей по томографическим данным.
Основные результаты диссертации. В диссертации получены следующие основные результаты.
-
Предложена детальная классификация симметричных m-тензорных поля, m > 1, заданных на плоскости. Получено разложение такого поля на соленоидальную и m потенциальных частей.
-
Описаны ядра поперечного и смешанных лучевых преобразований симметричного m-тензорного поля. Установлены связи значений этих преобразований с преобразованием Радона их потенциалов. Получены формулы обращения указанных лучевых преобразований.
-
Предложены, обоснованы и реализованы МНК-алгоритмы для нахождения решений интегральных уравнений, операторы которых обладают нетривиальными ядрами.
4) Сконструированы полиномиальные и локальные базисы подпро
странств соленоидальных и потенциальных симметричных тензорных
полей малого ранга.
5) Предложен метод и построен алгоритм получения явного решения,
служащего потенциалом векторного поля, однородной краевой задачи
для уравнения Пуассона в случае специально заданной правой части
полиномиального вида.
-
Предложен алгоритм приближенного решения, служащего потенциалом заданного в римановой области векторного поля, однородной краевой задачи для неоднородного уравнения Лапласа-Бельтрами сеточными методами и итерациями по оператору.
-
Предложен метод и построен алгоритм получения явного решения, служащего потенциалом симметричного 2-тензорного поля, однородной краевой задачи для эллиптической системы, правые части которой имеют специальный полиномиальный вид.
-
Сконструированы сингулярные разложения операторов лучевых преобразований векторных и симметричных 2-тензорных полей. Разработаны и реализованы SVD-алгоритмы решения задач томографии векторных и 2-тензорных полей с использованием найденных сингулярных разложений.
-
Предложены и апробированы различные комбинации дифференциальных операторов тензорного анализа и операторов обратной проекции с целью восстановления сингулярного носителя скалярных и векторных полей.
10) Разработаны комплексы программ, ориентированные на числен
ное решение задач рефракционной, векторной и тензорной томографии.
Проведена их всесторонняя апробация на тестовом материале, сравне
ние по точности, быстродействию, устойчивости к внесенным в данные
ошибкам, и ряду других свойств.
Научная новизна. Перечисленные выше основные результаты являются новыми.
Предложены новые постановки задач томографии. Задачи эмиссионной, векторной и 2-тензорной томографии в рефрагирующей среде сформулированы как задачи обращения операторов лучевых преобразований, действующих на скалярные, векторные и симметричные 2-тензорные поля, заданные в римановой области с известной метрикой. Поставлена задача восстановления симметричного m-тензорного поля, m > 1, или его части, по известным лучевым преобразованиям смешанного и поперечного типа. Задача восстановления разрывов функции по ее известному преобразованию Радона обобщена и ставится как задача восстановления сингулярного носителя симметричного m-тензорного поля по его лучевым преобразованиям.
Введены новые математические объекты. Действия операторов d и обобщены на m-тензорные поля, m > 1. Введены понятия поперечного и смешанных лучевых преобразований для симметричных m-
тензорных полей и операторов обратной проекции, действующих на указанные лучевые преобразования.
Достоверность и обоснованность результатов. Правомерность основных подходов и достоверность результатов и выводов подтверждены, во-первых, классическими средствами математических исследований. Это корректность постановок задач, строгость доказательств основных положений, теорем и обоснований алгоритмов с использованием общепризнанных фундаментальных результатов, методов и классических теорем. Во-вторых, с этими целями широко использовались средства математического моделирования и тестирования, реализованные в виде комплексов программ, созданных на основе новых впервые построенных алгоритмах решения задач томографии. В-третьих, достоверность результатов подтверждена численными экспериментами, в том числе и в сравнении с известными аналитическими и численными решениями, полученными на основе общеизвестных алгоритмов.
Теоретическая и практическая ценность работы. Представление симметричных тензорных полей, заданных на плоскости, через потенциалы и их полная классификация могут быть полезны при дальнейших исследованиях планарных тензорных полей. Сингулярные разложения лучевых преобразований векторных и 2-тензорных полей представляют самостоятельный интерес и могут быть использованы для решения операторных уравнений первого рода. Методика модификации метода наименьших квадратов и построения сингулярных разложений в применении к операторам с нетривиальными ядрами может быть использована во многих других подобных задачах.
Комплексы программ для приближенного решения задач рефракционной, векторной и тензорной томографии, разработанные на основе полученных в диссертации подходов, результатов и алгоритмов, могут быть использованы практически в медицинской диагностике, биологических экспериментах, обработке данных диффузионной томографии и исследованиях потоков жидкости или газа, доплеровской томографии, геотомографии и томографии океана, при решении задач теории электромагнетизма и упругости, ряде других областей.
Результаты диссертации можно использовать при чтении университетских курсов по обратным задачам и томографии.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих Международных и Всероссийских конференциях: Прикладная математика, вычисления и приложения (Новосибирск, 1995); II, III и IV Сибирские Конгрессы по при-
кладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996, 1998 и 2000 гг.), VI Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач экологии (Новосибирск, 1996), Обратные и некорректные задачи (Москва, 1996), Обратные задачи математической физики (Новосибирск, 1998), Некорректные и обратные задачи (Новосибирск, 2002), Ежегодная Научная Конференция GAMM-2002 (Аугсбург, Германия, 2002), “Обратные задачи: моделирование и вычисления” (Фет-хие, Турция, 2004, 2006 гг.), Конференция “Обратные и некорректные задачи математической физики”, посвященная 75-летию академика М. М.Лаврентьева (Новосибирск, 2007), 8-я Региональная Международная конференция по вычислительным технологиям в электрической и электронной инженерии SIBIRCON-08 (Новосибирск, 2008), 6-я конференция по обратным задачам в инженерии: теория и практика (Дурдан, Франция, 2008), Международная конференция, посвященная 100-летию С.Л. Соболева (Новосибирск, 2008), 1-я, 2-я, 3-я, 4-я и 5-я Молодежная научная школа-конференция “Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач” (Новосибирск, 2009, 2010, 2011, 2012 и 2013 гг.), Конференция по методам сплайн-функций, посвященная 80-летию со дня рождения Ю.С. Завьялова (Новосибирск, 2011), Международная конференция “Обратные и некорректные задачи математической физики”, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2012), Международная конференция “Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений”, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2013), Международная научная конференция “Методы создания и идентификации математических моделей”, посвященная 85-летию со дня рождения академика А.С. Алексеева (Новосибирск, 2013).
Результаты исследований докладывались и обсуждались на семинарах в Институте математики им. С.Л. Соболева, Институте вычислительной математики и математической геофизики, Институте теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича; Новосибирском государственном университете, Саарландском университете, Саарбрюк-кен, Германия, Университете им. Г. Шмидта, Гамбург, Германия.
Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации автором опубликовано 20 основных работы, из них 10 входят в Перечень ВАК. Основные научные результаты диссертации получены автором лично. В опубликованных работах отражено основное содержание, результаты и выводы диссертационного исследования. В большинстве совместных статей диссертанту принадлежит ведущая роль в получении
результатов исследований. Из остальных опубликованных в соавторстве работ в диссертацию вошли только те результаты, в получении которых автор принимал непосредственное творческое участие. Соавторы совместных публикаций претензий к соискателю не имеют.
Симметричные 2-тензорные поля
Насколько известно автору, в сформулированной выше детальной постановке задача восстановления разрывной функции по томографическим данным в литературе ранее не встречалась. Более того, в подавляющем числе работ под задачей восстановления разрывов подразумевается пункт а), а именно визуализация разрывов. Часто этой качественной информации бывает достаточно для многих практических задач. В некоторые работах рассматривается задача восстановления величины скачка (ссылки см. ниже), но при этом убедительных тестовых расчетов не приводится, что связано, по-видимому, со значительной численной неустойчивостью решения этой задачи. Как формулировки, так и решения задач, поставленных в пунктах б), г) ид), в томографической литературе отсутствуют. Ниже приводятся краткие библиографические ссылки на основные работы и результаты, полученные в них с целью решения задачи восстановления разрывов.
По-видимому, первой работой, в которой предложен алгоритм визуализации множества разрывов функции, была статья Вайнберга с соавторами [210], опубликованная в 1985 г. Основная идея при этом состояла в предварительном двойном дифференцировании по переменнойs (\s\ — расстояние от прямой, по которой производится интегрирование, до начала координат) томографических данных, представляющих собой двумерное преобразование Радона, с последующим применением оператора обратного проектиро 23 вания. В дальнейшем такая последовательность действий, приводящая к визуализации множества разрывов, но при этом не позволяющая судить о поведении гладкой составляющей объекта, получила название оператора Вайнберга. Следует подчеркнуть, что результат применения оператора Вайнберга не дает искомую функцию, как это происходит в случае использования формул обращения. Именно, нелокальный псевдодифференциальный оператор, используемый в формулах обращения, заменяется локальным дифференциальным оператором двойного дифференцирования, что существенно упрощает его программную реализацию, но не позволяет восстановить гладкую часть объекта.
Самими авторами применение оператора двойного дифференцирования интерпретировалось как некая фильтрация. В дальнейшем (см., например, [19]) было предложено иное обоснование применения оператора Вайнберга. Именно, этот оператор восстанавливает функцию (—А)1 2/ (А — оператор Лапласа). Поскольку (—А)1 2 — эллиптический псевдодифференциальный оператор, функция (—А) / обладает теми же сингулярностями, что и /. Развитие этой идеи для обращения преобразования Радона IZf негладкой функции / предложено в [19]. Дальнейшее развитие подходов и алгоритмических средств восстановления множества разрывов осуществляли, в рамках локальной томографии, такие исследователи как А. Фаридани с соавторами [143], [144], [142], А. К. Луис и П. Маасе [172], и многие другие. В этих работах, наряду с оператором Вайнберга, использовался и оператор обращения (—А) / , в сочетании с регуляризацией либо той или иной фильтрацией. Основная цель таких исследований состояла в восстановлении множества разрывов, а также в возможности определения некоторых усредненных характеристик гладкой составляющей объекта.
Некоторые подходы, позволяющие восстановить не только множество разрывов, но и соответствующие скачки функции по ее преобразованию Радона, предложены в работах [191], [194], [195]. В этих работах, наряду с уравнением Гамильтона-Якоби и методом стационарной фазы, используется и аппарат микролокального анализа; в частности, интегральный оператор Фурье. Как известно, преобразование Радона может быть представлено в форме такого оператора, что позволяет стандартными методами установить геометрическую связь между волновым фронтом исходной функции и волновым фронтом ее преобразования Радона. Таким образом, особенности функции / могут быть найдены непосредственно из особенностей ее преобразования Радона.
В конце 90-х годов Д. С. Аниконовым был предложен иной подход к решению задачи определения множества разрывов функции по лучевым преобразованиям, основанный на теории многомерных сингулярных интегралов [74]. Применяя к лучевому преобразованию оператор обратного проектирования, получаем сингулярный интеграл (с искомой разрывной функцией в подынтегральном выражении) со слабой особенностью. Дифференцирование по пространственным переменным приводит тогда к логарифмическому возрастанию при стремлении точки к линии разрыва. В частности, можно использовать оператор V(-). Описанный подход теоретически обоснован [2], [4], [3], реализован алгоритмически и программно, в том числе и с включением явление рассеяния в модель среды [4].
Некоторые подходы определения сингулярного носителя тензорного поля, заданного на римановом многообразии, по известному продольному лучевому преобразованию этого поля, предложены в работе [204].
Конкретизация и особенности алгоритма
Основные результаты, научная новизна, сравнение с мировым уровнем. Все перечисленные ниже основные результаты являются новыми, и находятся на мировом уровне.
Предложена детальная классификация и получено разложение симметричного mтензорного поля при m 1. Описаны ядра смешанных и поперечного лучевых преобразований симметричных m-тензорных полей. Получены формулы обращения лучевых преобразований, действующих на симметричные тензорные ПОЛЯ.
Предложены, обоснованы и реализованы МНК-алгоритмы для решения интегральных уравнений, операторы которых обладают нетривиальными ядрами. Для использования в алгоритмах сконструированы полиномиальные и локальные базисы подпространств соленоидальных и потенциальных симметричных m-тензорных полей, m 1. Использование же покоординатных базисов приводит к необходимости решения краевых задач для эллиптических уравнений и систем, решения которых найдены явно для случая полиномиальных базисов и евклидовой метрики, и получены приближенно сеточными методами и итерациями по оператору, если векторные поля заданы в римановой области.
Сконструированы сингулярные разложения операторов лучевых преобразований векторных и симметричных 2-тензорных полей. Разложения используют базисы, построенные на основе потенциалов, состоящих из клас 41 сических ортогональных многочленов. Разработаны и реализованы SVD-алгоритмы решения задач томографии векторных и 2-тензорных полей, с использованием усеченных сингулярных разложений.
Предложены и апробированы различные комбинации дифференциальных операторов и операторов обратной проекции с целью восстановления сингулярного носителя скалярных, векторных и 2-тензорных полей.
Алгоритмы, разработанные для численного решения основных задач послужили основой для комплексов программ, предназначенных для решения задач рефракционной, векторной и тензорной томографии. Как правило, для достижения одной и той же цели в рамках комплексов имеется несколько различных программ. Проведено их всестороннее исследование на тестовом материале, сравнение между собой по точности, быстродействию, устойчивости к внесенным в данные ошибкам, и другим свойствам.
Введены новые математические объекты. Так, операторы внутреннего ортогонального дифференцирования d-1 и ортогональной дивергенции 5 обобщены на m-тензорные поля, т 1. что позволило определить новые типы потенциальных симметричных тензорных полей. Введены поперечное и смешанные преобразования для векторных и симметричных m-тензорных полей. Предложены операторы обратной проекции, действующие на поперечное и смешанные лучевые преобразования симметричных m-тензорных полей, т 1.
Предложены новые постановки задач томографии. Задачи векторной и 2-тензорной томографии в рефрагирующей среде сформулированы как задачи обращения операторов продольного и (или) смешанного и (или) поперечного лучевых преобразований, действующих на векторные и симметричные 2-тензорные поля, заданные в римановой области с известной метрикой. Поставлена задача восстановления симметричногош-тензорного поля, т 1, или его части, по известным лучевым преобразованиям смешанного и поперечного типа. Формулировка задачи восстановления разрывов функции по ее преобразованию Радона обобщена в двух направлениях. Во-первых, ставится задача восстановления разрывов симметричных тензорных полей по их лучевым преобразованиям. Во-вторых, требуется восстановить не только разрывы самих указанных геометрических объектов, но и разрывы их производных. Таким образом, поставлена задача восстановления сингулярного носителя симметричного ш-тензорного ПОЛЯ.
Апробация работы, практическая ценность, достоверность, личный вклад автора. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих Международных и Всероссийских конференциях: Прикладная математика, вычисления и приложения (Новосибирск, 1995); II, III и IV Сибирские Конгрессы по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996, 1998 и 2000 гг.); VI Всероссийское совещание по проблемам построения сеток для решения задач экологии (Новосибирск, 1996); Обратные и некорректные задачи (Москва, 1996); Обратные задачи математической физики (Новосибирск, 1998); Некорректные и обратные задачи (Новосибирск, 2002); Ежегодная Научная Конференция GAMM-2002 (Аугсбург, Германия, 2002); Обратные задачи: моделирование и вычисления (Фетхие, Турция, 2004, 2006 гг.); Конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященная 75-летию академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2007); 8-я Региональная Международная конференция по вычислительным технологиям в электрической и электронной инженерии SIBIRCON-08 (Новосибирск, 2008); 6-я конференция по обратным задачам в инженерии: теория и практика (Дурдан (Париж;), Франция, 2008); Международная конференция, посвященная 100-летию С. Л. Соболева (Новосибирск, 2008); 1-я - 5-я Молодежная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 гг.);
Определение потенциальной части поля
Доказательства сформулированных утверждений просты и состоят, наряду с использованием свойств преобразования Радона, приведенных выше, в непосредственной проверке. Подчеркнем, что 2-тензорные поля могут на границе 3D быть и разрывными, при том что сами потенциалы и их первые производные непрерывны в К. . Восстановление симметричного 2-тензорного поля.
Сделаем выводы из сформулированных в Предложении 1.9 свойств. Свойство 2 означает, что существуют невидимые 2-тензорные поля. Это потенциальные типа d ф, с обращающимся в нуль на границе области потенциалом гр и его 1-ми производными — для продольного и смешанного лучевых преобразований, потенциальные типа d(d х), с обращающимся в нуль на границе области потенциалом х и ег0 1-ми производными — для продольного и поперечного лучевых преобразований, и соленоидальные, с обращающимся в нуль на границе области потенциалом р и его 1-й производными — для смешанного и поперечного лучевых преобразований.
Из свойства 3 вытекает, что только соленоидальная часть v = (d ) р любого симметричного 2-тензорного поля w восстанавливается по продольному лучевому преобразованию от w; только потенциальная часть и = d2ip 2-тензорного поля w восстанавливается по поперечному лучевому преобразованию от w; только потенциальная часть и = d(d х) 2-тензорного поля w восстанавливается по смешанному лучевому преобразованию OTW.
Лишь одновременно известные продольное, смешанное и поперечное лу 75 чевые преобразования дают возможность восстановления симметричного 2-тензорного поля w целиком.
Связи 2-4 дают формулы обращения для потенциалов if;, Lp, \, которые легко выводятся из формул обращения для преобразования Радона от соответствующих потенциалов. Задачи томографии симметричных 2-тензорных полей.
Очевидно, постановки зависят от типов и полноты (в смысле наличия информации о значениях всех трех типов лучевых преобразований) исходных данных. Лишь одна постановка из формулируемых ниже известна, остальные же формулируются впервые. 1. Восстановить соленоидальную частью неизвестного 2-тензорного поля w по его известному продольному лучевому преобразованию. Именно эта постановка хорошо известна в рамках тензорной томографии и интегральной геометрии тензорных полей [97]. 2. Восстановить потенциальную часть и неизвестного 2-тензорного поля w по его известному поперечному лучевому преобразованию. 3. Восстановить потенциальную часть и неизвестного 2-тензорного поля w по его известному смешанному лучевому преобразованию. 4. Восстановить исходное симметричное 2-тензорное поле w по трем его известным лучевым преобразованиям, т. е. по продольному, поперечному и смешанному. 5. По любым двум известным лучевым преобразованиям восстано вить соответствующие две (из трех) части исходного симметричного 2 тензорного ПОЛЯ.
Формулы обращения. Перейдем к выводу формул обращения. Прежде всего, используя свойства 2-5 симметричных 2-тензорных полей и их потенциалов, приведем формулу обращения, восстанавливающую потенциал соответствующей части поля w по его известному продольному, или смешанному, или поперечному лучевому преобразованию. После восстановления потенциала путем двукратного дифференцирования строятся соответствующие части поля, соленоидальная или одна из потенциальных. Как и для векторных полей, формула обращения для потенциала ip, по-существу, повторяет формулу (1.12), продольное (1.45), поперечное (1.46) или смешанное (1.47) лучевое преобразование симметричного 2-тензорного поля вида (1.43). На основе восстановленного потенциала ip строится либо соленоидальная часть v = (6. )2(р поля w, если в качестве исходных данных выступало продольное лучевое преобразование поля w, либо одна из потенциальных частей и = d2ip, її = d"1 dip поля w, если было известно его поперечное или смешанное лучевое преобразование. Далее необходимо дважды численно продифференцировать полученный потенциал и, тем самым, найти значения компонент соответствующих частей поля.
Обратимся к построению формул обращения, которые дают уже компоненты поля. Пусть w — симметричное 2-тензорное поле вида (1.43). Предположим, что известны все лучевых преобразования, а именно продольное (1.45), поперечное (1.46) и смешанное (1.47) лучевые преобразования поля w. Используем тот же подход, который применялся для получения формул обращения в случае векторного поля. Для этого выразим лучевые преобразования поля w через преобразования Радона его компонент, Vw = sin2 a {IZw и) — sin 2a (iZw 12) + cos2 a{7Zw22) V]w = --sin2a(Kwn) + cos2a(Kwi2) + - sin2a(KW22) (1-49) V±w = cos2 a(nwn) + sm2a(Tiwi2) + sin2 a {JZW22) Матрица данной системы уравнений невырождена и обладает определите
Восстановление потенциала векторного поля сеточными методами
В медицинской диагностике с помощью томографических методов часто требуется многократно решать уравнение Аи = f при различных значениях правой части / = /і, ... , /т без изменения самого оператора А. Здесь имеется возможность значительной экономии ресурсов ЭВМ, так как процесс ортогонализации (нахождение базиса {uJk} и коэффициентов dki матрицы системы (2.23)) может быть осуществлен лишь один раз.
Алгоритм применим, очевидно, и к задаче обращения обычного лучевого преобразования. Для этого достаточно положить в (2.2) є = 0. В частности, с помощью данного алгоритма можно сначала решить задачу трансмиссионной томографии для римановой метрики и найти коэффициент ослабления среды. Затем, при некоторых предположениях, "подправить" найденное приближение и использовать его в качестве известного поглощения в задаче эмиссионной томографии для той же самой римановой метрики. Хотя спектры излучений трансмиссионных и эмиссионных источников сильно отличаются и физика взаимодействия со средой различна, в практической томографии существуют экспериментальные способы поправок трансмиссионных данных для использования их в эмиссионных методах.
Удачным обстоятельством является использование норм пространств Н (2.25), в которых использованы коэффициенты с/;ГП, вычисляемые по формулам (2.24). Последние в дискретном случае представляют собой дискретное преобразование Фурье, и использование техники БПФ позволяет значительно сократить время расчетов.
Задача рефракционной томографии в трехмерной постановке обладает существенными особенностями по сравнению с задачами традиционной компьютерной 31)-томографии, постановки которых не включают в себя явление рефракции. Отметим, что как в том, так и в другом случае, значения лучевого преобразования, рассматриваемые в качестве данных, представляют собой функции, зависящие от четырех переменных, и мы приходим к переопределенной по размерности обратной задаче. В рамках традиционной томографии, с целью сокращения размерности данных, для численного решения задачи обычно прибегают к одному из двух подходов. Во-первых, задачу можно свести к серии двумерных, восстанавливая сечения функции в семействе параллельных плоскостей. Во-вторых, для ее решения используют конусные схемы наблюдения, т.е. располагают источники трансмиссии на пространственной кривой, удовлетворяющей определенным геометрическим требованиям, и, тем самым, сводят задачу в общей постановке к задаче конусной томографии, а размерность данных сокращают до трех, [63], [209], [145].
К сожалению, к задаче рефракционной 31)-томографии, если не сформулированы довольно жесткие требования к римановой метрике (при том что она не обязана быть нужной нам), оба эти подхода вряд ли применимы. Дело в том, что у произвольной римановой метрики, заданной в ограниченной области из М3, как правило, отсутствуют вполне геодезические подмногообразия размерности два (в евклидовом пространстве такими подмногообразиями являются плоскости). Упомянутое обстоятельство ставит под сомнение и возможность использования в общем случае обычно применяемой в задачах томографии в традиционных постановках процедуры организации таких схем наблюдения, которые сокращают размерность образов лучевого преобразования до трех с целью исключения фактора переопределенности данных обратной задачи.
Тем не менее, возникает вопрос о существовании таких римановых метрик, например, в цилиндре, которые бы позволили свести трехмерную общую задачу рефракционной томографии к серии двумерных, т.е. к послойному восстановлению искомой функции. Ответ положительный, хотя и не исчерпывающий.
Ниже рассматривается задача рефракционной томографии по определению распределения внутренних источников, поставленная в цилиндрической области с заданным произвольным переменным поглощением и рефракцией специального вида, которая моделируется посредством римано-вой метрики. Мы предлагаем численное решение задачи, основанное на последовательном решении серии двумерных задач, каждая из которых сводится к плоской задаче эмиссионной томографии. Как показано ниже, такой подхода возможен, только если в области имеется достаточно богатое семейство вполне геодезических подмногообразий размерности два; найдены некоторые римановы метрики, допускающие существование такого семейства.
