Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Основы для определения давления солнечного света и моделирования действующей на парус силы 16
1.1 Модель идеального зеркального отражения 16
1.2 Определение давления солнечного света с использованием элементов теории переноса энергии 18
1.3 Сила давления на солнечный парус в случае модели неидеального отражения 23
ГЛАВА 2 Построение математической модели солнечного паруса из шести сфер и результирующего управляющего воздействия 33
2.1 Идея конструкции паруса для управления ориентацией КА 33
2.2 Системы координат и уравнения движения паруса на орбите 34
2.3 Определение действующей силы на поверхность сферического паруса 39
2.4 Постановка задачи о переводе в заданную ориентацию 40
2.5 Выбор модели отражения света 42
2.6 Алгоритм построения приближения к максимально возможному по модулю вращающему моменту вокруг требуемой оси с заданной точностью отклонения 44
2.7 Алгоритм построения приближения к целевому моменту 50
ГЛАВА 3 Анализ работы алгоритмов и оценка необходимых размеров солнечного паруса 54
3.1 Комплекс программ для моделирования переориентации КА и оценки необходимых размеров солнечного паруса 54
3.2 Оценка эффективности солнечного паруса на основе его модели 57
3.3 Алгоритм оценки необходимых геометрических параметров паруса и примеры его работы 64
3.4 Корректность работы алгоритмов для различных сценариев отражения солнечного света 71
ГЛАВА 4 Алгоритм стабилизации КА 81
4.1 Построение управления с использованием скользящих режимов 81
4.2 Принципы выбора параметра k и параметра 2 для минимизации времени маневра 88
4.3 Пример поворота вокруг главной оси 95
4.4 Принцип подбора параметров для произвольных маневров с неопределенностями и внешними возмущениями 101
4.5 Пример стабилизации КА при моделировании без учета неопределенностей и внешних возмущений 104
4.6 Стабилизация КА с учетом неопределенностей в моментах инерции и внешних возмущений 110
Список источников литературы 119
- Определение давления солнечного света с использованием элементов теории переноса энергии
- Алгоритм построения приближения к максимально возможному по модулю вращающему моменту вокруг требуемой оси с заданной точностью отклонения
- Алгоритм оценки необходимых геометрических параметров паруса и примеры его работы
- Пример стабилизации КА при моделировании без учета неопределенностей и внешних возмущений
Введение к работе
Актуальность работы. Для современных проектов солнечных парусов
особый интерес представляет использование поверхностей, отдельные участки
которых в разных режимах обладают разными отражающими
характеристиками. Благодаря этому можно регулировать давление на
различные участки паруса, и появляется возможность управлять ориентацией
космических аппаратов (КА). В мембрану первого плоского солнечного паруса
Ikaros, запущенного в 2010 году, уже было встроено несколько вставок из
жидкокристаллических пленок, которым можно было задавать прозрачное или
непрозрачное состояние. Эти вставки образовывали систему вспомогательного
управления ориентацией паруса, которая оправдала ожидания
экспериментаторов. Многие проекты неплоских солнечных парусов имеют большую перспективу из-за удобства способа разворачивания мембраны и высокой управляемости. В диссертационной работе в качестве варианта паруса предложена оригинальная конструкция, состоящая из шести скрепленных между собой сферических парусов, разбитых на участки с изменяемыми отражающими свойствами. Форма сферы выбрана в связи с тем, что она хорошо подходит для раскрытия мембраны раздуванием.
В литературе по тематике плоских солнечных парусов широко используется модель для силы, учитывающая два способа отражения света от поверхности плоского паруса, а также поглощение энергии с последующим переизлучением (C.R. McInnes). Эта модель была обобщена для паруса с произвольными формами поверхностей, задаваемых аналитически (L. Rios-Reyes, D. J. Scheeres). Рассматриваемый в диссертации солнечный парус из шести сфер с изменяемыми оптическими параметрами является примером, когда возникают несколько новых задач, связанных с определением и построением действующих на парус возмущений. Необходимо обеспечить возможность разбиения поверхности на большое число участков с
переменными отражающими характеристиками, что предполагает оперативную
обработку возмущений от каждого участка для построения результирующего воздействия на КА. Также требуется отслеживать и прогнозировать затенение участков паруса другими частями конструкции в процессе переориентации КА.
Объектом исследования диссертации являются солнечные паруса с переменными отражающими характеристиками, используемые для управления ориентацией КА.
Предметом исследования является математическая модель
предложенного солнечного паруса, построение которой требуется для определения результирующего вращающего возмущения и создания системы управления ориентацией КА.
Цель работы заключалась в построении и исследовании математической модели предлагаемого солнечного паруса из шести сфер, которая бы учитывала его особенности и условия эксплуатации. Анализ результатов, полученных на основе модели, позволяет сделать оценку об эффективности этого паруса и целесообразности его применения.
Научная новизна. Системы управления ориентацией объекта с использованием эффекта давления солнечного излучения применялись ранее в некоторых космических миссиях для стабилизации КА за счет воздействия светового давления на панели солнечных батарей или поверхности плоских солнечных парусов. Однако при этом многообразие возможных достижимых ориентаций (поворотов вокруг центра масс) не охватывало полностью множество всех необходимых положений ориентации (присутствовали “мертвые зоны”), либо для переориентации КА применялись другие дополнительные механизмы помимо солнечного паруса (двигательные установки ориентации, гиродины). В диссертации получены следующие новые результаты, развивающие идеи использования солнечных парусов для управления переориентацией КА:
1. Построена математическая модель солнечного паруса оригинальной
конструкции с использованием поверхностей сферической формы,
обеспечивающего полную управляемость ориентацией КА исключительно за счет использования давления солнечного излучения при любом начальном направлении Объект-Солнце по отношению к системе координат, связанной с КА.
-
Построены и протестированы алгоритмы переключения большого количества участков паруса в режимы отражения, поглощения с переизлучением, или пропускания света для регулирования давления света на поверхность и создания вращающего момента.
-
Разработан комплекс программ, реализующий алгоритмы и численные методы, необходимые при моделировании движения объекта с солнечным парусом. Вычислительный модуль комплекса программ проводит построение вращательных воздействий на КА со стороны пикселей солнечного паруса, выполняет численное интегрирование уравнений движения объекта вокруг центра масс под воздействием вращательных моментов от паруса, оценивает размеры солнечного паруса, требуемого для конкретной миссии на орбите в зависимости от большого количества параметров (моментов инерции конструкции, оптических коэффициентов поверхности, высоты орбиты и т.д.).
-
Получены оценки:
характерных размеров паруса в зависимости от ряда параметров миссии КА;
времени, необходимого на переориентацию;
точности построения ориентации;
потребной памяти и производительности бортовой вычислительной системы, осуществляющей управление предлагаемым солнечным парусом.
Научная и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты подтверждают возможность осуществления проекта с рассматриваемой конструкцией паруса, дают обоснование его перспективности. Разработанный программный комплекс имитационного моделирования движения КА вокруг центра масс под действием солнечного паруса пригоден для прогнозирования движения, анализа поведения и управления движением
перспективных реальных КА, в первую очередь, научного и народнохозяйственного назначения. Получили внедрение и используются в «НПО им. С.А. Лавочкина» следующие результаты диссертационной работы:
Разработанная математическая модель солнечного паруса с переменными отражающими характеристиками;
Разработанные алгоритмы переключения пикселей для стабилизации объекта вокруг центра масс.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях: VIII Конференция молодых ученых, посвященная Дню космонавтики и 50-летию полета Юрия Гагарина (Москва, 2011), Всероссийская научно-техническая конференция и школа молодых ученых, аспирантов и студентов "Авиакосмические технологии" (Воронеж, 2011 - Москва, 2012), ежегодная Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых МИЭМ (2011-2014), IX Конференция молодых ученых, посвященная Дню космонавтики (Москва, 2012), 2-я международная научно-практическая конференция “Инновационные информационные технологии” (Прага, 2013), Международная конференция “International Astronautical Congress” (Пекин, 2013).
Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры Механики и математического моделирования НИУ ВШЭ под руководством профессора Чумаченко Е.Н.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ. Среди них 4 печатных работы, опубликованные в журналах, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК [1-4].
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, обзора литературы, 4 глав, основных выводов, списка источников литературы и приложения. Общий объем диссертации 123 страницы, 59 иллюстраций, 4 таблицы и список литературы из 46 наименований.
Определение давления солнечного света с использованием элементов теории переноса энергии
Приведенная выше формула для давления излучения получена в предположении, что свет распространяется из точечного источника одинаково во всех направлениях. На больших расстояниях от источника излучения его размерами можно пренебречь. Однако в достаточной близости к Солнцу величина давления может значительно отличаться от полученной выше. Кроме того, в каких-то случаях может потребоваться учет неизотропности распространения света.
Свойства поля излучения в общем случае определяются точкой пространства, временем, частотой, и направлением, в котором рассматривается его распространение. Для определения этих свойств вводится характеристика, называемая удельной интенсивностью излучения. Количество энергии dE , протекающее через элемент поверхности dA с нормалью dA в направлении u в элементе телесного угла dQ около вектора u (Рис. 1-2) за время dt в спектральном интервале (v,v + dv), выражается формулой: dE = Iуr,u,ф dA)dQ.dtdv , где удельная интенсивность излучения Iv (r, u, t) характеризует излучение с частотой v в точке пространства с радиус-вектором r в момент времени t.
Введем так же функцию плотности распределения фотонов \j/v{r,u,t), так чтобы величина i//v(r,u,t)dQ.dv являлась количеством фотонов в единичном объеме в точке r в момент времени t в спектральном интервале (y,v + dv) , распространяющихся со скоростью с в элементе телесного угла dQ около направления u . Тогда количество фотонов, проходящих через dA и распространяющихся в элементе dQ вдоль и за время dt выражается формулой: где {и dAjfdt) является объемом, содержащим фотоны, проходящие через dA в направлении и за время dt (Рис. 1-2).
Так как каждый фотон обладает энергией hv и движется со скоростью с , то энергия, передаваемая через элемент dA и распространяющихся в элементе dQ. вдоль и за время dt, имеет вид: Пусть й = (и1,и2,и3) =и\ + и2е2+и\ в некоторой системе координат пространства. Используя выражение для количества фотонов dN, можно заключить, что, количество фотонов с частотой v , проходящих через телесный угол dQ около направления е и проходящих через элемент поверхности dA , расположенный перпендикулярно е,- , за время dt равен ci//v(r,u,t}uJ , и каждый фотон переносит импульс (hv/сУ в направлении et. Интегрируя по телесному углу, получим тензор давления излучения в интервале (v,v + dv):
Проинтегрировав по всему диапазону частот и используя Iv(f,u,t) = ch yi//v(r,u,t), получим тензор давления излучения: 0 4я Теперь можно вычислить давление излучения на парус, расположенный на расстоянии г от центра Солнца и ориентированный перпендикулярно направлению из центра г (Рис. 1-3).
Удельная интенсивность излучения предполагается изотропной и не зависящей от времени: Iv(r,u,t)=Iv . Угол 3 определяет отклонение точки поверхности Солнца от направления г . Он ограничен угловым радиусом #0 относительно точки с радиус-вектором г: sm(&0) = Rs/r, Rs - радиус Солнца. Угол ср является компонентой сферических координат (Рис. 1-4). Выражение для тензора давления при указанных условиях будет содержать одну ненулевую компоненту, и она примет вид [23] P{r) = -\ J J /„ cos 2 SdQdv, где cKl = smMM(p
При удалении от Солнца предельное значение давления должно соответствовать случаю получения энергии от точечного источника:
Выражение для давления можно записать в удобной эквивалентной форме, позволяющей видеть, насколько велико отклонение от величины давления, полученного по формуле для излучения из точечного источника [23]:
В случае г- оо имеем Р(г) = Р (г), т.е. значения по разным формулам для давления совпадут. А при r = Rs получим
Р(г) = -Р (г\ т.е. разницу в результате приблизительно на 30%.
Представленные вычисления вносят определенность в каждом конкретном случае, стоит ли рассматривать Солнце как точечный источник света, либо как источник с конечными размерами. Например, на расстоянии орбиты Земли обе эти модели хорошо согласовываются в силу достаточной удаленности планеты от Солнца.
Алгоритм построения приближения к максимально возможному по модулю вращающему моменту вокруг требуемой оси с заданной точностью отклонения
На стадии построения алгоритма переключения пикселей не будем рассматривать эффекты, связанные с орбитальным движением КА (например, изменение координат направляющего вектора солнечного света в орбитальной системе координат). Будем рассматривать лишь вращение связанной с телом системы Oxyz относительно абсолютной OXYZ. В начальный момент времени оси этих систем совпадают, а свет распространяется в противоположном направлении оси OY.
Для каждого пикселя нужно выяснить, освещен ли он. Неосвещенные пиксели либо закрыты поверхностью своего шара, либо другим шаром или телом КА. При моделировании на компьютере, для проверки первого варианта в памяти управляющей системы хранятся векторы внешней нормали к поверхности. Если пиксель затенен, скалярное произведение внешней нормали и вектора направления солнечного света меньше нуля: Я и О. Для проверки затенения другими частями КА, обозначим шары, лежащие на положительных полуосях связанной с КА системы Oxyz за А, В, С, а соответствующие им шары с отрицательных полуосей за А , В , С. Так как солнечный свет направлен против оси Y, то центры пар шаров вдоль общей штанги попадут по разные стороны от плоскости OXZ абсолютной системы, проходящей через точку пересечения штанг (либо одновременно на эту плоскость). Пиксели шаров, центры которых имеют неотрицательную координату Y, не могут быть затенены другими шарами паруса. Координаты вершин пикселей, имеющих отрицательные координаты Y, и для нормалей в этих вершинах выполнено й и 0, проектируются на плоскость OXZ. Так же проектируются точки шаров, центры которых имеют положительную координату Y, и точки тела КА. Для проекций шаров легко получить их уравнения окружностей, на основе которых можно определить, попадают ли в них проекции вершин проверяемого пикселя. Пограничные пиксели, у которых часть точек проекции оказывается внутри окружностей, а часть лежит вне, относятся к освещенным, если освещены три вершины пикселя. Остальными пограничными пикселями можно пренебречь при достаточно мелком разбиении поверхности на пиксели. Для определения проекций тела КА необходимо знать его геометрическую форму и размеры. Для простоты тень тела КА учитываться не будет.
Рассмотрим задачу получения максимального результирующего вращающего момента М от активных пикселей, отклоняющегося от направляющего вектора S в пределах допустимого угла АФ. Наилучшее решение получается перебором всех возможных комбинаций для N пикселей на освещенной
поверхности, количество которых равняется 2N . Но рассмотрение большого количества вариантов при больших N становится невозможным, и поэтому будет применяться “жадный” алгоритм [11], суть которого заключается в поиске локально оптимального решения. Рассмотрим случай I, когда неактивные пиксели прозрачны. На Рис. 2-2 показана блок-схема для описанного ниже алгоритма выбора активности пикселей.
Примем идеальный сценарий отражения, и пусть задана некоторая ориентация конструкции в пространстве. В начале алгоритма все пиксели неактивны. Производится цикл по перебору всех освещенных в данный момент времени пикселей, то есть не находящихся в тени своего или другого шара (первый цикл на блок-схеме Рис. 2-2). На начальном 1-м шаге цикла освещенный пиксель с первым порядковым номером может создать вращающий момент 8Х в случае перевода в активное состояние.
Представим в виде суммы MG=MG]]+MG±, так что вектор MG1_ перпендикулярен оси вращения, а вектор Мщ параллелен ей. Если вектор MGN окажется сонаправленным с вектором S , то необходимо компенсировать только компоненту MGL, отклоняющую вращение от требуемой оси. Поэтому если MG1 + Sl \MG]\, то пиксель переводится в активное состояние. Активным следует его сделать и в том случае, если векторы MG» и S направлены в противоположные стороны, и MG + 8Х MG . После активации пикселя в одном из указанных случаев, происходит переход к следующему по номеру пикселю. Вектор гравитационного момента с учетом компенсации формально станет равным MG = MG + 8Х , и следующий пиксель данного цикла будет проверяться на возможность компенсировать вектор MG по описанным выше критериям. Если же пиксель с моментом дх не удовлетворяет условиям для компенсации MG, и не был активирован, то проверяется следующее условие. Выберем параметр приближения 0 гг 1 , который останется фиксированным для всех пикселей и определит отклонение вращающего момента от оси по окончании цикла. Пусть угол между векторами дх и S равен Д. Если cosfrys , то рассматриваемый пиксель активируется. Если пиксель не удовлетворяет и этому условию, то он оставляется неактивным и заносится во множество пикселей Ч , которые в дальнейшем будут использованы для улучшения результирующего момента: достижения отклонения от оси в пределах АФ и, возможно, увеличения по модулю. Производится переход к следующему по порядку пикселю. Описанная процедура выполняется для всех следующих пикселей цикла. В результате завершения этой части алгоритма получится некоторый момент М1 = MG + MR , где MlR - вращающее воздействие со стороны всех активных пикселей. В блок-схеме на Рис. 2-2 переменные St , MG. , MRi соответствуют значениям момента от рассматриваемого пикселя, формально измененному гравитационному моменту и моменту от действия солнечного давления в начале /–го шага цикла. Запись означает косинус угла между векторами. Суммарный момент от рассмотренных ранее пикселей после /–го шага цикла М,
Алгоритм оценки необходимых геометрических параметров паруса и примеры его работы
Для формулирования четкого критерия, по которому оцениваются необходимые параметры паруса, необходимо знать все условия космической миссии, моменты инерции спутника, и требования к скорости маневров. На данном этапе будет принят следующий критерий: ресурсов пикселей должно быть достаточно, чтобы для любого т создать вращающий момент, отклоняющийся от направляющего вектора оси вращения т в пределах угла АФ . Создать указанный момент может не получиться из-за действия других возмущений, среди которых важная роль уделяется гравитационному моменту. Помимо этого, после компенсации всех внешних возмущений, из-за недостатка в количестве пикселей и слишком грубой аппроксимации ими сферы, может оказаться невозможным выполнить требование на погрешность отклонения. Даже если известны все параметры КА и данные о его миссии, предлагаемый критерий не дает четкого представления о возможной скорости маневрирования. Однако он гарантирует управляемость конструкции, и после построения системы управления можно будет оценить эффективность паруса.
Как было ранее указано, и подтверждено представленными графиками, во время перекрытия шарами друг друга от солнечного света, возникает падение величины вращающего момента. Сказать точно, при каком именно маневре возникает наихудшая ситуация в комбинации с гравитационным моментом и другими возможными внешними возмущениями для конкретного аппарата представляется довольно непростой задачей. Поэтому предлагается следующая идея. Можно задать ориентацию паруса, и проверить возможность построения вращающего момента заданной величины вокруг каждой главной оси в обоих направлениях в пределах заданной точности.
Рассмотрим сферу в пространстве R , определяемую кватернионом Ч\ + Чт. + Яз + Яо = 1 . Эта сфера задает всевозможные ориентации КА. Выберем на ней неким образом равномерно распределенные точки, и проверим в каждой из них выполнение критерия управления. Выполнение критерия при достаточно большом количестве точек позволяет сделать вывод о выполнении критерия при любой ориентации. Если же в какой-либо точке критерий не выполняется, то следует увеличить длину штанг L или радиус сферы R.
Распределение точек по поверхности можно определить, например, следующим образом. Рассмотрим единичный направляющий вектор оси вращения т. Пусть компоненты тх и т этого вектора лежат внутри круга т\ + ті 1 в узлах квадратной сетки с шагом к: тх = Qxh, т = Qyh, где Qx и Q - целые числа, не превосходящие по модулю \lh. Компонента тг находится из условия т =\-mx-rriy . Таким образом, с помощью указанных точек сетки с шагом h в пространстве заданы направляющие векторы осей вращения, причем каждый из них имеет себе противоположный. Для задания ориентации остается определить углы поворота вокруг каждого из векторов в пределах от 0 до п . Их можно выбрать в точках отрезка [0,тг] с шагом лк/п, где п - фиксированное целое положительное число, к целое и 0 к п.
С уменьшением длины h и увеличением п получаемые в рассмотрение точки будут все плотнее располагаться на сфере из пространства R , а количество проверок критерия будет возрастать. При этом уточнении следует ожидать реализации все более неблагоприятных ориентаций, в которых потребуется изменение параметров паруса для повышения эффективности. Если величина L фиксирована, то увеличивать придется только радиус шара R. С уменьшением h и увеличением п он будет стремиться к некоторой предельной величине, которая и является минимально необходимой для управления ориентацией аппарата с помощью паруса. Как становится ясно, при этих проверках очень существенно количество необходимых вычислений. Поэтому нужно поддерживать оптимальное количество пикселей, удобное для проведения всех вычислений достаточно быстро. Например, с ростом R разумно увеличить сторону пикселя d. Так же снизить время позволяет определение критических областей с точки зрения управляемости, используя относительно большое h и малое п , а затем проведение в найденных областях проверки с более мелкой сеткой.
Для демонстрации описанной идеи примем длину штанги равной L = 5м, размер пикселя d = 0,hм и начальный радиус шара R = 0,5м. Кроме того, зафиксировав «=180, для каждой оси возможная ориентация определяется поворотами вокруг нее с шагом в 1. Остальные параметры вновь используем из предыдущих примеров. Формальным критерием управляемости является возможность создать в любой ориентации вращающий момент вокруг главных осей в обоих направлениях с таким допуском на отклонение АФ , что сс ЛФ) 0,99999 . Может оказаться, что результирующий момент очень мал в каких-либо критических случаях, когда парус наименее эффективен в компенсации гравитационного момента. Но в любом случае, в этих ситуациях не происходит потери управляемости. Если при очередной проверке выясняется невыполнение критерия, то радиус шара увеличивается на 0,1м, и производится новая проверка критерия. Увеличивать радиус следует на такое значение, чтобы новое количество пикселей на шаре существенным образом могло улучшить момент по сравнению с предыдущей попыткой. Тривиальным примером, когда увеличение шара вообще не даст никакого прироста эффективности, является увеличение радиуса на величину, не позволяющую добавить на шар новые пиксели. Для проверки результата работы алгоритма подбора шаров следует проследить, как изменяется предлагаемый радиус шара в зависимости от шага h. На Рис. 3-7 показано, как менялся радиус шара в зависимости от h, при его изменении от 0,1 до 1/200 =0,005.
Пример стабилизации КА при моделировании без учета неопределенностей и внешних возмущений
Рассмотрим очередной пример стабилизации модельного паруса (Таблица 4-1) без учета гравитации, а так же немоделируемых возмущений. Пусть ось вращения составляет угол 45 с осью Z, угол 30 с осью X и угол 60 с осью Y. Направляющий вектор этой оси т
В первой части алгоритма цель заключается в создании максимального действующего момента от пикселей по описанному что было принципу. При к 0,0016 было достигнуто р.экв = 0,9р принято как критерий приближения иЭКв к пределам границы допустимых ресурсами управлений U.
Рис. 4-9 - Рис. 4-15 приводят графики для параметров движения в зависимости от времени с использованием параметра к = 0,0016 для определения поверхности скольжения. После достижения границы переключения U, для избегания “chattering” - эффекта параметры были уменьшены
Первой достигает нуля Y - компонента поверхности скольжения в момент времени t 1200 с (Рис. 4-9).
При t«1600с нуля достигает компонента s2 , а при t« 3000с поверхность скольжения s = 0 достигается по всем координатам. Отклонение от S) = 0 для каждого / после достижения нуля по любой координате происходит не более чем на ЗхЮ"7. Это достигнуто благодаря запасу в ресурсах управления из-за переключения несколько ранее достижения границы U, обеспечиваемой ресурсами управления (\и,экв\ = 0,9М ).
На Рис. 4-10 - Рис. 4-12 приведены зависимости для компонент результирующего момента М от времени. При t«1600с все графики претерпевают резкий скачок. По Y - координате достигается поверхность скольжения s2 = 0, и ресурсы перераспределяются для достижения нуля по остальным координатам. После попадания на поверхность скольжения и все оставшееся время маневра t 3000с выполнено йэкв = М.
Приведены зависимости компонент uэкв от времени. Сравнивая с графиками Рис. 4-9 - Рис. 4-12 можно отметить, что после достижения поверхности скольжения по любой из компонент i = 1, 2, 3 выполнено условие uэкв1 Mi . Это подтверждает, что ресурсов управления всегда было достаточно, чтобы обеспечивать uэкв.
Рассмотренный пример подтверждает работу алгоритма при отсутствии неизвестных внешних возмущений. Отметим при этом, что удалось добиться эффективности по минимизации затрачиваемого времени в случае поворота на большой угол: выбранная специально утяжеленной конструкция паруса со спутником в центре была переведена в близкую окрестность нулевой точки нескольким более, чем за 2 часа.
Стабилизация КА с учетом неопределенностей в моментах инерции и внешних возмущений
Для того чтобы убедиться в робастности предлагаемого метода построения управления, рассмотрим далее неопределенности в главных моментах инерции, а так же внешние возмущения. Все параметры самого паруса вновь оставим как в предыдущем примере. При вычислении момента от действия гравитации примем в расчетах орбиту высотой 1000км.
Пусть внешние возмущения d(t) описываются выражением
Из графика модуля вектора возмущений на Рис. 4-16 видно, что его минимальное и максимальное значения соответственно равны приблизительно 6хЮ"6Н/м и 3,ЗхЮ"6Н/м.
