Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Уравнения динамики многозвенных систем с деформируемыми элементами структуры под действием внутренних усилий 13
1.1. Аналоги моделей механических систем в современной литературе... 13
1.2. Составление уравнений движения произвольной многозвенной динамической системы с деформируемыми элементами структуры 21
1.3. Модель и уравнения движения стержневой биомеханической системы с деформируемыми элементами структуры 23
1.4. Составление уравнений движения многозвенной биомеханической системы на основе общих теорем 46
1.5. Методы исследования движения стержневой биомеханической модели человека. Метод декомпозиции 52
ГЛАВА 2 Экспериментальное моделирование и решение обратной задачи динамики с учетом деформаций звеньев 71
2.1. Методика съемки кинограмм 71
2.2. Определение длин конечностей 73
2.3. Определение масс и моментов инерции звеньев человека 74
2.4. Методика пиктографического моделирования 76
2.5. Интерполяция данных кинограмм и определение угловых перемещений, скоростей, ускорений 83
2.6. Определение реакций звеньев человека 93
2.7. Определение моментов
ГЛАВА 3 Решение прямой задачи динамики движения и анимационное моделирование ходьбы механической системы 101
3.1. Моделирование устойчивости звеньев человека при осевых нагрузках 101
3.2. Моделирование устойчивости составных звеньев биомеханической системы 105
3.3. Определение деформаций в звеньях биомеханической системы при ходьбе 108
3.4. Оценка напряжений в звеньях при моделировании ходьбы человека 113
3.5. Энергия упругой деформации звеньев механической системы при движении 116
3.6. Решение системы дифференциальных уравнений движения стержневой механической системы с заданными моментами и сравнение модели с исходным движением человека 117
3.7. Обсуждение результатов моделирования 126
Заключение. 129
Список использованных источников
- Составление уравнений движения произвольной многозвенной динамической системы с деформируемыми элементами структуры
- Составление уравнений движения многозвенной биомеханической системы на основе общих теорем
- Определение масс и моментов инерции звеньев человека
- Моделирование устойчивости составных звеньев биомеханической системы
Введение к работе
В механике деформируемого твердого тела важное значение имеет вопрос о движении стержневых механических систем с деформируемыми элементами структуры. Важность изучения деформаций возрастает в связи с применением новых конструкционных материалов. В последнее время наблюдается значительный прогресс во многих областях техники: в химической промышленности, ядерной физике, создании космических аппаратов, в разработке медицинских протезов, конструировании антропоморфных механизмов различного назначения и это требует соответствующего теоретического исследования.
Важность разработки антропоморфных механизмов кроме медицинской и коммерческой направленности объясняется тем, что повсеместно применяемое в технике колесо никогда не наблюдается в природе. Поэтому, стремление создать машину, которая передвигается с помощью ног, подобно человеку и животному, с давних пор было мечтой ученых. Один из первых эскизов шагающей машины датируется XVIII в. Серьезное развитие эта идея получила в конце XIX в. в трудах выдающегося российского ученого П.Л. Чебышева [61].
В середине прошлого столетия начался настоящий бум разработок шагающих машин. Исследования ведутся в США, Англии, России, Белоруссии, Японии, Франции, Финляндии и ряде других стран. В настоящее время, согласно каталогу доктора К. Бернса (К. Berns, Научно-исследовательский центр информатики, Карлсруэ, Германия) [144], насчитывается более 150 машин с шагающим приводом.
Существуют шагающие машины статически неустойчивые, например двуногие, и статически устойчивые - четыре и более ног. Движение статически неустойчивых машин обеспечивается развитой системой управления, включающей систему сбора информации о местности и исполнительные двигатели, реализующие движение конечностей на основе того или иного алгоритма. Статически устойчивыми могут быть только многоногие шагающие машины. Минимальное количество ног, необходимое для этого, четыре. В этом случае существует единственная походка, обеспечивающая устойчивость — поочередный перенос каждой ноги в новое положение. С увеличением числа ног растет число вариантов допустимых походок. Простейшим кинематическим схемам статически устойчивых шагающих машин отвечают стопоходящие с фиксированной походкой. Механизм шагания таких машин — это система с одной степенью свободы. Более сложные механизмы — с тремя и более управляемыми степенями свободы — позволяют стопе перемещаться требуемым образом в пространстве.
В настоящее время большинство теоретических и практических разработок шагающих машин представляют собой механические системы с абсолютно твердыми звеньями.
Жесткие модели имеют некоторые достоинства: проще уравнения движения, численное и аналитическое исследование составленных уравнений. Однако есть и недостатки - скорость распространения возмущений в абсолютно жесткой модели бесконечно большая. При движении живых организмов, например, ходьба человека, ускорения изменяются очень быстро и если бы были абсолютно твердые звенья, то ударная нагрузка в организме распространялась бы на все элементы системы мгновенно, т.е. с ударом, в том числе в головной мозг. В реальности подобные явления не наблюдаются. Поэтому следует рассматривать организм как упругую систему. При движении деформируемой системы происходит запасание энергии при постановке ноги на поверхность и ее возвращение при следующем шаге. При этом практически вся энергия удара гаснет в суставах нижней конечности. Если макроскопически рассматривать конечность, то можно считать, что деформируется не сам сустав, а весь стержень. А это будет модель с деформируемыми звеньями, с возможностью приложения в суставах управ ляющих моментов, с помощью которых можно поддерживать вертикальное положение и осуществлять перемещение. Система представляет собой эффективную модель деформируемого стержня и в суставах возможно упругое противодействие и смещение. С этой точки зрения исследуется устойчивость одного стержня, двухстержневой, многостержневой (до 11 звеньев) системы, т.е. двуногого антропоморфного робота, находящегося на твердой поверхности с одной точкой закрепления.
Сейчас перед учеными стоит задача, используя новые конструкционные материалы, разработать соответствующую теоретическую базу для создания антропоморфных механизмов. И здесь возникает вопрос о применении деформируемых материалов при создании антропоморфных механизмов с деформируемыми звеньями.
Как указывает М. Вукобратович "Локомоторная активность и особенно ходьба принадлежит к классу высокоавтоматизированных движений. ... Шагающие локомоторные системы, особенно антропоморфные, являются чрезвычайно сложными динамическими системами, как с точки зрения механической структуры, так и с точки зрения их системы управления. Надо отметить, что для осуществления разнообразных движений человек может использовать почти 800 мышц." [25, с. 11]
Таким образом, при разработке антропоморфных механизмов без учета деформаций звеньев не обойтись. Как и у человека, у антропоморфного механизма имеются деформации: кручения, изгиба и сжатия-растяжения. Возникает необходимость теоретического изучения влияния деформаций на движение. Поэтому необходимо на данном этапе ставить шире проблему и говорить о механике системы с деформируемыми элементами структуры, ограничиваясь конкретной моделью только на этапе эксперимента.
Полученный опыт позволит начать исследования, направленные на решение проблемы, которая связана с разработкой теории движения и проектирования мобильных роботов и других мехатронных систем с шагаю щими движителями с учетом их деформаций.
Проблема создания двуногих антропоморфных механизмов имеет прикладное значение. Двуногие роботы могут заменять человека в тех случаях, когда требуется совершить работу в опасных или вредных условиях, где необходимы присущие человеку двигательные возможности. В медицине уже применяются протезы, экзоскелетоны, созданные на основе разработок роботостроения. Роботы тренируют мышцы человека в спорте и медицине. В свою очередь, разработка антропоморфных механизмов помогает выявлению новых возможностей человеческого организма. Результаты разработок можно, например, применять в тренировочных процессах спортсменов высокого класса. Таким образом, происходит взаимодействие механики, медицины и спорта, что способствует их взаимному обогащению и развитию.
Актуальность темы диссертации обусловлена как ее теоретической, так и практической значимостью. Работа является частью развиваемого в настоящее время во всем мире направления, связанного с созданием антропоморфных роботов. Большинство исследований до сих пор проводились с использованием модели абсолютно твердого тела, однако эта модель не является адекватной реальному человеческому телу.
В теоретическом аспекте в диссертационной работе впервые решается актуальная задача моделирования антропоморфных роботов на базе деформируемых стержневых систем. Актуальность диссертации с практической точки зрения вызвана возрастающим интересом к динамическим возможностям механических систем на основе информации о человеческих движениях.
Деформируемые стержневые системы находят широкое применение и позволяют строить математические модели сложных объектов с изменяемой структурой. Учет деформаций усложняет задачу описания механических систем, но позволяет создавать модели более адекватные реальным объектам. В мехатронных системах пренебрежение деформациями недо пустимо и их учет важен, потому что в реальных системах звенья деформируемые. Пренебрежение деформациями приводит к огрублению модели.
В последние десятилетия предпринимаются попытки создания стержневых механизмов (роботов) и возникают проблемы с описанием походки, приближенной к реальным движениям человека. Все еще не решен вопрос о том, насколько хорошо стержневая модель может описать динамику человека, ткани которого обладают в общем случае вязкоупругими свойствами. Существует проблема управления двуногими антропоморфными аппаратами, приближенными к движениям и походке человека.
Накапливается разнообразная информация о выяснении возможностей построения механических систем на основе информации о биологических системах. Предлагаемая работа находится в русле подобных разработок и обеспечивает получение качественно новой информации о движении механических систем с деформируемыми элементами структуры на основе движений человека.
Так как стержневая механическая система с деформируемыми элементами структуры имеет большое количество степеней свободы, то расчеты подобных систем сложны, громоздки и требуют большого количества вычислений. Анимационное моделирование, применяемое в диссертации, позволяет проводить эксперименты, не создавая натурные модели. В практике это можно использовать в медицине - при создании протезов, экзо-скелетонов; в спорте — для расчета оптимальных движений спортсменов и достижения ими максимальных результатов; в космонавтике — для разработки скафандров; в технике — для создания устройств, перемещающихся с помощью конечностей; в военных целях - для работы в опасных условиях.
Прежде чем получить работающий антропоморфный механизм надо создать его математическую модель, исследовать ее численно, определить оптимальные параметры механизма и возможные режимы движения. Теоретическая разработка методики расчетов деформируемых стержневых систем с использованием информации о движениях человека составляет актуальность данного исследования.
Цель исследования - создать динамическую модель многозвенной стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры в случае плоского движения; в расчете движений модели и ее дальнейшей анимации и пиктографической визуализации; решении прямой и обратной задачи динамики движения антропоморфных механизмов в плоском случае, применительно к задачам ходьбы.
Задачи исследования состоят в следующем:
— составить уравнения движения человека, моделируемого 11-звенной стержневой механической системой с деформируемыми элементами структуры двумя способами в случае целой системы и для случая декомпозиции системы (используя уравнения Лагранжа второго рода и общие теоремы динамики);
— обосновать возможность декомпозиции системы, моделирующей человека, на три части по тазобедренному суставу для упрощения расчетов;
— произвести оценку жесткости, деформаций и напряжений звеньев механической системы при движении с использованием эффективных модулей Юнга;
— создать методику визуализации, схематически демонстрирующая движение по данным, полученным из кинограмм;
— разработать методику определения моментов сил в суставах человека по кинограммам;
— провести численное решение полученной системы уравнений, используя данные об управляющих моментах в подвижных сочленениях, определенных на реальных людях;
— на основании результатов расчетов создать анимацию движения многозвенной стержневой системы и провести сравнение с движением человека.
Объектом исследования являются многозвенные антропоморфные стержневые системы с деформируемыми элементами структуры.
Предметом исследования являются методы моделирования механической системы с деформируемыми элементами структуры.
Гипотеза заключается в проверке возможности использования данных о биомеханических системах в антропоморфных механизмах. В результате проведенного исследования гипотеза подтвердилась.
Методология и методы проведенного исследования. Для достижения вышеуказанных целей использовались методы механики деформируемого твердого тела, теоретической механики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений; экспериментальные методы создания пиктограмм и математические методы их анализа, а также анатомические данные о человеке применительно к задачам биомеханики.
Достоверность полученных результатов, научных положений, выводов и рекомендаций обоснована:
— строгим использованием классических положений механики и современного математического аппарата;
— адекватностью модели на основании сравнения походок человека и модели;
— соответствием полученных результатов экспериментальным данным и результатам, полученным другими авторами.
Научная новизна и значимость полученных результатов состоит в том, что:
— впервые создана модель движения антропоморфной стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры;
— для управления движением модели механической системы с деформируемыми элементами структуры впервые использованы экспериментальные данные, которые позволяют решать задачи движения твердых деформируемых тел с неизвестными внутренними усилиями, использовать модель для описания двуногой ходьбы человека;
— впервые разработана методика определения моментов силы в подвиж ных соединениях стержневой биомеханической системы в виде непрерывных аналитических зависимостей от времени, по кинограммам движения;
— развита методика декомпозиции биомеханической системы, и получение уравнений динамики элементов системы и системы в целом.
Практическая значимость полученных результатов: на базе проведенного исследования возможно создание протезов в медицине, учитывающих индивидуальные особенности человека и максимально приближенных по своим свойствам к реальным конечностям, создание скафандров, антропоморфных роботов различного назначения.
Результаты исследования внедрены в виде методик в учебный и тренировочный процессы в Смоленском государственном институте физической культуры и спортивных заведениях Смоленской области (копии актов внедрения см. в приложении).
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
— математико-механическая модель антропоморфной стержневой механической системы с деформируемыми звеньями под действием внутренних и внешних сил;
— идентификация системы управления движением модели с реально замеренными моментами;
— решение прямой и обратной задачи динамики стержневой системы с деформируемыми звеньями.
Личный вклад соискателя. Основные положения диссертации получены автором самостоятельно. Некоторые публикации осуществлены в соавторстве.
Апробация результатов диссертации. Основные положения, выводы и результаты исследования докладывались и обсуждались на конференции "Биомеханика. Морфология. Спорт" (Смоленск, СГИФК, 2000), на международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (Смоленск, 2001, 2002, 2005), на международной конферен ции "Морфобиомеханические и соматодиагностические особенности адаптивной физической культуры (Смоленск, 2002), заседаниях семинара кафедры теоретической механики БНТУ (Минск, 2004, 2005) и др.
Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, среди которых 7 статей в научных журналах (из них 3 депонированы), 10 статей в сборниках и материалах конференций. Общий объем опубликованных материалов составляет около 100 страниц.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 130 страниц. Список литературы содержит 148 наименований.
Составление уравнений движения произвольной многозвенной динамической системы с деформируемыми элементами структуры
Двуногая ходьба - парадокс, редко встречающийся в природе. В двуногой ходьбе еще много неисследованного. Так, в эксперименте обнаружено, что при ходьбе возникают большие ускорения в нижних конечностях, которые при абсолютной жесткости модели должны мгновенно передаваться в мозг. Однако в реальных условиях подобные ускорения в верхнем отделе не наблюдаются. Из этого следует вывод, что жесткие модели не адекватно отражают реальные явления. В живой природе основное место занимают деформируемые системы. Поэтому при моделировании биологических систем необходимо использование механических деформируемых моделей.
Механика деформаций многогранна. Учет деформаций и расчет многозвенных деформируемых систем очень сложен, а возможности применения и эффекты, связанные с их использованием, велики. Например, возникает вопрос - куда девается энергия удара? Ходьба человека более экономичная, чем у антропоморфного робота. Имеется механизм рекуперации энергии, которая упруго запасается при ударе переносной ноги о поверхность. При толчке и переносе ноги, скелет упруго отдает энергию. Это следует учитывать при создании протезов, экзоскелетонов, и, в конечном счете, антропоморфных роботов.
Если учитывать вязкость, то любое движение будет затухающим. Вязкость играет роль при больших скоростях и ускорениях. При обычной ходьбе скорости незначительны и вязкость незначительна, поэтому в дальнейшем исследовании пренебрежем ею, учитываем только упругие деформации. При упругой деформации возникают периодические, а не затухающие колебания. Для описания такой биомеханической системы с учетом упругих деформаций при ходьбе можно использовать формализм Лагранжа.
Для моделирования биомеханической системы, моделирующей человека с учетом деформаций, рассмотрим механическую систему с дефор мируемыми элементами структуры, которую в дальнейшем используем при исследовании движений человека.
Рассмотрим стержневую механическую многозвенную систему, состоящую из одиннадцати звеньев. Все звенья предполагаются инерционными с массами /и, моментами инерции /, (/ = 1...11). Звенья системы соединяются на концах с помощью шарниров. В каждом подвижном соединении имеется возможность создания вращающего момента M,{t).
За счет деформируемости центр масс звена изменяет свое положение. Изменение положения центра масс определяется через изменение длины звена. Координаты центров масс звеньев системы, относительно выбранной системы отсчета, определяются известными геометрическими соотношениями.
Рассмотрим максимально приближенную к человеку одиннадцатиз венную антропоморфную модель. Для рассмотрения плоского движения ft биомеханической системы в одноопорной фазе введем неподвижную правую декартову систему координат xyz с началом в точке О и плоскостью ху, в которой происходит движение центра масс. Система имеет две трех-звенные весомые ноги, две двухзвенные весомые руки и весомый корпус. Все элементы структуры являются упругими и длины стержней являются функциями времени: /, = /,(/) (і = 1, ..., 11). Пусть ОхАх = 1и АХВ = /2, ВХС = /3, В2С = /4, А2В = /5, 02А2 = /6, CG = 1Ъ DEX = Is, E\F\ = lg, DE2 = /10, E2F2 = ln — длины звеньев биомеханической системы, моделирующей человека. Положение в одноопорной фазе однозначно определяется углами ф, и длинами стержней /, (/ = 1,..., 11), поэтому рассматриваемая система имеет двадцать две степени свободы. Обозначим через Mt моменты, развиваемые в /-том шарнире (/ = 1,..., 11).
Центры масс находятся в точках: С\ - стопы опорной ноги, С2 - голени опорной ноги, Сз - бедра опорной ноги, С4 - бедра переносной ноги, С - голени переносной ноги, Сб - стопы переносной ноги, С7 - корпуса, С%, Сю - плеч, Сд, С\\ — предплечий. Их положения будем задавать в виде отношений к началу соответствующего звена через множители «,-, (/ = 1, ..., 11), (0 п, 11) (если все звенья перенумеровать по номерам индексов у соответствующих углов). Такой способ задания положений центров масс в данном случае предпочтительней, в связи с моделированием человека, для которого положения центров масс конечностей определяются эмпирическим путем и задаются в процентном отношении одной части звена к другой.
Массы: т\, т ; т-і, т$\ ті, т\\ т%, т\о; т% т\\\ m-j — масса стопы, голени, бедра, плеч, предплечий и корпуса, соответственно. Моменты инерции: /ь I6; I2,15; h, A; h, Ы І9, h\\ h — стопы, голени, бедра, плеч, предплечий и корпуса, соответственно. Правую и левую конечности механизма будем считать разными.
При расчетах и моделировании движения биомеханической системы все вышеприведенные характеристики берутся равными, соответствующим характеристикам испытуемого человека.
Составление уравнений движения многозвенной биомеханической системы на основе общих теорем
Для упрощения исследования движения стержневой биомеханической системы с деформируемыми элементами структуры, ее можно расчленить на три части по тазобедренному суставу.
Из биомеханики известно, что движение ног не зависит от движений корпуса при обычной ходьбе. Движения корпуса зависят от движения опорной ноги и балансируют ходьбу. В модели будем считать, что движение опорной ноги не зависит от движения переносной ноги. Переносная нога вначале толкается от опоры, а потом опирается на таз. В этом особенность ходьбы. Переносная нога в момент вертикали ведет себя как маятник. Потом перед приземлением тормозят мышцы антагонисты - берется стопа на себя и натыкается на пятку. При ходьбе, чем медленнее идем, тем больше теряем в скорости. Нога при переносе сгибается, а значит укорачивается. Масс-инерционные характеристики меняются. При ходьбе большой палец дает до 1/3 силы отталкивания.
Поэтому, моделируя человека, можно провести декомпозицию стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры на три составные части по тазобедренному суставу, без потери адекватности модели оригиналу. Первая часть - опорная нога. Она состоит из трех звеньев: пятки, голени, бедра. Вторая часть - переносная нога. Она также состоит из тех же звеньев, что и опорная нога. Третья часть - верхняя часть тела от тазобедренного сустава. Она состоит из пяти звеньев: корпус вместе с головой и две двухзвенные руки, состоящие из плеча и предплечья каждая (рис. 1.4). Таким образом, получается одиннадцатиз венная модель стержневой биомеханической системы, моделирующей движения человека.
На рисунке введены те же обозначения и тот же способ отсчета углов, который предложен выше (см. 3 данной главы). Так же дополнительно вводим линейные координаты тазобедренного сустава (д:, у), которые будут нужны для информации о движении точки подвеса переносной ноги и точки опоры корпуса.
Далее проведем вывод уравнений движения 11 -звенной стержневой биомеханической системы с деформируемыми звеньями без массы-балансира на опорной ноге, сосредоточенной в тазобедренном суставе.
Таким образом, имеем уравнения движения антропоморфного механизма, после декомпозиции по тазобедренному суставу на три составных части без массы-балансира. Еще два уравнения добавлены для описания движения тазобедренного сустава.
Рассмотрим еще один возможный вариант модели: декомпозиция на три части по тазобедренному суставу с массой-балансиром, заменяющей корпус. Масса на опорной ноге, заменяющая корпус-балансир равна сумме масс корпуса, рук и переносной ноги.
Используя уравнения Лагранжа второго рода, выведем уравнения движения рассматриваемой биомеханической системы аналогично тому,
Таким образом, имеем уравнения движения антропоморфного механизма, после декомпозиции по тазобедренному суставу на три составных части с массой-балансиром.
Выводы по главе:
1. Составлены дифференциальные уравнения движения одинна-дцатизвенной механической системы в виде антропоморфного механизма с деформируемыми звеньями с использованием уравнений Лагранжа второго рода.
2. Составлены дифференциальные уравнения движения одинна-дцатизвенной стержневой механической системы в виде антропоморфного механизма с деформируемыми звеньями с использованием общих теорем динамики; сопоставлением осуществлен контроль правильности проводимых преобразований во время составления уравнений движения.
3. Обоснована возможность декомпозиции стержневой биомеханической системы с деформируемыми элементами структуры на три части по тазобедренному суставу для упрощения расчетов при решении системы дифференциальных уравнений движения.
4. Составлены уравнения движения антропоморфной механической системы после декомпозиции по тазобедренному суставу.
Так как движения человека сложно рассчитать в естественных условиях, то обычная фотография или кадр кинопленки движущего человека являются документом для определения [68, С. 29.]: 1. координат центра тяжести тела человека или его частей, например руки, ноги, и т.д., в плоскости рисунка; 2. моментов сил тяжести звеньев относительно осей суставов; 3. углов между звеньями в суставе; 4. критической силы для устойчивости тела; 5. условий функционирования скелетной мускулатуры; 6. моменты инерции тела или его частей относительно оси, перпендикулярной плоскости съемки в зафиксированном положении.
Для исследования были необходимы кинограммы, представляющие положения конечностей в разные моменты времени.
Был проведен поиск нужных кинограмм в сети Internet и в научных журналах. Однако имеющегося материала, в указанных источниках информации, оказалось недостаточно как в количественном, так и в качественном планах. Из найденных кинограмм только для тройного прыжка были известны частота и масштаб съемок. В остальных кинограммах эта информация отсутствует. Поэтому были проведены собственные съемки кинограмм.
Съемка проводилась в спортивном зале кафедры легкой атлетики Смоленского государственного института физической культуры. Дата съемки 25.11.2002. Длина беговой дорожки — 20 м. На беговую дорожку устанавливалась метровая линейка и кегли с интервалом 1 метр для опре деления масштаба и ориентации.
Использовались две видеокамеры. Первая камера снимала в профиль левую сторону спортсменов. Она находилась на расстоянии l\ = 9 м от беговой дорожки (дальше не позволили размеры зала) и на высоте h\ = 1,3 м от пола. Вторая камера находилась справа от спортсменов на расстоянии по горизонтали /2 = 2 м от беговой дорожки и на высоте hi = 4,6 м от пола (рис. 2.1). Камеры должны были бы перемещаться параллельно движущемуся спортсмену. Вследствие отсутствия оборудования камеры поворачивались, находясь посредине беговой дорожки. Для обеих камер съемка производилась с частотой 25 кадров в секунду.
Определение масс и моментов инерции звеньев человека
Это соотношение также вытекает из условия равновесия конечного изогнутого участка стержня длины х. Точное решение этого уравнения ос-цилляционного типа выражается формулой [w(0) = w(/0) = 0] w(X) = a sina„X, где собственные значения а„ = nn/l0= F/EJ. (3.8)
Если нагрузка превышает первое собственное значение, то есть кри тическую, или эйлерову выпучивающую нагрузку, F F\= Fc- к EJ/IQ , то кроме тривиального решения w = 0, соответствующего прямолинейному стержню, существуют изогнутые положения равновесия стержня. При F = Fc возникает первая бифуркация, и стержень выпучивается в соответствии с первой модой w\ = a sinajX Используя нелинейную теорию, справедливую для стержня, в котором произошло выпучивание, можно показать, что при F Fc изогнутая конфигурация устойчива, а прямолинейная - неустойчива. В рамках линейной теории рассмотрим вторую вариацию потенциальной энергии для исследования устойчивости прямолинейной конфигурации. Полагая w = w\ + bw и считая, что виртуальное отклонение bw = sw\ пропорционально первой моде, а є « 1, найдем после интегрирования (3.5) la2 Ep(s) = -=- a2(EJa2 -F)(l + 2є + є2). (3.9)
Приравнивая нулю первую вариацию, получим критическую нагрузку и соответствующие равновесные конфигурации w = а = 0 им = а ъ тщХ в данной точке бифуркации дЕ, dz = 0 = F = Fc = EJa2. (3.10) є=0 Щ(г) = дг - р
Записав вторую вариацию, найдем условие устойчивости только прямолинейного стержня (так как использована линейная теория), w = 0, в виде F Fc, так как d2ED Р дг2 52Е„ 0 — р = a2(Fc-F) 0. (3.11) є=0
В точке бифуркации, а также для изогнутой конфигурации в окрестности прямолинейной нагрузка постоянна и равна критической, F = Fc. Следовательно, вторая вариация обращается в нуль. Можно сделать вывод, что нелинейная теория, справедлива для стержня, в котором произошло выпучивание. Для установления устойчивости точки бифуркации (ветви изогнутых положений равновесия), требуется рассмотрение четвертой вариации потенциальной энергии. В таком случае линейно упругий эйлеров стержень нечувствителен к небольшим геометрическим несовершенствам. Например, небольшой эксцентриситет нагрузки или небольшой начальный изгиб оси стержня не влияют на его несущую способность. Поэтому с практической точки зрения достаточно в упругой области рассматривать строго прямолинейный, центрально нагруженный тонкий стержень и критическую нагрузку для такого стержня.
Оценивая критическую нагрузку для случая первой моды применительно к звеньям человека получены следующие значения: стопа - Fc = 5,625-108 Н, голень - F2 = 1,217-109 Н, бедро -F6 = 6,286-109 Н, плечо -Fn = 1,141-109 Н, предплечье — Fm = 7,909-108 Н. В дальнейшем оценки критической нагрузки будут использованы для проведения сопоставления с расчетными и проверки адекватности модели.
Таким образом, рассмотрена механика деформаций на изгиб и с ее использованием будет вестись контроль предельных нагрузок и адекватности применения приближения линейных деформаций.
Следующим этапом исследования является усложнение модели. Для этого рассмотрим модель в виде двухзвенной составной стержневой системы. В предлагаемой модели имеется возможность задания усилий в суставе. Рассмотрим устойчивость составного стержня под действием внутренних усилий в шарнирах и проведем оценку значений, необходимых для устойчивого состояния. Исследуя вопрос о рекуперации энергии, сформулированный выше, моделирование проведем с использованием спиральных пружин, расположенных в суставах.
Система [59, с. 78-79] представляет двойной маятник: тела А і и А2 с массами т\ и т2 рассматриваются как материальные точки; массой стерней, сопротивлением воздуха и трением в горизонтальных цилиндрических опорах пренебрегаем; спиральные пружины с жесткостями Xi и Хг при верхнем вертикальном положении маятников находятся в естественном недеформированном состоянии (рис. 3.2). Считая массы mi и /я2 маятников и их длины 1\ и /2 заданными, определим жесткости пружин Хі и І2 так чтобы в верхнем вертикальном положении равновесие маятников было устойчивым.
Моделирование устойчивости составных звеньев биомеханической системы
При ходьбе при постановке ноги на опору происходит преобразование кинетической энергии в потенциальную энергию деформации скелета, которая при смене ног упруго отдается при отталкивании. Изменение кинетической энергии: Tan FuSi. (3.26) В результате расчетов получаются следующие значения: W\ = 2,25 Дж, J2 = 2,25 Дж, JF3 = 1,47 Дж - для опорной ноги. Все остальные значения имеют максимальные значения не более 0,1 Дж и меньше, поэтому приводить их здесь не будем.
Следовательно, экспериментально и расчетами подтвержден тезис о том, что энергия толчка ноги при касании о поверхность гасится в опорной ноге благодаря наличию средних деформаций звеньев человека от времени. В дальнейшем при отталкивании запасенная энергия возвращается в энергию движения, т.е. происходит рекуперация энергии. Это объясняет, почему энергозатраты при ходьбе человека ниже, чем у антропоморфного робота.
Используем информацию, полученную экспериментально о внутренних усилиях для решения прямой задачи динамики.
Во второй главе решена обратная задача динамики: по известным кинематическим характеристикам определены усилия между подвижными деформируемым элементами стержневой биомеханической системы. Используя в механической модели в качестве управления движением информации, полученной от биологической системы решаем прямую задачу динамики: по известным усилиям определяем кинематические характеристики движения звеньев механизма. Подставляем в уравнения движения стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры моменты и находим зависимости углов, скоростей и ускорений.
Управление движением можно осуществить двумя методами:
1) В качестве моментов используем данные, полученные из кино грамм. Сопоставляя решение системы с исходными кинограммами, можно проверить корректность всей процедуры моделирования движения антро поморфных механизмов. Для такого сопоставления используем визуализа цию движений с помощью разработанной методики пиктографической ви зуализации движений. В принципе результаты решения системы могли не совпадать с исходными кинограммами из-за погрешностей численных рас четов. Получается хорошее совпадение, что свидетельствует о корректно сти проведенных исследований и достоверности полученных результатов.
2) Моменты задаются исходя из каких-то других соображений (прин ципа минимума энергии, результатов тензометрических измерений и т.д.).
Для проверки результатов, проведем расчет двух биомеханических систем. Были сопоставлены результаты экспериментов для мужской и женской походок. Была поставлена задача: насколько адекватно описывает полученная система уравнений различия походки по половым признакам. Исходя из этого, можно проверить систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику механической системы с деформируемыми элементами структуры на устойчивость к изменению параметров. Однако, в результате расчетов получается антропоморфное движение, идентичное мужской женской походке, следовательно процедура моделирования, предложенная в исследовании корректна. Таким образом, система чувствительна к изменению походки и тем самым доказана адекватность модели.
Во всех рассматриваемых далее случаях уравнения движения являются системой нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. В связи с большим размером и существенной нелинейностью системы уравнений, весьма сложно провести даже численный расчет процесса шага. Так из всех известных автору математических пакетов справился с этой задачей за приемлемое время только Mathematica 5.0. Параметры системы брались равными, соответствующим параметрам моделируемого человека. Задавались начальные условия, исходя из данных эксперимента в начале шага.
При численном решении системы дифференциальных уравнений время расчета на офисном компьютере с процессором Pentium составляет несколько часов. Причем, так как в процессе работы над диссертацией рассматривались системы и с меньшим количеством звеньев, то замечено, что добавление каждого нового звена, улучшающего аппроксимацию модели, в несколько раз повышало время расчетов. Поэтому для системы с 11-тью деформируемыми звеньями расчет проводился для одного периода шага. Так же погрешность расчетов с увеличением числа шагов возрастает.
В результате решения системы дифференциальных уравнений движения, полученной в первой главе, по найденным зависимостям углов от времени, создаются, анимационные модели движения. Приведем несколько кадров соответствующих анимационных пиктографических моделей движения (рис. 3.7).
