Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Обзор методов моделирования эволюции устойчивости насекомых-вредителей к трансгенным инсектицидным сельско хозяйственным культурам 22
1.1 Моделирование генетической структуры популяции 22
1.1.1 Сложные имитационные модели 23
1.1.2 Модель Фишера-Холдена-Райта 24
1.1.3 Демо-генетические модели 29
1.2 Моделирование пространственной динамики популяций 35
1.2.1 Модели камерного типа 35
1.2.2 Клеточные автоматы 37
1.2.3 Модели типа реакция-диффузия 39
Задачи диссертационного исследования 42
Глава 2 Демо-генетическая модель эволюции устойчивости кукурузного стеблевого матылька к трансгенной кукурузе 43
2.1 Описание модели 43
2.1.1 Популяционная генетика 43
2.1.2 Моделирование популяционной динамики 43
2.1.3 Моделирование стратегии "высокая доза - убежище" 46
2.1.4 Экологические упрощения в демо-генетической модели 48
2.1.5 Оценка экологических параметров демо-генетической модели для кукурузного стеблевого мотылька 50
2.2 Качественный анализ демо-генетической модели 52
2.2.1 Однородная среда обитания вредителя 53
2.2.2 Неоднородная среда обитания вредителя 67
2.3 Численные эксперименты 97
2.3.1 Анализ устойчивости однородных и неоднородных по пространству режимов модели 98
2.3.2 Исследование эффективности стратегии "высокая доза -убежище" для ID и 2D ареала 102
2.3.3 Оценка прибыли при использовании стратегии "высокая доза -убежище" для ID ареала 113
Выводы 117
Глава 3 Двухуровневые демо-генетические модели 124
3.1 Демо-генетическая модель "вредитель - паразитоид" 124
3.1.1 Описание модели 124
3.1.2 Оценка экологических параметров модели для паразитоида Macrocentrus grandii 126
3.1.3 Результаты численных экспериментов 128
3.2 Демо-генетическая модель "растительный ресурс - вредитель" 132
3.2.1 Описание модели 132
3.2.2 Оценка экологических параметров модели для кукурузы 134
3.2.3 Результаты численных экспериментов 135
Выводы 137
Заключение 140
Приложения 141
Литература
- Сложные имитационные модели
- Моделирование пространственной динамики популяций
- Оценка экологических параметров демо-генетической модели для кукурузного стеблевого мотылька
- Оценка экологических параметров модели для паразитоида Macrocentrus grandii
Введение к работе
Объект исследования, область использования и актуальность
Стеблевой кукурузный мотылек {Ostrinia nubilalis Hiibner) - один из серьёзных вредителей кукурузы во многих странах: в Северной Америке экономический ущерб от данного вредителя и затраты на контроль его численности оцениваются в 1 миллиард долларов США ежегодно (Bt corn and European corn borer.,,, 1997). Генетически модифицированные (трансгенные) инсектицидные сельскохозяйственные культуры, вырабатывающие токсичный для личинок насекомых-вредителей белок благодаря наличию в их тканях искусственно внедрённого гена бактерии Bacillus thuringiensis (Bt), были получены с целью контроля инвазии насекомых-вредителей. Генетически модифицированная Bt-кукуруза чрезвычайно токсична для личинок кукурузного мотылька: высокие концентрации Bt-токсина, содержащиеся в трансгенной кукурузе, способны почти полностью подавлять вредителя в течение сельскохозяйственного года и, таким образом, защищать данную культуру не только в период вегетации, но и ее урожай (см. Бельков и др., 2003).
Технология выращивания Bt-растений является альтернативой широко используемым химическим инсектицидам и даже микробиологическим Bt-инсектицидам. Все распыляемые на полях инсектициды обладают общими существенными недостатками: неполное покрытие обработанных токсином участков листовой поверхности, деградация при ультрафиолетовом излучении, повышенная чувствительность к нагреванию и сухости, и, как следствие, уменьшение эффективности. Кроме того, взрослые личинки кукурузного мотылька проникают глубоко в стебли и початки кукурузы, что делает поверхностную обработку инсектицидами бесполезной (Capinera, 2000; Magg et al., 2001). Растительные Bt-гибриды лишены недостатков химических методов, обеспечивая самый высокий уровень контроля вредителя на полях - почти 100% эффективность поражения личинок вредителей (Magg et al., 2001; Бельков и др., 2003; Candolfi et al., 2004). Однако длительное интенсивное
5 воздействие Bt-токсинов, продуцируемых трансгенными растениями, может
привести к быстрой генетической адаптации вредителя к Bt-культурам в результате естественного отбора более приспособленных к токсичной среде (Bt-устойчивых) насекомых, а затем к быстрому (в отсутствие конкуренции) размножению популяции Bt-устойчивых особей. В результате эволюции Bt-устойчивого гена в популяции вредителя особи, восприимчивые к Bt-культурам, могут быть вытеснены Bt-устойчивыми, что со временем может ограничить использование или даже привести к полной потере эффективности дорогостоящей трансгенной технологии (Бельков и др., 2003; Sharma, Ortiz, 2000; Bourguet et al., 2005).
Возможность развития устойчивости к Bt-токсинам в целевых видах вредителей основывается на трех фактах:
а) хорошо известной способности насекомых развивать устойчивость к
инсектицидам, особенно если последние применяются регулярно и в
больших концентрациях (Scott, 1995; Taylor, Feyereisen, 1996);
б) наличии нескольких поколений вредителя в год (до 4 для кукурузного
мотылька при благоприятных условиях) (Capinera, 2000; Thomas et al.,
2003), что ускоряет вымирание Bt-восприимчивых насекомых и спо
собствует отбору Bt-устойчивых;
с) доказательстве развития Bt-устойчивости для некоторых видов насекомых-вредителей в лабораторных условиях (Huang et al., 1999а, б; Chaufaux et al., 2001; Tabashnik et al., 2003).
Потенциальная угроза появления Bt-устойчивости обсуждалась задолго до того, как было получено первое трансгенное растение. Коминз (Comins, 1977) был первым, кто теоретически показал, что случайный обмен генами между двумя популяциями насекомых, одна из которых подвергается инсектицидной обработке, в то время как вторая свободна от её воздействия, может задержать развитие токсинной устойчивости, при условии, что устойчивая аллель рецессивна. Он же сформулировал две базовые концепции, кото-
рые позже легли в основу механизма управления развитием устойчивости к трансгенным культурам (Alstad, Andow, 1995, 1998; Bourguet et al., 2004):
частота появления устойчивых генов в популяции, обработанной токсином, может быть снижена за счёт интенсивного притока восприимчивых генов из необработанных токсином областей; для таких областей позднее был введён термин "убежище";
интенсивная инсектицидная обработка полей вместе с организацией убежищ приводит к подавлению распространения устойчивости. Эволюция Bt-устойчивого гена в генетической структуре популяции
представляет собой сложный переходный неравновесный процесс, на который оказывают влияние многие факторы (уровень доминантности и начальная частота Bt-устойчивой аллели, эффективность Bt-токсина, интенсивность миграций насекомых внутри и за пределами токсичной области и др.). Этот процесс может происходить либо очень быстро, в течение нескольких поколений, или, наоборот, в течение нескольких десятков или даже сотен лет в зависимости от упомянутых выше факторов. Следовательно, изучение проблемы не может быть полностью проведено в лабораторных условиях или при помощи полевых экспериментов. Кроме того, во многих странах, в том числе и в России, выращивание генетически модифицированной продукции ограничено законодательством. Поэтому математическое моделирование остаётся одним из основных методов исследования пространственно-временной динамики сельскохозяйственных экосистем, включающих трансгенные растения и насекомых-вредителей. В частности, математические модели разрабатываются для прогнозирования продолжительности и скорости развития Bt-устойчивости в популяциях насекомых.
К настоящему времени на основе результатов имитационного моделирования стратегия "высокая доза - убежище" рассматривается в качестве основной стратегии управления Bt-устойчивостыо вредителей к трансгенным культурам (Alstad, Andow, 1996; 1998; Tabashnik et al., 2004). Термин "высо-
7 кая доза" означает, что концентрация Bt-токсина в генетически модифицированных растениях должна быть высока настолько, чтобы смогли выжить только чрезвычайно редкие (менее одной особи на миллион) устойчивые к Bt-токсину насекомые. Более точное определение понятия "высокая доза" звучит так: концентрация токсина в 25 раз выше, чем необходимо для того, чтобы убить всех Bt-восприимчивых личинок (FIFRA, 1998). Низкая доза Bt-токсина, вырабатываемого трансгенными растениями, считается нецелесообразной, так как будет выживать слишком много Bt-устойчивых особей, которым благоприятствует естественный отбор, и, следовательно, скорость развития Bt-устойчивости в популяции вредителя может сильно возрасти (Sharma, Ortiz, 2000). Если бы "высокая доза" применялась как самостоятельная стратегия, то несколько полностью Bt-устойчивых особей вредителя (из расчета менее одной на миллион) могли бы выжить на Bt-полях. И если такие особи не только выживают, но и спариваются, то Bt-модифицированные культуры могут быстро потерять свою эффективность спустя несколько поколений вредителя (Gould, Cohen, 2000). Назначение "убежищ", определяемых как участки, засеянные любыми He-Bt-растениями-хозяевами для целевых видов вредителей, заключается в том, чтобы предотвратить или ослабить негативное влияние "высокой дозы" за счет уменьшения давления отбора на Bt-восприимчивых особей и, таким образом, задержать развитие Bt-устойчивости. Тогда ожидается, что временной период, требуемый для адаптации вредителя к Bt-токсинам, может быть от 10 до 100 раз дольше, чем ожидается, если нет убежищ на Bt-полях (Gould, Cohen, 2000).
В большинстве математических моделей предполагается, что Bt-устойчивость контролируется простым диаллельным локусом . Аллель восприимчивости s и аллель устойчивости г формируют три генотипа в любой диплоидной популяции, подверженной воздействию отбора по признаку устойчивости к Bt-токсину: гомозиготные генотипы ss и гг и гетерозиготный
' См. Приложение 1 "Краткий словарь используемых генетических терминов".
8 rs. Также предполагается, что Bt-восприимчивость гетерозигот rs и sr одинакова, т.е., устойчивый ген наследуется как аутосомный. С учетом генетической структуры популяции вредителя эффективность стратегии "высокая доза - убежище" определяется тремя основными условиями (Bourguet, 2004):
начальная частота Bt-устойчивой аллели г должна быть достаточно низкой для того, чтобы только немногие Bt-устойчивые гг особи выжили на Bt-культуре;
Bt-устойчивая аллель должна быть рецессивной, чтобы rs особи, обладающие только одной копией гена Bt-устойчивости, были полностью или частично восприимчивы к Bt-токсину;
пространственная конфигурация и расположение убежищ в пределах Bt-полей должны быть такими, чтобы увеличить вероятность скрещивания между Bt-устойчивыми гомозиготами rr, возникающими на Bt-поле, и Bt-восприимчивыми гомозиготами ss из убежища, чтобы за счет их Bt-восприимчивого гетерозиготного rs потомства снизить частоту Bt-устойчивой аллели в каждом следующем поколении.
При выполнении всех трех условий появление устойчивости к Bt-токсину в популяциях кукурузного мотылька может быть задержано на экономически целесообразный период времени (Guse et al., 2002; Ives, Andow, 2002; Onstad et al, 2002; Vacher et al., 2003). Рассмотрим каждое из этих условий применительно к моделируемой нами динамики вида кукурузного мотылька Ostrinia nubilalis.
Начальная частота устойчивой аллели. Устойчивые гены могут появляться в естественных популяциях за счет периодически возникающих мутаций и уже существовать на низкой частоте, предшествуя любому воздействию токсинов (Scott, 1995). Относительная редкость Bt-устойчивой аллели в естественных популяциях кукурузного мотылька подтверждается исследованиями Эндоу и др. (Andow et al., 2000) и Бурге и др. (Bourguet et al., 2003). В целом частота устойчивой аллели для Ostrinia nubilalis не превышает 10~3,
т.е. является достаточно низкой и удовлетворяет требованию эффективности
стратегии "высокая доза - убежище".
Наследование устойчивости. Второе условие эффективности стратегии "высокая доза - убежище", а именно, рецессивное наследование Bt-устойчивой аллели в природных популяциях кукурузного мотылька, пока невозможно определить лабораторными методами (Bourguet et al., 2005). Хотя ранее Хуанг и соавторы (Huang et al., 1999а) показали, что в лабораторных условиях в популяции данного вредителя может возникнуть доминантный аутосомный ген устойчивости к Bt-токсину. Насколько нам известно, этот результат до сих пор не был подтвержден полевыми исследованиями.
Убежища. Для эффективности контроля Bt-устойчивости убежище должно производить большое количество Bt-восприимчивых взрослых особей относительно числа Bt-устойчивых, продуцируемых трансгенными полями. Соотношение, рекомендуемое законодательным федеральным актом США об инсектицидах, фунгицидах и родентицидах (FIFRA, 1998), составляет 500:1. Размер убежищ и их расположение относительно трансгенных полей являются решающими для эффективности убежищ. Однако до сих пор не существует единого мнения о том, каким должен быть размер и конфигурация убежищ.
Общий обзор проблем использования стратегии "высокая доза -убежище". Bt-кукуруза - вторая после Bt-сои среди самых важных Bt-культур - была запущена в коммерческое производство с 1996 года. В 2004 году она выращивалась на 23% глобальной территории, занятой под биотехнологические культуры, и составляла 19.3 миллиона гектар (James, 2004). Лидерами в производстве трансгенной кукурузы являются 8 стран: США, Аргентина, Канада, Филлипины, Уругвай, Испания, Германия, Гондурас, - на которые суммарно приходится 11.2 млн га. Такое широкое распространенное и продолжительное воздействие Bt-токсинов означает долговременное сильное давление отбора, благоприятствующего развитию Bt-устойчивости в по-
10 пуляции вредителя. В США организация на полях убежищ для Bt-
восприимчивых особей вредителей с 1999 года является обязательным требованием агентства по защите окружающей среды (Environmental Protection Agency, ЕРА) к фермерам, выращивающим Bt-культуры (US ЕРА, 1998): с 2000 года для Bt-кукурузы (Bourguet et al., 2005). Согласно рекомендациям US ЕРА, в качестве убежищ можно использовать любые подходящие для вредителя растения. Однако, несмотря на тот факт, что кукурузный мотылек является в высшей степени полифагом и имеет более чем 200 растений-хозяев, к нему не применима такая общая рекомендация по организации убежища. Последние исследования в США (Losey et al., 2001) и в северной части Франции (Bourguet et al., 2000; Thomas et al, 2003; Bethenod et al., 2004; Bontemps et al., 2004) показали, что популяции кукурузного мотылька, развивающиеся на растениях, отличных от кукурузы, не могут рассматриваться в качестве альтернативных популяций для убежища, так как они образуют расы, генетически отличные от популяции, которая развилась на кукурузе. Следовательно, только обыкновенная (генетически немодифицированная) кукуруза может обеспечить нормальное функционирование убежищ.
Согласно требованиям US ЕРА (1998) и руководства для фермеров (А Grower's Handbook..., 2004), размер убежища может варьироваться от 20% до 50% культивируемой площади в зависимости от уровня инвазии кукурузного мотылька; кроме того, убежище должно быть расположено в непосредственной близости от Bt-поля. Дополнительно рекомендуется обрабатывать большие области убежища инсектицидом, чтобы повысить урожайность культуры в убежище.
Текущие рекомендации для фермеров сделаны на основе имитационного моделирования возможного развития Bt-устойчивости в популяциях вредителей. Полученные результаты показывают, что уменьшение площади убежища ведёт к увеличению скорости вымирания Bt-восприимчивых насекомых и скорости эволюции Bt-устойчивости (Caprio, 2001; Guse et al., 2002;
Ives, Andow, 2002). Согласно модельным исследованиям Онстада и др. (Onstad et al., 2002), даже редкое применение инсектицида в 20%-ном убежище ускоряет развитие Bt-устойчивости в популяции кукурузного мотылька, в то время как для 30%-го (или большего) убежища такая обработка практически не влияет на скорость развития Bt-устойчивости. Однако фермеры экономически не заинтересованы в организации убежищ на сельскохозяйственных полях и склонны игнорировать все рекомендации, поскольку урожай из убежищ в целом менее продуктивен (Hurley et al., 1999; Mitchell et al., 2000; Jaffe, 2003). Размер и расположение убежищ относительно Bt-полей все еще остаются источником прений.
Более 10 лет остается нерешенным ряд других ключевых проблем практического применения стратегии "высокая доза - убежище". Как быстро может развиться устойчивость к трансгенной Bt-кукурузе? Какие факторы влияют на скорость её развития? Какой размер убежища способен задержать развитие устойчивости к Bt-токсинам? Какая конфигурация убежища способна повысить эффективность стратегии "высокая доза - убежище"? Возможно ли полностью предотвратить развитие устойчивости к Bt-токсинам? Эти и многие другие вопросы пока не имеют определённого ответа. Несмотря на то, что лабораторные исследования и некоторые математические модели подтвердили способность кукурузного мотылька в сравнительно короткое время развивать устойчивость к Bt-кукурузе (Huang et al., 1999; Guse et al., 2002; Ives, Andow, 2002; Onstad et al., 2002), с 1996 года, то есть с момента посадки первой Bt-кукурузы, полевые исследования не выявили ни одной гомозиготной Bt-устойчивой особи кукурузного мотылька (Andow et al., 2000; Bourguet et al., 2003). Расхождение натурных данных с теоретическими прогнозами и лабораторными исследованиями является удивительным фактом, требующим новых подходов к разработке математических моделей, способных объяснить наблюдаемые феномены и обеспечить надежный прогноз.
12 Комбинация стратегии "высокая доза - убежище" со стратегией биологического контроля посредством паразитоидов вредителя. Насеко-мые-паразитоиды относятся к одним из важнейших естественных врагов многих насекомых-вредителей. Известно, что некоторые естественные виды паразитоидов, которые атакуют личинок кукурузного, мотылька, способны существенно снизить плотность данного вредителя и успешно применяются в качестве агентов биологического контроля в многочисленных программах по комплексному управлению вредителями (Integrated Pest Management programs) (Charlet et al., 2002). Трансгенные растения, обеспечивающие чрезвычайно высокие уровни устойчивости к инвазиям насекомых-вредителей (100% эффективность Bt-кукурузы для кукурузного мотылька О. nubilalis по данным Candolfi et al., 2004), могут опосредовано повлиять на способность паразитоидов контролировать плотность таких вредителя (Losey et al., 2004). Примерами такого воздействия могут служить полевые исследования Бурге и др. (Bourguet et al., 2002), показавшие, что личинки кукурузного мотылька, собранные с Bt-кукурузы во Франции имеют более низкий уровень паразитизма Lydella thompsoni, естественным личиночным паразитоидом кукурузного мотылька, чем личинки, питающиеся обыкновенной кукурузой: 0-3.17% против 0.60-6.28%. Полевые исследования в США также подтвердили разницу в уровнях паразитизма на Bt- и обыкновенной кукурузе для другого вида-паразитоида кукурузного мотылька Macrocentrus grandii (Losey et al., 2004). Одна из возможных причин, объясняющая полученные результаты, - значительное уменьшение плотности личинок мотылька на Bt-кукурузе. Следовательно, убежища обыкновенной кукурузы поблизости от Bt-кукурузных полей кажутся необходимыми не только для контроля развития Bt-устойчивости в популяции кукурузного мотылька, но и для сохранения естественных врагов данного вредителя (Sharma, Ortiz, 2000; Venditti, Steffey, 2002). Кроме того, низкие уровни паразитизма на Bt-полях могут способствовать распространению Bt-устойчивого гена в популяции. В этом случае
13 убежища могут минимизировать разницу между уровнями паразитизма на
Bt- и обыкновенных полях за счет снижения изоляции Bt-устойчивых особей
вредителя внутри Bt-полей (White, Andow, 2003).
Использование биоконтроля популяции кукурузного мотылька посредством его естественных паразитоидов может быть чрезвычайно перспективным, поскольку продуктивность убежищ низка из-за высокого уровня заражения обыкновенной кукурузы мотыльком, что делает такую кукурузу малопригодной для сельского хозяйства (согласно Онстаду и др. (Onstad et al., 2002), емкость среды кукурузного мотылька оценена как 22 особи/растение). Изучение взаимодействия биоконтроля и биотехнологии (трансгенные растения) может способствовать интеграции этих двух важнейших стратегий, контролирующих численность вредителя на полях, и увеличить вероятность того, что удастся избежать проблем, связанных с возможной быстрой адаптацией вредителя к Bt-токсину (Losey et al., 2004).
Среди потенциально важных паразитоидов выделяют личиночного па-разитоида - муху Lydella thompsoni Herting, - который может убить до 30 % второго поколения мотылька в некоторых областях США (Capinera, 2000). Хотя во Франции, например, эффективность данного вида намного ниже, уровень паразитизма здесь не превышает в среднем 2.16% (Agusti et al., 2005).
Другой паразитоид - оса Macrocentrus cingulum Brischke (прежде grandii Giodanich), - поражающий личинок кукурузного мотылька и привезенный из Европы в США, где успешно адаптировался к среде, не только обладает хорошей синхронизацией взрослых особей с предпочитаемыми стадиями вредителя, но также показывает существенно высокие средние уровни паразитизма до 45% с максимумом 61% (Sked, Calvin, 2005).
Однако самым перспективным паразитоидом кукурузного мотылька считается Trichogramma ostriniae Pang et Chen, который поражает яйца азиатского кукурузного мотылька Ostrinia furcanalis Guenee, причем уровень есте-
14 ственного паразитизма яиц данного вида вредителя может достигать 47% и
даже 70-90% за счет искусственной интродукции данного паразитоида на поля (Wang et al, 1997). Т. ostriniae может также быть эффективным для контроля инвазии стеблевого кукурузного мотылька О. nubilalis, так как данный биологический вид близок к азиатскому О. furcanalis. Используя методику искусственного заселения кукурузных полей паразитоидом Т. ostriniae, Вонг с соавторами (Wang et al, 1999) зарегистрировал >40% паразитизма яиц О. nubilalis и предположил, что уровень паразитизма данного вида вредителя может достичь 85%.
Таким образом, математическое моделирование динамики системы "вредитель - паразитоид" в неоднородной среде необходимо, чтобы понять взаимодействие биотехнологии и биоконтроля, исследовать, возможно ли повысить эффективность стратегии "высокая доза - убежище" за счет включения паразитоида в биологическую систему, в которой виды вредителя подвержены отбору по признаку Bt-устойчивости.
Цель и задачи работы
Целью диссертационной работы является разработка и исследование моделей эволюции устойчивости стеблевого кукурузного мотылька {Ostrinia nubilalis Hubner) к генетически модифицированной кукурузе. Такие модели должны учитывать ключевые элементы экологии и генетики насекомых, адекватно описывать динамику популяции вредителя в условиях пространственной неоднородности, возникающей в результате применения стратегии "высокая доза-убежище", позволять исследовать ее эффективность как самостоятельной стратегии, так и в сочетании с биологическим контролем посредством естественных паразитоидов вредителя.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе определены следующие задачи:
построить и исследовать демо-генетическую модель пространственно-временной динамики популяции вредителя, учитывающую как генетическую, так и пространственную структуру популяции;
сравнить демо-генетический и классический фишеровский подходы, обосновать адекватность и преимущества применения демо-генетического подхода к моделированию эволюции Bt-устойчивости в популяции вредителя при использовании стратегии "высокая доза-убежище";
найти стационарные режимы разработанной модели; численно исследовать их устойчивость;
построить двухуровневые модели систем "вредитель-паразитоид" и "растительный ресурс-вредитель" и исследовать эффективность стратегии "высокая доза-убежище" в таких системах.
Материалы и методы исследования
Построенные пространственные демо-генетические модели представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных типа "реакция-диффузия" (Марри, 1983; Okubo, Levin, 2001), где локальная кинетика конкурирующих генотипов вредителя задается модифицированной моделью Костицына (Kostitzin, 1936; 1937; 1938а, б, в), а пространственные перемещения насекомых описываются диффузией. Модификации уравнений Костицына заключаются в том, что в качестве приспособленности каждого генотипа мы рассматриваем не плодовитость генотипа, а его выживаемость, а также предполагаем, что все экологические характеристики вредителя (коэффициенты рождаемости, смертности и конкуренции) одинаковы для различных генотипов за исключением коэффициентов приспособленности к среде (Жадановская, Тютюнов, 2004; Жадановская и др., 2004,2005,2006а, б; Тютюнов и др., 2006; Zhadanovskaya et al., 2005).
Для исследования пространственно-временной динамики генетической структуры популяции кукурузного мотылька при применении различных
сценариев управляющих воздействий (стратегии "высокая доза-убежище", стратегии биоконтроля и их комбинации) были построены имитационные модели в среде Delphi 7.0, позволяющие варьировать все моделируемые характеристики растительного ресурса, вредителя и его паразитоида, задавать их начальные распределения по пространству, устанавливать различные размеры ареала вредителя, а также размеры, расположение и конфигурацию убежищ.
Для проведения численных экспериментов, мы построили дискретные аналоги непрерывных демо-генетических моделей, используя равномерную сетку по пространственным переменным х и у, и аппроксимируя производные по пространству центральными разностями для каждого узла. Полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях интегрировались методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности с автоматическим выбором шага по времени. Устойчивость метода контролировалась выполнением расчетов на удвоенной сетке.
Теоремы существования стационарных решений одноуровневой демо-генетической модели для одномерного ареала доказаны с помощью методов математического анализа и анализа структуры фазового пространства переменных модели. Для построения стационарных пространственно неоднородных решений такой модели был использован модифицированный специальным образом метод стрельбы, позволяющий "сращивать" решения, полученные для двух качественно разных участков моделируемого ареала: Bt-поля и убежища. С помощью пакета Matlab 7.0 и разработанной имитационной модели численно анализировалась устойчивость стационарных однородных и неоднородных по пространству решений модели.
Для проведения имитационных экспериментов мы идентифицировали модельные параметры на основе биологических характеристик кукурузного мотылька и его паразитоида Macrocentrus grandii, полученных Онстадом и др. (Onstad et al., 2002), Онстадом и Корнквеном (Onstad, Kornkven, 1999), а
17 также используя оценки биологических характеристик кукурузы, полученные Ковалевым (2003).
Научная новизна
В работе обосновывается новый демо-генетический подход к моделированию развития Bt-устойчивости в популяциях насекомых-вредителей, обитающих в пространственно неоднородной среде. Впервые доказана неадекватность общепринятого метода решения данной задачи, основанного на формальном добавлении диффузионных членов к классическим уравнениям математической генетики Фишера-Холдена-Райта, а также впервые аналитически и численно исследованы разработанные демо-генетические модели. Получены новые, принципиально отличные от существующих и не противоречащие данным полевых наблюдений, результаты модельного прогноза развития Bt-устойчивости в популяции кукурузного мотылька при применении стратегии "высокая доза-убежище".
Практическая значимость
Разработанные модели и комплекс программ могут служить для обоснования методики управления и выработки рекомендаций по оптимальному управлению устойчивостью к трансгенным растениям в природных популяциях насекомых-вредителей, для решения оптимизационных и прикладных задач рационального управления заповедниками, агро-экосистемами и контроля инвазий в природных экосистемах.
Достоверность научных положений и выводов
Достоверность научных положений и выводов проведенных исследований обусловлена тем, что представленные в диссертации методы модельного анализа имеют строгое математическое обоснование, результаты модельного прогноза качественно совпадают с данными полевых наблюдений, а также с результатами, полученными качественно разными методами. Надежность численных аппроксимаций моделей контролировалась сравнением результа-
18 тов, полученных на обычной и удвоенной сетках. Модельные параметры аккуратно оценивались на основе данных литературных источников.
Аннотация работы по главам
В первой главе диссертационной работы приведен обзор существующих методов моделирования генетических процессов для описания эволюции устойчивости насекомых-вредителей к генетически модифицированным инсектицидным растениям, а также методы моделирования пространственной динамики популяций в условиях пространственной неоднородности среды обитания. Обсуждаются преимущества и недостатки рассмотренных модельных подходов. В заключении главы сформулированы задачи исследования.
Вторая глава посвящена построению, аналитическому и численному исследованию демо-генетической диффузионной модели эволюции Bt-устойчивости в популяции стеблевого кукурузного мотылька. Была обоснована адекватность и преимущества применения демо-генетического подхода к моделированию эволюции Bt-устойчивости в популяции вредителя при использовании стратегии "высокая доза-убежище". Аналитически показано, что обусловленная наличием убежищ пространственная неоднородность индуцирует адвективный поток генов Bt-устойчивости, задерживающий их диффузионное распространение. Найдены стационарные режимы разработанной модели; численно исследована их устойчивость. Численно исследована динамика модели для различных сценариев стратегии "высокая доза -убежище". Изучена зависимость эффективности данной стратегии от размера и конфигурации убежищ и подвижности вредителя. Показано, что при определённых сочетаниях размера убежища и подвижности вредителя стратегия "высокая доза - убежище" способна задержать развитие Bt-устойчивости в популяции кукурузного мотылька до нескольких сотен и даже тысяч лет, а агрегация убежищ при средних размерах всего ареала повышает эффектив-
19 ность стратегии. При этом при средней подвижности мотылька увеличение
размера однополосного убежища свыше 15% экономически нецелесообразно.
Третья глава (первый раздел) содержит описание двухуровневой пространственной демо-генетической модели системы "вредитель-паразитоид", позволяющей скомбинировать стратегию "высокая доза - убежище" со стратегией биоконтроля посредством естественного паразитоида вредителя. Изучено, как эффективность комбинации данных стратегий зависит от подвижности кукурузного мотылька и уровня паразитизма. Показано, что при средней подвижности вредителя и малом размере убежища биоконтроль способен повысить эффективность стратегии "высокая доза - убежище".
Во втором разделе четверной главы дано описание двухуровневой пространственной демо-генетической модели системы "растительный ресурс", в которой явно учтена динамика биомассы ресурса (кукурузы). Численно исследована и подтверждена долгосрочная эффективность стратегии "высокая доза - убежище". Полученные результаты с использованием двухуровневой демо-генетической модели качественно совпадают с результатами одноуровневой демо-генетической модели, подтверждая важность учета направленного потока генов в частотной форме записи демо-генетической модели.
Благодарности
Автор выражает свою искреннюю благодарность научным руководителям - Тютюнову Юрию Викторовичу (НИИ механики и прикладной математики РГУ) и Роже Ардити (Institut National Agronomique Paris-Grignon, Paris), - за их высокопрофессиональное руководство, Суркову Ф. А. и сотрудникам отдела математических методов в экономике и экологии НИИ механики и прикладной математики РГУ им. И. И. Воровича за внимание и постоянную помощь в работе, Крукиеру Л. А. и Муратовой Г. В. за ценные советы по представлению результатов диссертации, а также семье за их всестороннюю поддержку.
20 Работа выполнена при частичном финансировании Министерства образования Российской Федерации (по гранту А04-2.12-358, 2004), программы CNRS " Воздействие биотехнологий на агро-экосистемы" (2003-2006, Франция), в рамках раздела 5 проекта "Научно-образовательный эколого-аналитический центр (НОЦ) системных исследований, математического моделирования и геоэкологической безопасности Юга России" (по гранту Американского фонда гражданских исследований и развития U.S. CRDF RO-004-XI, 2003-2005).
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
Разработана пространственная демо-генетическая модель эволюции устойчивости кукурузного мотылька к трансгенной кукурузе. Смоделирован механизм стратегии "высокая доза - убежище";
Исследована устойчивость стационарных режимов демо-генетической модели в пространственно однородном случае и пространственно неоднородном случае для одномерного ареала. Аналитически показано, что обусловленная наличием убежищ пространственная неоднородность индуцирует адвективный поток генов Bt-устойчивости, задерживающий их диффузионное распространение;
Численно исследована динамика модели для различных сценариев стратегии "высокая доза - убежище". Изучена зависимость эффективности данной стратегии от размера и конфигурации убежищ и подвижности вредителя;
Построена двухуровневая демо-генетическая модель "растительный ресурс - вредитель", явно учитывающая динамику биомассы ресурса. Численно исследована и подтверждена долгосрочная эффективность стратегии "высокая доза - убежище";
Построена двухуровневая модель "вредитель - паразитоид", позволяющая скомбинировать стратегию "высокая доза - убежище" со стратегией биоконтроля посредством паразитоида вредителя. Изучено, как эффективность комбинации данных стратегий зависит от подвижности вредителя и уровня паразитизма.
Сложные имитационные модели
Онстад (Onstad, 1988) утверждает, что для достижения реализма в экологических моделях необходимо использование всей доступной информации об изучаемом объекте. Применительно к исследованию адаптации вредителей на Bt-растениях данному модельному подходу соответствуют максимально детальные имитационные модели эволюции Bt-устойчивости в популяциях вредителей с использованием чрезвычайно подробных предположений об их популяционной генетике и жизненном цикле (Peck et al., 1999; Caprio, 2001; Guse et al., 2002; Ives, Andow, 2002; Onstad et al., 2002; Storer et al., 2003; Crowder et al., 2005; Heimpel et al., 2005). Оценки времени развития устойчивости насекомых к Bt-токсинам, полученные с применением таких имитационных моделей, представляются достаточно реалистичными. Согласно этим оценкам время полной адаптации к Bt-кукурузе в популяции мотылька составляет 56 лет при условии, что относительная площадь убежища равна 10%, а Bt-устойчивая аллель полностью рецессивна. При относительном размере убежища более 20% период формирования Bt-устойчивости превышает 100 лет (Guse et al., 2002; Onstad et al., 2002). Несколько меньший срок развития Bt-устойчивости получен на базе имитационной модели, разработанной Айвсом и Эндоу (Ives, Andow, 2002): если убежище занимает 10% площади, для появления устойчивости потребуется 80 поколений, что при учете множественности поколений у кукурузного мотылька даёт временной интервал в 40 или несколько менее лет. Тем не менее, модель Айвса и Эндоу также позволяет сделать вывод о подтверждённой сельскохозяйственной практикой экономической целесообразности использования стратегии "высокая доза - убежище".
В то же время чрезмерная сложность имитационных моделей и огромное число включённых в них параметров затрудняет их использование (Ginzburg, Jensen, 2004). Точные значения многочисленных параметров чрезвычайно трудно, если не невозможно определить на основе существующих данных, а для некоторых параметров данные, необходимые для их оценки, зачастую отсутствуют. В некоторых случаях, когда, например, автор в качестве достоинства своей модели сообщает, что она состоит из 17600 уравнений с 41000 коэффициентами (Onstad, 1988), детализация может доходить до абсурда. По этим причинам ценность имитационных моделей для исследования динамики агроэкосистем и управления ими оказывается сильно ограниченной.
В других моделях эволюции Bt-устойчивости в популяциях насекомых-вредителей в рамках концептуального подхода авторы пренебрегают экологией насекомых и концентрируются только на процессах, происходящих на генетическом уровне, описывая генетику вредителя классическими уравнениями Фишера - Холдена - Райта (Lenormand, Raymond, 1998; Vacher et al, 2003; Cerda, Wright, 2004; Tabashnik et al., 2004, 2005). Подход, в основе которого лежит использование таких концептуальных моделей, приводит, по крайней мере, к двум проблемам, подробно рассмотренным в монографии Абросова и Боголюбова (1988).
Дело в том, что модель Фишера - Холдена - Райта была разработана для таких видов, жизненный цикл которых представляет собой чередование непересекающихся диплоидных и гаплоидных поколений (Абросов, Боголюбов, 1988; Hastings, 1997; Neal, 2004; см. также схему на рис. 1.1). При этих условиях для описания динамики генетической структуры всей популяции достаточно использовать уравнения, полученные для одной из фаз, гаплоидной или диплоидной, а так как описание на гаплоидном (аллельном) уровне проще, то вместо динамики частот генотипов можно рассматривать динамику аллельных частот. Это обстоятельство затрудняет использование уравнений Фишера - Холдена - Райта при изучении генетических процессов в любой диплоидной популяции организмов, у которых диплофаза и гаплофаза перекрываются, при этом диплофаза является основной и самой продолжительной формой жизнедеятельности, в то время как гаплофаза значительно редуцирована и лишена экологической самостоятельности (сведена к суще 5 ствованию половых клеток). Таким образом, применение классической фи шеровской модели для моделирования развития Bt-устойчивости в популяциях насекомых (в частности, в популяции кукурузного мотылька) кажется неадекватным.
Расширение начальной области применения модели Фишера - Холдена - Райта основано на принятии дополнительной гипотезы "гаметного резервуара", согласно которой спаривание диплоидных организмов и последующая копуляция гамет для отдельной родительской пары эквивалентны пан-миктичной копуляции гамет (гаплоидных форм), другими словами, предполагается, что все гаметы формируют экологически независимый "пул" (Абросов, Боголюбов, 1988). Последнее позволяет оперировать понятием "популяция гамет". При панмиксии диплоидных организмов сразу после первой генерации устанавливается и остается постоянным из поколения в поколение соотношение Харди - Вайнберга между генотипическими и аллельными частотами:
Моделирование пространственной динамики популяций
Второй основной компонент в моделях эволюции Bt-устойчивости в популяциях вредителей под воздействием стратегии "высокая доза - убежище" - пространственная неоднородность, возникающая за счет разделения всего ареала вредителя на участки, засеянные обыкновенной и Bt-культурой - может быть реализован на основе моделей, явно описывающих динамику потоков генов в пространстве: систем дифференциальных уравнений в частных производных типа "реакция-диффузия" (Hillier, Birch, 20026; Richter, Seppelt, 2004; Жадановская и др., 2004, 2005, 2006а, б; Тютюнов и др., 2006; Medvinsky et al., 2004, 2005, 2006; Zhadanovskaya et al., 2005), клеточных автоматов (Peck et al., 1999; Caprio, 2001; Vacher et al., 2003; Cerda, Wright, 2004) или камерных (компартментальных) моделей (Comins, 1977; Alstad, Andow, 1995; Guse et al., 2002; Ives, Andow, 2002; Onstad et al., 2002; Crowder et al., 2005; Heimpel et al., 2005). В таких моделях пространство явно представляется с помощью непрерывных пространственных координат или проиндексированных дискретных местообитаний (см. обзоры в Karieva, 1990; Hastings, 1990; Czaran, 1998). Несмотря на то, что явное описание сопряжено с рядом трудностей, связанных со сложностью формализации пространственного поведения видов, этот метод является эффективным средством исследования пространственных аспектов динамики популяций благодаря их механистическому представлению.
Модели камерного типа
Простейший способ моделирования пространственной популяционной структуры лежит в основе моделей камерного типа, в которых популяция представляется как совокупность связанных миграционными потоками локальных субпопуляций, динамика каждой из которых определяется значениями факторов среды, характерными для локального местообитания: dx = Fi(xi)-ei{xi)+ hjj(xl,...,xn), i,j = \,...,n, (1.5) at jfj где xt =X;(t) - плотность субпопуляции в камере / ; F((xt) - автономный член роста субпопуляции в камере /; е,-(х,-) и (x,,...,x„) - эмиграционный и иммиграционный члены, соответственно.
Исследования в рамках таких моделей феномена миграционного механизма адаптации популяций к резким случайным флуктуациям факторов внешней среды и демографической стохастичности показали, что даже случайное диффузионное расселение особей в структурированном неоднородном ареале позволяет существенно снизить риск вымирания субпопуляцион-ной системы в результате реколонизации - заселения особями-иммигрантами вымерших локальных участков структурированного ареала (Roff, 1974; Дом-бровский, Тютюнов, 1985, 1987а, б; Akcakaya, 1991; Burgman et al., 1993). Этот подход, развиваемый в рамках теории островной биогеографии (Дарлингтон, 1966; MacArthur, Wilson, 1967) в приложении к природоохранной практике, породил так называемую проблему SLOSS , имеющую отношение к выбору размеров и структуры заповедных зон. Эффект реколонизации, получивший название спасательного (rescue effect), изучается и в рамках мета-популяционного подхода (Levins, 1970; Metapopulation dynamics..., 1991; Hanski, 1999), суть которого заключается в исследовании процессов воспроизводства и гибели в более сложной по отношению к популяции животных метапопуляционнои системы "популяции популяций", состояние которой описывается переменной "доля обитаемых местообитаний" (при игнорировании конкретного вида пространственных структур и характера миграционных перемещений). Однако следует заметить, что как для камерных, так и для метапопуляционных моделей пространственная структурированность популяционных систем полагается заданной a-priori, то есть предполагается наличие неоднородной среды обитания, определяющей неоднородность расселения популяции и, в конечном итоге, эффективность адаптационных механизмов пространственного поведения. Механизмы и первопричины авто номного возникновения самих неоднородностей остаются за рамками возможностей этих моделей.
Данный простейший метод моделирования пространственной динамики достаточно широко используется для описания пространственной динамики Bt-устойчивого гена в популяциях насекомых-вредителей (Comins, 1977; Alstad, Andow, 1995; Guse et al., 2002; Ives, Andow, 2002; Onstad et al., 2002; Crowder et al., 2005; Heimpel et al., 2005).
Авторы других моделей распространения Bt-устойчивого гена в пространственно неоднородной среде применяют теорию клеточных автоматов. Это второй по популярности метод моделирования данной задачи, который относится к имитационным методам (Peck et al., 1999; Caprio, 2001; Vacher et al., 2003; Cerda, Wright, 2004). Модели представляют собой набор правил -алгоритм, по которому происходит взаимодействие пространственных ячеек, и представляют практически неограниченные возможности для проведения имитационных экспериментов на ЭВМ (Czaran, 1998).
Более точное определение: клеточные автоматы - это динамические модели с дискретным временем, пространством и состояниями. Простой клеточный автомат определяется сеткой I, пространством состояний Q, шаблоном соседей у и функцией местных переходов/ Каждая клетка сетки L может находиться в состоянии из пространства Q. Клетки могут соединяться различными способами, в простейшем случае они образуют квадратную или шестиугольную решетку. Клетки могут менять свое состояние в шаги дискретного времени, обычно они это делают синхронно. Судьба клетки зависит от окружающих ее соседей (соседи первого рода - центральная клетка и четыре примыкающих, соседи второго рода - центральная клетка и восемь примыкающих) и соответствующей функции перехода
Оценка экологических параметров демо-генетической модели для кукурузного стеблевого мотылька
В случае, когда в модели (2.6) все Wtj -1 (т.е. когда вся среда обитания вредителя представляет собой убежище), а генотипы распределены однородно, суммирование уравнений данной системы приводит к простому логисти ческому уравнению роста всей популяции: — = bN - juN - cxN2, где dt N = NSS +Nrs +Nrr, a b и ц представляют собой постоянные коэффициенты рождаемости и естественной смертности, соответственно. Если Ъ ju, то соотношение К = —— = — (р- коэффициент воспроизводства генотипов вре-а а дителя) определяет емкость среды популяции вредителя (Свирежев, Пасеков, 1982; Ginzburg, Golenberg, 1985). В частности, К является емкостью среды и в том случае, когда популяция целиком состоит из гомозиготных особей ss или rr генотипа.
Несмотря на то, что мы будем рассматривать только случай b ju, заметим, что при b ju под емкостью среды следует понимать не величину К, которая становится отрицательной и соответствует неустойчивому равновесию логистического уравнения, а нулевое равновесие модели, приобретающее при b /л устойчивость (см. также Gabriel et al., 2005).
Подчеркнем, что популяция не может состоять только из гетерозигот, и понятие емкости среды для генотипа rs носит условный характер. Однако, с формальной точки зрения, Кп = — — К. Это означает, что гетерозигот а ный генотип "платит" за воспроизводство гомозиготных генотипов ss и гг. Заметим, что демо-генетическую модель (2.6) можно упростить, пере N ходя к безразмерным переменным и параметрам: t=bt, Nss=——,
Если ареал вредителя представляет собой прямоугольник П = [0,//л]хо,// J, то одну из его сторон можно отмасштабировать к любой величине (например, Lx к 1). Таким образом, свойства пространственных решений модели (2.6) будут фактически зависеть от трех параметров: естественной смертности /л, подвижности вредителя д и отношения длин сторон местообитания LxjLy. Если ареал Q имеет квадратную форму, т.е. Lx=Ly=L,то S=- tQ = [0,\]x[0,i\.
Оценка экологических параметров демо-генетической модели (2.6) для кукурузного стеблевого мотылька
При проведении имитационных экспериментов мы использовали оценки биологических характеристик европейского кукурузного мотылька, полученные Онстадом и др. (Onstad et al., 2002). В качестве единицы измерения времени был выбран год (365 дней), в качестве единицы пространства - километр. Предполагается, что при моделируемых условиях вредитель имеет два поколения в год. Также полагаем, что общая продолжительность жизни двух поколений (развитие каждого поколения охватывает период от стадии яйца до стадии взрослой крылатой особи) равна одному году. Заметим, что время развития второго поколения занимает большую часть года, т.к. включает зимнюю диапаузу вредителя в стадии личинки и последующее весеннее развитие выживших личинок до взрослых особей, откладывающих яйца первого поколения следующего года.
Согласно Онстаду и др. (Onstad et al., 2002), одна взрослая самка мотылька откладывает в среднем 288 яиц в течение своей жизни. Чтобы оценить коэффициент плодовитости Ъ в модели (2.6), мы используем правило Ь = -\пЯ, где Я - коэффициент плодовитости в дискретном времени, г -г продолжительность жизни. Среднегодовая плодовитость b кукурузного мотылька оценивается взвешенной суммой плодовитостеи первого поколения Ьх и второго поколения b2: Ь = Ьхтх + Ь2т2, (2.8) где bx =—In Я, Ь2=—\пЯ, z-j и т2 - продолжительности жизни первого и второго поколений, соответственно. Тогда b = 2 In Я. Полагая, что доля самок в популяции равна 0.5, и, следовательно, Я -144, мы получаем b « 9.94 год"1. Аналогично, мы оцениваем среднегодовой коэффициент смертности мотылька ju как взвешенную сумму смертностеи первого поколения цх и второго поколения ju2: ju = /лхтх + ju2t2. (2.9)
Смертности ju{ и /л2 определяются из предположения, что уменьшение популяционной плотности за определенный период времени гt подчиняется экспоненциальному закону: = ехр(-да),/ = 1,2, (2.10) где N(O) - плотность популяции в начальный момент времени /-го периода.
Известные значения естественной выживаемости вредителя (Onstad et al., 2002) в летний период (0.077 для личиночной стадии обоих поколений) и в состоянии диапаузы (0.18 для зимующих личинок второго поколения) позво 1п(0.077) ляют нам вычислить смертность для каждого поколения: Цх= 2002), мы пренебрегаем смертностью яиц и взрослых особей, полагая их 100%-ую выживаемость. Тогда среднегодовой коэффициент смертности // = 6.84 год 1.
Следуя Онстаду и соавт. (Onstad et al., 2002), мы фиксируем максимально возможное число личинок на растение, равное 22, и 67000 растений на гектар, что задает оценку для емкости среды К = 147.4-10 особей на км . Отсюда среднегодовой коэффициент конкуренции вычисляется по формуле h — II а = ——, так что а = 2.1 10 8 км2год-1 особь 1. К Так как коэффициент диффузии 8 - величина, которую трудно оценить на основе результатов натурных наблюдений, то данный коэффициент варьировался в вычислительных экспериментах.
Качественный анализ демо-генетической модели.
Проведем качественное исследование системы (2.6) и определим, существуют ли в системе стационарные состояния, сколько их, каков вид распределения стационарных решений в пространстве, исследуем вопрос их устойчивости.
Прежде чем перейти к анализу модели (2.6) в пространственно-неоднородной среде, изучим поведение рассматриваемой биологической системы в однородной среде обитания вредителя.
Оценка экологических параметров модели для паразитоида Macrocentrus grandii
Пусть трофическое взаимодействие двух видов - вредителя и его паразитоида описывается простейшей линейной функцией Лотки-Вольтерра, а локальная кинетика конкурирующих генотипов вредителя - модифицированной моделью Костицына (см. уравнения (2.2)). Также будем полагать, что оба вида насекомых способны случайно перемещаться в пределах задаваемого ареала вредителя Q с непроницаемыми границами. Тогда данная модель имеет вид: " = WJSS №„, Nrs ,Nrr)- - - g(N)P + SANSS; —п=цг f (N N N )- : d = Wrsfrs(Nss,Nrs,Nrr)- g(N)P + SANrs-, d = Wrrfrr{Nss,Nrs,Nrr)-Nfg{N)P + ebNr/, (3.1) ot N — = eg{N)P-MpP + SpAP, VNSS -n = Wrs n = VNrr n = VP-n = 0, x єдП, где P = P(x,t) - плотность паразитоида в точке хєО в момент времени t; g(N)=aN - трофическая функция Лотки-Вольтерра; а - коэффициент эффективности поиска вредителя паразитоидом; е - коэффициент эффективности паразитоида; juP и дР - коэффициенты смертности и диффузии паразитоида соответственно. Остальные переменные и параметры модели (3.1) определяются так же, как и в модели (2.6). Функции воспроизводства генотипов вредителя fy (i,j = r или s) задаются формулами (2.2), а стратегия "высокая доза - убежище" моделируется при помощи коэффициентов приспособленности к среде Wy {i,j = г или s) согласно формулам (2.5). Перейдем от плотностной формы записи двухуровневой модели (3.1) к частотной, используя те же приемы, что и для одноуровневой модели (2.6) (см. доказательство Леммы 1 и Теоремы 4): &i = bpr(Wr - W)+8 Apr + 28 VlnJV Vpr; dt — = N(bW-(v + aN))-g(N)P + 8AN; dt = eg(N)P- pP + 8pAP; (3.2) Ps+Pr=l Vpr-n = VN-n = VP-n = 0, xedQ, где Wr = Wrsps + Wrrpr, W = Wssps + 2Wrspspr + Wrrpr. Значение параметров и переменных модели (3.2) интерпретируются так же, как и в частотной одноуровневой демо-генетической модели (2.32). Заметим, что отклонение системы от равновесия Харди-Вайнберга (1.1) описывается уравнением (2.33). Как и в модели (2.6), помимо диффузии, здесь имеют место и направленные потоки аллельной частоты рг со скоростью "адвекции" -28V\nN, индуцируемые пространственной неоднородностью распределения общей численности популяции вредителя N и Bt-устойчивой аллели pr. Заметим также, что двухуровневая модель Фишера - Холдена - Райта описывается моделью (3.2), но без адвективного члена 2SV\nN-Vpr в балансовом уравнении динамики аллельной частоты pr.
Оценка экологических параметров модели для паразитоида Macrocentrus grandii
Для проведения имитационных экспериментов с двухуровневыми моделями: демо-генетической (3.2) и фишеровской мы оценили дополнительно параметры, соответствующие моделируемому виду паразитоида - осе Macrocentrus grandii Goidanich. Данный вид является естественным паразитоидом кукурузного мотылька, поражающим его личинки.
Жизненный цикл паразитоида М. grandii характеризуется тремя важнейшими стадиями: личиночной - внутренней и внешней, и взрослой. Выживание паразитоида в течение первых двух стадий существенно зависит от среднесуточной температуры. Согласно Онстаду и Конквену (Onstad, Kornk ven, 1999), выживаемость в течение внутренней стадии равна 0.33, если среднесуточная температура ниже 22С, и 1 в противном случае; в течение внешней стадии - 0.90, если температура колеблется от 18 до 25С, и 0.50 в противном случае. Считается, что все взрослые выживают независимо от температуры.
Будем полагать, что М. grandii, как и его хозяин-вредитель, имеет два поколения в год, которые хорошо синхронизированы с двумя поколениями кукурузного мотылька, т.е. стадия взрослой особи паразитоида совпадает с предпочитаемыми личиночными стадиями кукурузного мотылька. Такое предположение не противоречит данным полевых наблюдений (Огг, Pleasants, 1995; Sked, Calvin,2005). Также полагаем, что развитие первого поколения паразитоида происходит в теплый сезон, когда температура не опускается ниже 18С и не поднимается выше 25С, а второе поколение развивается в холодный период времени, включающий зимовку личинок паразитоида в личинках кукурузного мотылька, находящихся в состоянии диапаузы в зимний период. Применяя ту же самую методику оценки параметров модели (3.2), как в модели (2.6) (см. 2.1.5), мы оценили среднегодовой коэффициент смертности паразитоида М. grandii juP как взвешенную сумму смертно стей первого поколения //1F и второго поколения jU2P (см. формулы (2.9), / 1Лчч , Л1 -і -ln(0.9) (2.10)): n = nlPT]P + ju2PT2P = \.9\ год , где цХР = — -, т\р _-1п(0.33-0.5) ц2Р Т2Р
В США среднее число Macrocentrus cingulum Brichke (на территории Европы его название Macrocentrus grandii Goidanich), появляющееся из одной личинки мотылька, равно 16.4 особи (Sked, Calvin, 2005). Тогда коэффициент эффективности паразитоида оценивается как е = 16.4 особи"1. Поскольку уровень паразитизма для данного вида паразитоида сильно зависит от его географического местонахождения: не выше 5% в северных районах Франции (Bourguet et al., 2002; Agusti et al., 2005), около 45% с максимумом 61% в США (Sked, Calvin, 2005), - мы варьировали процент паразитизма от 0 до 75%. Уровень паразитизма в популяции кукурузного мотылька определяется через коэффициент эффективности поиска вредителя паразитоидом, а. Для того чтобы задать 25% уровень паразитизма в модели (3.2), мы положили равновесное значение общей плотности популяции вредителя N равным 75% от емкости среды К: N = 0.75К. Найдем равновесие N из простейшей модели "хищник-жертва" Лотки-Вольтерра с логистическим воспроизводством жертв, которая получается в результате суммирования первых трех уравнений системы (3.2) в предположении, что весь ареал вредителя - убежище, т.е. Q = Qrey (см. также 2.2.1): L = N{b-(M + aN))-g{N)P; at ИР Равновесное значение N = — = 0.75К. Откуда я = 1.05 х Ю-9 год" км2. еа Мы также фиксировали а = 1.58x10 год км и а = 3.16x10 год" км , что соответствует 50% и 75% уровням паразитизма в популяции кукурузного мотылька. Коэффициент диффузии паразитоида дР варьировался, исходя из предположения, что подвижность паразитоида не может быть меньше подвижности мотылька. Значения остальных параметров модели (3.2), соответствующих моделируемому виду вредителя О. nubilalis, были оценены ранее ( 2.1.5).
