Введение к работе
Актуальность
Актуальной проблемой при численном решении задач газовой динамики являются большие диссипативные и дисперсионные ошибки [1, 2]. Одним из часто используемых подходов по улучшению диссипативных и дисперсионных свойств является использование схем повышенного порядка аппроксимации. Основным недостатком данного подхода является использование расширенного шаблона для аппроксимации исходных уравнений, что приводит к проблемам, как при задании граничных условий, так и при аппроксимации на произвольных расчетных сетках. При этом отличающиеся неявностью схемы высокого порядка оказываются неудобными для распараллеливания.
Одним из перспективных направлений является использование класса схем, записанных в дивергентной форме и с использованием коррекции потоков. Здесь одной из самых многообещающих схем является явная схема Кабаре [3, 4], обладающая вторым порядком аппроксимации для произвольно неоднородных сеток по пространству и времени. Несмотря на простоту реализации и «небольшой» порядок аппроксимации, она хорошо проявила себя в ряде задач газодинамики и аэроакустики [5, 6, 7]. Отличительными чертами схемы Кабаре являются её компактный вычислительный шаблон, малодисперсионность и бездисипативность. Для решения задач нелинейного переноса в схеме Кабаре используется малодиссипативный алгоритм нелинейной коррекции потоков на основе принципа максимума для потоковых переменных.
Однако, несмотря на все достоинства, применение данной схемы ограничено набором вычислительных шаблонов, обычно состоящим в двумерном случае из четырехугольных и в трехмерном из гексагональных элементов. В этой связи представляется актуальным исследование возможных способов обобщения схемы Кабаре на треугольные сетки, желательно с сохранением положительных свойств схемы, таких как малодиссипативность и малодисперсионность, на декартовых сетках.
Цели и задачи исследования
Разработка нового численного алгоритма на основе метода Кабаре для решения двумерных задач гидродинамики на расчетных областях, состоящих из треугольных элементов.
Численное моделирование методом Кабаре для ортогональных сеток классических задач вихревой динамики и акустики таких как: задача о малых колебаниях вихря Ранкина и задача о взаимодействии пар плоских противовращающихся вихрей. Научная новизна и практическая значимость
Предложен новый вариант обобщения схемы Кабаре на треугольные сетки, включающий в себя новую экстраполяционную формулу и процедуру коррекции потоков. Разработанный алгоритм предоставляет возможность численного решения задач гидродинамики и аэроакустики методом Кабаре на расчетных областях смешанного типа с рядом ограничений.
На основе метода Кабаре для ортогональных сеток численно решена задача об излучении звука вихрем Кельвина с учетом совокупности процессов генерации и обратного влияния звука на вихревое течение. Проведено численное моделирование задачи о взаимодействии пар плоских противовращающихся вихрей методом Кабаре для ортогональных сеток, как для ближнего, так и дальнего полей. Предложена квазистационарная модель периодически зарождающихся вихрей, на основе которой продемонстрирована связь модельной задачи о парах вихрей с более общей задачей об идентификации механизмов шума турбулентной струи.
Численное решение поставленных в главах 2, 3 задач методом Кабаре для ортогональных сеток оказалось способным предсказать тонкие эффекты взаимодействия вихревой динамики и сжимаемости, выражаемые величинами, пропорциональными четвертой степени числа Маха, несмотря на всегда имеющиеся неконтролируемые ошибки, связанные с дискретизацией уравнений и схемной вязкостью. Это значит, что схема КАБАРЕ в целом допускает расширение прямого численного моделирования на задачи, характеризующиеся локализованными
вихрями с выраженным ядром, в том числе на задачи, когда турбулизация течения и генерация звука определяются тонкими эффектами взаимодействия колебаний ядра вихря и обтекающего ядро потока. Аппробация работы
Основные результаты, содержащиеся в диссертации докладывались на следующих конференциях:
Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации" (РФ, г. Якутск, 2009 г.);
Всероссийская научно-практическая конференция "Вычислительный эксперимент в аэроакустике" (РФ, г. Светлогорск, 2010 г.);
Научная конференция МФТИ (РФ, г. Москва, 2010 г.);
17th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference (32nd AIAA Aeroacoustics Conference) (USA, Portland, Oregon, 2011 г.);
Всероссийская конференция по авиационной акустике (РФ, г.Звенигород, 2011 г.);
Международная конференция "Суперкомпьютерные технологии математического моделирования" (РФ, г.Якутск, 2011 г.).
Публикации
Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК [1, 2] и тезисы конференций [3-11].
