Введение к работе
Актуальность темы. Диффузия - один из технологических процессов, на основе которых происходит формирование твердотельных неоднородных полупроводниковых гетероструктур, являющихся базовой композицией для создания функциональных приборов твердотельной микроэлектроники Дифференциальные уравнения, являющиеся основой существующих математических моделей, достаточно хорошо описывают диффузию при больших временах процесса и на большие глубины проникновения диффундирующих атомов Но, в настоящее время в полупроводниковой на-нотехнологии реализуются кратковременные диффузионные процессы из резких начальных концентрационных профилей В решениях дифференциальных уравнений диффузии, полученных для таких условий, проявляется следующее из локальности уравнений не-физичное дальнодействие, заключающееся в мгновенном распространении локализованного возмущения на расстояния, значительно превышающие длину скачка диффундирующего атома в данном направлении
При обосновании математических моделей на основе дифференциальных уравнений, диффузия рассматривается как результат почти бесконечного числа случайных перемещений атомов по равновесным положениям в твердом теле, когда вероятность скачка отдельного атома не зависит от направлений его предшествующих перемещений Однако в реальных кристаллах атом совершает коррелированные блуждания Обычно корреляционный эффект для определенных типов кристаллических решеток учитывают введением поправок в диффузионные соотношения, при этом не учтенной остается корреляция между скачками разных атомов ансамбля В случае, когда ограниченная концентрация равновесных положений сопоставима с концентрацией диффундирующих атомов, этот эффект становится значительным Поэтому для достижения лучшей адекватности описания процесса диффузии в реальных твердотельных средах, уравнения математических моделей должны учитывать корреляционный эффект
Существенные изменения в диффузионных уравнениях также связаны с учетом действия движущих сил диффузии Градиент концентрации равновесных положений, характерный для микроструктуры твердотельных гетеросистем, является движущей силой диф-
фузии, и его учет в математической модели является актуальной задачей
Учитывая вышеотмеченную ограниченность описания диффузии в твердых телах, разработка и исследование свойств более адекватных математических моделей диффузионно-кинетических процессов в неоднородной твердотельной среде позволит прогнозировать свойства гетеросистем, целенаправленно управлять технологией, выявить существенные взаимосвязи и взаимовлияния параметров технологических процессов
На основании вышеизложенного тему работы можно считать актуальной
Целью работы является формулировка, обоснование и анализ математических моделей диффузионно-кинетических процессов в твердых телах, которые не имеют ограничений на концентрацию примеси и ее градиент и позволят более адекватно описывать эти процессы с учетом микроструктуры среды Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи
синтезировать математические модели, лишенные ограничений на концентрацию примеси и ее градиент, учитывающие корреляционный эффект, применимые для описания диффузии в твердотельной среде с ограниченной концентрацией равновесных положений,
получить решения уравнений математических моделей,
разработать прикладные программы для компьютерной реализации математических моделей,
- проверить адекватность математических моделей путем
сравнения полученных результатов с решениями известных из лите
ратуры уравнений и сопоставления результатов численных и натур
ных экспериментов для конкретных твердотельных сред,
Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, вычислительной математики, математической статистики и физики конденсированного состояния
Научная новизна. В работе представлены следующие новые научные результаты
1 Предложены интегро-дифференциальные уравнения для описания диффузии в твердых телах, применимые без ограничения на физически реализуемую концентрацию диффундирующих атомов и ее градиент, что отличает их от известных ранее дифференциальных диффузионных уравнений
Решения предложенных интегро-дифференциальных уравнений исключает мгновенное распространение локализованного возмущения на значительные расстояния, свойственное ранее известным дифференциальным уравнениям диффузии
Впервые в предложенных уравнениях диффузии корреляционный эффект в средах с ограниченной концентрацией равновесных положений учтен путем рассмотрения зависимости потока атомов от концентрации свободных равновесных положений
Впервые предложено интегро-дифференциальное диффузионное уравнение, учитывающее движущую силу диффузии, обусловленную наличием градиента равновесных положений
Предложен метод исследования свойств математических моделей, основанный на анализе свойств дисперсионных соотношений, полученных в ходе решения уравнений модели методом Фурье
Научные положения, выносимые на защиту.
Математическая модель диффузии примесных атомов в неоднородной среде с ограниченной концентрацией равновесных положений и ограничением случайной длины скачка
Математическая модель диффузии примесных атомов в неоднородной среде с ограниченной концентрацией равновесных положений и задаваемым распределением случайной длины скачка
Математическая модель диффузии примесных атомов в неоднородной среде с пространственно неоднородным распределением концентрации равновесных положений
Метод исследования свойств математических моделей, основанный на анализе свойств дисперсионных соотношений, полученных в ходе решения уравнений модели методом Фурье
Практическая значимость.
Новый подход при обосновании интегро-дифференциальных уравнений в математическом описании диффузионно-кинетических процессов позволяет учитывать корреляционный эффект при описании диффузии в твердых телах, исследовать и учитывать взаимосвязь между микроскопическими и макроскопическими свойствами материала, создавать математические модели, более точно описывающие процессы в конденсированных средах
Решение задачи описания диффузии из резких концентрационных профилей в твердых телах является практически значимым в нанотехнологии полупроводниковых гетеросистем
Результаты, позволяющие путем моделирования процесса диффузии разрабатывать оптимальные технологические режимы формирования твердотельных гетеросистем, можно использовать на предприятиях полупроводниковой промышленности
При исследовании свойств разработанной математической модели диффузии обнаружены эффекты сегрегации примеси и самоорганизации формы зоны реакции, доказывающие перспективность применения полупроводниковых гетеросистем в технологии создания быстродействующих активных дискретных элементов интегральных схем, оптоэлектронных преобразователей энергии и других функциональных приборов твердотельной электроники
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в тринадцати печатных работах (из которых одна статья [9] в периодическом из даний, рекомендованном ВАК РФ), цитируемых по ходу изложения диссертации, зарегистрирована 1 программа и 1 комплекс программ в Государственном фонде алгоритмов и программ Личное участие автора заключалось в разработке диффузионного интегро-дифференциального уравнения для неоднородной твердотельной среды, разработке и исследовании моделей для выделенного класса объектов, проведении численных экспериментов и проверки адекватности математических моделей
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и семинарах V международная научно-техническая конференция «Кибернетика и технологии XXI века» (С&Т 2004) (Воронеж, 2004 г ), XXI Международная конференция «Нелинейные процессы в твердых телах» (Воронеж, 2004 г ), Международная научная конференция «Тонкие пленки и наноструктуры» (Москва, 2004 г.), XLIII и XLIV отчетные научные конференции за 2004 и 2005 годы, ВГТА (Воронеж, 2005, 2006 гг ), Международная школа-семинар «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2005г ), XIX международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-19» (Воронеж, 2006 г )
Объем и структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы Объем работы составляет 140 страниц Работа содержит 32 рисунка
