Введение к работе
Актуальность темы. Неотъемлемой составной частью любого измерительного прибора или системы являются датчики. Датчик (измерительный преобразователь) - это средство измерения, преобразующее измеряемую физическую величину (перемещение, давление, температуру, электрическое напряжение и т.д.) в сигнал (обычно электрический) для передачи, обработки или регистрации. Таким образом, датчик выполняет функцию первичного элемента, который воспринимает информацию от исследуемого объекта и преобразует ее для передачи в измерительное устройство.
Тот факт, что присутствие датчика может оказывать существенное влияние на измеряемую величину, в литературе подтверждается многими авторами. Например, об этом в своих работах пишут М.А. Земельман, Н.П. Миф, Ж. Аш, А.Г. Мошков, Л.Г. Гросс, С.А. Чугунов, В.М. Юркевич, Б.Л. Кондратьев, СВ. Бирюков и др.
Для измерения циркуляции напряженности электрического поли используются индукционные датчики, в состав которых обязательно входит приемная рамка или петля. Каждый виток этой петли представляет собой провод (чаще всего медный), в котором наводится электродвижущая сила (ЭДС) индукции. При этом ЭДС индукции принято отождествлять с циркуляцией напряженности электрического поля по контуру петли. Такое представление, бесспорно, верно на очень низких частотах возбуждаемого электромагнитного поля, когда толщина скин-слоя значительно превышаегг толщину измерительного провода. В этом случае электрическое поле практически без искажений проникает в провод и наводит в нем электрический ток, по величине которого определяют циркуляцию напряженности электрического поля.
Очевидно, что внесенный в среду провод изменяет распределение электропроводности среды и, следовательно, возмущает исходное электромагнитное поле, причем, если это возмущение несущественно на достаточно низких частотах (или поздних стадиях переходного процесса), но, благодаря скин-эффекту, может быть очень значительным на высоких частотах (ранних временах неустановившегося процесса). В работе П. О. Барсукова, Э.Б. Файнберга, Е.О. Хабенского экспериментально доказано, что при измерении переходных процессов величина ЭДС индукции зависит от электропроводности измерительного провода и дано качественное объяснение этого эффекта на основе теории двухпроводной линии.
Таким образом, является актуальной проблема исследования взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции, поскольку ее решение позволит найти количественную оценку искажений, вносимых приемным контуром при измерении электромагнитного ПОЛЯ.
Индукционные датчики являются составной частью большого числа измерительных приборов, применяемых в различных областях: в методах индуктивной электроразведки для поисков и разведки месторождений полезных ископаемых, в инженерной геофизике, в дефектоскопии, в частности, для контроля за состоянием трубопроводных систем, при археологических исследованиях, при проведении строительных работ и т.д. Поэтому изучение данного вопроса имеет большое практическое значение, так как позволит разработать прецизионную измерительную аппаратуру, а также уточнить результаты измерений и правильно их интерпретировать.
Целью диссертационной работы является разработка математической модели взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции, основанной на асимптотических решениях интегральных уравнений, для количественной оценки искажений, вносимых измерительным контуром при регистрации электромагнитного поля.
Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:
L Разработка математической модели взаимосвязи истинного (поле в отсутствие измерительного провода) и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей.
Разработка математической модели взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции для осесимметрического электрического поля.
Проведение численного эксперимента по оценке искажений, вносимых приемным контуром при измерении плоского и осесимметрического электрических полей.
Оценка величины искажений, вносимых измерительным проводом, в зависимости от размеров провода, его электропроводности, электропроводности окружающей провод среды и частоты электромагнитного поля.
Методы исследований для решения перечисленных задач базируются на теории уравнений математической физики, теории обобщенных функций и теории интегральных уравнений.
Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется:
Корректностью и строгостью применяемых математических методов, предварительной оценкой допускаемых приближений и их физическим обоснованием.
Сравнением результатов, полученных разными методами, решения поставленных задач.
Соответствием основных результатов и выводов общефизическим представлениям о характере процессов, протекающих при измерении электромагнитного поля.
Научная новизна работы состоит в следующем:
На основе аналитического решения задачи о возбуждении гармонического электромагнитного поля в проводящем круговом цилиндре получена асимптотическая формула, устанавливающая линейную связь истинного и наведенного плоских электрических полей. Сравнение результатов расчета, полученных по асимптотической и точной аналитической формулам, показало, что асимптотическая формула обеспечивает достаточно высокую для практики точность в широком интервале частот.
С помощью асимптотического решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработана математическая модель взаимосвязи истинного и наведенного электрических полей при измерении плоского электрического поля. Решение этой задачи совпадает с асимптотической формулой, полученной на основе аналитического решения.
Проведены расчеты отношения истинного и наведенного в измгри-тельном проводе плоских электрических полей в зависимости от толщины измерительного провода, его электропроводности и частоты измеряемого поля. Показано, что с увеличением этих параметров возрастает отличие истинной и наведенной напряженностей электрического поля, однако это отличие уменьшается при уменьшении контраста электропроводности провода и вмещающей его среды.
На основе асимптотического решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода проведено математическое моделирование взаимосвязи циркуляции напряженности осесимметрического электрического поля и ЭДС индукции, наведенной тороидальным измерительным проводом. Для этого найдено представление скалярной функции Грина в ізиде определенного интеграла, отличающееся от ранее известного выражения этой функции, введена специальная ортогональная система координат, наиболее приспособленная для решения данной задачи.
Получена асимптотическая формула, линейно связывающая истинную и наведенную в тороидальной петле азимутальные компоненты напряженности осесимметрического электрического поля. Коэффициент пропорциональности между истинной и наведенной напряженносгями электрического поля зависит от толщины, электропроводности и радиуса тороидального измерительного провода, а также от частоты измеряемого поля, но при сделанных допущениях не зависит от электропроводности исходной среды. Проведенные по этой формуле расчеты показали, что так же, как и в случае измерения плоского электрического поля, с увеличением электропроводности, толщины измерительного провода и частоты измеряемого поля возрастает отличие истинной и наведенной напряженностей электрического поля. Это отличие возрастает также с увеличением радиуса измерительной петли.
Разработана математическая модель взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции при измерении неустановившегося осесимметрического электрического поля круговой петлей. Получены соотношения, позволяющие рассчитать циркуляцию напряженности электрического поля по измеренной ЭДС индукции и, наоборот, восстановить ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля.
На примере переходного процесса вертикального магнитного диполя в однородном пространстве построены кривые зависимости истинного и наведенного в круговой измерительной петле электрических полей от времени переходного процесса, а также кривая, соответствующая квазистационарному приближению. Показано существенное отличие истинного и наведенного полей на ранних и промежуточных стадиях переходного процесса. На поздних же стадиях неустановившегося процесса этим отличием можно пренебречь. Отмечено, что это отличие может быть значительным даже для квазистационарного электромагнитного поля.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту:
На основе асимптотических решений интегральных уравнений Фред-гольма второго рода разработана математическая модель взаимосвязи истинного и наведенного в измерительном проводе плоского или осесимметрического электрических полей, позволяющая количественно оценить погрешности измерения в зависимости от параметров измерительного провода, электропроводности вмещающей его среды и частоты измеряемого поля.
В явном виде определен коэффициент пропорциональности, связывающий циркуляцию напряженности осесимметрического электрического поля и ЭДС индукции, наведенную в круговой измерительной петле, и зависящий от электропроводности, толщины и радиуса петли, а также частоты измеряемого поля. Показано, что отличие циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции возрастает по мере увеличения этих параметров. Полученные соотношения между истинным и наведенным электрическими полями позволяют разработать индукционные датчики, измеряющие с высокой точностью электрическое поле (циркуляцию напряженности электрического поля) в широком диапазоне частот (времен).
Разработана математическая модель взаимосвязи циркуляции напряженности электрического поля и ЭДС индукции при измерении неустановившегося осесимметрического электрического поля круговой петлей. Показано, что для нахождения циркуляции напряженности электрического поля по известной ЭДС индукции достаточно к последней применить зависящий от времени оператор дифференцирования определенного вида. Решение обратной задачи - восстановление ЭДС индукции по заданной циркуляции напряженности электрического поля, представлено в виде
грешностей проводить более тщательный и полный теоретический анализ с целью определения поправки или поправочного множителя, а также осуществление нескольких измерений по различным методикам. В работе П. С). Барсукова, Э.Б. Файнберга, Е.О. Хабенского для переходного процесса рассмотрен эффект зависимости ЭДС индукции от электропроводности провода измерительной петли.
Вторая глава посвящена решению идеализированной задачи о взаимосвязи напряженностей истинного и наведенного в измерительном проводе плоских электрических полей. Для решения этой задачи использовалось два подхода: исследование аналитических решений и метод интегральных уравнений. Аналитический подход основан на решении уравнений Максвелла методом разделения переменных и необходим для тестирования результатов, полученных с помощью более общего метода интегральных уравнений. Проведен анализ искажений, вносимых измерительным проводом, в зависимости от различных параметров провода и других факторов.
В круговой цилиндрической системе координат p,
Рассмотрим систему уравнений Максвелла, связывающую между собой векторы поля и плотность стороннего тока
rotH = a,E+je,
rot Е =ia)ju0H, (1)
где <т0 = сг0 - га>є0 - комплексная электропроводность среды.
(a)
(6)
-»?
Рисі, (а) - прямолинейный сторонний электрический ток в однородной среде с внесенным измерительным проводом;
(б) - схема измерения плоского наведенного электрического поля прямолинейным проводом с параллельно подключенным к нему вольтметром V
Решая систему уравнений (1) с помощью метода разделения переменных в исходной однородной среде (в отсутствии провода) и в случае, когда провод присутствует, и сравнивая затем полученные результаты, приходим к соотношению
Е, к0 1{{ка)
(2)
где к = ^/- io){i0cr
волновое число провода,
Re&>0;
к0=^[~іа/х0сга-&2/л0є0 - волновое число однородной среды, Rek0 >0; 1„{х)> Кп(х) — модифицированные функции Бесселя первого и третьего рода порядка « соответственно; Е'г — среднее значение напряженности Е": электрического поля по поперечному сечению провода плоскостью z = const в исходной, однородной среде, а Ег - среднее значение напряженности электрического провода в проводе. Величину Е\ будем называть «истинной» напряженностью электрического поля, а Ег — «наведенной».
Пусть |Аа| «1, |Аг0й| «1, что справедливо, во всяком случае, при малой толщине провода и на достаточно низких частотах. Тогда, применяя асимптотические формулы для модифицированных функций Бесселя, можно записать
(3)
где С » 0.5772156649 - постоянная Эйлера.
Отсюда следует, что отношение истинной напряженности электрического поля к наведенной не зависит от р', то есть от расположения возбуждающего поле стороннего электрического тока. Эта зависимость будет верна и для произвольного распределения сторонних токов, создающих в среде плоское электрическое поле.
Проведено сравнение точного у (2) и асимптотического решения у
(3) для сг0 = 10-10 См/м, /і0=4л-10"7 Гн/м, є0 = 10"9 Ф/м и медного
36л-
провода (<т = 5.61х107 См/м) различного радиуса (а=0.001 м, 0.003 м, 0.00.5 м). Столь малое значение электропроводности однородной среды соответствует измерениям в высокоомной среде, например, в воздухе. Показано, что в этом случае на интервале частот 0
2л относительная погрешность вычисления по формуле (3) отношения
\Ё'г I Ел не превышает 0.013, а абсолютная погрешность a.rg\E'/Ei) - менее
0.006 рад. Таким образом, приходим к выводу, что асимптотическая формула (3) обеспечивает достаточно высокую для практики точность в широком интервале частот.
Теперь рассмотрим другой, более общий способ оценки искажений результатов измерений. Пусть в однородном пространстве электромагнитное поле возбуждается произвольным распределением сторонних токов, изменяющихся по гармоническому закону с круговой частотой а, потребуем лишь равенство нулю этих токов в области р<а. Обозначим единственную отличную от нуля компоненту напряженности электрического поля, создаваемую этими токами, через Е. Внесем в область р < а измерительный провод (круговой цилиндр). Для учета искажений, вносимых прямолинейным проводом, запишем интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно напряженности Ег электрического поля, наведенной в проводе:
Ег^) = Е0г(р,^) + (а-а0+Ш0)ІІаг{р,р\р\^%(р',<р')р^р'сі<р'- (4)
Ядром этого уравнения является скалярная функция Грина исходной однородной среды, которая определяется выражением
G\p,q\p\
2л to [I„{k0p)Kn{k0p), р>р,
свертки. Различие между циркуляцией напряженности электрического ПОЛЯ и ЭДС индукции пренебрежимо мало на самых поздних стадиях переходного процесса, однако оно может быть существенно на ранних и промежуточных стадиях неустановившегося процесса и даже в области квазистационарности электромагнитного поля.
Практическая ценность работы состоит в возможности применения полученных результатов для уточнения результатов измерений индукционными датчиками и разработки прецизионной измерительной аппаратуры.
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, ВГУ, 2004), на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, СамГТУ, 2004), на научном семинаре "Математическое моделирование геофизических полей" (Саратов, СГТУ, 2006).
Публикации.
Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 6 печатных работах (четырех статьях, трудах и материалах двух конференций). Список публикаций приведен в конце автореферата.
