Содержание к диссертации
Введение
1 Построение гарантированного управления в декомпозиционных системах 15
1.1 Примеры, приводящие к задачам управления декомпозиционной системой 15
1.2 Свойства многогранников, линейно зависящих от правых частей 19
1.3 Постановка задачи 27
1.4 Построение гарантирующего управления . 29
1.5 Случай многогранной вектограммы управления 37
2 Моделирование гарантированного результата в квазилинейных системах 46
2.1 Постановка задачи 46
2.2 Построение гарантирующего управления . 48
2.3 Случай многогранной области управления . 54
2.4 Примеры 61
2.5 Векторная цена игры 67
3 Синтез гарантирующего управления в задаче о встрече в заданный момент времени 71
3.1 Аналитическое решение задачи о встрече в заданный момент времени 71
3.2 Примеры работы программы 77
3.3 Численная реализация на ЭВМ полученных результатов 81
Литература 121
- Свойства многогранников, линейно зависящих от правых частей
- Построение гарантирующего управления
- Построение гарантирующего управления
- Численная реализация на ЭВМ полученных результатов
Введение к работе
Актуальность темы
В представленной диссертационной работе рассматриваются вопросы, связанные с изучением и разработкой методов и алгоритмов моделирования гарантированного управления в динамических системах при наличии воздействия со стороны неконтролируемых помех, и функционирующих на конечном промежутке времени. Подход, положенный в диссертации в основу построения моделей таких задач управления, базируется на принципе гарантированного результата. При таком подходе помехам приписывается поведение, ухудшающее показатель качества, что приводит к рассмотрению задачи моделирования управления в рамках теории дифференциальных игр. Актуальность подобных задач, их большой теоретический интерес и прикладное значение обеспечили интенсивное развитие теории дифференциальных игр, составляющей основу алгоритмов синтеза гарантированного управления. Установлены прочные связи этой теории с другими разделами математики: теорией обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных включений и уравнений в частных производных; недиффереицируемой оптимизацией и выпуклым анализом, вычислительной математикой. Интенсивно разрабатываются численные методы вычисления гарантированного результата.
Современный облик теории дифференциальных игр сформировался в значительной степени под влиянием работ отечественных и зарубежных математиков Н.Н. Красовского, Л.С. Понтрягина, Р. Айзекса, У. Флеминга. Крупный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли Э.Г. Альбрехт, М. Барди, В.Д. Батухтин, Е.Н. Баррон, Т. Башар, Р. Белл-ман, А. Брайтон, Н.Л. Григоренко, Р.В. Гемкрелидзе, В.И. Жуковский, М.И. Зеликин, Н. Калтон, А.Ф. Клейменов, А.Н. Красовский, А.В. Кря-жимский, А.Б. Куржанский, Дж. Лейтман, П.Л. Лионе, А.А. Меликян, Е.Ф. Мищенко, М.С. Никольский, Г. Ольдстер, Ю.С. Осипов, А.Г. Пашков, B.C. Пацко, Н.Н. Петров, Л.А. Петросян, Г.К. Пожарицкий, Б.Н. Пшеничный, А.И. Субботин, Н.Н. Субботина, В.Е. Третьяков, В.И. Ухоботов, В.Н. Ушаков, А. Фридман, Хо-Ю-Ши, А.Г. Ченцов, Ф.Л. Черноусько, А.А. Чикрий, А.Ф. Шориков, Р. Эллиот и многие другие.
Н.Н. Красовским и представителями его школы развита концепция позиционных игр (см., например, [2-4, 6, 9, 16, 19-29, 35-37, 52-61, 69-73, 75, 77, 78], в основе которой лежит понятие стабильного моста и правило экстремального прицеливания на него. Для широкого класса дифференциальных игр доказана теорема об альтернативе (см., например, [21, 27, 54]). Обоснованы методы детерминированных и стохастических программных конструкций (см., например, [20, 25, 28, 54, 61]). В работах А.И. Субботина [55, 56] условия стабильности сформулированы с помощью производных но направлению. В результате получены дифференциальные неравенства [52], которые обобщают основное уравнение дифференциальных игр, записанное Р. Айзексом [1]. Такой подход позволяет использовать конструкции негладкого анализа в задачах синтеза оптимального гарантированного результата [53, 57]. Основная трудность при решении задачи позиционных дифференциальных игр ложится на построение стабильного моста. В рамках теории позиционных дифференциальных игр разрабатывались алгоритмы, а также численные методы построения стабильных мостов. Существенный вклад в разработку численных методов внесли B.C. Пацко, В.Н. Ушаков и их сотрудники [6, 37, 59, 69, 71]. В основе разработанных ими алгоритмов лежит метод понятных процедур. При разработке численных алгоритмов построения стабильных мостов одним из способов аппроксимации вектограмм является их аппроксимация многогранниками. Аппроксимация сечений моста и вектограмм многогранниками позволяет реализовать метод попятных процедур в операциях объединений и пересечений многогранников [7,10].
В случае, если многогранники, с помощью которых задаются векто-граммы управлений, обладают условиями линейности [63, 68], то для линейных игр с фиксированным временем окончания возможно построить стабильный мост в аналитическом виде. В диссертации рассматриваются декомпозиционные и квазилинейные игры с такими вектограммами и для них строятся стабильные мосты.
В теории позиционных игр (см., например, [21], стр. 33) реализовавшееся движение понимается как пучок функций, каждая из которых является равномерным пределом некоторой последовательности ломаных при диаметре разбиения, стремящемся к нулю. В диссертации используется это определение реализовавшегося движения. В случае, когда стабильный мост известен, построить гарантированное позиционное управление можно, например, с помощью экстремального прицеливания [20, 21] на стабильный мост. В диссертации используется метод построения гарантированного управления, предложенный В.И. Ухоботовым [65, 66, 68].
В работах Л.С. Понтрягина [42-44] разработана аналитическая схема нахождения решения линейной дифференциальной игры преследования на основе альтернированного интегрирования выпуклых множеств. Эти методы получили названия первого и второго прямых методов Л.С. Понт-рягина. Во втором методе используется идея попятного движения от терминального множества. В работах Л.С. Понтрягина и А.С. Мищенко [45-47] на основе альтернированного интегрирования разработаны алгоритмы моделирования управления преследователя без дискриминации убегающего объекта. Конструкции первого и второго методов Л.С. Понтрягина активно развивались в работах М.С. Никольского [31-33]. Были разработаны вычислительные процедуры и доказана сходимость для альтернированных сумм [34, 39]. Идея второго метода Л.С. Понтрягина была обобщена на нелинейные дифференциальные игры Б.Н. Пшеничным. Им разработана операторная конструкция решения игровых задач [49, 51]. В работах А.Г. Ченцова [72, 73], Ф.Л. Черноусько и А.А. Меликяна [74] разработай подход к построению гарантированного результата, основанный на процедуре коррекций программных управлений.
Цель диссертации
Основная цель диссертации состоит в разработке теоретических основ задачи синтеза гарантированного результата в декомпозиционных и квазилинейных динамических системах, а также в применении результатов к решению конкретных задач с последующей численной реализацией на ЭВМ.
В данной диссертации продолжается направление исследований, представленное в работах В.И. Ухоботова [64-68].
Методика исследования
В основе разрабатываемых в диссертации методов лежит концепция теории оптимального гарантированного управления. В работе используются понятия и результаты теории дифференциальных уравнений, теории многозначных функций, функционального анализа, линейного и выпуклого анализа.
Практическая и теоретическая ценность
Изложенные в диссертации методы и алгоритмы являются конструктивными. Полученные теоретические результаты для задачи гарантированного управления на заданном промежутке времени могут быть использованы для построения гарантированного результата и допускают их численную реализацию на ЭВМ.
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав, объединяющих 13 параграфов, списка литературы. Нумерация параграфов осуществляется в пределах каждой главы. Нумерация формул тройная: в первой позиции указывается номер главы, в которой приведена формула, во второй - номер параграфа, в третьей - номер формулы в параграфе. Такая же нумерация принята для определений, лемм, теорем, замечаний, примеров и рисунков. Основные обозначения объяснены в списке обозначений.
Краткое содержание работы
Свойства многогранников, линейно зависящих от правых частей
Рассмотрим многогранник Л (у), который при фиксированном наборе векторов Xj Є Rn, j Є 1,1 задается системой линейных неравенств А(у) = {zeRn: (Xj, z) Vj, j Є 17} . (1.2.1) Известно ( [48], теорема IV.1.13), что многогранник (1.2.1) не пуст тогда и только тогда, когда у G К, где К - конус, K=lyGRl:Y2 yj VA,- 0, j Є ЇД, Х Яі = 0 І з=і з=і ) (1.2.2) Многогранник (1.2.1) при каждом у Є К будет ограниченным ( [48], теорема IV. 1.14) тогда и только тогда, когда Є Rn : z = XjXj, Xj 0 I = Rn. (1.2.3) з=і J Рассмотрим многогранник (1.2.1) следующего вида: А(у) = {z Є Rn : (XJ, z) yj: j Є 0, k, ( -, г) -, j є fc + 1, n , (- -, z) yj+n-k, ІЄНІ.п}. (1.2.4) Здесь векторы #i,..., xn образуют базис в Rn, а #о = /їжі + ... + fkXk- (1.2.5) Лемма 1. 2. 1. Многогранник (1.2.4) ограничен тогда и только тогда, когда в разложении (1.2.5) коэффициенты /І 0, і Єї, k. (1.2.6)
Доказательство. Учитывая разложение (1.2.5), равенство z = ]Г) XjXj можно записать в следующем виде к п = Е fj+ЛІ) ; + Е (л - ЛІ) ъ с1-2-7) i=i j=fc+i где 2 — вектор из Дп, a Aj, і Є 0, n, Aj, j Є A; + 1, n - некоторые числа. Пусть многогранник (1.2.4) ограничен, но, например, f\ 0. Возьмем z = —Х\. Тогда из (1.2.7) следует, что —х\ = (Ao/i + Х\)Х\. Очевидно, что полученное равенство не выполняется ни при каких Ао 0, Ai 0. Докажем обратное утверждение. Пусть в разложении (1.2.5) коэффициенты fi 0, і Є 1, к. Возьмем z = с\Х\ + ... спхп и подставим в (1.2.7). Приравняв коэффициенты при Xj, получим систему скалярных равенств к = Ао/г + А,-, і el,к, CJ = Xj - A , j GH 1, n. Из неравенств fi 0, і Є 1, к следует, что существует число Ао 0, такое, что выполняется Q — Ao/j = Aj 0, і Є 1, к. Далее можно взять такие X j 0, чтобы выполнялось Cj = Xj — А 0. Таким образом, показали, что (1.2.6) справедливо при некотором наборе чисел А; 0, г Є 0, п, Xj 0, j Є к + 1, п. Лемма доказана. Лемма 1. 2. 2. Пусть условие (1.2.6) выполнено. Тогда конус (1.2.2) для многогранника (1.2.4) имеет следующий вид K=lye R2n k+l : г/о - Е fiVi - 0; Уі + + - Є k + l,n (1.2.8) Доказательство. Пусть у принадлежит конусу К (1.2.2). Тогда система неравенств {-Xj, z) yj+n-k, j Є к + 1, п. (1.2.9) является совместной. Из совместности этой системы следует ([48], с. 140), что не существует таких \І 0, Л 0, что п п j=0 j=k+l п п J2 Уз + Е х №+п-ь = -1- (L2-10) Учитывая разложение (1.2.5) перепишем первое равенство в (1.2.10) в следующем виде к п ]С (Лл-+ЛІ) хї + J2 (xj - ЛІ) XJ = Так как векторы Xi, X2,..., xn линейно независимы, то это равенство эквивалентно системе скалярных равенств Ло/j + Л,-= 0, j = l,k, Ai-Af = 0, г Є : + 1, п. (1.2.11) Допустим теперь, что одно из неравенств к 2/о - 5Z - + Уп+і-к 0, г Є /г + 1, гг. (1.2.12) г=1 не выполнено. Согласно (1.2.6), для любого набора чисел А, такого, что Ао 0, Aj = —Xofj 0, j Є 1, к , А = Х{ 0, і Є & + 1, п выполнены равенства (1.2.11). Подставим эти числа во второе равенство в (1.2.10), получим / к \ п Ао I З/о - Е Л-ї/і ) + ]Г Л fa + Уі+п-к) = -1- (L2-13) Это равенство выполнено при некоторых Ао 0, Aj 0, г Є к + 1,п. Следовательно, второе равенство в (1.2.10) выполнено при некоторых \j = —Xofj 0, j Є 1,/c , A = A 0, і Є &+ l,n. Это противоречит совместности системы (1.2.9). Докажем обратное утверждение. Пусть у Є R2n k+1 удовлетворяет неравенствам (1.2.12). Покажем, что у принадлежит конусу (1.2.2). Допустим, что это не так. Тогда существует набор чисел Xj 0,j 0, In — к, такой, что 2п-к 2п—к Y, А; ; = 0; ]Г \т 0. (1.2.14) j=o j=o Учитывая разложение (1.2.5), а также условие линейной независимости векторов Xj, j Є 1,п, получим, что первое условие в (1.2.14) эквивалентно системе равенств (1.2.11). Используя эту систему, второе условие в (1.2.14) запишем в виде / к \ п Х01у0- 2 fjVj ) + 2 XJ fe + Vj+n-k) 0. \ i=l / j=k+l Однако, из неравенств (1.2.12) следует, что последнее неравенство не выполняется ни при каких Xj 0, j Є 0,2п — к. Следовательно, сделанное предположение неверно. Лемма доказана. Лемма 1. 2. 3. Пусть для многогранника (1.2.4) выполнены соотношения (1.2.5) и (1.2.6). Тогда для любых у, у Є К, выполнено условие линейности А(у + У ) = А(у) + А(у ). (1.2.15) Доказательство. Включение А(у) + А(у ) С А{у-\-у ) следует из определения суммы множеств.
Построение гарантирующего управления
Управление (1.3.4), обеспечивающее условие (1.3.8), будем строить на основе аппроксимационной схемы [6G]. Будем считать, что вектограмма управления U(t) (1.3.2) удовлетворяет ряду ограничений. Предположение 1. 4. 1. При каждом t р множество U(t) является выпуклым, замкнутым и ограниченным.
Пусть S - выпуклое, замкнутое, ограниченное, симметричное относительно начала координат множество в Rn, содержащее начало координат в качестве внутренней точки.
Предположение 1. 4. 2. При всех t т р определена функция D(t,r) 0 такая, что U(t)cU(r) + D(t,r)S. (1.4.1) При каждых t р, z Є Rn и в Є. Q(t) обозначим e(t, z, 0) = inf {є 0 : {z + eU(t)) П (W(t, в) + є/( ) + eS) ± 0} . (1.4.2)
Из замкнутости множеств W, U и S следует, что при некоторых u (t,z,9), u(t,z,0) Є U(t) выполнено включение z + s(t, z, 0)u (t, z, в) Є W(t, в) + e(t, z, 6)u(t, z, 0) + e(t, z, 9)S. (1.4.3)
Функция s(t,z,9) используется для оценки сверху расстояния от точки z до множества W(t,0). Поскольку S компакт, то он содержится в евклидовом шаре радиуса 7 0. Тогда из включения (1.4.3) следует неравенство p(z; W(t, 0)) (7 + 2Q(t))e(t, z, в), Q(t) = max u. (1.4.4) u&U(t) Зафиксируем числа t т p и через (p(t, т, 0) обозначим инфимум множества чисел р 0, для каждого из которых выполнено включение W(T, ф{т-1,0,0)) + (г - t)U(r) + ipSD т D W(t, 0)- J fi (г, Ф(г; t, 0, гЦ-)), v (r)) dr (1.4.5) t для Vu (-) Є VtT.
Из замкнутости множеств, фигурирующих во включении (1.4.5), следует, что оно будет выполнено и при (р = ip(t,T,d). Функция ср в определенном смысле характеризует меру отклонения семейства W(t, 9) от стабильного моста [21] для конфликтно-управляемой системы (1.3.1). Лемма 1. 4. 1. Пусть числа а О, Ь 0, д 0 таковы, что z + (a- %(3) + 6w(2) - auw Є W{t, в) + 6S (1.4.6) при некоторых u Є U(t). Тогда e(t, z, в) max(a; 6; S). (1.4.7) Доказательство. Обозначим m = max(a; b). Пусть m — b. Тогда из (1.4.6) следует включение z + тщ Є W(t, в) + ти + SS (1.4.8) при b b Пусть т = а. Тогда включение (1.4.8) выполнено при а — Ъ (о\ b и :„(3) + »иР) е щ и = гг(і). а а Рассмотрим теперь включение (1.4.8). Если т 5, то оно будет выполнено, если в нем заменить 5 на т. Если же т 5, то из (1.4.8) следует z + 5u GW(t,9) + 5ui4) + 5S при г (4) = TLU + и Є U(t). о о Таким образом, включение (1.4.8) будет выполнено при некоторых и,и из множества U(t), если в нем заменить т и 5 на max(m; 5). Отсюда и из определения функции e(t, z, 9) следует требуемое неравенство (1.4.7). Лемма доказана. Теорема 1. 4. 1. Пусть выполнены предположения 1.4.1 и 1.4.2. Тогда управление u(t,z,0), удовлетворяющее включению (1.4.3), для любого начального состояния 9Q Є О(о) Є Я" и любой ломаной (1.3.6) обеспечивает выполнение неравенства є(U, гш(и),ви(и)) max ( e(t0, z0, в0); m&x(tj+i - tj)J + \ 0 j i J 2-ZD(tj,tj+i) __ e i= , Vi = 0,/c. (1.4.9) + 5Z ( " ti+h ( +i; v( ))) i=o і: Доказательство. Подставим управление u(t, z, 9) в формулу для ломаной (1.3.6). Обозначим zu(ti) = Z{, &І = вш(и), u(ti,Zi,9i) и и (U, zi, 9І) = и , s{U, Zi, ОІ) = ЕІ.
Построение гарантирующего управления
Задан управляемый процесс z= -u + v + 7 -ДМ), t p. (2.1.1) Здесь z Є Rn, и — вектор управления; v — вектор помехи; р — заданный момент окончания процесса управления; 7 - малый параметр. На возможные значения управления и помехи накладываются геометрические ограничения и Є U(t) Сйп, г; Є V(t) С Rn. (2.1.2)
Предположение 2. 1. 1. Многозначная функция V : (—оо, р] — 2Rn, определяемая вектограммой помехи (2.1.2), является измеримой по Ле бегу, а ее значения V(t) при каждом t р являются замкнутыми и ограниченными множествами, содержащимися в шаре g(t)S. Здесь g{t) О - интегрируемая на каждом отрезке функция, a S = {z Є Rn : \\z\\ 1} евклидов шар единичного радиуса. Из этого предположения следует [5], что при любых г t р инте грал / V(r)dr является выпуклым компактом в Rn. т О п р е д е л е н и е 2. 1. 1. Допустимым управлением назовем любую функцию и : (—оо,р] х Rn — Rn, значения u(t, z) которой при каждых t р и z Є Rn удовлетворяют включению u(t,z) Є U(t). (2.1.3)
Пусть выбрано допустимое управление (2.1.3) и задано начальное состояние z(to), to р. Возьмем разбиение u:t0 ti ... tk+1=p (2.1.4) с диаметром d{uS) — max (U+\ — U). 0 i k Построим "ломаную" Zu (t) = Zuiti) + {t- U) (-«( , zufa)) + 7/Й, z„{U))) + v(t). (2.1.5) t Здесь Zufo) = z(to), a v(i) Є fV(r)dr - любая реализация помехи на и отрезке [ti,ti+i]. Рассматривается следующая задача. При каждом t рзадано непустое замкнутое множество W(t) С Rn. Требуется построить управление (2.1.3), которое для любого начального состояния to Pi z{to) Є W(to) и для любой ломаной (2.1.5) обеспечивает выполнение условия max p{zw(U),W(U)) Q при d(w) - 0, 7 + 0. (2.1.6) 0 г А;+1 2.2 Построение гарантирующего управления
Управление (2.1.3), обеспечивающее условие (2.1.6) будем строить на основе аппроксимационной схемы [66] применительно к рассматриваемому классу задач управления. Будем считать, что выполнены предположения 1.4.1 — 1.4.3. 3 а м е ч а н и е 2. 2. 1. Включение (1.4.1) в предположении 1.4.2. выполнено для функции D(t,r) = max (о; max (с(ф; U(t)) - с(ф; Щт)))) . В самом деле, имеем с(ф- U(t)) с(ф- Щт)) + ( , т) \\ф\\,Щ Є Rn. Отсюда, и из теоремы отделимости выпуклых множеств ( [48], с. 17) следует включение (1.4.1). Зафиксируем числа t т р и через p(t, г) обозначим минимальное из чисел (р 0, для каждого из которых выполнено включение т W(T) + (т - t)U(r) + pSD W{t) + f V{r)dr. (2.2.1) t Из замкнутости множеств, фигурирующих во включении (2.2.1), следует, что оно будет выполнено и при if = (f(t,r). Для конфликтно-управляемой системы (2.1.1) при 7 = 0 функция (f(t,r) характеризует в определенном смысле меру отклонения семейства W(t) от стабильного моста [21].
При каждом t р и z Є Rn обозначим e(t, z) = inf {є 0 : (z + eU{t)) П (W(t) + eU{t) + eS) ф 0} . (2.2.2) Из замкнутости множеств W, U и S следует, что при некоторых u (t, z), u(t, z) Є U(t) выполнено включение z + e(t, z)u (t, z) Є W(t) + e(t, z)u(t, z) + e(t, z)S. (2.2.3)
Численная реализация на ЭВМ полученных результатов
Как было показано в примере 1.1.1 задача о встрече материальной точки с автомобилем в заданный момент времени может быть сведена к виду z\ = — щ — bcosO, z2 = — Щ — bshid, 9 — cv, \v\ 1, (3.1.1) где ограничения на выбор управления и заданы неравенствами \ui\ (р - t)ai, \и2\ (р - t)a2, а условия встречи (1.1.6) можно записать соотношениями z(p)eA(F(9(p))), F(9(p))eK, в которых функции Fi(9) = F2(9) = є\, Fz{9) = FA{9) = є2, и четырехугольник Л(у) имеет вид Л(2/ь 2/2,2/з, 2/4) = {( i, z2) Є Я2 : -у2 zx уи -у4 z2 у3} . Найдем функции {Т} Fj)(Q), определенные формулами (1.5.6), для данной задачи. Имеем (T$FA (0) = min ( І Ь cos 0(r)dr +єі 1 , (T FA (0) = -max I f bcos9(r)dr-hex ,t T (T$F3) (0) = min I fbsme(r)d r + 2 , (T FA (в) = - max I [bsm6(r)dr + e2 J . (3.1.2)
Здесь минимум и максимум берутся по всем управляемым процессам (#(г),г (г)), удовлетворяющим условиям в = cv(r), { 0{т) = в, \v(r)\ 1. Обозначим ф = ср — (3, где /? принимает одно из значения 0; 7г; ; .
Тогда, для нахождения функций (TjTFj)(9) необходимо решить следующую оптимизационную задачу ( Р f Ъ cos %l)dr — max, (3.1.3) ф = си, V( o) = / 0, (г) 1, — 7Г "0 7Г. Обозначим через У (to, 0о) — оптимальное значение целевого функционала оптимизационной задачи (3.1.3). Найдем оптимальное управление v(t) и значение V(o 0o) Случай I. Пусть 0 0о к и Фо с(р — to). Тогда — 1, при to t t\, v(t) = I Фо = — + o Р-с О, при t\ t p.
Из монотонности функции cos0 на интервале (0,7г) следует, что построенное управление является оптимальным. Следовательно, У (to, Фо) = / &cos(0o — ct0 — ci)dt + l bdt = to b . фо = -sm0o + o(p to). с с Случай II. Пусть 0 фо 7Г и фо с(р — to). Тогда v(t) = —1 при to t р. Поэтому to У (to, Фо) — \ ЬСОБ(ФО — ct0 — ct)dt р = —sin (0о + cto — ер) + -sin 0o с с Таким образом, при 0 0о к оптимальное значение целевого функционала У{іо,фо) задачи (3.1.3) имеет вид ъ- sin 0о + \{ср -Фо- cto), при + t0 р, У(і0,Фо) = \ sin 0о - \ sin(0o + ct0 - ср), при & + t0 р. Отметим, что полученная функция У(Ц,фо) является непрерывной. Случай III. Пусть — тг фо 0 и фо c(to — р). Тогда 1, при to t t\, о v(t) = { ф , h = \0 p. с О, при t\ t p. Из монотонности функции СОБФ на интервале (—7Г, 0) следует, что построенное управление является оптимальным. Следовательно, и р V(t0, фо) = / 6cos( 0 — cto + ct)dt + bdt = to ti = —sin 0 + 6(p + — -()) с с Случай IV. Пусть —7Г фо 0 и фо c(to — р). Тогда v(t) to t р. Поэтому p при V(t0, фо) = / 6cos( 0 - ct0 + ct)dt to b . , , , b . , = - SHlf o — cto + cp) — sin-00 с с Таким образом, при — 7Г фо 0 оптимальное значение целевого функционала V{to o) задачи (3.1.3) имеет вид -ь- sin фо + \{ср + фо- ct0), при - & + t0 р, У(і0іф0)=і К с -ь- sin фо + \ sin( 0 - ct0 + ср), при - & + t0 Р Отметим, что полученная функция У( ,фо) является непрерывной. Объединяя случаи при 0 фц п и — 7г фо О, получаем \ sin \ф0 - ft + (ср + \ф0 - ft - ct0), J i + t0 p, V(to,iM = { + t0 p. \ sin \ф0 - ftl - \ sin( o - ftl + c o - cp), Учитывая полученное решение задачи (3.1.3), запишем вид функций (3.1.2). Согласно обозначению аргумент функции ф = ср — /3, где (3 принимает одно из значения 0; 7г; ; Щ- .
