Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Решение больших систем нелинейных уравнений возникающих в задачах гидравлики 18
1.1. Законы гидравлических сопротивлений 18
1.2. Математическая модель распределения потоков 20
1.3. Корректность постановки задач гидравлического расчета 25
1.4. Система нелинейных уравнений для задачи определения распределения потоков 26
1.5. Доказательство единственности решения системы уравнений применительно к гидравлической задаче установившегося течения жидкости в трубах ...27
1.6. Метод последовательных приближений 30
1.7. Улучшение метода последовательных приближений 31
1.8. Эквивалентность модифицированного метода последовательных приближений и метода Ньютона 34
1.9. Выбор начального приближения 37
1.10. Эффективная реализация модифицированного метода последовательных приближений 37
1.11. Алгоритм модифицированного метода последовательных приближений , 45
1.12. Оценка обусловленности системы уравнений 46
1.13. О сходимости модифицированного метода последовательных приближений 49
1.14. Исследование и оценка эффективности полученного метода 51
1.15. Расчет потокораспределения в сетях с регуляторами расхода и давления 65
1.16. Процедуры для получения функций регуляторов расхода, давления и обратных клапанов , 67
1.17. Применение модифицированного метода последовательных приближений для расчета существующих трубопроводных сетей 72
Глава 2. Уточнение коэффициентов сопротивления по результатам ограниченного числа измерений 74
2.1. Определение коэффициентов сопротивлений при наличии датчиков давления во всех узлах системы 75
2.2. Постановка общей задачи уточнения коэффициентов сопротивления, при наличии ограниченного количества датчиков давления и датчиков расхода 79
2.3. Алгоритм выбора системы нелинейных уравнений для датчиков давления 82
2.4. Ограничения задачи.. 83
2.5. Методы решения системы в общем случае 84
2.6. Метод решения системы нелинейных уравнений в случае расчета сетей с минимальным количеством дополнительных данных 86
2.7. Определение зависимости расположения и требуемого количества датчиков расхода и давления от количества известных режимов работы 89
2.8. Уменьшение размерности задачи 92
2.9. Методы статистических испытаний гидравлической модели 93
Глава 3. Регулирование распределения потоков в тепловых сетях 96
3.1. Регулирование отпуска тепла привилегированным потребителям 96
3.2. Применение метода последовательных приближений для определения активных сопротивлений, обеспечивающих требуемый расход 98
3.3. Доказательство единственности решения системы уравнений применительно к задаче определения активных сопротивлений 100
3.4. Определение функции одновременного постепенного изменения активных сопротивлений для обеспечения плавного изменения распределения потоков 104
Заключение 108
Библиография
- Корректность постановки задач гидравлического расчета
- Улучшение метода последовательных приближений
- Постановка общей задачи уточнения коэффициентов сопротивления, при наличии ограниченного количества датчиков давления и датчиков расхода
- Применение метода последовательных приближений для определения активных сопротивлений, обеспечивающих требуемый расход
Введение к работе
Моделирование гидравлических сетей, является важной задачей в процессе проектирования, наладки сложных трубопроводов, а также при управлении существующими гидравлическими системами. В данной работе рассматриваются вопросы расчета тепловых, водопроводных сетей и нефтепроводов. В силу возрастающей сложности реальных объектов и постепенного перехода от задач технологического проектирования к задачам эффективного управления гидравлическими сетями, постоянно требуется совершенствование старых и разработка новьгх методов их моделирования и расчета.
Методы моделирования и расчета трубопроводных систем во многом схожи с методами моделирования электрических систем, в силу того, что основываются на общих законах. Но трубопроводные системы - это сложные динамические системы, характеристики которых во время работы постоянно меняются по заранее неизвестному закону. В отличие от электроэнергетических систем, чьи эксплуатационные (фактические) параметры гораздо в меньшей степени отличаются от проектных, а нагрузки, напряжения и другие характеристики измеряются довольно точно, для трубопроводных сетей коэффициенты гидравлического сопротивления, а также и расходы на ветвях и у потребителей известны в основном очень приближенно.
Значения коэффициентов сопротивления участков из-за дефектов строительства или отклонений в процессе эксплуатации трубопроводных сетей (из-за коррозии труб, накипеобразования, появления новых местных сопротивлений, завалов, засоров и пр.), претерпевают значительные изменения и существенно отличаются от проектных данных и фактически являются неизвестными величинами. Следствие этого, неправильное их задание в уравнениях для решения прямой задачи распределения потоков,
что вместе с неточным знанием нагрузок приводит к большим, часто недопустимым погрешностям в рассчитываемом распределении потоков. Поэтому возникает необходимость в решении не только прямых, но и обратных задач, в частности задачи уточнения коэффициентов сопротивления участков трубопроводных сетей.
Еще более актуальной данная задача становится в рамках перехода от задач проектирования трубопроводных систем к задачам эффективного управления, поскольку огромное количество гидравлических сетей уже построено и эксплуатируется. При этом на первый план выходят более сложные задачи эффективного управления существующими трубопроводными сетями.
Основной задачей исследования является разработка эффективных алгоритмов и методов расчета больших трубопроводных систем, позволяющих решать задачи проектирования и управления большими гидравлическими сетями, а также решение обратных задач идентификации объектов, позволяющих повысить адекватность математической модели, а, следовательно, точность моделирования.
Современные трубопроводные сети: нефтепроводы, тепловые, водопроводные сети представляют собой сложные инженерные сооружения, состоящие из большого количества соединенных разными способами участков труб.
Рас-єтиоя схемо
6-й Тепловой роион
ТЭО-5
О Установлены и робоююі ПУ W Саепоиы Ьре-зии под ПУ
Рис. 1. Пример тепловой сети. Омск. 6-й тепловой район.
* р bi^
Рис. 2. Пример тепловой сети. Новосибирск. Академ городок.
Ачинский НПЗ
Рис. 3. Пример сложного нефтепровода. ОАО «Транссибнефть».
Основной особенностью моделей описывающих такие сети является большая размерность. Дополнительной трудностью при моделировании трубопроводных систем, является то, что системы уравнений, возникающие в задачах расчета, как правило, нелинейны.
Для моделирования течения жидкости в трубах было разработано множество алгоритмов. Многие алгоритмы, придуманные еще в начале двадцатого века, и использующиеся для ручного счета утратили свою актуальность, но многие, получив соответствующую переработку, используются до сих пор.
Одной из главных задач расчета гидравлических сетей, является задача определения распределения потоков на участках сети, а также задача определения давлений в узлах.
К основным методам решения задачи определения стационарного распределения жидкости по трубам относят итеративные, так называемые "увязочные" методы. «Увязка» сети с заданными сопротивлениями, нагрузками и действующими напорами имеет своей целью найти такие значения расходов на всех участках и давлений в узлах, которые с наперед заданной точностью удовлетворяли бы обоим законам Кирхгофа.
Например, увязка напоров в кольцах сети осуществляется путем циклического выполнения следующих операций;
По данным о нагрузках (расходах у потребителей) выбирается произвольное начальное приближение для расходов на всех участках так, чтобы первый закон Кирхгофа (материальный баланс) соблюдался во всех узлах схемы.
По этим расходам и данным о гидравлических сопротивлениях вычисляются потери давления (напоры) на участках и суммарные невязки напоров во всех независимых контурах.
Для каждого контура ищется так называемый увязочный расход, отвечающий невязке напора.
Полученные увязочные расходы поконтурно «проводятся» по всем участкам: алгебраически суммируются с расходами, принятыми в начальном приближении (или на предыдущей итерации). Новые расходы используются в качестве очередного приближения для следующей итерации и т. д. (см. п.2). Расчет прерывается, когда невязки напоров в любом из контуров перестают превышать заданное значение.
Для вычисления увязочного расхода Ахс по даЕШьш о невязке напора
]>] sft в контуре В. Г. Лобачевым была предложена известная формула
Аналогичная формула, широко цитируемая в зарубежной литературе, была дана и Харди Кроссом. При работе труб в неквадратичной области,
если потери напора определялись непосредственно по формуле ht = spcf,
может быть использована формула
I>,*/
*"ллї?* (2)
Более подробно данные методы описаны в работе [1].
Необходимо заметить, что использование этих формул связано с большим количеством вычислений. Для контуров, имеющих малоразнящиеся величины длин и диаметров отдельных участков, М. М. Андрияшев, предложил определять величины увязочных расходов по приближенной формуле
Ахс =-~—, где ДА- невязки в контуре, ^]й- сумма абсолютных величин 22] h
потери напора в контуре, q - средняя величина расхода для всех входящих в
контур участков. Правда, в отличие от других упомянутых методов увязки сетей способ Андрияшева предназначен для проведения расчетов вручную. Использование метода для расчета сетей на ЭВМ затрудняется тем, что основная задача - выбор наивыгоднейшей системы (набора) контуров увязки производится интуитивно проектировщиком.
Эти доступные для ручного счета итеративные методы в некоторых случаях приводят к очень медленной сходимости, а иногда вообще не действуют. Пока дело ограничивалось расчетами относительно простых кольцевых сетей трубопроводов с плоскими схемами соединений, имеющих соизмеримые сопротивления отдельных участков и заданные производительности источников питания, такие случаи были редкими. С использованием же ЭВМ, при расчетах все более сложных схем, такие случаи стали выявляться все чаще. В связи с этим стали широко обсуждаться различные модификации увязочных методов. Однако для того, чтобы выяснить предпочтительность той или иной вычислительной процедуры в каждом конкретном случае и, в частности, оценить области применения указанных предложений, необходимо было разобраться в математической сущности применяемых методов, их связи с известными
численными методами решения систем нелинейных алгебраических уравнений и методами преобразования линейных электрических цепей.
Математическая характеристика увязочных методов заключается в том, что каждый из них представляет лишь один из возможных вариантов применения обобщенных методов расчета нелинейных гидравлических цепей, названных (по аналогии с известными электротехническими методами расчета линейных цепей) методом контурных расходов (МКР) и методом узловых давлений (МД). Метод контурных расходов и метод узловых давлений достаточно подробно освещены в работе [62]. Как показано в этой же работе, метод контурных расходов имеет более широкую область сходимости, чем метод узловых давлений и для большинства задач является более предпочтительным, поэтому в работе отдельно производится сравнение предлагаемых методов именно с методом контурных расходов.
МКР - аналог известного метода контурных токов для расчета линейных электрических цепей в сочетании с методом Ньютона [17, 62] для решения системы нелинейных алгебраических уравнений.
Обобщенный метод контурных расходов представляет собой сочетание метода Ньютона - Рафсона с преобразованиями Максвелла, т. е. с преобразованиями переменных к контурным величинам и формированием симметрических матриц на каждом шаге ньютоновского процесса. В результате вычислительная процедура расчета потокораспределения в нелинейной цепи заключается, главным образом, в многократном решении систем линейных уравнений с симметрической матрицей k-го порядка, где к - количество линейно независимых контуров. Аналогично реализация МД приводит к многократному решению систем (т—1)-го порядка, где т — количество узлов в системе. Современная вычислительная математика располагает обширным арсеналом методов решения систем линейных уравнений, которые достаточно эффективно могут быть использованы для этих целей. В зависимости от принятого метода решения системы линейных
уравнений на каждой итерации получаем тот или иной вариант реализации МКРилиМД.
Однако, основным и существенным недостатком этих методов является то, что скорость сходимости в этих методах зависит от начального приближения, степени преобладания коэффициентов, относящихся к контурным расходам, над коэффициентами для остальных участков и, следовательно, от выбора системы независимых контуров.
Т.о. получаем, что данные алгоритмы решения в реальности ограничены числом неизвестных не превосходящих 300. Подобные ограничения вызваны методом Ньютона, - оказывается, что потребная точность задания начального приближения очень высока и при увеличении размерности выбор начального приближения не отличается от собственно решения в пределах потребных для практики.
Поэтому возникает необходимость в получение алгоритма, позволяющего эффективно решать большие системы нелинейных уравнений в задачах гидравлического расчета трубопроводных систем. Основным критерием к алгоритму является его надежность и широкая область сходимости, т.е. возможность решать нелинейные системы с большим количеством уравнений в реальном времени, т.е. времени необходимым для принятия решений. Количество участков для современных систем, зачастую переваливает за десятки тысяч. Кроме того, наличие стабильно работающих методов расчета, не требующих начального приближения, внедренных в автоматизированные программные комплексы, позволит инженерам не вникать в технические особенности используемых алгоритмов.
Т.к. вопросы математического описания и расчета электротехнических и гидравлических систем имеют несомненную общность ряда исходных физико-математических положений, то и для решения задач в этих двух областях возможно применений общих, или схожих алгоритмов. Поэтому ставится задача определить возможность использования полученных
алгоритмов для расчета не только гидравлических сетей, но и электрических цепей.
В работе для расчета гидравлических сетей за основу был взят метод последовательных приближений, предложенный в работе [19], который является, по сути, методом простой итерации с инерцией. Основным достоинством данного метода является широкая область сходимости и отсутствие необходимости задания начального приближения.
В работе предлагается модификация метода последовательных приближений, позволившая значительно уменьшить количество итераций метода, обеспечить более высокую точность вычислений. Кроме того, метод был адаптирован для решения задачи определения распределения потоков для произвольного закона гидравлического сопротивления. Метод обладает широкой областью сходимости, позволяет проводить расчет потокораспределения для неплоских схем, систем с регуляторами расхода и давления и не требует задания начального приближения. Также рассматривается возможность применения данного метода в задачах расчета электрических цепей специального вида с большим количеством элементов.
Далее в работе рассматриваются более сложные, в вычислительном плане, задачи - задачи идентификации трубопроводных сетей.
В большинстве своем, одним из главных результатов расчета программ моделирования гидравлических сетей является распределение потоков в трубопроводных сетях. Т.е. производится определение расходов на участках сети, при условии, что сопротивления участков, напоры на участках и отборы в узлах заданы. Но, в процессе эксплуатации трубопроводной сети, сопротивления участков меняются (например, вследствие образования отложений на стенках труб, что ведет к уменьшению их диаметра и увеличению сопротивления). Таким образом, для повышения адекватности модели необходимо уточнять значения сопротивлений. Это приводит к необходимости решения обратной задачи, задачи уточнения коэффициентов сопротивления участков сложного трубопровода. Причем эта задача
наиболее интересна в плане нахождения сопротивления одновременно для всех участков сети, либо для какой-то ее части, при условии наличия лишь ограниченного количества датчиков (расхода или давления) в некоторых участках сети. Определив участки с повышенным сопротивлением можно эффективно производить ремонт трубопроводов, а также получить более адекватную модель трубопровода, позволяющую более точно моделировать процессы, происходящие в сети и, в конечном счете, решать задачу управления трубопроводными сетями.
Классический подход [2,3] к проблеме учета увеличения сопротивлений труб в процессе эксплуатации связан с выводом неких эмпирических формул на изменение коэффициента сопротивления в зависимости от времени. Причем формулы и их коэффициенты, как правило, зависят от материалов стенок труб, свойств перекачиваемой жидкости, интенсивности потоков и пр.
Увеличение шероховатости трубопроводов в процессе их эксплуатации в первом приближении оценивается по формуле
kt = kQ + at, (3)
где k0 - абсолютная эквивалентная шероховатость в мм для новых труб(в начале эксплуатации);
kt - абсолютная эквивалентная шероховатость через t лет
эксплуатации;
а - коэффициент, характеризующий быстроту возрастания шероховатости, в мм/год.
Значение коэффициента а зависит от материала труб и свойств жидкости. Как правило, существуют таблицы испытаний, исходя из которых, для различных физико-химических свойств жидкости определяется а. Значения коэффициента а возрастает с уменьшением диаметра трубопровода.
Недостатки этого подхода очевидны. Во-первых, используются сильно приближенные формулы для расчета коэффициентов шероховатостей, а
следовательно и коэффициентов сопротивлений. Во-вторых, требуется знание истории эксплуатации трубопровода, где и какие проложены трубы, когда и каких участков производился ремонт или замена. Часто такие данные утеряны и не представляется возможным восстановить картину эксплуатации трубопроводов. Перечисленные и другие недостатки требуют разработки иного, более комплексного, подхода к проблеме определения реальных коэффициентов сопротивлений.
В работе предлагается альтернативный подход, который позволяет уточнять коэффициенты сопротивления одновременно на всех участках сети при наличии определенного количества датчиков расхода и давления на некоторых участках, а также при нескольких известных режимах работы. Предлагается математическая модель и методы ее решения.
Еще одним важным классом задач расчета гидравлических сетей являются задачи управления. В работе рассматривается задача количественного регулирования распределения потоков в тепловых сетях. Данная задача возникла в рамках программы энергосбережения СОРАН при внедрении программы расчета тепловых сетей для Новосибирского академгородка.
В настоящее время регулирование отпуска тепловой энергии производится в основном на источниках тепла - ТЭЦ, котельных. В зависимости от погодных условий устанавливаются режимы работы тепловой сети. Например, различные режимы при температуре наружного воздуха от 8 С до О С, от О С до -8 С, от -8 С до -39С. Более точное регулирование применяется довольно редко. Причем регулирование теплового режима происходит за счет изменения температуры теплоносителя. Т.о. осуществляется качественное регулирование. Но зачастую этих режимов недостаточно, особенно в периоды кратковременных резких изменений температур. Как правило, в этом случае ТЭЦ не меняют своих тепловых режимов. Т.о. требуется более качественное регулирование подачи тепла потребителям по крайней мере некоторым привилегированным
потребителям, для которых необходимо поддерживать постоянный температурный режим (больницы, родильные дома, отдельные технологические производства). Согласно предложению профессора Серова А.Ф.(ИТФ СОР АН), осуществление такого регулирования возможно за счет количественного регулирования, путем изменения расходов на участках сети. Для изменения теплового потока на объектах потребителей могут использоваться регуляторы расхода, или дополнительные подпорные насосы. Своевременное изменение расхода на привилегированных потребителях позволяет поддерживать на их объектах постоянную температуру при неизменном режиме работы ТЭЦ, котельной. При этом возникает задача эффективного управления раздачей тепла потребителям.
Таким образом, ставится задача определить требуемые активные сопротивления (сопротивления регуляторов расхода) привилегированных участков, затем попытаться установить функцию последовательного изменения активных сопротивлений для того, чтобы переход в новый режим происходил как можно более гладко. Кроме того, требуется определить расходы и, соответственно, распределение тепла для остальных потребителей и участков сети.
В рамках решения этой задачи был разработан метод вычисления сопротивлений регуляторов, а также определения функций одновременного изменения активных сопротивлений на нескольких участках для обеспечения плавного перехода между режимами работы гидравлической сети.
Материал диссертации расположен следующим образом.
В главе 1 производится постановка задачи определения
установившегося потокораспределения в гидравлических сетях. Доказывается единственность определения распределения потоков для произвольного закона гидравлического сопротивления при использовании модулей в нелинейных уравнениях. Предлагается алгоритм определения распределения потоков, а также его эффективная реализация, базирующаяся
на отношениях между матрицей соединений участков графа сети и матрицей контуров. Рассматриваются вопросы сходимости предложенного метода и обусловленности задачи определения установившегося распределения потоков. Теоретически доказывается, что предложенный метод после определенной итерации эквивалентен методу Ньютона, что дает ему высокую скорость сходимости близкую к квадратичной.
В главе 2 производится постановка задачи для общей задачи уточнения коэффициентов сопротивления, при наличии лишь ограниченного количества датчиков. Показываются ограничения данной задачи и выводится зависимость количества режимов необходимых для решения системы уравнений от количества датчиков. Предлагаются методы решения данной задачи в общем случае и в случае когда количество уравнений немногим превышает количество неизвестных(что характерно для расчета тепловых сетей).
В главе 3 рассматривается задача управления, задача перераспределения тепла между потребителями тепловой сети. Предлагается метод для определения активных сопротивлений привилегированных участков и определения соответствующего им распределения потоков. Доказывается единственность определения активных сопротивлений. Кроме того, предлагается методика одновременного изменения активных сопротивлений, при котором переход между режимами осуществляется наиболее плавно.
В заключении содержаться основные выводы работы. Основные результаты диссертации:
1. Предложена модификация метода последовательных приближений, позволившая значительно уменьшить количество итераций метода, обеспечить более высокую точность вычислений. Кроме того, метод был адаптирован для решения задачи определения распределения потоков для произвольного закона гидравлического сопротивления. Доказана
единственность определения распределения потоков для произвольного закона гидравлического сопротивления при использовании модулей в нелинейных уравнениях.
Рассмотрена задача уточнения коэффициентов сопротивления при наличии ограниченного количества датчиков. Предложен метод решения задачи в общем случае, когда в сети одновременно имеются датчики давления и расхода.
Разработан метод вычисления функции одновременного изменения активных сопротивлений для обеспечения плавного перехода между режимами работы гидравлической сети.
Разработанные методы и алгоритмы реализованы в программном комплексе расчета тепловых сетей внедряемом для расчета тепловых сетей Новосибирского академического городка в рамках проекта "Энергосбережение СОР АН51.
По материалам настоящей работы опубликованы шесть статей[38-43]. Результаты докладывались на 36-й Региональной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург,УрО РАН), на XLIII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск)> на семинаре в институте гидродинамики им. Лаврентьева (Новосибирск), на семинаре «Физическая гидродинамика» института теплофизики им. Кутателадзе (Новосибирск).
В заключение автор выражает особую благодарность научному руководителю Р.Т. Файзуллину за постоянное внимание к работе.
Корректность постановки задач гидравлического расчета
В общем виде, система уравнений применительно к задаче определения неизвестных стационарных значений расходов по трубам в случае неквадратичного закона гидравлического сопротивления выглядит следующим образом: anxl+... + alnxn=ql, ak\x\ + — + акпхп Як ьш i i I i IA_1 I + « + h+Xnsn \ х„ A_I xn=hx, K\s\ I i IА"1 I + + bmsH x„ A_1 X„ = hn_k, где x{ - расход по /-ой трубе; коэффициенты a ,by =1,-1,0 определяются по первому или второму закону Кирхгофа. Для первого закона Кирхгофа втекающий в узел поток привносит коэффициент, равный единице; вытекающему потоку отвечает коэффициент, равный минус единице. Для второго закона Кирхгофа и для нелинейных уравнений b(J равен +1,-1 (в зависимости от направления обхода), если j-n участок входит в цикл соответствующий і-му нелинейному уравнению, либо b(j = 0. h{ - сумма действующих напоров с учетом знака по всем дугам /-го контура. qt- приток, или отбор в узле, fij- степень в законе зависимости величины напора от значения расхода. Запишем систему уравнений в векторном виде: F{X)x = Gy (1.24)
Рассмотрим вопрос единственности решения данной системы уравнений при заранее известной структуре и заданных напорах и отборах.
Пусть имеем систему нелинейных уравнений (1.24), описывающую установившееся течение жидкости в трубах для закона гидравлического сопротивления представленного в виде (1.10), где степень р меняется в рамках гидравлической задачи, т.е. в пределах от 1 до 2-х. Пусть данная система построена с использованием матрицы связности графа системы и матрицы контуров, как показано выше. Тогда верны следующие утверждения.
Лемма: Пусть х — вектор решения системы нелинейных уравнений (1.24), составленной для задачи определения расходов, такой, что каждая компонента хj неравна нулю, F(x) —матрица системы уравнений, тогда матрица F(x) не вырожденно.
Доказательство: Пусть существует некоторый нетривиальный вектор z, на котором достигается равенство F(x)z = Q. Обозначим модульх( черезХг Рассмотрим произвольное слагаемое в нелинейном уравнении относительно расходов ctiXf Zj, at -b Sf. Можно записать Xi =yfZ( тогда нелинейное слагаемое примет вид a ylY zf z Т.е. мы получили систему B(z)z = 0. Данная система уравнений имеет ту же структуру и описывает течение в конфигурации труб при нулевом напоре, не нулевых сопротивлениях й,-(у(-) и не нулевых расходах z.t, что противоречит законам сохранения, на основании которых были выведены и которым удовлетворяют уравнения.
Покажем противоречие. Рассмотрим произвольную дугу направленного графа полученной системы, имеющую не нулевой расход zik. Далее рассмотрим узел графа в который данная дуга входит (рис 1.3).
Исходя из первого закона Кирхгофа, или, что то же самое, из уравнения в линейной части системы, соответствующего данному узлу, существует дуга графа, выходящая из данного узла, которая имеет не нулевой, положительный расход zik+x. Далее берем узел, смежный по этой дуге. Опять из этого узла выходит хотя бы одна дуга, имеющая ненулевой положительный расход. Получаем следующий узел, смежный по новой дуге. Таким образом, обходим граф и, в конце концов, получим замкнутый цикл, причем в нелинейном уравнении составленном для этого цикла, все слагаемые положительны и не нулевые, а правая часть равна нулю, что следует из системы B(z)z = Q (т.к. данный цикл может быть получен линейной комбинацией уравнений системы, а правая часть всех уравнений равна 0). Пришли к противоречию. о Теорема: Пусть х — вектор решения системы нелинейных уравненищ 1.24), составленной для задачи определения расходов, такой, что каждая компонента х{ не равна нулю, F(x) — матрица системы уравнений, тогда он единственный вектор решения задачи F(x)x=G.
Доказательство: Пусть х, у — два различных решения системы. Тогда рассмотрим разность F(x)x-F(y)y=0. Для линейной части матрицы А можно сразу записать А(х-у)-0. Покажем, что нелинейную часть матрицы можно привести к виду В{х_у) (х - у) = 0.
Улучшение метода последовательных приближений
Численные эксперименты показывают, что модифицированный метод последовательных приближении сходится при достаточно произвольном выборе начального приближения. Но возможно сэкономить несколько итераций, если при выборе начального приближения руководствоваться следующим правилом.
Начальное приближение можно выбрать, решив систему с xf = I, что соответствует решению задачи определения потокораспределения для ламинарного режима течения жидкости. Кроме того, в случае квадратичного, или близкого к квадратичному, закона гидравлического сопротивления, замена получившихся xj на sign(x])yj\xj[ позволит улучшить начальное приближение.
Целесообразность подобного выбора начального приближения показывается в работе [64], на основе рассмотрения геометрических интерпретаций модели.
Для эффективной реализации модифицированного метода последовательных приближений полезен учет свойств матриц соединений и матриц контуров.
Рассмотрим сеть, имеющую п участков (ветвей), т узлов (вершин), к линейно независимых контуров {к=п-т+1).
Для полноты картины заметим, что построение линейно независимых циклов для второго уравнения Кирхгофа можно осуществить, например, при помощи построения остовного дерева графа гидравлической системы. Построение остовного дерева можно осуществить с помощью алгоритма Краскала[56].
Т.о., на схеме выделяется некоторое дерево, связывающее все ее т узлов. В результате все участки разобьются на (т-1) участков дерева и к участков, не вошедших в это дерево, которые называются хордами. Каждая хорда замыкает какую-то последовательность участков дерева и однозначно определяет контур, который фиксируется соответствующей строкой матрицы В.
Перенумеруем переменные хп т.о. чтобы хорды оказались в конце матрицы. Т.е. х = (хд,хК), хд-(х]1,.. хт_1) - расходы на участках дерева, хк - (хт ,..,хп) - расходы на хордах.
Если за направление обхода контура взять направление хорды, и т.к. каждая хорда входит только в один цикл, матрицу контуров В можно записать в следующем виде: Т.о. Adxd+AKxK=Q, (1.41) следовательно xd=Ajl(Q-AKxK), (1.42) причем матрица А 1, обратная к Д , здесь всегда существует, поскольку в случае графа-дерева его матрица соединений(без последней строки) будет иметь определитель отличный от нуля, т.е. будет неособенной [8].
Далее выявим связь между матрицами соединений и контуров, т.е. А и В. Рассмотрим однородную систему уравнений первого закона Кирхгофа Ах О (1.43) и покажем, что любая строка матрицы В является ее решением. Действительно, пусть a] ={ajX,...,aJn) - j -я строка A(J = 1,..., т -1), a bj (brlt„.tbm) - г-я строка В(г = 1,...,&), где элементы д 7 и bri{i = \,...,n) принимают значения 0,1 и -1(как это описано выше). В случае, когда контур г не проходит через узел j, ненулевые элементы aJ{ и bri, имеют обязательно различные номера / и, потому, скалярное произведение aTjbr = 0. Если же, простой контур г проходит через узел j, то ему могут принадлежать лишь две ветви /, и /2, инцидентные данному узлу, и только для них одновременно не равны нулю соответствующие элементы Яу, и bri, так что скалярное произведение фактически будет сводиться к сумме двух слагаемых: а; br =а - b. + a,-.- bri (1.44) Как видно из рисунка (1.6), в любом случае прохождения контура через узел j произведения в правой части (1.44) обязательно имеют разные знаки, так что их сумма равна 0 и потому всегда а Т,ЪГ - 0.
Постановка общей задачи уточнения коэффициентов сопротивления, при наличии ограниченного количества датчиков давления и датчиков расхода
Вообще говоря, в существующих трубопроводных сетях, например в тепловых, практически невозможно встретить случая, чтобы манометры стояли во всех узлах сети. Т.о. возникает необходимость применять более общий подход. Будем рассматривать трубопроводную систему в которой присутствует несколько датчиков расхода и достаточно много (но не в каждом узле) датчиков давления. Причем заметим, что в существующих трубопроводных сетях, мы не можем проводить гидравлические испытания, так как нам хочется, для получения различных гидравлических режимов. Но можем пользоваться статистикой, накапливаемой во время работы трубопроводной сети. Это приводит нас также к ограничению на количество различных режимов, которые нам необходимы, для вычисления коэффициентов сопротивления, как показано выше.
Итак, рассмотрим гидравлическую сеть. Предположим, что на некоторых участках сети имеются датчики давления—манометры и датчики расхода. Будем считать, что реализуются несколько различных режимов работы трубопровода, для которых известны давления в узлах с манометрами и расходы на участках с датчиками расхода, напоры в активных ветвях и, также, известны отборы, притоки в сети.
Кроме того, имеются некоторые приближенные значения коэффициентов сопротивления (например, вычисленные исходя из заводских характеристик труб, узлов и геометрии линейных участков трубопровода).
Требуется определить действительные значения коэффициентов сопротивления. Для наглядности выпишем снова систему уравнений Кирхгофа (1.23) для расчета установившегося потокораспределения: Cj + .-.+c, -qy, (2.9) скХххЛ-...+скпхп -qk, ck+\\s\ \х\\ х\ +—+ck+\nsn \хп\ xn-h\i Сл151 I Х\ I Х1+ — + Спп5п \Хп\ Хп л- будем подразумевать /5 постоянной для всех участков, что, как правило, и бывает в случае расчета тепловой, водопроводной сети или нефтепровода.
Для каждой пары датчиков давления (PU,PV) выберем один простой путь из узла ИВУ, при этом сумма падений напоров вдоль пути равна: Y,CJSJ і xj f Xj = A _ A. + c Hj , (2.10) J PS PS j где с j равно +1,-1 в соответствии с направлением обхода, // - приложенный напор на j-м участке, PU,PV - измеренные давления в узлах и в v соответственно, р - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения. р р Введем обозначение ДА, = + У\с:Н,, t - номер пути. PS PS ) }
Можно показать, что количество уравнений для датчиков (2Л0), которое необходимо добавить к системе уравнений Кирхгофа (2.9) при том условии, чтобы уравнения в полученной системе остались линейно независимыми равно R = r — I, где г — количество датчиков давления. Алгоритм выбора данных уравнений рассматривается в следующем параграфе.
Пусть Т - множество индексов соответствующих тем участкам сети, которые имеют датчики расхода, тогда, для каждого такого участка j, х. будем считать известным и обозначим через лГ,. Перенумеруем участки сети таким образом, чтобы участки с датчиками расхода имели первые d =[ Т индексов.
Пусть р — количество известных режимов работы трубопровода. Как и в предыдущем параграфе будем обозначать переменную или известное значение верхним индексом (/), чтобы показать ее принадлежность к /-му режиму. Т.о. получаем р систем нелинейных уравнений (2.9),(2.10) и для каждого / = 1,..,/? имеем свой вектор правых частей G "=(, ",..,?i",Af ,,...,e)t)r Исходя из постановки задачи, в качестве неизвестных представляют интерес коэффициенты сопротивления Sj,j = \t..,n. Но, кроме этого, еще имеется {n — d)-p неизвестных расходов х(Р,I = 1,.,, , j = d+1,..,w. Т.о. решение задачи сводится к нахождению n + (n — d)-p неизвестных.
Применение метода последовательных приближений для определения активных сопротивлений, обеспечивающих требуемый расход
Рассмотрим модель стационарного течения жидкости в трубопроводных сетях. Для тепловой сети характерен закон квадратичного гидравлического сопротивления. Будем рассматривать двухтрубную модель. Т.е. на графе сети присутствует прямой и обратный трубопровод. Для тепловой сети система уравнений Кирхгофа (1.23) примет вид:
Без ограничения общности допустим, что необходимо обеспечить заданный расход на первых р участках. Также, будем считать, что данные участки имеют регуляторы расхода, т.е. это участки с активным сопротивлением. Обычно система уравнений (3.4) используется для нахождения распределения расходов, т.е. для определения xJij = l,..in.
Рассмотрим данную систему, где в качестве неизвестных будут выступать sj,j = l,.. p:i и x;,j = p + l,..,n, а первые Xj=x:,j \,..,p подразумеваются известными (х,- - расходы, которые необходимо обеспечить на привилегированных потребителях). Для большей наглядности обозначим фиксированные коэффициенты сопротивлений через Sj J = Р +1»-»« Т.о. система примет вид: сих] +- -+cipxp +—+c\p+ixp+i + "+сьЛі =Ч\і Cklx\ +—+скрХр + +ckptlXp+l + "+СЫХп Чк- Скл\$\ \Х\\Х\ +--+Ck+]pSp \Хр \Хр +Ck+]p+\Sp+l \xp+l \Хр+1 +—+ск+1п п \Хп\Хп "А» c Sx xt \xt +,..+cnpsp \xp \xp + 1 1 \Xp x [Xp+x +...+cni n \xn \xn =h k,
Данная система является нелинейной системой уравнений и имеет п уравнений и п неизвестных. Система имеет единственное решение, при условии, что граф не теряет свойства связности при исключении дуг с известными расходами. Доказательство этого факта изложено в следующем параграфе. Из этого следует, что необходимым условием единственности является требование, чтобы количество активных сопротивлений р было не больше, чем количество линейно независимых циклов п-к.
Для решения системы (3.5) целесообразно использовать предложенную модификацию метода последовательных приближений для случая произвольного закона гидравлического сопротивления, немного подправив систему уравнений и изменив обозначения.
Сделаем важное замечание: в данном случае матрица К для нелинейной части не будет симметрической, в силу того, что для данной постановки задачи, соотношение (1.43) не выполняется, т.к. коэффициенты сопротивления входят только в нелинейные уравнения. Поэтому нужно будет применять метод в общем виде, подставляя на каждой итерации значения приближений в матрицу F{x) и приводя ее к треугольному виду, после чего применять обратный ход метода Гаусса, как это делается в алгоритме для метода последовательных приближений[19].
Для решения задачи потребуется больше итераций метода, в силу того, что данные сильно отличаются по порядку. Т.о., имеем алгоритм, позволяющий определить требуемые коэффициенты активного сопротивления для обеспечения заданного теплового режима на привилегированных участках.
Перед доказательством единственности решения системы уравнений (3.5) докажем следующую лемму касающуюся теории графов. Лемма: Пусть дан циклический связный граф, его матрица связности А. Тогда если множество U, такое что при исключении из графа дуг j\j є/, граф не теряет связности, то 1) ранг матрицы Аи, матрицы описывающей граф с исключенными дугами равен рангу матрица А, 2) в исходном графе существует р = U \ линейно независимых циклов, таких что, в каждый цикл входит только одна дуга из множества U, причем входит только в один из этих циклов.
Доказательство: 1) очевидно, 2) Пусть дуга j є/, и присутствует в графе. Исключим из графа все дуги ієіі/у, т.е. все дуги множества U, кроме j. По условию леммы, граф остался связным. Если после этого мы исключим дугу j из графа, то граф останется связным, следовательно, через дугу j проходит как минимум один цикл. Причем заметим, что данный цикл не проходит через дуги из множества U /j\ так как мы их исключили. Далее возьмем следующую дугу из множества U и проведем аналогичные операции, получим еще один цикл, который проходит только через одну дугу из множества U, и так далее для всех дуг множества U. В итоге, получим p=\U\ линейно независимых циклов, в каждый из которых входит только одна дуга из множества U. о
Вернемся к проблеме единственности решения задачи (3.5).
Пусть имеем систему нелинейных уравнений (3.5), описывающую установившееся течение жидкости в трубах для квадратичного закона гидравлического сопротивления. Пусть данная система построена с использованием матрицы связности графа системы и матрицы контуров. Неизвестным является вектор
