Введение к работе
Актуальность. Тепловые и волновые процессы, протекающие в составных промышленных конструкциях, в большинстве своем описываются математическими моделями, реализуемыми на геометрических графах. Те же принципы математического моделирования положены в основу современного понимания процессов обмена продуктами жизнедеятельности в биологической системе на клеточном уровне (метаболизм клеток). Продукты одних химических реакций, происходящих в клетке, являются субстратами для других, образуя цепи метаболических реакций. Цепи имеют точки ветвления - узлы реакций, продукты которых могут быть использованы в
нескольких метаболических цепях, в совокупности представляющих собой
сеть .
Остановимся на двух важных примерах промышленной теплотехники и технического материаловедения. Задача оптимального нагрева (охлаждения) массивного металлического слитка относится к классу задач, математическая модель которых представляет собой граничную задачу с распределенными параметрами на классическом интервале (Ю.Р.Андреев, А.Г.Бутковский,А.И.Егоров, С.А.Малый). В случае, когда объект наблюдения (металлический слиток) содержит точечные неоднородности, т.е. оснащен системой контроля состояния температурного поля в виде набора датчиков, периферийные компоненты которых определяют точки неоднородности, необходима замена интервала на объединение интервалов. Математическая модель, рассматриваемая на объединении интервалов, требует развития классических методов анализа.
Рассмотрим задачу из области технического материаловедения - анализ процессов колебаний антенных конструкций разного типа. Такие конструкции работают в экстремальных режимах (перепады температур, внешние механические воздействия), и поэтому протекающие в них процессы могут сопровождаться нежелательными (и даже опасными) колебаниями или различного рода неустойчивостями. Возникают ситуации, когда необходимо генерировать колебания заданных частот, чтобы погасить нежелательные колебания, влияющие на работоспособность конструкций. В работе предлагается исследование нескольких типов математических моделей антенных систем. Следует отметить, что анализ колебательных процессов в сетеподобных механических конструкциях ограничился поиском общих закономерностей теоретического характера (С.А.Авдонин, С.А.Иванов, М.И.Белишев, А.В.Боровских, М.Г.Завгородний, К.П.Лазарев, О.М.Пенкин, Ю.В.Покорный, В.В.Провоторов, В.Л.Прядиев, В.А.Юрко, G. Lumer, S. Nicaise, J. Below), численные же методы анализа применительно к конкретным прикладным задачам оставались в тени, находясь в стадии формирования.
Тема диссертационной работы соответствует научной теме «Исследование свойств операторов в функциональных пространствах и актуальных задач для дифференциальных уравнений», регистрационный номер № 0120.0853009, выполняемой математическим факультетом Воронежского государственного университета.
Цель работы. Развитие приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций; разработка и обоснование эффективных численных методов и алгоритмов. Для достижения цели поставлены следующие задачи:
на основе современных представлений явлений тепломассопереноса и колебания упругого тела разработать математические модели тепловых и волновых процессов, проходящих в составных промышленных конструкциях, с помощью формализмов граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на геометрических графах;
на базе существующих численных методов для задач математической физики на компактных графах осуществить развитие метода конечных разностей применительно к математическим моделям тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций: методы построения конечно-разностных аналогов математических моделей, аппроксимации разностными схемами, устойчивость и сходимость решений разностных уравнений;
разработать эффективный маршевый алгоритм, базирующийся на конечно-разностном аналоге математической модели;
реализовать комплекс проблемно-ориентированных программ для ЭВМ для решения задач прикладной теплотехники, деформации и колебаний в составных промышленных конструкциях с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах.
Достоверность и обоснованность полученных результатов основывается на использовании законов явлений тепломассопереноса, деформации и колебаний упругих тел, на проведении вычислительных экспериментов и сравнительным анализом с классическими данными.
Объект исследований. Приближенные аналитические методы исследования математических моделей тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях.
Методы исследования. При выполнении исследования в качестве основного инструментария был применен метод математического моделирования совместно с фундаментальными методами современного анализа прямых задач математической физики. Методы построения разностных схем, их обоснование получены с использованием последних разработок вычислительных методов для уравнений с распределенными
параметрами на графах.
Научная новизна. Предлагается развитие приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепловых и волновых процессов, проходящих в составных промышленных конструкциях: получены новые результаты, относящиеся к области аппроксимации разностными схемами для уравнений с распределенными параметрами на основных типах графа (простейший граф, граф-звезда, граф с циклом); разработана маршевая по времени конечно-разностная схема второго порядка аппроксимации по пространственной переменной; представлен подробный анализ решений разностных уравнений (устойчивость по Нейману и норме, сходимость); представлены решения актуальных задач прикладного характера, описывающих тепловые и волновые процессы в составных промышленных конструкциях, для решения таких задач разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для ЭВМ с проведением вычислительных экспериментов на тестовых задачах.
Практическая значимость. Практическая значимость результатов и методов диссертационной работы заключается в возможности их использования в качестве инструментария в виде предметно- ориентированного программного комплекса для исследования различного рода процессов, протекающих в составных промышленных конструкциях либо иных схожих явлений. Представлены решения актуальных задач промышленной теплотехники, материаловедения и упругости, используемых при проектировании трубопроводов и антенных устройств.
Наиболее существенные результаты, полученные автором и выносимые на защиту. На защиту выносятся приближенные аналитические методы исследования математических моделей тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях, численные методы и алгоритмы в виде комплексов проблемно-ориентированных программ.
-
-
Развитие метода конечных разностей применительно к математическим моделям тепловых и волновых процессов составных промышленных конструкций: методы построения конечно-разностных аналогов математических моделей на сетке графа, аппроксимации разностными схемами, условия устойчивости и сходимости решений разностных уравнений.
-
Решение граничных задач, лежащих в основе математических моделей нагрева металлического слитка со встроенными неоднородностями, моделей тепловых и волновых процессов в трубопроводах и сложных антенных системах.
-
Численные методы, алгоритмы решения конечно-разностных задач на сетке графа, комплекс проблемно-ориентированных программ для решения задач технической теплотехники, материаловедения и упругости.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях и семинарах. Среди них «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011), «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения XXI и XXII» (Воронеж, 2010, 2011), V Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования»(Воронеж, 2011), Международная конференция «Колмогоровские чтения - V. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2011), Международная конференция «Математическая теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2012). Семинары проф. Провоторова В.В. (2011, 2012), проф. Глушко А.В. (2012), проф. Ряжских В.И. (2012).
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 11 опубликованных научных работах, 5 из них - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата, в том числе, свидетельство на программный продукт.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем составляет 170 страниц (в том числе приложение на 35 страницах) и содержит 9 таблиц и 17 рисунков.
Похожие диссертации на Математическое моделирование тепловых и волновых процессов в составных промышленных конструкциях
-
