Введение к работе
Актуальность темы работы.
Математическая модель пространственного случайного точечного расселения лежит в основе статистической механики и находит ншро-
е применение во многих разделах современной теоретической физики.
їкболее простой является пуассоновская модель, в которой точки рас-
>еделены в пространстве независимо друг от друга. Однако вблизи
азовых переходов, в состоянии турбулентности 1, ц пористых струк-
грах 2 возникают корреляции степенного типа. К такому типу от-
>сятся и корреляции в пространственном распределении галактик во
деленной (г) ос г_3+аг (фрактальный тип), для моделирования кото-
>гх Б.Мандельброт предложил использовать модель блужданий с рас-
)еделением пробегов степенного типа р(г) ос т~", а — D - фрактальная
ізмерность. В его модели положения галактик получались как узлы
,„„— „„, дл „„„ „„-.л * ,-,". -~ ,—, ,~ .,
їло определённые проблемы, как с моделированием (невозможность мо-
*тгм-т*г»-&питает Ао^телтгоггтг/утг rnrm*vn**\-r\T*rw тт<а tttv«a voiтжчул \ тгкхг т/с f *лттт\агтілтгл»_
кем плотности галактик в пространстве 3. Более того, как показано работе 4 любой (даже стохастический) обрыв траектории ведёт к из-екению асимптотического поведения функции плотности числа частиц алактик) с г~3+а па г~г~а, на что ранее не обращалось внимания.
ТЇ rttKxtzi f ry-rv\s st'Tiirs ттт--аґ\лж TrritfiTTr-Ta'nrreo^./.Q- ^a їтїіттїл боЛЄС ПО^^ОбнОГО І*С-
гедования свойств случайных точечных распределений, основанных на семе случайных блужданий, с целью разрешения указанных трудностей проблеме моделирования структур фрактального типа, характеризуются далёкими степенными корреляциями вида (т) ос r~3+D.
Целью настоящей работы является; а) изучение свойств распределения гучайных точек в трёхмерном евклидовом пространстве, получаемого в езультате процесса случайных блужданий; б) построение алгоритма мо-елирования трёхмерных распределений фрактального типа; в) модели-ование точечных распределений с далёкими корреляциями степенного ипа и исследование возможности применения модели для статистиче-їого описания крупномасштабного распределения галактик во Вселен-ой.
'H.Tukayosvi, ., 72, No.3, 471 (1984).
'M.B.Isichra&o, Rev. Mod. Phys., 64 (1992).
'B.B.Mandelbrot, Fractals: Form, Chance and Dimension (San Francisco, 1977).
'В.А.Сзободенюк к В.В.Учайкин. В сб.; Теоретическая и экспериментальная фпзпка: Учёные записки льжновского государственного университета. Вып.2 / Под ред. С.В.Вуяїрского. Улькгоаск: Иэд-во ВНД, с.70 (199G).
Научная новизна и значимость работы определяется тем, что в ней
Построена модель пространственного точечного распределения с и: вестными корреляционными функциями всех порядков.
Табулированы плотности трёхмерных сферически симметричны устойчивых распределений и разработан алгоритм статистическот моделирования трёхмерных векторов. ^^
Показано, что для длинных (но конечных) траекторий существуе достаточно оольшои диапазон расстоянии', на которых каолюдаетс промежуточная фрактальная асимптотика (г) ос г~3+, что решае
тттлглАттл^.стг \тп п/*тт1лтлп-пагти<т гКг»аіі"Тїїттт.ттпг>п т\ягтт*»тті*!т*птіт <т ТТЛ ЛуГятттїРГП
броту.
в Установлено, что предельным случаем системы с набором незаві симых случайных траекторий является спаренная траектория Лев* Манлельброта (стохастический фрактал), все точки которой статі стически эквивалентны.
Установлено, что для стихастичеслоіи фрактала флуктуации велї
чины С — N(R)f{N(R)} {N - число частиц внутри сферы радиуса
проведённой вокруг произвольной точки фрактала) не убывают с ув<
личенисм Л как ** случае іг^ассоновского оасппе^едеш*^ а стосмятс
к конечной величине, найдено предельное распределение f.
Положения, выносимые на защиту.
-
Построена точно разрешимая модель случайного распределения тс чек в трёхмерном евклидовом пространстве: получены общие выра жения для корреляционных функций всех порядков, что позволяв полностью характеризовать статистические свойства данного рас пределения. Модель основана на процессе случайных блужданий ча стиц в трёхмерном пространстве и зависит от свободного параметр п0 (концентрации первичных частиц, распределённых в пространств по закону Пуассона, которые являются стартовыми для процесса слу чайных блужданий), от распределения числа узлов на траектории і плотности вероятности перехода на каждом этапе блужданий р(г) где г - расстояние между двумя соседними узлами траектории.
-
Показано, что в случае, когда число узлов на траектории подчиня ется геометрическому распределению, все корреляционные функциі высших порядков выражаются через двухточечные корреляционные
функции независимо от остальных характеристик модели. Таким свойством обладает трёхточечная корреляционная функция наблюдаемого распределения галактик.
5) Использование в качестве переходных вероятностей устойчивых распределений полностью решает проблему вычисления корреляционных функций с заданной фрактальной размерностью.
!) Вычислены и табулированы плотности трёхмерных сферически симметричных устойчивых распределении с показателем устойчивого распределения #=0.2(0.1)1.8.
-
Разработан алгоритм статистического моделирования векторов из трёхмерных сферически симметричных устойчивых распределений с характеристическим показателем «=0.2(0.1)1,8 и погрешностью в плотности распределения менее одного процента при всех значениях а из указанного диапазона, за исключением граничные значений, гдр погрешность превышает два процента только в области малых г, на
-
Для случая геометрического распределения числа узлов на отдельной траектории и плотности переходной вероятности б виде устойчивого закона показано, что предлагаемая модель в некотором диапазоне масштабов обладает фрактальными свойствами.
-
Показано, что в предельном случае (вероятность выживания блуждающей частицы q -» 1, концентрация затравочных частиц пц —> 0) предлагаемая модель соответствует стохастическому монофракталу, порождаемому парой независимых траекторий Мандельброта с общим началом. Для такого фрактала найдена плотность распределения величины С = -ЛТ^ЛЛЧ-Й)), имеющая вид гамма-распределения.
Практическая значимость работы заключается в том, что в разрабо-анной модели точечного распределения корреляционные функции всех юрядков получены в общем виде, что позволяет полностью охаракте->изовать статистические свойства среды, обладающей длинными стегенними корреляциями, подобными наблюдаемым в крупномасштабном определении галактик. Данная модель в совокупности с алгоритмом іоделирования трёхмерных сферически симметричных устойчивых распределений позволяет моделировать среду, характеризуемую наличием ррактальных свойств в некотором диапазоне масштабов^ зависящем от
параметров модели, с выходом на однородное (пуассоновское) распреде дение на больших расстояниях, что может послужить основой для исполь зования предлагаемой модели при анализе процессов распространени. излучений (света, гамма-квантов, нейтрино и т.д.) в Метагалактике, также может найти применение в области теории аномального перенос (аномальной диффузии), интенсивно развивающейся в последние годы.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 9 й Российской гравитационной конференции (Новгород-96), на Между
НарОДНОл КОйфсреКЦйК ПО КеЛИНёККОй ДйНаМККс К ХаОСу ^ч^й.рЗ/ГОБ-с»0;
на Международной конференции "Ренормгруппа - 96" (Дубна-96), н Международном семинаре по проблемам стабильности стохастически моделей (Дебрецен, Венгрия-97), на Международной щколе-семинар "Сильно коррелированные системы и критические явления" (Дубна-97 на Международной школе-семинаре "Проблемы теоретической космолс гии" (Ульяновск-97), на Третьей международной конференции "Геом* тризация физики" (Еазань-УУ), а также на ежегодных конференция студентов и аспирантов Ульяновского государственного университет (1995-1997 гг.), на семинарах Лаборатории фундаментальных иселеді ванни физико-технического факультета УлГУ и кафедры теоретическа и математической физики УлГУ.
Личное участие автора. Основные теоретические положения разраб( таны совместно с профессором Учайкиным В.В. Проведение конкретны расчётов, анализ результатов и выводы из них сделаны автором самі стоятельно.
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в ] печатных работах.
Структура работы Работа состоит из введения, четырёх глав, прил женил, заключения, 31 рисунка и списка цитируемой литературы 99 н именований, содержит 144 страницы текста, включая оглавление и списс литературы.
