Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Введение в теорию дифференциально- тейлоровских преобразований 12
1.1 Прямое и обратное преобразование 12
1.2 Свойства ДТП 15
1.3 Пример расчета электрической схемы 24
1.4 Параметрический синтез с помощью обратного преобразования 30
1.5 Проблемы теории ДТП 32
1.6 Выводы 37
Глава 2 Критерии оценки точности решения и интервала ограничения 38
2.1 Влияние количества и точности расчета дискрет на точность полученного решения 38
2.2 Критерии оценки точности решения 48
2.2.1 Грубая оценка точности решения 49
2.2.2 Относительная оценка точности решения 52
2.3 Критерии оценки интервала ограничения 57
2.3.1 Оценка интервала ограничения для линейных устройств 57
2.3.2 Влияние нелинейностей на интервал ограничения и дифференциальный спектр 59
2.3.3 Оценка интервала ограничения на основе признака Даламбера 68
2.3.4 Определение интервала ограничения по дифференциальному спектру 72
2.3.5 Расчет интервала ограничения для устройств с большими нелинейностями 78
2.4 Исследование возможности применения метода припасовывания с использованием выявленных закономерностей 80
2.5 Выводы 83
Глава 3 Дтп в других базисах 85
3.1 Необходимость перехода к другим базисам 85
3.2 Экспоненциально-степенные преобразования 89
3.3 Переход в базис полиномов Лаггера 92
3.4 Переход в базис полиномов Лежандра 94
3.5 Переход к дифференциально-чебышевскому базису 96
3.6 Дифференциально-чебышевские преобразования со смещенными полиномами Чебышёва 99
3.7 Выводы по сокращению количества членов ряда решения 102
3.8 Повышение точности параметрического синтеза 104
3.8.1 Графический расчет дискрет 104
3.8.2 Параметрический синтез нелинейных устройств 107
3.8.3 Способ повышения точности расчета дискрет 111
3.8.4 Решение плохо обусловленных систем уравнений с помощью перехода к чебышевским базисам 114
3.9 Выводы 116
Глава 4 Программный комплекс для решения и параметрического синтеза нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами 117
4.1 Структура программного комплекса 117
4.2 Приложение для комплексного анализа и решения дифференциальных уравнений 121
4.2.1 Органы управления 121
4.2.2 Методика описания системы дифференциальных уравнений 127
4.2.3 Алгоритм построения решения дифференциальных уравнений... 130
4.2.4 Сравнение с методом Рунге-Кутта четвертого порядка 132
4.3 Приложение для высокоточного расчета дискрет по известному решению 139
4.4 Выводы 146
Заключение 148
Литература 150
Приложения 158
- Параметрический синтез с помощью обратного преобразования
- Влияние нелинейностей на интервал ограничения и дифференциальный спектр
- Дифференциально-чебышевские преобразования со смещенными полиномами Чебышёва
- Приложение для комплексного анализа и решения дифференциальных уравнений
Введение к работе
Актуальность работы. Исследование возможностей практического применения теории дифференциально-тейлоровских преобразований для расчета временных характеристик в нелинейных электрических цепях и цепях с переменными параметрами, параметрического синтеза нелинейных электрических цепей и цепей с переменными параметрами, а также развитие теории дифференциально-тейлоровских преобразований (ДТП) является актуальной задачей. Наличие математического, алгоритмического аппарата и программного обеспечения позволяет решать прикладные задачи в области электротехники, теории управления, механики, аэродинамики и астрофизики более эффективно по сравнению с известными методами.
В середине XIX века появились математические работы, посвященные символическому, или операционному исчислению. Одной из основных целей их была «алгебраизация» дифференциальных уравнений (ДУ), то есть замена исходных ДУ эквивалентными в отношении получаемых результатов алгебраическими. Одними из первых в этой области были работы профессора Киевского университета М.Е. Ващенко-Захарченко [9] и одного из основателей Московского математического общества А.В. Летникова [33].
В начале XX века появились работы О. Хевисайда [79], в которых решались различные задачи электротехники и электросвязи методами, близкими, а иногда и совпадающими с методами, предложенными Ващенко-Захарченко. Теория и различные применения операционного исчисления получили дальнейшее развитие в работах Т. Бромвича [8], A.M. Эфроса и A.M. Данилевского [77], М.Ю.Юрьева [78], А.Н.Крылова [32], А.И.Лурье [34], В.А. Диткина и П.И. Кузнецова [22], М.И. Конторовича [30], Я. Минусинского [37], Г. Деча [21] и др.
Основные понятия современных операционных методов - понятия оригинала х и изображения X. Оригиналами называются исходные функции решаемых задач. Часто это такие физические величины, как электрические токи, напряжения, заряды, механические перемещения, давления, температуры
и т. п. Изображения получаются преобразованием по определенным правилам оригиналов и математических операций над ними. Ващенко-Захарченко и Хевисайд переходили от оригиналов к изображениям заменой производной d/dt
и интеграла Г()dt алгебраическими множителями р и р~', а обратный переход
реализовали с помощью так называемых теорем разложения. Карсон [28] и другие исследователи переходили от оригиналов к изображениям с помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье, а обратный переход производили на основании интеграла Бромвича, применяя теорию вычетов.
Многолетняя практика применения операционных методов, основанных на интегральных преобразованиях, показала их высокую эффективность для исследования систем, состояние которых описывается дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Эффективным оказалось и так называемое комплексное исчисление, основанное на двойном интегральном преобразовании Фурье с конечными пределами [52], для исследования периодических процессов в системах, описываемых дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами и нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако, из работ по применению интегральных операционных методов для изучения непериодических процессов в системах с нелинейными и переменными параметрами видно, что решение возникающих задач практически оказывается возможным лишь в квазилинейной постановке из-за сложности перевода в область интегральных изображений основной нелинейной операции - операции произведения оригиналов. Более широкие возможности исследования нелинейных систем имеют дифференциально-тейлоровские преобразования (ДТ-преобразования), предложенные и в определенной степени изученные в работах Г.Е. Пухова [23,49,50,51].
Основой к созданию теории ДТ-преобразований явились работы чл.-кор. АН УССР П.Ф. Фильчакова по предложенному им методу решения ДУ с помощью степенных рядов Тейлора [71].
Основное отличие дифференциальных преобразований от интегральных
состоит в том, что переход от оригиналов к изображениям производится дифференцированием оригиналов, а не их интегрированием. Суть метода заключается в преобразовании функции оригинала от непрерывного аргумента, например, времени, в функцию изображения от дискретного аргумента, коэффициенты которой именуются дискретами. Построенная система правил и формул в теории ДТП на практике позволяет составлять изображающие уравнения, почти не прибегая к дифференцированию оригиналов. Обратный переход от изображений к оригиналам осуществляется очень просто с помощью ряда Тейлора.
К достоинствам ДТ-преобразований относятся возможности распространения операционных методов исследования состояний физических систем на случаи систем с переменными и нелинейными параметрами. Произведению функций в области оригиналов отвечает в области ДТ-изображений сравнительно простая операция — нахождение суммы конечного числа парных произведений дискрет изображений умножаемых функций. Также достоинством является большая гибкость соответствующих ДТ-моделей, так как часто одна и та же модель может служить основой численного решения задачи, ее аналитического и численно-аналитического решений.
В трудах Г.Е. Пухова изложено операционное исчисление, основанное на дифференциальных Т-преобразованиях, и показано его применение для анализа переходных и установившихся процессов в электрофизических, теплофизических и механических системах. Кроме того, рассматриваются экспериментальные методы получения математических моделей упомянутых физических систем. Изложенное иллюстрируется большим количеством простых примеров.
Но ДТ-преобразования не получили широкого распространения при всех своих достоинствах. Одной из причин является недостаточно разработанная методика применения теории ДТП, из-за чего требуемая вычислительная работа почти всегда превышает работу, выполняемую с помощью других методов. Не исследованными остаются вопросы оценки погрешности решения,
а также предварительной оценки интервала восстановления и количество членов степенного ряда при заданной точности. Степенной ряд, в виде которого восстанавливается решение, в общем случае имеет относительно малый радиус сходимости. Для нахождения решения на требуемом интервале применяется метод припасовывания: весь интервал разбивается на шаги, для каждого из которых последовательно строится решение. Величина каждого шага будет определяться количеством учитываемых членов степенного ряда и заданной точностью расчетов. Предложенный Л.П. Гавриловым численный метод решения ДУ методом степенных рядов, основанный на кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик, не всегда оказывается более эффективным по сравнению с известным методом Рунге-Кутты четвертого порядка, так как требует множества дополнительных вычислений.
Цель работы - определить область применимости дифференциальных преобразований при параметрическом синтезе и расчете временных характеристик нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами, а также разработать методологию использования дифференциальных преобразований на практике.
Объект исследования - временные характеристики нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами.
В соответствии с целью работы сформулированы задачи исследований:
исследование точности решения в зависимости от количества дискрет при восстановлении результата и интервала, на котором строится решение дифференциального уравнения;
исследование влияния погрешности вычислений на точность и область сходимости полученного решения;
предварительная оценка области сходимости решения по дифференциальному спектру для линейных, нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами;
получение количественных оценок точности решения;
составление наиболее полной таблицы оригиналов и изображений;
реализация методологии расчета временных характеристик нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами в виде законченного алгоритма и компьютерной программы;
исследование возможностей параметрического синтеза нелинейных устройств высокого порядка.
Таким образом, предметом исследования являются ДУ, описывающие реальные физические устройства, в частности электрические цепи, способы нахождения решения с помощью дифференциальных преобразований и возможность параметрического синтеза.
Достоверность научных выводов и результатов диссертации обеспечивается соответствием с выводами и результатами других авторов, подтверждением расчетов с помощью примеров с известным решением, а также сравнением с другими известными методами.
Методы исследований. Для решения нелинейных ДУ с переменными параметрами используется численное интегрирование методом степенных рядов, а также метод припасовывания. Для задач параметрического синтеза используются методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в частности метод Гаусса, рекуррентный алгоритм предложенный А.А. Светлаковым [57].
Научная новизна работы заключается в следующем:
Аналитическое выражение для предварительной оценки области сходимости степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, в зависимости от количества его членов, по дифференциальному спектру для линейных, нелинейных дифференциальных уравнений (ЛНДУ) и уравнений с переменными параметрами (У 1111);
Методика существенного снижения количества членов степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, с помощью перехода в базисы ортогональных полиномов;
Новый критерий предварительной оценки точности решения по дифференциальному спектру;
4. Комплекс программ и методика проведения численных экспериментов, доказывающих возможность параметрического синтеза ЛНДУ и УПП большого порядка, использование которых позволило получить следующие результаты впервые:
S исследовать и показать возможность численно-аналитического решения методом ДТП интегро-дифференциальных уравнений с нелинейностями общего вида;
S создать алгоритм расчёта временных характеристик устройств с заданной точностью в виде суммы локальных степенных рядов; S дало возможность рассчитать временные характеристики нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами на большом интервале с заданной точностью с помощью теории ДТП;
S исследовать возможность параметрического синтеза ЛНДУ и УПП с помощью ДТП, и показать высокую точность данного подхода. Практическую и теоретическую ценность представляют следующие результаты исследовательской работы.
Показана возможность практического использования теории ДТП с помощью современных вычислительных средств.
Таблица ДТП, дополняющая и исправляющая аналогичную таблицу Г.Е. Пухова.
Построены зависимости области сходимости степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, в зависимости от количества его членов для элементарных функций при заданных значениях среднеквадратичного отклонения графиков (СКО), показана линейная зависимость между областью сходимости решения линейных ДУ и количеством членов ряда;
Комплекс программ для проведения вычислений дискрет прямым и обратным способами с точностью до l(f десятичных знаков, нахождения области сходимости решения и построения других характеристик при решении ДУ методом ДТП.
Алгоритм решения ДУ методом ДТП, имеющий существенный
выигрыш в скорости вычислений (до десяти раз при СКО менее 1(Ґ) при повышенных требованиях к точности решения по сравнению с методом Рунге-Кутта четвертого порядка при прочих равных условиях.
Реализация и внедрение результатов работы.
Созданное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение применяется для дальнейшего исследования и развития теории ДТП, для построения переходных характеристик и параметрического синтеза физических устройств, описьгеаемых ЛНДУ и У1111. Результаты работы внедрены и используются в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН, в ООО Лаборатории медицинской электроники «Биоток», а также в учебно-исследовательской работе студентов специальностей 220500 — «Проектирование и эксплуатация электронно-вычислительных средств» и 075500 - «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем».
Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Исследования возможностей сокращения количества членов ряда, с помощью перехода в другие базисы, проведены совместно с О.В. Стукачом.
По результатам диссертационной работы имеется тринадцать научных публикаций, из них четыре в зарубежных изданиях.
Апробация научных результатов.
Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», Томск, 1997 и 2000 гг.; VII международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», Томск, 2001; DEEE-Российском семинаре по электронным приборам и материалам EDM, Алтай, 2001 и 2003 гг.; международном симпозиуме «PIERS — Прогресс в электромагнитных исследованиях», Япония, 2001; XI международном симпозиуме по теоретической электротехнике, г. Линц, Австрия, 2001; XI
конференции по СВЧ технике COMITE 2001, г. Пардубице, Чехия, 2001; IEEE-Сибирском семинаре по новейшим телекоммуникационным технологиям SIBCOM, Томск, 2001; научных семинарах кафедры комплексной информационной безопасности электронно-вычислительных систем ТУСУР «Системы моделирования, проектирования и управления». Положения, выносимые на защиту:
Методология и аналитические выражения для предварительной оценки интервала сходимости решения и оценки его точности.
Переход ДТП в различные базисы, позволяющий существенно сократить количество членов ряда полученного решения.
Разработанный алгоритм и программное обеспечение, позволяющее рассчитать дискреты дифференциально-тейлоровского спектра с высокой точностью.
Структура диссертации.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав с выводами, заключения и приложений. Её содержание изложено на 157 страницах и иллюстрировано 118 рисунками, 7 таблицами. Перечень используемой литературы составляет 89 наименований.
Параметрический синтез с помощью обратного преобразования
Решая систему (1.33), получим дискреты Х(т) и рассчитаем искомые коэффициенты Д (1.30,1.31).
Проблема этого подхода заключается в том, что для точного определения дискрет, в общем случае, необходимо решать бесконечную систему уравнений (1.33), что на практике невозможно. Вследствие ограничения порядка системы неизбежно появляется методическая погрешность, так как полученные дискреты будут являться коэффициентами аппроксимирующего степенного полинома порядка N. Однако, практика показывает, что некоторое количество дискрет рассчитывается с приемлемой точностью, что дает возможность соответственно определить искомые коэффициенты At.
В главе 3 будет рассмотрена возможность параметрического синтеза нелинейных устройств.
Задачи, решаемые с помощью теории ДТП, можно грубо разделить на задачи анализа и синтеза. Задачи анализа связанны с поиском решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши, краевые задачи) и оценки погрешности решения. Под задачами синтеза понимается поиск параметров системы ДУ по известному решению (временной характеристике). Задачи анализа.
При поиске решения системы дифференциальных уравнений с помощью ДТ-преобразований, ставятся следующие задачи: 1. Перевод оригинала в область изображений. 2. Расчет определенного числа дискрет ДТ-спектра. 3. Определение области сходимости решения при заданном числе дискрет и требуемой погрешности. 4. Восстановление решения в виде ряда Тейлора или суммы локальных степенных рядов [23]. 5. Оценка точности полученного решения.
Первая задача. Поиск изображений функций-оригиналов решается с помощью таблицы (Таблица 1.1). Известный способ определения изображения сложных функций с помощью подстановки изображения дифференциального уравнения, соответствующего данной функции, не всегда представляется удобным или возможным. Тогда изображение можно получить на основе суперпозиции Т-функциЙ (Таблица 1.1, свойство 42). Но ввиду большого объема вычислений этот способ в литературе рассматривается лишь теоретически. Как показали численные эксперименты, такой метод является достаточно универсальным и требует дальнейшего исследования.
Вторая задача. Сам по себе расчет дискрет по найденной рекуррентной формуле и восстановление решения в виде степенного ряда не представляет больших сложностей с алгоритмической точки зрения, однако здесь возникает ряд вопросов. Известно, что чем больше членов в ряде Тейлора, тем точнее будет решение. Также известно, что степенной ряд (1.4) сходится внутри радиуса сходимости, определяемого по признаку Даламбера (1.5) или Коши:
Чтобы определить радиус сходимости ряда, необходимо рассчитать большое количество дискрет. Однако на практике попытка рассчитать более 150-200 дискрет зачастую приводит к переполнению разрядной сетки вычислительных машин, при этом абсолютная величина дискреты становится более W308. Данное обстоятельство сильно затрудняет процесс исследования. В то же время, вычисление большого количества дискрет может оказаться нецелесообразным из-за накапливающейся ошибки и обнуления малых величин. В реальных условиях решение восстанавливается в виде ограниченного степенного ряда:
Попытка восстановить решение по выражению (1.35) на интервале, определенному по одному из признаков (1.5) или (1.34), может привести к недопустимо большой погрешности как при малом количестве дискрет (единицы-десятки), так и при большом (сотни-тысячи). Причины большой погрешности могут быть разные: неверно определен радиус сходимости, недостаточное количество дискрет, большая погрешность вычислений.
Третья задача. Обзор литературы по теории ДТП [23, 49, 50, 51] и расчету ДУ с помощью степенных рядов [6, 12, 71] показал, что при расчете указывается лишь верхняя граница области сходимости ряда (1.1), найденная на основе признака сходимости Даламбера. И при дальнейшем расчете авторы без объяснения выбирают интервал внутри этой области, обычно в два раза меньше. Практика показала, что радиус сходимости на основе признака Даламбера может существенно отличаться от максимального интервала, на котором возможно получить решение с приемлемой точностью, при ограниченном степенном ряде (1.35). Назовем этот максимальный интервал интервалом ограничения. При недостаточном количестве дискрет либо при недопустимо большом интервале решение может оказаться кардинально неверным. Таким образом, необходимо контролировать интервал ограничения, учитывая количество дискрет, а также требуемую точность. В соответствии с этим были проведены исследования дифференциальных спектров различных устройств и найдены закономерности, позволяющие с высокой степенью точности оценивать нижнюю границу интервала ограничения при требуемой точности решения и заданном количестве дискрет.
Четвертая задача. Для нелинейных ДУ восстановление решения в виде одного ряда Тейлора в общем случае может быть невозможным из-за малого радиуса сходимости, который может оказаться существенно меньше времени переходного процесса. В таких случаях используют метод припасовывания локальных степенных рядов
Влияние нелинейностей на интервал ограничения и дифференциальный спектр
На основе графиков зависимостей СКО от интервала восстановления при разном количестве дискрет (рис. 2.27) была построена оценочная зависимость интервала ограничения (рис. 2.28). По графикам (рис. 2.28) видно, что интервал ограничения увеличивается практически линейно с увеличением количества дискрет. Но при количестве дискрет более 90, наблюдается стабилизация величины интервала. Данное обстоятельство связано с ограничением точности вычислений (16 десятичных знаков), которое и является причиной ограничения интервала.
Также отметим, что изменение уровня ошибки, например с 10% до 0,001%, приводит к уменьшению интервала ограничения на величину примерно 3,1 с на протяжении всего линейного участка при п=10...85. Подобное уменьшение интервала для функции exp(t) составляет 1,8 с (рис. 2.29), а влияние погрешности ограничения разрядной сетки начинается уже при п=58 (при СКО=0,001%). Многочисленные расчеты временных процессов различных нелинейных устройств показывают, что радиус сходимости имеет ограничение, зависящее от величины нелинейности. Чем больше нелинейность, тем меньше радиус сходимости. В таком случае задача определения интервала ограничения при заданном количестве дискрет и точности становится определяющей при решении ДУ методом ДТП. Рассмотрим пример расчета переходного процесса интегрирующей цепи с нелинейной емкостью (рис. 2.30). Величина емкости зависит от напряжения на ней следующим образом: _/ b-Uc(t) + l где Uc(t) - напряжение на емкости; Ь - коэффициент нелинейности. Рисунок 2.30 - Интегрирующая цепь с нелинейной емкостью Дифференциальное уравнение для данной цепи будет выглядеть следующим образом:
Воспользовавшись таблицей преобразований (Таблица 1.1), переведем (2.15) в область изображений и получим рекуррентное соотношение для вычисления дискрет ДТ-спектра. где Х(к) — дискреты ДТ-спектра напряжения на конденсаторе. Зададим нулевые начальные условия X0=Uc(0)=0 В, а также следующие параметры цепи: Етах=1 В, RC=1 с, Ъ-1. Подставляя в (2.16) параметры при к=0, 1, 2..., получим искомые дискреты: Х(0)=0, Х(1)=Н, Х(2)=0, Х(3)=-Н3/3, Х(4)=0, Х(5)=Н5/15, Х(6)=0, Х(7)=-8Н7/315... Воспользовавшись обратным преобразованием (1.4), получим решение в виде ряда, который в данном случае сворачивается в функцию гиперболического тангенса: Имея точное решение (рис. 2.31), можно оценить качество восстановления сигнала на любом интервале времени. Как видно из графика восстановленного сигнала (рис. 2.31, график 1) по двадцати дискретам, решение кардинально отличается от точного (график 2). В линейном режиме (при Ь=0) графики зависимостей СКО решения не пересекаются (рис. 2.32), и с каждой новой дискретой СКО только уменьшается. Наблюдая зависимости СКО решения для нелинейного случая (рис. 2.33), видно, что имеет место пересечение графиков, причем интервал восстановления значительно сократился: для линейного случая 10 дискрет достаточно для восстановления решения на интервале [0..2] с при СКО=0,001%, а для нелинейного случая интервал сократится почти в три раза [0..0,6] с. В точке (=1,57 пересекаются все зависимости СКО, которое в этой точке составляет 10..30% в зависимости от количества дискрет.
Причем видно, чем больше количество дискрет, тем быстрее растет СКО - это объясняется тем, что повышается степень полинома, который представляет решение, и соответственно быстрее растет функция на краю интервала. Следовательно, быстрее возрастает абсолютное и относительное отклонение от решения, которое асимптотически стремится к постоянному уровню. При использовании пятисот дискрет зависимость СКО становится уже практически вертикальной, что говорит о приближении к радиусу сходимости ряда, который в данном случае равен 1,57. По дифференциальному спектру можно судить о сходимости степенного ряда (1.4) на интервале Т=[0..Н], так как дискреты фактически представляют собой слагаемые ряда (1.4) в точке t=H, Известно, что, если ряд в этой точке сходится, то он сходится на всем интервале Т. Если последние дискреты спектра являются убывающими и их величина достаточно мала, по сравнению с суммой ряда (согласно критерию (2.10)), то можно говорить о сходимости ряда. Если спектр не является убывающим с некоторой дискреты, то решение расходится на данном интервале.
В таком случае требуется увеличение количества дискрет, либо уменьшение интервала. Поэтому при рассмотрении дифференциального спектра будем понимать величину Н, при которой рассчитаны дискреты, как интервал, на котором восстанавливается решение и наоборот. Хотя величина Н в конечном результате значения и не имеет, но при рассмотрении дифференциального спектра она является показательной. По дифференциальному спектру можно не только судить о сходимости решения, но также и оценить точность решения при заданном количестве дискрет, либо, наоборот, оценить количество дискрет, требуемое для достижения заданной точности решения на интервале [0...HJ. Как было показано ранее, наибольшее отклонение решения оказывается в конце интервала при t=H. Тогда для достижения абсолютного отклонения решения в конце интервала менее сг необходимо, чтобы величина последней дискреты была меньше заданной величины сг.
Дифференциально-чебышевские преобразования со смещенными полиномами Чебышёва
Связь коэффициентов разложения в степенном базисе и коэффициентов в базисе смещенных многочленов Чебышёва [26] определяется формулой: Значения смещенных полиномов Чебышёва Ti(t) вычисляются по следующей формуле:
Преимущество в скорости сходимости ряда, достигаемое при использовании разложения по смешенным многочленам Чебышёва перед разложением по многочленам Чебышёва первого рода, связано с тем, что в записи смещенных многочленов присутствуют все степени і, а в записи многочленов первого рода присутствуют только четные, либо только нечетные степени. То есть в первом случае коррекции подвергаются все члены полученного степенного ряда, а во втором лишь половина. Покажем это на том же примере (рис. 3.1).
Дифференциальный спектр (рис. 3.14, графики 2-5) в базисе смещенных полиномов Чебышёва (ЧС-спектр, ЧС-дискреты) убывает значительно быстрее ДТ-спектра (график 1) и быстрее дискрет Ч-спектра (график 6), что говорит о более быстрой сходимости ряда. Следовательно, в базисе смешенных полиномов Чебышёва ряд будет короче, то есть номер дискреты, с которой можно отбросить оставшиеся члены ряда, будет меньше, что подтверждается графиками (рис. 3.15).
Характерное увеличение значений СКО решения восстановленного по ЧС-спектру (рис. 3.15, график 5) при к 30 является следствием погрешности вычислений. В остальном зависимости СКО (рис. 3.15) аналогичны зависимостям предыдущего случая (рис. 3.13), но при этом сами значения СКО существенно меньше. Переход в базис смещенных полиномов Чебышева позволяет сократить исходный степенной ряд (без дополнительного расчета ДТ-дискрет) в среднем в 3,6 раза при незначительном увеличении СКО в 1,03... 1,1 раза (Таблица 3.3).
Если вычислить по формуле (3.19) последний коэффициент разложения в чебышевском базисе, то он будет зависеть только от одного коэффициента разложения в степенном базисе. Тогда для вычисления последнего коэффициента разложения по смещенным многочленам Чебышева формула (3.19) преобразуется к виду:
Приложение для комплексного анализа и решения дифференциальных уравнений
Большинство результатов диссертационной работы было получено на основе проведения множества численных экспериментов. Несколько лет назад большинство из них было невозможно провести, либо занимало слишком много времени, что значительно затрудняло исследовательскую работу, а порой делало её просто невозможной. Этим можно объяснить отсутствие в литературе множества количественных оценок, представленных в этой работе. В начале исследований для расчетов активно использовался пакет MathCAD, но его возможности накладывали ограничение на применение рекуррентных формул расчета дискрет. Также существенно сказывалось ограничение разрядной сетки переменных, что затрудняло исследование возможности параметрического синтеза устройств высокого порядка. Разработанный программный комплекс (ПК) позволяет решать указанные недостатки. Исходный код на языке C++ написан таким образом, что может быть откомпилирован под различные платформы Windows, UNIX, MS-DOS лишь с незначительными изменениями графического интерфейса. Созданный комплекс программ (рис. 4.1) для операционной системы (ОС) Windows позволяет проводить комплексные исследования по применению дифференциальных преобразований к расчету временных характеристик и параметрическому синтезу нелинейных устройств и устройств с переменными параметрами, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, а именно: S в качестве исследуемых уравнений выбирать из встроенных уравнений и функций (блок 8), а также их сочетания, или подключать специальный модуль с описанием системы обыкновенных ДУ заданной пользователем (блок 9); S оперативно изменять множество исходных параметров: интервал времени, количество рассчитываемых точек на интервале, количество дискрет при восстановлении решения, допустимую погрешность, коэффициенты исходных уравнений (блок 12); S рассчитать большое количество дискрет (1(f) ДТ-спектра с точностью до l(f десятичных знаков (блок 4); S получать решение обыкновенных ДУ общего вида на большом интервале (блок 1); S строить различные сравнительные характеристики (блок 6): зависимости интервала ограничения по различным признакам (1.5), (1.34), (2.29), (2.30), а также экспериментально; зависимости оценок погрешности решения (2.10), (2.12), (2.13) и СКО от количества дискрет при фиксированном, либо рассчитанном интервале (2.29); распределение отклонения решения на всем интервале; трехмерные зависимости СКО решения от количества дискрет и погрешности вычислений; трехмерные зависимости времени вычисления решения при различном количестве дискрет и требуемой точности; сравнительную оценку времени вычисления по разработанному алгоритму решения ДУ с методом Рунге-Кутта четвертого порядка при равных условиях; S решать СЛАУ высокого порядка с высокой точностью (что ограничивается оперативной памятью компьютера) для проведения параметрического синтеза нелинейных устройств (блок 2).
Программный комплекс использует набор специально разработанных библиотек (рис. 4.2) и приложений, позволяющих проводить вышеописанные расчеты. Главной особенностью комплекса является модуль ASMDC (рис. 4.2), позволяющий проводить арифметические операции с вещественными числами с мантиссой до Ю9 десятичных знаков (длинные числа). Исходный код модуля оформлен в виде отдельного класса, оперирование которым осуществляется практически идентично стилю языка ассемблера, что позволяет без затруднений использовать его для различных целей. Данный модуль используется как в задачах анализа (рис. 4.1, блоки 1,4), так и в задачах параметрического синтеза для точного расчета дискрет (рис. 4.1, блоки 2,7). Специально для доказательства принципиальной возможности параметрического синтеза устройств большого порядка создан модуль MATRIXL (рис. 4.2, 4.1, блоки 2,7), реализующий метод Гаусса для расчета СЛАУ размерностью до 30000 и точностью расчетов, обеспечиваемой модулем ASMDC. В качестве исходных уравнений возможно использование встроенных элементарных функций (модуль DTP и DTPL, рис. 4.2, 4.1, блок 8), а также
