Содержание к диссертации
Введение
2 Обзор и анализ методов теории упругости 12
2.1 Методы классической линейной теории упругости 12
2.2 Модель асимметричной теории упругости 22
2.3 Проблемы расчета резино-технических изделий 31
2.4 Постановка задач диссертационного исследования 35
3 Точные решения некоторых задач асимметричной упругости 37
3.1 Одноосное растяжение пластины, ослабленной отверстием. 41
3.1.1 Эллиптическое отверстие. Различные подходы к решению задачи с помощью конформных отображений 42
3.1.2 Отверстие в форме криволинейного равностороннего треугольника 72
3.1.3 Отверстие в форме криволинейного квадрата 90
3.2 Чистый изгиб пластины в ее плоскости, ослабленной отверстием 98
3.2.1 Чистый изгиб пластины, ослабленной отверстием в форме криволинейного треугольника 99
3.2.2 Чистый изгиб пластины, ослабленной эллиптическим отверстием 104
3.3 Чистый сдвиг в пластине, ослабленной отверстием 114
3.3.1 Чистый сдвиг в пластине, ослабленной квадратным отверстием 114
4 Экспериментальное исследование 118
4.1 Описание эксперимента 118
4.2 Сопоставление полученных решений с экспериментальными данными 119
5 Заключение 121
6 Список литературы 123
7 Приложения. 134
- Модель асимметричной теории упругости
- Постановка задач диссертационного исследования
- Чистый изгиб пластины в ее плоскости, ослабленной отверстием
- Сопоставление полученных решений с экспериментальными данными
Введение к работе
Актуальность проблемы.
В различных областях науки и промышленности применяются методы теории упругости и ее приложений. Достаточно широк круг задач, которые удается решать в рамках линейной теории.
Однако в связи с внедрением гибких элементов, способных работать в закритической области при упругих деформациях, около полувека назад возник практический интерес к нелинейной теории упругости и к теориям с обобщенным законом Гука. Так, необходимость расчета резинотехнических изделий явилась мощным стимулом для развития прикладного направления нелинейной теории.
В силу того, что отвечающие задачам нелинейной теории упругости уравнения сложны, точные решения получать не удается, а если и удается, то при большом числе допущений и ограничений на перемещения, деформации, углы поворота. Однако с развитием ЭВМ, а также численных методов, появилась возможность решать наиболее общие задачи нелинейной теории.
Несомненно, инженеру хотелось бы иметь такой математический аппарат, который может быть реализован относительно просто.
Кроме того, в последние десятилетия активно развивается такое направление механики, как механика разрушения. В механике разрушения в качестве модели для трещины берется разрез или — щель, как предельный случай эллиптического отверстия. Поэтому актуальным является вопрос о распределении напряжений вокруг отверстий эллиптической и других форм, а также о деформировании формы отверстия. Как оказалось, классическая линейная теория не всегда позволяет дать ответ на этот вопрос.
В связи с этим актуальной задачей является разработка такой модели упругой деформации, которая позволила бы применять наиболее
простой математический аппарат при решении задач об исследовании напряженно-деформированного состояния тела.
Решению этих проблем и посвящена настоящая работа.
Цель работы.
Заключается в обосновании достоверности новой модели теории упругости — асимметричной упругости, использование которой позволило бы расширить класс задач, решаемых в рамках линейной теории.
Научная новизна.
Научная новизна работы состоит в следующем.
На основе модели асимметричной упругости, разработанной В.О. Бытевым, получено аналитическое решение некоторых задач теории упругости.
Проведен сравнительный анализ полученных решений с решениями, полученными посредством классической теории.
Получены решения задач для пластин из эластомеров в рамках линейной теории.
Проведены экспериментальные исследования по растяжению пластин с целью установления соответствия моделей (классической и асимметричной) реальной физической картине.
Достоверность результатов.
Достоверность результатов обеспечивается за счет использования классических уравнений механики деформируемого твердого тела (при решении задач в рамках классической теории); применения известных математических методов; тестирования реализованных программ на
частных задачах с известными решениями. Таких как: одноосное растяжение пластины, ослабленной круговым отверстием; одноосное растяжение пластины с впаянным круговым ядром.
Достоверность результатов, полученных для эластомеров, обеспечивается тем, что начальные условия при моделировании процессов деформирования приведены в соответствие с данными, полученными в результате экспериментального исследования. Эксперимент по растяжению пластин проводился на базе лаборатории по сопротивлению материалов Тюменского государственного архитектурно-строительного университета.
Практическая ценность работы.
Используя модель асимметричной упругости построены алгоритмы и разработаны программы для получения аналитических решений частных задач теории упругости.
Установлено, что с помощью модели асимметричной упругости можно описывать напряженно-деформированное состояние тел из материалов любой природы.
Проведены экспериментальные исследования по растяжению пластин, подтверждающие достоверность результатов, полученных посредством асимметричной модели.
Установлено, что с помощью модели асимметричной упругости можно решать задачи для эластомеров, оставаясь в рамках линейной теории.
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:
1. Межрегиональная конференция "Современные математические методы и информационные технологии", 16 апреля 2007 г., ТюмГУ,
Тюмень.
XXI Международная научно-практическая конференция "Математические методы в технике и технологиях", 27-30 мая 2008 г., СГТУ, Саратов.
Международная конференция по математической физике и ее приложениям, 8-13 сентября 2008 г., Самара.
IX Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, 28-30 октября 2008 г., Кемерово.
XVI Зимняя школа по механике сплошных сред, 24-27 февраля 2009 г., Пермь.
Научные семинары кафедры математического моделирования ТюмГУ, 2007-2009 гг, Тюмень.
Публикации.
Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 9 статьях и 3 тезисах.
Бытев В.О., Слезко И.В. Точные решения некоторых задач плоской асимметричной теории упругости // Математическое и информационное моделирование: Сб. научных трудов. — Тюмень: Изд-во "Вектор Бук". - 2007. - Вып. 9. - С. 31-44.
Бытев В.О., Слезко И.В., Николаев Д.Е. Точные решения некоторых задач плоской асимметричной теории упругости // Вестник ТюмГУ. - 2007. - № 5. - С. 32-43.
Бытев В.О., Слезко И.В. Точные решения некоторых задач плоской асимметричной теории упругости. Сборник трудов XXI
Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях". Т. 4. — Саратов. — 2008. — С. 86-87.
Бытев В. О., Слезко И.В. Асимметричная упругость // Альманах современной науки и образования. — Тамбов: Грамота. — 2008. — № 7(14). - С. 33-34.
Бытев В.О., Слезко И.В. Решение задач асимметричной упругости // Математическое и информационное моделирование: Сб. научных трудов. — Тюмень: Изд-во "Вектор Бук". — 2008. — Вып. 10. — С. 27-32.
Бытев В. О., Слезко И.В. Метод конформных отображений в теории упругости // Математическое и информационное моделирование: Сб. научных трудов. — Тюмень: Изд-во "Вектор Бук". — 2008. — Вып. 10. - С. 32-37.
Бытев В. О., Слезко И.В. Решение задач асимметричной упругости // Вестник СамГУ: Естественнонаучная серия. — Самара: Изд-во СамГУ. - 2008. - № 6 (65). - С. 238-243.
Бытев В. О., Слезко И.В., Николаев Д.Е. Определение критической нагрузки в задачах асимметричной упругости // Тезисы IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. — Кемерово. — 2008. - С. 37.
Бытев В.О., Слезко И.В. Асимметричная упругость // Вестник ТулГУ: Актуальные вопросы механики. — Тула. — Вып. 4. — Т. 1. - 2008. - С. 20-27.
10. Бытев В.О., Слезко И.В. Асимметричная упругость // Тезисы Международной конференции по математической физике и ее приложениям. — Самара. — 2008. — С. 44-46.
Бытев В.О., Слезко И.В. Некоторые задачи асимметричной упругости // Тезисы XVI Зимней школы по механике сплошных сред. - Пермь. - 2009. — С. 80-81.
Бытев В.О., Слезко И.В. Некоторые задачи асимметричной упругости // Труды XVI Зимней школы по механике сплошных сред (механика сплошных сред как основа современных технологий (электронный ресурс)). — Пермь: ИМСС УрО РАН. — 2009. Электронный оптический диск (CD).
Структура и объем работы.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.
Во введении обоснованы актуальность темы диссертации, сформулирована цель, указана научная новизна, практическая ценность работы и положения, выносимые на защиту, отражено краткое содержание по главам.
В первой главе проведен обзор и анализ математических моделей теории упругости, рассмотрены основные методы решения задач теории упругости, в частности для задач о деформации пластин с отверстиями. Приводится модель асимметричной упругости, полученная В.О. Бытевым. Дается сопоставление асимметричной модели с классической.
Вторая глава посвящена обоснованию достоверности модели асимметричной упругости. Приводятся решения некоторых задач асимметричной теории упругости и их визуализация. Проведен сравнительный анализ с классическими решениями.
Программы для решения задач и их графического представления реализованы в системе компьютерной математики Maple 11.
В соответствии с представленной моделью, разработанным
алгоритмом и программами, были получены аналитические решения следующих задач асимметричной упругости.
Одноосное растяжение пластины с отверстием. Рассмотрены случаи эллиптического, треугольного, квадратного отверстий. Для эллиптического отверстия рассмотрены различные частные случаи: круг, эллипс, разрез. Кроме того, при решении задачи об одноосном растяжении пластины, ослабленной эллиптическим отверстием, используются разные способы отображения внешности эллиптического отверстия — на внешность и внутренность круга единичного радиуса.
Чистый изгиб пластины с отверстием. Рассмотрены случаи квадратного и эллиптического отверстия. Для эллиптического отверстия рассмотрены различные частные шгучаи: круг, эллипс, разрез.
Чистый сдвиг в пластине с квадратным отверстием.
В четвертой главе приводится описание экспериментального исследования, а также его результаты. Проводится сопоставление решений, полученных для каждой из моделей с экспериментальными данными. Делается вывод о соответствии решений результатам эксперимента.
В заключении дан обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе.
В приложении 1 приводится программа, реализованная в среде компьютерной математики MAPLE 11, для решения частных задач теории упругости и визуализации их решений.
В приложении 2 приводятся фотографии, сделанные при проведении экспериментального исследования по растяжению пластин на разрывной машине "Instron-3382".
На защиту выносятся следующие положения диссертации: доказательство достоверности модели асимметричной упругости
на примере решения некоторых задач и сопоставления их с
экспериментальными данными.
2 Обзор и анализ методов теории упругости
Модель асимметричной теории упругости
Теперь перейдем к более общим вопросам механики деформируемого твердого тела.
При изучении любой физической системы довольно быстро обнаруживаются у нее те или иные проявления регулярности -— так называемые симметрии. Наиболее четким математическим отображением идеи симметрии служит теория групп, имеющая дело с самыми различными множествами преобразований. Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX века Софуса Ли (1842-1899) и служил главной составной частью его теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа — вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений — была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения.
Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, показав в своих работах 1958-1962 гг., что описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Возникшие в связи с этим проблемы и перспективы развития стимулировали большое число исследований. Стало ясно, каким действенным инструментом является групповой анализ при решении сложных задач. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами её использования, ведёт к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути их решения.
Математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде дифференциальных уравнений, поэтому одним из наиболее существенных приложений теории групп Ли является их использование в общей теории дифференциальных уравнений. В настоящее время математическое направление, предметом которого является совместное рассмотрение групп Ли преобразований и допускающих эти группы дифференциальных уравнений, получило название группового анализа дифференциальных уравнений. Одной из основных задач группового анализа дифференциальных уравнений является изучение действия допускаемой данным уравнением (системой уравнений) группы на множестве решений этого уравнения. Действие допускаемой группы вносит в множество решений алгебраическую структуру, которую можно использовать в нескольких целях. Сюда относятся описание общего строения семеііства всех решений, выделение определенных классов решений, производство решений из уже известных и т. д. Одной из важных задач является использование техники группового анализа для групповой классификации дифференциальных уравнений. Решение этой задачи представляет не только чисто математический интерес, но имеет также и прикладное значение. Дифференциальные уравнения математической физики часто содержат параметры или функции, которые находятся экспериментально и потому не строго фиксированы. Групповой подход позволяет принять в качестве критерия простоты требование, чтобы произвольный элемент был таким, что с ним моделирующее дифференциальное уравнение допускает группу с определенными свойствами или, вообще, наиболее широкую группу. Перечисленные выше и некоторые другие, более специальные, задачи образуют обширную область приложения теории и алгоритмов группового анализа дифференциальных уравнений [23,26,51,54,59-61]. В настоящее время методы группового анализа широко применяются ко многим конкретным дифференциальным уравнениям. В том числе к общим уравнениям механики сплошной среды, а также к уравнениям теории упругости и пластичности [4,6,12,27,116].
Для всех сплошных сред выполняются законы сохранения. Разнообразие же тел, обусловленное различием материалов, из которых они состоят, регулируется определяющими соотношениями. В механике сплошных сред определяющие уравнения — это не что иное, как некоторые ограничения, накладываемые на силы и (или) движения. Силы, представляющие интерес — это контактные силы, которые определяются заданием поля тензора напряжений Т. Тем самым возникает задача классификации полей Т. Идеи, заимствованные из геометрии, позволяют найти решения, исходя из соображений симметрии и инвариантности [4,6,13,14].
Методами группового анализа [59,60] в работах [4,6,12-14,87] решена общая задача классификации моделей чисто механического континуума, который описывается системой дифференциальных уравнений вида
Постановка задач диссертационного исследования
Из проведенного анализа литературы следует, что теория классической линейной изотропной упругости по-прежнему сохраняет свое неоценимое значение при исследовании напряженно-деформированного состояния элементов обычных инженерных конструкций, в частности машиностроительных, детали которых, как правило, описываются моделью линейно-упругого тела. Вопросы о концентрации напряжений, которые могут решаться в рамках линейной теории, исследованы полно. Однако вопрос о деформировании тела, например, отверстия при каком-либо виде нагружения тела, по каким-то причинам остается в стороне. С развитием научно-технического прогресса некоторые вопросы теории упругости стали самостоятельными областями (нелинейная упругость, моментная упругость). Однако их методы являются достаточно трудоемкими и сложными. В некоторых случаях напряженно-деформированное состояние не удается описать не только с помощью линейной теории, но и ее обобщений (например, при расчете РТИ). Кроме того, наряду с классической теорией, начинает развиваться новая теория — асимметричная упругость, предложенная В.О. Бытевым, которая является обобщением классической и имеет три кинетических коэффициента. Возникает необходимость сравнения двух теорий и обоснования достоверности модели асимметричной упругости и применения ее к задачам теории упругости, возможно, не только линейной. Целью работы является обоснование достоверности модели асимметричной упругости, а именно — ее двумерного случая, на основании сравнения с классической теорией. Для достижения цели, вытекающей из обзора и анализа литературы, были поставлены следующие задачи диссертационной работы. 1. Решить некоторые частные задачи теории упругости, используя расчетные формулы асимметричной модели и ее классического аналога: одноосное растяжение пластины с отверстием; чистый изгиб в плоскости пластины с отверстием; чистый сдвиг в пластине с отверстием 2.
Сравнить полученные решения в результате вычислительного эксперимента, реализованного в системе символьной математики MAPLE 11, при различных начальных условиях, для материалов с различными физико-механическими свойствами; 3. Провести экспериментальное исследование по растяжению пластин, в результате которого предполагается установить соответствие получаемых решений реальной физической картине; 4. На основании вычислительного и экспериментального исследований сделать вывод о достоверности новой модели асимметричной упругости и целесообразности ее применения к задачам теории упругости. Решая поставленные в диссертационном исследовании задачи будем проводить сравнение модели асимметричной упругости с классической моделью и не будем касаться моментной теории упругости.
Рассматривается неограниченная упругая плоскость, которая находится в некотором напряженном состоянии. Этому напряженному состоянию соответствует функция напряжений Щ(х,у), а компоненты напряжений — сИц, а22, 0?2 Пусть теперь в плоскости сделано отверстие какой-либо формы. Распределение напряжений в плоскости изменится и будет характеризоваться новыми значениями компонентов напряжений — сги, сг22, сг12. Начало координат поместим в какую-либо точку внутри отверстия (если отверстие правильной формы, то начало координат помещаем в его геометрический центр). Новое напряженное состояние плоскости, ослабленной отверстием можно представить в виде: где а\ъ сг22, 012 — компоненты напряжений, возникающих из-за наличия отверстия. Согласно [53] для напряженных состояний сг , сг22, \2 и аіи а2г- а 2 можно найти по две функции напряжений (p{z), ip(z) и if (z), ip (z), где z = х + iy — комплексная переменная.
Тогда для напряженного состояния, характеризующегося компонентами 7ц, сг22, сг12, будем иметь: Здесь неизвестными считаем p (z), ф {г). Как оказалось, влияние отверстия на распределение напряжений имеет местный характер, т.е. компоненты напряжений p (z), ф (г) быстро затухают по мере удаления от отверстия. Значит, функции p (z), ip (z) можно считать голоморфными в области вне отверстия, т.е. они могут быть представлены в виде сходящихся степенных рядов. Отобразим конформно с помощью функции z = (0 рассматриваемую область, т.е. внешность отверстия, на внешность (внутренность) круга единичного радиуса. Тогда функции напряжений можно переписать в виде
Чистый изгиб пластины в ее плоскости, ослабленной отверстием
В ходе диссертационного исследования получены аналитические решения следующих задач плоской асимметричной теории упругости. 1. Одноосное растяжение пластины, ослабленной отверстием. Рассмотрены случаи эллиптического, треугольного, квадратного отверстий. 2. Чистый изгиб в плоскости пластины, ослабленной отверстием. Рассмотрены случаи эллиптического, треугольного отверстий. 3. Чистый сдвиг в пластине, ослабленной квадратным отверстием. 4. Решены также и другие задачи, не отраженные в данной работе. Результаты некоторых из них опубликованы в открытой печати. Например, решение задачи о чистом изгибе в пластине, ослабленной квадратным отверстием; решение задачи о чистом сдвиге в пластине, ослабленной отверстием (здесь рассмотрено квадратное отверстие при различном расположении в пластине). Решение задач и визуализация полученных решений проводилась с помощью пакета компьютерной математики MAPLE 11. При анализе полученных решений установлено, что модуль /ло "влияет" на решение, "регуляризирует" его, изменяясь в некотором диапазоне.
Причем указанный диапазон индивидуален. Основным определяющим критерием изменения диапазона являются физико-механические свойства материала. Проведен сравнительный анализ полученных решений с решениями, соответствующими классической теории упругости. Классические решения получались путем подстановки в асимметричные решения До = А -Ь /І и цо = 0, где Ли// — параметры Ламе. В результате проведенного сравнения оказалось, что при работе с пластичными и хрупкими материалами обе модели дают адекватные результаты. В этом случае установлено, что: — качественное поведение компонент вектора смещений асимметричной и классической моделей имеет существенные различия. Для асимметричной модели наблюдается более "сглаженный" характер — это объясняется появлением "поправочного" коэффициента. Количественные различия также присутствуют, однако, в силу малости перемещений, это несущественно отражается на полученных результатах; — компоненты напряжений ни качественных, ни количественных различий не имеют; — обе модели адекватно отражают результаты. Однако, в случае работы с эластомерами, классическая модель не позволяет получать физически реальные результаты. Вообще говоря, этот результат был ожидаемым.
Тем не менее использование асимметричной модели приводит к физически реальным результатам и в этом случае. Причем, как следует из расчетов, модель позволяет "работать" с материалами, имеющими малый модуль Юнга. Кроме того, проведенное экспериментальное исследование подтверждает полученные результаты. Можно говорить о том, что асимметричная модель деформации упругого тела, полученная В.О. Бытевым в результате решения задачи групповой классификации законов сохранения, достоверно отражает физическую картину деформации упругого тела. Причем в некоторых случаях она может оказаться предпочтительнее классической модели при работе не только с эластичными материалами, но и любыми другими, в силу "сглаженности" решений. Это может оказаться существенным при моделировании, например, трещин в механике разрушения. Основной вывод: использование модели асимметричной упругости значительно расширяет круг задач, которые можно решать в рамках линейной теории, что, несомненно, очень важно.
Сопоставление полученных решений с экспериментальными данными
При проведении эксперимента определена критическая (разрушающая) нагрузка. Для длинных образцов она составила р = 1,76 (МПа), для коротких — от 1,6 (МПа) до 1,72 (МПа). Это означает, что пластина является однородной. Рассматривается пластина, ослабленная круговым отверстием, подвергающаяся одноосному растяжению. При проведении вычислительного эксперимента нагрузка в расчетной модели задавалась близкая к разрушающей нагрузке (задача об одноосном растяжении пластины с круговым отверстием). Для других форм отверстий задавалось такое же значение нагрузки и параметры отверстия подбирались таким образом, чтобы по площади отверстие не превосходило площади круга радиуса R = О,25 см. На рис. 92 представлены годографы вектора упругих перемещений асимметричной и классической моделей. Толстой линией изображен годограф классической модели, тонкой — асимметричной. На рис. 93 представлен фрагмент фотографии, сделанной в момент времени, близкий к моменту разрушения образца. Полное изображение см. в приложении 2. Из рис. 93 видно, что на границе отверстия не возникает углов и петель. При деформации оно принимает эллиптическую форму.
Из рассмотренных моделей — классической и асимметричной — наиболее подходящим образом отражает действительность асимметричная модель. В ходе диссертационного исследования получены аналитические решения следующих задач плоской асимметричной теории упругости. 1. Одноосное растяжение пластины, ослабленной отверстием. Рассмотрены случаи эллиптического, треугольного, квадратного отверстий. 2. Чистый изгиб в плоскости пластины, ослабленной отверстием. Рассмотрены случаи эллиптического, треугольного отверстий. 3. Чистый сдвиг в пластине, ослабленной квадратным отверстием. 4. Решены также и другие задачи, не отраженные в данной работе. Результаты некоторых из них опубликованы в открытой печати. Например, решение задачи о чистом изгибе в пластине, ослабленной квадратным отверстием; решение задачи о чистом сдвиге в пластине, ослабленной отверстием (здесь рассмотрено квадратное отверстие при различном расположении в пластине). Решение задач и визуализация полученных решений проводилась с помощью пакета компьютерной математики MAPLE 11. При анализе полученных решений установлено, что модуль /ло "влияет" на решение, "регуляризирует" его, изменяясь в некотором диапазоне. Причем указанный диапазон индивидуален. Основным определяющим критерием изменения диапазона являются физико-механические свойства материала.
