Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Построение физико-математической модели течения вещества в аккреционном звездном диске в двумерном случае 19
1.1 Постановка задачи 19
1.2 Система уравнений 20
1.3 Начальные и граничные условия для диска с околокеплеровским распределением скорости 22
1.3.1 Начальные условия 22
1.3.2 Граничные условия 24
1.3.3 Начальная модель задания возмущений 25
1.4 Начальные и граничные условия для диска с кеплеровским распределением скорости 26
1.4.1 Начальные условия 26
1.4.2 Граничные условия 27
1.4.3 Начальная модель задания возмущений 27
Глава 2. Создание программного комплекса на основе схемы Роу-Эйнфельдта-Ошера для моделирования газодинамических течений в аккреционном диске. Создание алгоритма распараллеливания расчетов 29
2.1 Схемы годуновского типа Роу и Роу-Эйнфельдта-Ошера 29
2.1.1 Схема Роу 31
2.1.2 Схема Роу-Эйнфельдта 33
2.1.3 Схема Роу-Эйнфельдта-Ошера 33
2.2 Сравнение результатов тестовых расчетов с использованием схем Роу и Роу-Эйнфельдта-Ошера 35
2.2.1 Тест 1. Задача о распаде произвольного разрыва 35
2.2.2 Тест 2. Задача о течении в каверне 37
2.2.3 Тест 3. Задача об обтекании ступеньки 40
2.2.4 Тест 4. Задача об обтекании бесконечного цилиндра 42
2.3 Создание параллельного алгоритма исследуемой задачи 45
2.3.1 Алгоритм распараллеливания 46
2.3.2 Результаты распараллеливания 50
Глава 3. Результаты математического моделирования образования и эволюции вихревых течений в аккреционном диске 54
3.1 Диск с околокеплеровским распределением скорости. Синусоидальные возмущения 54
3.1.1 Непрерывное возмущение при 0<ф<2тс 56
3.1.2 Два локальных симметричных возмущения при 7г/5<ф<2л;/5, б7г/5<ф<7тх/5 65
3.1.3 Одно локальное возмущение при 7г/5<ф<27и/5 68
3.2 Диск с околокеплеровским распределением скорости. Локальное возмущение во внешней области диска 70
3.3 Диск с кеплеровским распределением скорости. Синусоидальные возмущения 74
3.4 Диск с кеплеровским распределением скорости. Локальное возмущение во внешней области диска 77
Глава 4. Перенос углового момента в аккреционном диске 79
4.1 Диск с околокеплеровским распределением скорости. Непрерывное синусоидальное возмущение при 0<ф<2л 79
4.1.1 Кинетическая энергия вихревого течения 79
4.1.2 Угловой момент в диске 81
4.1.3 Энтропия в диске 84
4.2 Перераспределение углового момента в диске с околокеплеровским распределением скорости при локальном возмущении во внешней области диска 86
4.3 Перераспределение углового момента в диске с кеплеровским распределением скорости при непрерывном синусоидальном возмущении азимутальной скорости 90
4.4 Перераспределение углового момента в диске с кеплеровским распределением скорости при локальном возмущении во внешней области диска 91
Заключение 93
Список литературы 94
- Начальные и граничные условия для диска с околокеплеровским распределением скорости
- Сравнение результатов тестовых расчетов с использованием схем Роу и Роу-Эйнфельдта-Ошера
- Диск с околокеплеровским распределением скорости. Локальное возмущение во внешней области диска
- Перераспределение углового момента в диске с околокеплеровским распределением скорости при локальном возмущении во внешней области диска
Введение к работе
Термин аккреционный диск обычно употребляется для обозначения газового диска вокруг массивного (по сравнению с диском) компактного объекта. В двойных звездных системах аккреционные диски - это диски, образуемые газом, перетекающим на компактные звёзды (белые карлики, нейтронные звёзды, чёрные дыры) от звёзд-компаньонов. Если система не является двойной, то аккреционные диски образуются в результате дисковой аккреции межзвёздного газа на одиночные компактные звёзды. Аккреционные диски проявляют себя рентгеновским излучением. Они ответственны за многие наблюдательные проявления двойных рентгеновских источников, вспышечных (взрывных) переменных звёзд, звёзд типа U Близнецов и т.д. Определяющей чертой аккреционного диска является переход гравитационной энергии аккрецирующего (падающего) на компактный объект вещества в тепловую энергию с последующим излучением. Весьма часто понятием "аккреционный диск" пользуются в более широком смысле, подразумевая газовый диск, для которого существенен процесс падения вещества на аккумулирующий центр. Примером могут служить протозвездные, протопланетные галактические диски. Дисковая аккреция вещества (аккреция вещества с большим моментом количества движения, приводящая к образованию аккреционного диска) на сверхмассивные чёрные дыры является одним из наиболее распространённых объяснений активности ядер галактик и квазаров. Таким образом, с точки зрения физических процессов любые результаты, относящиеся к газовым дискам, в полной мере относятся к аккреционным дискам. Для дисков, вращающихся вокруг компактных объектов, самогравитация газа несущественна.
Теоретические исследования аккреционных звездных дисков вблизи гравитирующих тел проводятся уже много лет. Наблюдения аккреционных дисков свидетельствуют о значительном потоке вещества на аккретор. Это возможно лишь при условии передачи наружным частям диска большей доли момента вращения аккрецирующего газа. Таким образом, одной из ключевых проблем физики аккреционных дисков является вопрос о механизмах отвода углового момента, обеспечивающих падение вещества на гравитирующий центр.
В качестве механизма отвода углового момента предлагались различные физические процессы, например, турбулентная вязкость [1]. В своей классической работе [2] Шакура и Сюняев отметили, что турбулентность в диске может обеспечить эффективную вязкость, которая будет гораздо больше молекулярной вязкости. Именно такая мощная турбулентность способна переработать кинетическую энергию падающего на аккреционный диск вещества в энергию излучения. Эта теория получила название «теория а-диска». Под а понимается безразмерный параметр, который показывает, насколько эффективно турбулентность приводит к переносу углового момента.
Известны также попытки использовать для объяснения падения углового момента магнитную вязкость. В [3] показано, что гидродинамически устойчивый аккреционный диск при наличии даже слабого магнитного поля становится неустойчивым, и в диске возникают турбулентные течения. Впервые это явление было рассмотрено в [4], где было показано, что при определенных распределениях магнитного поля и угловой скорости возникает неустойчивость, которая была названа магниторотационной. Появление такой неустойчивости приводит к перераспределению углового момента и его отводу к внешним частям диска. Однако для реализации такого механизма необходимо наличие магнитного поля. Из наблюдений известно, что существует довольно много систем, в которых магнитное поле настолько мало, что никак себя не проявляет.
Известны также другие, не столь распространенные, механизмы перераспределения углового момента. Перечислим главные из них: приливное взаимодействие [5-7], спиральные ударные волны [8-11], конвекция [12-15], ветер от аккреционного диска и джеты (струйные выбросы) [16-19], перенос углового момента распространяющимися волнами [20-22], а также параметрическая [23, 24] и бароклинная [25-27] неустойчивости. Анализ различных способов передачи момента показывает, что все рассматриваемые механизмы встречаются с определенными трудностями при объяснении свойств аккреционных дисков.
Согласно сложившимся представлениям турбулентная вязкость сдвигового течения носит локальный динамический характер и ведет к локальному излучению тепловой энергии [28]. В связи с этим важной проблемой последнего времени является низкая температура диска, фиксируемая в наблюдениях, по сравнению с температурой, получаемой в ряде существующих моделей при известной наблюдаемой интенсивности излучения и известном темпе аккреции. Существует большое количество работ, пытающихся объяснить данное несоответствие и рассматривающих переход кинетической энергии турбулентного движения не только в тепло, но и в другие виды энергии. В связи с этим появилась теория адвекции в аккреционных дисках [28], где предложена модель оптически тонких дисков с двухтемпературным состоянием плазмы для ионов и электронов, в которой локально излучается лишь некоторая часть тепловой энергии за счет процессов, ведущих к излучению энергии электронами. Другая же часть энергии переносится с потоком вещества к центру диска и, в случае черной дыры, поглощается ею, а для нейтронных звезд переизлучается с поверхности звезды.
Данная работа является развитием цикла работ Олега Михайловича Белоцерковского [29], посвященных исследованию возникновения в свободном сдвиговом течении крупных упорядоченных вихревых структур в результате развития малых возмущений. Предлагаемая работа рассматривает проблему возникновения и развития крупномасштабного вихревого движения из начальных малых возмущений. Эта проблема представляет большой интерес для различных дисковых течений в астрофизических условиях [30-33]. Появление крупномасштабного вихревого движения приводит к переносу углового момента крупными вихревыми структурами, образующимися в сдвиговом течении в аккреционном диске. При перераспределении углового момента крупными структурами не происходит заметного нагрева вещества. В таком процессе оказывается возможным получить требуемую скорость аккреции при достаточно низкой температуре вещества аккреционного диска.
Таким образом, основной задачей работы является нахождение нового механизма перераспределения углового момента, ведущего к аккреции с меньшим локальным выделением тепловой энергии.
Большой интерес также представляет частный случай, представляющий собой процесс эволюции малого возмущения, внесенного локально вблизи внешней границы аккреционного диска, где плотность вещества мала (на несколько порядков меньше средней плотности вещества диска). Возмущение скорости и плотности на краю диска может быть связано с различными физическими процессами. Например, аккреция вещества с другим угловым моментом на внешний край аккреционного диска приводит к такому возмущению. В [34] рассмотрен процесс течения вещества в окрестности аккреционного диска с противоположным угловым моментом. В результате такого взаимодействия газ из внешней области диска с малым угловым моментом начинает активно аккрецировать внутрь диска, возмущая вещество внутри него и приводя к перераспределению момента. Процессы, приводящие к данному возмущению, также могут возникать в двойных системах при изменении режима истекания вещества с одной из компонент. Похожее возмущение возникает в случае пролета тяжелого тела через аккреционный диск. В [35] рассмотрено возмущение диска, вызванное тяжелым телом, прошедшим сквозь аккреционный диск. Приливное возмущение от такого тела приводит к возмущению угловой скорости в области пролета, даже если плотность в этой области не очень большая. В [35] исследовано течение, возникающее на верхней и нижней границах аккреционного диска, и показана возможность появления крупных вихревых структур. В данной работе более детально исследуется появление новых структур течения при возникновении возмущения такого типа.
За последние полвека разработано большое количество разностных схем для численного решения задач газовой динамики. В гравитационной газовой динамике и в прикладных задачах астрофизики в общей структуре течения, как правило, присутствуют сильные ударные волны и контактные разрывы. Впервые конечно-разностная схема для расчета течений с разрывами была предложена в 1950г. фон Нейманом и Рихтмайером [36]. По мере развития методов вычислительной математики для исследования разрывных течений разрабатывались более точные и удобные методы.
Уравнения Эйлера представляют собой систему нелинейных гиперболических уравнений. С математической точки зрения наиболее интересной особенностью гиперболических систем является возможность появления разрывных решений даже из гладких начальных данных. Эти разрывы являются математической идеализацией резких градиентов, возникающих в гладких решениях уравнений Навье-Стокса в областях быстрого изменения параметров на расстояниях, много меньших, чем характерные размеры задачи. Именно использование математических особенностей гиперболических уравнений позволяет строить эффективные численные методы, несмотря на то, что получающиеся численные решения должны быть почти разрывными. Кроме того, для решения гиперболических систем можно, как правило, использовать явные методы, что позволяет надеяться на получение высокой вычислительной эффективности и существенное сокращение времени счета при распараллеливании методом декомпозиции области с использованием коммуникационной библиотеки MPI [37].
Исторически первые схемы для решения уравнений газовой динамики либо давали очень размазанные разрывы, как, например, схема Лакса 10 Фридрихса [38, 39], либо приводили к возникновению сильных осцилляции за ударной волной, как, например, схема Лакса-Вендроффа [40]. Очевидно, что общее направление развития численных методов для решения уравнений газовой динамики лежит на пути уменьшения численной вязкости при сохранении монотонности схемы. Для уменьшения численной вязкости схемы можно использовать характеристические свойства гиперболической системы. Впервые это использовалось в схеме Куранта-Изаксона-Риса [41], обладающей минимальной вязкостью из всех линейных монотонных схем первого порядка аппроксимации для линейной системы гиперболических уравнений. Построение монотонных схем более высокого порядка аппроксимации входит в противоречие с теоремой Годунова [42], утверждающей, что из трех свойств разностной схемы для линейной системы гиперболического типа — линейности, монотонности, аппроксимации с порядком выше первого — одновременно могут иметь место только два. Для преодоления этого запрета предложены схемы линейной гибридизации, представляющие из себя суперпозицию схемы повышенного порядка аппроксимации, которая дает более высокую точность в областях гладкости, и схемы первого порядка с достаточной вязкостью, обеспечивающей монотонность около скачков [43-47]. Дальнейшее развитие этого подхода привело к схемам с ограничителями антидиффузионных потоков, являющимися нелинейными функциями анализаторов гладкости [48-55].
Еще одним важным свойством разностной схемы является требование консервативности, то есть выполнения законов сохранения в разностном виде. Известно (см., например, [56-59]), что схемы, не обладающие этим свойством, могут давать решения, весьма далекие от истинного, в частности, ударные волны, движущиеся с неправильными скоростями. Для обеспечения консервативности схемы естественно использовать запись схемы в потоковом виде, то есть когда искомые решения - функции получаются в результате разностного дифференцирования функции соответствующего потока. Для вычисления потоков на границах разностных ячеек в 1959 Годуновым [42, 60] предложен метод, основанный на решении задачи о распаде произвольного разрыва (или задачи Римана). Таким образом, сделан важнейший шаг от схем, базирующихся на разложении в ряд Тейлора и предполагающих, что решение гладкое, к схемам, основанным на взаимодействии газодинамических разрывов. Дальнейшее развитие этого подхода привело к схемам годуновского типа с приближенным решением задачи о распаде разрыва [61-63]. Схема Роу является монотонной и имеет меньшую численную вязкость, чем, например, схема Лакса-Фридрихса. Однако низкая численная вязкость схемы Роу приводит к образованию нефизических ударных волн разрежения в приближенных решениях. Модификация схемы Роу с помощью метода Эйнфельдта [64] позволяет этого избежать. Для построения схемы повышенного порядка аппроксимации к схеме Роу-Эйнфельдта первого порядка аппроксимации добавляются антидиффузионные потоки в форме Ошера [53], сохраняющие свойство монотонности. Сравнение четырех различных разностных схем рассмотренных типов: Лакса-Фридрихса, Роу, Роу-Эйнфельдта, Роу-Эйнфельдта-Ошера повышенного порядка аппроксимации проведено в работе О.А. Кузнецова [65]. В ней показано, что монотонная схема Лакса-Фридрихса имеет большую аппроксимационную вязкость, что приводит к сильному размазыванию решений в области резких изменений свойств среды. Схема Роу-Эйнфельдта, лишенная недостатков схемы Лакса-Фридрихса и схемы Роу, дает хорошие, но все же сглаженные решения, что обусловлено ее первым порядком аппроксимации. Среди всех рассматриваемых схем наиболее верно и точно передает решение газодинамических задач схема Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации. В диссертации проведено дополнительное сравнение схем Роу-Эйнфельдта и Роу-Эйнфельдта-Ошера и показано, что для моделирования вихревых течений в аккреционных дисках целесообразно использовать схему Роу-Эйнфельдта-Ошера. Данная диссертационная работа посвящена математическому моделированию течений в аккреционных звездных дисках. Целью работы является исследование механизма перераспределения углового момента крупными вихревыми структурами, возникающими в аккреционном диске, при котором не происходит существенного нагрева вещества диска. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе описана физико-математическая постановка задачи об аккреционном звездном диске. В работе в рамках гидродинамического приближения рассмотрен аккреционный диск, находящийся в поле центрального гравитирующего тела. Предположено, что диск является оптически тонким, т.е. толщина диска много меньше его радиуса, поэтому задача рассмотрена в плоском двумерном случае. Самогравитация вещества диска не учтена. Газ является сжимаемым, идеальным и его поведение описано системой двумерных уравнений газовой динамики в переменных Эйлера в полярных координатах с уравнением состояния идеального газа.
Расчетная область представляет собой кольцо, внутри которого задано начальное распределение параметров аккреционного диска. Центральное гравитирующее тело в расчетную область не входит. На границе области поставлены "свободные" граничные условия или условия непротекания. В качестве начального состояния взято аналитическое решение, являющееся равновесным состоянием в двумерном случае. В качестве равновесного состояния взято распределения параметров с околокеплеровским или кеплеровским распределением скорости. Отмечено, что без внесения малых возмущений диск сохраняет свое состояние достаточно продолжительное время.
Для инициализации неустойчивости в равновесное состояние аккреционного диска внесены малые возмущения. Рассмотрено несколько вариантов задания таких возмущений в дисках с околокеплеровским и кеплеровским распределением скорости: синусоидальное возмущение азимутальной составляющей скорости в зоне максимальных значений плотности диска в различных интервалах по углу; возмущение углового момента в локальной области во внешней части аккреционного диска, которое может быть вызвано попаданием вещества с другим угловым моментом в аккреционный диск.
Вторая глава посвящена численной реализации поставленной задачи. Рассмотрены схемы первого порядка Роу и Роу-Эйнфельдта, а также схема третьего порядка Роу-Эйнфельдта-Ошера. На примерах тестовых задач о распаде произвольного разрыва, обтекания ступеньки, течения жидкости в каверне, обтекания цилиндрического тела показано, что использование схем первого порядка приводит к сглаживанию и сильному затуханию мелкомасштабных возмущений. Таким образом, при одинаковом числе точек сетки схемы Роу и Роу-Эйнфельдта первого порядка по сравнению со схемой третьего порядка аппроксимации Роу-Эйнфельдта-Ошера не позволяют достаточно точно передать структуру возникающего вихревого течения, "размазывая" решение.
Показано, что для численного исследования мелкомасштабных турбулентных течений целесообразно использовать схему третьего порядка аппроксимации Роу-Эйнфельдта-Ошера с незначительной схемной диссипацией.
Ввиду большого объема вычислительной работы алгоритм распараллелен, и расчеты проведены на многопроцессорных вычислительных системах. Используемая схема Роу-Эйнфельдта-Ошера в связи с ее явностью удобна при реализации на многопроцессорных вычислительных комплексах.
В главе приведен алгоритм распараллеливания, основанный на декомпозиции области по углу. При реализации параллельного алгоритма использован интерфейс MPI (The Message Passing Interface), который является библиотекой функций, обеспечивающей взаимодействие параллельных процессов с помощью механизма передачи сообщений. Алгоритм протестирован на многопроцессорных вычислительных комплексах МВС-15000ВМ и MBC-6000IM, установленных в МСЦ РАН, а также на IBM eServer pSeries 690 (Regatta), установленном в МГУ им. М.В. Ломоносова.
Анализ времени расчетов на всех суперкомпьютерах показывает высокую эффективность распараллеливания, т.е. ускорения расчетов. Более того, ускорение расчетов наблюдается при увеличении числа процессоров вплоть до размерности сетки по углу, что является хорошим показателем, т.к. означает, что не происходит насыщения. Кроме этого, полученные зависимости ускорения расчетов от числа процессоров одинаковы для систем с различной архитектурой памяти (общей или распределенной), т.е. эффективность предложенного алгоритма подтверждается независимостью от архитектуры суперкомпьютеров. Использование многопроцессорных вычислительных комплексов позволило решить поставленные задачи за разумное время.
Третья глава посвящена описанию результатов численного решения задачи об аккреционном диске. Образование и эволюция разномасштабных возмущений в аккреционных дисках в двойных звездных системах является важной задачей гравитационной астрофизики. Основной интерес представляет изучение развития мелкомасштабных возмущений под воздействием различных факторов. Образование в аккреционных дисках крупных спиральных структур различной морфологии вызывает перераспределение энергии и углового момента в газе. Турбулентная вязкость и взаимодействие между крупномасштабными и мелкомасштабными возмущениями и вихрями может вносить в этот процесс значительный вклад. Особенностью задачи является наличие гравитационной силы, которая может изменять условия возникновения крупномасштабных структур. Кроме того, крупномасштабные вихревые структуры в аккреционных дисках могут зарождаться за счет сдвигового течения.
В главе рассмотрено возникновение в аккреционных звездных дисках с двумя различными начальными состояниями вихревых течений, образующихся вследствие внесения в начальное состояние малых возмущений различного типа.
Рассмотрен аккреционный диск с околокеплеровским распределением скорости. Расчетная область выбрана так, что по радиусу ее размер приблизительно в два раза превышает характерный размер диска, т.е. область сосредоточения основной массы диска. Плотность у границ на несколько порядков меньше ее значений в центральной зоне, что минимизирует влияние граничных условий.
С целью исследования устойчивости диска по отношению к малым возмущениям в равновесное состояние диска внесены синусоидальные возмущения азимутальной составляющей скорости в зоне максимальных значений плотности диска. Проведены серии расчетов с амплитудой возмущений от 1% до 20% от равновесной азимутальной скорости, с заданием возмущений в полосе шириной в одну или в две ячейки, с различной частотой возмущений и на различных сетках. Результаты расчетов показывают, что малые возмущения приводят к образованию крупных вихревых структур, при этом перестройке подвергается течение практически во всей области, хотя начальное возмущение задано лишь в малой ее части.
Большой интерес также представляет случай, когда возмущение в сдвиговом течении появляется в локальной области, близкой к внешней границе аккреционного диска. Приведено численное решение задачи, моделирующей развитие возмущения, задаваемого локально во внешней части равновесного аккреционного диска. Показано, что в результате образуются крупные структуры, распространяющиеся на весь диск.
Изучение завихренности показывает образование и существование на протяжении всего расчета крупных структур течения. Исследовано поведение крупных структур со временем. Показано образование такого физического эффекта, как дорожка Кармана, возникающая за крупными структурами при обтекании их вращающимся веществом диска. Рассмотрен аккреционный диск с кеплеровским распределением скорости. Внешняя граница расчетной области проходит через центральную часть диска. Результаты расчетов с заданием синусоидального возмущения скорости и с заданием локального возмущения показывают качественное сходство с результатами предыдущих расчетов.
Четвертая глава посвящена исследованию возникающих в диске крупновихревых течений и физическому эффекту перераспределения углового момента в аккреционном звездном диске.
На примере расчета с внесением малых возмущений в области максимальных значений плотности для диска с околокеплеровским распределением скорости подробно рассмотрены свойства возникающих течений.
Показано, что со временем поведение системы выходит на квазистационарный режим, при котором кинетическая энергия вихревого движения слабо изменяется со временем, колеблясь вблизи почти постоянного значения, причем это значение постоянно для различных значений амплитуды начальных возмущений. Из результатов расчетов следует, что кинетическая энергия вихревого движения в квазистационарном режиме определяется начальной кинетической энергией и практически не зависит от энергии первичного возмущения. Это подтверждает предположение о развитии крупномасштабного вихревого движения в сдвиговом течении аккреционных дисков и подтверждает то, что после прохождения пика развития возмущений, вихревые структуры не исчезают, течение остается вихревым, и крупные структуры переносят угловой момент к внешним частям диска.
Исследовано изменение и перераспределение углового момента в возникающем течении. Показано, что в системе происходит значительное перераспределение момента вдоль радиуса, причем общий угловой момент в системе остается практически неизменным. Отмечено, что масса газа в системе также остается практически постоянной, т.е. перераспределение углового момента происходит не за счет потока вещества через границы.
Рассмотрено поведение энтропии, в частности, ее изменение со временем в системе. Показано, что энтропия в системе практически постоянна. С учетом отсутствия в рассматриваемой модели вязкости и теплопроводности, а также с учетом малой схемной вязкости используемого численного метода постоянство энтропии означает, что течение является практически адиабатическим, выделения большого количества тепла не происходит, следовательно, турбулентная вязкость мала и не может являться механизмом, с помощью которого происходит перераспределение момента. Таким образом, наблюдаемое в расчетах перераспределение момента связано с образованием крупных структур, и именно за их счет осуществляется перенос момента.
Исследован случай задания локального возмущения во внешней части диска с околокеплеровским распределением скорости. Показано, что движение крупных структур в аккреционном диске приводит к перераспределению углового момента. В области, содержащей крупные вихревые структуры вблизи внешней границы, идет интенсивная отдача углового момента, что приводит к сжатию внешней части диска. Во внутренней области значительно увеличивается угловой момент, что подтверждает увеличение внутренней аккреции.
При исследовании аналогичных вариантов задания возмущения для диска с кеплеровским распределением скорости также показано, что за счет крупных структур происходит значительное перераспределение суммарного углового момента в аккреционных дисках.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Начальные и граничные условия для диска с околокеплеровским распределением скорости
Годуновым [42, 60] предложен метод, основанный на решении задачи о распаде произвольного разрыва (или задачи Римана). Таким образом, сделан важнейший шаг от схем, базирующихся на разложении в ряд Тейлора и предполагающих, что решение гладкое, к схемам, основанным на взаимодействии газодинамических разрывов. Дальнейшее развитие этого подхода привело к схемам годуновского типа с приближенным решением задачи о распаде разрыва [61-63]. Схема Роу является монотонной и имеет меньшую численную вязкость, чем, например, схема Лакса-Фридрихса. Однако низкая численная вязкость схемы Роу приводит к образованию нефизических ударных волн разрежения в приближенных решениях. Модификация схемы Роу с помощью метода Эйнфельдта [64] позволяет этого избежать. Для построения схемы повышенного порядка аппроксимации к схеме Роу-Эйнфельдта первого порядка аппроксимации добавляются антидиффузионные потоки в форме Ошера [53], сохраняющие свойство монотонности. Сравнение четырех различных разностных схем рассмотренных типов: Лакса-Фридрихса, Роу, Роу-Эйнфельдта, Роу-Эйнфельдта-Ошера повышенного порядка аппроксимации проведено в работе О.А. Кузнецова [65]. В ней показано, что монотонная схема Лакса-Фридрихса имеет большую аппроксимационную вязкость, что приводит к сильному размазыванию решений в области резких изменений свойств среды. Схема Роу-Эйнфельдта, лишенная недостатков схемы Лакса-Фридрихса и схемы Роу, дает хорошие, но все же сглаженные решения, что обусловлено ее первым порядком аппроксимации. Среди всех рассматриваемых схем наиболее верно и точно передает решение газодинамических задач схема Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации. В диссертации проведено дополнительное сравнение схем Роу-Эйнфельдта и Роу-Эйнфельдта-Ошера и показано, что для моделирования вихревых течений в аккреционных дисках целесообразно использовать схему Роу-Эйнфельдта-Ошера.
Данная диссертационная работа посвящена математическому моделированию течений в аккреционных звездных дисках. Целью работы является исследование механизма перераспределения углового момента крупными вихревыми структурами, возникающими в аккреционном диске, при котором не происходит существенного нагрева вещества диска. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе описана физико-математическая постановка задачи об аккреционном звездном диске. В работе в рамках гидродинамического приближения рассмотрен аккреционный диск, находящийся в поле центрального гравитирующего тела. Предположено, что диск является оптически тонким, т.е. толщина диска много меньше его радиуса, поэтому задача рассмотрена в плоском двумерном случае. Самогравитация вещества диска не учтена. Газ является сжимаемым, идеальным и его поведение описано системой двумерных уравнений газовой динамики в переменных Эйлера в полярных координатах с уравнением состояния идеального газа.
Расчетная область представляет собой кольцо, внутри которого задано начальное распределение параметров аккреционного диска. Центральное гравитирующее тело в расчетную область не входит. На границе области поставлены "свободные" граничные условия или условия непротекания. В качестве начального состояния взято аналитическое решение, являющееся равновесным состоянием в двумерном случае. В качестве равновесного состояния взято распределения параметров с околокеплеровским или кеплеровским распределением скорости. Отмечено, что без внесения малых возмущений диск сохраняет свое состояние достаточно продолжительное время.
Для инициализации неустойчивости в равновесное состояние аккреционного диска внесены малые возмущения. Рассмотрено несколько вариантов задания таких возмущений в дисках с околокеплеровским и кеплеровским распределением скорости: синусоидальное возмущение азимутальной составляющей скорости в зоне максимальных значений плотности диска в различных интервалах по углу; возмущение углового момента в локальной области во внешней части аккреционного диска, которое может быть вызвано попаданием вещества с другим угловым моментом в аккреционный диск.
Вторая глава посвящена численной реализации поставленной задачи. Рассмотрены схемы первого порядка Роу и Роу-Эйнфельдта, а также схема третьего порядка Роу-Эйнфельдта-Ошера. На примерах тестовых задач о распаде произвольного разрыва, обтекания ступеньки, течения жидкости в каверне, обтекания цилиндрического тела показано, что использование схем первого порядка приводит к сглаживанию и сильному затуханию мелкомасштабных возмущений. Таким образом, при одинаковом числе точек сетки схемы Роу и Роу-Эйнфельдта первого порядка по сравнению со схемой третьего порядка аппроксимации Роу-Эйнфельдта-Ошера не позволяют достаточно точно передать структуру возникающего вихревого течения, "размазывая" решение.
Показано, что для численного исследования мелкомасштабных турбулентных течений целесообразно использовать схему третьего порядка аппроксимации Роу-Эйнфельдта-Ошера с незначительной схемной диссипацией.
Сравнение результатов тестовых расчетов с использованием схем Роу и Роу-Эйнфельдта-Ошера
Анализ времени расчетов на всех суперкомпьютерах показывает высокую эффективность распараллеливания, т.е. ускорения расчетов. Более того, ускорение расчетов наблюдается при увеличении числа процессоров вплоть до размерности сетки по углу, что является хорошим показателем, т.к. означает, что не происходит насыщения. Кроме этого, полученные зависимости ускорения расчетов от числа процессоров одинаковы для систем с различной архитектурой памяти (общей или распределенной), т.е. эффективность предложенного алгоритма подтверждается независимостью от архитектуры суперкомпьютеров. Использование многопроцессорных вычислительных комплексов позволило решить поставленные задачи за разумное время.
Третья глава посвящена описанию результатов численного решения задачи об аккреционном диске. Образование и эволюция разномасштабных возмущений в аккреционных дисках в двойных звездных системах является важной задачей гравитационной астрофизики. Основной интерес представляет изучение развития мелкомасштабных возмущений под воздействием различных факторов. Образование в аккреционных дисках крупных спиральных структур различной морфологии вызывает перераспределение энергии и углового момента в газе. Турбулентная вязкость и взаимодействие между крупномасштабными и мелкомасштабными возмущениями и вихрями может вносить в этот процесс значительный вклад. Особенностью задачи является наличие гравитационной силы, которая может изменять условия возникновения крупномасштабных структур. Кроме того, крупномасштабные вихревые структуры в аккреционных дисках могут зарождаться за счет сдвигового течения.
В главе рассмотрено возникновение в аккреционных звездных дисках с двумя различными начальными состояниями вихревых течений, образующихся вследствие внесения в начальное состояние малых возмущений различного типа.
Рассмотрен аккреционный диск с околокеплеровским распределением скорости. Расчетная область выбрана так, что по радиусу ее размер приблизительно в два раза превышает характерный размер диска, т.е. область сосредоточения основной массы диска. Плотность у границ на несколько порядков меньше ее значений в центральной зоне, что минимизирует влияние граничных условий.
С целью исследования устойчивости диска по отношению к малым возмущениям в равновесное состояние диска внесены синусоидальные возмущения азимутальной составляющей скорости в зоне максимальных значений плотности диска. Проведены серии расчетов с амплитудой возмущений от 1% до 20% от равновесной азимутальной скорости, с заданием возмущений в полосе шириной в одну или в две ячейки, с различной частотой возмущений и на различных сетках. Результаты расчетов показывают, что малые возмущения приводят к образованию крупных вихревых структур, при этом перестройке подвергается течение практически во всей области, хотя начальное возмущение задано лишь в малой ее части.
Большой интерес также представляет случай, когда возмущение в сдвиговом течении появляется в локальной области, близкой к внешней границе аккреционного диска. Приведено численное решение задачи, моделирующей развитие возмущения, задаваемого локально во внешней части равновесного аккреционного диска. Показано, что в результате образуются крупные структуры, распространяющиеся на весь диск.
Диск с околокеплеровским распределением скорости. Локальное возмущение во внешней области диска
Термин аккреционный диск обычно употребляется для обозначения газового диска вокруг массивного (по сравнению с диском) компактного объекта. В двойных звездных системах аккреционные диски - это диски, образуемые газом, перетекающим на компактные звёзды (белые карлики, нейтронные звёзды, чёрные дыры) от звёзд-компаньонов. Если система не является двойной, то аккреционные диски образуются в результате дисковой аккреции межзвёздного газа на одиночные компактные звёзды. Аккреционные диски проявляют себя рентгеновским излучением. Они ответственны за многие наблюдательные проявления двойных рентгеновских источников, вспышечных (взрывных) переменных звёзд, звёзд типа U Близнецов и т.д. Определяющей чертой аккреционного диска является переход гравитационной энергии аккрецирующего (падающего) на компактный объект вещества в тепловую энергию с последующим излучением. Весьма часто понятием "аккреционный диск" пользуются в более широком смысле, подразумевая газовый диск, для которого существенен процесс падения вещества на аккумулирующий центр. Примером могут служить протозвездные, протопланетные галактические диски. Дисковая аккреция вещества (аккреция вещества с большим моментом количества движения, приводящая к образованию аккреционного диска) на сверхмассивные чёрные дыры является одним из наиболее распространённых объяснений активности ядер галактик и квазаров. Таким образом, с точки зрения физических процессов любые результаты, относящиеся к газовым дискам, в полной мере относятся к аккреционным дискам. Для дисков, вращающихся вокруг компактных объектов, самогравитация газа несущественна.
Теоретические исследования аккреционных звездных дисков вблизи гравитирующих тел проводятся уже много лет. Наблюдения аккреционных дисков свидетельствуют о значительном потоке вещества на аккретор. Это возможно лишь при условии передачи наружным частям диска большей доли момента вращения аккрецирующего газа. Таким образом, одной из ключевых проблем физики аккреционных дисков является вопрос о механизмах отвода углового момента, обеспечивающих падение вещества на гравитирующий центр.
В качестве механизма отвода углового момента предлагались различные физические процессы, например, турбулентная вязкость [1]. В своей классической работе [2] Шакура и Сюняев отметили, что турбулентность в диске может обеспечить эффективную вязкость, которая будет гораздо больше молекулярной вязкости. Именно такая мощная турбулентность способна переработать кинетическую энергию падающего на аккреционный диск вещества в энергию излучения. Эта теория получила название «теория а-диска». Под а понимается безразмерный параметр, который показывает, насколько эффективно турбулентность приводит к переносу углового момента.
Известны также попытки использовать для объяснения падения углового момента магнитную вязкость. В [3] показано, что гидродинамически устойчивый аккреционный диск при наличии даже слабого магнитного поля становится неустойчивым, и в диске возникают турбулентные течения. Впервые это явление было рассмотрено в [4], где было показано, что при определенных распределениях магнитного поля и угловой скорости возникает неустойчивость, которая была названа магниторотационной. Появление такой неустойчивости приводит к перераспределению углового момента и его отводу к внешним частям диска. Однако для реализации такого механизма необходимо наличие магнитного поля. Из наблюдений известно, что существует довольно много систем, в которых магнитное поле настолько мало, что никак себя не проявляет.
Известны также другие, не столь распространенные, механизмы перераспределения углового момента. Перечислим главные из них: приливное взаимодействие [5-7], спиральные ударные волны [8-11], конвекция [12-15], ветер от аккреционного диска и джеты (струйные выбросы) [16-19], перенос углового момента распространяющимися волнами [20-22], а также параметрическая [23, 24] и бароклинная [25-27] неустойчивости. Анализ различных способов передачи момента показывает, что все рассматриваемые механизмы встречаются с определенными трудностями при объяснении свойств аккреционных дисков.
Согласно сложившимся представлениям турбулентная вязкость сдвигового течения носит локальный динамический характер и ведет к локальному излучению тепловой энергии [28]. В связи с этим важной проблемой последнего времени является низкая температура диска, фиксируемая в наблюдениях, по сравнению с температурой, получаемой в ряде существующих моделей при известной наблюдаемой интенсивности излучения и известном темпе аккреции. Существует большое количество работ, пытающихся объяснить данное несоответствие и рассматривающих переход кинетической энергии турбулентного движения не только в тепло, но и в другие виды энергии. В связи с этим появилась теория адвекции в аккреционных дисках [28], где предложена модель оптически тонких дисков с двухтемпературным состоянием плазмы для ионов и электронов, в которой локально излучается лишь некоторая часть тепловой энергии за счет процессов, ведущих к излучению энергии электронами. Другая же часть энергии переносится с потоком вещества к центру диска и, в случае черной дыры, поглощается ею, а для нейтронных звезд переизлучается с поверхности звезды.
Данная работа является развитием цикла работ Олега Михайловича Белоцерковского [29], посвященных исследованию возникновения в свободном сдвиговом течении крупных упорядоченных вихревых структур в результате развития малых возмущений. Предлагаемая работа рассматривает проблему возникновения и развития крупномасштабного вихревого движения из начальных малых возмущений.
Перераспределение углового момента в диске с околокеплеровским распределением скорости при локальном возмущении во внешней области диска
Из полученных результатов видно, что хотя расчеты по двум схемам качественно повторяют друг друга, схема Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации лучше передает картину течения, на которой более четко прослеживается образование вихревых структур [71]. В расчетах по схеме Роу отошедшая ударная волна сильно «размазана».
На рис. 9 представлены результаты расчетов на более поздний момент времени. Цветом отображено распределение плотности. За обтекаемым телом формируется, вообще говоря, довольно сложная картина течения, которая сильно зависит от числа Рейнольдса [79]. При числах Рейнольдса, стремящихся к бесконечности (что соответствует рассматриваемому нами случаю отсутствия вязкости), течение в области за телом становится неустойчивым. В расчете по схеме Роу-Эйнфельдта-Ошера (рис. 96) мы видим образование такой неустойчивости. Схема Роу первого порядка (рис. 9а) не передает возникающей за цилиндром неустойчивости, сильно сглаживая и "размазывая" решение (рис. 9).
Проведенный анализ результатов численных расчетов по схемам Роу и Роу-Эйнфельдта-Ошера позволяет сделать следующие выводы. Хотя схема Роу качественно верно передает газодинамические течения, возникающие в результате решения различных задач, она слишком сглаживает решения из-за большой схемной вязкости, теряя некоторые важные особенности, в частности, вихревые структуры. Полученные результаты подтверждают целесообразность использования схемы Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации по пространству и первого по времени для расчета эволюции разномасштабных возмущений в многомерной геометрии.
Отметим, что затраты машинного времени на схему Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка в три раза превышают затраты на схему Роу первого порядка, а для того, чтобы получить при расчете по схеме Роу такие же результаты, как при расчете по схеме третьего порядка, необходимо измельчить сетку в 3-4 раза по каждому направлению. Достоинство этой схемы также в том, что она явная, что позволяет распараллелить вычисления.
Сетки использовались равномерные, и число точек сетки выбиралось таким образом, чтобы ячейки сетки были близки к квадратной форме (Аг&гА(р) в нужной области. Обычно это была область, в которой зарождались вихри. Близкая к квадратной форма нужна для того, чтобы разрешающая способность сетки была одинакова по радиусу и углу.
Помимо необходимости использования схемы третьего порядка аппроксимации, особенности задачи накладывают еще ряд условий на используемую схему: размер ячейки сетки должен позволять разрешать рассматриваемые мелкомасштабные возмущения, т.е. сетка должна быть достаточно подробной. Шаг по времени пропорционален шагу по пространству и, соответственно, тоже мал. Расчеты проводились на больших промежутках физического времени, соответствующих нескольким и даже нескольким десяткам оборотов системы, что обусловлено скоростью развития возмущений. Под оборотом диска будем подразумевать время оборота вещества в области максимальной плотности, т.е. в центре диска. При этом шаг по времени на четыре-пять порядков меньше характерного времени одного оборота диска (количество шагов по времени в различных расчетах составляет от 30000 до 3000000). Приведем пример: один расчет на обычном PC занимал до недели времени непрерывного счета. Учитывая такие трудозатраты, необходимо было распараллеливание метода решения. Как уже указывалось, используемая схема Роу-Эйнфельдта-Ошера в связи с ее явностью удобна для реализации на многопроцессорных вычислительных комплексах.
Наиболее универсальным методом распараллеливания задач газовой динамики является метод декомпозиции области расчета на подобласти. Исходя из геометрии рассматриваемой задачи, естественным образом возникает следующая схема распараллеливания (рис. 10): Пусть есть N процессоров, где N - любое натуральное число; Область разбивается на N частей, как показано на рис. 10. Расчеты в образовавшихся подобластях осуществляются на N процессорах, каждому процессору соответствует своя область;
На каждом шаге по времени происходит обмен данными между процессорами, соответствующими смежным областям.
Такая схема наиболее удобна и универсальна, так как влечет за собой минимальные изменения кода программы, не зависит от организации коммуникационной сети между процессорами суперкомпьютера и проста в реализации.
Одной из основных проблем при разработке параллельных алгоритмов решения различных задач математического моделирования является выбор такой схемы расчета, при которой минимизируется время, затрачиваемое на обмен информацией между процессами. Использование явных схем позволяет минимизировать данное время, так как для расчета текущего значения в ячейке сетки используются уже известные величины с предыдущего шага по времени.
Для аппроксимации дифференциальной задачи используется явная схема Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации по пространству и первого по времени. Схема третьего порядка используется для уменьшения схемной вязкости. Данная схема имеет пятиточечный шаблон.
