Содержание к диссертации
Введение
1 Элементы интервального анализа 17
1.1 Классическая интервальная арифметика 17
1.2 Основные понятия обобщенной интервальной арифметики 22
2 Применение классической интервальной арифметики в финансовом анализе 24
2.1 Основные понятия финансового анализа 25
2.2 Начисление сложных процентов в условиях интервальной неопределенности 32
2.3 Моделирование и анализ интервальных потоков платежей 35
2.3.1 Интервальный анализ переменных потоков платежей 35
2.3.2 Интервальный анализ постоянных потоков платежей 37
2.4 Интервальный анализ инвестиционных проектов 43
2.4.1 Чистый приведенный доход в условиях интервальной неопределенности 43
2.4.2 Интервальная оценка внутренней нормы доходности 45
2.5 Примеры численных расчетов 47
2.6 Выводы 52
3 Применение обобщенной интервальной арифметики в финансовом анализе 53
3.1 Начисление сложных процентов с использованием обобщенной интервальной арифметики Хансена 54
3.2 Моделирование и анализ потоков платежей с использованием обобщенной интервальной арифметики 59
3.2.1 Определение наращенной суммы интервальных потоков платежей 59
3.2.2 Определение современной величины интервальных потоков платежей 64
3.3 Анализ инвестиционных проектов с использованием обобщенной интервальной арифметики 68
3.3.1 Определение чистого приведенного дохода в условиях интервальной неопределенности 68
3.3.2 Интервальная оценка внутренней нормы доходности инвестиционных проектов 70
3.3.3 Метод наклона (Slope Method) 71
3.4 Результаты численных расчетов 78
3.5 Выводы 83
4 Формирование индивидуального пенсионного фонда и методы оценки доходной недвижимости в условиях ин тервальной неопределенности 85
4.1 Модель процесса формирования индивидуального пенсионного фонда в условиях интервальной неопределенности 86
4.1.1 Постановка задачи 86
4.1.2 Оценка размера пенсионного фонда в обычной интервальной арифметике 87
4.1.3 Оценка размера пенсионного фонда на основе сочетания обычной и обобщенной интервальной арифметик 92
4.1.4 Применение сочетания обычной и обобщенной ин тервальной арифметик для оценки размера пенсии 94
4.2 Интервальная модель и метод оценки доходной недвижи мости в условиях интервальной неопределенности 97
4.2.1 Структура чистого операционного дохода 101
4.2.2 Износ и его возмещение 103
4.3 Результаты численных расчетов 109
4.4 Выводы 112
5 Пакет программ ФИНИНТ 113
5.1 Назначение пакета программ ФИНИНТ ИЗ
5.2 Основы работы 114
5.2.1 Начисление процентов в условиях интервальной неопределенности 115
5.2.2 Анализ финансовых рент с использованием интервального анализа 117
5.2.3 Интервальный анализ эффективности инвестиционных проектов 119
Заключение 124
Приложение 126
Список литературы 130
- Основные понятия обобщенной интервальной арифметики
- Начисление сложных процентов в условиях интервальной неопределенности
- Моделирование и анализ потоков платежей с использованием обобщенной интервальной арифметики
- Интервальная модель и метод оценки доходной недвижи мости в условиях интервальной неопределенности
Введение к работе
Инвестиции в реальные или финансовые активы, коммерческие сделки, кредитные соглашения, банковские операции, сделки с недвижимостью и др. предусматривают, как правило, вложения и поступления распределенных во времени денежных сумм. Эффективность подобных финансовых операций зависит от многих параметров и условий, оговоренных в контрактах: размеров денежных сумм, процентной ставки, предполагаемых сроков выплат и поступлений, риска, связанного с вложениями и т.п. Основным объектом финансового анализа в данном случае являются потоки платежей — суммы распределенных во времени денежных расходов и поступлений, предполагаемых в результате финансовой операции. Анализ и расчет показателей эффективности таких операций основан на фундаментальном в финансовом анализе принципе дисконтирования потоков платежей [17,24,47,56,58]. При этом предполагается точное знание размеров инвестиционных расходов и будущих доходов, а также значения рыночной ставки процента (рыночной нормы доходности, ставки сравнения [17,56,58]) в будущем. На практике ни инвестиционные расходы, ни тем более будущие доходы и рыночная ставка процента, как правило, точно неизвестны. Следовательно, моделирование и анализ финансовых операций приходится проводить в условиях неопределенности.
Существует множество методов решения задач в условиях неопределенности. Среди них можно выделить [18]:
1. Стохастические методы. Использование этих методов возможно, когда неопределенности можно приписать вероятностный, случайный характер. В данном случае неопределенность полностью описана,
Введение
если задана плотность вероятности случайной величины. Наибольшее распространение в литературе получил случай нормального (гауссова) распределения, которое полностью определяется вектором математического ожидания и ковариационной матрицей [12,16,64].
Статистические методы. Эти методы применяют, когда для моделирования объекта используются результаты выборочных экспериментов в условиях действия случайных помех и ошибок. Статистические методы тесно связано со стохастическими, но отличие заключается в том, что в условиях эксперимента исследователь получает лишь выборочные оценки параметров плотности распределения или ее моментов. Точность этих оценок зависит от многих факторов таких, как число опытов, метод оценивания, дисперсия помехи и др. [11,13,57].
Методы теории нечетких множеств. Эти методы используются, когда значения параметров модели и требования к системе задаются не точно, а в виде некоторого множества возможных значений, характеризующихся той или иной "степенью уверенности "эксперта. Основной характеристикой этих множеств возможных значений является функция принадлежности /ла{2) параметра z, удовлетворяющая условию 0 < іла{%) < 1, где А — известное множество [32,42,45].
Методы интервального анализа. Эти методы в последнее время привлекают все большее внимание исследователей. Описание неопределенности с помощью методов интервального анализа является менее ограничительным по сравнению с вышеперечисленными методами.
Часто исследователи сталкиваются с проблемой выбора метода описания неопределенности. Эта проблема возникает, например, когда нельзя даже предположить возможность многократного проведения эксперимента на исследуемом объекте при неизменном действии неучтенных и неуправляемых факторов. Такая ситуация приводит к необходимости учета неопределенности, в общем случае, неизвестной природы. В данном случае относительно факторов неопределенности, практически, ничего не известно, кроме того, что они ограничены. В таких условиях
Введение
для описания неопределенности наиболее естественно представить факторы неопределенности в интервальной форме, т.е. задать диапазон возможных значений переменных или зависимостей. Для работы с данными, представленными в интервальном виде, во второй половине XX века появилось и начало бурно развиваться новое направление в современной прикладной математике, названное интервальным анализом (интервальной математикой) [10,21,30,39,63,68,74,76,84,85].
Среди западных ученных, внесших наибольший вклад в развитие интервального анализа, можно выделить R.Moore, G.Alefeld, E.R.Hansen, E.W.Kaucher, R.B.Kearfott, V.Kreinovich, N.W.Kulisch, A.Neumaier, K.Nickel, H.Ratschek, J.Rokne.
В России ведущей организацией, занимающейся проблемами интервального анализа, является Институт вычислительных технологий СО РАН (г.Новосибирск) во главе с академиком Шокиным Ю.И. Также эту тему активно развивают Шарый СП., Добронец B.C., Калмыков С.А., Лакеев А.В., Марченко Л.В., Назаренко Т.Н., Шайдуров В.В. и другие.
Систематическое изложение основ этого направления вычислительной математики было впервые дано в работе Мура [84]. Исторически интервальный анализ возник для решения проблемы соотнесения конечного приближенного результата и истинного абстрактного решения поставленной задачи. Суть данного подхода заключается в том, что неизвестное точное значение заменяется не единственным элементом того же класса, а конечно-представимым множеством элементов, содержащим в себе этот неизвестный элемент. Название "интервальный"данный подход получил в связи с тем, что интервал, представляемый обычно парой рациональных чисел-границ, является простейшим видом конечно-представимого множества, локализующего простейший абстрактный объект — вещественное число. Это привело к необходимости обобщения понятия вещественного числа.
Непосредственное применение интервального анализа в вычислительных процессах позволяет заключить в интервалы решения задач, о вход-
Введение
ных данных которых известно лишь то, что они лежат в некоторых интервалах. При этом в интервалы решений включаются и ошибки округлений, встречающиеся в процессе вычислений.
Основным требованием к интервальным вычислениям является требование минимизации ширины интервала решения. Ширина интервального результата полностью определяется следующими факторами [10]:
Неопределенностью в задании исходных данных;
Округлениями при выполнении операций;
Приближенным характером используемого численного метода;
Степенью учета зависимостей между участвующими в вычислении интервальными объектами (переменными и константами).
Компенсируя влияние этих факторов, можно получать сколь угодно точные результаты. Первый фактор поддается лишь учету, но не управлению. Уменьшить влияние четвертого фактора можно путем предварительной обработки исходного алгоритма в процессе вычислений и апо-стериорно. Улучшением численных методов занимается вычислительная математика.
В течение длительного времени интервальные методы применялись, в основном, для автоматического учета ошибок округления на ЭВМ с конечной разрядной сеткой. Основной чертой этих исследований было требование минимизации интервалов изменения входных данных.
Дальнейшие исследования показали, что методы интервального анализа могут служить не только для учета ошибок округления, но и являются новыми аналитическими методами для теоретических исследований. В этом случае входные данные могут иметь произвольные интервалы изменения.
В настоящее время интервальный анализ достаточно широко применяется для решения задач, возникающих в различных областях научных
Введение
исследований, в таких как теория автоматического управления, статистический анализ, исследование операций, численный анализ, робототехника и др. [34,37,59-63,68-70,72,74-80,82-86,88-90,92]. Вследствие того, что интервальная арифметика способна предоставить обоснованные решения разнообразных задач, разработан ряд средств для поддержки интервальных вычислений на ЭВМ. Эти средства включают библиотеки [77,80,83], расширения языков программирования [70,82,92] и программные продукты [72,78,79].
В настоящее время методы интервального анализа используются также и при решении различных экономических задач:
построение моделей управления запасами [25,26,54,55,66,67];
анализ производственных функций [93].
В финансовом анализе подробно исследованы детерминированные случаи и случаи со статистической неопределенностью [14,17,19,20,24, 27-29,31,33,40,41,43,44,46,47,49-53,56,58,71,87,91].
Однако, в случае неопределенности в данных часто исследователь не имеет достаточно информации для того, чтобы рассматривать неопределенность как вероятностную. Можно только с достаточной степенью достоверности задать интервалы, в которых лежат параметры финансового процесса. В связи с этим актуальным является разработка методов моделирования и анализа финансовых операций в условиях интервальной неопределенности. В этом случае адекватным математическим аппаратом для количественного анализа потоков платежей, связанных с финансовыми операциями, могут служить методы интервального анализа [22,23,85].
По-видимому, впервые на возможность применения интервальных методов в финансовом анализе указал Moore R.E. в работе [85], где он привел пример использования аппарата классической интервальной арифметики для расчета одного из показателей эффективности инвестиционного проекта. Однако многие вопросы анализа финансовых операций с
Введение
использованием интервальной математики остаются не исследованными.
Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность настоящей диссертационной работы, целью которой является:
Разработка методов моделирования и анализа интервальных потоков платежей (под интервальным потоком будем понимать поток платежей, параметры которого — размеры платежей и процентная ставка — задаются интервалами) с использованием аппарата интервальной арифметики. Вывод аналитических выражений для расчета обобщающих характеристик интервальных потоков платежей.
Разработка методов моделирования и анализа эффективности финансовых операций в условиях интервальной неопределенности:
вывод аналитических выражений и разработка методов расчета основных показателей эффективности инвестиционных проектов;
применение методов интервального анализа для решения задачи формирования индивидуального пенсионного фонда;
оценка доходной недвижимости в условиях неопределенности интервального вида;
3) Разработка пакета программ для моделирования и анализа финансовых операций с использованием аппарата интервальной математики.
В данной работе для моделирования и анализа финансово-экономических операций используются методы классического интервального анализа и аппарат обобщенной интервальной арифметики Хансена, применение которого обусловлено рядом недостатков классической интервальной арифметики, иногда сильно влияющих на точность результата вычислений. К этим недостаткам можно отнести:
Введение
1. Слабость алгебраических свойств, т.е.:
все интервалы ненулевой ширины не имеют обратных элементов ни по сложению, ни по умножению;
арифметические операции связаны между собой довольно слабыми соотношениями(например, невыполнение в общем случае свойства дистрибутивности).
2. Бедность символьной техники, т.е. нет возможности приводить по
добные слагаемые и переносить члены из одной части аналитиче
ского выражения в другую.
Все эти отрицательные свойства стимулировали попытки многих исследователей каким-то образом дополнить классическую интервальную арифметику. Одно из таких дополнений было предложено Хансеном [73, 74] и получило название "обобщенная интервальная арифметика Хансена". В этой арифметике вводятся отличные от классической представления интервальных чисел и правила арифметических операций над ними, что позволяет в отдельных случаях получать интервал результата более узкий,чем при использовании методов классической интервальной арифметики.
Методы исследования. Для достижения поставленных в диссертационной работе целей применялись методы классического интервального анализа и обобщенной интервальной арифметики Хансена, численные методы, методы имитационного моделирования. Численные расчеты и анализ результатов проводился с помощью моделирования на ЭВМ с использованием программного обеспечения, разработанного автором.
Основные результаты, полученные в данной работе:
1. Разработаны методы моделирования и анализа интервальных потоков платежей с использованием аппарата классической интервальной арифметики и обобщенной интервальной арифметики Хансена.
Введение
Получены аналитические выражения для вычисления интервальных расширений обобщающих характеристик потоков платежей — наращенной суммы и современной величины, для различных видов финансовых рент, заданных интервалами.
Разработаны интервальные методы анализа инвестиций. Рассмотрены два основных показателя эффективности инвестиционных проектов — чистый приведенный доход и внутренняя норма доходности. Задача определения внутренней нормы доходности в интервальной постановке сводится к поиску положительных корней интервального полинома. Предлагается подход к решению этой задачи с использованием интервально- арифметической версии метода Ньютона- Раф-сона и модификации метода Ньютона, использующей наклон, реализованной в обобщенной интервальной арифметике.
Построена интервальная модель процесса формирования индивидуального пенсионного фонда. На основе сочетания классической и обобщенной интервальных арифметик получены аналитические выражения для определения размера индивидуального пенсионного фонда и оценки размера пенсии.
Разработаны интервальная модель и метод оценки доходной недвижимости на основе сочетания классической и обобщенной интервальных арифметик. Получены формулы для определения чистого операционного дохода и оценки износа и его возмещения.
Разработан пакет программ для моделирования и анализа интервальных потоков платежей и инвестиционных проектов с использованием методов интервального анализа.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и результатами численных расчетов. Все полученные аналитические выражения в вырожденном случае (когда
Введение
верхние и нижние границы интервалов исходных данных равны) совпадают с выражениями классического финансового анализа.
Теоретическая ценность. На основе применения аппарата интервального анализа разработаны и исследованы математические модели и методы анализа финансово- экономических процессов с интервальной неопределенностью в данных. Получены расчетные формулы и предложены вычислительные алгоритмы для определения основных показателей, используемых при анализе эффективности инвестиционных проектов, оценке доходной недвижимости, анализе процесса формирования индивидуального пенсионного фонда.
Практическая ценность работы заключается в возможности применения разработанных методов и реализующего их программного обеспечения для решения практических задач анализа реальных финансовых операций. Исследования, связанные с моделированием и анализом финансовых операций, представленные в диссертации, а также соответствующее программное обеспечение, разработанное автором, были использованы:
- для анализа и расчетов основных характеристик кредитных операций
в ТМРФ ТБ "Сибирское ОВК"(доп. офис 6907);
- для анализа финансово-хозяйственных операций в ОАО "Цветочная
компания".
Ряд исследований, проведенных в работе, используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.
Акты о внедрении прилагаются.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации — 139 страниц. Список литературы включает 93 наименования.
Введение
Содержание работы.
Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В ней приведены основные сведения о классической интервальной арифметике и обобщенной интервальной арифметике Хансена.
Во второй главе на основе применения аппарата классической интервальной математики разрабатываются математические модели и методы анализа финансово-экономических операций. Выводятся аналитические выражения для обобщающих характеристик интервальных потоков платежей — наращенной суммы и современной величины. Рассматривается метод анализа эффективности инвестиционных проектов. Выводятся аналитические выражения для определения чистого приведенного дохода наиболее характерных вариантов инвестиционных процессов. Задача определения внутренней нормы доходности инвестиционного проекта является наиболее важной для финансового анализа и сложной с математической точки зрения. В условиях интервальной неопределенности она сводится к поиску положительного корня полинома с интервальными коэффициентами. Для расчета данного показателя предлагается использовать интервально-арифметическую версию метода Ньютона-Рафсона. Приводятся результаты численных расчетов.
В третьей главе рассматривается применение обобщенной интервальной арифметики Хансена для построения интервальных моделей и анализа финансово-экономических операций. С использованием аппарата обобщенной интервальной арифметики Хансена разрабатываются математические модели и методы анализа потоков платежей и инвестиционных проектов в условиях интервальной неопределенности. Выводятся аналитические выражения для обобщающих характеристик интервальных потоков платежей и чистого приведенного дохода инвестиционного проекта. Для поиска внутренней нормы доходности предлагается использовать модификацию метода Ньютона, использующую наклон, реализованную в обобщенной интервальной арифметике. Приводятся результаты численных расчетов.
Введение
Разработанные в первой и во второй главе математические модели и методы анализа интервальных потоков платежей и инвестиционных проектов в условиях интервальной неопределенности в четвертой главе применяются для построения интервальной модели процесса формирования индивидуального пенсионного фонда и разработки интервальной модели и метода оценки доходной недвижимости. Приводятся результаты численных расчетов.
В пятой главе дается описание программного комплекса "ФИНИНТ", в котором реализованы методы моделирования и анализа интервальных потоков платежей и инвестиционных проектов с использованием аппарата интервального анализа.
В приложении представлены акты о внедрении результатов диссертационной работы.
Положения, выносимые на защиту.
Методы моделирования и анализа интервальных потоков платежей и аналитические выражения для расчета их основных обобщающих характеристик с использованием классической интервальной математики и обобщенной интервальной арифметики Хансена.
Методы моделирования и анализа инвестиционных проектов с использованием классической интервальной математики и обобщенной интервальной арифметики Хансена. Аналитические выражения для расчета чистого приведенного дохода инвестиционного проекта. Подход к численному определению внутренней нормы доходности на основе применения аппарата классической интервальной математики и обобщенной интервальной арифметики Хансена.
Интервальная модель формирования индивидуального пенсионного фонда. Метод определения размера фонда и оценки размера пенсии на основе сочетания классической и обобщенной интервальных арифметик.
Введение
Интервальная модель и метод оценки доходной недвижимости в условиях неопределенности интервального вида.
Программный комплекс "ФИНИНТ", реализующий методы моделирования и анализа потоков платежей и инвестиционных проектов в условиях интервальной неопределенности.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
- XV Конференция по интервальной математике в рамках программы
научных мероприятий "Вычислительные Технологии - 2000", Новосибирск, 2000;
- Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной ма-
тематике (ИНПРИМ - 2000), Новосибирск, 2000;
- Всероссийская научно-практическая конференция "Математиче-
ское моделирование экономических систем и процессов", Чебоксары, 2000;
- XXXVIII Международная научная студенческая конференция "Сту-
дент и НТП", Новосибирск, 2000;
- XVI конференция по интервальной математике в рамках международ-
ной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", Новосибирск, 2001;
- bth Korea-Russia International Symposium on Science and Technology,
Tomsk, Russia, 2001.
Публикации. По результатам исследований опубликовано 10 работ [1-9,65].
Основные понятия обобщенной интервальной арифметики
Рассмотрим интервал X шириной 25. Пусть х - середина интервала X. Тогда любая точка в интервале X может быть представлена как х + и для некоторого значения п, удовлетворяющего условию:—s и s. Следуя [74], будем записывать X = х + щ несмотря на то,что X — интервал, а х + и — некоторое число из этого интервала. Согласно [74], интервальное представление f(X) любой функции записывается в форме: f(X) = А + Ви, где А и В — интервалы. Арифметические действия с интервальными функциями в обобщенной интервальной арифметике производятся согласно следующим правилам. Пусть g(-X) интервальная функция, представленная в виде: g(-X) = С+ Du, где Си D — интервалы. Сложение и вычитание:
В данной главе для моделирования и анализа финансовых операций используется аппарат классической интервальной арифметики. В первом разделе приводятся основные понятия теории финансов (см., например, [24,43,52,53,56]). Далее, с привлечением аппарата классической интервальной арифметики. разрабатываются методы начисления сложных процентов в условиях интервальной неопределенности;. разрабатываются методы моделирования интервальных потоков платежей и выводятся аналитические выражения для определения интервальных расширений их основных обобщающих характеристик;. разрабатываются модели инвестиционных проектов с интервальной неопределенностью в данных, выводятся аналитические выражения для расчета чистого приведенного дохода, и предлагается подход к определению внутренней нормы доходности.
Одна из основных концепций теории финансов заключается в неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, то есть рубль, полученный сегодня, стоит больше рубля, полученного в будущем. Исходя из этого, при анализе финансово-экономических операций необходимо учитывать фактор времени. Вследствие неравноценности денег во времени становится неправомерным суммирование и сравнение денежных сумм, относящихся к разным временным интервалам. Суммировать и сравнивать можно только денежные величины, приведенные на один момент времени. Данный принцип может быть реализован при помощи одного из способов наращения или дисконтирования с использованием какого-либо вида процентной ставки.
В современных условиях одним из важнейших элементов коммерческих, кредитных и инвестиционных контрактов, межстрановых экономических и финансовых соглашений являются процентные деньги (или просто проценты). Под процентными деньгами понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме.
При заключении финансового или кредитного договора стороны договариваются о размере процентной ставки. Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления. Проценты выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме задолженности (капитализация процентов).
В финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле — как измеритель степени доходности (эффективности) любой финансовой, кредитной или коммерческо-хозяйственной деятельности.
Существуют различные способы начисления процентов. Основным различием процентов является база их начисления. При постоянной ба зе используют простые, при переменной — сложные процентные ставки. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, как правило, применяют сложные проценты. База для начисления сложных процентов увеличивается с каждым шагом во времени, абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называют капитализацией процентов. В современных условиях проценты капитализируются обычно не один раз в году, а несколько. В случае, когда при объявлении условий финансовой операции оговаривается годовая процентная ставка и указывается количество начислений процентов в год, используют понятие номинальной ставки. Номинальная ставка — это годовая ставка процентов при начислении процентов несколько раз в год.
Важным также является выбор принципа расчетов процентов. Существует два таких принципа — наращение на сумму долга и скидка с конечной суммы задолженности. Соответственно применяют ставки наращения и учетные ставки (ставки дисконтирования) [56]. Под наращением в финансовом анализе понимают процесс увеличения первоначальной суммы денег во времени вследствие присоединения процентов. Первоначальная сумма с начисленными процентами к концу срока наращения называется наращенной суммой. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.
Начисление сложных процентов в условиях интервальной неопределенности
В левой части уравнения (2.24) стоит многочлен п -й степени относительно (1 + qb) l, коэффициенты которого — интервальные компоненты потока платежей. Согласно теореме Декарта, количество положительных корней многочлена не превосходит числа перемен знака в ряду его коэффициентов, поэтому в случае потока платежей с единственной переменой знака (стандартный поток — инвестиционные расходы предшествуют доходам) уравнение (2.24) имеет единственное положительное решение (в противном случае применение IRR как показателя эффективности инвестиций некорректно)
Для выделения корня интервального полинома в классической интервальной арифметике разработано большое количество разнообразных методов [10,30,39,63,69,75,84,89].
Рассмотрим один из них, а именно интервально-арифметическую версию метода Ньютона-Рафсона [30,69,75,84]. Для любого интервала v введем функции
Предполагаем, что 0 f (v) и рассматриваем функцию где m(v) — середина интервала v. Интервальное расширение метода Ньютона-Рафсона задается следующим рекуррентным соотношением: 1,2,...). Согласно [84], если f(V) = 0 для v С VQ, где VQ — начальный интервал, то v С г;„. Реализуя алгоритм, получаем список подинтервалов начального интервала, не содержащих нулей функции f. Подинтервалы, которые не вошли в этот список, ограничивают соответствующие нули [69]. Алгоритм состоит из следующих шагов.
Вычислим f(tfo) и f(vo)- Если 0 0 ї{щ), то процесс на этом заканчивается, так как в интервале VQ нулей функции f нет. Здесь мы используем свойство монотонности по включению интервальных расширений. В противном случае в VQ, возможно, имеются нули f. Пусть О Є f(vo). Если одновременно О Є f («о), то переходим к шагу 2. 2. Разобьем интервал VQ на два: VQ = [ o,m(vo)]U[т ),щ] и начинаем весь процесс с шага 1 с каждым из подинтервалов. Если О Є f( o) и О 0 f (г;о), то переходим к шагу 3. 3. Вычислим N(VQ). Если N(VQ) П VQ = 0, то в VQ не содержится нулей функции f. Если же N(VQ) С) VQ — интервал, то переходим к шагу 4. 4. Положим VQ = Х\ U Хг, где Xi = N{VQ) П VO- Интервал Х2 не содержит нулей функции f, и его мы относим к множеству подинтервалов, на которых заведомо не содержится нулей f. С интервалом Х\ мы повторяем весь процесс, начиная с шага 1. 5. Всякий раз, когда находится интервал У, не содержащий нулей f(t/), но пересекающийся с другим таким же интервалом X, вместо X и Уберем их объединение XU Y. Процесс продолжается до тех пор, пока дальнейшее улучшение становится невозможным. Это может случиться, если на некотором этапе к выполнится N(vk) П v = v . В данном разделе приводятся результаты численных расчетов обобщающих характеристик интервальных денежных потоков и показателей эффективности инвестиционных проектов, полученные с применением классической интервальной арифметики. Определение наращенной суммы и современной величины интервальных потоков платежей Исходные данные и полученные результаты расчетов наращенной суммы и современной величины интервальной р -срочной ренты с начислениями процентов m раз в году приведены в таблицах 2.1 и 2.2. Вычисления проведены по формулам (2.13), (2.17). В таблицах используются следующие обозначения: г, г —нижняя и верхняя границы процентной ставки(%); п — срок финансовой операции; m — количество начислений процентов в году; р — количество платежей в год; Я, R — нижняя и верхняя границы платежа; 5, S — нижняя и верхняя границы наращенной суммы; А, А — нижняя и верхняя границы современной величины; wc — ширина интервала результата.
Моделирование и анализ потоков платежей с использованием обобщенной интервальной арифметики
В первой строке каждой таблицы представлены результаты расчетов основных обобщающих характеристик финансовых рент в вырожденном случае, т.е. исходные данные (процентная ставка и платежи) являются вещественными числами. Полученные результаты также являются вещественными числами и совпадают с результатами, вычисленными по формулам классического финансового анализа.
Во второй и третьей строках таблиц приведены примеры определения соответствующих характеристик интервальных потоков платежей при задании в виде интервала процентной ставки (строка 2) и платежа (строка 3). В этом случае результаты также будут в виде интервалов, причем ширина этих интервалов незначительна.
В остальных строках таблиц 3.1 и 3.2 представлена динамика, соответственно наращенной суммы и современной величины интервальной ренты с начислениями процентов m раз в году при увеличении ширины интервалов исходных данных (процентной ставки и платежа). Ширина интервала результата также растет, но даже при достаточно широких интервалах исходных данных и большом сроке финансовой операции интервал результата имеет приемлемую ширину.
Для сравнения результатов, полученных на основе применения методов классической интервальной арифметики и аппарата обобщенной интервальной арифметики Хансена, в последнем столбце каждой таблицы приведены значения ширины результирующих интервалов, рассчитанных с использованием классической интервальной арифметики. Проводя сравнительный анализ, можно сделать вывод, что применение обобщенной интервальной арифметики Хансена для определения современной величины финансовой ренты позволяет получить интервал результата, имеющий ширину меньшую, чем при использовании классической интервальной арифметики. Интервальный анализ инвестиционных проектов
Исходные данные и результаты расчетов чистого приведенного дохода и внутренней нормы доходности инвестиционного проекта, проведенные с использованием аппарата обобщенной интервальной арифметики Хан сена, приведены в таблицах 3.3 и 3.4. Вычисления чистого приведенного дохода проведены по формуле (3.15). Поиск внутренней нормы доходности выполнен с использованием модификации метода Ньютона, использующей наклон, реализованной в обобщенной интервальной арифметике.
В таблицах использованы следующие обозначения: і, і —нижняя и верхняя границы процентной ставки(%); п — срок финансовой операции; m — количество начислений процентов в году; R,R — нижняя и верхняя границы платежа; W, W — нижняя и верхняя границы чистого приведенного дохода; Ч О-Ъ нижняя и верхняя границы внутренней нормы доходности(%); —О wc — ширина интервала результата, рассчитанного в классической интервальной арифметике; wg — ширина интервала результата, рассчитанного в обобщенной интервальной арифметике Хансена.
Интервальная модель и метод оценки доходной недвижи мости в условиях интервальной неопределенности
В современной литературе под рынком недвижимости понимают систему экономических отношений, посредством которых через динамику сил спроса и предложения осуществляется передача прав на собственность и связанных с ней интересов от продавца к покупателю, определяются цены и распределяется пространство между различными конкурирующими вариантами использования объектов недвижимости в границах некоторого замкнутого территориального образования [19].
Рынок недвижимости имеет достаточно сложную структуру и в зависимости от критериев классификации может быть разделен на несколько сегментов. Например, рынок недвижимости можно сегментировать на основе следующих критериев [19]: функциональное назначение объекта недвижимости (жилое, торговое, производственное, офисное и т.д.); тип объекта (свободный земельный участок, отдельно стоящее здание, встроенное помещение и т.д.) права на объект недвижимости (собственность, аренда, субаренда, закладная и т.д.)
Кроме такого сегментирования с правовой точки зрения рынок недвижимости можно разделить еще на два крупных сектора: государствен ный и частный.
На рынке недвижимости объектами являются права на собственность недвижимого имущества, а субъектами — физические, юридические лица и государство, проводящие сделки с правами собственности на объекты недвижимости.
Объем прав на объекты недвижимости может быть разным. Но наибольшую рыночную стоимость имеет полное право собственности. Определение рыночной стоимости объекта оценки дает Федеральный закон "Об оценочной деятельности в РФ" от 6 августа 1998г. №135-Ф3. Согласно этому закону под рыночной стоимостью объекта понимается "... наиболее вероятная цена, по которой данный объект оценки может быть отчужден на открытом рынке в условиях конкуренции, когда стороны сделки действуют разумно, располагая всей необходимой информацией, а на величине цены сделки не отражаются какие-либо чрезвычайные обстоятельства".
В отличии от обычных товаров объект недвижимости обладает двумя особенностями, которые формируют реакцию рынка на спрос и предложение: уникальность объекта и его неперемещаемость. В следствии этого недвижимость обладает ограниченной заменяемостью и, следовательно, для нее характерна ограниченная эластичность спроса.
На рыночную стоимость недвижимости оказывают воздействия разные факторы. Все эти факторы можно подразделить на две большие группы: факторы спроса и факторы предложения. К группе факторов предложения относятся те, которые влияют на цену продавца: главным образом это затраты на приобретение или создания объекта недвижимости или прав на него. Факторы, влияющие на цену покупателя, относят к группе факторов спроса. Покупатель, определяя максимально возможную для себя цену товара, обычно руководствуется принципом замещения, т.е. эта максимальная цена не должна превышать наименьшей цены товара аналогичной полезности. Сочетание этих групп факторов и определяет цену товара на рынке недвижимости. Поэтому оценщик при определении стоимости объекта недвижимости или прав на объект должен правильно учесть влияние этих факторов. К тому же оценщик должен ориентироваться на законы формирования цен на обычном товарном рынке с учетом вышеперечисленных особенностей недвижимости как товара. Именно эти законы лежат в основе трех подходов к оценке недвижимости [50].
Определяя рыночную стоимость недвижимости этим подходом, оценщик сначала рассчитывает стоимость полного воспроизводства или стоимость полного возмещения недвижимости, затем вычитает из нее сумму износа зданий и сооружений. К полученной сумме прибавляет рыночную стоимость участка земли. Такой подход к ценообразованию отражает сторону предложения. П. Доходный подход.
В этом случае оценщик внимательно анализирует все доходы, которые, как ожидается, будет приносить объект оценки в течении оставшейся экономической жизни, и пересчитывает их на момент оценки. Т.е. ценность товара определяется как текущая стоимость ожидаемых выгод. Выгодой может быть не только явный доход, приносимый недвижимостью при сдаче в аренду, но и неявный, например, от использования объекта собственником для своих целей.
При данном подходе все денежные потоки так же приводятся к одному моменту времени. С точки зрения теории спроса и предложения доходный подход отражает позицию покупателя.
