Содержание к диссертации
Введение
1. Агрегированные динамические модели управления инвестиционным портфелем с учетом ограничений на объемы вложений в финансовые активы 20
1.1. Модель управления ИП с нестационарной детерминированной волатилыюстью финансовых активов 21
1.1.1. Постановка задачи и описание модели 21
1.1.2. Синтез стратегий управления с прогнозирующей моделью 27
1.2. Модели управления ИП, доходности рисковых активов которого описываются многомерными процессами авторегрессии 37
1.2.1. Постановка задачи и описание модели 37
1.2.2. Синтез стратегий управления с прогнозирующей моделью 38
1.2.3. Доходности рисковых активов ИП — процессы авторегрессии -скользящего среднего (ARMA (р, q) - процессы) 47
1.3. Модели управления ИП, эволюции волатильностей рисковых активов которых описываются процессами с условной гетероскедастичностью 48
1.3.1. Модель ИП с описанием волатильностей GARCH-процессом 49
1.3.2. Модель ИП с описанием волатильностей CHARMA - моделью 55
1.4. Возможность учета транзакционных издержек и «проскальзывания» цен: субоптимальные стратегии 57
1.5. Выводы 60
2. Многомерные динамические сетевые модели управления инвестиционным портфелем с учетом транзакционных издержек и ограничений 62
2.1. Постановка задачи и описание модели 62
2.2. Синтез прогнозирующих стратегий управления ИП 67
2.3. Управление ИП на основе однофакторной рыночной модели 73
2.4. Модель ИП с описанием волатильностей GARCH-M моделью 75
2.5. Модель управления ИП на финансовом рынке со стохастической волатильностью рисковых активов 78
2.6. Выводы 82
3. Динамические модели управления инвестиционным портфелем на диффузионно- скачкообразном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений при неопределенности в задании параметров 84
3.1. Агрегированная модель ИП и синтез стратегий управления с учетом ограничений 85
3.2. Многомерная модель ИП и синтез стратегий управления с учетом транзакционных издержек и ограничений 93
3.3. Выводы 101
4. Адаптивные робастные стратегии управления инвестиционным портфелем. численное моделирование 103
4.1. Численное моделирование стратегий управления, построенных на основе агрегированых моделей ИП 103
4.1.1. Управление портфелем российских акций, торгуемых на фондовой бирже ММВБ 104
4.1.2. Управление с учетом «проскальзывания» цен и транзакционных издержек 111
4.1.3. Торговля без использования маржинального кредитования 115
4.1.4. Управление портфелем европейских акций, торгуемых на фондовой бирже Euronext с учетом транзакционных издержек 120
4.1.5. Управление портфелем, состоящим из валютных пар, торгуемых
на международном валютном рынке Forex 128
4.2. Численное моделирование стратегии управления, построенной на
основе многомерной модели ИП 138
4.3. Выводы 143
Заключение 145
Библиография
- Постановка задачи и описание модели
- Синтез прогнозирующих стратегий управления ИП
- Многомерная модель ИП и синтез стратегий управления с учетом транзакционных издержек и ограничений
- Управление портфелем российских акций, торгуемых на фондовой бирже ММВБ
Введение к работе
Проблема оптимизации (выбора оптимальной структуры) и управления инвестиционным портфелем является одной из основных в управлении финансами и представляет как теоретический, так и практический интерес [33,37,40,42,45,111,112,114]. Под инвестиционным портфелем (ИП) обычно понимают набор рисковых и безрисковых финансовых активов, которые инвестор включает в свой портфель. Под рисковыми активами понимают финансовые активы со случайно меняющейся доходностью, такие как обыкновенные акции, а под безрисковыми — финансовые активы с детерминированной доходностью, такие как надежные облигации типа государственных обязательств или банковский депозит в надежном банке. Управление ИП осуществляется посредством операций купли-продажи активов на фондовом рынке с целью коррекции структуры ИП так, чтобы минимизировать риск портфеля и обеспечить достаточно высокую доходность инвестиций. Фондовый рынок служит эффективнейшим механизмом привлечения как внутренних, так и внешних инвестиций. Эффективность инвестиций в решающей степени зависит от выбранных стратегий управления ИП. Разработка таких стратегий является чрезвычайно актуальной и сложной проблемой, требующей привлечения современных математических методов и моделей и вычислительных технологий [33,45,100,114,111,135].
В связи с актуальностью проблемы, крупнейшие финансовые институты, такие как банки, инвестиционные фонды, управляющие компании вкладывают значительные средства в исследования фондового рынка и
разработку математических моделей ИП, которые лежат в основе стратегий управления.
Существуют различные подходы к решению проблемы управления ИП,
характеризующиеся многообразием критериев, моделей динамики капитала,
используемыми моделями эволюции цен [5-9,29-31,34-36, 45, 47-55,59-74,78-
83,85-92,94-102,104,106,108-112,114-118,120,121,125-128,131-137], среди
которых можно выделить два основных (направления).
Основой современной теории портфеля инвестиций и современной финансовой математики послужила фундаментальная работа Нобелевского лауреата по экономике 1990 г. Г. Марковица [112]. Подход Марковица (так называемый Mean-Variance, MV — подход) и последующие его модификации исходят из предположения о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы максимизировать доходность портфеля, с другой стороны - минимизировать (или ограничить) риск, либо минимизировать риск портфеля и получать при этом желаемую доходность. Проблема оптимизации структуры портфеля (определения долей вложений капитала инвестора в активы) в зависимости от выбора функции риска (обычно дисперсии портфеля или связанных с ней мер риска) и способов учета неопределенности, сводится к решению задач квадратичного, линейного или стохастического программирования [6,29,31,34,36,40,42,45, 79,87-90,104,111,121,132-135]. Таким образом, задача решается в статической постановке. Такие модели относятся к классу однопериодных моделей.
Отметим основные недостатки однопериодных моделей и их модификаций:
стратегии управления, основанные на таких моделях, являются «близорукими» (myopic strategy [114]), поскольку не учитывают эволюцию (динамику изменения) цен на периоде инвестирования, а также не зависят от текущего значения капитала ИП — отсутствует обратная связь;
минимум риска достигается лишь в конце горизонта инвестирования, а в течение всего периода инвестирования он остается неопределенным;
7 параметры, характеризующие доходности финансовых активов -ожидаемые доходности и ковариации доходностей, предполагаются постоянными на весь период инвестирования, что не реалистично;
стратегия управления ИП получается очень чувствительной даже к малым неточностям в задании входных параметров модели, которые неизбежно возникают при практической реализации стратегий, поскольку теоретические значения параметров заменяются их приближенными оценками по историческим данным — структура портфеля искажается так называемым «модельным шумом» в силу большого числа оцениваемых параметров;
введение дополнительных ограничений на объемы торговых операций и учет транзакционных издержек существенно усложняет решение задачи оптимизации и приводит к трудной проблеме решения задачи целочисленного программирования с помощью трудоемких алгоритмов перебора [99,102];
Для преодоления недостатков модели Марковича появились различные ее модификации [36,66,67,79,87,89,100,104,133], однако основные отмеченные проблемы в рамках статических моделей до сих пор не получили эффективного решения.
Другой подход к моделированию и управлению ИП основан на построении динамических моделей портфеля и использовании для оптимизации структуры ИП методов теории стохастического управления и мартингальных методов. В классической постановке, предложенной лауреатом Нобелевской премии по экономике 1997 г. Мертоном [114], оптимизационная проблема заключается в определении стратегии управления ИП в непрерывном времени, максимизирующей некоторую (достаточно искусственно выбираемую) интегральную функцию полезности, зависящую от уровня текущего потребления и капитала в конечной точке горизонта инвестирования. Аналитическое решение данной задачи можно получить лишь для весьма ограниченного набора функций полезности и без
8 учета ограничений на объемы торговых операций. В остальных случаях такой подход приводит к трудной проблеме численного решения интегро-дифференциальных уравнений динамического программирования Гамильтона-Якоби-Беллмана, которая известна как «проклятье размерности» [1,2,107,116].
В настоящее время существует множество подходов к решению
проблемы оптимизации ИП, но большинство из них являются усложнением и
развитием моделей Марковица и Мертона. В работах [52,53,55,125,126]
в рамках непрерывных моделей предлагается использовать так называемый
«чувствительный к риску» (risk - sensitive) критерий. Конструкция этого
критерия позволяет ограничивать риск портфеля (логарифм дисперсии
капитала) и максимизировать логарифм доходности портфеля на
бесконечном горизонте инвестирования. В
[52,65,92,97,108,109,118,131,136,137] задача оптимизации портфеля в динамической постановке решается в рамках Mean-Variance подхода -достигается минимум дисперсии капитала в конечной точке горизонта инвестирования при заданном математическом ожидании капитала в этой точке.
В работах [30,55,83,86,131] предложено использовать так называемый VaR (Value at Risk) критерий и его модификации, который позволяет максимизировать вероятность достижения или превышения капиталом заданного инвестором уровня в конечной точке горизонта инвестирования. Данные модели относятся к классу статических и определяют фиксированные доли вложений на весь период инвестирования. В работе [86] данный подход обобщается на динамические модели ИП (Dynamic Value at Risk). В [31] используется квантильный критерий. При практической реализации VaR - подхода требуется знание вида распределения доходностей рисковых активов и он чувствителен к выбору объема выборки для оценивания параметров [9].
9 В работах [59, 60,88,104] ставится задача управления инвестиционным портфелем таким образом, что бы в точности повторить или превзойти доходность некоторого индексного или базового портфеля (benchmark portfolio). В [88,104] данная задача решается в статической постановке, в [88] рассматривается также задача динамического перераспределения капитала вначале каждого периода инвестирования на основе статической модели. В [59,60] строятся динамические модели в непрерывном времени. Целью управления является максимизация вероятности превышения доходности базового портфеля или минимизация среднего времени достижения траектории базового портфеля. Обзор методов оптимизации ИП в динамической постановке с использованием различных критериев, дан в [120].
В большинстве работ по управлению ИП предполагается, что транзакционные издержки не существенны и в них не учитываются явные ограничения на объемы (или доли) вложений в финансовые активы. На реальных рынках существуют жесткие ограничения на объемы заемных средств, а также на объемы «коротких» займов без покрытия (так называемая операция «продажи без покрытия» — short sale [42]). В некоторых случаях они вообще могут быть запрещены. Транзакционные издержки (брокерская комиссия, плата за поддержание счета) также могут быть существенными. Таким образом, реалистичные модели ИП должны учитывать транзакционные издержки и ограничения на объемы торговых операций (открываемых инвестором позиций с учетом заемных средств). Обзор работ, в которых строятся динамические модели ИП в непрерывном времени с учетом транзакционных издержек дан в [61]. В этих работах для синтеза стратегий управления применяются методы классической теории стохастического управления, оптимальной остановки, стохастического импульсного управления и др. [53,62,69,78,81,85,97,101,102,110,115-117].
Использование этих методов позволяет решить задачу только для случая, когда ИП включает в себя один рисковый актив, а ограничения на объемы
10 позиций не учитываются. При учете комиссионных издержек и ограничений в многомерном случае (когда портфель диверсифицирован и содержит множество активов), применение традиционных подходов к оптимизации ИП упирается в практически неразрешимую проблему «проклятья размерности» [107].
При построении моделей ИП возникает вопрос об адекватном описании эволюции цен (или доходностей) финансовых активов. Все рассмотренные подходы требуют знания вида вероятностного распределения цен (доходностей) рисковых активов и в основе используют для описания эволюции цен модель геометрического (экономического) броуновского движения Блэка-Шоулса [44,45,56] с детерминированной постоянной волатильностыо (изменчивостью), то есть предполагается, что доходности подчиняются логнормальному распределению. Исследования временных рядов динамики доходностей финансовых активов показывают, что распределение реальных доходностей отличается от логнормального [43-45,58,93,96,124,129] и во многих случаях более адекватными являются модели цен с меняющейся, а также случайной волатильностью. Примерами таких моделей могут служить так называемые SV - модели, которые достаточно хорошо отражают эффекты «самовозбуждения» волатильности, наблюдаемые на реальных финансовых рынках [43-45,103,129] и скрытые марковские модели (НММ - Hidden Markov Model), в которых учитываются скачкообразные изменения в динамике рынка [80,81]. Скрытые марковские модели подробно изучены в [4,5]. Эти модели относятся к классу моделей, управляемых параметрами. Для описания эволюции волатильности в них используются стохастические уравнения.
К другому классу моделей относятся модели, управляемые данными [43-45,129]. В этом случае волатильность является функцией прошлых значений наблюдаемого временного ряда. Примерами этого класса моделей могут служить авторегрессионная модель с условной гетероскедастичностью (ARCH - Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), впервые предложенная
в 1982 г. Нобелевским лауреатом по экономике Р. Энглом в работе [84], и ее многочисленные обобщения, такие как GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), EGARCH, IGARCH, GARCH-M и др. [43-45,57,58,93,129].
В [45,94,114,120,129] рассматриваются модели доходностей, в которых содержатся как регулярные возмущения, соответствующие колебаниям доходностей акций в результате регулярных событий финансового рынка, так и импульсные возмущения, описывающие воздействие редких экстремальных событий или ожиданий.
В работах [36,42,123,125,129] для описания и прогноза доходностей рисковых активов используются методы регрессионного анализа - это так называемые факторные модели. Наиболее известной из них является однофакторная рыночная модель, которая связывает доходность акции с доходностью рыночного индекса [42,123] и предложена в 1964 г. Нобелевским лауреатом по экономике 1990 г. У. Шарпом [123]. Многофакторные модели связывают доходности с различными факторами, такими как объем ВВП, цена на нефть, уровень безработицы, индекс деловой активности и др. Обзор и анализ свойств наиболее популярных моделей доходностей дан в [45].
В [7,11,12,75] предложен новый подход к управлению ИП, в рамках которого проблема формулируется как динамическая задача слежения за траекторией роста некоторого эталонного (базового) портфеля, доходность которого задается инвестором. В качестве меры риска используется квадратичный функционал. Оптимальные стратегии минимизируют суммарное взвешенное среднеквадратичное отклонение капитала управляемого (реального) портфеля от траектории эталонного портфеля. Для решения задачи используются методы теории стохастического линейно-квадратичного управления системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами [28,74]. Позже аналогичный критерий управления ИП был использован в работе [130].
12 Отметим, что в отличие от «mean — variance» подхода [52,65,92,108,109,108,109,118,136,137], при котором минимизируется дисперсия портфеля в конечной точке горизонта инвестирования при заданном математическом ожидании его конечного капитала, без учета ограничений на объемы торговых операций, подход, предложенный в [7,11,12,72] позволяет получить максимально гладкую кривую роста капитала управляемого портфеля на всем горизонте инвестирования, что является одним из основных требований к торговым стратегиям со стороны инвесторов, работающих на финансовых рынках [42].
Привлекательной чертой данных моделей является также то, что в рамках данного подхода можно использовать большинство моделей цен (доходностей) финансового рынка, обзор которых дан выше [5,8,13,14,27,28, 75-77].
В [5,7,8,11-14,27,28,75-77] ограничения на объемы торговых операций учитываются не явно, в виде штрафа за большую «мощность» управляющих переменных («мягкие ограничения»), в [130] задача решена без учета ограничений, транзакционные издержки не учитываются. Кроме того, в рассмотренных в обзоре моделях не учитывается отличие ставки доходности безрискового актива и ставки, по которой происходит заимствование капитала.
Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность построения и исследования моделей управления ИП, адекватно учитывающих реальное поведение финансового рынка (нестационарность, нестабильность, возможные изменения правил торгов), реальные ограничения и издержки при управлении инвестициями (транзакционные издержки, ограничения на объемы торговых операций и пр.). Модель должна отражать реальный процесс управления инвестициями («проскальзывание» цен, то есть исполнение заявки на покупку или продажу акций по цене хуже, чем цена в момент выставления заявки, возможное неисполнение заявок в полном объеме из-за недостаточной ликвидности
13 рынка и пр.) и потребности инвесторов. Модели должны быть достаточно универсальными и предусматривать включение в портфель различных финансовых инструментов. От того, насколько совершенны стратегии управления, используемые инвесторами, зависит стабильность финансового рынка и функционирование экономики в целом.
Целью работы является разработка и исследование динамических моделей управления инвестиционным портфелем на нестационарном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений. В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:
Построение и исследование динамических моделей управления РІП на нестационарном финансовом рынке с учетом ограничений на объемы торговых операций (размеры открываемых позиций), учитывающих «проскальзывание» цен, а также различие ставок кредитования и доходности безрисковых активов;
Построение и исследование динамических моделей управления ИП с авторегрессионной зависимостью последовательностей доходностей финансовых активов с учетом ограничений и различия ставок;
Построение и исследование моделей управления ИП на финансовых рынках со стохастической и условно гетероскедастичной волатильностью с учетом транзакционных издержек и ограничений, а также различия ставок;
Построение и исследование робастных адаптивных стратегий управления ИП на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек, ограничений и различия ставок при неопределенности в задании параметров моделей.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории вероятностей, теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, теории моделей финансового рынка, методология управления с прогнозирующей моделью,
14 методы матричной алгебры, методы оптимизации, численные методы и методы компьютерного моделирования.
Основные результаты, полученные в данной работе и выносимые на защиту, следующие:
Агрегированные динамические модели управления ИП, учитывающие ограничения на объемы вложений и займов, а также различие ставок кредитования и доходности безрискового актива: модели ИП с детерминированной нестационарной волатильностью рисковых финансовых активов, модели с условно- гетероскедастичной волатильностью, модели ИП, доходности рисковых активов которых подчиняются многомерным процессам авторегрессии.
Формулировка задачи управления ИП как динамической задачи слежения со скользящим горизонтом инвестирования за некоторым базовым (гипотетическим) портфелем, параметры которого задаются инвестором или за опорной траекторией, превосходящей базовую.
Метод определения оптимальных динамических стратегий управления < ИП с прогнозирующей моделью на скользящем горизонте инвестирования, позволяющий получать закон управления с обратной связью при ограничениях на управляющие воздействия (объемы вложений в финансовые активы, объемы торговых операций, а также заемных средств).
4. Многомерные сетевые модели управления ИП, в которых доходности
рисковых активов подчиняются: а) дискретизованным уравнениям типа
геометрического броуновского движения с переменными
детерминированными параметрами (ожидаемой доходностью и
волатильностью); б) уравнениям с условной гетероскедастичностыо
волатильностей; в) уравнениям со стохастической волатильностью; г)
факторным моделям доходностей.
Построенные на базе многомерных моделей стратегии управления со скользящим горизонтом инвестирования (с прогнозирующей моделью), с учетом транзакционных издержек и различия процентных ставок вклада и займа безрискового актива, при ограничениях на объемы торговых операций (покупки и продажи финансовых активов) и на вложения и займы финансовых активов.
Агрегированная и многомерная модели управления ИП на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с неопределенностью в задании параметров уравнений, описывающих доходности рисковых финансовых активов. Робастные стратегии управления ИП с прогнозирующей моделью (со скользящим горизонтом инвестирования) с учетом ограничений и различия ставок кредитования и доходности безрискового актива.
Результаты численного моделирования и тестирования моделей с использованием реальных данных различных финансовых рынков.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и доказательствами, а также результатами численного моделирования с использованием реальных данных.
Теоретическая и практическая ценность
Разработаны динамические модели управления ИП с учетом транзакционных издержек и ограничений, а также различия ставок кредитования и доходности безрискового актива, для различных моделей финансового рынка. Предложен метод определения оптимальных динамических стратегий управления ИП с прогнозирующей моделью на скользящем горизонте инвестирования, позволяющий получать закон управления с обратной связью при ограничениях на управляющие
воздействия - объемы вложений в финансовые активы, объем заемных средств, объемы торговых операций.
Практическая ценность данной работы состоит в возможности использования полученных результатов для разработки систем управления ИП и стратегий инвестирования на различных финансовых рынках. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.
Структура и объем работы
Настоящая диссертационная работа состоит из Введения, основного текста, Заключения, списка литературы и Приложения. Основной текст разбит на 4 главы и содержит 49 рисунков. Список литературы включает 137 наименований. Общий объем работы - 188 страниц, основной текст - 161 страница.
Содержание работы
В первой главе рассматриваются агрегированные динамические модели ИП, в которых учитываются ограничения на объемы вложений в финансовые активы (в том числе на размер заемных средств), а также различие ставок кредитования и доходности безрисковых активов. Рассмотрены модели ИП с детерминированной нестационарной волатильностыо рисковых финансовых активов, модели с условно-гетероскедастичной волатильностью, модели ИП, доходности рисковых активов которых описываются многомерными процессами авторегресии.
Задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения со скользящим горизонтом инвестирования за некоторым базовым (гипотетическим) портфелем, параметры которого задаются инвестором (в другой версии - слежение за опорной траекторией, превосходящей базовую).
17 Предложен метод определения оптимальных стратегий управления с прогнозирующей моделью, позволяющий получать закон управления с обратной связью при ограничениях на управляющие воздействия (объемы вложений в финансовые активы, а также объем заемных средств). Синтез стратегий управления с прогнозированием сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования. Предложен подход к синтезу субоптимальных стратегий управления ИП с учетом транзакционных издержек и «проскальзывания» цен.
Во второй главе предложены многомерные модели ИП в пространстве состояний, в которых учитываются транзакционные издержки, ограничения на объемы торговых операций (покупки и продажи финансовых активов), ограничения на вложения и займы и «продажи без покрытия», а также различие процентных ставок вклада и займа безрискового актива. На базе этих моделей построены оптимальные стратегии управления ИП со скользящим горизонтом инвестирования. Рассматриваются модели ИП, в которых доходности рисковых активов подчиняются: а) дискретизованным уравнениям типа геометрического броуновского движения с переменными детерминированными параметрами (ожидаемой доходностью и волатильностью); б) уравнениям с условной гетероскедастичностью волатильностей; в) уравнениям со стохастической волатильностью; г) факторным моделям доходностей.
В третьей главе предложены модели ИП с вероятностной неопределенностью в задании параметров уравнений, описывающих доходности рисковых финансовых активов. Доходности активов описываются моделью, в которой содержатся как регулярные возмущения, соответствующие колебаниям доходностей акций в результате регулярных событий финансового рынка, так и импульсные возмущения, описывающие воздействие редких экстремальных событий или ожиданий.
Рассмотрена агрегированная модель ИП, на базе которой получены робастные стратегии управления с прогнозирующей моделью (со
18 скользящим горизонтом инвестирования) с учетом ограничений на вложения и займы и различия ставок кредитования и доходности безрискового актива.
Рассмотрена многомерная модель ИП с неопределенностью в задании параметров. На ее базе получены робастные стратегии управления ИП с прогнозирующей моделью с учетом транзакционных издержек, ограничений на объемы торговых операций (покупки и продажи финансовых активов), ограничений на вложения и займы (в том числе «продажи без покрытия) финансовых активов, а также различия процентных ставок вклада и займа безрискового актива.
В четвертой главе приведены результаты численного моделирования и тестирования адаптивных робастных стратегий управления ИП, построенных на основе разработанных моделей ИП, на реальных данных различных финансовых рынков.
Апробация работы
Результаты работы обсуждались на следующих конференциях: 8-ом Корейско-Российском международном симпозиуме по науке и технологии (Томск, 2004); Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики (Москва, 2004 г.); Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2004 г.); 3 -ей и 8-ой Всероссийских конференциях «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы» (Красноярск, 2004, 2008 гг.); 4-ой Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2005) (Томск, 2005 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование - 2005» (г. Анжеро-Судженск, 2005 г.); 7-ой Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2008 г.);
Материалы диссертации представлялись на: 6-ой Всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные
19 технологии в исследовании сложных структур» 1САМ"06 (Шушенское, 5-8 сентября 2006 г.), 5 - ом и 6 - ом Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2-8 мая 2004 г., г. Санкт-Петербург, 3-7 мая 2005 г).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ [15 - 26, 71-74], в том числе в журналах из списка ВАК 4 статьи [15-18].
Постановка задачи и описание модели
До сих пор использовались модели доходностей, в которых предполагалось, что доходности рисковых активов представляют собой независимые последовательности. Однако исследования рядов доходностей показывают, что в них проявляется авторегрессионная зависимость [32,45,129]. В связи с этим актуальным является построение моделей и синтез стратегий управления ИП с учетом авторегрессионной зависимости при описании эволюции доходности. Это позволяет существенно расширить класс моделей доходностей (а, следовательно, и виды активов, включаемых в портфель), в частности, использовать для их описания модели авторегрессии, а также многомерные модели [32,45,93,129].
Пусть динамика капитала ИП описывается уравнением (1.3) + 1) = + ) + ( + 1)- ( - - ( ), при ограничениях (1.4)-(1.6).
Предположим, что доходность рисковых финансовых активов описывается следующими уравнениями w(k + 1)- вектор белых шумов размерности п с нулевым средним и матрицей ковариации D(k + \), а-матрица соответствующей размерности.
Для управления портфелем используем стратегии с прогнозирующей моделью. Критерий качества управления (функция риска) имеет вид J{k + т/к) = МІ JJ(V(k + і) -V\k + i)f S(k,i) + +ur{k + i-\lk)R{k + i-l)u{k + i-\lk)S{k,i-\)]lV{k\V\k\e{k)), (1.32) где u(k + i/k) -[щ(к + і/к),...,ип(к + і/к),ип+1(к + і/ к)] , V(k) описывается уравнением (1.9).
Прогнозирующие управления определяются по следующиму правилу: на каждом шаге к минимизируем функционал (1.32) по последовательности программных управлений u(k + i/к), / = 0,/7-1, зависящих от состояния управляемого и базового портфелей V(k),V(k) и вектора в(к) в текущий момент времени. В качестве управления в момент к берем и{к) = и(к I к). Тем самым получаем управление и(к) как функцию состояния портфеля V{k) и в(к), то есть управление с обратной связью. Чтобы получить управления и{к + \) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента к+1 и т.д.
Теорема 1.2. Пусть динамика ИП описывается уравнением (1.3) с моделью доходностей рисковых активов (1.30), (1.31) при ограничениях (1.4) - (1.6). Тогда оптимальная стратегия прогнозирующего управления, минимизирующая критерий (1.32) со скользящим горизонтом прогнозирования т, определяется уравнением: к) = [Еп 0п... 0J U(k), где Еп - единичная матрица размерности п, 0П - квадратная нулевая матрица размерности п, U(k) = luT(k/ к), иТ(к + 1/к),... ит (к + m -1 / к)\ - вектор прогнозирующих управлений, который определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием Таким образом, имеем задачу минимизации критерия (1.52) при ограничениях (1.4) - (1.6), которая эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием (1.33) при ограничениях (1.34). Теорема доказана.
Замечание 1.3. В силу линейной зависимости матрицы В от своего аргумента математические ожидания в выражениях (1.38), (1.39) легко вычисляются.
Замечание 1.4. Очевидно, матрицы G{k) и Н(к) являются случайными, так как зависят от вектора случайных параметров в(к).
Полученные результаты можно применить для управления портфелем, в котором содержатся активы с доходностями, описываемыми ARMA(p, q) процессами вида [39,45,93,129] 77,( + 1) = //,+0,( + 1), в((к +1) = а[ вД) + а 2 в({к -1) +... + а1р в,(к - р) + +et(k + 1)-ДЧ(А:)-.-.-/ ,( -q\ (i = Vn) , (1-53) где ,(&)- последовательность независимых случайных величин, относительно коэффициентов выполнены стандартные предположения [39,45].
Как отмечалось во Введении, исследования рядов доходностей рисковых активов указывают на то, что они подвержены эффектам «самовозбуждения» и порождают так называемые кластеры волатильности [43-45,129]. Для описания этих эффектов разработано множество моделей [43-45,57,129]. Наибольшее признание получили так называемые модели с условной гетероскедастичностью, впервые предложенные и изученные в работах Нобелевского лауреата по экономике Р. Энгла [58, 84].
В данном разделе рассматриваются модели ИП, эволюция активов которых описывается моделями с условной гетероскедастичностью.
Синтез прогнозирующих стратегий управления ИП
В условиях реального управления инвестиционным портфелем, помимо учета ограничений, накладываемых на объемы торговых операций, важным является учет транзакционных издержек и возможного «проскальзывания» цен. В данном разделе предложен подход к синтезу субоптимальных стратегий управления ИП, учитывающих эти факторы.
Под транзакционными издержками (transaction costs) принято понимать любые расходы, вызванные торговыми операциями с активами ИП. Большинство из разновидностей этих расходов перечислено в следующем списке: - биржевой сбор - взимается биржей за проведение любой торговой операции; - комиссионные со сделки - взимается брокером за совершение любой торговой операции с рисковыми и безрисковыми активами;
Остальные издержки, не попавшие в этот список, как правило, определяются тем брокером, у которого обслуживается инвестор, например, плата за обслуживание депозитарных счетов инвестора или за изменение нетто-позиции по рисковым активам ИП. Принято различать транзакционные издержки по способу их начисления. Соответственно, можно выделить три вида издержек: - постоянные издержки (fixed costs) - взимаются в виде некоторой постоянной суммы, не зависящей от объема сделок или средств на счете инвестора (данный способ начисления издержек широко распространен на большинстве фьючерсных рынков, где брокеры взимают с каждой сделки постоянную сумму, вне зависимости от ее объема); - переменные издержки (proportional costs) - взимаются в виде некоторого процента с объема сделки или используемых инвестором заемных средств (данный способ начисления издержек часто используется российскими брокерами); - комбинированные издержки - взимаются в виде некоторой постоянной суммы, до определенного, устанавливаемого брокером объема сделки, при превышении этого объема уже взимается некоторый процент с объема сделки.
Отметим, что в реальных условиях любые возникающие транзакционные издержки списываются брокером со счета инвестора, чаще всего по окончании торговой сессии.
Эффект ценового «проскальзывания» заключается в том, что при исполнении заявки на покупку или продажу акций сделка может произойти по цене хуже, чем цена в момент выставления заявки. Это может быть связано с недостатком ликвидности или с повышенной волатильностью в моменты выставления заявок.
В начале данной главы было сделано предположение о том, что «проскальзывание» и транзакционные издержки не учитываются. Это обуславливается тем, что как в рамках классических подходов к проблеме управления ИП, так и в рамках моделей, рассматриваемых в данной главе, очень сложно получить аналитически оптимальную стратегию управления для случая явного учета транзакционных издержек и не точного исполнения заявок. В рамках предложенных моделей управления ИП возможен следующий вариант решения проблемы учета транзакционных издержек и «проскальзывания» цен.
Предположим, что транзакционные издержки взимаются в виде постоянного процента с объема сделки. Тогда модель ИП с учетом транзакционных издержек и «проскальзывания» можно записать следующим образом: V(k + l) = [l + nW(k)-r4f tl + + Шк + )-- і (иІ(кУ)-г1]иІ{к)-[г2--г1]ип,1(к)і (L74) где г3- процент, на который цена исполнения заявки отклоняется от рыночной цены в момент выставления заявки; г4- ставка вознаграждения брокера и биржи; () = 1 ( )- ( -1)] - объем сделки купли/продажи, совершенной с /-м активом в момент времени к (и((0) = 0, sign(ut(k))- знак величины ut{k), i = \,n.
Учет «проскальзывания» происходит следующим образом: если вложение в i-ый актив положительно, то из доходности, приходящейся на этот актив за промежуток времени [к; к+1], вычитаем величину г3, и наоборот, если вложение в i-ый актив отрицательно (то есть открыта короткая позиция, которая будет прибыльной при падении цены (отрицательной доходности за период)), то к доходности, приходящейся на этот актив за промежуток времени [к; к+1], прибавляем величину г3, то есть всякий раз уменьшаем доходность вложения в рисковые активы. Алгоритм синтеза стратегии управления с учетом издержек и «проскальзывания» состоит в следующем. При определении последовательности прогнозирующих управлений на каждом шаге следует использовать состояние портфеля, вычисленное по формуле (1.74). В результате, получим субоптимальную стратегию управления ИП.
Многомерная модель ИП и синтез стратегий управления с учетом транзакционных издержек и ограничений
В данной главе для подтверждения достоверности полученных теоретических результатов и работоспособности предложенных моделей управления ИП проводится численное моделирование с использованием реальных данных различных финансовых рынков.
Полученные в предыдущих главах результаты служат основой для построения адаптивных робастных стратегий управления ИП.
При моделировании использовались адаптивные робастные стратегии, которые учитывают неопределенность в задании волатильностей и не требуют их конкретных значений или оценивания параметров моделей, используемых для описания эволюции волатильности. Ожидаемые доходности рисковых активов оцениваются по текущим данным.
В при моделировани использованы реальные данные о динамике цен акций, а также валютных пар, торгуемых на: - Российской бирже «Фондовая биржа ММВБ» (фондовая секция Московской межбанковской валютной биржи); - одной из крупнейших европейских бирж Euronext; - международном валютном рынке Forex (foreign exchange). робастных стратегий управления ИП, построенных на базе агрегированных моделей ИП, описанных в первой и третьей главах с учетом авторегрессионной зависимости доходностей и неопределенности в задании волатильностей.
Фондовая биржа ММВБ является основной торговой площадкой в России, на которой торгуются различные финансовые инструменты.
Для тестрирования модели использовались данные о ценах акций котируемых на ФБ ММВБ. Тестирование моделей проводилось за период с 2002г. по 2008г. включительно с различными наборами наиболее ликвидных акций (всего более чем 1600 торговых дней). Ниже приводится ряд типичных численных результатов, полученных при тестировании.
Рассмотрим задачу управления инвестиционным портфелем, состоящим из 5 видов акций, торгуемых на ФБ ММВБ: ОАО «Банк ВТБ», ОАО НК «Лукойл», ОАО «Газпром», ОАО «ГМК Норильский никель», ОАО «Газпромнефть» и одного вида безрискового актива с доходностью 4% годовых. Так же доступна услуга маржинального кредитования с маржинальным плечом 1, то есть возможно участие в операции «продажа без покрытия» и доступен банковский займ. Суммарный объем операций «продажа без покрытия» и размер банковского займа на шаге к не может превышать величину капитала ИП на шаге к - V(k). Ставка по займу составляет 14% годовых. Брокерская и биржевая комиссии сумарно составляют 0,06% от сделки. Данные условия являются типичными для российских брокеров.
При моделировании использовались робастные адаптивные стратегии управления. Решалась задача слежения за опорной траекторией с доходностью /л =0,003. Предполагалось, что волатильность является
случайной равномерно распределенной величиной. Интервал изменения волатильности оценивался по прошлым наблюдениям доходностей акций и составил [0,001 0,03] для всех акций, включаемых в портфель. Ожидаемые доходности акций оценивались методом скользящего окна по семи последним наблюдениям дневных цен закрытия с учетом авторегрессионной составляющей первого порядка. Предполагалось, что доходности акций, включенных в портфель, некоррелированы между собой. Заявки выставлялись по ценам открытия.
В начальный момент времени весь капитал портфеля V(0)=100000 денежных единиц. Горизонт прогноза т=20. Ниже приведены результаты тестирования за период с 20.07.07 г. по 30.10.08 г. (305 торговых дней).
Так как динамика цен, доходностей и вложений в рисковые активы достаточно типична, то в дальнейшем в основном тексте диссертации будут приводиться рисунки, отражающие поведение только некоторых активов. Для остальных акций соответствующие рисунки приведены в Приложении.
Управление портфелем российских акций, торгуемых на фондовой бирже ММВБ
Рассмотрим задачу слежения за эталонным (опорным) портфелем с желаемой доходностью // =0,0025 для ИП, состоящего из 5 видов акций торгуемых на ФБ ММВБ: ОАО «Газпром», ОАО НК «Лукойл», ОАО «Банк ВТБ», ОАО «Газпромнефть», ОАО «ГМК Норильский Никель» и одного вида безрискового актива с доходностью 4% годовых. Однако, не используется услуга маржинального кредитования. Другими словами, запрещен банковский займ и открытие коротких позиций по всем инструментам.
Остальные условия остаются такими же, как и в примере 4.1. Ниже приводятся результаты моделирования за период с 20.07.07г. по 22.09.08 г. (278 торговых дней).
Доходность за весь период управления составила 73% или 65% годовых. При этом отклонение капитала управляемого ИП от опорной траектории было незначительным по всей траектории управления: максимальное отставание от капитала эталонного портфеля составило 18%, среднее отставание - 6%. Коэффициент максимальной просадки (максимальное падение от достигнутой величины) для управляемого ИП, составил 7%. Другими словами, доля максимальной просадки, по отношению к общей прибыли за период, составила всего 10%, что является весьма приемлемым показателем, особенно, если учитывать, что не использовалось маржинальное плечо. При этом ниже базовой траектории капитал ИП практически не опускался.
На рис. 4.15 хорошо видно, что в периоды падения цен на рынке вложения в акции были нулевыми (модель рекомендовала фиксировать прибыль) и капитал портфеля оставался неизменным.
В данном примере покажем эффективность работы модели на европейском рынке ценных бумаг. Будем рассматривать ИП, состоящий из восьми видов акций, торгуемых на одной из крупнейших европейских бирж -Euronext: Royal Dutch Shell, L oreal, Peugeot, Fortis, Heineken, ING Group, Renault и одного вида безрискового актива (банковский счет) с нулевой доходностью. Оценки ожидаемой доходности рисковых активов с учетом авторегрессионной составляющей рассчитывались методом скользящего окна по последним 5 наблюдениям дневных цен закрытия. Желаемая дневная доходность равна ju= 0,0025. Остальные условия остаются такими же, как и в прДоходность за весь период управления составила 105% или 88% годовых. При этом отклонение капитала управляемого ИП от капитала эталонного было незначительным по всей траектории управления: максимальное отставание от капитала эталонного портфеля составило 24%, среднее отставание - 5%. Коэффициент максимальной просадки (максимальное падение от достигнутой величины) для управляемого ИП, составил 17%.
Расхождения капиталов эталонного и управляемого портфеля наблюдается в периоды изменения ценового тренда акций, ощутимого для данного интервала времени (по которому оцениваются параметры модели цен). Самая неблагоприятная ситуация - это череда достаточно частого изменения тренда, которую мы можем особенно ярко наблюдать на акциях Peugeot, Total, Royal Dutch Shell. В целом такая ситуация типична для развитых фондовых рынков - динамика акций не имеет продолжительных выраженных трендов, однако за счет оптимального управления капиталом модель устойчиво работает и на подобных рынках. имере 4.1. Тестирование проводилось за период с 10.10.06г. по 31.12.07 г. (297 торговых дней).
