Содержание к диссертации
Введение
1. Метод обобщенной задачи Римана для скалярного уравнения сохранения 11
1.1. Автомодельная задача Римана 13
1.2. Обобщенная задача Римана и ее решение 15
1.3. Модифицированная схема Годунова 18
1.4. Результаты тестовых расчетов
1.4.1. Линейное уравнение 28
1.4.2. Нелинейный случай - уравнение Бюргерса 31
2. Обобщенная задача Римана для одномерных уравнений сжимаемой жидкости 37
2.1. Формулировка задачи и построение общего решения 39
2.2. Сращивание асимптотических разложений 45
2.3. Формулы решения для случая двучленного уравнения состояния среды 54
2.4. Численный метод на основе решения ОЗР 56
2.5. Примеры численной реализации метода ОЗР 61
3. Обобщенная задача Римана для трехмерного случая 67
3.1. Математическая постановка задачи 69
3.2. Общее решение уравнений первого приближения 73
3.3. Определение констант 75
3.4. Приложение А: соотношения на ударной волне 83
3.5. Приложение В: формулы для производных решения АЗР 85
3.6. Приложение С: двучленное УРС 91
3.7. Многомерный вариант численного метода ОЗР 93
3.8. Примеры численных расчетов 100
4. Обобщенная задача Римана для стационарных сверхзвуковых уравнений Эйлера 111
4.1. Постановка задачи 112
4.2. Построение общего решения
4.2.1. Сращивание решений и определение констант общего решения. 120
4.2.2. Численный метод ОЗР для стационарных сверхзвуковых уравнений 130
4.2.3. Численная реализация метода ОЗР 134
5. Вариационная задача Римана 143
5.1. Формулировка задачи 144
5.2. Решение в области ЦБР 147
5.3. Решение контактной зоны 149
5.4. Неявный метод Годунова
5.4.1. Основные уравнения и неявная дискретизация методом конечного объема 155
5.4.2. Решение дискретных уравнений, обобщенная LU-SGS факторизация 158
5.4.3. Численные результаты 166
5.5. Метод Годунова для задач аэроакустики 179
5.5.1. Постановка граничных условий 181
5.5.2. Тестовые численные эксперименты 182
6. Приложение: устойчивость изолированных вихрей. 207
6.1. Линейный анализ устойчивости 210
6.1.1. Постановка задачи 210
6.1.2. Модель вихря 213
6.1.3. Асимптотика дальнего поля и метод решения 214
6.1.4. Результаты линейного анализа устойчивости 216
6.2. Возбуждение неустойчивых мод при рассеивании звука на вихре 235
7. Заключение
- Модифицированная схема Годунова
- Формулы решения для случая двучленного уравнения состояния среды
- Приложение А: соотношения на ударной волне
- Численный метод ОЗР для стационарных сверхзвуковых уравнений
Введение к работе
Предложенный С К Годуновым еще в конце пятидесятых годов, так называемый "метод Годунова" за последние несколько десятилетий стал одним из наиболее распространенных в мире методов вычислительной гидродинамики На его основе были созданы мощные вычислительные технологии для решения прикладных и фундаментальных задач, связанных с расчетами сложных течений сжимаемой жидкости, в том числе задач прикладной аэродинамики, взрывных процессов, термоядерного синтеза и многих других
В основе метода Годунова лежит точное решение задачи Римана, более известной в газодинамике как задача о распаде произвольного разрыва С математической точки зрения эта задача представляет собой начальную задачу Коши для законов сохранения, определяющих движение сжимаемой жидкости, где начальные распределения параметров представляются кусочно-постоянными функциями с одной точкой разрыва С точки зрения механики движения жидкости задача Римана описывает взаимодействие двух сжимаемых потоков Замечательной особенностью задачи является тот факт, что она, в силу автомодельности, допускает точное аналитическое решение, представляемое в компактной явной форме
С К Годунов предложил использовать это решение в расчетных схемах для течений сжимаемой жидкости Согласно его оригинальной идее, мгновенное состояние движущейся среды сперва аппроксимируется кусочно-постоянным распределением определяющих параметров (постоянным в пределах каждой расчетной ячейки) Другими словами, искомое течение заменяется на приближенное, состоящее из множества элементарных однородных потоков Тогда последующее развитие во времени такового приближенного течения должно в точности определяться решениями множества задач Римана, возникающих на гранях счетных ячеек Иными словами, последующая эволюция аппроксимирующего течения полностью определяется взаимодействием элементарных потоков на гранях, которое через решение задачи Римана представляется конечными аналитическими формулами
Численный метод, построенный на основе такого рассмотрения, есть по существу стандартный метод конечного объема, где потоки массы, импульса и энергии на гране ячейки рассчитываются на точном решении соответствующей задачи Римана Первоначально метод был разработан для модели одномерных течений газа (С К Годунов, 1959, Г Б Алалы-кин, С К Годунов, И Л Киреева, Л А Плинер, 1970), затем обобщен на многомерный случай (С К Годунов, А В Забродин, Г П Прокопов, 1961, С К Годунов, А В Забродин, М Я Иванов, А Н Крайко, Г П Прокопов, 1976)
Идеи С К Годунова нашли свое отражение также в построении ана-
логичных методов для стационарной сверхзвуковой газодинамики Здесь аналогом задачи Римана о распаде произвольного разрыва является задача о взаимодействии двух стационарных сверхзвуковых потоков, которая, благодаря свойству автомодельности, также допускает точное аналитическое решение Поэтому численный метод Годунова непосредственно может быть перенесен на стационарные уравнения сверхзвуковых течений (М Я Иванов, А Н Крайко, 1972)
Основным достоинством этих подходов является то, что, эффективно используя теоретические основы динамики сжимаемых жидкостей, они базируются в большей мере на физических принципах аппроксимациях, а не на математических, как большинство других численных методов
Таким образом, задача Римана, имея несомненно большой теоретический интерес, как одна из фундаментальных задач газовой динамики, оказалась также весьма эффективным инструментом в теории численных методов Идея С К Годунова получили широкое продолжение во всем мире, и в настоящее время мы имеем уже устоявшийся термин в области вычислительной гидродинамики - методы годуновского типа
Что касается возможных обобщений задачи Римана и метода Годунова, то здесь можно говорить о двух направлениях Первое - это расширение класса начальных распределений, когда начальное состояние среды не предполагается кусочно-постоянным, а является, вообще говоря, произвольным кусочно-аналитическим распределением Другими словами мы можем поставить задачу о распаде произвольного разрыва в неоднородном по пространству течении При этом задача теряет свое важное свойство, свойство автомодельности, и построение точного решения становится проблематично Однако, можно рассмотреть задачу в малой окрестности начального разрыва и попытаться построить аналитическое решение для главных членов, описывающих отклонение от автомодельного решения Таким образом мы приходим к задаче, которую будем именовать в дальнейшем как "Обобщенная задача Римана"
Второе обобщение, которое предлагается в настоящей работе, это - "Вариационная задача Римана" Математически она определяется как задача о нахождение первой вариации решения автомодельной задачи по отношению к малым вариациям начальных данных С точки зрения динамики движущейся среды эта задача описывает в акустическом приближении взаимодействие двух однородных полей малых возмущений на фоне течения, возникающего при распаде автомодельного разрыва Решение вариационной задачи Римана дает фактически результатное поле возмущений, образующееся при взаимодействии однородных полей Поэтому эта задача играет в теории распространения звука роль, аналогичную той, что стандартная задача Римана играет в динамике сжимаемой жидкости
В главной части представляемая на защиту работа посвящена исследо-
ванию этих двух задач Безусловно они представляют большой теоретический интерес в газодинамике Но кроме этого актуальность этих задач обуславливается тем, что при наличии их точного решения (а именно этому посвящена основная часть работы), они находят широкое применение в численных методах механики сжимаемых жидкостей и аэроакустики, в первую очередь для построения эффективных схем высокого порядка точности
Метод Годунова в классической постановке обладает первым порядком точности, что при всей его привлекательности снижает точность получаемых результатов, особенно в сложных задачах с контактными разрывами, ударными волнами и сдвиговыми слоями Поэтому с момента его открытия предпринимались многочисленные попытки обобщить метод Годунова на более высокий порядок точности В принципе, идея обобщения выглядит достаточно прозрачно Она состоит в замене кусочно-постоянных аппроксимаций на аппроксимации более высокого порядка точности (например, кусочно-линейные или кусочно-квадратичные) Это было предложено сначала в пионерских работах В П Колгана (1972) и впоследствие активно развивалось работах В van Leer(1976), Collela&Woodward (1984), А В Родионова (1987), Harten&Osher (1987) и многих других
Однако, когда кусочно-постоянная аппроксимация меняется на какую-либо другую, теряется основная "изюминка" метода - наличие точного аналитического решения задачи Римана Поэтому во всех многочисленных публикациях, имеющих отношение к повышению порядка аппроксимации годуновских методов, решение неавтомодельной задачи таким или иным образом обходится и заменяется, в конечном счете, решением некоторой подходящей автомодельной задачи При этом выхолащивается основополагающая идея Годунова об использовании именно точных аналитических решений И, хотя многие работы несут в своем названии слова "схема Годунова повышенного порядка точности", по сути таковыми не являются
Поэтому, строго говоря, для реализации метода Годунова второго порядка точности и выше решение обобщенной задачи Римана в явном аналитическом виде весьма актуально Новосибирской группой ученых под руководством В М Тешукова в 80-х годах прошлого столетия была проведена большая серия исследований, касающихся точных решений многомерных уравнений Эйлера Среди прочих была исследована и задача о многомерном распаде разрыва в неоднородном газе (обобщенная задача Римана) и были доказаны ее разрешимость и единственность в малой окрестности начального разрыва Поэтому нами была предпринята попытка найти это решение в явном виде и построить на его основе истинный метод Годунова повышенного порядка аппроксимации
Именно этому посвящены основные результаты, представляемые к защите Мы начинаем с простейшего случая скалярного одномерного нели-
нейного уравнения сохранения, на примере которого показываем основные подходы к решению задачи и достаточно строго и последовательно проводим все построения, начиная с решения обобщенной задачи Римана и заканчивая самой численной схемой Затем эта методика переносится на систему одномерных уравнений газодинамики и обобщается на случай многомерных уравнений Следующим шагом метод обобщенной задачи Римана разрабатывается для стационарных сверхзвуковых потоков газа
Вторая часть работы посвящена вариационной задаче Римана Актуальность этой задачи в вычислительной гидродинамике обуславливается двумя обстоятельствами Первое, наличие ее точного решения в явном виде дает выход на неявный метод Годунова Метод Годунова традиционно использовался с явными временными схемами Решение неявных уравнений сопряжено с решением нелинейных систем, которое реализуется, как правило, итерационным методом Ньютона При этом возникает необходимость линеаризации невязки разностных уравнений, что сводится практически к линеаризации функции численного потока Последняя в методе Годунова представляется весьма сложным нелинейным выражением, линеаризация которого до настоящей работы считалось проблематичным Решение же вариационной задачи Римана фактически дает возможность точной линеаризация годуновского численного потока
Второе обстоятельство, обуславливающее актуальность вариационной задачи Римана, состоит в том, что она описывает основной элемент эволюции полей малых возмущений на фоне неоднородных течений, что, в свою очередь, имеет непосредственное отношение к задачам аэроакустики Этот элемент - взаимодействие двух однородных полей возмущений Поскольку эволюция поля малых возмущений может быть представлена как последовательное взаимодействие многочисленных однородных элементарных полей, вариационная задача Римана по сути является основополагающей в области аэроакустики
Цель работы состоит в исследовании двух задач газовой динамики, являющихся обобщением фундаментальной задачи Римана, построении их точных решений и разработке на их основе эффективных численных методик повышенного порядка точности для задач механики сжимаемой жидкости и аэроакустики Одна задача - это прямое обобщение автомодельной задачи Римана (задачи о распаде произвольного разрыва в газе) на случай неоднородного по пространству течения Вторая задача связана с нахождением первой вариации решения автомодельной задачи по отношению к малым изменениям начальных данных Особое внимание уделяется нахождению и представлению решений в явной и компактной форме, удобной для использования в соответствующих численных методах Важной
частью работы является применение полученных результатов к расчетам ряда фундаментальных и прикладных задач
Научная новизна работы. Впервые проведено полное исследование обобщенной задачи Римана о распаде произвольного разрыва в неоднородном газе Доказана ее корректность и построено точное решение в компактной, явной и аналитической форме Аналогичная задача рассмотрена и для стационарных уравнений сверхзвуковой газодинамики Это -неавтомодельная задача о взаимодействии неоднородных сверхзвуковых потоков газа Здесь также удалось довести построение точного решения до конечных аналитических выражений
На основе полученных решений разработан метод обобщенной задачи Римана, который фактически является первой истинной модификацией численного метода Годунова на случай сеточных восполнений повышенного порядка (кусочно-линейных и выше) Метод реализован как для нестационарных, так и для стационарных сверхзвуковых уравнений Многочисленные расчеты тестовых и прикладных задач продемонстрировали существенное улучшение точности чиленных решений по сравнению со стандартным методом Годунова, особенно вблизи ударных волн, контактных разрывов и сдвиговых поверхностей
Проведено полное исследование вариационной задачи Римана - задачи о первой вариации решения задачи Римана по отношению к малым вариациям начальных данных Доказана единственность ее решения Само решение получено в виде явных аналитических зависимостей от начальных данных На базе полученных решений была разработана уникальная численная методика расчета задач аэроакустики, позволяющая рассчитывать процессы, связанные с распространением звуковых волн на фоне неоднородных движущихся сред, в том числе при наличии в потоках сильных разрывов
Впервые предложена методика реализации неявного метода Годунова, эффективно использующая решение вариационной задачи Римана для линеаризации функции годуновского потока Наряду с чисто неявной схемой, предложена и реализована также оригинальная идея явно-неявной схемы по времени второго порядка точности, обеспечивающая абсолютную устойчивость при минимальном использовании диссипативной неявной компоненты
Все основные результаты являются новыми и опубликованы в открытой печати
Практическая ценность работы Разработанные численные методики на основе точных решений обобщенной и вариационной задач Римана позволяют существенно повысить точность получаемых численных
результатов, снизить временные затраты расчетов, а также расширить класс решаемых задач
Метод обобщенной задачи Римана реализован в комплексе программ для нестационарных многомерных уравнений Эйлера и стационарных уравнений сверхзвуковой газодинамики Для моделирования вязких течений сжимаемой жидкости в рамках уравнений Навье-Стокса на сильно неравномерных сетках (с большим отношением максимального сеточного размера к минимальному) создан пакет прикладных программ, реализующих явно-неяную схему и метод обобщенной задачи Римана для широкого класса течений, включающих до- транс- и сверхзвуковые режимы, реальные свойства высокотемпературного воздуха, химическую и термодинамическую неравновесность при гиперзвуковых режимах
Метод вариационной задачи Римана реализован в комплексе программ для расчета эволюции полей малых возмущений на фоне неоднородных течений сжимаемой жидкости Эта численная методика имеет важное практическое значение в задачах моделирования генерации и распространения звука в нестационарных потоках сжимаемой жидкости С помощью разработанного метода удалось, в частности, провести численное моделирование и исследовать представляющую как фундаментальный, так и практический интерес, задачу о неустойчивости и распаде одиночного изолированного вихря
Разработанные методики использовались для ряда прикладных и теоретических расчетов в ИПМ им М В Келдыша РАН и университете г Нагоя (Япония), факультет Аэрокосмических технологий Некоторые результаты (касающиеся явно-неявных алгоритмов на нерегулярных сетках) использовались в программных комплексах ИАП РАН (моделирование ударных и детонационных волн в дисперсных средах)
Аппробация работы. Основные результаты работы и отдельные ее разделы докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях и семинарах 1-я, 2-я, 7-я, 8-я Советско-Японские и Российско-Японские симпозиумы по вычислительной аэрогидродинамике (Хабаровск, 1988, Тцукуба, 1990, Москва, 2000, Сендай, 2003), XIII Международная конференция по численным метода в гидродинамике (Рим, 1992), 8-я, 11-я и 12-я Всероссийские конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики (Москва, 1990, Пушино, 1996, Абрау-Дюрсо, 1998), 8-я, 9-я, 13-я и 14-я японские конференции по численному моделированию в гидродинамике (Токио, 1994, 1995, 1999, 2000), 6-й Международный симпозиум по вычислительной гидродинамике (Невада, 1995), 27-я японская конференция по гидродинамике (Гифу, 1995), 33rd Aircraft Symposium (Hiroshima, 1995), International symposium on Space Plight Mechanics (ISAS, Tokyo,
1995), 7th and 8th International Symposium on CFD (Beijm, 1997, Bremen, Germany, 1999), Международная конференция по численным методам, посвященная 70-летию С К Годунова (Michigan, USA, 1997), International Symposium on Hazards, Prevention and Mitigation of Industrial Explosions (Schaumburg, Illinois, USA, 1998), International conference on Godunov's methods for fluid dynamics (Oxford, England, 1999), Aerospace Numerical Simulation Symposium (NAL, Tokyo, 1999), AIAA Fluids 2000 Conference (Denver, USA, 2000), 1-я, 2-я, 3-я и 4-я конференции ICCFD (Киото, Япония, 2000, Сидней, Австралия, 2002, Торонто, 2004, Гент, Бельгия, 2006), 15th AIAA CFD Conference (Anaheim, USA, 2001), 1st International Symposium on Advanced Fluid Information (AFI-2001) (Sendai, Japan, 2001), 3rd AIAA Theoretical Fluid Dynamics Conference (St Louis, USA, 2002), 32nd AIAA Fluid dynamics conference, (St Louis, USA, 2002), 33rd AIAA Fluid Dynamics Conference and Exhibits (Orlando, Florida, USA, 2003), Aerospace Numerical Simulation Technologies Symposium (NAL, Tokyo, 2003), 35th Japan Fluid Dynamics Conference (Kyoto, 2003), JAXA Aerospace Numerical Simulation Symposium (NAL, Tokyo, 2003), Российско-Японский семинар по гидродинамической неустойчивости и турбулентности (Москва, 2004), 24th Internat Congress of the Aeronautical Sciences (Yokohama, Japan, 2004), 4th AIAA Theoretical Fluid Mechanics Meeting (San Diego, USA, 2005), Annual Meeting of Japan Society of Fluid Mechanics, (Tokyo, Japan, 2005), XXI Всероссийская конференция «Аналитические методы в газовой динамике (САМГАД-2006)» ( Санкт-Петербург, 2006), а также на семинарах ИПМ им М В Келдыша (рук чл-корр РАНА В Забродин), ИАП РАН (рук акад РАН О М Белоцерковский)
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в публикациях [1-39], среди которых 21 статья в журналах и сборниках [1,2,4-7,9,13,18,19,21,22,25,27, 28,30,33-35,37,39], 11 докладов на конференциях [3, 10-12,14-16,23,26,31,38] (статей - 8, в том числе в сборниках трудов международных конференций - 6, тезисов - 3) и 7 препринтов [8,17,20,24,29,32,36]
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы Объем диссертации составляет 254 страницы, в том числе 4 таблицы и 95 рисунков Список цитируемой литературы включает 121 наименований
Модифицированная схема Годунова
Поскольку нулевое приближение qo(X) удовлетворяет (1.19) для ЦВ, квадратная скобка в (1.24) равна просто 2, и следовательно, qi(X) = 0 при всех значениях А в ЦВ. Таким образом, решение ОЗР для скалярного уравнения в области ЦВ с точностью до второго приближения по 9 совпадает с решением АЗР с начальными данными, равными предельным значениям начального распределения в точке разрыве. Начальные условия (1.17) задают граничные условия для уравнения первого приближения Иш qi(X) = -Si Л— — оо (1.25) lim ?i(A) = Sr А— +оо С учетом этих условий константы С в (1.23) определяются как С = — Si и С — —Sr для областей, расположенных слева и справа от разрыва, соответственно.
Таким образом, решение ОЗР в первом приближение по 9, описывающее фактически начальную стадию распада неавтомодельного разрыва для скалярного уравнения (1.1), в окончательном виде можно представить так: h + si 7Г& е если А Аг q{\9)= { А(Х) если Am А А гО (1.26) Qr + Sr guj 9 если А Аг0 где Аго и Аго - скорости возникающих в АЗР разрывов (нулевое приближение по в), определяемые в соответствии с соотношениями (1.20). Полученное выше решение удобно записать в следующей форме: q(X,9) = q + q 9 Л/ТТА2 (1.27) ОЗР для скалярного уравнения где q = q {\Qi,Qr) (1.28) я = q ( ,Qi,Qr,Si,Sr) Вид функций q и q понятен из соотношений (1.19) и (1.26). В дальнейшем мы будем именовать их, для удобства, как решение АЗР ж решение ОЗР, соответственно. Верхний индекс звездочка будет указывать на АЗР, а верхний штрих - на ОЗР.
Для завершения решения остается определить искривление разрывов в первом приближении по в. Представляя скорость разрыва в виде разложения по степеням 0 - \(в) = Ло + Х\в + и линеаризируя условие на разрыве, возмущение скорости в случае УВ получается равной следующему выражению:
В случае слабого разрыва, а также на характеристиках, ограничивающих ЦВ, должно выполняться условие непрерывности, линеаризация которого приводит к условию для возмущения траектории слабого разрыва вида Ai = 7i(A0)a0. Решение первого приближения на характеристике обращается в ноль, как следует из (1.23). Поэтому характеристики ЦВ и слабый разрыв в ОЗР не искривляются в первом приближении по в, а остаются прямолинейными в плоскости (ж, ), как и в АЗР.
Основная идея использовать точное решение АЗР для построения сходящихся конечно-разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений эволюционного типа принадлежит С. К. Годунову. Вкратце ее можно изложить следующим образом (Годунов (1959)).
Пусть решение имеется на некотором временном слое t. Задача состоит в нахождении приближенного решения на некотором следующем дискретном слое і + т. Рассмотрим сетку по пространственной координате и аппроксимируем распределение на слое t функцией, которая постоянна на каждом сеточном интервале. Начальная задача Копій для такого кусочно-постоянного распределения, очевидно, имеет точное решение, состоящее из решений множества АЗР на концах сеточных интервалов (или в сеточных узлах), при условии, что временной шаг т достаточно мал, и разрывы, возникающие в соседних узлах сетки, не успевают пересечься. Имея это точное решение на момент t + т, можно вновь аппроксимировать его кусочно-постоянной функцией (например, осреднив по каждому сеточному интервалу) и повторить описанную процедуру для получения решения на следующем временном слое t + 2т и т.д.
Таким образом, метод Годунова в его оригинальной формулировке состоит из двух основных блоков: 1) кусочно-постоянная аппроксимация решения на каждом временном слое и 2) использование АЗР для описания эволюции решения между двумя последовательными временными слоями.
Однако реализация годуновского схемы вовсе не требует каждый раз выполнения этих двух блоков, а может быть осуществлена в едином подходе с помощью так называемого "метода конечных объемов". Рассмотрим это более подробно на примере скалярного уравнения (1.1).
На плоскости переменных (x,t) введем разностную сетку {xf,tn}, где нижний и верхний индексы суть целые числа, обозначающие дискретные узлы сетки и временные слои соответственно. Пусть г - шаг по времени, а Щ+1,2 = .х"+1 — xf - шаг по пространственной координате. В общем случае сетка не предполагается стационарной, т. е. х ф х+ , и координаты узлов сетки могут меняться от одного временного слоя к другому (рис. 1.3). Скорости узлов будем обозначать WJ = (ЖГ+1 ЖГ0/Т а середины сеточных интервалов - полуцелыми индексами: ж"+1,2 — 0.5(ж" + "+i)-Интегрируя уравнения (1.1) по четырехугольной области (рис. 1.3), ограниченной временными уровнями tn, in+1 и траекториями узлов Li, Li+1 и переходя к контурному интегралу можно получить следующее разностное уравнение: Li. При условии, что численные потоки на ребрах известны, уравнение (1.30) служит для определения средних Я /2 на верхнем временном слое по заданным значениям средних q?+1/2 на нижнем слое. Таким образом, численная схема (1.30) полностью определяется способом аппроксимации численных потоков.
Уравнение (1.30) является основой для множества численных алгоритмов, отличающихся друг от друга лишь численным потоком (см., например, обзор LeVeque (1992)). Среди этого множества метод Годунова - уникальный в том смысле, что численная аппроксимация строится с использованием аналитических решениях дифференциальных уравнений.
Следуя Годунову (Годунов (1959)), возьмем кусочно-постоянную функцию qn(x) = Qi+i/2 х lxi xi+i] в качестве аппроксимирующей решение на п временном слое и пусть q(t,x) - слабое решение уравнения (1.1) с начальными данными q(tn,x) = qn(x) при t tn. Тогда численный поток по Годунову определяется как n+l/2 = L.rl Г [qo{ x)wn+l/2 _ f(qo{ttX))](u (L33) JLi Пока разрывы, возникающие при распадах начальных разрывов в узлах сетки не начинают взаимодействовать друг с другом, решение q(t,x) представляет собой множество решений АЗР и, следовательно, постоянно на каждом ребре L,. Поэтому для достаточно малого временного шага г годуновскии поток принимает простой вид F-+1/2 = F; = q T112 /( ? ) (1-34) где q = q (wr1/2,ql1/2,q 1/2) (1-35) Как уже было оговорено выше (уравнения (1-27) и (1.28), звездочка вверху указывает на решение АЗР: q (X,qi,qr) - значение на луче Л решения АЗР с начальным разрывом со значениями q\ и qr слева и справа соответственно.
Временной шаг т в методе Годунова должен определяться так, чтобы автомодельное решение, возникающее на каждом ребре счетной сетки, сохранялось. Или, если говорить о каком-нибудь конкретном ребре, чтобы разрывы с соседних узлов сетки не успевали бы достичь этого ребра за период времени т. Обозначая скорости разрывов в АЗР на узле і Х\ и \\ (где, как было принято выше, индексы /иг указывают на более медленный и более быстрый разрывы, соответственно (соотношения (1.20)), выбор шага может быть формализован следующим образом:
Формулы решения для случая двучленного уравнения состояния среды
Основные элементы метода обобщенной задачи Римана, рассмотренного выше для случая скалярного уравнения закона сохранения, обобщаются в настоящей главе на систему уравнений, описывающую одномерное движение сжимаемой жидкости. Сначала формулируется обобщенная задача о распаде произвольного разрыва в газе, в которой распределения газодинамических величин справа и слева от разрыва не ограничиваются классом постоянных по пространсвенной координате функций, а предполагаются переменными. Решение этой задачи рассматривается в малой окрестности точки начального разрыва пространственно-временной плоскости (х, t) . Показывается, что в первом приближении обобщенная задача Римана имеет единственное решение, которое удается построить в явном аналитическом виде. Построенное решение затем применяется для модификции схемы Годунова, которая повышает порядок аппроксимации последней до второго по времени и пространству.
Классическая конечно-разностная схема Годунова (Годунов (1959)) является явной консервативной схемой первого порядка точности, которая получила очень широкое применение в различных задачах численного моделирования динамики сплошной среды (Годунов ш фЁ. (1976); Того (2001)). Метод, лежащий в основе этой схемы, существенно использует физические основы динамики сжимаемой жидкости и состоит в следующем.
Рассматривая течение на момент времени t = to, параметры жидкости (плотность, скорость, давление и т.д.) аппроксимируются сначала кусочно-постоянными распределениями на некоторой счетной сетке таким образом, чтобы в пределах каждой ячейки сетки они были бы постоянными и равными средним по ячейке значениям. Эволюция такого кусочно-постоянного поля на достаточно малом временном интервале [t0, t0 + т] тогда может быть определена аналитически и использована для нахождения средних по ячейкам на новом временном слое t = to + т. Повторяя эту процедуру шаг за шагом можно таким способом рассчитывать динамику изменения течения во времени.
Основной элемент метода Годунова, позволяющий аналитически определить эволюцию кусочно-постоянного поля течения, есть по сути автомодельная задача о распаде произвольного разрыва. С математической точки зрения она представля 37 ОЗР для одномерной газодинамики ет собой задачу Коши для уравнений движения сжимаемой жидкости с начальными данными, постоянными слева и справа от точки х = 0 и претерпевающими в этой точке конечный разрыв.
Эта задача автомодельна в том смысле, что ее решение зависит только от комбинации x/t. Сформулирована она была почти 150 лет тому назад немецким математиком Бернардом Риманом (см. Риман (1948)) (правда для упрощенных уравнений), а полное исследование ее решения было выполнено русским гидромехаником Николаем Кочиным (Кочин (1948)) лишь в середине прошлого века.
Суть решения сводится к тому, что начальный разрыв распадается в последующие моменты времени на несколько разрывов, каждый из которых пердставляет собой либо ударную волну, либо контактный разрыв, либо слабый разрыв. В силу автомодельности траектории разрывов - прямые линии в плоскости (х, і), исходящие из точки начального разрыва. Они разбивают поле течения на ряд подобластей, где реализуется или постоянное течение, или переменное течение центрированной волны разрежения. Замечательным моментом является тот факт, что все многообразие возможных ситуаций (конфигураций возникающих разрывов) удается описать достаточно простой схемой, а также определить скорости разрывов и параметры течения в областях гладкости между разрывами аналитически для произвольных начальных данных.
Естественная модификация схемы Годунова с целью повышения ее порядка точности состоит в замене кусочно-постоянных аппроксимаций на аппроксимации более высокого порядка точности (например, кусочно-линейные или кусочно-квадратичные с соответственно восполнением распределений внутри ячеек линейными или квадратичными функциями). Эта идея достаточно прозрачна, поэтому предложена она была вскоре после открытия Годуновым своего метода В.П. Колганом (Колган (1972)) и затем весьма активно эксплуатировалась во многих последующих работах (см., например, Leer van (1974); Colella, Woodward (1984); Woodward, Colella (1984); Родионов (1987); Harten, Osher (1987); Edelman ш фЁ. (1985)).
Однако, когда кусочно-постоянная аппроксимация меняется на какую-либо другую, теряется основная "изюминка" метода Годунова - наличие точного аналитического решения задачи Римана. Задача о распаде произвольного разрыва в этих случаях теряет автомодельность и нахождение аналитически ее точного решения при произвольных начальных данных становится весьма проблематично, если возможно вообще. Поэтому во всех перечисленных выше работах и тех, которые не упомянуты, но имеют отношение к повышению порядка точности схемы Годунова, решение неавтомодельной задачи таким или иным образом обходится и заменяется, в конечном счете, решением некоторой приближенной автомодельной задачи. При этом выхолащивается основополагающая идея Годунова об использовании именно точных аналитических решений, и хотя многие работы и несут в своем названии слова "схема Годунова второго порядка точности", по сути таковыми не являются.
Вторым моментом, заслуживающим критики, является определение производных, которые необходимы при использовании кусочно-линейных аппрокимаций. Стандартный подход здесь - не расчет, а аппроксимация: производные формально аппроксимируются на каждом временном слое по рассчитанным средним значениям. Для гладких течений такой подход вполне оправдан. Однако для течений, содержащих разрывы (ударные волны, сдвиговые слои и т. п.), формальная аппроксимация может приводить к большим ошибкам (в силу того, что как таковое понятие аппроксимация вблизи разрыва бессмыслено). Поэтому, в свете идей Годунова вполне естественно и производные тоже не аппроксимировать, а рассчитывать, используя определенные аналитические данные о природе динамики жидкости.
Таким образом, говоря о повышении порядка аппроксимации метода Годунова, мы сталкиваемся с необходимостью рассмотрения обобщенной задачи Римана - задачи о распаде разрыва, слева и справа от которого параметры течения, вообще говоря, могут быть переменными. Термин "обобщенная задача Римана" и формулировка этой задачи для случая линейных начальных распределений были предложены в работе (Ben-Artzi, Falcovitz (1984)). В настоящей работе мы будем придерживаться этой терминологии и в более общем случае произвольного распределения начальных данных.
Обобщенная задача Римана (ОЗР) в общем случае не является автомодельной, и построение аналитического решения во всей плоскости (ж, t) не представляется возможным. Однако определенные соотношения, тем не менее, могут быть найдены. Так, в работе (Ben-Artzi, Falcovitz (1984)) для случая линейных начальных распределений ОЗР была рассмотрена для одномерных уравнений газовой динамики в лагранжевых переменных и получены аналитические формулы для производных газодинамических параметров вдоль контактного разрыва в начальный момент времени t = 0.
Ниже ОЗР рассматривается в эйлеровых переменных в малой окрестности точки начального разрыва плоскости (x,t) (Меньшов (1991)). Решение исследуется в первом приближении по параметру 9 = \Jx2 + t2. Показывается, что задача имеет единственное решение, которое может быть найдено аналитически при произвольных начальных данных. Полученное решение используется затем для модификации метода Годунова с целью повышения порядка его аппроксимации (Меньшов (1990)).
Приложение А: соотношения на ударной волне
В этой главе рассматривается пространственная задача Римана о распаде произвольного разрыва. Как уже отмечалось, задача Римана кроме того, что она представляет большой интерес, как одна из фундаментальных задач динамики сжимаемой жидкости, имеет еще широкое применение в численных методах. Именно использование Годуновым (Годунов (1959)) ее точного решения в методе конечного объема послужило началом бурного развития целого семейства конечно-разностных методов для расчета газодинамических течений, которое в современной литературе определяется уже устоявшимся термином "методы годуновского типа".
Изначально основы метода были сформулированы для случая одномерных течений. Основным элементом здесь была одномерная задача Римана, которая с точки зрения газодинамики описывала взаимодействие двух постоянных одномерных потоков. В силу автомодельности решение этой задачи строится аналитически при произвольных (физически допустимых) значениях параметров потоков (Кочин (1948)). Однако следует отметить, что при этом возникает нелинейное уравнение, решение которого в явном виде получить не удается и необходимо привлекать итерационные методы для его нахождения. Таковые весьма эффективные итерационные алгоритмы были разработаны в работах (Годунов ш фЁ. (1976); Smoller (1983); Gotlieb, Groth (1988)), которые позволили достаточно быстро проводить расчет необходимых решений. Поэтому сейчас мы можем говорить о решении автомодельной одномерной задачи Римана практически как о явном, доступном в простой аналитической форме.
Обощение метода Годунова на многомерный случай не представляет труда. Введя в рассмотрение некоторую пространственную сетку, разбивающую область течения на малые ячейки, параметры потока первым делом аппрокимируются кусочно-постоянными распределениями (постоянными в пределах каждой счетной ячейки). Другими словами, течение газа внутри каждой отдельной ячеки представляется подходящим однородным потоком. Тогда последующее развитие такого аппроксимированного течения сводится к взаимодействию однородных потоков на гранях счетных ячеек (влиянием взаимодействия потоков в вершинах ячеек при этом пренебрега-ется). При таком подходе основным элементом является задача о взаимодействии двух однородных потоков газа, изначально разделенных некоторой плоскостью. Хотя формально эта задача является трехмерной, по существу она сводится к одномерной вдоль нормали к разделяющей плоскости, и, следовательно, ее решение без труда находится на основе решения одномерной автомодельной задачи Римана.
Развитие идей, заложенных в метод Годунова, привело в дальнейшем к необходимости рассмотрения обобщения автомодельной задачи Римана на случай произвольного, вообще говоря, непостоянного распределения начальных значений газодинамических параметров (Колган (1972); Leer van (1974); Colella, Woodward (1984); Ben-Artzi, Falcovitz (1984)). Такое расширение класса начальных данных делает задачу Римана неавтомодельной и значительно усложняет вопрос о нахождении ее решения. В работе (Ben-Artzi, Falcovitz (1984)) задача Римана для одномерных уравнений Эйлера с кусочно-линейным профилем начальных данных получила название "Обобщенная задача Римана"/(Generalized Riemann problem). В настоящей работе мы придерживаемся этой терминологии и используем ее в более широком смысле для определения задачи о распаде плоского разрыва в газе, разделяющего два неколлине-арных пространственных течения с непостоянным, в общем случае, распределением параметров (вектора скорости, плотности, давления и т.д.) по пространству.
Для одномерного случая обобщенная задача Римана рассматривалась в работах (Leer van (1979); ), где для построения решения использовались лагранжевы переменные. Основным результатом этих исследований стало получение в явном виде точных аналитических формул для значений производных газодинамических величин вдоль контактного разрыва в начальный момент времени. В эйлеровых переменных задача исследовалась в работе (Меньшов (1991)). Здесь удалось построить полностью решение в малой окрестноти точки начального разрыва. В первом приближении по расстоянию до начального разрыва в плоскости (t,x) в явном виде были получены аналитические формулы решения, которые впоследствии адаптированы для модификации численного метода Годунова с целью повышения его аппро-кимационных свойств (Меньшов (1990); Menshov (1990)). Подробное описание этого подхода, который получил название "Метод обобщенной задачи Римана" ("Метод ОЗР"), приводится в предыдущих главах.
Многомерному случаю ОЗР была посвящена серия работ (Тешуков (1977, 1978, 1979)), завершившаяся работой (Тешуков (1980)), в которой доказывается локальное существование и единственность кусочно-аналитического решения пространственной задачи о распаде произвольного разрыва, сосредоточенного в начальный момент на заданной криволинейной поверхности. В указанных работах В.М. Тешуковым построены также решения многих задач пространственной газовой динамики в виде формальных степенных рядов. В работе (Козманов (1978)) был исследован частный случай обобщенной задачи Римана для двумерных плоских уравнений совершенного газа и показана возможность нахождения решения в классе формальных степенных рядов при определенных ограничениях, накладываемых на начальные данные.
В настоящей главе мы продолжаем развитие подходов, используемых при анализе одномерной ОЗР(Меньшов (1990, 1991)), и обобщаем их для исследования решения пространственной обобщенной задачи Римана (Меньшов (1993)). Мы покажем, что также как и в одномерном случае, пространственная задача в малой окрестности плоскости разрыва имеет в первом приближении единственное решение и, кроме того, главные члены этого приближения могут быть найдены в форме явных аналитических формул при произвольных значениях начальных данных. Полученное решение затем применяется для построения многомерного варианта численного метода ОЗР, являющегося прямым обобщением метода Годунова на второй порядок
Численный метод ОЗР для стационарных сверхзвуковых уравнений
В настоящей главе мы продолжаем развитие идей метода обобщенной задачи Римана на случай уравнений стационарной сверхзвуковой газодинамики. Аналогом задачи Римана о распаде произвольного разрыва в этом случае является задача о взаимодействии двух однородных сверхзвуковых потоков газа.
Рассмотрим для простоты двумерное течение, параметры которого зависят только от двух пространственных координат ж и у. Пусть в некотором сечении, скажем х = 0, известно распределение параметров потока вдоль координаты у и также известно, что скорость потока в нормальном к сечению направлении (вдоль координаты х) сверхзвуковая. Тогда, в силу гиперболичности уравнений, течение вверх по потоку от этого сечения полностью определяется распределением параметров в этом "начальном" сечении [х = 0). Здесь мы имеем полную аналогию с одномерной нестационарной газодинамикой, где координата х выполняет роль "времени", а распределение в начальном сечении играют роль "начальных данных". Задача Римана тогда формулируется как задача о распаде произвольного разрыва в сверхзвуковом потоке, а именно: каково будет течение вверх по потоку от сечения х — 0, если поток в этом сечении представляется кусочно-постоянным распределением с разрывом параметров в точке у = 0? С физической точки зрения эта задача может трактоваться как задача о взаимодействии двух однородных сверхзвуковых потоков газа.
Поскольку в формулировке отсутствует какой-либо линейный размер, задача является автомодельной, и ее решение должно зависеть только от отношения х/у. Это сильно упрощает нахождение решения и позволяет построить его в явном аналитическом виде. Оно характеризуется набором прямолинейных разрывов, выходящих из точки разрыва, каждый из которых может быть либо слабым разрывом, либо ударной волной, либо тангенциальным разрывом. Эти разрывы делят область течения вверх по потоку на ряд подобластей, в которых течение газа либо однородно (постоянный поток), либо представляется центрированной волной Прандтля-Майера. Подробные формулы решения приводятся в работах М. Я. Иванова и А. Н. Крайко (Иванов ш фЁ. (1972); Иванов, Крайко (1972)), а также в монографии (Годунов ш фЁ. (1976)) и работе (Marshall, Plohr (1984)).
Естественным обобщением автомодельной задачи, по аналогии с одномерной неста 111 Метод ОЗР для стационарной сверхзвуковой газодинамики ционарнои газодинамикой, является тот случай, когда взаимодействующие потоки неднородны и имеют некоторое в общем случае непостоянное распределение параметров течения. При этих условиях задача теряет свойство автомодельности, и нахождение решения во всей области вверх по потоку становится весьма трудной задачей. В силу имеющейся очевидной аналогии с одномерной газодинамикой, неавтомодельную задачу о взаимодействии двух потоков будем также называть обобщенной задачей Римана.
Ниже обобщенная задача Римана исследуется в малой окрестности точки взаимодействия потоков (Меньшов (1992b,а)). Используя полярную систему координат и переменные годографа вектора скорости, решение строится в виде асимптотических рядов. Мы покажем, что задача для главных членов асимптотического разложения, определяющих отклонение от автомодельного решения, имеет единственное решение, которое может быть выписано в явном аналитическом виде.
Для простоты изложения мы рассматриваем здесь двумерный случай. Обобщение на трехмерный случай не представляет труда. Примем направление, в котором скорость потока превосходит скорость звука, за ось х. Тогда, с математической точки зрения обобщенная задача Римана для стационарных сверхзвуковых течений сводится к следующей задаче Коши:
Здесь и, v - компоненты вектора скорости в прямоугольной системе координат (ж, у), р, е, р — р(р, е) - скорость, удельная внутренняя энергия и давление газа, Е = 4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИЗ 0.5(u2+v2)+e обозначает удельную полную энергию, а+(у) и а_(у) - вектор функции, задающие распределения соответствующих величин в начальном сечении. При этом предполагается, что потоки в этом сечении сверхзвуковые, т. е. и± а±, где а обозначает скорость звука. Преобразуем систему уравнений (4.1) к характеристическому виду, введя переменные годографа вектора скорости V = Vu2 + v2 и в = arctan(v/u), удельную энтропию s и угол Маха р = arcsin(a/K) (Черный (1988)):
