Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Одномерные математические модели в методе ВСП 16
1.1. Постановка прямых и обратных задач ВСП в вертикаль но-неоднородных средах 16
1.2. Некоторые аспекты математического исследования задач ВСП и вспомогательные утверхедения 23
1.3. Единственность решения обратной диссипативной задачи рассеяния при прогнозировании вниз по данным ВСП 32
1.4. Единственность решения обратной диссипативной задачи просвечивания при прогнозировании данных ВСП вверх 39
Глава 2. Методы решения обратных задач ВСП в вертикально-неоднородных средах 44
2.1. Динамическая инверсия сейсмических данных в полной и линеаризованной постановке 44
2.2. Решение обратной задачи просвечивания в борцовском приближении 50
2.3. Существование и единственность решения обратной задач просвечивания в послеборновском приближении 54
2.4. Численные методы решения обратных задач ВСП и результаты вычислительных экспериментов 57
Глава 3. Решение прямых и обратных задач ВСП в трехмерных неоднородных средах 64
3.1. Теоретические аспекты распространения упругих волн в трехмерной анизотропной среде 64
3.2. Постановка и решение прямой векторной задачи ВСП в трехмерной среде. Лучевой подход 72
3.3. Обратная трехкомпонентиая динамическая задача ВСП и ее решение 84
3.4. Результаты численных экспериментов по решению прямых и обратных задач ВСП 88
Глава 4. Комплекс программ обработки трехкомпонентных данных ВСП 95
4.1. Структура комплекса, служебные библиотеки 95
4.2. Программная реализация алгоритмов слежения луча 103
4.3. Описание программ и графа обработки 106
Литература
- Единственность решения обратной диссипативной задачи рассеяния при прогнозировании вниз по данным ВСП
- Единственность решения обратной диссипативной задачи просвечивания при прогнозировании данных ВСП вверх
- Существование и единственность решения обратной задач просвечивания в послеборновском приближении
- Постановка и решение прямой векторной задачи ВСП в трехмерной среде. Лучевой подход
Введение к работе
1. Обзор проблемы
В настоящее время наиболее распространенными методами разведки нефти и газа являются: глубинные исследования скважины (ГИС) — комплекс микросейсмических, электрических и других методов, позволяющих проводить детальные исследования скважины с точностью разрешения до нескольких сантиметров вдоль ствола скважины, наземная сейсморазведка — метод, позволяющий получить изображение разреза на больших площадях, до нескольких десятков километров, но имеющий точность разрешения порядка десятков метров, и ВСП, позволяющий в некоторых своих модификациях добиваться разрешения в один метр.
Поскольку работы по закладке повой скважины являются высокозатратными, цепа ошибки при интерпретации результатов разведки очень велика. Поэтому в настоящее время большое распространение получают методики разведки, использующие данные ГИС, ВСП и наземной сейсморазведки совместно. ВСП лежит па стыке методов и позволяет произвести связку данных наблюдений всех трех видов друг с другом.
Существует два основных способа проведения работ методом ВСП: с использованием ближнего пункта взрыва (классические методы) и с использованием удаленных пунктов взрыва (ПВ). Данные наблюдений с ближнего ПВ позволяют получить информацию непосредственно о среде вблизи скважины. Удаленные пункты взрыва используются для получения информации о разрезе в некоторой окрестности скважины (как правило, на удалении равном половине расстояния от скважины до ПВ).
Особое значение метод ВСП приобретает в горной местности, где проведение работ методом наземной сейсморазведки затруднено, а результаты малоэффективны из-за сложной тонкослоистой структуры залегающих пластов.
Основы метода ВСП были заложены и развиты в работах Е. И. Гальперина [13,14]. Традиционная схема ВСП использует сейсмические колебания (как продольные, так и поперечные волны), регистрируемые датчиками, размещенными в зонде, в стволе скважины. Взрывной или акустический источник колебаний расположен вблизи устья (верхней точки) скважины на дневной поверхности или, как правило, слегка заглублен. Используется также схема с отнесенным от устья скважины источником. Принципиально другой тип возбуждения связан с расположением источника в забое (нижней точке) скважины, таковым может быть, например, долото бура. Основной характеристикой геологического разреза, определяемой в методе ВСП, является акустическая жесткость среды или ее импеданс, т. е. коэффициент отражения границ слоистой структуры. Восстановление (в геофизике пользуются термином прогнозирование) границ тонкослоистых геологических разрезов осадочных толщ чрезвычайно важно для установления тектонических и литолого-стратиграфических характеристик зональных структур в процессе нефтегазорайонирования. Другим важным применением метода явлется изучение океанского дна [54,62]. В этом случае приемники подвешиваются к бую, расположенному на морской поверхности, и используется акустический источник колебаний,
ВСП является активно развивающимся методом геофизической разведки. Необходимость все более детального прогнозирования геологических структур требует учета новых факторов при построении моделей
процессов распространения сейсмических волн. Среди этих факторов молено выделить два весьма валеных: невозможность непосредственного измерения колебаний источника и учет затухания сейсмических волн в осадочных породах. Используемые в настоящее время в методе В СП математические модели предполагают задание временных параметров источника колебаний. Непосредственные измерения вблизи него затруднены ввиду больших амплитуд смещений, однако, можно считать источник конечным по длительности воздействия. Поэтому при геофизической интерпретации используют либо некоторый стандартный параметрически описываемый импульс (например, импульс Бсрлаги), либо импульс, регистрируемый на некотором удалении от источника колебаний (на момент взрыва вся измерительная аппаратура временно шунтируется), Ясно, что использование таких импульсов вносит существенные искажения в интерпретацию регистрируемых сейсмических трасс. Другим важным фактором, требующим учета, является поглощение энергии и затухание сейсмических волн при распространении их в реальных геологических средах. Неучет диссипативных процессов приводит к искажению значений акустических импедансов прогнозируемых разрезов. Хотя коэффициент поглощения среды и форма импульса источника не представляют значительного самостоятельного интереса, в целом они существенно влияют на результаты интерпретации d методе В СП. В [2, 7] предлагаются методы, позволяющие учитывать вышеозначенные факторы.
Несмотря па всю сложность процессов распространения упругих волн в неоднородных геологических структурах, представляющих осадочный чехол земной коры, практика региональной геофизической разведки показала эффективность одномерных моделей исследуемых сейсмических сред
для широкого класса приложений. Обычно в качестве модели осадочных
толщ рассматривают параллельно-слоистую упругую среду, причем, если нет явных признаков наклонности границ раздела слоев, они считаются параллельными дневной поверхности.
В приложениях все чаще встречаются задачи, для которых одномерной модели среды оказывается недостаточно. Обработка данных с удаленных пунктов возбуждения, бурение криволинейных скважин, горизонтальное бурение, наличие в районе скважины линз, выклиниваний или других сложных геологических структур требуют более детальных моделей. Основная задача, которую решают с помощью двух- и трехмерных моделей среды — обратная задача уточнения отражающих характеристик среды. Для этого волновые поля после предварительной обработки подвергают процедуре, основанной на решении волнового уравнения, при которой сейсмические записи переносятся в точки их реального возникновения, а энергия преломления переносится в точки рассеяния. Полученные поля называются изображением среды. В геофизике эта процедура называется миграцией.
Миграция как метод цифровой обработки волновых полей развивается с момента появления адекватных задаче вычислительных мощностей. Упрощенные подходы ([63],[65]) развились в миграцию Кирхгоффа ([66]), конечно-разностную миграцию ([57]), миграцию в частотной области ([58],[67]) и другие ([64]).
Качество миграции существенно зависит от точности априорных моделей, используемых при решении задачи. Как правило, такие модели строятся по результатам обработки данных ВСП в одномерном приближении, либо используют трехмерные модели среды, полученные на предыдущих этапах обработки. На практике пользуются разными способами задания
моделей: блочно однородные, модели с заданным в области законом изме-
нения параметров, сеточные модели. Все эти описания характиризуются различной точностью описания среды, а также требуемыми для обработки машинным временем, и памятью.
Миграция — очень ресурсоемкая задача. В последнее время в литературе предлагаются различные способы ускорения этой задачи — генетические алгоритмы [68], нейросети [54,62] и другие. В работе рассматривается упрощенный вариант миграции, так называемое проектирование сейсмических данных на модель. Вместо полного решения волнового уравнения в этом случае рассматривается его лучевое приближение, ф результат проектирования можно рассматривать как линейное приближение полной миграции. При удовлетворительных результатах обработки метод требует на порядок меньших машинных ресурсов.
Для рассмотрения прямых и обратных трехмерных задач в работе использовались подходы, разработанные Г. Й. Петрашенем, Б. М. Каштаном и др. ([21],[31]). Их особенностью является конструктивный, алгоритмический подход. Решение прямой задачи представляется не в виде формул, а как набор алгоритмов, приводящих к решению. Такой подход, развитый авторами для решения прямых задач, оказалось очень легко перенести и на обратные.
03, рассматриваемые в ВСП, можно разделить на динамические и кинематические. В динамических обратных задачах в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой времениподобной поверхности. Первые постановки обратных динамических задач были предложены и исследованы М. М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым [25,26], А.С. Алексеевым [1], А. С. Благовещенским [10]. Систематические результаты по теории обратных динамических задач для гиперболических уравнений получены в трудах В. Г. Ро~
манова [34-43]. В обратных кинематичеких задачах в качестве дополнительной информации служат фронты волн. Эти задачи более изучены, результаты изложены, например, в [40].
Отличительная черта обратных задач, связанных с исследованием математических моделей реальных процессов, состоит в том, что характер дополнительной информации определяется возможностями эксперимента. Другим важным фактором, влияющим на решение обратных задач, является наличие погрешностей экспериментальных данных. В следствие этого многие задачи оказываются некорректно поставленными. Основы общей теории некорректных задач и методов их решения, заложенные трудах А. Н. Тихонова [50,52], М. М. Лаврентьева [24], В. К. Иванова [19], получили дальнейшее развитие в работах А. В. Баева [2-7], А, В. Гончарского, Ф. П. Васильева, А. М. Денисова, В. И. Дмитриева, С. И. Кабани-хина, В. Г. Романова, А. Г. Свешникова и многих других. Развитие теории обратных и некорректно поставленных задач, появление высокопроизводительной вычислительной техники позволили практически решить многие задачи обработки данных ВСП.
Задачи, рассматриваемые в работе, тесно связаны с практикой и, как следствие, требуют эффективных численных методов решения. Вопросам эффективной реализации методов математической физики посвящена обширная литература ([12], [29],[33], [45] и др.).
Стремительное увеличение вычислительных мощностей современной техники приводит к постоянному расширению требований к используемым программным комплексам. Помимо усложнения математических моделей и требований к точности и скорости вычислений, большое внимание уделяется удобству использования программ. Это касается интерфейса пользователя, возможностей распределения данных и вычислений
в локальной или глобальной сети, возможностей быстрого обновления программных продуктов и их частей без изменения технологий работы и с сохранением полученных результатов. Для удовлетворения этих и других требований пользователей в промышленной разработке программного обеспечения используются разнообразные средства — языки программирования высокого уровня (C++ [48]), языки описания сценариев (tcl/tk [32], perl [23]), системы контроля нерсий исходных кодов (CVS, RCS, SourceSafe и другие), средства разработки пользовательских интерфейсов (KDE, Windows API), иные инструменты автоматизации разработки и поддержки программных комплексов. Кроме инструментальных средств, большое внимание при разработке программных средств уделяется различным методологическим вопросам ([9],[11], [47]).
2. Общая характеристика работы
Актуальность темы В ВСП применяются новые технические решения улучшающие разрешенность исходных данных, ставятся новые одномерные и трехмерные задачи. Эти задачи должны решаться быстро и устойчиво. В диссертации рассматриваются одномерные и трехмерные задачи, возникающие в рамках математических моделей в методе ВСП, комплекс программ, реализующий методы решения трехмерных задач.
Цель работы состоит в постановке и исследовании обратных одномерных задач просвечивания и рассеяния для гиперболической системы на полупрямой, прямых и обратных задач в рамках трехмерных анизотропных блочных моделей среды, практическом решении, ряда прямых и обратных задач вертикального сейсмического профилирования в скважин-ной разведочной геофизике, построении комплекса программ для применения этих решений.
Научная новизна, теоретическое и прикладное значение работы заклго-1 чены в следующем:
Данные ВСП являются результатами сейсмических наблюдений, которые характеризуются неточной и неполной заданностыо. Как следствие, многие задачи ВСП оказываются некорректно поставленными. В работе исследованы обратные задачи просвечивания и рассеяния для одномерной гиперболической системы с анизотропией. Доказана единственность одновременного определения коэффициентов отражения и поглощения, а также формы сигнала. Предложены устойчивые алгоритмы решения этих задач.
Методы ВСП позволяют получить информацию о геофизической среде, находящейся на достаточном удалении от скважины. При обработке подобной информации одномерной модели среды часто оказывается недостаточно. В работе рассмотрена анизотропная трехмерная блочная модель геофизической среды. Поставлены прямые и обратные задачи в рамках этой модели, предложены методы решения.
3. В настоящее время требуется, чтобы данные ВСП обрабатывались
в сжатые сроки и с заданным качеством. От программных комплексов,
используемых в геофизике, требуются простота и удобство применения,
работа в гетерогенных сетях, возможность коллективной обработки. В
работе рассмотрен комплекс программ, созданный для решения прямых
и обратных задач ВСП, удовлетворяющий этим требованиям.
Апробация работы Результаты диссертации докладывались на всероссийских конференциях по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, 1998, 1999, 2000), на семинарах кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ. Пакет программ, описанный в диссертации, применяется на практике.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
Баев А,В., Мельников Г.Ю. Численное прогнозирование неоднородной геологической среды с поглощением в методе ВСП. М.: «Диалог-МГУ». В сб. (тезисы докладов всероссийской конференции по обратным и некорректно поставленным задачам. Москва, 1998): Обратные и некорректно поставленные задачи. 1998. С. 7.
Баев А.В., Головина С.Г. Мельников Г.Ю. Решение обратной трехмерной динамической задачихейсмики в борновском приближении. М., «Диалог-МГУ», В сб. (тезисы докладов всероссийской конференции по обратным и некорректно поставленным задачам. Москва, 1999): Обратные и некорректно поставленные задачи. 1999. С. 9.
Баев А.В., Мельников Г.Ю. Решение обратных задач распространения волн в борновском и послеборновском приближении. М.: «Диалог-МГУ». В сб. (тезисы докладов всероссийской конференции по обратным и некорректно поставленным задачам. Москва, 2000): Обратные и некорректно поставленные задачи. 2000. С. 9.
Baev А. V., Melnikov G. Yu. Inverse dissipative problems in vertical seismic profiling. Utrecht, Tokyo: VSP. Journal of Inverse and 111-Posed Problems. 1999. Vol. 7. № 3. P. 201-220.
5. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ
№ 2001611778 "Интегрированная система обработки и интерпретации гео
лого-геофизических данных" ("ЮНИВЕРС"). 24 декабря 2001.
6. Мельников Г.Ю. Об одном алгоритме решения прямых и обратных
ЗБ-задач вертикального сейсмопрофилирования. Прикладная матема
тика и информатика, 2005, М.: МАКС-Пресс.
3. Содержание работы
Во введении дается общий обзор рассматриваемых задач, содержится характеристика методов, рассматриваемых в диссертации и кратко излагается содержание работы и основные полученные результаты.
В первой главе рассматриваются математические модели В СП, построенные на основе гиперболической системы уравнений для одной пространственной переменной.
В п. 1.1 приведен вывод канонической системы уравнений, описывающей распространение плоской волны в одномерной неоднородной среде. Для этой системы дано определение обобщенного решения в смысле распределений. Поставлены прямая и обратные задачи, которые исследуются в первых двух главах.
В п. 1.2 приведены результаты, которые будут использоваться в дальнейшем для исследования обратных задач. Дается определение преобразования (правостороннего) Лапласа для обобщенной в смысле распределений функции, получаются значения параметра преобразования р, при которых возможно преобразование Лапласа функций-решений исследуемой гиперболической системы. Раскладываются в ряд по коэффициентам гиперболической системы элементы матрицы фундаментальных решений. Показывается равномерная сходимость этих рядов. Исследуется связь между гладкостью членов ряда и коэффициентов системы.
В п. 1.3 рассматривается обратная динамическая задача с известным или неизвестным источником колебаний для системы с поглощением. Доказывается теорема единственности решения.
В п. 1.4 рассматривается обратная задача просвечивания для гиперболической системы. Доказывается единственность восстановления коэффициентов уравнения на отрезке при условиях, налагаемых на значения
коэффициентов на полупрямой.
Во второй главе диссертации рассмотрены методы решения одномерных обратных задач.
В п. 2.1 приводятся методы решения обратной динамической задачи для гиперболической системы уравнений. Для случая с поглощением приведен линеаризованный оптимизационный метод с учетом априорной информации о коэффициентах уравнения. Для случая системы без поглощения приведен оптимизационный метод решения задачи.
В п. 2.2 обратная задача просвечивания рассматривается в борцовском приближении. Показана единственность и исследована зависимость гладкости борцовского приближения решения от гладкости коэффициента отражения рассматриваемой системы уравнений.
В и. 2.3 рассматривается послеборновское приближение решения обратной задачи просвечивания. Приведены условия единственности и исследована гладкость приближенного решения.
В п. 2.4 приводятся численные методы решения исследованных задач и результаты вычислительных экспериментов.
В третьей главе рассматриваются задачи распространения воли в трехмерной неоднородной среде в рамках лучевого приближения.
В п. 3.1 рассматривается модель распространения волн в трехмерной анизотропной среде, ставятся прямые и обратные задачи, которые исследуются в главе.
В п. 3.2 изучается прямая векторная задача ВСП в трехмерной анизотропной среде. Исследовано лучевое приближение решения. Предложена блочно-однородная модель среды, для которой разработан алгоритм решения прямой задачи.
В п. 3.3 предложен алгоритм решения обратной задачи ВСП, рассмотрены условия применимости алгоритма.
В п. 3.4 представлены результаты численных экспериментов по решению прямой и обратной задач ВСП, а также результаты решения задач по реальным данным ВСП.
В четвертой главе описывается пакет программ предназначенный для решения трехмерных прямых и обратных задач ВСП, использующий рассмотренные в третьей главе алгоритмы и являющийся частью вычислительного комплекса UNI VERS.
В п. 4.1 рассматривается библиотека классов на языке C++, предназначенная для представления трехмерной модели в памяти и вызова различных вычислительных процедур.
В п. 4.2 описывается библиотека процедур на языке FORTRAN, которая предоставляет вычислительные блоки для решения прямых и обратных задач ВСП.
В п. 4.3 рассматривается граф обработки данных ВСП, место в нем представленного пакета программ.
Единственность решения обратной диссипативной задачи рассеяния при прогнозировании вниз по данным ВСП
Рассмотрим условия, при которых обратная задача А (стр. 21) имеет единственное решение.
Введем функцию реакции f(t) полупрямой х X со свободным концом х — X как корректно заданный след f{i) = u(X,t) решения краевой задачи для системы (1.5) при х X, со с дополнительными условиями v(x, t) = 0, и(х, )=0 X х X, КО (1-21) v(X,t)=u{X,t)+6(t), u{X,t) = av(X}t), \t\ oo
Будем рассматривать решение задачи (1.5), (1.21) в том же смысле, что и в параграфе 1.1. С помощью метода отражений легко показать, что для обобщенной функции f(X,t) имеет место следующее разложение по гладкости: /(г) = ап(-2гаГ) + /М, оо, где f(t) = Q для КО fit) С (Q (2пТ,2(п + 1)Г) ) , Т = Х-Х. \п-0 I (1.22)
Задача А с дополнительными условиями (1.10) эквивалентна задаче с дополнительными условиями (1.21), где источником служит не S(t), а функция fi(t) — /2(0- Очевидно, что при этом реакцией полупрямой X X служит функция /г( ). Следовательно, /2(i) = (Л(t) - h(t)) f{X,t) или f2(t) = $ » [h(B) - І2(Є)]е=ь-2пТ + / [Л (і - т) - hit - r)] /(т) dr. n=l S
Существует единственное решение этого уравнения Вольтерра первого рода относительно функции f(t) на отрезке t [0, і/]. Существование следует из предположения, что функции fj(t), j = 1,2 являются корректно определенными следами решения прямой задачи, а единственность следует из Вольтерровости оператора и того, что р(0) 0.
Таким образом, изначальная задача прогноза вниз среды сводится к восстановлению функций z(x), т{х) Є С[Х,Х] по функции /(), 0 t tf , где tj = supp f(x).
Известно [28], что в случае а(х) = 0, для единственности восстановления z(x) Є С[Х,Х] необходимо и достаточно знать функцию f(t) на отрезке [0,2{Х — X)]. В [56] доказано, что для восстановления коэффициентов z(x), а{х) Є С[Х, X] в случае слабо-неоднородной среды необходимо и достаточно знать функцию f(t) на отрезке [0,4(Х — X)].
Следующая теорема сводит эти факты вместе. ТЕОРЕМА 1.1. Если tf ЦХ — X) — 4Т, то 03 А имеет не более одного решения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим для системы уравнений (1.5) в случае х X, t оо вспомогательную задачу Копш со времени-подобной переменной х. Заметим, что решение этой задачи совпадает с решением задачи (1.21) при t 0. Аналогично разложению (1.19) представим мат Таким образом, и(х, t) — 0 для t 2Т, и уравнение (1.25) верно для каждого t 0. Это эквивалентно утверждению, что имеет место представление F(X,p) = —W2{p)/Wi(p), большие буквы по прежнему обозначают односторонние преобразования Лапласа, функции W2(p),Wi(p) являются целыми функциями экпоненциального тина 2Т.
Таким образом, пара различных решений уравнения (1.24), имеет одинаковый отклик /(X, і), что противоречит представлению преобразования Лапласа этой функции F{X,p) = (ае 2рТ - W2{p)) / (1 - ае 2рТ - W p)) (1.27) с двумя различными парами функций И р), W\(p). Докажем теперь, что функции wi(t), W2[t) однозначно определяются коэффициентами z(ж), &{х) Є С[Х,X]. Рассмотрим решение вспомогательной задачи Коши в области t 0. В этой области оно совпадает с решением краевой задачи (z a)( _\=0, Х х Х, оо, v (X,t)=u-{X,t)+S{t) u {x,t)=v {x,t)=0, Х х Х, t 0, v (X,t) = au (X}t), оо с пока неизвестным следом и (Х, t) — / (), где f (t) = 0 для t О, получаемой. Задача эта получается из (1.5)-(1.7) с помощью преобразования — —, v —У и, и — v, z -л z, о —) —а. Матрица фундаментальных решений Wx(х, t), отвечающая системе из (1.28), связана с wx(x,t) так, что vx(x,t) = ux(x,—t), ux(x,t) = и (ж, —і), где І = mod 2 (,7 + 1), то = тос1г(/г + 1).
Из граничного условия, домножая второе уравнения на а и вычитая последние два уравнения, получаем T+t ьл{Т-і)-ш2{Т-Ь) + а/ {1 + Т)- Г{Ь-Т)+ f w1{T + T)f-{T)dr = 0, о переходя к t Є [О, 27і] и замечая, что на этом отрезке f (t — 2Т) = О окончательно имеем уравнение Вольтерра. t wx{2T - і) - w2{2T )+ af (t) + I WX{2T + T- t)f (r) dr = 0 о для t Є [0, 2T] относительно функции f {t), 0 t 2T. Очевидно, что это уравнение имеет единственное решение.
При а = 0 функции w\ и w также восстанавливаются единственным образом. Допустим противное.Тогда из теоремы Титчмарша [49] следует, что существует число є [0,2Т) такое, что f (t) = 0 для t Є [0,є] и wi(t) = 0 при t Є [є, 2Т] (ситуация є 2Т невозможна, поскольку в этом случае z{x) у{х) для X x X), то есть v2(X,t) + U2(X,t) = 0 при t Є [є - T,T]. Но в этом случае w3(t + Г) = vi(X,t) + ui(Xtt) - О для t Є [є — Т,Х]. Действительно, из того, что система (1.28) допускает упомянутое преобразование мы имеем, что vi(X,t)+ui(X,t) = wi(T— t) = 0 при t Є [-Т, Т - є].
Предположим, ЧТО Wz(T —t) = ux(X,t) + ux(X,t) ф 0 для t Є [—Т, Т — є] и рассмотрим начально-краевую задачу {z, -а) ( Vu J = О, X х X, t -Г, u(X, і) = v(X, t) u{x, ) = v(xt ) = 0, X ж X, u(X, i) = vx(T - t), . Тогда для решения задачи при і Є [—Т, Г — є] имеет место равенство v{X,t) — 01.(71 — і), а значит г(гс) = сг(х) для ж Є [X-f є/2,Х], Это противоречие доказывает, что щ(Ь) = 0 при t Є [є, 2Т]. Тогда имеем и (ж, t) + 11% (ж, t) = 0 при ж Х,ж + Х + е. Значит wf (х,ж - А ) + и(х,х-Х) = (сг(х) - z{x)) для х Є [Х 4- /2,Х]. Следовательно, функция /(і), 0 t tf при tf AT, единственным образом определяет f {t), 0 t 2Т. Докажем теперь, что функции z{x), о{х) Є С[Х,Х] могут быть однозначно восстановлены, если заданы две функции /"(), f+{t) = f(t), О t .2Т. Різ второго уравнения системы (1,5) интегрированием по характеристике + t 2х — X можно получить уравнение для х Є [X, X] х J v+{Z,2x X + 0;2 ст) (ст(ж) - z{x)) d = /+(2ж - 2Л"), (1.29) где (ж ; 2,(т) — решение системы (1.5) при фиксированных 2, ст.
Единственность решения обратной диссипативной задачи просвечивания при прогнозировании данных ВСП вверх
В геофизике постоянно приходится решать задачу восстановления динамических коэффициентов геологической среды ниже точки наблюдения. Эта задача называется обратной динамической. Как было показано в первой главе, к ней сводятся обратные задачи просвечивания и рассеяния В СП. Как правило для численного решения обратной динамической задачи пользуются схемой Баранова-Кюнеда ([8]). Основным недостатком этой схемы является неустойчивость, в результате которой довольно часто получаемые результаты оказываются бессмысленными. В этом параграфе будут рассмотрены два метода, позволяющие устойчиво решать обратную динамическую задачу ВСП.
Рассмотрим гиперболическую систему с поглощением (1.5) с начальными и граничными условиями (1.6)-(1.7) (стр. 18) с -функцией в качестве источника возбуждения и переопределением для обратной задачи u(Qtt) = f{2t), 0 t X. (2.1) Под обратной динамической задачей будем понимать восстановление коэффициентов z(x) и и{х) уравнения (1.5) на отрезке [0,Х].
В [2] показано, что эта задача эквивалентна задаче для двух систем уравнений: (1.5) и системы, получаемой из (1.5) заменой —»—, v — и , и Н v , z —V z, о — —а Щ + + (Ф) - г(я))и = О, (2.2) ut — их — (z(x) 4- ст(ж))г; = 0. Начальные и граничные условия для системы (2.2) имеют вид v (ху 0) = и (х, 0) = 0, х 0 и"(0,0 = и"((М) 4-ОД, і 0, а переопределение для обратной задачи u" (0, ) = /"( ) 0.
Функция f" {t) при этом задается единственным образом функцией f(x) = f+{t), и обратная динамическая задача имеет единственное решение. Интегрированием вторых уравнений систем по характеристике 4- t = 2х получаем пару интегральных нелинейных уравнений Вольтерра х Jv{ 2x- ziCr) (a(x)-z(x)) dt; = f+(2x) (2.3) fv-(t,2x-&z, r) {a{x)+z(x)) d = f {2x). о Здесь функции v(x,t ,z}a), v (x}t ,z,a) являются решениями соответствующих систем уравнений при фиксированных z(x), т{х).
Поскольку в реальности работают со слоистыми средами с малыми коэффициентами отражения (z(rc), r(x) 0.1), при решении обратной задачи кратными отражениями можно пренебречь. Запишем решение задачи (1.6), (1.7), (2.1) в виде (ази -Ч %/()= (CV , Д,,)+ НЧ %/Й)) откуда получим представление v(x,t) = S(t-) + /( -) + vtnt(x, t)
Повторяя аналогичные действия для задачи (2.2) и отбрасывая в разложениях функций v, v остаточный член %t, приводим систему (2.3) к виду
Также на практике, как правило известна априорная информация о коэффициентах поглощения и акустической жесткости среды вида (ж) ?{х) 7 (х) ,{x) fz(t)dt z {x)
Учитывая сказанное приходим к постановке вариационной задачи восстановления коэффициентов z[x), а(%). Решением обратной динамической задачи в линеаризованной постановке будем считать пару функций z(x), и{х), минимизирующих функционал J{z,a) = \\A+[Z, T} - f+f + \\A-[z,a] - Г\\\ x 0, {z, } ЛГ Это задача минимизации квадратичного функционала при линейных ограничениях, то есть задача квадратичного программирования, для которой разработаны эффективные методы решения [33]. Если пренебречь поглощением, то можно построить метод полного (не линеаризованного) решения задачи. Изложим этот метод, следуя [6].
В случае, когда в система (1.5) рассматривается без поглощения, обратная динамическая задача может-формулируется-иначе. Рассматривается не две системы, а одна: vt + vx -f- z(x)u = О, (2.4) щ — их — z{x)v = 0. начальные и граничные условия (1.6), (1.7), переопределение (2.1) остаются без изменений.
Решением обратной задачи (2.4), (1.6), (1.7), (2.1) назовем функцию z(x) Є 1 2[0,Х], такую, что для следа решения соответствующей этому коэффициенту прямой задачи (2.4), (1.6), (1.7) справедливо равенство uz(0,t) — f(t), t Є [0, X]. Это определение естественно переформулировать следующим образом: х J(z)=f\u (bt)-f(t)\2ti(t)At, о z(x) = are; inf J(z), z&L2[0,X] где (j.(t) — произвольная функция, удовлетворяющая аксиомам нормы. Если /() не является корректно определенным следом решения, то это определение становится, вообще говоря, некорректным. Для задачи (2.4), (1.6), (1.7) имеет место оценка ([20]) \Ых) - z2(x)\\L2[0iX/2] c0\\u (t) -U 3( )IIL2[O.X], где с0 зависит от max{ziL2[0iX/2], Z2L2[O, /2]} И X. Также в этой работе показано, что вариация функционала J(z) имеет вид х f{z) = д{2х) + f К{х, t)g{t) dt, 0 х Х/2, (2.5) 2х где g(t) = v(t){u {0,t) f(t)) И t — x Kfr t) = 2,)(,, (- )+/[«( , тЩх, t-r)- u(z, rHx, t-т)] dr, X v(x, t) = v{x, t) — 5(t — x) Поскольку выражение (2.5) определяет оператор Вольтерра II рода относительно функции д(2х), можно сформулировать утверждение о свойствах функционала J(z). УТВЕРЖДЕНИЕ 2.1. Пусть обратная задача (2.4), (1.6), (1.7), (2.1) разрешима. При этом J z(x) = 0 в L i[О, JT/2] тогда и только тогда, когда z(x) есть решение обратной задачи.
Задача минимизации функционала J[z) в L2[0,X/2] является некорректной, поскольку точка минимума может не существовать, а в случае существования определяться не устойчиво. Для получения корректного решения задачи может рассматриваться вариант метода регуляризации А. Н. Тихонова [51] для решения операторных уравнений с нелинейным оператором, переводящим слабо сходящиеся последовательности в сходящиеся. В случае v(0,t) є І2[0 Х] таким оператором является оператор A : L2[Q,X/2] — L2[0,X]t определяемый задачей (2.4), (1.6), (1.7),
Существование и единственность решения обратной задач просвечивания в послеборновском приближении
Поскольку задача решения системы уравнений (2.11) с приближенно заданными матрицей и правой частью, вообще говоря, некорректна, при решении задачи использовался регуляризационный метод получения нормального псевдорешения, который сводится к решению системы уравнений {Л Л-\- i)u = A f, где — единичная матрица, ju 0.
Для перехода от функций w\, W2 к переопределениям для обратной динамической задачи использовалась формула W2 Сначала функции w\, №2 переводились в частотную область, там получалась функция F, и после преобразования этой функции во временную область получалась функция /, в области своих отрицательных значений равная / , а в области положительных — /+.
Для решения обратной динамической задачи непрерывные функції переводились в дискретные 7, о7, / , / . Ограничения в этом случае принимали вид
Минимизируемый функционал в матричном виде записывался в виде J(z, а) = \\Ву-Н\\\ где "=( ) Я=(г) B={EDP) Р = матрицы S, D обозначают, соответственно, сумму и разность z и а. Переход от переменной z к переменной производился для упрощения вида ограничений. Минимизация функционала осуществлялась с помощью методов, описанных в [23].
Рассмотрим вопрос численного решения 03 (2.4), (1-6), (1.7) в послебор-новском приближении. Решение задачи состоит в нахождении коэффициента z(x) из уравнения (2.4), которое с учетом сделанной в предыдущем параграфе замены переменных принимает вид
Из Теоремы 2 следует, что в случае TTZ 1 уравнение (1-7), вообще говоря, может иметь больше одного решения. Чтобы избежать неединственности, предполагалось, что —z{x) близко к й(Т, 2Т — t) и к интегральному уравнению добавлялся член a(z(t) + й(Т, 2Т — t))\ т 2u{T,2T) + a{z{t)+u(Ti2T)) = -z{t) + f z{t)z{ + t)d, a 0 о или в виде, более удобном для дальнейшего рассмотрения
С помощью метода сжимающих отображений можно показать аналогично предыдущему параграфу, что параметр регуляризации а следует выбирать из соотношения 2TZy — 1.
Уравнение (2.12) решалось методом Ньютона ([7]). Вариация инте грального члена уравнения имеет вид fQ [z( — t) + z( + і)]Д.г() сЩ. В качестве первой итерации бралась функция z = 0, итерация zn находилась из линейного интегрального уравнения
Для получения численного решения уравнения (2.13) вводилась равномерная сетка по t и х. Шагом сетки по t брался шаг дискретизации при измерении функций fi[t) и /2(). Координата х является оптической глубиной и имеет размерность времени, поэтому по х шаг сетки брался равным шагу по t.
Интегралы из (2.13) заменялись на интегральные суммы по формуле прямоугольников, в результате получалась система интегральных уравнений относительно вектора dn = (d±:...,f/дг): (A-E)(F- = f (2.14)
Здесь матрица А аппроксимирует интегральный член из (2.13) и имеет вид L + R, где На рисунках 2.1 представлены результаты решения обратной динамической задачи с поглощением. В левой колонке представлены модельные коэффициент поглоіцения, импеданс — интеграл коэффициента отражения и сигнал. "Нефизичность" коэффициента поглощения связана с тем, что использовавшаяся система моделирования предполагала задание коэффициентов отражения и поглоіцения в каждой точке. В правой колонке приведено решение — восстановленные коэффициент поглощения, импеданс и сигнал.
На рисунках 2.2 показаны результаты восстановления коэффициентов отражения по идеальным импульсным сейсмограммам в борцовском.и по-слеборновском приближении. На 2.2а изображены модельные коэффициенты отражения, 2.26 —- идеальные импульсные сейсмограммы, они же — борновские приближения решения умноженные на -1, 2.2в — квадратичные, послеборновские приближения решения.
Постановка и решение прямой векторной задачи ВСП в трехмерной среде. Лучевой подход
Кроме того, пусть задана функция /(), f(i) = О, і 0, определяющая форму импульса возбуждения.
Под задачей Р(х,а,5, г), или Р(а, 5) распространения волны в однородной среде будем понимать расчет волновых полей vSr (х, t) волны типа г. В некоторых случаях будем считать результатом решения этой задачи также лучевые скорости распространения }т .
Другой задачей является задача на отражение-преломление плоских волн на границе раздела двух трансверсалыю изотропных упругих полупространств. В этом случае рассматриваются два полупространства с номерами є = 1 и є = 2, находящиеся в жестком контакте друг с другом, разделенные плоской границей. Из полупространства є = 1 па границу раздела падает в направлении (а, 5) монохроматическая волна типа г с фазовой скоростью v , вектором рефракции р , лучевой скоростью (г). Под задачей. Л (г, а, 5) будем понимать восстановление всех параметров (фазовой скорости, лучевой скорости, векторов рефракции, векторов поляризации) отраженных и преломленных волн всех типов, порожденных падающей волной. При этом должны выполняться, во-первых, уравнения движения в каждой из сред є — 1 и є — 2, во-вторых, условия излучения, в-третьих, на границе полупространств должны оставаться непрерывными полные векторы смещений и напряжений. Более подробно эти требования изложены в параграфе, посвященном построению решения задачи.
Для постановки задач распространения волн в слоистых средах дадим предварительно необходимые определения. Под областью моделирования будем понимать выпуклый трехмерный многогранник, например, параллелепипед, внутри которого исследуется распространение волн. Телом внутри области моделирования будем называть связную область, описываемую одними.и теми же параметрами среды \ik,Pq- Границей будем называть поверхность раздела сред между двумя телами. В работе исследуется случай плоских границ. Совокупность тел, их границ и: области моделирования назовем моделью среды.
В работе рассматриваются прямые и однократно отраженные волны. Для простоты считается, что распространяющиеся волны могут менять свой тип только в момент отражения, при преломлении же тип волны сохраняется. Не рассматриваются случаи закритических прохождений границ и головные волны.
Путем луча будем называть последовательность границ, па которых прослеживаемый луч преломляется или отражается по мере распространения по модели.
Прослеживая луч, распространяющийся по модели, будем отслеживать набор следующих данных: координаты источника возбуждений, лучевые параметры, тип прослеживаемой--волны до и после отражения, последовательность точек на границах, в которых волна отражалась или преломлялась и точку, в которой распространение луча перестали отслеживать.
Будем называть путем из источника, в приемник последовательность границ, пересекаемых лучом, прошедшим из источника в приемник. Очевидно, что в параллельно-слои стой среде из точки в точку существует только один путь. Однако, если допустить, что границы не илоско-парал-лсльиые, то путей может быть несколько.
Допустим, в области моделирования заданы координаты XQ сосредоточенного источника возбуждения и начальные лучевые параметры. Зада чей 5{х0, а, $, є, п, г2), или 5(хо, а, 5, є), будем называть задачу построения луча, идущего из заданной точки в заданном направлении, отражающегося от границы є и имеющего до отражения тип г\, а после — r i.
Поскольку волновые поля, обрабатываемые в ВСП, являются результатами измерений, они естественно являются заданными дискретно и по времени, и по пространству. Дискретность задания по пространству вызвана конечным количеством расположенных в скважине приемников, регистрирующих сейсмические колебания. Дискретность по времени является следствием того, что регистрация, колебаний приемниками производится не непрерывно, а с интервалом дискретизации. Поэтому прямые задачи ВСП целесообразно формулировать для дискретных функций. Прежде, чем перейти к постановкам задач, приведем необходимые определения.
Обозначим через Qj множество конечных последовательностей точек трехмерного пространства (xi, ...,хлг), N со, х 13, О г N. Множеством Tf назовем множество последовательностей вида (ti, ...,JV) , N оо, U Ж, t0 О, U ti-u 0 і N.
В дальнейшем, как правило, множество X Є І?/, представляет собой координаты глубинных приемников сейсмических данных, в которых волновые поля заданы либо требуют расчета, множество Т Tf описывает моменты времени, в которые амплитуды колебаний известны либо требуют расчета.
Прямой динамической задачей ВСП будем называть нахождение но заданной модели и источнику возбуждений волнового поля и всех типов волн, как падающих, так и однократно отраженных в заданных точках х X, X Є Of в моменты времени t Є Т, Т Ї/.
