Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели абсолютного и относительного движения космических аппаратов 18
1.1. Системы координат 18
1.2. Математическая модель абсолютного управляемого движения КА 19
1.3. Динамические системы, определяющие движение КА с малой радиальной тягой 22
1.4. Математическая модель абсолютного движения КА в оскулирующих элементах 24
1.5. Математическая модель управляемого относительного движения КА в орбитальной системе координат 26
1.6. Математическая модель относительного движения КА в визирной системе координат 29
1.7. Общий подход к математическому моделированию управляемого относительного движения КА 31
Глава 2. Математическое моделирование и качественные структуры динамических систем, определяющие движение КА с малой радиальной тягой 34
2.1. Состояния равновесия динамических систем 34
2.2. Зависимости для определения параметров системы и начальных значений фазовых координат 37
2.3. Математическое моделирование для построения качественных структур и определения бифуркаций изучаемых динамических систем 38
Глава 3. Математическое моделирование и качественные структуры динамической системы относительного движения КА при постоянной угловой скорости линии визирования 52
3.1. Характеристика моделируемой динамической системы, ее свойства и состояния равновесия 52
3.2. Условия существования предельных циклов системы и определение бифуркационных значений параметров посредством математического моделирования 58
3.3. Математическое моделирование для построения качественных структур и определения возможных типов траекторий управляемого относительного движения КА 69
Глава 4. Математическое моделирование и качественные структуры динамической системы относительного движения КА при ориентации управляющего воздействия по линии визирования 76
4.1. Характеристика динамической системы. Простые состояния равновесия 76
4.2. Сложные состояния равновесия 83
4.3. Исследование консервативной системы ( = 0) 87
4.4. Анализ характеристик векторного поля и смещения состояний равновесия системы 92
4.5. Условия существования и математическое моделирование предельных циклов динамической системы 94
4.6. Построение качественных структур динамической системы по результатам математического моделирования 106
Глава 5. Применение результатов математического моделирования управляемого движения КА для решения практических задач 115
5.1. Маневры КА с малой радиальной тягой 115
5.1.1. Маневры управляемого движения КА по круговой траектории со скоростью отличной от орбитальной 115
5.1.2. Маневры изменения эксцентриситета и аргумента перигея.... 117
5.1.3. Маневры перехода между компланарными орбитами 120
5.2. Наведение КА по методу параллельного сближения 123
5.2.1. Инерциальное параллельное наведение 123
5.2.2. Орбитальное параллельное наведение 125
5.2.3. Необходимое для реализации метода наведения управляющее ускорение 128
5.3. Управление движением орбитальной тросовой системы 130
5.3.1. Перспективы практического применения ОТС и условия нахождения системы на связи 130
5.3.2. Режимы движения ОТС 132
5.3.3. Задача орбитального перехода на заданную эллиптическую орбиту 135
5.3.4. Задача сближения в космосе с использованием тросовой системы 139
Заключение 142
Список литературы 150
Приложение
- Математическая модель абсолютного управляемого движения КА
- Зависимости для определения параметров системы и начальных значений фазовых координат
- Условия существования предельных циклов системы и определение бифуркационных значений параметров посредством математического моделирования
- Анализ характеристик векторного поля и смещения состояний равновесия системы
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Процесс управляемого движения маневрирующего космического аппарата (КА) в общем случае описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. Получить решение системы нелинейных дифференциальных уравнений в квадратурах удается лишь в очень частных случаях. Поэтому основным подходом для изучения управляемого движения КА является применение методов математического моделирования, использование которого позволило получить целый ряд практически важных результатов. Вместе с тем классическое математическое моделирование не позволяет составить общее представление обо всех возможных режимах движения КА при том или ином методе управления и очень часто не дает ответа на многие вопросы, выдвигаемые практикой.
Применение методов качественной теории динамических систем и теории бифуркации позволяет установить качественную структуру фазовых траекторий изучаемых динамических систем и общий подход к определению бифуркационных значений параметров, и установить количество качественных структур полностью определяющих поведение системы. Синтез методов математического моделирования в сочетании с математическим аппаратом качественной теории динамических систем и теории бифуркаций, численными методами и комплексами прикладных программ, позволяет провести исследования всех возможных режимов управляемого движения КА и разработать практические рекомендации по определению требуемых значений параметров управления и начальных условий движения, необходимых для реализации того или иного типа маневров КА.
В данной диссертации решены конкретные задачи исследования динамических систем управляемого движения КА при выполнении межорбитальных маневров с малой тягой и маневров относительного движения.
Цель диссертационной работы. Целями исследования являются:
разработка комплекса прикладных программ, с помощью совместно применяемых методов математического моделирования, численных методов и методов исследования качественных структур и бифуркаций динамических систем, определяющих абсолютное движение КА с малой радиальной тягой и относительное движение КА при управляющих воздействиях по осям визирной системы координат;
разработка практических рекомендаций по использованию полученных при исследовании результатов для выполнения межорбитальных и локальных маневров КА.
Предмет исследования. Предметом исследования в диссертационной работе является движение КА с малой радиальной тягой, и относительное движение КА при управляющих воздействиях по осям визирной системы координат.
Методы исследования. При проведении исследований в диссертации были использованы методы математического моделирования абсолютного и относительного движения КА, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, методы качественной теории динамических систем и теории бифуркаций, численные методы, комплексы программ, а также теоретические основы механики космического полета и механики полета системы гибко связанных космических объектов.
Научная новизна. Научная новизна полученных результатов в диссертационной работе заключается:
в разработке комплексного подхода к исследованию управляемого движения КА на основе сочетания математического моделирования и исследования качественных структур и бифуркаций динамических систем абсолютного и относительного движение КА с помощью численных методов и комплексов программ;
в разработке методики определения и исследования качественных структур и бифуркаций динамических систем абсолютного движения КА при малой радиальной тяге;
в разработке методик определения и исследования качественных структур и бифуркаций динамических систем относительного движения КА при управляющих воздействиях по осям визирной системы координат.
Практическая ценность работы. Практическая ценность работы заключается:
в создании программ математического моделирования управляемого абсолютного и относительного движения КА;
в определении возможных режимов абсолютного и относительного движения КА при малой радиальной тяге и создании управляющего воздействия по осям визирной системы координат;
в разработке рекомендаций по использованию рассматриваемых режимов движения для выполнения межорбитальных и локальных маневров КА, а также управления движением орбитальной тросовой системой для осуществления орбитальных переходов и сближения в космосе.
Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения:
общая методология исследования управляемого движения КА на основе сочетания методов математического моделирования, численных методов и методов качественной теории динамических систем и теории бифуркаций;
комплекс математических моделей в виде автономных динамических систем второго порядка, определяющих управляемое абсолютное и относительное движение КА;
результаты математического моделирования и исследования качественных структур и бифуркаций динамических систем управляемого абсолютного движения КА с малой радиальной тягой;
совокупность реализуемых режимов абсолютного движения КА с малой радиальной тягой и рекомендации по их практическому применению для осуществления орбитальных маневров;
результаты математического моделирования и исследование качественных структур и бифуркаций динамической системы управляемого относительного движения КА при постоянной угловой скорости линии визирования;
совокупность режимов управляемого относительного движения КА при постоянной угловой скорости линии визирования и рекомендации по их практическому применению для решения задач сближения в космосе и обслуживания орбитальных станций;
результаты математического моделирования и исследования качественных структур и бифуркаций динамической системы относительного движения КА при ориентации управляющего воздействия по линии визирования;
совокупность режимов управляемого относительного движения КА при ориентации управляющего воздействия по линии визирования и рекомендации по их практическому применению для реализации локальных маневров КА в окрестности орбитальной станции и для управления движением орбитальной тросовой системы;
результаты решения задачи маневрирования в космосе с малой радиальной тягой и наведения КА по методу параллельного сближения;
результаты решения задач орбитальных переходов и сближения в космосе с использованием орбитальных тросовых систем.
Апробация результатов исследований. Основные результаты, полученные в ходе выполнения диссертации, докладывались на семи международных молодежных научных конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 2000-2010 гг.), на трех Всероссийских научно-технических конференциях «Новые материалы и технологии» (Москва, 2004, 2006, 2008 гг.), на Четвертом, Пятом и Шестом Международном Аэрокосмическом Конгрессе (Москва 2003, 2006, 2009 гг.), на Всероссийском совещании заведующих кафедр ВУЗов РФ в г. Пермь, на 9-ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в г. Нижний Новгород. Работа обсуждалась на научных семинарах на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова и в «МАТИ» - РГТУ им. К.Э.Циолковского.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 35 работ (научные статьи, учебные пособия и тезисы докладов), в том числе одна статья из списка журналов, рекомендованных ВАК [30].
Структура и объем работы. Работа состоит из введения и пяти глав на 149 страницах, списка литературы (205 наименований) и приложения. В работе имеется 52 рисунка и 7 таблиц.
Математическая модель абсолютного управляемого движения КА
Особо следует отметить, что изучение методов управления в визирной системе координат непосредственно связано с таким новым направлением в космической технике, как разработка, создание и практическое применение орбитальных тросовых систем (ОТС). Действительно, при управлении движением ОТС в качестве управляющей силы используется сила реакции натянутого соединительного троса. Эта сила направлена по линии визирования, соединяющей оба связанных объекта. Поэтому методы управления относительным движением КА при создании управляющего воздействия по линии визирования вполне могут быть использованы для управления движением ОТС.
Применение математического моделирования и качественных методов исследования позволит получить полное представление о возможностях рассматриваемых методов управления и разработать рекомендации по их использованию для решения конкретных практических задач.
Изложенное дает основание считать, что тема диссертации, в которой проводится математическое моделирование управляемого движения КА в сочетании с применением математического аппарата качественной теории динамических систем и теории бифуркаций является актуальной.
Целью исследования является разработка комплекса прикладных программ, состоящих из совместно применяемых методов математического моделирования, численных методов и методов исследования качественных структур и бифуркаций динамических систем, определяющих абсолютное движение КА с малой радиальной тягой и относительное движение КА при управляющих воздействиях по осям визирной системы координат, а также разработка практических рекомендаций по использованию полученных результатов для выполнения межорбитальных и локальных маневров КА.
При проведении исследований в диссертации были использованы методы математического моделирования абсолютного и относительного движения КА, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, методы качественной теории динамических систем и теории бифуркаций, численные методы, комплексы программ, а также теоретические основы механики космического полета и механики полета системы гибко связанных космических объектов.
Научная новизна полученных в диссертации результатов усматривается: в разработке комплексного подхода к исследованию управляемого движения КА на основе сочетания математического моделирования и исследования качественных структур и бифуркаций динамических систем абсолютного и относительного движение КА с помощью численных методов и комплексов программ; в разработке методики определения и исследования качественных структур и бифуркаций динамических систем абсолютного движения КА при малой радиальной тяге; в разработке методик определения и исследования качественных структур и бифуркаций динамических систем относительного движения КА при управляющих воздействиях по осям визирной системы координат. Практическое значение диссертации заключается - в создании программ математического моделирования управляемого абсолютного и относительного движения КА; - в определении возможных режимов абсолютного и относительного движения КА при малой радиальной тяге и создании управляющего воздействия по осям визирной системы координат; - в разработке рекомендаций по использованию рассматриваемых режимов движения для выполнения межорбитальных и локальных маневров КА, а также управления движением орбитальной тросовой системой для осуществления орбитальных переходов и сближения в космосе.
Зависимости для определения параметров системы и начальных значений фазовых координат
В диссертации автор защищает: - общую методологию исследования управляемого движения КА на основе сочетания методов математического моделирования и методов качественной теории динамических систем и теории бифуркаций; - комплекс математических моделей в виде автономных динамических систем второго порядка, определяющих управляемое абсолютное и относительное движение КА; - результаты математического моделирования и исследования качественных структур и бифуркаций динамических систем управляемого абсолютного движения КА с малой радиальной тягой; - совокупность реализуемых режимов абсолютного движения КА с малой радиальной тягой и рекомендации по их практическому применению для осуществления орбитальных маневров; - результаты математического моделирования и исследование качественных структур и бифуркаций динамической системы управляемого относительного движения КА при постоянной угловой скорости линии визирования; - совокупность режимов управляемого относительного движения КА при постоянной угловой скорости линии визирования и рекомендации по их практическому применению для решения задач сближения в космосе и обслуживания орбитальных станций; - результаты математического моделирования и исследования качественных структур и бифуркаций динамической системы относительного движения КА при ориентации управляющего воздействия по линии визирования; - совокупность режимов управляемого относительного движения КА при ориентации управляющего воздействия по линии визирования и рекомендации по их практическому применению для реализации локальных маневров КА в окрестности орбитальной станции и для управления движением орбитальной тросовой системы; - результаты решения задачи маневрирования в космосе с малой радиальной тягой и наведения КА по методу параллельного сближения; - результаты решения задач орбитальных переходов и сближения в космосе с использованием орбитальных тросовых систем. Результаты диссертационного исследования прошли достаточно широкую апробацию. Они докладывались на Четвертом,
Пятом, и Шестом Международных Аэрокосмических конгрессах [68-69,139-140], на семи Международных молодежных научных конференциях «Гагаринские чтения» [130-134,138,142-143], на Всероссийском совещании заведующих кафедр ВУЗов РФ в г. Пермь, на 9-ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в г. Нижний Новгород. Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедр «Аналитическая механика», «Механика и оптимизация процессов и конструкций», «Физика» «МАТИ» -Российского государственного технологического университета им. К.Э. Циолковского, а также на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова.
По теме диссертации опубликовано 35 работ [67-70,72,74-80,82-87,130-146]. По своей структуре и содержанию диссертация подразделяется на введение, пять глав, заключение (общим объемом 149 страниц машинописного текста), список использованной литературы, включающий 205 наименований, и приложение в котором дано описание космического эксперимента по применению орбитальной тросовой системы для спуска объекта с орбиты на Землю. При разработке математических моделей для изучения управляемого движения КА при малой радиальной тяге и относительного движения КА в визирной системе координат в диссертации используются следующие системы координат: 1). Неподвижная (абсолютная) система координат Oxayaza (рис. 1.1) с началом в центре Земли. Ось 92яэтой системы направлена по оси вращения Земли, ось Оха лежит в плоскости экватора и направлена в точку весеннего равноденствия.
Условия существования предельных циклов системы и определение бифуркационных значений параметров посредством математического моделирования
Изложенные в предыдущем параграфе вопросы о характере поведения изоклин горизонтальных наклонов, симметрии фазовых траекторий и повороте векторного поля системы (3.2) при изменении параметра Qop позволяют перейти к доказательству следующей теоремы о наличии предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр. Теорема 3.1. Система (3.2) имеет два предельных цикла, охватывающих фазовый цилиндр (один устойчивый, другой неустойчивый), в том и только в том случае, когда значение параметра Qop находится вне интервала QJJ Qop О, где Qn - некоторое бифуркационное значение, при котором с уменьшением Q.op возникает единственный полуустойчивый предельный цикл, пересекающий ось є в точках 0, ±—, к и разделяющийся при дальнейшем уменьшении Qop на два цикла. С увеличением модуля предельные циклы удаляются друг от друга, устойчивый предельный цикл перемещается в положительном направлении оси к, а неустойчивый в отрицательном. Ранее уже отмечалось, что система (3.2) не имеет изолированных состояний равновесия и поэтому у нее не может быть предельных циклов, охватывающих состояния равновесия. Для рассмотрения условий существования предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр, воспользуемся критерием Бендиксона [13]. Запишем выражение где Р и Q - правые части соответственно второго и первого уравнений (3.2). После подстановки выражений для Р и О в (3.12) получаем а = -2к . В области фазовой поверхности при к О значение х 0, а в области к 0 - сг 0. Следовательно, условия критерия Бендиксона выполняются в каждой из двух указанных областей и поэтому рассматриваемая система не может иметь в этих областях замкнутых траекторий, охватывающих состояния равновесия, и может иметь в них не более одного предельного цикла, охватывающего цилиндр.
Если предельные циклы есть, то цикл, лежащий в области к 0, является устойчивым, а цикл, располагающийся в области к О, неустойчив. Перейдем к доказательству существования у системы (3.2) двух предельных циклов. Сначала покажем их существование для значений параметра Qop 0 и Qop -2. Для этого воспользуемся следующим очевидным утверждением. Если существуют два таких частных решения к{(є) и к2(є), что при любом є0 выполняются неравенства: и если между интегральными кривыми, соответствующими этим решениям, нет состояний равновесия, то в силу непрерывной зависимости решений от начальных условий можно утверждать, что между ,() и к2(є) существует периодическое решение, для которого т.е. существует предельный цикл, охватывающий цилиндр. Построим изоклины горизонтальных наклонов для Одна из них охватывает цилиндр в области к 0, а другая - в области & 0 (рис. 3.4). Максимумы первой изоклины имеют место при є = ±—, второй изоклины при є = 0, п, а минимумы соответственно при є = 0, п и є-±—. Экстремальные значения изоклин определяются выражениями (3.9) и (3.10). Рассмотрим два частных решения к12(є) в окрестности изоклины, лежащей в области к 0. Первое частное решение кх (є) возьмем такое, для которого при некотором є0 Видно, что это будет как раз искомым решением, так как ниже dk изоклины горизонтальных наклонов — 0 (рис. 3.4) и поэтому К ( о) К (єо+ 2;г)»что удовлетворяет условию (3.13). Чтобы найти второе частное решение, которое бы удовлетворяло условию (3.14), рассмотрим интегральную кривую, проходящую через точку Я с координатами є = тс и к = kmax = - Q.op\p.op + 2).
Так как в области между dk Л изоклинами горизонтальных наклонов — 0, то интегральная кривая с уменьшением є должна идти вниз и в некоторой точке А пересечет изоклину. В этой точке интегральная кривая имеет горизонтальную касательную. Затем интегральная кривая идет вверх и пересекает изоклину в точке В, которая лежит не выше точки В . Продолжая подобные рассуждения относительно поведения рассматриваемой интегральной кривой, можно установить, что при уменьшении угла є на 2п кривая обязательно придет в некоторую точку К, лежащую не выше точки К и с координатами е = -я и к =-JQop\fiop+2j. Следовательно, данная интегральная кривая соответствует решению, для которого удовлетворяет условию (3.14). Так как при Qop 0 особых точек нет, то между двумя решениями к е) и к2(є) в силу непрерывности должно существовать периодическое решение, для которого Ранее было показано, что предельный цикл, соответствующий этому периодическому решению, является единственным в области к О и неустойчивым. Рассматривая интегральные кривые к3(є) и к4(є) в окрестности изоклины горизонтальных наклонов, лежащей в области к 0 (рис. 3.4), можно путем аналогичных рассуждений доказать существование в этой области единственного устойчивого предельного цикла. Таким образом, при Qop 0 система (3.2) имеет два предельных цикла, охватывающих фазовый цилиндр. При Qop -2 система (3.2) также имеет две изоклины горизонтальных наклонов, охватывающих цилиндр и располагающихся одна в области к 0, а другая - в области к О. Поэтому, можно тем же способом, как и для Qop О, показать, что в этом случае рассматриваемая система имеет два предельных цикла, охватывающих цилиндр (устойчивый в области к 0 и неустойчивый в области к 0). В соответствии с зависимостями для ктж и kmin (3.9), (ЗЛО) верхняя 0/7 ветвь изоклины горизонтальных наклонов с увеличением модуля смещается вверх, а нижняя вниз. Поэтому в том же направлении перемещаются и предельные циклы системы, т.е. предельные циклы удаляются друг от друга при увеличении Qop . При уменьшении модуля Qop предельные циклы сближаются. Для положительных значений Й0„ при О.ор - 0 предельные циклы стремятся к кривым неизолированных состояний равновесия системы.
Анализ характеристик векторного поля и смещения состояний равновесия системы
В этом случае имеет место инерциальное параллельное удаление.В подвижной системе координат Аху происходит облет объекта А по раскручивающейся спирали при постоянной угловой скорости линии вектора D, равной угловой скорости объекта А. С уменьшением к амплитуда колебаний предельного цикла относительно Qop = -1 возрастает и происходит некоторое нарушение симметрии. Облет объекта происходит при колебании угловой скорости линии вектора D относительного значения, соответствующего угловой скорости объекта. Орбитно-устойчивые фазовые траектории ячеек 1.1 и 1.2 накручиваются на предельный цикл. Этим траекториям соответствует относительное движение, асимптотически приближающееся к стационарному движению предельного цикла. 3 2) к = —. Система негрубая, имеющая два сложных изолированных состояния равновесия типа "седло-узел". Сепаратрисы системы, состояния равновесия и устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр, разделяют область G на пять ячеек (рис. 4.15). З 3) 0,532815 k — . Система грубая, имеет четыре состояния равновесия: 3 два устойчивых фокуса (при 0,737566 к —) или узла (при 0,532815 к 737566) и две седловые точки (рис. 4.16). Как и в предыдущем случае, сепаратрисы, состояния равновесия и устойчивый предельный цикл делят область G на пять ячеек. Орбитно-устойчивые траектории всех ячеек асимптотически приближаются либо к состояниям равновесия типа "фокус" или "узел", либо навиваются на предельный цикл, охватывающий фазовый цилиндр.
Относительное движение происходит по траекториям, стремящимся к стационарным движениям предельного цикла или состояний равновесия. Состояниям равновесия при положительных к в подвижной системе координат соответствуют прямолинейные траектории удаления. Скорость удаления определяется значением параметра к. Устойчивому предельному циклу, как уже отмечалось, при положительных к соответствует облет объекта по раскручивающейся спирали. Направление облета противоположно угловой скорости объекта. 4) =0,532815. Система негрубая, имеющая четыре состояния равновесия (два седла и два устойчивых фокуса). Характерной особенностью системы является наличие предельного континуума, охватывающего цилиндр и состоящего из двух седловых точек и двух сепаратрис, идущих из седла в седло (рис. 4.17). Сепаратрисы, состояния равновесия и предельный континуум разделяют область G на три ячейки. 5) 0 А: 0,532815. Система грубая. Она имеет четыре состояния равновесия (два седла и два устойчивых фокуса). Сепаратрисы и состояния равновесия разделяют область G на четыре ячейки (рис. 4.18). Орбитно-устойчивые траектории всех четырех ячеек системы описывают спирали, охватывающие цилиндр, и по мере уменьшения модуля Qop накручиваются на особую точку типа фокус. В подвижной системе координат им соответствуют траектории облета объекта по раскручивающимся спиралям, которые затем переходят в прямолинейные траектории удаления. В конечном счете удаление происходит по двум прямолинейным траекториям, ориентация которых для каждого значения к является вполне конкретной и определяется положением двух устойчивых фокусов системы.
