Введение к работе
Актуальность темы. На фоне стремительного развития микро- и на-ноэлектроники и уменьшения размеров полупроводниковых устройств появляется множество новых математических моделей, описывающих с той или иной степенью достоверности физические явления, протекающие в этих устройствах. В процессе поиска приближённых решений задач физики полупроводников возникает проблема построения численных алгоритмов для указанных моделей. Актуальность конструирования подобных алгоритмов не вызывает сомнений, поскольку на сегодняшний день полупроводниковые устройства являются неотъемлемой частью многих электронных приборов. От характеристик этих устройств существенно зависит мощность и надёжность современных вычислительных машин. Рассчитать все характеристики полупроводника с необходимой точностью - и есть задача математического моделирования.
Моделирование процесса переноса зарядов в полупроводниках субмикронного размера основывается на кинетическом уравнении Болыгма-на для функции распределения носителей зарядов. Однако прямое численное интегрирование этого уравнения с помощью метода Монте-Карло требует существенных вычислительных затрат и в некоторых случаях (например, если концентрация носителей заряда в отдельных областях полупроводникового устройства мала) не позволяет получить точный результат. Разумный компромисс между физической точностью и вычислительной эффективностью может быть достигнут посредством выделения моментов уравнения Больцмана. Простейшей моделью переноса заряда, полученной подобным методом, является дрейф-диффузионная модель Schockley и van Roosbroeck'a1, которая впоследствии модифицировалась, дополнялась и усложнялась многими исследователями. Она состоит из уравнений неразрывности для концентраций носителей зарядов (электронов и дырок) и уравнения Пуассона для электрического потенциала. Однако уменьшение размеров полупроводниковых устройств требует расширения общепринятой дрейф-диффузионной модели, с целью учёта энергии носителей зарядов. Эта цель достигается в гидродинамических моделях. Одна из первых гидродинамических моделей представлена в работе Blotekjaer'a2 и содержит законы сохранения для числа частиц, импульса и энергии носителей зарядов, а также уравнение Пуассона для электрического потенциала.
В диссертации рассматривается недавно предложенная гидродинамическая МЕР модель3. Эта модель представляет собой квазилинейную систему
^-Roosbroek W. van. Theory of flow of electrons and holes in germanium and other semiconductors // Bell System Techn.J. 1950. Vol. 29. P. 560-607.
2Blotekjaer K. Transport equations for electrons in two-valley semiconductors // IEEE Trans. Electron Devices. 1970. Vol. ED-17. P. 38-47.
3См. работу: Anile A. M., Romano V. Non parabolic band transport in semiconductors: closure of the moment equations // Cont. Mech. Thermodyn. 1999. Vol. 11. P. 307—325.
уравнений, записанных в форме законов сохранения, полученных из системы моментных соотношений для уравнения Больцмана с помощью так называемого принципа максимума энтропии (или МЕР от Maximum Entropy Principle).
Как мы видим, математические модели полупроводниковых устройств эволюционируют и усложняются. Большинство из них содержат нелинейные уравнения в частных производных. Таким образом, помимо проблемы конструирования вычислительных алгоритмов, остро встаёт вопрос об их обосновании. Разрешить этот вопрос можно лишь в ходе детального анализа соотношения между исходной математической моделью явления и её разностным аналогом. В связи с этим, используя принципы монографии4, при конструировании и исследовании вычислительных моделей в диссертации мы отталкивались от требования адекватности вычислительной модели исходной дифференциальной задаче. Под адекватностью понимаем следующее: разностная модель строится так, чтобы с её помощью можно было доказать теорему существования решения исходной задачи. Подобные доказательства опираются на наличие разностных аналогов априорных оценок, которые удалось получить для уравнений МЕР модели в некоторых случаях (при дополнительных предположениях). Последнее обстоятельство представляется чрезвычайно важным фактом, поскольку благодаря наличию указанных оценок при проведении вычислений мы можем быть уверены в том, что приближённое решение действительно удовлетворяет свойствам исходной задачи.
Другим актуальным вопросом, возникающим при построении вычислительных моделей, является вопрос о том, как воспользоваться априорной информацией о поведении разыскиваемого решения и его аналитическими особенностями, чтобы минимизировать временные затраты при расчётах. Данная проблема является особенно существенной при поиске приближённых решений уравнений МЕР модели, поскольку они содержат малые параметры и, хотя решение формально бесконечно дифференцируемо, производные его растут столь стремительно, что затруднительно определить, какой порядок аппроксимации нужно выбрать при использовании разностных схем.
Чтобы преодолеть указанные трудности, желательно организовать дискретизацию таким образом, чтобы происходила автоматическая адаптация позиций узлов сетки к свойствам решения, погрешность аппроксимации была минимальной, а алгоритм, её использующий, давал высокую точность при небольшом количестве узлов. Подобные требования легли в основу вычислительного алгоритма, предложенного для поиска решений уравнений МЕР модели в гл. 1 диссертации. Вслед за автором описанной идеи, К.И. Бабенко будем именовать схемы, автоматически учитывающие априорные
4 Блохин А. М., Алаев Р. Д. Интегралы энергии и их приложения к исследованию устойчивости разностных схем. Новосибирск, 1993.
свойства решения, схемами без насыщения или ненасыщаемыми схемами. В работе К.И. Бабенко5 предложен весьма изящный способ построения вычислительных схем без насыщения, использующий для приближения неизвестных функций интерполяционный многочлен с узлами интерполяции в нулях полинома Чебышева. В диссертации мы воспользовались этим способом в совокупности со сплайн-коллокациями.
Основываясь на идеях схем без насыщения и принципе адекватности в диссертации предложена эффективная и удобная технология построения вычислительных моделей для поиска решений ID и 2D нестационарных смешанных краевых задач. В Приложениях III и IV данная технология успешно применена при поиске численных решений задач, связанных с аэростроением и добычей нефти, а именно при исследовании вопроса об устойчивости ударных волн в сжимаемом вязком газе и при изучении явления параметрического резонанса в слоистых газосо-держащих структурах. Таким образом, построенная технология открывает широкие возможности для поиска приближённых решений различных актуальных прикладных задач.
Цели работы:
Конструирование и обоснование вычислительных моделей для поиска стационарных решений уравнений гидродинамической МЕР модели в ID и 2D случаях.
Создание на базе построенных моделей работоспособных алгоритмов и их реализация на ЭВМ.
Апробация предложенной технологии конструирования вычислительных моделей при поиске решений прикладных задач (в том числе проблем, не имеющих отношения к физике полупроводников).
Объектами исследования являются:
гидродинамическая МЕР модель, описывающая процесс переноса заряда в полупроводниковых приборах;
задачи о баллистическом диоде и о переносе заряда в транзисторе MOSFET, поставленные в главах работы для уравнений МЕР модели;
дифференциально-разностные модели и вычислительные методы, использованные для поиска решений указанных задач.
Основные результаты, выносимые на защиту:
1. Разработаны и теоретически обоснованы два новых подхода для поиска стационарных численных решений уравнений гидродинамической МЕР модели:
первый подход является оригинальным сочетанием набора регуляризации, идей схем без насыщения, сплайн-интерполяций и метода установления;
второй подход представляет новый способ конструирования и исследования устойчивых разностных схем для нелинейных задач.
5 Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.
Предложенные подходы в совокупности с рядом других методов использованы при создании вычислительных алгоритмов для поиска стационарных решений задачи о баллистическом диоде. Проведено сравнение эффективности и быстродействия построенных алгоритмов при различных значениях параметров задачи.
При использовании технологии подхода 1 разработан вычислительный алгоритм для поиска стационарных решений задачи о переносе заряда в транзисторе MOSFET.
Все алгоритмы, описанные в работе, реализованы на ЭВМ, проведены численные эксперименты, результаты которых представлены в диссертации.
Научная новизна работы. Методы исследования. Автор видит новизну полученных результатов в следующем.
Во-первых, в диссертации предложено два новых подхода для поиска стационарных численных решений уравнений МЕР модели. Структура и методы указанных подходов отражены на рис. 1.
Регуляризованная нестационарная система
^ J^ Метод прямых
Симметрическая по Фридрихсу система
Дискретизация -J_ J^
Система ОДУ второго порядка
Класс "устс,йЧИБых" разностных схем
Интерполяция сплайнами
Преобразования
U
Трёхточечная разностная схема
Трёхточечная матричная схема
J L Метод прогонки
j матричной прогонки | _
Решение регуляризованны
уравнений на каждом
временном слое
гх:
Метод установления
Решение на каждом временном слое
Стационарные решения
Рис. 1. Два подхода для поиска стационарных решений уравнений МЕР модели
Во-вторых, для поиска стационарных решений задачи о баллистическом диоде разработано несколько новых алгоритмов. Эти алгоритмы используют методы предложенных подходов, интегральные уравнения, схему предиктор-корректор, метод ортогональной прогонки и преобразования уравнений МЕР модели в случае, когда диэлектрическая постоянная полупроводника равна нулю.
В-третьих, на базе идей первого подхода создана оригинальная технология конструирования вычислительных моделей для поиска решений ID и 2D нестационарных смешанных краевых задач. В основу технологии положена следующая схема:
В ID случае: аппроксимация производной неизвестной функции по времени разностным отношением —> сведение задачи к поиску решения ОДУ второго порядка с краевыми условиями —> использование сплайн-функций для интерполяции решения полученного ОДУ —> сведение задачи к трёхто-чечной схеме с граничными соотношениями —> поиск решения на каждом шаге по времени методом прогонки.
В 2D случае: аппроксимация производной неизвестной функции по времени разностным отношением, а производной по одному из пространственных направлений - интерполяционным многочленом с узлами интерполяции в нулях полинома Чебышева —> сведение проблемы к краевой задаче для системы ОДУ второго порядка —> поиск решения полученной системы в виде интерполяционного кубического сплайна класса С2 —> вывод трёхточечных матричных соотношений с граничными условиями —> поиск решения на каждом временном слое методом матричной прогонки.
Обоснованность и достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач, наличием априорных оценок на нормы решения задач и адекватностью построенных вычислительных моделей дифференциальным задачам. Важно отметить, что полученные результаты являются физически правдоподобными, а графики численных решений, построенные при использовании различных методов для одной задачи, являются схожими. Это ещё одно косвенное подтверждение того, что приближённые решения найдены верно.
Теоретическая и практическая значимость.
Разработанные вычислительные алгоритмы и реализующие их комплексы программ могут быть использованы для моделирования процесса переноса заряда в полупроводниках и будут полезны при конструировании реальных устройств.
Предложенные подходы позволяют разрешить ряд существенных вычислительных сложностей (связанных с наличием малых параметров, больших градиентов, нелинейностью задачи и пр.) и получить точное решение с минимальными временными затратами.
Технология конструирования вычислительных моделей, предложенная в работе, является эффективным и удобным средством поиска численных решений широкого спектра прикладных задач.
Техника, использованная в диссертации для вывода априорных оценок и их разностных аналогов, представляет определённый интерес и может быть применена при исследовании различных задач и уравнений в частных производных.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были представ-
лены на: XLVII, XLVIII Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2009, 2010 гг.); в рамках международной школы-семинара «International School and Seminar on Modern Problems of Nanoelectronics, Micro- and Nanosystem Technologies Proceedings "INTERNANO-2009>» (Новосибирск, 2009 г.); международной конференции «International Conference on Computational Technologies In Electrical and Electronics Engineering "Sibircon-2010»> (Иркутск, Листвянка, 2010 г.); на III международном форуме по нанотехнологиям (Москва, 2010 г.). Кроме того, результаты работы докладывались на семинарах: в Ин-те динамики систем и теории управления, г. Иркутск (председатель д-р физ.-мат. наук А.В. Синицын); «Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики» в Ин-те математики СО РАН (рук. проф. A.M. Блохин); «Общеинститутский математический семинар» в Ин-те математики СО РАН в рамках конкурса Сиб. мат. журнала; «Информационно-вычислительные технологии» в ИВТ СО РАН (рук. акад. Ю.И. Шокин, проф. В.М. Ковеня); «Прикладная гидродинамика» в Ин-те гидродинамики СО РАН (рук. чл.-корр. РАН В.В. Пухначёв); «Математическое моделирование и вычислительные методы» в Омском филиале Ин-та математики СО РАН (рук. проф. А.И. Задорин).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, куда входят: 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 2 - в зарубежных журналах, 3 - в трудах международных конференций и семинаров, 2 - в тезисах конференций.
Личный вклад автора. При подготовке работы [1] соискатель занимался конструированием и применением алгоритма для поиска стационарных решений уравнений гидродинамической МЕР модели. Автором разработаны и реализованы на ЭВМ все описанные в [2], [4] вычислительные алгоритмы, выполнена дополнительная модернизация алгоритмов с целью повышения их эффективности и обеспечения сходимости метода установления. Работы [3], [5] выполнены при равном вкладе авторов. Соискателем разработаны все вычислительные схемы работы [6] и написан комплекс программ на их основе.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и четырёх приложений. Объём работы - 184 страницы. В диссертации содержатся 43 рисунка и 9 таблиц. Список литературы состоит из 105 источников.
Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю д-ру физ.-мат. наук, профессору Александру Михайловичу Б лохину за постоянное внимание и помощь в работе, канд. физ.-мат. наук Алесе Сергеевне Ибрагимовой за консультации при реализации алгоритмов и ценные советы в ходе исследований, а также Станиславу Андреевичу Боярскому и Роману Евгеньевичу Семенко за обсуждения и поддержку при выполнении работы.
