Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы решения задач электрохимического формообразования 10
1.1. Постановка задач и вывод краевых условий 10
1.2. Задачи расчета форм поверхности, не зависящих от времени 16
1.2.1. Задача начального формообразования 16
1.2.2. Стационарные задачи 16
1.2.3. Предельное формообразование 17
1.2.4. Автомодельные решения задач ЭХО 18
1.2.5. Расчет гидродинамики электролита МЭП 21
1.2.6 Обзор решенных ранее задач 22
1.3. Решение автомодельных задач при помощи конформных отображений 27
1.4. Построение отображения, преобразующего верхнюю полуплоскость в круговой треугольник с заданными углами 28
1.5. Построение отображения верхней полуплоскости на круговой треугольник, один из углов которого равен 32
1.6. Ускорение сходимости гипергеометрического ряда 39
1.7. Тестирование и сравнение с результатами решения, полученными при помощи математического пакета MAPLE 47
Глава 2. Решение задач об автомодельном электрохимическом формообразовании с помощью гипергеометрической функции 50
2.1. Задача об автомодельной обработке движущимся точечным электродом-инструментом. 50
2.2. Бесконечно удаленный электрод- инструмент . 58
2.3. Плоский и клиновидный электрод-инструмент. 66
2.4. Клиновидный электрод инструмент с изолированными боковыми поверхностями . 80
2.5. Бесконечно удаленный электрод инструмент при наличии изолированного клина. 90
2.6. Клиновидный электрод инструмент с одной изолированной боковой поверхностью. 102
Глава 3. Решение задач нестационарной электрохимической обработки . 113
3.1. Постановка задачи. 113
3.2. Метод решения задачи. 116
3.3. Решение задачи Римана- Гильберта 118
3.4. Тестирование. 128
3.4.1. Аналитическое решение стационарной задачи . 128
3.4.2. Решение нестационарной задачи. 131
3.5. Численные результаты. 132
Заключение 138
Литература 140
Приложения 154
- Построение отображения, преобразующего верхнюю полуплоскость в круговой треугольник с заданными углами
- Тестирование и сравнение с результатами решения, полученными при помощи математического пакета MAPLE
- Клиновидный электрод инструмент с изолированными боковыми поверхностями
- Аналитическое решение стационарной задачи
Введение к работе
Развитие машиностроения приводит к появлению новых высокопрочных материалов, усложнению конструкций изделий, повышению технических требований к точности и качеству обработанной поверхности. Механическая обработка имеет определенные недостатки: приводит к быстрому износу рабочего инструмента, что затрудняет формирование сложнофасонных поверхностей, оказывает силовое и температурное воздействие на обрабатываемую деталь в зоне обработки. Технологические показатели при механической обработке значительно зависят от физико-механических свойств обрабатываемого материала.
Размерная электрохимическая обработка (ЭХО), основанная на анодном растворении металлов в проточном электролите с помощью специального катода-инструмента, позволяет устранить эти недостатки. Впервые ЭХО была предложена в 1928 году отечественными учеными В.Н. Гусевым и Л.А. Рожковым. Значительные успехи в развитии теории и совершенствования технологии были достигнуты благодаря работам Ф.В. Седыкина, И.И. Мороза, Ю.Н. Петрова, В.Д. Кащеева, Г.И. Корчагина, А.Х. Каримова, Ю.С. Волкова, А.И. Дикуссар и др. Первые задачи расчета границ электродов при размерной ЭХО были рассмотрены сразу же после начала внедрения метода в машиностроении. Значительный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли В.В. Клоков, Л.М. Котляр, Д.В. Маклаков, Г.А. Алексеев, Л.М. Щербаков, В.П. Смоленцев, А.Л. Крылов, B.C. Крылов, А.Н. Зайцев, В.П. Житников, J. Kozak.
Расчет электрических полей при допущении их потенциальности аналогичен расчету полей потенциальных течений жидкости. Гидродинамическая аналогия уравнений и граничных условий для решения этих уравнений облегчает формулировку краевых задач для различных схем ЭХО. Это позволяет разработать эффективные методы расчета электрохимического формообразования посредством применения мощных гидродинамических методов расчета, основы которых заложены в работах Н.Е. Жуковского [33], М.А. Лаврентьева [59], Л.И. Седова [72], М.И. Гуревича [10], П.Я. Полубариновой-Кочиной [68], Г.Ю. Степанова [74] и др.
Появившиеся и апробированные в последние десятилетия новые технологические схемы ЭХО на импульсном токе, синхронизированном с вибрацией электродов, позволяют улучшить обмен электролита, эвакуацию продуктов реакции и значительно увеличить точность ЭХО. В то же время возникает проблема расчета форм обрабатываемых поверхностей, образующихся в ходе ЭХО [11, 12, 37, 100]. Это связано с тем, что в отличие от механического процесс ЭХО происходит в бесконтактном режиме и скорость съема материала заготовки в каждой точке поверхности определяется плотностью тока. В связи с этим форма следа на заготовке при ЭХО не повторяет полностью профиль электрода-инструмента (ЭИ). Чтобы иметь возможность рассчитать эту форму, необходимо учитывать различные факторы, связанные с физико-химическими особенностями процесса, а также распределение электрического поля в пространстве между электродами. Кроме того, поскольку форма заготовки изменяется при обработке, приходится решать нестационарные задачи, что осложняет расчет и практическое применение результатов.
В связи с этим развитие ЭХО требует разработки адекватных математических моделей, учитывающих различные факторы, но, с другой стороны, не требующих больших затрат машинного времени на расчет формообразования [35, 39,40, 61].
Обычно при исследовании ЭХО задача формообразования рассматривается как стационарная, то есть предполагается, что при движении электрода-инструмента (ЭИ) поверхность обрабатываемого материала сохраняет некоторую стационарную форму в системе координат, связанной с ЭИ. Как показывает опыт, такой подход действительно оправдывает себя при прямом копировании и прошивке отверстий в зоне, где происходит активное формообразование. Однако этот подход не позволяет рассчитать переходный процесс, который необходим для установления стационарной формы и требует снятия определенного припуска для получения заданной точности копирования.
Как частный случай в диссертационной работе рассматривается процесс автомодельной ЭХО, т.е. такой случай нестационарной обработки, в котором форма обрабатываемой поверхности остается геометрически подобной начальной. Обработка приводит только к изменению масштаба межэлектродного пространства (МЭП), при этом форма эпюры распределения плотностей тока на поверхности материала остается постоянной.
Решение задачи автомодельной ЭХО позволяет рассмотреть некоторые предельные случаи нестационарного формообразования, получить оценки изменения радиуса кривизны при скруглении острых кромок.
Целью исследований является: разработка численно-аналитических методов и алгоритмов для решения нестационарных задач электрохимической обработки (определения полей плотности тока и скоростей течения электролита, изменения формы границ во времени); численное исследование ряда задач о нестационарной (в частности, автомодельной) электрохимической обработке при помощи разработанных численно-аналитических методов.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе диссертации в п. 1.1 дается постановка задачи ЭХО и выводится краевое условие.
В п. 1.2 приводятся задачи расчета форм поверхности, не зависящих от времени, а также краткий обзор ранее решенных задач ЭХО.
В п. 1.3 - 1.5 описывается численно-аналитический метод решения
7 стационарных задач автомодельной ЭХО при помощи гипергеометрической функции. Для решения задач ЭХО предлагается использовать вспомогательную гидродинамическую задачу, границы течения которой в общем случае образуют многоугольник, одна из граней которого представляет из себя дугу окружности (круговой многоугольник). В диссертации рассматривались задачи, для которых область течения вспомогательной гидродинамической задачи представлялась в виде кругового треугольника. Решение заключается в конформном отображении области вспомогательного течения на полуплоскость. При построении этого отображения предлагается использовать решения дифференциального уравнения Гаусса, которые представляются через гипергеометрическую функцию (гипергеометрический ряд).
В п. 1.6 описаны методы ускорения сходимости гипергеометрического ряда, использованные при численном решении задач.
В п. 1.7 приводится сравнение результатов, полученных при помощи разработанной программы и математического пакета MAPLE.
Во второй главе приведены решения стационарных задач об автомодельной ЭХО, полученные разработанным численно-аналитическим методом, описанным в п. 1.2 - 1.5. В п. 2.1 приведено решение для движущегося точечного ЭИ, в п. 2.2 - для бесконечно удаленного ЭИ, в п. 2.3 — для плоского и клиновидного ЭИ, в п. 2.4 - для клиновидного ЭИ с изолированными боковыми поверхностями, п. 2.5 - для бесконечно удаленного ЭИ при наличии изолированного клина, п. 2.6 - для клиновидного ЭИ с одной изолированной боковой поверхностью. В п. 2.3, 2.5, 2.6 для некоторых частных случаев найдены аналитические решения приведенных задач. В ходе решения была найдена оценка скорости растворения материала анода (обрабатываемой детали).
В главе 3 приводится описание численного алгоритма, реализующего решение нестационарных задач ЭХО путем сведения к задаче Римана-Гильберта. Даны результаты решения задач ЭХО, полученные предложенным
8 численно-аналитическим методом. На защиту выносятся:
Численно-аналитический метод решения задач об автомодельной электрохимической обработке при помощи гипергеометрической функции.
Постановка и численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимической обработки путем сведения к решению задачи Римана-Гильберта.
Численные решения ряда задач автомодельной ЭХО при помощи разработанного метода. Аналитические решения для частных случаев задач.
Результаты решения задач о нестационарной обработке электродами-инструментами различной формы.
Научная новизна
Новыми являются численно-аналитический метод и полученные с его помощью решения задач об автомодельной обработке клиновидным электродом-инструментом с изолированными и проводящими поверхностями, которые позволяют рассчитать нестационарные процессы, протекающие вблизи острых кромок и границ изолированных участков.
Впервые задача нестационарной ЭХО на каждом временном шаге сформулирована как краевая задача для аналитической функции комплексного переменного, которую составляют частные производные координат обрабатываемой поверхности по времени. Новым в работе является численно-аналитический методы, который, в отличие от имевшихся ранее, использует аналитическое решение задачи Римана-Гильберта, что позволяет сократить объем вычислений и получить результаты с более высокой точностью, оценить их погрешность экстраполяционными методами.
Новыми являются результаты численного исследования задач о нестационарной обработке электродами-инструментами различной формы, описывающие переход к стационарному или автомодельному режимам обработки (позволяющие оценить время и величину припуска для получения заданной точности копирования).
Практическая ценность
Автором разработаны алгоритмы и программы решения задач нестационарной ЭХО, получены численные результаты, которые могут быть практически использованы для оценки скорости электрохимического растворения и формообразования обрабатываемой поверхности, для определения областей с малой скоростью течения и малым давлением электролита.
Работа проводилась по госбюджетной тематике согласно тематическому плану Уфимского государственного авиационного технического университета (№ гос. регистрации темы 01940008023). Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительная математика» и «Прикладное математическое моделирование».
Основные материалы диссертации опубликованы в работах автора [85-90] и в соавторстве [22,30,70,91,92,105,106,116]. В работах [22,30,70,91,92,105,106, 116] диссертанту принадлежат разделы, касающиеся разработки численно-аналитических методов и решения задач автомодельной ЭХО.
Основные результаты докладывались на международной молодежной научной школе- конференции «Лобачевские чтения-2001» (Казань, 2001), на международной молодежной научно-технической конференции «Интеллектуальные системы управления и обработки информации» (Уфа, 2001), на международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2002), на конференции «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2003 (Уфа, 2003), на международной молодежной научно-технической конференции «Интеллектуальные системы управления и обработки информации» (Уфа, 2003), на международной научной конференции «Снежинск и наука- 2003. Современные проблемы атомной науки и техники» (Снежинск, 2003), на второй международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2004).
Построение отображения, преобразующего верхнюю полуплоскость в круговой треугольник с заданными углами
Следует отметить, что решения плоских задач о начальном, стационарном и предельном формообразовании одновременно являются решением гидродинамических задач о течении идеальной жидкости в пространстве между электродами. Если границы электродов эквипотенциальны, а границы потока непроницаемы, то области комплексного потенциала электрического поля и поля скоростей потока просто повернуты на тс/2 друг относительно друга. Тогда, умножая комплексное число - вектор напряженности Е — на ±i (знак выбирается в зависимости от направления подачи электролита) и на размерный коэффициент, получаем вектор скорости жидкости К, который является решением гидродинамической задачи. Если некоторые границы в задаче ЭХО представляют собой силовые линии (участки оси симметрии или изолированные поверхности), то в гидродинамической задаче им могут соответствовать как эквипотенциальные, так и непроницаемые границы. В первом случае решение гидродинамической задачи получается поворотом вектора напряженности на гс/2. Во втором случае используется полученное для задачи ЭХО конформное отображение Z(,T), а функция W(C) определяется по-другому.
В задачах нестационарного формообразования форма МЭП меняется во времени. Однако, учитывая, что это изменение очень медленное по сравнению со скоростью прокачки электролита, поле скоростей также можно рассчитывать в квазистационарном приближении.
Следует только учесть, что при малых зазорах, которые часто имеют место на практике, числа Реинольдса малы и вязкость жидкости может существенно влиять на параметры потока.
В соответствии с проведенной классификацией, рассмотрим решенные ранее задачи ЭХО. Ряд задач начального формообразования решен в [17,43,104,108,109], предельного - в [43,60,64]. При исследовании стационарного формообразования обычно рассматривается два вида движения катода инструмента: по направлению к обрабатываемой детали (прямое копирование профилированным ЭИ). В этом случае обработка ведется до достижения заданного заглубления или до установления стационарной величины межэлектродного зазора [13,19]; по касательной к поверхности обрабатываемой детали (построчная обработка непрофилированным ЭИ, например, стержневым с плоской или сферической торцевой рабочей частью и изолированной боковой поверхностью). Обработка здесь аналогична механообработке фрезой с соответствующей рабочей поверхностью, с той разницей, что при ЭХО толщина снимаемого слоя существенно зависит от скорости ЭИ и зазора между ЭИ и анодом [16,18-21]. В общем виде задача определения трехмерной формы катода при прямом копировании обычно ставится следующим образом [63,66]. Необходимо найти такую поверхность катода z = fc{xiy)i имеющую потенциал фс, для которой при заданных параметрах U, к, р, є потенциал электрического поля q (x,y,z), удовлетворяющий в МЭП уравнению Лапласа, на заданной стационарной поверхности анода (по чертежу детали) z = fa{x,y) принимает определенное граничное значение ф=м-Дф(/). При этом поверхность ЭИ (катода) совпадает с эквипотенциальной линией поля, соответствующей значению катодного потенциала фс. Эта задача, так называемая прямая задача ЭХО, является некорректной, т.к. не для всякой формы поверхности детали можно подобрать ЭИ, для которого эта поверхность будет стационарной. Обратная задача — определение формы стационарной или предельной поверхности детали при заданной границе ЭИ является корректной, т.к. с помощью ЭИ любой формы всегда можно получить деталь некоторой конфигурации. Первая формулировка граничных условий для прямой и обратной задачи стационарной ЭХО дана в работе [5]. Задача определения стационарной формы границы анода по заданной форме катода-инструмента, согласно гидродинамической аналогии, эквивалентна задаче построения комплексного потенциала течения в бесконечном криволинейном канале, с заданным расходом, одна стенка которого известна, а вторая должна быть определена в ходе решения задачи. Ряд подобных задач решен в [7,8,9,97,99,107] Для практических целей больший интерес представляет прямая задача ЭХО. В связи с некорректностью, для ее решения применяются различные подходы [58, 64]. Одним из наиболее распространенных является подбор комбинации стационарных поверхностей, получающихся при обработке ЭИ, простых конфигураций (пластины, цилиндра, сферы и т.д. [4,27-29,36]), так чтобы получить наибольшее сходство с заданной формой детали [38,39, 48,112] (так называемая редукция к обратной задаче). В [76] было предложено проектирование катода-инструмента при двумерном стационарном ЭХО посредством непрямого метода граничных элементов по минимуму суммарной ошибки в скорости съема стационарной анодной границы в контрольных точках. В работе [49] установлена гидродинамическая аналогия задачи стационарного электрического формообразования, согласно которой плоское потенциальное электрическое поле моделируется фиктивным течением идеальной несжимаемой жидкости. В работе [44] задача стационарного ЭХО сведена к задаче отыскания неизвестной границы течения жидкости по заданному на ней годографу скорости. В [47] рассчитаны формы стационарной поверхности анода, получающиеся при обработке электродом-инструментом в виде изолированной плоской пластинки с точечной в сечении рабочей частью.
В работах [42,43] на основе идеальной модели решены плоские задачи расчета формы стационарной поверхности двугранным ЭИ без изоляции. Важным вопросом является учет побочных физических процессов в ходе анодного растворения. В статьях [9,52,67,93] решена аналогичная задача с учетом неравномерности поляризации анода сра = фй(/), в [3,6,7,8,45,93,98] — с учетом зависимости выхода по току r\(J). В работе [94] был произведен расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетом нагрева электролита. В [76] была поставлена и решена задача о влиянии тепловых полей на двумерное стационарное ЭХО путем сведения к решению краевой задачи Гильберта.
В [76] был решен ряд задач двумерного стационарного ЭХО методом конформных отображений годографа скорости с использованием непосредственного интегрирования в комплексных переменных, также решены задачи для ЭХО деталей со щелями.
Одной из актуальных задач теории ЭХО является изучение гидродинамики потока электролита. В определенных условиях имеется значительное влияние скорости течения электролита на скорость растворения металла. Результаты исследований гидродинамики потока электролита и ее влиянии на процесс ЭХО освещены в работах [34,42,46,50,51,53,55,65,95,96]. Особое место занимают здесь кавитационные явления, так как каверны, возникающие в МЭП, вызывают местное экранирование поверхностей электродов и нарушают режим анодного растворения. Вопросы влияния кавитации на процесс ЭХО и специального профилирования ЭИ для обеспечения безотрывного потока электролита рассмотрены в [6,54,56,57,62]. Решение упомянутых выше задач ЭХО проводилось разными методами, например, аналоговым методом моделирования на электропроводной бумаге [114], на ЭВМ методом конечных разностей [110,111] или конечных элементов [112]. Автомодельные задачи ЭХО рассматривались в [23-25,32,78-80,84,103]. Были решены частные случаи задачи обработки клиновидным ЭИ, которые имеют аналитические решения [32,80,103]. Также решены численно задачи обработки точечным и бесконечно удаленным ЭИ [23,24,78,84]. Наиболее простым способом решения, учитывающим изменение формы обрабатываемого материала при нестационарной ЭХО, представляется способ последовательного решения задач начального формообразования. Этот способ предполагает численное решение задачи по следующей схеме:
Тестирование и сравнение с результатами решения, полученными при помощи математического пакета MAPLE
В решении задач мы используем гипергеометрическую функцию, которая представляется рядом, имеющим ограниченную область сходимости. Для согласования функций rj,, /=0,1, «э необходимо вычисление этих функций на границе области сходимости. Путем выбора точек (их должно быть три для каждой пары функций) можно добиться, чтобы ряд сходился (например, для согласования ло и оо выбрать точки. Однако скорость сходимости, с точки зрения расчета, будет при этом очень мала (порядка \!п, как показывают результаты численных исследований). Следовательно, очевидным становится тот факт, что отображение, построенное описанным выше способом, в некоторых областях будет посчитано с большой погрешностью, а в отдельных точках его значение вообще не удастся вычислить (см. задачи 2.1- 2.6). Поэтому встает вопрос об ускорении сходимости путем экстраполяции и уточнения результатов. Постановка задачи. При вычислении сумм сходящихся рядов, например (1.3.2), мы имеем дело с последовательностью частичных сумм Задача сводится к следующему. Имеется несколько членов последовательности z_ ,zn ,..., zrt . Необходимо по этим данным найти приближенно предел последовательности z, Тогда разность z—z можно использовать для оценки погрешности приближенного значения z(. Следует различать задачи по наличию и виду дополнительной информации, которая может быть использована при построении математической модели погрешности. Например, оценка по правилу Рунге [1,2,41,71] основана на предположении, что известен порядок точности численного метода (или порядок аппроксимации), т.е. zn можно представить в виде zn = z + cxn k +5(и), (1.6.3) где z— точное значение; zn— приближенный результат, полученный при числе узловых точек (или числе слагаемых суммы) равном и; с,- коэффициент, который предполагается не зависящим от п; к — порядок точности метода; 5(и) - величина, полагаемая малой по сравнению с С\пк при тех значениях п, которые использовались в данных конкретных расчетах. Одним из наиболее распространенных способов экстраполяции является правило Ричардсона [1], основанное на предположении о справедливости математической модели (1.6.3). В этом случае, отбросив 5(и) в (1.6.3), получаем одно уравнение с двумя неизвестными с\ и z. Чтобы получить второе уравнение, используем другой известный член последовательности zn . Пусть n\-n!Q (Q 0), тогда приходим к системе двух уравнений то есть для получения экстраполированного значения і+1-го порядка можно использовать два значения -го порядка, вычисленные для двух наборов данных z„ причем номер первой точки одного набора сдвинут на единицу относительно другого. В случае если rij = nxQ x, выражение (1.6.9) принимает вид что при L=l совпадает с (1.6.5), а при L 1 представляет собой аналогичное выражение, в котором вместо вычисленных участвуют экстраполированные значения. Повторное применение правила Ричардсона для экстраполяции результата вычислений z„ при последовательном увеличении номера п в Q раз называют методом Ромберга [1]. При этом обычно Q=2. Аналогичный подход имеет место и в случае, когда номер члена последовательности увеличивается на единицу (т.е. и,+1=и/Н). Для последовательности {zn} строится таблица Нэвилла [31,69], представляющая собой матрицу ZJL (L = 0,..., п, у L +1), в которой нулевой столбец - исходная последовательность, а все остальные столбцы находятся по правилу которое следует из (1.6.9). Гипергеометрический ряд (1.3.2) должен быть представлен более сложной математической моделью. Поскольку сумма геометрической прогрессии представим конечную сумму типа (1.3.2) в виде в общем случае с комплексными коэффициентами. При \Q=l (1.6.12) совпадает с (1.6.4) и для ускорения сходимости могут быть использованы методы Ромберга и Нэвилла. Результаты расчетов и оценок при работе с алгоритмами ускорения сходимости удобно представлять в виде графика (рис. 1.6.1), где по оси абсцисс отложены десятичные логарифмы и, а по оси ординат - десятичные логарифмы абсолютных величин погрешностей с отрицательным знаком. Десятичные логарифмы более удобны с точки зрения наглядности, так как легко определяются десятичные порядки погрешностей и чисел п. В таком представлении зависимости близки к линейным. На рис. 1.6.1, 1.6.2 цифрой 0 обозначены зависимости оценок погрешностей рассчитанных результатов частичных сумм (1.3.2), цифрами 1, 2, 3,... обозначены результаты последовательного применения алгоритма Ромберга и Нэвилла при L=\, 2, 3,...
Следует заметить, что надежные оценки получаются до точности порядка 14-16-ти знаков. Дальнейшему увеличению точности препятствует погрешность округления, обусловленная ограниченностью разрядов чисел в машинном представлении. При этом для алгоритма Нэвилла количество слагаемых ряда увеличивается на константу, а для метода Ромберга должно удваиваться. Поэтому применение алгоритма Нэвилла требует меньших затрат. Но, с другой стороны, алгоритм Нэвилла неустойчив к погрешности округления (при каждой последующей экстраполяции исходная погрешность увеличивается примерно вдвое), а алгоритм Ромберга — устойчив (в пределе при неограниченном увеличении числа экстраполяции конечная погрешность теоретически превышает исходную примерно в 8 раз). При этом правда, не учитывается погрешность округления, возникающая при выполнении арифметических действий, необходимых для экстраполяции.
Клиновидный электрод инструмент с изолированными боковыми поверхностями
Погрешность полученных решений оценивалась несколькими способами. Предложенный алгоритм позволяет варьировать параметры дискретизации задачи (число узлов сетки и шаг по безразмерному времени) в широких пределах, что позволило использовать правило Рунге. Кроме того, имелась дополнительная возможность, связанная с перераспределением точек сетки на поверхности ЭИ при изменении формы МЭП. Поскольку форма ЭИ неизменна во времени, то отличие этой формы от исходной может служить оценкой погрешности. В представленных результатах эта оценка не превосходила нескольких десятых процента при общем количестве точек сетки, равном 40.
На рис. 3.5.5 показана обработка плоским ЭИ поверхности, имевшей в начальный момент выпуклую неровность. При этом на рис. 3.5.5, а ЭИ двигался вертикально вниз с безразмерной скоростью, равной единице, а на рис. 3.5.5, б - показана обработка неподвижным ЭИ. Для удобства наблюдения сглаживания неровности система координат на рис. 3.5.5 связана с движущейся во времени со скоростью электрохимического растворения поверхностью обрабатываемой детали.
Следует отметить, что при увеличении времени обработки в обоих случаях форма обрабатываемой поверхности приближается к плоскости, однако в первом случае (при обработке движущимся ЭИ) расстояние между электродами устанавливается, то есть реализуется стационарная обработка. Во втором случае (при обработке неподвижным ЭИ) расстояние постоянно увеличивается, то есть возникает автомодельный режим.
На рис. 3.5.6 представлены зависимости величины припуска (толщины слоя материала заготовки, которую необходимо снять для получения заданной точности копирования) от логарифма заданной точности копирования (в качестве точности копирования принята высота неровности относительно асимптоты- см. рис. 3.5.6). Цифрой 1 обозначена кривая, соответствующая обработке движущимся ЭИ, цифра 2- неподвижным ЭИ. Из решения уравнения (1.1.2) следует, что припуск S для процесса с движущимся ЭИ вычисляется по формуле S = т + g(t)- g(0)-1, в случае же неподвижного ЭИ S = g(t)- g(0)-1.
Видно, что при обработке движущимся ЭИ требуется существенно меньший припуск. Кроме того, кривая 1 асимптотически приближается к биссектрисе первой четверти, что соответствует обработке плоским катодом анода со ступенькой. Таким образом, в данной главе предложен алгоритм численного решения задач нестационарной электрохимической обработки при помощи электрода-инструмента криволинейной формы, основанный на аналитическом решении задачи определения частных производных координат по времени. Рассмотрение численных примеров подтвердило высокую эффективность предложенного алгоритма. В диссертации разработаны аналитические и численно-аналитические методы решения задач электрохимической обработки, решены задачи обработки поверхностей электродами-инструментами различной формы. Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом. 1. Разработан численно-аналитический метод решения автомодельных задач электрохимической обработки, которые сводятся к решению вспомогательной гидродинамической задачи обтекания препятствия, ограниченного дугой окружности и двумя прямолинейными отрезками (то есть кругового треугольника). Разработана модификация метода, позволяющая решать задачи в вырожденных случаях (когда один из углов кругового треугольника равен ил, п - целое). Предложен метод ускорения сходимости гилергеометрического ряда, использованный в численной реализации метода. 2. Получены численные решения ряда задач автомодельной ЭХО: обработка движущимся точечным ЭИ, бесконечно удаленным ЭИ, плоским и клиновидным ЭИ, точечным ЭИ на вершине непроводящего клина, бесконечно удаленным ЭИ при наличии изолированного клина, и клиновидным ЭИ с одной изолированной боковой поверхностью. Получены аналитические решения для частных случаев рассмотренных задач, выражения для оценки скорости растворения материала анода и скоростей потока электролита. Результаты показали, что скорость растворения материала анода возрастает с уменьшением угла, в который вписана обрабатываемая поверхность и с увеличением угла между гранями клиновидного ЭИ. Оценка скорости потока электролита позволяет определить области с малой скоростью течения и малым давлением электролита. 3. Дана постановка задачи и разработан численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимической обработки на основе сведения к решению краевых задач. На каждом временном шаге решаются две краевые задачи для определения аналитических функций комплексного переменного: задача Дирихле для определения конформного отображения области изменения параметрического переменного на физическую плоскость и задача Римана- Гильберта для нахождения частных производных координат точек межэлектродного пространства по времени (при фиксации образов точек на плоскости параметрического комплексного переменного). 4. Получены результаты численного решения задач о нестационарной обработке электродами-инструментами различной формы в виде последовательности форм обрабатываемой поверхности, которые позволяют определить время и величину припуска, необходимые для установления стационарного или автомодельного процесса.
Аналитическое решение стационарной задачи
Поверхности материала в плоскости z\ соответствует дуга окружности, обтекаемая снаружи. Теперь необходимо найти углы излома границ в точках А и В, которые определяются условиями исходной электрохимической задачи.
Аргумент точки В анода v=-(3it, тогда 6=2v=2p7t. При движении от В к А аргумент точки поверхности анода изменяется от -(Зл до -ул-рти (см. рис. 2.3.1), соответственно, 9 - от 2[3л до (см. рис. 2.3.3).
Плоскость W\ получается поворотом w на 90 по часовой стрелке. Отметим, что горизонтальная полоса соответствует течению жидкости, вытекающей из точечного источника А и втекающей в точечный сток В. Источник и сток расположены на окружности.
На линии ЕВ катода й?(р=0, т.е. dw\=d\. Аргумент любой точки на поверхности ЕВ катода на плоскости z равен нулю, тогда 0 = 0. Используя выражение функции Жуковского (1.2.8), получим: Отсюда следует, что движение от точки Е до В на плоскости z\ (с/ф] 0) осуществляется вдоль луча, параллельного оси х (рис. 2.3.3). На линии А Е катода также fifcp=0, т.е. dw]=dq \. Аргумент любой точки на поверхности А Е катода на плоскости z равен -(к+цк), тогда 6 = -2v = 2л + 2лг). Тогда по аналогии с (2.3.1) получим, что движение от точки А к точке Е на плоскости Z\ происходит вдоль луча, исходящего из точки А под углом 2я+2яг). Угол излома границы в точке В равен 2л Р (жидкость течет вдоль дуги окружности и вдоль луча BE к точке В). Аналогично, угол излома границы в точке А равен 2я+2лг-2лр-2лу. Третий угол (в точке Е) получим с учетом направления вектора скорости жидкости вычитанием %- 2%—2wr\. Для решаемой задачи точка Е расположена в бесконечности, поэтому круговой треугольник на плоскости Z\ имеет в этой точке отрицательный угол -(я+2г]7і) (см. рис. 2.3.3). Поскольку мы ищем решение при р 0, то вершине В с углом 2 РТЕ следует сопоставить С=\. Тогда вершине А соответствует —0, вершине Е — = оо. Поэтому вначале удобнее построить вспомогательный круговой треугольник г(С) с углами Особого рассмотрения требуют задачи, в которых р=0. Как и в задаче 2.1, в круговом треугольнике, соответствующем такого рода задаче, есть угол, равный 0, поэтому построение искомого отображения следует проводить по аналогичному алгоритму. Однако в рассматриваемой задаче промежуточный круговой треугольник не будет конечным. Конформное отображение верхней полуплоскости , которая в поставленной задаче выглядит так, как показано на рис. 2.3.4 (точкам Л, В, Е соответствуют 0, 1, оо) на Wосуществляется функцией W{ ) —In Как и в задаче 2.1, разложении (1.4.9) исключаем и строим функцию (1.5.1), где коэффициенты 5,, С] и Д находятся по формулам (1.4.3)- (1.4.5). В дальнейшем для удобства переобозначим указанные коэффициенты как 6, с, и di соответственно. Значение в точке =1 вычисляется отдельно аналогично тому, как это было сделано в предыдущей задаче. Из системы (1.5.3) находим координаты центра и радиус окружности Ль содержащей точку В (1.5.4)- (1.5.6). Далее вычисляются координаты точки В , соответствующей значению в Q=l (поскольку точки А и В лежат на действительной оси, то значение т(і) вещественно): Полученная функция (1.5.2) отображает верхнюю полуплоскость на круговой треугольник #,,Д, изображенный на рис. 2.3.5. Следующий этап в построении искомого отображения заключается в преобразовании полученного треугольника 5, , область, показанную на рис. 2.3.3. Для удобства вычислений на плоскости z\ сдвинем точку В в нуль.
