Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор работ и состояние проблемы 16
1.1.Прямые.задачи геоэлектрики и методы их решения 19
1.2. Обратные задачи геоэлектрики 48
1.3. Задачи исследования 60
2. Прямые задачи геоэлектрики в квазитрехмерных кусочно - однородных средах 62
2.1. Поле точечного источника в кусочно-однородных средах с пространственной осевой симметрией 63
п. 2.1.1. Поле точечного источника в плоско-параллельной горизонтально-слоистой среде в присутствии тела вращения 63
2.2. Поле точечного источника в кусочно-однородных цилиндрических средах 88
п. 2.2.1. Поле точечного источника постоянного тока в горизонтально-слоистых средах в присутствии цилиндрических включений 89
п. 2.2.2. Поле точечного источника в горизонтально-слоистой среде с параметрически заданными границами 94
3. Прямые задачи геоэлектрики в существенно трехмерных кусочно-однородных средах 104
3.1. Метод интегральных уравнений решения трехмерных задач геоэлектрики кусочно-однородных сред с включениями 105
3.2. Решение задач скважинной и межскважинной электроразведки 109
п. 3.2.1. Случай конечной круговой скважины 110
п.3.2.2. Случай бесконечной круговой скважины "... 114
п. 3.2.3. Поле точечного источника в горизонтальной скважине 133
п. 3.2.4. Вычислительный эксперимент 134
Оглавление 2
3.3. Поле точечного источника в горизонтально - слоистом полупространстве в присутствии трехмерных локальных включений 142
3.4. Трехмерные локальные включения в средах куполовидной структуры 150
п. 3.4.1. Проводящее тело в полупространстве с куполовидным поднятием150
п. 3.4.2. Трехмерные локальные включения в среде куполовидной структуры 155
3.5. Математическая модель экологического загрязнения почвы продуктами трубопроводов 160
п. 3.5.1. Математическая модель и метод решения задачи 160
п. 3.5.2. Вычислительный эксперимент 165
3.6. Математическая модель мониторинга целостности морских трубопроводов 167
п. 3.6.1. Математическая модель и метод решения задачи 167
п. 3.6.2. Вычислительный эксперимент 170
4. Обратные задачи геоэлектрики в трехмерных кусочно - однородных средах 174
4.1. Математическая модель поиска границ кусочно-однородных сред 175
п. 4.1.1. Вариационный метод решения 176
п. 4.1.2Конечномерная аппроксимация задачи. Сплайн-функции 178
4.2. Определение границ тел вращения в кусочно - однородных средах с пространственной осевой симметрией 184
п. 4.2.1. Определение границы в классе простых тел 185
п. 4.2.2. Аппроксимация образующей тела вращения сплайном 189
4.3. Определение границ цилиндрических кусочно-однородных сред 193
п. 4.3.1. Электроразведка цилиндрических тел 193
п. 4.3.2. Математическая модель геонавигации при бурении наклонно - направленных и горизонтальных скважин 195
4.4. Определение профиля скважины геоэлектрическими методами 202
4.5. Оценка контуров залежей Изыгского железорудного месторожения 208
5. Комплекс программ математического моделирования потенциальных геоэлектрических полей 222
5.1. Принципы и средства разработки 222
5.2. Оболочка комплекса программ 225
п. 5.2.1. Интерфейс программы. Основные окна и режимы работы . 232
5.3. Библиотеки, функции, модули 237
п. 5.3.1. Библиотечный модуль «Специальные функции» 237
п. 5.3.2. Библиотечный модуль «Сплайн-аппроксимация» 241
п. 5.3.3. Библиотечный модуль «Методы минимизации функционалов» 244
Заключение 255
Информационные источники 257
- Поле точечного источника в плоско-параллельной горизонтально-слоистой среде в присутствии тела вращения
- Поле точечного источника в горизонтально - слоистом полупространстве в присутствии трехмерных локальных включений
- Математическая модель геонавигации при бурении наклонно - направленных и горизонтальных скважин
- Интерфейс программы. Основные окна и режимы работы
Введение к работе
Актуальность темы: Стратегический курс России на социально-экономическое развитие обуславливает увеличение разведанных запасов минерально-сырьевых ресурсов путем геологических и геофизических изысканий. Следовательно, одной из главных задач изучения внутреннего строения Земли является задача поиска месторождений полезных ископаемых и оценка мощности их запасов по выявленным контурам границ для обоснования экономической рентабельности их разработки. С другой стороны требуется переоценка уже разведанных запасов с учетом произведенной промышленной выработки, более полное опоискова-ние продуктивных зон, уточнение контуров залежей.
Предотвращение техногенных, геологических, экологических катастроф, чрезвычайных ситуаций и аварий является предметом исследования новых геофизических направлений — инженерной [288, 320] и экологической [55] геофизики. Здесь требуется осуществлять мониторинг опасных процессов — разрушений, сдвиговых геологических деформаций сред в зоне подземных и глубоководных промышленных сооружений (шахт, трубопроводов и т.п.), определение границ фильтрационных потоков [275] и экологического состояния земных недр, выявляя границы зон, загрязненных распространением в земле жидкого продукта (нефти, воды и т.п.) [395, 387] в следствие утери герметичности резервуаров, скважин или трубопроводов.
Одним из методов повышения эффективности нефтяных и газовых скважин является наклоннонаправленное и горизонтальное бурение, поз-
Введение 5
воляющее существенно увеличить дебит за счет увеличения зоны их перфорации. Навигация скважины внутри узкого продуктивного пласта — насущная задача автоматизированных систем бурения [287, 189] . Здесь актуальной является проблема отслеживания границ пласта с целью своевременного управления буровым инструментом. Основой таких систем (LWD-системы) может служить математическая модель геонавигации низкочастотным [56] и постоянным электрическим током , позволяющая определять границы продуктивного пласта в ближней зоне.
Следовательно, задача поиска границ сред в геофизике — актуальная задача различных важных народохозяйственных областей.
Электроразведка — один из основных эффективных и экологически безопасных геофизических методов. На ее долю приходится около трети всех ассигнований, выделяемых на геофизические исследования, из которых почти 90% средств приходится на методы электроразведки потенциальными полями [327].
Большое распространение в разведочных аппаратурных комплексах, в силу повышенной зоны проникновения поля, получили токи низкой частоты (4,88 Гц), а так же постоянные электрические токи. Отметим растущий интерес к таким исследованиям российских и зарубежных компаний. Так в России разработаны комплексы АНЧ-3, ЭРА (НПП "ЭРА", г. С.Петербург) [457]. Мобильные многоэлектродные низкочастотные аппаратурные комплексы фирм АВЕМ (Швеция) (терраметр SAS-1000 и 4x64-канальная система съемки LUND Imaging System) [453], OYO Corporation (Япония) [460], Scinttrex (Канада) [458], Campus (Англия) [454], DMT (Германия) [455], Iris Instruments (Франция) [459], Geometries (США) [456] имеют встроенные блоки энергонезависимой памяти для хранения полевых данных, программное обеспечение первичной их обработки и последующей передачи по каналам локальных и глобальных сетей.
Математические модели полей постоянных токов являются асимпто-
Введение б
тическими для частотных моделей при стремлении частоты тока к нулю и позволяют проверять достоверность и прогнозировать поведение решений для высокочастотных методик разведки и каротажа. С другой стороны эти модели хорошо согласуются с низкочастотными при интерпретации результатов низкочастотных изысканий.
Конечной целью методов электромагнитных исследований является решение обратной и, как правило, некорректной задачи, т.е. интерпретация измеренных полевых данных, восстановление структуры исследуемого района, границ и удельных электрических проводимостеи сред его составляющих (геоэлектрическая томография [336, 108, 67, 68]).
Теория интерпретации следует по пути усложнения моделей сред от одномерных к двумерным, квазитрехмерным и существенно трехмерным. На современном этапе универсальным методом решения обратных и некорректных задач является вариационный метод А.Н.Тихонова. Актуальным для его реализации является быстрое и точное численное решение прямых задач как для характерных геологических разрезов, так и для трехмерных разрезов со сложной геометрией. Отсюда следует важность двух направлений:
1) пополнение банка прямых задач построением математических мо-
делей квазитрехмерных и трехмерных разрезов сложной геометрии и разработка эффективных методов, алгоритмов и программ их численного анализа;
2) решение обратных задач — компьютерная интерпретация данных
геофизических измерений с подбором наиболее адекватной модели из банка прямых задач на основе алгоритмов и программ вариационного типа.
Цель и задачи работы: Цель работы — построение математических моделей, разработка численных методов, алгоритмов и комплекса программ компьютерного моделирования прямых и обратных задач
Введение 7
поиска границ сред посредством потенциальных геоэлектрических полей в кусочно-однородных квазитрехмерных и существенно трехмерных средах, осложненных локальными неоднородностями, позволяющих осуществлять расчет поля от источников постоянных токов, интерпретировать результаты полевых электроразведочных изысканий. Проведение исследований влияния различных геоэлектрических параметров на то-кораспределение в указанных средах методом вычислительного эксперимента.
Для достижения указанной цели в работе были поставлены и решены следующие основные задачи:
Анализ состояния вопроса и определение перспективного направления в области;
Развитие теории численных методов решения прямых и обратных задач геоэлектроразведки:
разработка комбинированных методов (на основе сочетания методов интегральных преобразований и интегральных уравнений) решения прямых квазитрехмерных задач полей точечных источников в кусочно-однородных средах с локальными включениями;
применение методов интегральных представлений к решению существенно - трехмерных задач с построением функций Грина типичных для геофизической практики вмещающих пространств Построение процедур поэтапного усложнения/упрощения геометрии среды;
обоснование сходимости конечномерных аппроксимаций, несобственных интегралов и рядов, с помощью которых выражается аналитическое решение;
построение алгоритмов методов решения прямых задач и алгоритмов вариационного типа для решения обратных задач, в том
числе на основе сплайн-аппроксимации границ;
Введение 8
Разработка программного комплекса, в интерактивном режиме да
ющего возможность:
— построения компьютерной модели геологической среды задани
ем границ и удельных электрических проводимостей ее обла
стей;
задания параметров установок и зоны исследований для источников и приемников тока;
выбора методов численного решения;
— расчета потенциала, кажущегося сопротивления и относитель
ного кажущегося сопротивления в исследуемых средах;
- определения границ трехмерных включений, а также квазитрех
мерных включений, заданных параметрически или аппроксими-
рованых сплайнами;
— графического отображения среды, одномерных и двумерных функ
ций (задаваемых и/или найденных вычислительным экспери
ментом кривых, поверхностей);
Проведение вычислительных экспериментов по исследованию вза
имного влияния параметров математических моделей.
Научная новизна: В настоящей работе впервые исследованы прямые задачи электроразведки в существенно-трехмерных кусочно-однородных средах с локальными включениями, для решения которых предлагается метод граничных интегральных уравнений, формируемых на основе обобщенного интегрального представления Грина с построением функции Грина вмещающего пространства в аналитическом виде. Обосновывается процедура поэтапного усложнения геометрии среды. На основе данного метода решаются задачи для следующих моделей сред: с геометрией, учитывающей влияние круговой вертикальной скважины, в том числе конечной глубины, при наличии локальных неоднородностей;
Введение 9
искривленной скважины в пласте при горизонтальном бурении; в горизонтально-слоистом пространстве и в пространствах с куполовидными поднятиями. Приведены решения задач геоэлектромониторинга подземных и глубоководных продуктопроводов.
Для решения квазитрехмерных прямых задач, обладающих пространственной осевой симметрией предлагается эффективный комбинированный метод, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений, формируемых на базе теории потенциала двойного электрического слоя.
На основе методов вариационного типа получены решения некорректных обратных задач поиска границ локальных включений как вектора ограниченных параметров, входящего в состав параметрического описания поверхностей. Определяются параметры сплайна, аппроксимирующего границу области. Впервые осуществлен поиск образующей тела вращения, направляющей цилиндрического включения в горизонтально-слоистой среде; предлагаются алгоритмы определения границ горизонтального пласта в системах геонавигации горизонтального бурения скважин, определения поверхностей трехмерных локальных включений на основе сплайн-аппроксимации, позволяющие осуществлять геоэлекрораз-ведку и геоэлектромониторинг исследуемого района.
Разработанные алгоритмы реализованы в комплексе оригинальных программ автора, зарегистрированных в фондах алгоритмов и программ министерства образования Российской Федерации и Всероссийского научно-технического информационного центра (ВНТИЦ).
Практическая ценность: Предложенные методы и алгоритмы позволяют эффективно решать задачи геоэлектрики: поиска, электроразведки, электрокаротажа, электрохимической защиты сооружений и геоэлектромониторинга в трехмерных кусочно - однородных средах сложной геометрии, аналитическое решение которых отсутствует. Включение
Введение 10
учета условий сопряжения на границах раздела сред вмещающего пространства в ядро интегральных уравнений, позволяет экономить объем оперативной памяти и время счета ЭВМ, что существенно при организации АРМ на базе персональных компьютеров. Предлагаемые алгоритмы допускают распараллеливание при использовании суперкомпьютеров, RISC- и CISC-многопроцессорных вычислительных комплексов или вычислительных кластеров с организацией параллельных процессов вычислений и могут быть использованы в теории различных методов электроразведки постоянным током: ВЭЗ, ВЭЗ ВП, профилировании , электрической корреляции, в методе заряда и др. [57]
На основе разработанных алгоритмов и программ решения прямых задач расчета потенциала электрического тока в кусочно-однородных средах осуществлено решение обратных задач определения границ квазитрехмерных и трехмерных включений в типичных для практики геофизических средах - однородном пространстве и полупространстве, горизонтально- и вертикально-слоистом пространстве.
Работа выполнена в рамках научного направления СГПИ № 9 "Дифференциальные уравнения "по теме "Решение прямых и обратных задач электроразведки постоянного тока" (код ГРНТИ 27.29.15).
Результаты исследований внедрены в практику работ в геологической партии Туймазинской геологопоисковой конторы, в Ишимбайском нефтегазодобывающем управлении "Ишимбайнефть", используются в научно-исследовательской работе отдела физико-математических и технических наук СФ АН РБ, а также применяются в учебном процессе физико-математического факультета Стерлитамакского госпединститута ( см. приложение С на стр. 353).
Защищаемые положения:
1. Математические модели электрического поля точечного источника постоянного тока в различных трехмерных кусочно-однородных
Введение 11
средах с различными включениями.
Алгоритмы решения моделируемых прямых и обратных задач на основе методов интегральных представлений, интегральных преобразований и интегральных уравнений, сплайн-аппроксимации границ, вариационного метода А.Н.Тихонова.
Программный комплекс для IBM-компьютера численной реализации алгоритмов (вычислительные модули, библиотеки подпрограмм, интегрирующая оболочка).
Результаты вычислительного эксперимента по исследованию взаимного влияния различных геоэлектрических параметров моделируемых сред.
Объем и структура работы: Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Полный ее объем составляет 360 страниц машинописного текста, включая 84 рисунка, 12 таблиц, библиографию, содержащую 465 названий и приложение на 52 страницах, включающее акты внедрения, передачи, регистрационные карты программных средств фонда алгоритмов и программ МО РФ и ВНТИЦ.
Публикации: Основные результаты опубликованы в 103 печатных и 12 электронных работах. Из них - 56 работ представлены в изданиях, входящих в перечень ВАК изданий, отражающих основные результаты докторских диссертаций, в том числе 10 программных продуктов, зарегистрированных в отраслевом фонде алгоритмов и программ МО РФ и во Всероссийском научно-техническом информационном центре.
Апробация работы: Основные положения и результаты диссертации докладывались на
I Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике (Ташкент- 1987),
Всесоюзном симпозиуме по теории приближения функций (Уфа -1987),
Введение 12
Международных конференциях "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Стерлитамак - 1996, Уфа-2000),
Всероссийской научной конференции "Физика конденсированного состояния" (Стерлитамак - 1997),
III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике - "ИНПРИМ" (Новосибирск - 1998),
Международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы", посвященной 70-летию академика РАН В.А. Ильина (СФ АН РБ, СГПИ, Стерлитамак - 1998) ,
IV и V Международных научных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (руководитель - д.ф.-м.н., профессор Е.В. Воскресенский) (Саранск - 2000, 2002),
Международных научных конференциях "Математические методы в технике и технологиях— "ММТТ-14" (Смоленск - 2001), "ММТТ-15" (Тамбов - 2002),"ММТТ-16" (С.-Петербург - 2003), (руководитель - д.ф.-м.н., профессор B.C. Балакирев),
II и III Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике - "ВСППМ" (Самара - 2001, Йошкор-Ола - 2001, Сочи
- 2002),
Международных конференциях по математическому моделированию — "МКММ" (руководитель -д.ф.-м.н., профессор А.Н. Хомчен-ко) (Херсон, Украина - 2001, 2002, 2003),
научных семинарах: ВНИИ "Нефтепромгеофизика" (Уфа - 1987), ВНИИ геофизических исследований геологоразведочных скважин "ВНИИГИС" (Октябрьский- 1990), НПЦ "Тверьгеофизика" (Тверь
- 2001), ОАО НПФ "Геофизика" (Уфа - 2002), кафедры геофизики
БГУ (Уфа-2003),
Введение 13
объединенных научных семинарах кафедр вычислительной математики и математического моделирования БашГУ (Уфа — 1987 - 1991, 1998 - 2002), отдела вычислительной математики ИМ УНЦ РАН и кафедры вычислительной математики БашГУ (Уфа — 1989 - 1991),
научных семинарах кафедры прикладной математики и механики СГПИ (руководитель — чл.-корр. АН РБ Шагапов В.Ш.)(Стерлитамак -2001-2004),
научном семинаре по дифференциальным уравнениям кафедры ма-танализаСГПИ (руководитель — д.ф.-м.н. Сабитов К.Б.)(Стерлитамак - 2000 - 2003),
школе-семинаре СФ АН РБ "Дифференциальные уравнения и механика многофазных систем" (руководитель - академик РАН Р.И. Ниг-матулин) (СФ АН РБ, Стерлитамак - 1999, 2001),
XXVI школе-семинаре по проблемам механики сплошных сред в системах добычи, сбора, подготовки, транспорта и переработки нефти и газа (руководитель - академик АН Республики Азербайджан А.Х. Мирзаджанзаде) (ИПТЭР, Уфа - 2002),
Международной конференции "Некорректные и обратные задачи", посвященной 70-летию академика РАН М.М. Лавретьева (Новоси-бирск - 2002),
30-й и 31-й сессии международного научного семинара "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей" (руководители - академик РАН В.Н. Страхов, академик РАЕН А.А. Никитин) (ОИФЗ РАН, МГРУ, Москва - 2003, 2004).
3-й Всероссийской научно-практической Школе-семинаре "Обратные задачи химии" (руководитель -д.ф.-м.н., профессор СМ. Усма-нов) (Бирск-2003),
Введение 14
Международной научной Школе "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (руководитель - д.ф.-м.н., профессор Е.В. Воскресенский) (Средневолжское математическое общество (СВМО), МордГУ, Саранск - 2003),
Международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы", посвященной 75-летию академика РАН В А. Ильина (СФ АН РБ, СГПИ, Стерли-тамак - 2003),
Объединенной ассамблее Европейского Геофизического общества, Американского Геофизического Союза и Европейского Союза Геофизиков / EGS-AGU-EUG Joint Assembly / (Ницца, Франция - 2003).
Работа выполнена на кафедре прикладной математики и механики Стерлитамакского государственного педагогического института (зав. кафедрой — чл.-корр. АН РБ, д.ф.-м.н., профессор В.Ш. Ша-гапов) и в лаборатории дифференциальных уравнений отдела физико-математических и технических наук Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан (зав. лабораторией — д.ф.-м-н., профессор К.Б. Сабитов).
Автор искренне признателен ушедшему из жизни заслуженному деятелю науки и техники Российской Федерации, чл.-корр. АН РБ, д.т.н., профессору Валентину Тимофеевичу Иванову, под руководством которого были произведены первые научные исследования в данном направлении, а так же защищена диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на стыке научных специальностей:
05.13.16 - "Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях", 04.00.12 - "Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых".
Введение 15
Результаты работы конструктивно обсуждались коллективами кафедр вычислительной математики (д.ф.-м.н., профессор Н.Д. Морозкин), математического моделирования (д.ф.-м.н., профессор СИ. Спи-вак), геофизики (чл.-корр. АН РБ, заслуженный изобретатель РБ, д.т.н., профессор Р.А. Валиуллин) Башкирского государственного университета, сотрудниками отдела вычислительной математики института математики УНЦ РАН (д.ф.-м.н., профессор М.Д. Ра-мазанов). Всем им автор выражает свою глубокую благодарность.
В разработке программных средств, реализующих предложенные автором численные методы и алгоритмы, и в проведении вычислительных экспериментов также принимали участие его ученики — P.P. Байшугуро-ва, М.Б. Беляева, М.А. Валиева, Ю.А. Валиева, Р.А. Валитов, СВ. Викторов, И.А. Герасимов, А.В. Горшенев, Р.С. Давлетшин, А.В. Ермола-ев, С.А. Ломодурова, Э.Т. Мухамедьяров, И.Р. Рахимов, М.Ю. Соболева, О.А. Стрижкова, З.Р. Тажиева, О.П. Татарникова, Е.В. Трефилова, П.Н. Хлесткий, которых также благодарит соискатель.
Поле точечного источника в плоско-параллельной горизонтально-слоистой среде в присутствии тела вращения
Комплексный подход изучения строения земных недр [54, 93] включает в себя в качестве важной основы электромагнитные методы исследования искусственно-возбуждаемыми потенциальными полями. Являясь для недр экологически безопасными, они позволяют осуществлять геофизические изыскания наиболее эффективно. В отличие от бурения, здесь проникающим вглубь Земли "инструментом" служит искусственно возбуждаемое поле. Обладая большой проникающей способностью, оно достигает глубоких горизонтов, искажаясь имеющимися неоднород-ностями, становится носителем информации об электромагнитных параметрах среды в зоне исследования, по которым можно судить о литоло-гическом составе, петрофизических свойствах пород земных недр, границах сред и включений. Периодичность проведения геоэлектроразведоч-ных изысканий позволяет производить геоэлектромониторинг — сравнительным анализом отслеживать динамику процессов, протекающих в исследуемом районе.
В общем виде прямую задачу геоэлектрики — задачу нахождения электромагнитного поля, возбуждаемого заданной системой источников где д — элемент метрического пространства G — функция координат или набор параметров, описывающих данную модель геоэлектрического разреза; / — элемент метрического пространства F — электромагнитное поле или функция от него, отвечающие данному д; А — оператор (математический закон), ставящий в соответствие каждому элементу д определенные значения /.
Обратная задача электроразведки заключается в восстановлении геоэлектрической структуры разреза по электромагнитным полям или функциям от них, измеренным в некоторой части пространства (на поверхности земли, в шахтах, скважинах, и т. д.). При этом геофизики либо располагают дополнительной информацией о структуре источников поля (в методах, использующих искусственные поля), либо такие данные отсутствуют (в методах, использующих естественные поля). Соотношение (1.1) при этом рассматривается как уравнение, в котором задана правая часть / (электромагнитное поле) и неизвестны геоэлектрические параметры или функция д левой части.
Для того, чтобы определить интересующую характеристику дт, необходимо решить уравнение Адт = fm. Причем величина fm получается путем измерений и известна нам приближенно (покрайней мере всегда вносится ошибка измерений, равная половине цены деления шкалы измерительного прибора). Обозначим приближенное значение через /«$. При этом элемент fs, вообще говоря, не принадлежит множеству {Ад : д Є G}. Следовательно, точного решения уравнения (1.1), понимаемого в обычном смысле, не существует. Поэтому в качестве искомого приближения к элементу дт нельзя брать точное решение уравнения с приближенно известной правой частью fs. Кроме того, обратные задачи часто имеют не единственное решение и оператор А 1 не является непрерывным, т.е. многие обратные задачи являются неустойчивыми и, следовательно, некорректными.
Построение устойчивых вычислительных методов, алгоритмов и компьютерных программ на их основе для решения обратных задач геофизики — задач определения границ разделов сред, локальных включений, их удельных электропроводностей по измеренному потенциалу (кажущемуся сопротивлению) на "дневной" поверхности земля/воздух или в имеющихся скважинах района — насущно необходимо. В месте с бурным развитием вычислительной техники, локальных и глобальных сетей связи, это позволит создавать как мобильные полевые автоматизированные системы первичного оценочного поиска и разведки структуры Земной коры, оптимальной геонавигации в LWD-системах наклонно-направленного и горизонтального бурения скважин, так и информационные технологии передачи по спутниковым каналам связи первичной информации для детальной обработки на мощных вычислительных комплексах геофизических центров.
Большой вклад в развитие теории и вычислительных методов решения прямых и обратных задач электроразведки внесли российские и зарубежные математики: А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.К. Иванов, Л.М. Альпин, А.Б. Бакушинский, Е.Г Булах, В.Р. Бурсиан, Л.Л. Ваньян, А.В. Гончарский, В.И. Дмитриев, А.И. Заборовский, Е.В. Захаров, В.Т. Иванов, А.И. Кобрунов, А.А. Колосов, П.С. Мартышко, Б.К. Матвеев, B.C. Светов, В.И. Старостенко, В.Н. Страхов, А.Г. Ягола, С. Schlumberger, J.R. Wait, G.V. Keller, R.G. Van Nostrand, K.L. Cook, T. Lee и ученики их школ.
Модели прямых задач потенциальных электрических полей представляют собой внешние краевые задачи для дифференциальных уравнений математической физики с частными производными второго порядка эллиптического типа.
Поле точечного источника в горизонтально - слоистом полупространстве в присутствии трехмерных локальных включений
Задачи, рассмотренные в предыдущем параграфе относятся к классу прямых задач, в которых по известным данным о геометрии исследуемой среды (расположении областей, их границ), ее геофизических свойствах (удельной электрической проводимости), о параметрах питающей и измерительной установки (сила тока, положение, тип, размеры электродов и расстояние между ними) ищется решение задачи - потенциал поля тока на измерительных электродах. По найденному потенциалу вычисляются кажущееся сопротивление и относительное кажущееся сопротивление -величины, по которым строятся интерпретационные кривые, позволяющие геофизикам-практикам судить о строении района по реальным по-левым измерениям.
Основной целью в геофизике является решение задачи определения структуры исследуемого района поданным, полученным в результате полевых измерений. С точки зрения математики, в этом случае, мы имеем необходимость решения обратной задачи - задачи определения каких-либо характеристик среды или измерительной установки по известным значениям потенциала или кажущегося сопротивления на некотором, как правило, дискретном множестве точек, которые могут располагаться как на "дневной"поверхности - границе раздела земля-воздух, так и внутри земной коры (в стволах скважин, шахтах).
Если обозначить через А - известный закон распределения электрического тока в земной коре, через д - вектор, описывающий свойства среды и установки (компонентами вектора д могут быть как скалярные величины, так и функционалы), а через / - потенциал поля или производные характеристики от него, то задача будет иметь вид где G, U — метрические пространства. В прямой задаче неизвестной величиной является / , в обратной - либо некоторые, либо все компоненты вектора д. Различают корректно и некорректно поставленные задачи геофизики. Понятие корректной постановки задачи математической физики было сформулировано французским математиком Ж. Адамаром в 1932 году [422] и состоит в том, что должны быть выполнены следующие условия: 1. уравнение (1.23) разрешимо для любого / Є F единственным образом; 2. решение уравнения (1.23) устойчиво относительно возмущения элемента /, т. е. оператор Л-1, который определен на всем метрическом пространстве F, — непрерывен. Проанализируем эти условия применительно к обратной задаче электроразведки. Существование решения этой задачи следует непосредственно из ее физического смысла. Единственность решения зависит от того, каким набором измеренных электромагнитных полей, т. е. каким набором правых частей / уравнения (1.23), мы располагаем, на паре каких метрических пространств ищется решение. Вопрос о единственности обратной задачи электроразведки в каждом отдельном классе геоэлектрических моделей (одномерных, двумерных и трехмерных) требует проведения специальных исследований и доказательства соответствующих теорем единственности.
Устойчивость в обратной задаче электроразведки (1.23) означает, что малым вариациям измеренных электромагнитных полей (правых частей /) должны отвечать малые вариации в решении д. Теория и эксперимент показывают, что это условие обычно не выполняется. Оказывается, даже в рамках одномерных моделей можно задать два таких распределения удельных электрических проводимостей (J\(z) и 02(z), которые отличаются друг от друга как угодно сильно, а вместе с тем отвечающие им электромагнитные поля, измеренные на земной поверхности, сколь угодно близки между собой (принцип эквивалентности структур в геофизике). Это обстоятельство приводит к неустойчивости решения уравнения (1.23). Таким образом, обратная задача электроразведки является некорректной в общем случае.
Практические измерения электромагнитного поля осуществляются с некоторой погрешностью, т. е. правая часть уравнения (1.23) — функция / — известна приближенно. Это осложняет задачу, так как, в силу неустойчивости, даже небольшие погрешности в исходных данных могут приводить к большому разбросу решений.
Начало интенсивных разработок различных способов решения некорректных задач относится к шестидесятым годам двадцатого века [11, 17, 16, 52, 64] и связано с опубликованием основополагающих работ А.Н. Тихонова [364, 366, 367, 373].
В настоящее время теория решения некорректно поставленных задач представляет собой самостоятельное направление математики. Научными школами А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева [368, 369, 371, 370, 372, 276, 277, 278, 415, 362] разработана теория решения некорректных задач. Важным достижением здесь явилась новая математическая постановка некорректных задач, которая базируется на понятии регуляризирующего оператора [366].
Пусть точное уравнение Ад — / имеет единственное решение д = д Є G. Допустим, что вместо / известно его приближенное с погрешностью 8 значение f$ — элемент дельта-окрестности /, т.е. p(f, fs) є.
Математическая модель геонавигации при бурении наклонно - направленных и горизонтальных скважин
Аппроксимируем поверхность Sk сплайном Spk = Spk(s,t,r), в котором конечномерным вектором s является вектор значений функции Sk в узлах сеточной области И С [at,bt] х [ат,6т]. Число параметров L — есть количество узлов сетки Wfb.
Наблюдается равномерная сходимость Spk —L Sk при h —» О [359], которая для кубических сплайнов имеет второй порядок относительно шага h.
Схема решения обратной задачи при данных конечномерных аппроксимациях приведена на рис. 4.4. на следующей странице.
Здесь уменьшение шага h сетки Eh к нулю (увеличение числа узлов Nh до бесконечности), на которой производятся измерения функции Щ,н Є іЛіЕн х Eh) обеспечивает стремление Eh к такой области Е, знание потенциала и Є Li{E х Е) на которой достаточно для однозначного определения границы областей полупространства (согласно теореме В.Л.Друскина).
Для компактного (конечной размерности п и ограниченного) множества векторов пространства Вп, описывающих аппроксимирующую границу сплайн-функцию Sn(t) Є W i может быть найдено единственное псевдорешение Sn(t) Є W2l задачи вариационным методом А.Н.Тихонова при каждом п. Равномерная же сходимость интерполяционного процесса сплайн-функциями Sn(t) позволяет при п —» со получить псевдорешение S(t) Є W искомую границу контакта сред различной постоянной удельной электрической проводимости.
С некоторой степенью достоверности локальные включения могут быть аппроксимированы телами вращения. Геофизические поля тел сферой- . дальной формы в однородных пространствах достаточно полно изучены в работе [196]. Теоретические обратные задачи постоянного тока (при отсутствии погрешности в измеренных данных) в однородной среде в параметрическом классе границ рассмотрены П.С. Мартышко [293]. Для трехмерных задач получено решение теоретических обратных задач в однородной среде с явно заданным интегро-дифференциальным оператором [291]. Решение осуществляется в классе "звездных тел", но лишь для тел в однородном пространстве. Для двумерного случая производится решение обратной задачи методом квазиэквивалентного эллипсоида.
В этом параграфе дается решение обратной задачи при наличии произвольного тела вращения в плоско-параллельном горизонтально-слоистом полупространстве. Математическая модель обратной задачи поиска образующей S(t) тела вращения По, находящегося в слое П плоско-параллельной горизонтально-слоистой кусочно-однородной среды имеет следующий вид:
Для решения использовался вариационный алгоритм, описанный в п. п. 4.1.1.. Минимизация функционала во внутреннем цикле алгоритма производилась покоординатным методом, методом локальных вариаций и методом Хука-Дживса, ориентированным на поиск сильно-овражных функций. Сравнительный анализ показал значительные преимущества метода Хука-Дживса (сокращение количества итераций и количества обращений к решению прямой задачи). В приведенных ниже вычислительных примерах, если это не оговаривается особо, поиск экстремали функционала осуществлялся методом Хука-Дживса, сочетающим в себе исследовательский поиск в окрестности точки и процедуру ускорения по направлению пологого убывания. Для определения уверенного распознавания включения, с относительной погрешностью т — \\s - евклидова норма вектора в пространстве Шь), рассмотрен следующий случай: в однородное полупространство Qi помещалось включение fio -шар радиуса R = Ют с варьируемым на глубине zc = 20r?i положением центра (х, у[?, 20) ( J\/GQ — 0.01). В узлы сетки на площадке 2 — -5m;5m] -5m;5m] помещался точечный источник постоянного тока силы / = \А и, как решение прямой задачи, вычислялись экспериментальные значения потенциала и(Р, А) в остальных узлах сеточного множества Е]г . в которые датчиком случайных чисел вносилась погрешность величины 6 . Затем начальное положение шара "забывалось" и отыскивалась экстремаль регуляризирующего функционала с начальным положением центра шара (0.1м, 0.1м. 1.0м) и начальным радиусом Rn(,ch = 0.1m. После нахождения вектора s = (хс,ус, zc, Rs) , L = 4 определялась погрешность г для заданного положения центра шара. На рис. 4.5. на предыдущей странице а)-г) показана диаграмма, характеризующая зависимость области сходимости (погрешности т) от величины ошибки S, привносимой в экспериментальные данные - в функцию we(P, А) . Видно, что с ростом величины погрешности S сходимость итерационной процедуры ухудшается, (см. рис. 4.5. а)-г) в соответствии сошкалой погрешностей 5). Влияние количества источников и приемников Nj, на площадке E h "дневной" поверхности и вида функционала невязки на область сходимости демонстрируется на рис. 4.G. на предшествующей странице и 4.7.. Здесь счет проводился с теми же значениями параметров. Отметим, что увеличение количества источников/приемников на площадке ведет к расширению области сходимости (сравни рис. 4.6. а) - 4.6. б) или 4.7. а) - 4.7. б)), что согласуется с результатами теоремы [123]. Использование функционала F-2 по сравнению с функционалом F\ так же ведет к некоторому расширению области сходимости за счет логарифмического сглаживания функции погрешности и, следовательно, более эффективному действию алгоритма минимизации (сравни рис. 4.6. а) и 4.7. а), 4.6. б) и 4.7. б)). В таблицах 4.1. на следующей странице, 4.2. на следующей странице (случай егі/сто =0,01; E h - [-5м;5м] х [-5м;5м]; N =4) демонстрируются результаты действия алгоритма для случая поиска сжатого и вытянутого сфероидов соответственно. Здесь и далее N(ipr - количество обращений к решению прямой задачи, характеризующее время работы алгоритма.
Интерфейс программы. Основные окна и режимы работы
Положение множества точек {PQ,PI,.., Рп} будем искать по следующему правилу. Известны координаты точки Ро(жо?2/о,0), фо и фо - азимутальный и зенитный углы наклона ствола скважины в точке PQ . Координаты ТОЧКИ Pk{xk,yk,Zk) ОПредеЛЯЮТСЯ Через Pk-\(Xk-l,yk-\,Zk-\) и углы фіс-і, фк-\ прохождения скважиной ТОЧКИ Рк-\.
Введем сферическую систему координат с центром в точке PQ и зенитным углом ф, отсчитываемым от прямой, проходящей через PQ и имеющей угловые величины фо и Посреди точек множества М - точек удаленных от PQ на расстояние А1\ в диапазоне углов 0 ф фтах (рис. 4.15.), где тах - максимальный угол искривления ствола скважины на участке длины All, выбираем лишь те, которые дают сопоставимое по точности значение потенциала с имеющимися Ug на Е.
Введя дискретное разбиение отрезков изменения углов ф от 0 до 2п на Аїр и ф от 0 до тах(Д і) на величину Аф , получим конечное Пусть множество Mi состоит из Ni точек. Для каждой точки Р , Pf, ..., Pi1 вычисляются углы р\,ф\\ Рі,Фі] ...; (р іФі1 и погрешности 8\ = и{Р{) — щР{) . Каждая из точек множества М\ может считаться точкой, лежащей на оси скважины, в пределах погрешности Si. Для каждой из них может быть применена аналогичная процедура поиска точек, удаленных на расстоянии Д/г- Получим множества M2i,M22,---,M2N и т.д. Конечным итогом этой процедуры будет дерево всевозможных траекторий скважины. Его вершинами являются точки Р/, весами ребер берутся соответствующие значения погрешностей. Окончательно пространственная ориентация траектории скважины находится как путь минимального веса (погрешности Yl l ) от корня до вершины уровня L. Для поиска кратчайшего пути применяются алгоритмы теории графов [29] и методы динамического программирования Беллмана [388]. Отметим, что чем больше точек перебора учитывается при построении дерева, тем более точно можно получить профиль данной скважины, однако это приводит к сильно ветвящемуся дереву, что сказывается на времени счета и памяти ЭВМ. Сокращение числа вершин дерева возможно за счет учета априорной информации прохождения скважиной известных границ раздела сред вмещающего пространства. Изложенный выше алгоритм был применен к решению задачи об определении профиля скважины в плоско-параллельной, горизонтально-слоистой среде с локальным включением в виде шара во втором слое. Пусть полупространство Q состоит из двух слоев П\, Г , с плоской горизонтальной границей раздела. Удельная электрическая проводимость верхнего слоя (j\ = O.OlSra/ra, второго слоя 02 = O.lSm/m, включения — шара — о — iSrn/rn. Толщина слоя Q,\ h = 2га, радиус шара R = 1га, координаты центра хс = 2га, ус = Зга, zc = 4га, длина скважины /о — 50га, длина опускаемого зонда Al = 5га, сила тока источника / = 1, Аф = А(р = 10. В таблице 4.6. на следующей странице представлены координаты узлов скважины: первые три столбца - истинное поведение скважины, следующие три - координаты узлов скважины, полученные при проведении вычислительного эксперимента, Д - абсолютная погрешность, в последнем столбце показана относительная погрешность вычислений. Из таблицы видно, что наблюдается рост относительной погрешности с ростом глубины скважины (накопление погрешности), хотя абсолютная погрешность остается достаточно малой. Таблица 4.7. на следующей странице демонстрирует максимальное абсолютное отклонение скважины от истинного профиля при различных значениях h - глубины верхнего слоя. Остальные параметры вычислительного эксперимента сохранены. Видно, что увеличение толщины низ-копроводящего приповерхностного слоя влечет увеличение погрешности за счет экранирования поля тока для ниже лежащих сред. Изложенный выше подход поиска границ включений применен к задаче опоискования железорудных залежей Изыгского месторождения. Данные электрометрии по месторождению предоставлены Горным Институтом Уральского отделения Российской Академии Наук (г. Пермь). Автор выражает глубокую благодарность за материалы и обсуждение полученных результатов д.ф.-м.н. А.С.Долгалю. Площадь исследования ( 5km2) представляет собой прямоугольник 2 х 2.5 км. Исследования проводились на поверхности земли потенциал-зондом (mV), излучающий электрод, которого размещался в одной из двух скважин — в точках №1 и №2 с координатами (0.760, -0.606, 0.224) km. и (1.085, -1.910, 0.204) km. соответственно. Z-координаты здесь указаны от поверхности земли. Рельеф местности на площадке исследования изображен на рис.4.17., а изолинии высот — на рис. 4.18. на следующей странице На рис. 4.19. на стр. 211 и рис. 4.20. на стр. 211 показаны поверхность потенциала и изолинии потенциала точечного источника №1. Аналогичные характеристики для источника №2 приведены на рис. 4.21. на стр. 212 и рис. 4.22. на стр. 212.
По данным бурения установлено наклонное по высоте простирание железорудного массива под углом около 30 вдоль оси ОХ и его удельное электрическое сопротивление — Югп- т. Полупространство, в силу малого по мощности слоя наносов, можно считать однородным с удельным электрическим сопротивлением ЗООООттг-т.
