Содержание к диссертации
Введение
1 Задача на собственные значения для цилиндрического волновода с частичным биизотропным заполнением 9
1.1 Постановка задачи 9
1.2 Построение численного алгоритма с разложением по продольным компонентам 11
1.2.1 Выражение поперечных компонент поля через продольные . 11
1.2.2 Алгоритм численного решения 12
1.2.3 Основное энергетическое тождество 13
1.2.4 Реализация численного алгоритма для прямоугольного волновода 16
1.2.5 Реализация упрощённой схемы для прямоугольного волновода . 23
1.2.6 Реализация численного алгоритма для круглого волновода . 26
1.2.7 Реализация упрощённой схемы для круглого волновода 29
1.3 Построение численного алгоритма с разложением по поперечным компонентам 29
1.3.1 Выражение продольных компонент поля через поперечные . 29
1.3.2 Алгоритм численного решения 30
1.3.3 Реализация численного алгоритма для прямоугольного волновода 34
2 Задача дифракции для цилиндрического волновода с би изотропной вставкой 46
2.1 Постановка задачи 46
2.2 Регулярный случай 48
2.2.1 Постановка задачи 48
2.2.2 Алгоритм численного решения 49
2.2.3 Реализация численного алгоритма 51
2.3 Общий случай 53
2.3.1 Схема построения алгоритма численного решения 53
2.3.2 Свойства приближённого решения 57
2.3.3 О сходимости приближённого решения к точному 58
3 Некоторые численные результаты 64
3.1 Пустой прямоугольный волновод 64
3.2 Прямоугольный волновод с диэлектрическим заполнением 65
3.3 Плоский волновод с киральным заполнением 68
3.4 Прямоугольный волновод с киральным заполнением 76
3.5 Дифракция волны Яці на киральной вставке в прямоугольном волноводе 98
Заключение 102
- Построение численного алгоритма с разложением по продольным компонентам
- Реализация численного алгоритма для прямоугольного волновода
- Схема построения алгоритма численного решения
- Прямоугольный волновод с диэлектрическим заполнением
Введение к работе
Актуальность темы. В последнее время среди специалистов в области электродинамики возрос интерес к исследованию так называемых биизо-тропных сред1. Эти среды являются обобщением для широкого класса сред и включают в себя диэлектрики, магнетики, изотропные киральные среды, среду Теллегана и др.2 Такое обобщение даёт возможность создания на примере биизотропных сред универсальных математических моделей и численных алгоритмов их исследования.
Понятие биизотропной среды возникло при моделировании электродинамических свойств (в основном) сред с пространственной дисперсией. Такие среды были известны ещё во второй половине XIX века. Они получили название оптически активных сред, так как проявляли свои свойства в оптическом диапазоне частот.
Явление пространственной дисперсии в СВЧ радиодиапазоне привлекло внимание исследователей сравнительно недавно, в связи с развитием вычислительной техники. Моделирование электродинамических процессов в такой среде в большинстве практически важных случаев требует применения численных алгоритмов.
Если пространственная дисперсия слаба, можно воспользоваться моделью гиротропной среды. Как правило, эта модель применима к средам с естественной пространственной дисперсией, например таким, как плазма3. В 60-е годы XX века был создан математический аппарат, позволяющий моделировать процессы взаимодействия таких сред с электромагнитным полем в волноведущих системах4.
С конца 80-х годов XX века начали активно исследоваться электродинамические свойства искусственных сред с пространственной дисперсией — так называемых киральных сред5. Такие среды представляют собой композитный материал, состоящий из микроскопических ориентированных определённым образом металлических спиралек или частиц в виде буквы Q, залитых в диэлектрическую основу.
При небольшом числе «киральных микроэлементов» их влияние можно учесть непосредственно, вводя в уравнениях Максвелла наведённые токи. Если же их количество достаточно велико, то такой подход нецелесообразен, так как приведёт к накоплению больших погрешностей в численных алгоритмах. В этом случае удобно рассматривать такую среду как однородную изотропную среду с пространственной дисперсией.
Уже создано достаточно большое число различных электродинамиче-
lLindell I.V., Sihvola А.Н., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Electromagnetic Waves in Chiral and Bi-isotropic Media. - London: Artech House, 1994.
^Третьяков С.А. Электродинамика сложных сред: киральные, биизотропные и некоторые бианизотроп-ные материалы (обзор) // Радиотехника и электроника, 1994. - Т.39. - №10. - С.1457-1470.
^Свешников А.Г., Моденов В.П. Распространение волны Нц в круглом волноводе, заполненном гиротропной плазмой на конечном участке его длины // Радиотехника и Электроника, 1963. - Т.8. - №12. -С.1998-2005.
4Свешников А.Г., Моденов В.П. Распространение электромагнитных волн в волноводах с локальным гиротропным заполнением // Выч. методы и программирование, 1965. - вып III. - С.50-58.
5Каценеленбаум Б.З., Коршунова Е.Н., Сивое А.Н., Шатров А.Д. Киральные электродинамические объекты // Успехи физических наук, 1997. - Т.167. - №2. - С.8-13.
ских моделей подобных сред. Их общим свойством является то, что индукции электрического и магнитного полей зависят сразу от обеих напряжён-ностей. Однако, в настоящее время в макроскопической электродинамике отсутствует единая форма записи материальных уравнений такой среды.
Таким образом, возникает необходимость создания универсального аппарата, который позволил бы проводить моделирование процессов взаимодействия электромагнитного поля с такими средами и при этом включал в себя только самые общие их свойства. Модель биизотропной среды удовлетворяет этим требованиям.
Интерес к средам такого типа вызван, в первую очередь, перспективой создания на их основе новых электротехнических устройств СВЧ диапазона и улучшения характеристик существующих устройств. В частности, решение задачи дифракции электромагнитных волн на киральных телах различной формы может сделать возможным использование этих сред для создания радиомаскирующих покрытий.
Подобные нелокальные среды также могут найти применение в радиолокации и вычислительной технике. В связи с этим, актуальными являются исследования волноводных свойств таких сред. Ряд волноведущих систем может быть исследован аналитически, например с использованием метода диадных функций Грина6. Однако в общем случае требуется применение численных алгоритмов7.
Целью настоящей работы является:
Постановка волноводной краевой задачи для системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями биизотропной среды.
Разработка и математическое обоснование универсальных численных алгоритмов решения поставленной краевой задачи.
Реализация алгоритмов в виде программ для ЭВМ.
Применение разработанных алгоритмов для исследования волновод-но-резонансных свойств биизотропной среды.
Научная новизна работы определяется тем, что
1. Впервые математически поставлена и решена краевая задача для системы уравнений Максвелла в цилиндрической области с идеально проводящей поверхностью и с материальными уравнениями биизотропной среды, позволившая выполнить моделирование волноводно-резонансных свойств этой среды.
6Таі СТ. Dyadic Green's Functions in Electromagnetic Theory. - IEEE Press, Piscataway, New Jersey, The 2nd edition, 1994.
7Modenov V.P. Waveguide filled with chyral medium calculation // Proc VHI-th International Conference on microwaves (MIKON-2000), 2000. - May 22-24. - Poland - Warsaw. - P.51-53.
Впервые для моделирования волноводного распространения электромагнитных колебаний в цилиндрических волноводах с частичным биизотропным заполнением разработан и применён численный алгоритм, основанный на методе Галёркина.
Впервые вычислены постоянные распространения электромагнитных волн в прямоугольном волноводе с частичным биизотропным заполнением и посчитана матрица рассеяния электромагнитных волн на локальном биизотропном включении.
Получены новые результаты, характеризующие волноводно-резонанс-ные свойства киральной среды.
Практическая ценность работы. Созданы электродинамические модели процессов распространения электромагнитных волн в регулярных вол-новедущих системах с частичным по сечению биизотропным заполнением и рассеяния волн на локальном биизотропном включении. На их основе создан комплекс высокопроизводительных программ.
Рассматриваемые в работе алгоритмы реализованы в виде модуля, подключаемого к системе математического моделирования Science Lab8. В составе этой системы они могут быть применены для расчёта сверхвысокочастотных электродинамических систем и узлов на базе биизотропных и, в частности, киральных материалов.
Основные положения, выносимые на защиту:
математическая модель цилиндрического волновода с частичным биизотропным заполнением, основанная на постановке и решении краевой задачи для системы уравнений Максвелла в рассматриваемой области с материальными уравнениями биизотропной среды;
численный алгоритм нахождения собственных значений оператора поставленной краевой задачи с использованием двух схем метода Галёркина;
применение предложенного алгоритма для расчёта постоянных распространения прямоугольного волновода с частичным по сечению биизотропным заполнением;
численный алгоритм решения рассматриваемой краевой задачи, основанный на неполном методе Галёркина;
применение предложенного алгоритма для расчёта коэффициентов отражения и прохождения при дифракции нормальной волны на локальном биизотропном включении в прямоугольном волноводе;
математическое обоснование предложенных численных алгоритмов;
3INRIA, the French National Institute for Research in Computer Science and Control
реализация рассматриваемых численных алгоритмов в виде комплекса ЭВМ-программ;
применение программ для исследования процессов распространения электромагнитных волн в прямоугольном волноводе с диэлектрическими и киральными включениями.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на
XII Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению волн (Москва, РосНОУ, 2001),
X школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот» МНТОРЭС им. А.С. Попова (Фрязино, 2002),
II Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2003),
III Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Волгоград, 2004),
Международной конференции студентов и аспирантов «Ломоносов 2004» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004).
По материалам диссертации опубликовано восемь печатных работ [1]-
[8].
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Объём диссертации составляет 102 страницы основного текста, включая 41 иллюстрацию и 5 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 102 библиографические ссылки.
Построение численного алгоритма с разложением по продольным компонентам
В последнее время среди специалистов в области электродинамики возрос интерес к исследованию так называемых биизотропных сред [I]. Эти среды являются обобщением для широкого класса сред и включают в себя диэлектрики, магнетики, изотропные киральные среды, среду Теллегана [77] и др. [22, 23] Такое обобщение даёт возможность создания на примере биизотропных сред универсальных математических моделей и численных алгоритмов их исследования.
Понятие биизотропной среды возникло при моделировании электродинамических свойств (в основном) сред с пространственной дисперсией. Такие среды были известны ещё во второй половине XIX века. Они получили название оптически активных сред, так как проявляли свои свойства в оптическом диапазоне частот.
В диспергирующей среде значение индукции D(t,r) определяется значениями напряжённости электрического поля E(t ,r) в той же точке пространства г в тот же, а также во все предшествующие моменты времени i t. В случае пространственной дисперсии, значение индукции определяется также значениями напряжённости в некоторой окрестности точки г [85]:
Ядро интегрального оператора / существенно убывает уже на достаточно малых расстояних \г — г \ по сравнению с размерами рассматриваемых электродинамических систем, однако много больших «физически бесконечно малого объёма», по которому усредняются макроскопические поля.
Если представить поле в такой среде как суперпозицию плоских волн, зависимость которых от rut даётся множителем е -ш()і то для каждой такой волны зависимость индукции от напряжённости поля будет иметь вид:
Заметим, что даже в изотропной среде цс не скаляр, а тензор [25]. Явление пространственной дисперсии в СВЧ радиодиапазоне привлекло внимание исследователей сравнительно недавно, в связи с развитием вычислительной техники. Моделирование электродинамических процессов в такой среде в большинстве практически важных случаев требует применения численных алгоритмов.
Если пространственная дисперсия слаба, можно воспользоваться моделью гиро-тропной среды. Как правило, эта модель применима к средам с естественной пространственной дисперсией, например таким, как плазма [4, 5]. В 60-е годы XX века был создан математический аппарат, позволяющий моделировать процессы взаимодействия таких сред с электромагнитным полем в волноведущих системах [2, 3, 9].
С конца 80-х годов XX века [60] начали активно исследоваться электродинамические свойства искусственных сред с пространственной дисперсией — так называемых киральных сред. Такие среды представляют собой композитный материал, состоящий из микроскопических ориентированных определённым образом металлических спиралек [25] или частиц в виде буквы 2 [S3], залитых в диэлектрическую основу.
При небольшом числе «киральных микроэлементов их влияние можно учесть непосредственно [58], вводя в уравнениях Максвелла возникающие наведённые токи. Если же их количество достаточно велико, то такой подход нецелесообразен, так как приведёт к накоплению больших погрешностей в численных алгоритмах. В этом случае удобно рассматривать такую среду как однородную изотропную среду с пространственной дисперсией. Уже создано достаточно большое число различных электродинамических моделей подобных сред ]39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54]. Их общим свойством является то, что индукции электрического и магнитного полей зависят сразу от обеих напряжённостей [83]. Разработан ряд методов как теоретического, так и экспериментального определения их макроскопических параметров [61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68]. Однако, в настоящее время в макроскопической электродинамике отсутствует единая форма записи материальных уравнений такой среды.
Таким образом, возникает необходимость создания универсального аппарата, который позволил бы проводить моделирование процессов взаимодействия электромагнитного поля с такими средами и при этом включал в себя только самые общие их свойства. Модель биизотропной среды [24] удовлетворяет этим требованиям.
Интерес к средам такого типа вызван, в первую очередь, перспективой создания на их основе новых электротехнических устройств СВЧ диапазона и улучшения характеристик существующих устройств. В частности, решение задачи дифракции электромагнитных волн на киральных телах различной формы, например [59], может сделать возможным использование этих сред для создания радиомаскирующих покрытий.
Подобные нелокальные среды также могут найти применение в радиолокации и вычислительной технике [38]. В связи с этим, актуальными являются исследования волноводных свойств таких сред [20, 21, 31, 32, 35, 36, 37]. Ряд волноведущих систем может быть исследован аналитически [34], например с использованием метода диадных функций Грина [29, 30, 55, 56, 57, 26, 27, 28]. Однако в в общем случае требуется применение численных алгоритмов [7, 10, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76].
Реализация численного алгоритма для прямоугольного волновода
Система уравнений Максвелла (1.1) с граничным услонием I рода (1.2) решается в бесконечной цилиндрической области постоянного сечения (рис. 1.1). На границе биизотропной вставки выполняются условия сопряжения (1.3) для тангенциальных компонент напряжённостей электрического и магнитного полей.
Комплексные материальные уравнения биизотропной среды представлены в виде (1.4). На комплексные коэффициенты оу, следуя [1, 22, 23, 24], накладываются дополнительные условия (1.5), (1.6). Рассматриваемая волноведущая система регулярна, следовательно, выполняется (1.11).
Во втором параграфе рассматривается схема метода Галёркина для решения поставленной задачи с разложением по продольным компонентам нормальных волн пустого волновода.
Выражение поперечных компонент полей через продольные для биизотропной среды имеет вид (1.13). С учётом этого, система уравнений Максвелла для продольных компонент поля в биизотропной среде может быть записана как (1.22). Особенностью здесь является то, что коэффициенты при частных производных представляют собой рациональные функции Г.
Приближённое решение ищется в виде конечных сумм (1.23 ). На приближённое решение накладывается требование выполнения условий сопряжения (1.3) на границе биизотропной вставки в интегральном (энергетическом) смысле. С учётом этого, получаем систему интегральных соотношений (1.29 ).
Система (1.29 ) представляет собой СЛАУ (1.29" ) с полиномиальной матрицей шестого порядка относительно Г [90]. Матричные элементы были вычислены в явном виде для прямоугольного и круглого волноводов. Алгоритм нахождения постоянных распространения в прямоугольном волноводе с частичным по сечению биизотропным заполнением реализован в виде программы для ЭВМ.
В третьем параграфе рассматривается схема метода Галёркина для решения поставленной задачи с разложением по поперечным компонентам нормальных волн пустого волновода.
Выражение продольных компонент полей через поперечные для биизотропной среды имеет вид (1.47). Система уравнений Максвелла для поперечных компонент поля в биизотропной среде может быть записана как (1.48).
Приближённое решение системы (1.48) ищется в виде конечных разложений (1.49 ). Оно должно удовлетворять интегральным соотношениям (1.62 ). Показано, что приближённое решение, полученное с помощью рассматриваемого алгоритма, удовлетворяет тому же энергетическому соотношению, что и точное решение задачи.
Таким образом, задача нахождения собственных значений системы (1.48) сводится к проблеме собственных значений числовой комплекснозначной матрицы. Матричные элементы были выражены в явном виде для прямоугольного волновода с частичным по сечению биизотропным заполнением. Алгоритм реализован на языке FORTRAN в виде подключаемого модуля к системе математического моделирования Science Lab.
Вторая глава диссертации посвящена решению задачи дифракции электромагнитной волны на локальном биизотропном включении в цилиндрическом волноводе. В первом параграфе формулируется математическая постановка задачи.
Система уравнений Максвелла (2.1) с граничным условием I рода (2.2) решается в бесконечной цилиндрической области постоянного сечения (рис. 2.1). На границе биизотропного включения выполняются условия сопряжения (2.3). Комплексные материальные уравнения биизотропной среды имеют вид (2.4) и удовлетворяют условиям (2.5), (2.6). Кроме граничных условий на стенке волновода, должны выполняться также условия возбуждения и излучения на бесконечности (2.12), (2.13).
Второй параграф посвящен решению задачи дифракции электромагнитной волны в цилиндрическом волноводе с биизотропным заполнением на конечном участке его длины. При этом поперечное сечение вставки 5] не зависит от г. Алгоритм решения задачи реализован в виде программы для ЭВМ и использует методы, разработанные в первой главе. Также, в этом параграфе рассматриваются некоторые особенности численного алгоритма.
В третьем параграфе формулируется обший вид неполного метода Галёркина для исследования распространения электромагнитных колебаний в цилиндрическом волноводе с идеально проводящей боковой поверхностью S и с частичным по сечению биизотропным заполнением между поперечными сечениями z = 0 и z = d. Проводится исследование свойств приближённого решения и обоснование сходимости алгоритма.
Наиболее удобно для решения поставленной задачи воспользоваться разложением векторов напряжённости электрического и магнитного полей на продольные и поперечные компоненты и выразить продольные через поперечные (2.9). В нерегулярной цилиндрической волноведущей системе система уравнений Максвелла для поперечных компонент имеет вид (2.10).
Точное решение задачи представимо в виде ряда с разложением по поперечным компонентам нормальных волн пустого волновода (2.20). Из уравнений (2.10) следует, что точное решение задачи (2.20) при любом z должно удовлетворять интегральным соотношениям (2.25). Эту задачу назовём задачей А.
Приближённое решение будем искать в виде конечных разложений (2.20 ). Коэффициенты разложения определяются из системы уравнений, которую получим, потребовав, чтобы при любом z удовлетворялись интегральные соотношения (2.25 ). Система (2.25 ) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений (2.25") с граничными условиями (2.26й), (2.27").
Схема построения алгоритма численного решения
Задачу определения поля i.E N\H \ из решения краевой задачи (2.25"), (2.26"), (2.27") и (2.9) будем называть задачей В.
Показано, что для задачи В справедливо соотношение (2.33), которое является основным для определения свойтств её решения. На основании этих свойств проводится доказательство теоремы о сходимости в среднем решения задачи В к решению задачи А при N — оо. Сходимость алгоритмов для решения задачи на собственные значения и задачи дифракции для случая не зависящего от z сечения биизотропной вставки является следствием этой теоремы.
В третьей главе приводятся результаты тестирования алгоритмов и анализа их внутренней сходимости, проводится исследование волноводно-резонансных свойств киральной среды. В первом параграфе с помощью разработанных алгоритмов вычисляются постоянные распространения пустого волновода. Результаты сравниваются с полученными по аналитическим формулам [84, 81, 82].
Во втором параграфе проводится методическое исследование постоянных распространения волновода с частичным по сечению диэлектрическим заполнением. Для полностью заполненного волновода вычисленные значения сравниваются с полученными по аналитическим формулам. В случае частичного заполнения результаты счёта сравниваются с приближёнными значениями постоянных распространения, полученными как решения трансцендентных дисперсионных соотношений. Для отыскания комплексных корней трансцендентных уравнений используется бинарный итерационный корректор-процесс [78]. Демонстрируются трансформация мод при частичном заполнении, снятие вырождения собственных значений и диэлектрический эффект в прямоугольном волноводе [79],
В третьем параграфе рассматриваются постоянные распространения плоского волновода с частичным киральным заполнением. В расчётах использовалась модель киральной среды (3.3). Проводится сравнение результатов счёта с имеющимися в литературе. Кроме того, разработанные в первой главе алгоритмы сравниваются между собой.
Четвёртый параграф посвящен исследованию постоянных распространения прямоугольного волновода с частичным по сечению киральным заполнением. Используется модель киральной среды (3.3). Получены интересные физические результаты.
С ростом кирального адмитанса действительная часть постоянной распространения первой невырожденной моды стандартного волновода растёт, мнимая же, напротив, уменьшается, что соответствует уменьшению диссипации в такой среде по сравнению с соответствующим диэлектриком. Однако это происходит только при размерах вставки, близких к размерам волновода. Также было показано, что диэлектрический эффект проявляется и в киральной среде, причём с введением киральности он усиливается.
Интересным также оказывается поведение второй и третьей моды. В пустом волноводе и при диэлектрическом заполнении они являются невырожденными. Однако, при некотором значении толщины вставки, их постоянные распространения оказываются равны. Введение киральности снимает это вырождение, и при некотором рассматриваемые нормальные волны перестают взаимно трансформироваться.
Рассматривается поведение постоянных распространения четвёртой и пятой мод. При полном диэлектрическом заполнении они равны. Введение киральности снимает это вырождение. Более старшие (запредельные) моды с увеличением параметра киральности становятся распространяющимися.
Пятый параграф посвящен исследованию процесса дифракции волны НЦу на киральной вставке в прямоугольном волноводе. Используется модель киральной среды (3.3). Получена зависимость коэффициентов отражения и прохождения от размеров вставки и от частоты при различных значениях кирального адмитанса.
Прямоугольный волновод с диэлектрическим заполнением
Решение системы (1.29) является точным и удовлетворяет закону сохранения энергии. Однако приближённое решение, получаемое при конечном числе членов в разложении (1.23), вовсе не обязательно будет удовлетворять основному энергетическому тождеству. Попытаемся модифицировать систему (1.29) так, чтобы для приближённого решения это тождество выполнялось так же, как и для точного. Существует несколько вариантов записи основного энергетического соотношения для случая комплексных амплитуд электромагнитного поля. Поэтому, покажем, что именно мы будем понимать под этим термином. Возьмём уравнение, комплексно сопряжённое первому из системы (1.1) и домножим его на Е скалярно. Второе уравнение системы (1.1) домножим, соответственно, на Н и вычтем их друг из друга. Согласно известному соотношению, Левая часть (1.30) преобразуется обычно с помощью теоремы Остроградского-Гаусса к поверхностному интегралу от вектора Умова-Пойтинга. Однако, в пашем случае, не все условия теоремы выполнены, так как поле не является вообще говоря непрерывным и испытывает скачок на границе биизотропной вставки, Рассмотрим общий случай, представленный на рисунке 1,2.
Введём для В силу условий сопряжения на границе би изотропной вставки (1.3), второй интеграл в правой части (1.33) для точного решения будет равен нулю. Для приближённого же решения, он может быть не равен нулю, и тогда будет служить источником паразитных оттоков или притоков энергии в систему. Преобразуем его по следующему правилу: Коэффициенты Ц, входящие в подынтегральные выражения (1.29 ), не являются вообще говоря константами в области D, потому что не являются константами входящие в них коэффициенты аи, aV2, а } и а - Они являются константами в областях D] и Д , но на границе этих областей испытывают скачок. Поэтому преобразуем первые четыре слагаемых в левой части (1.29 ) следующим образом: Индексы т и п по сути представляют собой мультииндексы, которые пробегают значення от I до N. Каждому такому числу поставлен в соответствие вектор из двух чисел, [т775,ш ] или [пі,Пз]. Множество таких пар можно формировать как вручную, так и автоматически, и удобнее всего представить как матрицу размера N х 2: Наличие полиномиальной матрицы высокого порядка сильно затрудняет отыскание собственных векторов и собственных значений задачи. В настоящее время теория таких матриц находится на стадии развития, поэтому создание подобного алгоритма есть сама по себе нетривиальная задача. Кроме того, степень определителя в три раза превышает число собственных значений задачи, что приводит к их многократному вырождению.
При этом, наличие ненулевой правой части в (1.29") из вырожденных делает их близкими к вырождению, то есть приводит к «разделению» каждой постоянной распространения и соответствующего ей собственного вектора. Можно построить упрощённую схему, если не накладывать на приближённое ре шение требования точного удовлетворения условию сопряжения на границе биизо-тропной вставки (1.3) в интегральном смысле. Представим для удобства систему (1.22) в виде: Таким образом, мы свели задачу к проблеме собственных значений для числовой матрицы. Однако, эта схема не позволяет использовать поправки в правой части аналогично (1.29 ), и следовательно, приближённое решение, полученное с её помощью, не будет вообще говоря точно удовлетворять основному энергетическому тождеству (1.30), Кроме частного случая полного заполнения волновода биизотропной средой, когда рассматриваемая схема является наиболее эффективной. С другой стороны, эта схема очень удобна для физического исследования, так как не приводит к появлению «лишних» постоянных распространения и собственных волн, связанных с погрешностями численных алгоритмов. Также, к её достоинствам можно отнести относительную лёгкость вычисления матричных элементов и, что наиболее важно, возможность использования простого алгоритма нахождения собственных значений и векторов. Следуя основной идее [78], можно, при необходимости, уточнять найденные с помощью этой схемы постоянные распространения по схеме (1.29" ), например, используя метод Ньютона. Собственные волны также могут быть уточнены. Собственные числа матрицы системы (1.29" ) определяются с некоторой погрешностью, поэтому её определитель, вообще говоря, не будет точно равен нулю. Следовательно, система (1.29 ") просто не будет иметь нетривиального решения. Однако, поскольку матрица системы всё же окажется близка к вырождению, будет существовать вектор, «почти» обнуляющий её правую часть. Поэтому, для уточнения каждого собственного вектора, полученного по схеме (1.43 ), необходимо решить задачу
