Введение к работе
Актуальность темы. В связи с исследованием экосистем мелководных прибрежных районов Мирового океана немаловажную роль играют волновые явления, происходящие на поверхности и в толще водной среды. Эти явления, как и любые природные явления, носят сложный, нелинейный характер. Следовательно, их прогнозирование и диагностика должна быть основана на применении нелинейных математических моделей реальных процессов.
Теория волновых движений жидкости является классическим разделом гидродинамики, и имеет трехсотлетнюю историю. Интерес к волновым явлениям на поверхности жидкости, можно объяснить достаточной распространенностью и доступность этого физического процесса. Несмотря на огромное количество исследований, теория волновых движений жидкости ещё остается не завершенной. В связи с этим актуальным является вопрос исследования и моделирования волновых явлений на поверхности мелководных акваторий, влияние поверхностных гравитационных волн на береговые образования и гидротехнические сооружения. Поэтому вопрос трехмерного моделирования распространения и рефракции нелинейных поверхностных волн может играть немаловажную роль для целей мониторинга и прогнозировании устойчивого развития экосистем этих районов. В нашем случае в качестве модели будут использованы гидрофизические условия Таганрогского залива Азовского моря.
Для дистанционной диагностики водной толщи прибрежных акваторий в настоящее время широко используются гидроакустические локационные системы на основе акустической параметрической антенны. При решении вопроса об анализе свойств неоднородностей водной среды, параметрические антенны, в отличие от линейных антенн имеют преимущество в широкополосности и уз-конаправленности, что является немаловажным для целей локации. Учитывая неоднородность реальных водных сред, в качестве рассеивателей рассматриваются взвеси и неоднородности водной среды, имеющие как биологическое, так и техногенное происхождение. Для оперативной передачи информации о подводной обстановке, могут быть использованы автономные радиогидроакустические системы в прибрежной зоне.
В данной работе представлены результаты исследований по изучению и моделированию динамики нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье и диагностике неоднородностей водной среды методами нелинейной акустики. Исследование и моделирование волновых явлений проведено на основе четырех нелинейных уравнений. Для их решения использованы приближенные аналитические и численные методы решения нелинейных уравнений гидродинамики и акустики. Аналитические методы решения нелинейных уравнений основаны на применении метода малого параметра. При численном решении нелинейных уравнений используется метод расщепления по физическим процессам.
Для исследования и моделирования динамики нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье использовано нелинейное уравнение (уравнение Кортевега и де Вриза без дисперсионного члена):
ди ди ди
\-с— = -ш— .
dt дх дх
Для точного описания нелинейных гравитационных волн на мелководье использованы нелинейные уравнения мелкой воды без дисперсии и диссипации:
dt дх
ди ди дС г, — + и — + g—^- = 0.
dt дх дх
Уравнения мелкой воды и уравнение Кортевега и де Вриза имеют точные аналитические решения. При распространении нелинейных поверхностных гравитационных волн по мелководью инварианты Римана и неизменность форм кноидальных волн не позволяют проследить за динамикой волнового процесса.
Для двумерного и трехмерного численного моделирования процесса набегания нелинейных поверхностных гравитационных волн на береговые склоны применяется уравнение Навье-Стокса:
д\ р— + /?(vV)v = -Vp + r/Ax . dt
Нелинейные волновые процессы при рассеянии взаимодействующих акустических волн на неоднородностях водной среды описаны нелинейным волновым уравнением для акустических волн:
1 д2 р є д2р2
с0 dt с0р0 dt
Нелинейное уравнение Кортевега и де Вриза (без дисперсионного члена) и нелинейное волновое уравнение были решены аналитически методом малого параметра. Для моделирования динамики нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье был использован метод расщепления по физическим процессам при численном решении уравнений мелкой воды в одномерном случае, в двумерном и трехмерном случае при решении уравнения Навье-Стокса.
Можно отметить также, что в случае волн малой амплитуды, существует полная аналогия между волнами мелкой воды и звуковыми волнами, волновое уравнение выглядит так же, как и уравнение для распространения звука.
Основная научная проблема. Исследования, представленные в диссертационной работе, посвящены решению фундаментальных проблем описания волновых явлений на поверхности прибрежных районов Мирового океана и диагностики неоднородностей его толщи методами математического моделирования.
Цель работы. На основе приближенных аналитических и численных методов решения нелинейных уравнений гидродинамики и акустики:
- в целях прогнозирования и мониторинга исследование и моделирование динамики нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье (без учета и с учетом дисперсии);
для корректного описания физического процесса разработка математической модели волновых процессов на мелководье с учетом турбулентного обмена, трения о дно и рельефа дна;
для моделирования нелинейных волновых явлений построение дискретной конечно-объемной модели исследуемой задачи, исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности;
разработка комплекса программ для построения двумерных и трехмерных моделей набегания поверхностных волн на береговые образования;
в целях диагностики толщи водной среды исследование и моделирование полей рассеяния нелинейных акустических волн на неоднородно-стях водной среды;
разработка комплекса программ для построения трехмерных моделей диаграмм рассеяния на неоднородностях водной среды поля акустического давления.
Методы исследования. Для решения нелинейных уравнений гидродинамики и акустики использованы приближенные аналитические и численные методы. Для расчета и моделирования волновых процессов были использованы современные методы вычислительной математики, специализированная программная среда MathCAD и язык программирования «C++».
Научная новизна. Положения и результаты, выносимые на защиту. Научная новизна заключается в постановке задач, в использованных методах решения и полученных результатах исследований. В диссертационной работе были получены следующие положения и результаты, выносимые на защиту:
предложен новый графоаналитический метод описания трансформации нелинейных поверхностных гравитационных волн при распространении на мелководье, с помощью которого получено аналитическое описание не только первичного заострения гребней волны, но и дальнейшего ук-ручения их переднего фронта;
с помощью предложенного графоаналитического метода разработана новая математическая модель, позволяющая описывать трехмерные процессы распространения и рефракции нелинейных поверхностных гравитационных волн в прибрежных акваториях с различной топографией дна, как без учета, так и с учетом дисперсии;
на основе разработанной модели и построенных алгоритмов создан комплекс программ для прогнозирования поведения поверхностных волн в прибрежных акваториях;
построены и реализованы, конечно-объемные модели наката поверхностных волн на основе расщепления уравнений Навье-Стокса, отличающиеся от известных большей адекватностью, и учитывающие такие параметры, как трехмерная топография дна и берега, трение о дно, турбулентный обмен, изменение уровня возвышения жидкости;
разработан программный комплекс, реализующий двумерные и трехмерные численные модели наката и обрушения поверхностных волн на береговых образованиях различной топографии, и позволяющий оценивать силовые воздействия на берегозащитные сооружения;
впервые получены приближенные аналитические решения нелинейного волнового уравнения методом малого параметра, описывающие процесс рассеяния нелинейных акустических волн на жестком цилиндре и на жестком вытянутом сфероиде;
разработан комплекс программ для решения нового класса задач по построению трехмерных моделей диаграмм рассеяния акустического давления волн вторичного поля на цилиндре и вытянутом сфероиде, позволяющие диагностировать неоднородности водной среды.
Научная и практическая значимость. Разработанные и полученные автором в диссертационной работе научные положения в совокупности можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в области моделирования нелинейных волновых явлений на поверхности и в толще мелководья на основе решения нелинейных уравнений гидродинамики и акустики.
Результаты аналитических и численных исследований по моделированию распространения и набегания нелинейных поверхностных гравитационных волн в условиях мелководных заливов могут быть использованы для мониторинга и прогнозирования волновых явлений, воздействия их на процесс транспорта наносов и взвешенного вещества.
Результаты трехмерного численного моделирования распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн в условиях мелководья могут быть использованы для оценки силового воздействия на берегозащитные сооружения, также для обнаружения выступов подводного рельефа, береговых рифов на основе волновой картины на поверхности акватории.
Результаты аналитических исследований по рассеянию нелинейных акустических волн на цилиндрических и сфероидальных рассеивателях могут быть использованы при дистанционной диагностике неоднородностей водной среды. Они могут быть применены в дефектоскопии и медицинской томографии.
Разработанные в диссертационной работе аналитические и численные модели могут быть также использованы для описания нелинейных волновых явлений в следующих областях: ионно-звуковые волны в холодной плазме, продольные волны в упругих стержнях, течение вязкого газа в аэродинамике, рассеяние электромагнитных волн на телах различной проводимости.
Результаты диссертационной работы могут быть использованы в учебном процессе, в научно-исследовательской деятельности студентов и аспирантов при изучении нелинейных волновых явлений в механике сплошных сред.
Результаты диссертационной работы использованы:
- в исследовательском проекте Министерства образования Российской Фе
дерации и Американского фонда гражданских исследований и развития CRDF
REC-004 «Научно-образовательный эколого-аналитический центр системных
исследований, математического моделирования и геоэкологической безопасно
сти Юга России» Таганрогского технологического института ЮФУ в 1999 -
2003 гг., автор был победителем конкурса научно-исследовательских работ мо
лодых ученых в области математического моделирования экосистем в рамках
проекта;
в междисциплинарном гранте «Интеграция научной и образовательной деятельности в рамках проведения исследований по приоритетным научным направлениям» и в инновационных научно-образовательных проектах Программы развития Южного федерального университета на 2007-2011 годы;
в конструкторском бюро морской электроники «Вектор» (г. Таганрог) в разработке морских и гидроакустических тренажеров, при имитации волнения водной поверхности в системе трехмерной визуализации надводной и подводной обстановки навигационно-промыслового тренажера, в разработке панорамного эхолота-видеоплоттера ПЭВ-К с параметрическим трактом для поиска подводных объектов искусственного и естественного происхождения;
в Высокогорном геофизическом институте (г. Нальчик) в рамках выполнения федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы» для моделирования гидродинамических селевых процессов, в научно-образовательном центре института при подготовке магистров по специальности «Геофизика и физика околоземного пространства»;
в учебном процессе кафедры высшей математики Таганрогского технологического института ЮФУ при подготовке магистров по направлению 010400 «Прикладная математика и информатика» в дисциплинах «Математические модели природных систем» и «Нелинейные модели в курсе механики сплошных сред».
Акты использования результатов диссертационной работы в исследовательских проектах, в учебном процессе и в промышленных предприятиях приведены в приложении.
Достоверность и обоснованность результатов. Обоснованность научных положений вытекает из того, что исследования проводились с использованием классических методов решения нелинейных уравнений математической физики, а также современных методов вычислительной математики. Достоверность полученных теоретических результатов обеспечивается сравнением их с данными натурных исследований и численных экспериментов, известными в литературе.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на международных конференциях:
- International Conference Advances in Fluid Mechanics-2000. Montreal. Canada. 2000; II международная конференция стран СНГ «Молодые ученые-науке, технологиям и профессиональному образованию для устойчивого развития: проблемы и новые решения». Москва. 2000; Fifth International Conference on Coastal Engineering. Rhodes, Greece. 2001; IV международная научно-техническая конференция «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов». Ульяновск. УлГУ. 2001; VI International Congress on Mathematical Modeling. Nizhny Novgorod, University of Nizhny Novgorod. 2004; международная научная конференция «Мониторинг окружающей среды». Российская академия естествознания. Рим, Италия. 2010; XII международная конференция по математическому моделированию МКММ-2011, Херсонский национальный технический университет, Херсон. 2011; XX
Международная конференция «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», НИИ механики МГУ, Москва, 2012. На всероссийских конференциях и школах-семинарах:
- I всероссийская научно-практическая конференция «Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях» (ИАМП-2000). Алтайский гос. техн. унив., Бийск. 2000; всероссийская научная конференция с международным участием «Экология 2000-море и человек». Таганрог. 2000; III научная конференция по гидроавиации «Гидроавиасалон-2000». Центральный аэрогидр, институт им. Н.Е. Жуковского (ЦАГИ). Москва. 2000; IX, X научная школа-семинар Л.М. Бреховских "Акустика океана", Москва, АКИН. 2002, 2004; всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение». Институт гидродинамики. Новосибирск. 2004; XVIII сессия Российского акустического общества. Таганрог. 2006; IV, V всероссийские конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова. УрО РАН, Абрау-Дюрсо. 2008, 2010; XII, XIII, XIV всероссийские конференции-семинары с международным участием «Современные проблемы математического моделирования». Абрау-Дюрсо. ЮГИНФО ЮФУ. 2007, 2009, 2011.
Результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах: кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2004, 2010, 2011); кафедры электрогидроакустической и медицинской техники ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2009); лаборатории шельфа и морских берегов Института океанологии им. П.П. Ширшова РАН (Москва, 2009); отделения гидрофизики и гидроакустики Института прикладной физики РАН (Нижний Новгород, 2010); Южно-Российского регионального центра информатизации ЮФУ (Ростов на-Дону, 2010), конструкторского бюро морской электроники «Вектор» (Таганрог, 2012).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 41 работа, из них: две монографии в издательстве «Физматлит»; глава в монографии, изданной за рубежом; 17 статей с основными результатами диссертации в ведущих рецензируемых научных журналах рекомендованных ВАК; в том числе две - в зарубежных журналах.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 289 наименований и приложения. Объем диссертации составляет 340 стр., в том числе 113 рисунка. В приложении представлены алгоритмы разработанных программ и акты использования результатов диссертационной работы.
