Содержание к диссертации
Введение
1 Сетевые многомерные динамические модели управления инвестиционным портфелем при нестохастической волатильности финансовых активов 24
1.1 Модель управления инвестиционным портфелем в непрерывном времени 25
1.1.1 Постановка задачи и описание модели 25
1.1.2 Определение оптимальной стратегии управления . 33
1.1.3 Вывод уравнений для математического ожидания и дисперсии капитала ИП 36
1.2 Модель управления инвестиционным портфелем в дискрет
ном времени 38
1.2.1 Постановка задачи и описание модели 38
1.2.2 Определение оптимальной стратегии управления . 41
1.2.3 Вывод уравнений для математического ожидания и дисперсии капитала ИП 44
1.3 Одновременное управление двумя инвестиционными портфелями (дискретное время) 47
1.3.1 Постановка задачи и описание модели 47
1.3.2 Определение оптимальной стратегии управления . 51
1.4 Учет ограничений, возникающих при управлении инвестиционным портфелем в реальных условиях 52
1.4.1 Транзакционные издержки и потребление 52
1.4.2 Объем торговых операций 55
1.5 Выводы 56
Сетевые многомерные динамические модели управления инвестиционным портфелем при стохастической волатильности финансовых активов 58
2.1 Модель управления инвестиционным портфелем в непрерывном времени при случайных скачкообразных изменениях волатильности финансовых активов 60
2.1.1 Постановка задачи и описание модели 60
2.1.2 Определение оптимальной стратегии управления 64
2.1.3 Модель управления инвестиционным портфелем в условиях ненаблюдаемости состояния марковского процесса #() (непрерывное время) 68
2.1.4 Вывод уравнений для математического ожидания и дисперсии капитала ИП 72
2.2 Модель управления инвестиционным портфелем в дискрет ном времени 74
2.2.1 Постановка задачи и описание модели 74
2.2.2 Определение оптимальной стратегии управления 77
2.2.3 Модель управления инвестиционным портфелем в условиях ненаблюдаемости состояния марковского процесса #() (дискретное время) 81
2.2.4 Вывод уравнений для математического ожидания и дисперсии капитала ИП 86
2.3 Робастный адаптивный алгоритм оценки волатильности и фильтрации параметров марковской цепи 89
2.4 Адаптивное управление ИП на скачкообразном финансовом рынке с переключающимися режимами 92
2.4.1 Постановка задачи и описание модели 93
2.4.2 Определение оптимальной стратегии управления 94
2.4.3 Адаптивный алгоритм фильтрации марковской цепи по наблюдениям за ценами активов 95
2.4.4 Алгоритм адаптивного управления инвестиционным портфелем 97
2.5 Модель управления инвестиционным портфелем, волати льность рисковых активов которого описывается GARCH-процессом (дискретное время) 98
2.5.1 Постановка задачи и описание модели 98
2.5.2 Определение оптимальной стратегии управления 101
2.6 Выводы 104
3 Сетевые многомерные динамические модели активного управления инвестиционным портфелем в условиях скач кообразного финансового рынка 106
3.1 Модель активного управления инвестиционным портфелем в непрерывном времени 107
3.1.1 Постановка задачи и описание модели 107
3.1.2 Определение оптимальной стратегии управления 110
3.1.3 Модель активного управления инвестиционным портфелем в условиях ненаблюдаемости состояния марковского процесса 0(-) (непрерывное время) 113
3.1.4 Вывод уравнений для математического ожидания капитала ИП 116
3.2 Дискретная модель активного управления инвестиционным портфелем 118
3.2.1 Постановка задачи и описание модели 118
3.2.2 Определение оптимальной стратегии управления 119
3.2.3 Модель активного управления инвестиционным портфелем в условиях ненаблюдаемости состояния марковского процесса 9(-) (дискретное время) 124
3.2.4 Вывод уравнений для математического ожидания капитала ИП 128
3.3 Выводы 129
Заключение 131
Библиография
- Определение оптимальной стратегии управления
- Одновременное управление двумя инвестиционными портфелями (дискретное время)
- Модель управления инвестиционным портфелем в условиях ненаблюдаемости состояния марковского процесса #() (непрерывное время)
- Модель активного управления инвестиционным портфелем в условиях ненаблюдаемости состояния марковского процесса 0(-) (непрерывное время)
Введение к работе
Проблема оптимального управления инвестиционным портфелем (optimal portfolio selection problem) является одной из наиболее важных в финансовой инженерии [12, 20, 25, 26, 98, 101]. В качестве инвестиционного портфеля (ИП) принято рассматривать определяемый инвестором набор рисковых и безрисковых финансовых активов. Под рисковыми активами понимают финансовые активы со случайной доходностью [12, 22, 25, 26], а под безрисковыми - финансовые активы с детерминированной и возможно нестационарной доходностью. Управление ИП осуществляется путем перераспределения капитала между его активами в виде операций купли/продажи на фондовом рынке. Цель оптимального управления ИП заключается в таком, возможно неоднократном, перераспределении капитала ИП между его активами, которое позволило бы получить прибыль в будущем.
Фондовый рынок в развитых странах служит мощнейшим механизмом привлечения как внешних, так и внутренних инвестиций. Причем в качестве инвесторов могут выступать и крупные финансовые институты, и обычные граждане (например, в США до 50% ежедневного оборота, измеряемого в миллиардах долларов, на фондовых биржах составляют денежные средства граждан). Крупнейшие инвестиционные фонды, брокерские компании и другие финансовые институты вкладывают сотни миллиардов долларов на развитие и разработку систем по управлению ИП, одновременно привлекая ведущих ученых, специалистов по финансовой математике и из смежных областей к решению проблемы оптимального управления инвестиционным портфелем (см. например [76]).
Существуют различные подходы к решению данной проблемы. В 1952 г. Нобелевским лауреатом по экономике 1990 г. Марковицем была опубли кована фундаментальная работа [98], которая послужила основой современной теории формирования портфеля инвестиций. Подход Марковица, позднее получивший название MV-подхода (MV - Mean-Variance), основывался на предположении о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля (обычно дисперсию портфеля или связанные с ней меры риска), с другой стороны - получать желаемую доходность (либо в двойственной постановке - максимизировать доходность при ограниченном риске). При этом задача оптимизации структуры портфеля (определения оптимальных долей вложений в различные виды активов) решается в статической постановке (однопериодные модели) и в зависимости от выбора функции риска и способов учета неопределенности сводится к решению задач квадратичного, линейного или стохастического программирования [61, 74, 87, 126].
В дальнейшем, появились различные модификации и обобщения модели Марковица: в [66, 77, 103,121] предложено развитие MV-подхода на случай многопериодного управления ИП; в [67, 82, 94, 110, 125, 128, 129] предложены подходы к синтезу динамических стратегий управления как в непрерывном так и в дискретном времени; в [85, 87, 119] рассматривается проблема учета транзакционных издержек в рамках модели Марковица; в [67] предложена модификация MV-подхода, в которой риск измеряется не дисперсией капитала ИП, а VAR-критерием; в [82] рассматривается logMV-подход в дискретном времени при этом проблема оптимального управления портфелем формулируется как задача максимизации логарифма доходности капитала ИП при ограничениях на логарифм дисперсии капитала ИП.
Необходимо отметить следующие недостатки MV-подхода:
• стратегия управления ИП, полученная с помощью данного подхода, является «близорукой» (myopic strategy), то есть зависит только от текущих значений параметров, характеризующих активы ИП, независимо от того будут изменятся эти значения в будущем или нет, и также не зависит от текущего значения капитала ИП и цен рисковых активов;
• как в статической так и в динамической постановке минимизируется среднее отклонение капитала ИП от заданной величины в конечный момент времени без учета ограничений на объемы торговых операций и вложений в активы ИП, поэтому минимум риска достигается лишь в конечный момент времени, а в течение всего периода управления он остается неопределенным;
• введение дополнительных ограничений (например, учет транзакци-онных издержек) приводит к трудной проблеме численного решения задачи целочисленного программирования с помощью алгоритмов перебора [85, 87, 119];
• стратегия управления ИП, полученная с помощью данного подхода, является очень чувствительной к малым изменениям входных параметров, которые неизбежно возникают, например, при оценке большого количества элементов матрицы ковариаций рисковых активов [44];
• невозможность использования данного подхода в тех случаях, когда ИП может содержать различные классы рисковых активов, то есть динамика их цен описывается различными моделями, или когда необходимо управлять несколькими различными портфелями одновременно.
Другой подход к проблеме оптимального управления ИП в непрерывном времени был предложен Нобелевским лауреатом по экономике 1997 г. Мертоном в [101], где оптимальная стратегия управления ИП выбирается из условия максимума некоторой интегральной функции полезности [40, 92, 101], при этом динамика ИП описывается в агрегированном виде (уравнением капитала портфеля в целом), а в качестве управляющих воздействий также берут доли вложений общего капитала в тот или иной актив. В рамках данного подхода аналитическое решение можно получить лишь для весьма ограниченного набора функций полезности [101]. В остальных случаях, а также при учете различных ограничений, такой подход приводит к трудной проблеме численного решения интегро-дифференциальных HJB-уравнений (HJB - Hamilton-Jacobi Bellman) динамического программирования [36, 40, 70, 88, 92, 105, 107] или задачи стохастического программирования [127].
Дальнейшее развитие данный подход получил, например, в работах [39, 40, 41, 42, 117, 116], где предлагается использовать чувствительный к риску (risk-sensitive) критерий, который позволяет «штрафовать» инвестиционную систему за большие значения асимптотической дисперсии капитала ИП, тем самым минимизируя отклонения реальной доходности ИП от ожидаемой. В [41, 53, 70, 75, 88,105] рассматривается проблема учета транзакционных издержек в рамках подхода Мертона. В [36, 102] предложены подходы к учету ограничений, накладываемых на состояние капитала ИП. В [86] обсуждается адаптивная версия подхода Мертона. Проблема оптимального управления ИП в условиях неполной наблюдаемости (наблюдаются только цены рисковых активов) рассматривается в [106, 117, 124], на случай возможного краха экономики в [91].
Подход Мертона получил широкое теоретическое развитие, благодаря, в частности, применению мощного математического аппарата теории управления стохастическими процессами и мартингальных методов. С другой стороны использование мартингальных методов требует точного знания вида распределения (например, броуновское движение по определению есть гауссовский процесс, хотя давно известным фактом является то, что распределение доходностей рисковых активов не является нормальным [28]), что существенно ограничивает практическое применение данного подхода. Кроме того невозможно использовать подход Мертона в тех случаях, когда ИП содержит различные классы рисковых активов, или когда необходимо управлять несколькими портфелями одновременно.
Сравнительно недавно, в [97] был предложен, так называемый, VaR-подход (Value at Risk), в рамках которого предлагается ИП формировать таким образом, чтобы максимизировать вероятность достижения или превышения капиталом ИП заданной величины в конце периода управления. Другими словами, необходимо формировать ИП таким образом, чтобы оценка этой вероятности была близка к единице. Данный подход, в отличие от предыдущих, позволяет для описания динамики цен рисковых активов, формирующих ИП, использовать достаточно слож ные математические модели, например ARCH модели со случайными скачкообразно меняющимися параметрами [38]. При выборе оптимальной структуры ИП с помощью VaR-подхода доли вложений в каждый из активов портфеля не должны изменяться до конца периода управления, что является существенным ограничением. В [72] предлагается обобщение в виде DVaR-подхода (Dynamic Value at Risk), в рамках которого допускаются изменения в структуре ИП. Основной проблемой при практическом использовании VaR-подхода является необходимость в точном знании вида распределения доходностей рисковых активов и высокая чувствительность к выбору величины временного окна (по сути объема выборки) при формировании исторических данных [11].
В настоящее время помимо классических постановок задачи оптимального управления ИП [98, 101] существует отдельное направление, рассматривающее проблему управления ИП в зависимости от выбранного инвестиционного стиля. Выделяют два стиля управления - пассивный и активный. При пассивном управлении (passive management) [26, 89,108] инвестор формирует ИП, распределяя капитал в соответствии со структурой индексного портфеля, выбранного им. В качестве индексного портфеля обычно используется широко диверсифицированный портфель, в точности повторяющий структуру известного рыночного индекса (например, индекс S&P500 [46, 47]), либо некоторого портфеля, стабильно дающего хорошие результаты в терминах риск-доходность, так называемого, benchmark portfolio. Им может быть, например, портфель фонда доверительного управления (mutual fund) или паевого фонда. Активное управление (active management) [26, 29, 46, 47, 111] заключается в том, чтобы превзойти доходность индексного портфеля путем, возможно, неоднократного и систематического перераспределения инвестиций между активами ИП. Оба стиля управления связаны с понятием «эффективного» рынка. Сторонники пассивного управления считают, что рынок является «эффективным», то есть сложно получить доходность ИП выше среднерыночной. Приверженцы активного управления имеют обратное мнение и утверждают, что на рынке возникают ситуации, когда можно получить доходность ИП выше среднерыночной путем коррекции (регулирования) структуры портфеля или покупки недооцененных рисковых активов.
Следует отметить, что в рамках проблемы оптимального управления ИП возникает сложный и имеющий более чем вековую историю вопрос о выборе адекватной модели финансового рынка или модели динамики цен рисковых активов. Поэтому, прежде чем перейти к классификации существующих моделей управления ИП, сделаем небольшой обзор по истории развития моделей финансового рынка, а также обсудим достоинства и недостатки наиболее популярных из них в настоящее время.
В 1900 г. Башелье [32] впервые предложил описывать динамику цен случайным процессом или процессом броуновского движения, позднее названным винеровским в честь Винера, построившего в 1923 г. строгую математическую модель этого движения. Следующий значительный шаг в развитии моделей, основанных на броуновском движении, был сделан Самюэлсоном в 1965 г. (подробнее см. [24]), который, отмечая, что в модели Башелье цены могут принимать отрицательные значения, предложил для описания цен использовать логарифмическое броуновское движение, называемое также геометрическим или экономическим броуновским движением. Данная модель приобрела за последние десятилетия широкую известность, в частности, благодаря формуле справедливой стоимости опционов европейского типа, полученной Бл-эком и Шоулсом в [43]. Дискретный вариант такой модели введен и изучен Коксом, Россом и Рубинштейном [51]. В [53, 75, 85, 87, 88, 91, 94, 98, 101, 102, 105, 119, 128] предложены различные подходы к проблеме оптимального управления ИП, в рамках которых для описания динамики цен рисковых активов используется модель Блэка-Шоулса. В [36, 37, 39, 40, 41, 42, 55, 81, 116, 117] рассматриваются различные модификации модели Блэка-Шоулса, описывающие эволюцию цен рисковых активов ИП.
В настоящее время существует огромное множество моделей, призванных адекватно описывать динамику цен (см. например [19, 27, 28, ИЗ]). Среди них наибольшее развитие получили модели, основанные на броуновском движении, которые можно классифицировать следующим образом:
• модели, управляемые данными или наблюдениями;
• модели, управляемые параметрами.
Впервые модель, параметры которой функционально зависят от предшествующих наблюдений, была предложена в 1982 г. Нобелевским лауреатом по экономике 2003 г. Энглом в работе [68] по авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH - Autoregressive Conditional Heteroskedasticity). В ней предполагалось, что дисперсия доходности рискового актива является линейной функцией квадратов прошлых значений (наблюдений) самой доходности. Модель ARCH была в последствии обобщена Боллерслевом в [45] путем включения слагаемых, соответствующих скользящим средним (GARCH - Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity). Модели данного класса хорошо себя зарекомендовали по нескольким причинам. Во-первых, простота получения статистических процедур оценки параметров и проверки гипотез, благодаря, в частности, широкому развитию методов, разработанных для моделей авторегрессии и скользящего среднего. Во-вторых, ограничение финансовой теории, связанное с прогнозом «на один шаг вперед». Моделям типа ARCH уделено большое внимание в финансовой литературе, где описаны всевозможные модификации и обобщения (более подробно см. [27]). В [38] рассматривается VAR-подход при этом в качестве модели цен активов ИП используется модификация GARCH модели - так называемая SWARCH (Switching ARCH) модель, в которой параметры ARCH процесса изменяются в соответствии с эволюцией марковской цепи, состояние которой не наблюдается. Модели типа GARCH не нашли своего применения в рамках и MV-подхода, и подхода Мертона, поскольку использование GARCH моделей для описания динамики цен рисковых активов ИП не позволяет записать уравнение динамики капитала в явном виде, а также в случае непрерывного времени данные модели не имеют аналогов.
В моделях, управляемых параметрами, предполагается, что среднее и/или стандартное отклонение (волатильность) доходности рискового актива имеют функциональную зависимость от некоторого латентного (ненаблюдаемого) случайного процесса. К моделям данного класса от носятся SV-модели (SV - Stochastic Volatility) и скрытые марковские модели (НММ - Hidden Markov Model). Тэйлором в [120] была предложена модель логнормальной стохастической дисперсии, которая в настоящее время получила наибольшее развитие среди SV-моделей. В данном случае латентный процесс интерпретируется как случайный и неустойчивый поток новой информации, поступающей на фондовые рынки. В [106, 107] обсуждается проблема оптимального управления ИП в рамках подхода Мертона в том случае, когда эволюция цен рисковых активов подчиняется SV-модели.
Другим подходом является описание доходности рисковых активов в виде скрытого марковского процесса (НМР - Hidden Markov Process, см. обзор [69]), который, в более общем случае, принято называть НММ. НМР нашли широкое применение в различных приложениях теории информации и управления. В области экономики НМР, впервые, использовались для описания макроэкономических процессов и моделирования бизнес-циклов [78], где получили название моделей с переключающимся режимом (switching regime model). Независимо от [78] в [54] было предложено использовать НМР для описания волатильности доходности ценных бумаг. Латентный процесс в НММ интерпретируется как смена режима (состояния) экономики, которая может вызывать резкие скачкообразные изменения цен рисковых активов на фондовых рынках и смену тенденций роста или падения цен. Например, если среднее доходности рискового актива является функцией от латентного процесса, то для состояния роста экономики оно принимает некоторое положительное значение, что означает тенденцию роста цен рисковых активов или, так называемую, «бычью» тенденцию. В противном случае - для состояния экономического спада или кризиса становится отрицательным, то есть цены рисковых активов имеют понижательную или «медвежью» тенденцию. Различные подходы к проблеме оптимального управления ИП, в которых для описания динамики цен финансовых активов используются НММ, рассмотрены в [33, 48, 82, 125, 129].
Оценка параметров SV-моделей и НММ представляется более трудным делом, чем в случае моделей типа ARCH, поскольку сложно высказывать и трактовать, статистически, свойства и предположения о по ведении латентного процесса. Тем не менее SV-модели и НММ гораздо легче поддаются обобщению на многомерный случай и имеют более простые аналоговые представления в случае непрерывного времени. Поэтому сложно отдать явное преимущество моделям того или иного класса, что, в частности, приводит к попыткам симбиоза моделей типа ARCH и НММ (см., например, [38, 60]).
Помимо моделей, управляемых наблюдениями и параметрами, существуют модели, в которых присутствует дополнительный источник неопределенности, определяемый путем включения слагаемого, независимого, как правило, от броуновского движения. Это так называемые рыночные и факторные модели [26, 49], а также модели с добавлением пуассо-новских импульсных возмущений [63, 79, 100].
Рыночные модели являются основой теории оценки финансовых активов (САРМ - Capital Asset Pricing Model), предложенной в 1964 г. Нобелевским лауреатом по экономике 1990 г. Шарпом в работе [114]. В данных моделях в качестве дополнительного источника неопределенности выступает слагаемое, функционально зависящее от доходности некоторого рыночного индекса. Альтернативой, в некотором смысле, рыночной модели является факторная модель, которая, в свою очередь, служит основой теории арбитражного ценообразования (APT - Arbitrage Price Theory), описанной Россом в [112]. Факторные модели учитывают зависимость доходности рисковых активов от различных неопределенных факторов (ВВП, производительность труда, цена на нефть и пр.). Ярким примером, который можно здесь привести, выступает многофакторная модель BARRA для оценки ценных бумаг США (более подробно см. [26]).
Модели с добавлением пуассоновских импульсных возмущений (JDM - Jump Diffusion Model), впервые были предложены Нобелевским лауреатом 1997 г. по экономике Мертоном в [100]. В [35, 70, 79] рассматривается проблема оптимального управления ИП в рамках подхода Мертона при этом эволюция цен рисковых активов описывается JDM.
Подход Мертона и MV-подход используются в большинстве существующих работ, посвященных разработке и изучению моделей оптимального управления ИП, которые можно классифицировать по следующим признакам:
Определение оптимальной стратегии управления
Рассмотрим ИП, состоящий из п видов рисковых активов и безрискового актива с детерминированной и, возможно, нестационарной доходностью. Предположения о структуре ИП и условиях функционирования рынка будем использовать те же, что и для моделей в непрерывном времени.
Используя Эйлеровскую схему дискретизации и пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости чем o(At), обобщенный аналог уравнения геометрического (экономического) броуновского движения Блэка-Шоулса [28, 122] в дискретном времени можно записать как:
п Si(t + At) « (l + (t)At + aij(t) (t)VAtjSi(t), (1.15) i=i Si(0) = S? 0, zGNn, te [0,t/], где Si(t) - цена і - го рискового актива на конец интервала [t—At, t\, параметр fii(t) характеризует норму возврата (коэффициент роста или средняя ожидаемая доходность на интервале [t, t + At]), матрица волатиль-ности Е() = [ Tij(t)]. eN Є Rnxn на интервале [ttt + At], j(t), j Є Nn -независимые случайные процессы с нулевым средним и единичной дисперсией, tf - длина периода управления (горизонт инвестирования), At -длина интервала дискретизации. Оценки параметров fii(t), o ij(t) можно вычислить, используя, например, полученные в [31, 34, 109] результаты. Замечание 1.3. В рамках модели (1.15) цена может принимать отрицательные значения: V5? 0 : 3 ProbiSiit) о} ф 0, і Є N„, Є [О, tf].
Однако, метод синтеза стратегий управления не использует предположение о неотрицательности цен (также как и о виде распределения случайных величин). Следовательно, стратегии управления будут оптимальными и для наблюдаемых на рынке реальных цен Si(t) 0. Именно на основе этих цен строятся оценки параметров и определяется состояние реального управляемого портфеля в каждый момент времени t. Заметим, что подобные дискретные модели широко используются в финансовой математике (см., например /122]).
Для описания цен рисковых активов ИП используем модель (1.15), выбирая At равным единице (например, один день), что можно объяснить свойствами натурального логарифма доходностей рисковых активов при малых изменениях цен (более подробно см. [28, 122]). В этом случае уравнения (1.15) принимают вид: п Si(t + i) = (1 + мо + Х ;№Ш)ад, (Lie) Si(0) = Sf 0, і Є Nn, t Є [0,tf]. Учитывая структуру ИП, представленную на рис. 1.1, и модель цен (1.16), запишем уравнения эволюции рисковых активов: п xi{t+1) = (і+in{t)+J2 j( )&( )) (х&)+« w)» 3=1 ХІ(0) = zj, Xi(t),Ui(t) Є (-00,00), і Є Nn, t Є [Ojtj]. Эволюция банковского счета следует уравнению: п жп+і( + 1)= (і+ г( ))(я:п+і(0-53 ",( ))» (1-І7) г=1 n+i(0) = z+lJ xn+i{t) Є (-oo,oo), t Є [0,tf], где r(i) - доходность банковского счета на интервале \t, + її, вектор со-стояния x(t) — [xi(t),X2(t),.. .,xn+i(t)] Є Шп+1 , и вектор управления ИП u(t) = [ui(t),U2(t),... ,un()] Є En. Компоненты Xi(t) равны капиталу, вложенному в і - й рисковый актив, і Є Nn; компонента xn+i(t) описывает состояние банковского счета. В предлагаемой модели не накладывается явных ограничений на управления Ui(t) и допускаются отрицательные значения переменных состояния Xi(t): если Xi(t) 0, і Є Nn - это означает участие в операции «short sale» [26, 101]; если xn+i(t) 0 - это означает заем капитала в сумме zn+i(t). Если щ(і) 0, то это означает перевод капитала в сумме щ() с банковского счета в і - й вид рисковых вложений (покупка і - го вида рискового актива на сумму равную значению v i(t)), если Ui(t) 0, то это означает перераспределение капитала с і - го рискового актива на банковский счет (продажа і - го вида рискового актива на сумму равную абсолютному значению щ(ї)).
Эволюция вектора состояния ИП x(t) подчиняется стохастическому разностному уравнению: п я;( + 1) = Лойя;( ) + 5о(ф( ) + ( (фМ + ( И ))б ( ). С1-18) ж(0) = ж0, Є [0,і/], где матрицы AQ(t) = diag{a(t), 1 + г (і)} Є R("+D ("+!), Л,-(t) = diag{aj(t),0} Є R +D +D, B0(t) = ҐД( ]Л Є R , Bj(t) = K( A Є R("+1)x", a{t) = diag{l + /n( ), 1 + fi2{t), ...,1 + / „( )} Є Rnxn, 6И = [(1 + r(t)), (1 + r( )),..., (1 + r( ))j Є IT, aJ (t) = Аа ауф, rjy( ), , W} Є Rnxn, 0n= [0,0,...,0] el".
Определим стратегию управления ИП путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы капитал управляемого ИП с наименьшими отклонениями повторял траекторию роста капитала эталонного портфеля, задаваемого инвестором. Рассмотрим эталонный портфель с неслучайной доходностью, траектория роста капитала которого описывается следующим уравнением:
Одновременное управление двумя инвестиционными портфелями (дискретное время)
Под транзакционными издержками (transaction costs) принято понимать любые расходы, вызванные торговыми операциями с активами ИП. Большинство из разновидностей этих расходов перечислено в следующем списке: биржевой сбор - взимается биржей за проведение любой торговой операции; комиссионные со сделки - взимается брокером за совершение любой торговой операции с рисковыми и безрисковыми активами; сбор за использование заемных средств - взимается тем, кто предоставляет эти средства (отметим, что в качестве заемных средств могут выступать как денежные ресурсы, так и рисковые активы).
Остальные издержки, не попавшие в этот список, как правило, определяются тем брокером, у которого обслуживается инвестор, например, плата за обслуживание депозитарных счетов инвестора или за изменение нетто-позиции по рисковым активам ИП.
Принято различать транзакционные издержки по способу их начисления. Соответственно, можно выделить три вида издержек: постоянные издержки (fixed costs) - взимаются в виде некоторой постоянной суммы, не зависящей от объема сделок или средств на счете инвестора (данный способ начисления издержек широко распространен на большинстве фондовых рынков западных стран, где брокеры взимают с каждой сделки постоянную сумму порядка 5-10 долларов, вне зависимости от ее объема);
переменные издержки (proportional costs) - взимаются в виде некоторого процента с объема сделки или используемых инвестором заемных средств (данный способ начисления издержек часто используется российскими брокерами);
комбинированные издержки - взимаются в виде некоторой постоянной суммы, до определенного, устанавливаемого брокером объема сделки, при превышении этого объема уже взимается некоторый процент с объема сделки (например, взимается 10 долларов со сделки, объем которой не превышает 5000 акций, при превышении данного объема, с каждой акции взимается по одному центу дополнительно).
Отметим, что в реальных условиях любые возникающие транзакционные издержки списываются брокером со счета инвестора по окончании торговой сессии.
Под потреблением (consumption) обычно рассматривают использование некоторой части капитала ИП на покрытие расходов, не связанных с инвестиционной деятельностью.
В начале данной главы было сделано предположение о том, что потребление и транзакционные издержки не учитываются. Это обуславливается тем, что как в рамках классических подходов к проблеме управления ИП [53, 70, 75, 87, 88, 105, 116], так и в рамках подхода, предлагаемого в данной работе, очень сложно получить аналитически оптимальную стратегию управления для случая явного учета транзакционных издержек и потребления. Для предложенных в этой главе моделей управления ИП возможно несколько вариантов решения проблемы учета транзакционных издержек и потребления. Запишем уравнение динамики банковского счета (1.17) с учетом транзакционных издержек и потребления: xn+1(t + 1) = (l + r(t)) ( a?n+i(t) - J2\Ui(t) + І(щ(і) ф 0) x + X (ai(t)l(\Ui(t)\ Щ(І))\ЩЩ+0І(І)І(\ЩЩ «#)))) n+l + Хл ( КМ ) bW - CW . (1.39) 1=1 J I(a b) = {1 a 6 где ai(t) и 7І(І) - параметры, описывающие объем переменных транзакционных издержек для операций, проводимых с г - ым рисковым активом (a i(t) - доля от объема сделки, {t) - доля от заемных средств), /Зі(і) - размер постоянных издержек для операций, проводимых с г - ым рисковым активом, щ(і) - объем сделки с г - ым рисковым активом, при превышении которого взимается не постоянная сумма /%(), а доля с объема сделки ai(t) (например, при щ(і) = 0 транзакционные издержки от сделок с г - ым рисковым активом будут переменными, а при ui(t) = со постоянными), c{t) - параметр, характеризующий величину потребления, то есть объем денежных средств, выводимых на каждом периоде [t, t+i\ с банковского счета ИП и используемых инвестором по своему усмотре нию.
В результате, получим субоптимальную стратегию управления ИП, заменив при расчете вектора управляющих воздействий u{t) уравнение динамики банковского счета (1.17) уравнением (1.39).
Другой подход к синтезу субоптимальной стратегиии управления ИП с учетом транзакционных издержек состоит в модификации функции риска (1.20), которую можно записать следующим образом: Y Ші) (V(t)-(l+a(t)) V(t)) +xT{t)C{t)x{t)+uT(t)R{t)u(t) + n(tf)(y(tf) - (l + a(tf))V(tf))\xT(tf)C(tf)x(tf)\, (1.40) где a(t) - доля капитала управляемого портфеля, которая используется для оплаты транзакционных издержек и потребления. Величину a(t)V(t) в критерии (1.40) можно интерпретировать как верхнюю оценку размера будущих транзакционных издержек и потребления. Следует отметить, что размер издержек является случайной величиной вне зависимости от способа начисления.
Модель управления инвестиционным портфелем в условиях ненаблюдаемости состояния марковского процесса #() (непрерывное время)
Рассмотрим модель ИП, вектор состояния которого описывается уравнением (2.2) при условии, что состояния процесса 9(-) из фазового про ГЛАВА 2. Модель в непрерывном портфеля подчиняется уравнению (2.3 времени, стохастическая волатильность 69 странства 3 не наблюдаются. Предполагается, что матрица переходных вероятностей неизвестна. В этом случае необходимо переопределить начальные условия для уравнения динамики ИП (2.2) п dx(t) = Ao(t)x(t)dt + Ъи(Ь)сИ + Aj{t, e(t))x{t)dwj(t), (2.15) x(0) = x0l і Є [0,tf]. Закон управления выбирается в классе линейных с обратной связью: u(t) = Ki(t)x(t) + K2(t)V{t), (2.16) где K\(t) Є Enx(n+1), К2(і) 6 Rn- матрицы коэффициентов обратной связи. Теорема 2.2. Пусть динамика вектора состояния ИП x(t) описывается уравнением (2.15), эволюция капитала эталонного), а закон управления выбран в виде (2.16). Тогда матрицы оптимальных коэффициентов обратной связи K\(t), K2(t), t [О, tf] определяются системой уравнений:
Уравнения (2.22)-(2.24) динамики Рц(і), Pi2(t), P22{t) получим, используя формулу дифференцирования Ито [123] и уравнения динамики для x(t) в форме (2.25) и для V(t) (2.3). Критерий оптимальности (2.4) перепишем в виде (2.21). Таким образом, задача управления стохастической системой (2.3), (2.15) сводится к эквивалентной задаче управления детерминированной системой, описываемой матричными уравнениями динамики вторых моментов состояний (2.22)-(2.24), матрицами K\(t), K2(t) в качестве управляющих воздействий и критерием оптимальности (2.21). Для решения данной задачи используем принцип максимума в матричной формулировке [30]. Гамильтониан системы (2.22)-(2.24) имеет вид:
Доказательство теоремы проводится исходя из определения процессов т{1,вк), D(t,6k), к Є N„ и m(), D{t) с использованием формулы дифференцирования Ито [123] и в целом повторяет доказательство теоремы 1.2, поэтому здесь не приводится.
Как и ранее, рассматривается инвестиционный портфель, состоящий из п видов рисковых вложений и безрискового актива. Динамику цен рисковых активов ИП будем описывать стохастическими разностными уравнениями со случайными скачкообразно меняющимися параметрами: п Si(0) = S? 0, 0(0) = 00, і Є Nn, t Є [0, tf], где Si(t) - цена і - го рискового актива на конец интервала \t — l,t\, параметр fii(t) характеризует норму возврата (средняя ожидаемая до МЇХП ходность на интервале [t,t + l]), T,(t,0(t)) = , j(t) - независимые слу матрица волатильности на интервале [t, t -f-1 , чайные процессы с нулевым средним и единичной дисперсией, tf - длина периода управления, 6(t) - однородная марковская цепь с конечным фазовым пространством наблюдаемых состояний 9 = Ї #i, .., #i/ f и из вестной матрицей вероятностей перехода: v
Процессы -(-) и 9(-) независимы, начальное состояние Si(0), вообще говоря, не зависит от 9(-). Оценки параметров fii(m), 0у(О можно вычислить, используя, например, результаты, полученные в [34, 52, 65, 71,109]. Следует отметить, что для модели цен (2.26) справедливо замечание 1.3. Пусть x(t) = [xi(t),X2{t),... ,xn+i(t)] Є Rn+1 - вектор состояния, а u(t) = [ui(t), щ(і),..., un(t)] Є Ж" - вектор управления ИП. Тогда, используя модель цен рисковых активов (2.26) и учитывая структуру ИП, представленную на рис. 1.1, запишем уравнение динамики ИП в пространстве состояний:
Компоненты X{(t), і Є Nn равны вложенному капиталу в і - й рисковый актив; компонента xn+i(t) описывает состояние банковского счета. В предлагаемой модели не накладывается явных ограничений на управления и допускаются отрицательные значения переменных состояния. Интерпретация переменных управления и состояния остается такой же как и для рассматриваемых в Главе 1 моделей управления ИП в дискретном времени.
Стратегию управления определим так, чтобы капитал управляемого ИП с наименьшими отклонениями повторял траекторию роста капитала эталонного портфеля, которую можно описать разностным уравнением вида:
Модель активного управления инвестиционным портфелем в условиях ненаблюдаемости состояния марковского процесса 0(-) (непрерывное время)
Доказательство. Уравнения (3.17)-(3.19) динамики Рц(), Ріг )) - ) получим, используя формулу дифференцирования Ито [123] и уравнения динамики для x(t) в форме (2.25) и для V(t) (3.11). Критерий оптимальности (3.2) перепишем в виде (3.16). Таким образом, задача управления стохастической системой (2.15), (3.11) сводится к эквивалентной задаче управления, детерминированной системой, описываемой матричными уравнениями динамики вторых моментов состояний (3.17)-(3.19), матрицами K\(t), K2(t) в качестве управляющих воздействий и критерием оптимальности (3.16).
Для решения данной задачи используем принцип максимума в матричной формулировке [30]. Гамильтониан системы (3.17)-(3.19) имеет вид: rA = J2 Ы (Яи(і, ОІ) + K?(t)R(t, 0,)#1й)Рц( ) + (#i2( , ад+ n + Kl{t)R(tA)K2(tj)PUt) + ( Ai( » ) iiW-Aj(t ))Qn(t)+ xP12(t)+(H22(t,9i)+K%(t)R(t,ЄІ)К2(І))Р22(І)+ (]((7(t,ft)) )ЯЙ(«)x xQ22{t))pi(t)+trl Г(ЛО( )+В/І:І(0)РІІ(0+АІ( )(Л)( )+В І( ))Г+ + %K2(t)Pl(t) + р12(0#2г( ):вт) QnW + Г(ло( ) + 3 )) )+ + ък2{г)Р22{1) + /i( ) wW2(01 + 2AiW 2WQ22(t) На оптимальной траектории должны выполняться те же условия, что и в доказательстве теоремы 2.2, из которых после взятия производных следуют (3.12)-(3.15). Теорема доказана.
В отличие от предыдущей главы, эталонный (индексный) портфель имеет случайную доходность. В этом случае дисперсия ИП вычисляется посредством решения достаточно громоздкой системы взаимосвязанных дифференциальных (в дискретном времени разностных) матричных уравнений, поэтому целесообразней использовать следующую формулу для вычисления D(t): D(t) = Pn(t) - m(t)mT(t). Соответственно, зная уравнения для Pn(t) и m(t), можно легко вычислить дисперсию капитала ИП, используя D(i).
Теорема 3.3. Пусть 1. вектор состояния ИП x(i) описывается уравнением (2.2), закон управления u(t) имеет вид (2.5), а динамика капитала индексно го портфеля подчиняется уравнению (3.1). Тогда математическое ожидание капитала ИП равно: П+1 V г=1 j=l где т{Щ) = E{x(t)l(e(t) = 6j)} = М Л)]гЄмп+1 Є Mn+\ определяются взаимосвязанными дифференциальными уравнениями m{t, в5) = (A0{t) + ЪК , 0;))т( , 6j) + ЪК2& 0;)т(ф;(г)+ V + 2\kjm(t,9k), k=i т(0,%) = z(0)Pi(0), J ЄК,ІЄ [О, /], 2. вектор состояния ИП x(t) описывается уравнением (2.15), закон управления u(t) имеет вид (2.16), а динамика капитала индексного портфеля подчиняется уравнению (3.11). Тогда математическое ожидание капитала ИП равно:
Доказательство теоремы проводится исходя из определения процессов m(t,9k), к Є Nu и m(t) с использованием формулы дифференцирования Ито [123] и в основном повторяет доказательство теоремы 1.2, поэтому здесь не приводится. Рассмотрим задачу активного управления ИП (2.27). Динамика капитала индексного портфеля описывается стохастическим разностным уравнением: V(t + 1) = (l + At) + 5 (t, М)&( )) V («), (3.20) n+1 ) = (0),0(0) = 00, (0, , где V(t) - капитал индексного портфеля, fi(t) - средняя доходность индексного портфеля, интерпретация параметров a (t,0(t)), j Є Nn+i, описывающих случайные изменения доходности индексного портфеля, такая же как и в непрерывном времени, tf - горизонт инвестирования, j(t), j Є Nn+i - независимые случайные процессы с нулевым средним и единичной дисперсией. Процессы j(-), j Є Nn+i и 6(-) независимы.
Стратегию управления ИП выберем так, чтобы капитал управляемого портфеля превышал в среднем капитал индексного портфеля. В качестве меры риска, как и ранее, будем рассматривать квадратичный функционал: где V() = J3 xi(t) — бп+іж( ) - общий капитал управляемого портів і феля, 7r(t,9(t)) - веса, C(t,9{t)) Є R 1) 1) и R(t,9{t)) Є Enxn симметричные положительно определенные матрицы, начальный капитал V(0) = V(0), задаваемый инвестором параметр fi(t,9(t]) 0 характеризует долю капитала индексного портфеля, на которую управляемый ИП должен превзойти его в среднем. Оптимальный закон управления определим в классе линейных с обратной связью вида (2.30).
В результате, задача синтеза оптимальной стратегии управления состоит в определении последовательности матриц Ki(t,9(t)), K2(t,9(t)): t Є [О, tf — і], минимизирующих критерий (3.21) на траекториях системы (2.27), (3.20).
Теорема 3.4. Пусть динамика вектора состояния ИП x(t) описывается уравнением (2.27), эволюция капитала индексного портфеля подчиняется уравнению (3.20), а закон управления выбран в виде (2.30). Тогда последовательность матриц оптимальных коэффициентов обратной связи Ki(t,9i),K2(t,9i), г Є N„, t Є [0,/ — і] определяется системой взаимосвязанных уравнений:
