Содержание к диссертации
Введение
1. Методы исследования микроструктуры жидкости (современное состояние проблемы) 7
1.1. Аналитические методы „ 7
1.2. Экспериментальные методы, , 9
1.3. Механический метод Бернала 10
1А Компьютерные методы 13
1А1. Метод молекулярной динамики 13
1.4.1 Л. Физико-математические основы метода молекулярной динамики 14
1.4.1-2. Численное решение уравнения движения 16
1.4.1.3- Сравнение алгоритмов 19
1А1А Парный потенциал межчастичного взаимодействия 20
1А1,5.АЪ initio 22
1.4.2. Метод Монте-Карло 23
1АЗ. Преимущества и недостатки компьютерных методов 24
1А4. Метод статистической геометрии 25
1А4Л. Методология Вороного-Делоне 26
1.4.4,2. Симплициальное подразделение ансамбля частиц 28
1А4.3. Классификация многогранников Вороного 33
1А4А Геометрические характеристики симплексов Делоне 33
1 .4.4,5, Классификация связей симплексов Делоне 36
1.5. Структурные модели жидкости 37
1.5.1, Квазикристаллическая модель жидкости 37
1.5.2, Модель топологического беспорядка частиц жидкости 38
1.5.3, Задача структурной идентификации жидкой матрицы 42
2. Методика МД- моделирования 45
2Л. Топологические свойства жидкости 45
2.2. Параметры потенциалов в молекулярно-динамической модели 49
2.3. Параметры МД- модели одпокомпонеитпых систем 54
2.4. Параметры МД-модели двухкомпонентнои системы свинец-калий 55
2.5. Методика построения кластеров плотной части 58
2.6. Программный комплекс статистической геометрии 60
3. Результаты исследования структуры жидкости 62
3.L Двухструктурная модель простых жидких металлов 62
ЗЛ.1. Плошая часть жидкой матрицы * 70
3.1.2, Гистограммы кластеров плотной части 74
ЗЛ.З. Фрактальная модель жидкости 79
3.2. Влияние примеси калия на микрострукгуру свинца 81
3.3. Верификация фрактальной модели жидкости 87
Заключение 90
Список использованных источников
- Механический метод Бернала
- Физико-математические основы метода молекулярной динамики
- Параметры потенциалов в молекулярно-динамической модели
- Плошая часть жидкой матрицы
Введение к работе
При исследовании жидкого состояния вещества важно идентифицировать его микроструктуру. Зная, как расположены атомы в жидкой матрице в каждый момент времени можно, в конечном счете, определить термодинамические, кинетические и химические свойства жидкости [1-3]. Однако описать микроструктуру жидкого состояния довольно сложно. Положение частиц в пространстве вес время меняется, создавая беспорядок ансамбля частиц в форме термически разрушаемого порядка, характерного кристаллу, причем нет такого малого параметра как в газе и твердом теле, с помощью которого можно было бы описать жидкое состояние.
Мгновенные элементы ближнего порядка жидкости на фоне дальнего беспорядка атомов до сих пор не позволили найти аналитическую форму уравнений состояния жидкости в отличие от газа и твердого тела, для которых хорошим модельным приближением являются соответственно идеальный газ и монокристалл. Именно отсутствие подходящей структурной модели существенно усложняет построение теории жидкости [3].
Вместе с тем, известные эксперименты по рентгенографии, гамма и нейтронной спектроскопии не дают информации, необходимой для корректного описания микроструктуры и атомной динамики жидкой фазы. Хотя нужную информацию можно получить методами компьютерного моделирования, далеко не все ответы на вопросы о микроструктуре и атомной динамике жидкости получены. Так, например, модель локальной структуры жидкого состояния до сих пор носит дискуссионный характер. Ибо нет строгих доказательств ни гипотезы топологического разупорядочения кристалла при плавлении, ни квазикристаллической модели жидкости [4-6]. Более того, в настоящее время есть много данных, полученных разными методами, которые указывают на специфическую структуру жидких металлов, не сводимую к структуре кристаллической решетки [7].
Целесообразно начинать исследование микроструктуры жидкости на простых металлах, которые обладают сферически симметричным парным потенциалом с гладкой отталкивательной ветвью. Более того, изучение микроструктуры металлических расплавов актуально и для быстрых теплоносителей ядерных реакторов, поскольку коррозионная активность жидких металлов чувствительна к
малым добавкам технологических примесей [8]. Исследование влияния добавки на микроструктуру основной компоненты теплоносителя позволит предсказать, какими свойствами он будет обладать. Путем примесной коррекции можно будет поддержать технологию теплоносителя заданного качества для перспективных ядерных энергетических установок [9].
Итак, накоплен большой опыт теоретических и экспериментальных исследований микроструктуры простых жидкостей [10], включая металлические расплавы, в которых различными методами установлено, что они структурно не однородны, В них можно выделить плотную часть жидкой матрицы, не сводимую к структуре регулярных решеток. Микроскопически неоднородные области являются статистически значимыми в каждый момент времени в широком диапазоне температур выше точки плавления кристалла. Структурная идентификация таких областей носит фундаментальный характер и позволяет обнаружить принципиальное (топологическое) различие жидкого и твердого микросостояний [10], но однозначного решения этой задачи пока не найдено
Цель работы Поиск и обоснование критерия идентификации плотной части жидкой матрицы металла.
Научная новизна
L Впервые найден и обоснован строгий топологический критерий для выделения плотной части жидкой матрицы,
Определены фрактальные характеристики жидкой матрицы металлов.
В рамках компьютерного моделирования расплава Pb-К обнаружено полиморфное преобразование микроструктуры.
Практическая значимость
Результаты данной работы могут использоваться при разработке метода примесной коррекции металлических расплавов, чтобы целенаправленно изменять их теплофизические и физико-химические свойства. Алгоритм и программные коды, предназначенные для моделирования простых жидких металлов, могут найти широкое применение с целью дальнейшего изучения жидкого состояния.
5 На защиту выносятся
Топологический критерий выделения плотной части жидкой матрицы металла.
Фрактальная модель плотной части жидкой матрицы металла.
Полиморфизм расплава свинец-калий при изменении компонентного состава.
Публикации и апробация результатов работы
Колокол А.С,, Шимкевич А.Л., Топологическая структура жидких металлов/Атомная энергия--2005. -Т. 98, Вып. З.-с. 197-201.
Колокол А,СМ Пономарев-Степной H.R, Шимкевич И.Ю., Шимкевич АЛ, МД-моделирование расплавов в обоснование концепции конструирования жидкометаллических теплоносителей: Препринт - РНЦ КИ, ИАЭ-6281/11, 2003.-38 с.
Колокол А.С, Пономарев-Стенной Н.Н., Шимкевич И.Ю., Шимкевич А.Л. О топологии атомных конфигураций жидких металлов: Препринт -РНЦ КИ, ИАЭ-6303/11, 2004 - 29 с.
Колокол А.С., Шимкевич А.Л. Исследование микроструктуры простых жидкостей (современное состояние проблемы): Преприпт-РНЦ КИ, ИАЭ-63558/9, 2005.-32 с.
Колокол А.С., Шимкевич АЛ., Шимкевич ИЛО. Двухструктурная модель жидкого свинца / Тезис в сборнике тезисов докладов конференции "Тяжелые жидкометаллические теплоносители в ядерных технологиях" Обнинск, ГНЦРФ ФЭИ, 2003 г. - с. 102
Kolokol A.S., Shimkevich LYu., Shimkevich A.L. Two-structure model for simple metals / Twelfth International Conference on Liquid and Amorphous Metals, 11-16 July 2004, Metz, France. Abstract book- p. K023
I, Колокол А.С, Шимкевич A.JL, Шимкевич ИЛО, Фрактальная поверхность
плотной части жидких металлов / Тезисы XVIII совещания по
использованию рассеяния нейтронов в исследованиях конденсированного
состояния, г. Заречный, 12-16 октября 2004 г-с, 117
Колокол А.С, Шимкевич А.Л. Влияние калия на микроструктуру расплава свинца / В сборнике трудов 2-й Курчатовской молодежной научной школе, г. Москва, 15-17 ноября,2004 г.-с. 63.
Kolokol A.S., Shimkevich АХ- Potassium effect on the liquid lead microstructure I 6th Liquid Matter Conference, Utrecht, Netherlands, 2-6 July 2005. Abstract book-p. 90,
Колокол А.С, Алексеев П.Н., Шимкевич А.Л. Обоснование концепции конструирования жидкометаллического теплоносителя на основе свинца по заданным признакам, Российская конференция «Материалы ядерной техники» (МАЯТ-2), 19-23 сентября 2005 г,, Агой, Краснодарский край, с. 34.
II. Колокол А.С., Шимкевич АЛ. Микронеоднородность расплава свинец-
калий, В сборнике тезисов докладов VI конференции молодых ученых
"КоМУ'2006", Ижевск, Россия, 20-24 ноября 2006, с. 28.
Объем и структура диссертационной работы
Работа состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 102 страницы, включая 51 рисунок, 3 таблицы и 147 библиографических источников,
В первой, главе приведен литературный обзор современного состояния проблемы исследования микроструктуры жидкости аналитическими, компьютерными и экспериментальными методами. Проведен сравнительный анализ этих методов. Выявлены их основные достоинства и недостатки, а также неразрешенные вопросы в теории исследования структуры жидкости. Особое внимание уделено методам молекулярной динамики и статистической геометрии. Описан алгоритм построения мозаики Вороного-Делоне методом "пустой" сферы.
Во второй главе рассмотрены топологические свойства жидкости. Построены молекулярно-динамические модели исследуемых простых жидких металлов. Описаны параметры парных потенциалов межчастичного взаимодействия. Изложена методика построения кластеров плотной части, введено строгое определение критерия выделения плотной части жидкой матрицы,
В третьей главе представлены результаты исследования микроструктуры жидких свинца, лития, натрия и сплава свинец-калий разного компонентного состава методами молекулярной динамики и статистической геометрии согласно методике, описанной в главе 2, Продемонстрирована эффективность исследования специфики микроструктуры жидкости используя топологический критерий. Разработана фрактальная модель жидкости. Исследовано влияние калия на микроструктуру сплава РЬ-К,
В заключении приведены итоговые выводы результатов диссертационной работы.
Автор очень признателен своему учителю профессору Шимкевичу А.Л., под чьим руководством была выполнена работа, И выражает ему свою искреннюю благодарность за полезные обсуждения, ценные замечания и полезные советы.
Очень признателен и благодарен к.ф.-м, наук Шимкевич И.Ю. за помощь в освоение метода молекулярной динамики.
Считаю своим долгом поблагодарить начальника отдела КФТИ, к,ф,-м. наук Алексеева П.Н. и коллег за полезные дискуссии и конструкгивные предложения.
Механический метод Бернала
Дж. Бернал [25,30,31] первым исследовал топологическую структуру жидкости на простой модели случайной плотной упаковки твердых сфер. Сначала он использовал пластилиновые шарики [30]. Если такую упаковку сжать, то шарики превращаются в многогранники Вороного [32]. Статистический анализ граней этих полиэдров показал, что наиболее распространенной гранью является пятиугольник. Из этого факта Берналом сделаны два вывода [25]: 1) частицы жидкости образуют почти правильные тетраэдры, соединенные попарно гранями в тетраэдрические кластеры, 2) среди них доминируют замкнутые цепи из пяти тетраэдров. В регулярных плотноупакованных решетках таких тетраэдрических колец нет.
Усовершенствованные механические модели жидкости в виде случайной упаковки склеенных стальных шаров или соединенных спицами не изменили выводов, но позволили определить положение каждого шара. Тщательно анализируя взаимное расположение шаров, Бернал обнаружил всего пять топологических полиэдров, в вершинах которых находятся центры этих шаров. Впоследствии их назвали каноническими многогранниками Бернала, они показаны на рис, 2 и включают тетраэдр (а), октаэдр (б), треугольную призму (в), архимедову антипризму (г) и тетрагональный додекаэдр (д). В последствии оказалось, что эти полиэдры являются наиболее распространенными, но не единственными элементарными порами в жидкости [33].
Вместе с тем, статистика канонических многогранников в модели жидкости утверждает, что отношение чисел тетраэдров и октаэдров равно примерно 15:1 [34], Для сравнения в плотно упакованной ГЦК решетке это отношение равно 2:1. Следовательно, в жидкой матрице четырехгранные вершины полиэдров Вороного неустойчивы [35] и легко деформируемый октаэдр разбивается на четыре тетраэдрические поры.
Таким образом, октаэдрическая полость, не говоря уже о других канонических порах Бернала (рис, 2, в-д), возникает в случайной упаковке атомов спорадически и быстро исчезает вследствие коллективного движения частиц жидкости, в которой единственной устойчивой полостью остается тетраэдрическая в виде треугольной пирамиды - симплекса Делоне (СД), построенного из четырех "ближайших" частиц [36].
Этот фундаментальный объект комбинаторной топологии [37-39] в правильном симплициальном подразделении ансамбля частиц имеет центр описанной сферы внутри СД или на его границе, что собственно и является критерием правильного построения симплексов Делоне. Те из них, которые являются правильными тетраэдрами, имеют наибольшую плотность атомов с коэффициентом упаковки тіт = 0.780 в отличие от жидкости, имеющей г]ж 0.637, что на 15 % меньше, чем у плотного ГЦК кристалла (тігцк = 0.740) [5,31,34,40-42].
Вместе с тем, правильными тетраэдрами нельзя замостить пространство. Поэтому плотная часть жидкости в виде разветвленных цепей из почти правильных тетраэдров, соединенных попарно гранями (см. рис. 3), должна быть окружена неправильными треугольными пирамидами, соединенными в перколяционпый кластер неплотной части жидкой матрицы [8],
По-видимому, Бернал первым [30] обнаружил эту особенность жидкого состояния. Оказывается [43], если использовать только правильный тетраэдр, можно построить модель жидкости в виде совокупности тетраэдрических кластеров, ФРРЛ которой удовлетворительно описывает и жидкие металлы, и аморфные тела без привлечения "квазикристаллической" модели. Стало ясно, что жидкая матрица принципиально, а именно, топологически отличается от кристаллической решетки. Ибо в жидкости практически все частицы находятся в вершинах почти правильных тетраэдров, которые составляют множество разветвленных кластеров ее плотной части. Хотя идеи Бернала были восприняты не сразу, все же его работы стимулировали детальные исследования микроструктуры жидкого состояния, в частности, в компьютерных моделях, подтвердивших догадки Бернала [34,44-53].
Создание ЭВМ нового поколения, резкое повышение их производительности и объема памяти привели к развитию и широкому применению в исследовании жидкого состояния численных методов, позволяющих легко и эффективно моделировать их микроструктуру. Суть методов заключается в представлении молекул и атомов как взаимодействующих (по заданному парному потенциалу) и вследствие его действия движущихся частиц. Разработанные методы позволяют вывести из данных численных экспериментов различные структурные характеристики неупорядоченного ансамбля, насчитывающих несколько тысяч частиц.
Для исследования жидких металлов распространение получили метод Монте-Карло (МК) [23,44,54-56] и молекулярно-динамическое (МД) моделирование [23,44,54,57-63]. С помощью детерминистского МД-метода легко получить зрасктории частиц, а затем найти любое динамическое свойство системы [23]. Напротив, стохастический МК-метод позволяет определить только термодинамические свойства системы [56].
Метод молекулярной динамики (ММД) получил широкое распространение после опубликования в 1957 году пионерской работы Олдера и Вайнрайта [57], В этой работе авторами впервые был предложен метод поиска фазовых траекторий для системы многих взаимодействующих частиц (твердых сфер), сущностью которого является численное интегрирование уравнений движения каждой частицы системы,
Физико-математические основы метода молекулярной динамики
При выборе алгоритма следует руководствоваться устойчивостью, точностью и эффективностью расчета. Важным также является затрата машинного времени.
Развитие высоких технологий позволяет легко экспериментировать с различными алгоритмами динамических систем. В работе [62] рассчитывались координаты атомов аргона тремя методами: предиктор-корректор, Верле и Рунге-Кутта. Все три подхода обеспечивают расчет координат атомов с четырьмя знаками. Однако метод Рунге-Кутта требует четырехкратного вычисления силы на каждом шаге, что существенно повышает время всего расчета. Наиболее экономичным по времени оказался метод Верле. Таким образом, не всегда разумно использовать более точные схемы расчета[62,63,68,69].
Анализ устойчивости разностных схем довольно трудная задача [74]. Проще провести "лобовые" численные эксперименты, используя разные методы интегрирования уравнений движения. Обычно используют два экспериментальных способа оценки точности методов [62]. Первый заключается в варьировании шага по времени At и сравнении установившихся знаков решения. При втором способе вычисляют отрезки фазовых траекторий разной длины, в конце которых импульсам всех частиц системы приписывают обратные знаки. Точность в таком случае определяют разностью начального и конечного решения.
Анализ алгоритмов, проведенный вышеизложенными способами [62] показал, что использование схем высоких порядков точности позволяют проводить расчеты с наибольшим At. Это особенно важно при изучении динамических характеристик, когда нужно рассчитывать протяженные фазовые траектории.
Вместе с тем, критерием выбора временного шага At при интегрировании уравнений движения обычно служит компромисс между точностью и временем счета. Поэтому At составляет единицы фемтосекунд. При таком временном шаге на каждой итерации атом, как правило, смещается не более чем на 5% межатомного расстояния [64]. Здесь: фі - одинарный потенциал, описывающий действие внешних сил, 02 - парный потенциал, описывающий сферически симметричное взаимодействие пары атомов и зависящий только от расстояния между ними, У" фз - тройной потенциал, учитывающий несферичность взаимодействия частиц.
В компьютерных моделях простых жидкостей, в том числе металлов, как правило, полная конфигурационная энергия определяется только парным потенциалом [76], который стараются выразить простой аналитической формой. В работе [77] подробно описаны требования, которым должен удовлетворять парный потенциал, в частности, точность, адекватность, стабильность и т.д. Для извлечения формы потенциала межчастичиого взаимодействия разработано несколько подходов. Наиболее распространенная из них- теория псевдопотенциала [78]. В месте с тем существует много аналитических видов потенциала межчастичного взаимодействия [79], ибо выбор парного потенциала обусловлен спецификой конкретной модели. Широкое распространение получил полуэмпирический потенциал Леннарда-Джонса: ф(г) = 4б[(в/г)п-(о/г)61 (43) где є - глубина потенциальной ямы, а - значение г, при котором $ ) = 0. Потенциал Леннарда-Джонса, а также его модификации [79] в МД-расчетах позволили выявить многие закономерности поведения классической жидкости [72,80,81]. В частности, в работе [80] было показано, что геометрические характеристики, определяющие структуру жидкости, зависят от отталкивательной ветви парного потенциала взаимодействия. Аналогичное утверждение сделано в работах [76,82]. При сравнении влияния различных форм потенциалов на структурный фактор и функцию радиального распределения жидких металлов было обнаружено [83]: парный потенциал межчастичного взаимодействия имеет две особенности: 1 - "мягкий" потенциал отталкивания Борн-Майеровского типа и 2 - дальнодействующие осцилляции в форме (a/ )cos(2kFr), где kF - абсолютная величина волнового вектора Ферми, а я - константа, структурный фактор и функция радиального распределения слабо чувствительны к осцилляциям Фриделя, но сильно зависят от вида короткодействующей части потенциала, напротив, дальнодействующие осцилляции Фриделя влияют на динамические характеристики, в частности, автокорреляционную функцию скоростей.
В работе [84] авторы при исследовании структуры жидкого натрия различными потенциалами пришли к выводу, что структура ближнего порядка определяется только глубиной и положением главного минимума потенциала межчастичного взаимодействия.
Перечисленные выше результаты свидетельствуют о том, что формирование структуры жидкости происходит главным образом благодаря отталкивающей части потенциала.
Параметры потенциалов в молекулярно-динамической модели
Исследуемые металлы моделировались в рамках NVE ансамбля на PC KPentium-IV" с помощью программного комплекса МДММК [127] в кубической ячейке с длиной ребра L и периодическими граничными условиями. Для численного решения системы уравнений движения (18) использовался алгоритм Верле (31)-(32) с шагом Д/ по времени (см. табл. 3). Начальная конфигурация положения частиц задавалась их случайным размещением в МД-ячейке, Парные потенциалы, табулированные с шагом 0,01 А, "обрезались" снизу по Rmln и сверху по Дтах. Обрезание потенциала сверху для свинца, лития и натрия для двух температур составляет 36.6%, 25.32%, 23.00% и 22,33% длины ребра МД - ячейки, соответственно.
При расчёте для каждой частицы её геометрические соседи внутри сферы Верле (см. рис.4.) (радиусомRVefje=Rmax+ 1 А) вычислялись каждые 10 временных шагов, где Ram -ограничение используемого в расчёте потенциала по радиусу.
Температура, кинетическая и потенциальная энергия, давление системы и ошибки вычисления этих величин определялись через каждые кт = 50 временных шагов. На всех стадиях моделирования дисперсия полной энергии и давления были ±0.01% и ±0.3% соответственно.
Первоначально рассматриваемая система выводилась на равновесие в течение 5000 временных шагов. Затем вычислялись: а) функции радиального распределения атомов (ФРРА) где N(r) - среднее число атомов в сферическом слое радиуса г и шириной Дг, б) статического структурного фактора (СФ)
Сравнение структурного фактора молекулярно-динамической модели с полученными экспериментально позволяет судить об адекватности парного потенциала межатомного взаимодействия и о правильности выбора модели в целом,
Параметры МД-модсли двухкомпонентной системы свинец-калий
Молекулярно-динамическое моделирование сплавов Pbi K с концентрацией калия 5%, 9%, 14%, 22%» и 25% проводилось в рамках NVT ансамбля частиц, в котором все примесные атомы и равная им часть растворителя ионизированы: (1-2г)РЬ+д;РЬ-+Ж+ [9].
Для пяти сплавов PbiJK исследовалась модель из Л/и, = 2048 в МД-ячейке, в том числе 108, 203, 333, 578 и 6S3 анионов свинца при х = 0.05, 0.09, 0.14, 0.22 и 0,25 соответственно, К ним добавлялось равное число катионов калия в соответствии с его атомной долей х в сплаве Pbj K Длина ребра МД-ячейки при 660 К бралась равной 1 = 46.90 А, которой соответствует модуль вектора Ферми F=1.5401 А 1 [9].
При описании взаимодействия в расплаве РЬі.Д атомов свинца (РЬРЬ) и пары (РЬРЬ") использовали потенциал Дзугутова-Ларсона (65)-(68). Поскольку для Pbi-jKj q$ изменяется, так как часть атомов свинца "принимает" валентные электроны калия, то в формуле (68) нужно учесть также вклад Z ,. = 5. Получаем: q, = 3n\ZPb NPb + Zpb. Npb. )m/Lxs (77) где Lx - длина ребра МД-ячейки сплава Pb Kj, определяемая выражением: 4[м] =0Л[( к( )Мс+ ( ЖРЬ)/ АР,]Ш, (78) и равна 41,49,4234,43,50, 45.64 и 46.54 А в зависимости от числа катионов калия в МД-ячейке: ЛГ += 204&с/(1-х) = 108, 203, 333, 578 и 683 для х = 0.05, 0.09, 0.14, 0,22 и 0.25 соответственно, при NPb = 2048 и массовой плотности сплава; р = 9966, 9458, 8824, 7809 и 7428 кг/м\ Плотность р рассчитывалась по формуле [9] рх= 11.42 т 12.44Х- 1.242(1 + 0.304х 0.00171 (79)
Используя формулы (77)-(79), находим для х модуль вектора Ферми: )=1-5098, 1,4851, 1.4529, L3980 и 1.3762 А 1 и определим по формулам (65)-(68) парные потенциалы (УРЬРЬ (г) и (7РЬРЬ- (г). Их графики показаны на рис. 18а, а на рис, 18Ь - графики фриделевской составляющей ЭД(г) для 5, 9, 14 и 25 ат.% калия в расплаве РЬі-лКх.
Учитывая корреляцию электронов и ионов в жидком свинце [9], взаимодействие пар: (РЬТЬ"), (РЬ К ), (К К+) и катиона калия с атомом свинца (РЬК+) описывали потенциалом Борна-Мейера-Хаггинса без дисперсионных членов [128]: ЦірО0= а Р +5afiexp[ (i)ap-r)]! (80) где ZPb = 0? Zpb. = -1 и ZK = і; % = Ъ% [1 + (Z a) + (Zp/лр)], npJ. = 5, п + = 8 - число электронов на внешней оболочке ионов, Ь%= 0.211 эВ и qph = 3.0 А 1 - параметры потенциала отталкивания, DPh Ph- 4-84 А,
РЬ РЬ DPb K+ = 3 75 А л + + = 2"66 А Потенциалы (65)-(68) и (80) табулированы до 30 А с шагом 0.01 А, В расчетах их ограничивали снизу и сверху интервалом Rm-m г Дтал. Для UPbPb и ирьрь- йтіп " 2" и йтах = 13 84 а для ПОТШЧиалов й-рґ ирук+ и + + тах = 19 А, что несколько меньше половины ребра МД-ячейки. Для короткодействующего потенциала Uр,+ брали 7?тах = 7 А при том же Ит-Ш = 2,0 А.
Графики " потенциалов (65)-(68) и (80) представлены на рис. 18, Отталкивающие ветви, рекомендованные для эквимольного сплава PbojKo.5 [129], показаны на рис. 19. Видно, что график потенциала Uр,„+ практически совпадает с РЬ К+ отталкивающей ветвью потенциала U
Плошая часть жидкой матрицы
Таким образом, из строгого условия максимума числа компонент К(гтахК) комплекса для симплициального подразделения МД-моделей жидких металлов можно построить кластеры плотной части этих моделей, состоящих из почти правильных тетраэдров, соединенных попарно гранями. Причем эти кластеры (в виде разветвленных цепей) не пересекаются, т.е. не имеют общих граней.
На рис, 32 показаны типичные кластеры для свинца при 623 К (а), для лития при 470 К (б) и для натрия при 373 К (в).
На рисунках 33-35 показаны плотные части МД-моделей свинца при 623 К, лития при 470 К и натрия при 373 К соответственно, построенные согласно предложенному топологическому критерию. Точки - центры симплексов Делоне плотной части жидкой матрицы. Отрезки обозначают соединения этих симплексов по их смежным граням в разветвленные кластеры Жирными отрезками выделены "скелеты" типичных кластеров для каждой из МД-моделей, показанных на рис. 32.
Исследования тетраэдрической структуры плотной части жидкой матрицы показали, что ее кластеры характеризуются вершинными связями, что иллюстрируется рис. 36, на котором звездочками показаны эти связи. Поэтому введем два определения: 1) мощностью кластера будем называть число входящих в него симплексов, 2) связностью кластера будем называть число атомов данного кластера принадлежащих другим кластерам.
Видно, что все три кластера имеют одну общую вершину (не закрашенная звездочка) и две вершины, общие для пар кластеров (закрашенные звездочки). Соответственно мощность кластеров равна 14,1,24, а связность каждого равна 3.
Для демонстрации эффективности топологического критерия выделения плотной части конденсированного состояния были построены гистограммы оастеров плотной части для жидкого, аморфного и кристаллического состояния [137], показанные нарис. 37-42.
Видно, что каадый кластер плотной части слегка разупорядоченного кристалла состоит из одного симплекса (см, рис. 42), и все они многократно связаны между собой (связность 7). Связность кластеров плотной части аморфного тела 3 (см. рис. 41). В среднем она меньше, чем в нагретом ГЦК кристалле, но вполне достаточна, чтобы образовать перколяционный кластер в неупорядоченной конфигурации атомов. Мощность кластеров аморфного тела достигает 10 и в средней больше 1.
Этот параметр существенно больше в жидкой матрице металлов (см. рис. 37-40), Видно, что мощность кластеров достигает 33 и таких кластеров (с мощностью » 1) существенно больше, чем в аморфном теле.
Вместе с тем, в расплавленном металле имеются также кластеры с нулевой связностью и доля их достаточна, чтобы «разорвать» перколяционный кластер аморфного тела и обеспечить текучесть жидкости.
Сравнивая при двух температурах гистограммы плотной части натрия (рис. 39 и 40) можно видеть, что даже двукратное увеличение температуры натрия принципиально не меняет распределение кластеров плотной части жидкой матрицы на плоскости «мощность/связность» - не распадаются кластеры с числом симплексов и связностью больше 10, Однако, доля кластеров с нулевой и единичной связностью заметно возрастает, что можно интерпретировать как уменьшение вязкости расплава.
Следует также заметить, что отличительным признаком кристаллического и аморфного состояния является отсутствие свободных атомов, т.е. атомов, не вошедших в плотную часть- Наоборот, в жидкости таковых чуть больше 10% от общего числа и наблюдается их увеличение с ростом температуры.
На рис. 33-35 видно, что плотная часть жидкой матрицы МД-моделей простых металлов представляет собой разветвленные кластеры, не соединенные между собой по граням. Такая кластерная структура жидкости с топологической точки зрения представляет собою поверхностный фрактал, базисным элементом которого является грань почти правильного тетраэдра. При этом большая часть кластеров плотной части жидкой матрицы связана между собой (см. рис, 36-40).
"Свободные" грани (2-мерные симплексы) кластеров плотной части жидкой матрицы образуют фрактальную поверхность. Ее площадь S(r) можно оценить следующим образом [118,130]; 1. В произвольной точке внутри МД-ячейки как в центре строится сфера радиуса г 2. идентифицируются -мерные симплексы (d=Qfl9293) внутри этой сферы 3. рассчитываем площадь "свободных" граней тетраэдров тех кластеров плотной части жидкой матрицы, которые попали в построенную сферу» "Свободной" называется грань, которая принадлежит только одному симплексу Делоне 4. рассчитываем площадь самой сферы за вычетом площадей сферических треугольников, образованных пересечением сферы и тетраэдров плотной части жидкой матрицы, которые не вошли целиком внутрь сферы 5. вычисляем искомую площадь 5(/-), как сумму площадей, вычисленных при выполнении шагов 3 и 4.
С увеличением г кластеры плотной части жидкой матрицы попадают в.сферу сначала частично, а потом целиком. Их "свободная" поверхность учитывается в S(r) только той ее частью, которая находится внутри сферы. Результаты расчетов искомой площади "внутренней" поверхности кластеров плотной части жидкой матрицы исследуемых систем обрабатывались по формуле: %г) = А (81) где D - размерность Хаусдорфа фрактальной поверхности плотной части металла, а А - константа [138], Типичный график функции (81) в логарифмических координатах показан на рис. 43,
