Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели концентрационной и полевой абсорбционной оптической бистабильности (ОБ), Координаты (х, t) 13
1.1. Постановка задачи абсорбционной ОБ 13
1.2. Обоснование математической модели полевой ОБ 18
1.3. Анализ устойчивости решений задач ОБ 23
1.4. Краткие выводы 42
Глава II. Разностные схемы для задач абсорбционной ОБ 43
2.1. Разностные схемы для задач абсорбционной ОБ с постоянной подвижностью 43
2.2. Разностные схемы для задач абсорбционной ОБ с нелинейной подвижностью 60
2.3. Сравнение эффективности разностных схем для задач абсорбционной ОБ,...68
2.4, Краткие выводы 86
Глава III. Компьютерное моделирование задач абсорбционной ОБ 87
3.1. Компьютерное моделирование полевой ОБ 88
3.2. Компьютерное моделирование концентрационной ОБ в условиях светоиндуцированного электрического поля полупроводника 114
3.3. Компьютерное моделирование смешанной ОБ 128
3.4. Влияние коэффициента диффузии электронов на реализацию абсорбционной ОБ в распределенной модели 131
3.5. Краткие выводы 134
Основные результаты 135
Литература
- Обоснование математической модели полевой ОБ
- Анализ устойчивости решений задач ОБ
- Разностные схемы для задач абсорбционной ОБ с нелинейной подвижностью
- Компьютерное моделирование концентрационной ОБ в условиях светоиндуцированного электрического поля полупроводника
Введение к работе
В последние 15 лет лазерная техника находит все большее применение в различных областях информационных технологий. Это, прежде всего, связано с проблемами передачи информации по оптическим волокнам (интернет), ее хранения (оптические диски) и разработкой нового поколения вычислительных машин, основанных на оптических процессорах [1] и оптических устройствах трехмерной памяти. Однако эти проблемы далеки от окончательного решения и поэтому поиск новых физических механизмов, на основе которых можно создать оптический процессор, по-прежнему является актуальной проблемой.
Следует подчеркнуть, что в основе построения оптического процессора лежит явление оптической бистабилыюсти (ОБ) [2-4]. Оно заключается в том, что одному значению входной интенсивности при определенных условиях соответствуют два значения ВЫХОДНОЙ интенсивности. Это позволяет, в принципе, реализовать двоичную арифметику. Однако для широкого использования данного явления как элементарной базы оптического процессора необходимо, чтобы характеристики переключения из одного состояния в другое (энергия переключения, его быстродействие, надежность) превосходили соответствующие значения электронного компьютера. К настоящему времени достичь полного превосходства не удалось, несмотря па интенсивные исследования многих научных групп [4-52].
В течение данного периода предложены различные ОБ элементы, основанные на нелинейном поглощении световой энергии, либо на преобразовании частоты лазерного излучения, либо на нарушении законов отражения Снеллиуса, либо на различных свойствах фотонных кристаллов. Наибольшее же распространение получили ОБ схемы, использующие различные нелинейные свойства полупроводников [53-59], Среди не изученных механизмов нелинейного изменения характеристик полупроводника оставалась, в частности, зависимость коэффициента поглощения от электрического поля полупроводника [53-55]. Также не были выявлены закономерности переключения ОБ элемента на основе полупроводника при учете подвижности свободных электронов. Между тем, с уменьшением длительности воздействующего импульса (при переходе в фемтосекундный диапазон) именно эти зависимости будут играть определяющую роль при взаимодействии лазерного импульса с полупроводником. Важно также подчеркнуть, что в электромагнитном поле высокоинтенсивных фемтосекундных импульсов имеет место сдвиг энергетических уровней атомов и молекул [60-62], что приводит к многократному усилению зависимости ширины запрещенной зоны от напряженности электрического поля. Изучение влияния именно этого, неучтенного в литературе, механизма (зависимости коэффициента поглощения от свето-индуцированного поля) на реализацию абсорбционной ОБ исследуется ниже. Оно проведено на основе математического моделирования с широким применением компьютерных экспериментов.
При компьютерном моделировании использовались как консервативные разностные схемы, известные для данного класса задач в литературе [63-73], так и строились новые консервативные разностные схемы. Так как известные в литературе схемы в некоторых случаях оказывались неприменимыми либо из-за расходимости итерационного процесса, либо из-за потери некоторых свойств решения дифференциальной задачи, либо из-за нарушения свойства консервативности на больших временных интервалах, разработка эффективных разностных схем для рассмотренных в диссертации задач также представляет собой актуальную проблему. При этом для контроля результатов компьютерных экспериментов в некоторых случаях применяются методы качественного анализа [74, 75].
Цель работы заключалась в построении и обосновании математической модели взаимодействия фемтосекундного лазерного импульса с полупроводником в условиях сдвига энергетических уровней атомов под действием оптического излучения; в построс- Ч нии эффективных численных методов для системы нелинейных нестационарных уравне- ний, описывающих исследуемый процесс; в изучении возможности построения безрезона-торного ОБ элемента, основанного на зависимости коэффициента поглощения оптического излучения от характеристик светоиндуцированного электрического поля.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней: 1. Предложена и обоснована математическая модель взаимодействия фемтосекундного лазерного импульса с полупроводником в условиях сдвига энергетических уровней его атомов и зависимости коэффициента поглощения от светоиндуцированного электриче ского поля. , 2. Построены консервативные разностные схемы для задачи взаимодействия фемтосе- кундного импульса с полупроводником в условиях нелинейной подвижности электронов и зависимости коэффициента поглощения полупроводника от светоиндуцированного электрического поля и концентраций носителей зарядов, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений в пространстве (x,t).
Предложен новый тип ОБ на основе зависимости коэффициента поглощения полупроводника от светоиндуцированного электрического поля.
Обнаружено развитие осцилляции концентраций свободных электронов и ионизированных доноров, имеющих различные сценарии.
Практическая ценность. 1, Построенные консервативные разностные схемы могут найти применение при анализе различных задач взаимодействия высокоинтенсивных фемтосекундных лазерных им- "> пульсов с полупроводником.
2. Предложенный новый тип ОБ, основанный на зависимости коэффициента поглощения от светоиндуцированного электрического поля, может быть использован при создании оптических переключателей, работающих в фемтосекундном диапазоне.
3, Учет обнаруженных неустойчивых состояний полупроводника при воздействии на не го фемтосекундного лазерного импульса в условиях нелинейной зависимости коэффи циента поглощения от светоиндуцированного электрического поля позволяют повы сить надежность оптических переключателей, основанных на данном типе ОБ.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов, списка литературы и содержит 40 рисунков, б таблиц.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.
Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы, и излагается содержание работы.
В первом параграфе главы I рассматривается математическая модель процесса взаимодействия фемтосекундного лазерного импульса с полупроводником. В приближении оптически тонкого слоя, она описывается системой безразмерных дифференциальных уравнений относительно потенциала электрического поля, концентрации свободных электронов и концентрации ионизированных доноров в координатах (x,t). Подвижность свободных электронов может быть как постоянной величиной, так и нелинейной функцией. При этом коэффициент поглощения оптического излучения может зависеть от различных характеристик полупроводника. В данной работе предлагается новый тип ОБ - полевая ОБ, в случае которой коэффициент подвижности электронов зависит от потенциала светоиндуцированного электрического поля или его напряженности. В конце этого параграфа поставлена задача о концентрационной ОБ в условиях светоиндуцированного электриче- ского поля с нелинейной зависимостью коэффициента поглощения от концентрации сво- \ бодных электронов и сформулирована задача о смешанной (концентрационно-полевой)
Во втором параграфе первой главы проведено обоснование модели зависимости коэффи циента поглощения от электрического поля полупроводника. Представлен рисунок, иллю стрирующий изменение энергетических уровней атома водорода под действием высокоин тенсивного лазерного импульса [60]. В этом параграфе для обоснования зависимости ко эффициента поглощения от напряженности электрического поля и его независимости от направления электрического поля, исследуется сдвиг энергетических уровней атома водо рода под действием внешнего поля. Показано, что при увеличении напряженности элек- ^ трического поля до некоторого значения энергия перехода с одного энергетического уров- ня атома на другой скачкообразно увеличивается, после чего практически не изменяется. При дальнейшем же ее увеличении уменьшения разности энергий уровней не наблюдается, что говорит о достижении энергетическими уровнями практически равного значения. На основе компьютерного моделирования продемонстрировано, что сдвиг энергетических уровней не зависит от направления электрического поля. Поэтому в коэффициенте поглощения зависимость сдвига уровней энергий от характеристик электрического поля учтена в виде модуля или гиперболического косинуса.
В третьем параграфе первой главы проведено исследование по первому приближе нию устойчивости решений системы уравнений, описывающей процесс воздействия опти ческого излучения на полупроводник, вблизи его стационарного решения. С помощью стандартной процедуры линеаризации уравнений исходная система приводится к системе * из четырех ОДУ, Так как решение характеристического уравнения четвертой степени представляет значительные трудности, то для ответа на вопрос: будут ли все его корни иметь отрицательную действительную часть (условия устойчивости решения) или нет, использовалась теорема Гурвица [74]. Показано, что при некоторых наборах параметров решение системы может быть неустойчивым.
В четвертом параграфе первой главы сформулированы ее краткие выводы.
Обоснование математической модели полевой ОБ
Для обоснования зависимости коэффициента поглощения от напряженности электрического поля и независимости его от направления электрического поля, исследуем сдвиг энергетических уровней атома под действием внешнего поля. Для этого рассмотрим одномерное безразмерное уравнение Шрсдингера в плоской геометрии: d2y/ 21Г(Х)+Щ» (1-2.1) у/ = Ац/, 0 x Lx,
Здесь у/ - волновая функция, А - собственное число, U(x) - потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром атома и внешним полем, В качестве потенциала U0(x) взаимодействия электрона с ядром выберем функцию, не имеющую особенности в нуле: C/„(JC) = —=i—=, (1.2.2) Vo +х которая для малых а с высокой точностью аппроксимирует кулоновский потенциал [73].
В соответствии с целью данного пункта, вычисления проводятся для положительного и отрицательного направлений однородного электрического поля: р{х) = +сх. В этом случае потенциал взаимодействия в (1.2.1) записывается в виде и(х) и0(х) + ф). (1.2.3)
Напомним [61,62,73], что спектр задачи (1.2.1) при отсутствии внешнего электрического поля ( = 0) состоит из двойного набора собственных чисел и при уменьшении параметра а стремится к величине Лп =—г. При этом, начиная со значения а = I0"6, расщепления п уровней практически не наблюдается. Поэтому изучение влияния однородного поля на сдвиг уровней проводится для параметра а = 10" .
Вычисления показывают, что как для положительного, так и для отрицательного направлений электрического поля, для смещения уровней не имеет место линейная зависимость от величины однородного электрического поля, то есть АХЯ Ф const As . Однако каждые два кратных собственных числа Л1;2 смещаются практически на одну и ту же величину, причем независимо от направления внешнего поля. В качестве иллюстрации в Табл.1.2.1 приведены результаты расчетов сдвига первой (A{,/tf) и третьей (Л13,Л]) пар собственных чисел для As = 10" . Из нее следует, что качественно и количественно поведение уровней при изменении направления электрического поля совершенно одинаково и фактически от него не зависит. Поэтому в коэффициенте поглощения (1.1.6) зависимость сдвига уровней учтена в виде модуля или гиперболического косинуса от потенциала элек трического поля или его напряженности. Заметим, что аналогичные результаты имеют место и при расчетах с параметром а - ЮЛ
Обратимся теперь к обоснованию собственно зависимости коэффициента поглощения от электрического поля. Для иллюстрации этого явления приведем рис. 1.1.1, который взят из монографии [60] {рис. 10.3, с.273). На нем хорошо видно изменение энергетических уровней атома водорода под действием высокоинтенсивного лазерного импульса. Их энергии стремятся к одному значению в сторону уменьшения энергии ионизации. Ниже для обоснования зависимости коэффициента поглощения от напряженности электрического поля рассматривается ее влияние на энергию перехода с одного энергетического уровня атома на другой Л(Лы - Л,) = (К,\ -Л)]рї0 - (Л,+і --О]рі0. (1.2.4)
Результаты компьютерных экспериментов показывают, что для малых є с увеличением напряженности поля энергия переходов между уровнями уменьшается. При этом расчеты проводились для положительного направления внешнего поля с параметром a = 10 s и первых собственных значений в паре кратных собственных чисел, так как при уменьшении параметра а они точнее аппроксимируют величину Л„ =—г. В качестве при п мера в Табл. 1.2.2 приведены результаты вычисления изменения энергии переходов 2-1 и 3-2. Из нее видно, что с ростом напряженности внешнего поля с постоянным шагом Ає в определенном ее интервале наблюдается зависимость изменения ширины уровня от Ає, близкая к линейной, то есть А(Ди+1 — Яи) = const-Ає. При увеличении Ає на два порядка до МҐ такая же зависимость наблюдается вплоть до = 6-МГ . Однако при дальнейшем увеличении є данная зависимость сохраняется только для изменения энергии перехода 2-I. Что касается изменения энергии перехода 3-2, то она скачкообразно увеличивается на порядок до величины -0.016 и далее практически не изменяется до тех пор, пока є не достигает значения 10 3, При дальнейшем увеличении напряженности электрического поля уменьшения разности энергий уровней не наблюдается, что говорит о достижении энергией уровней практически равного значения. Важно подчеркнуть, что под действием электрического поля разность энергий может уменьшиться на несколько порядков. Аналогичные результаты получены при расчетах с параметром 0 = 10-6.
Таким образом, выбранная нами аппроксимация зависимости коэффициента поглощения от электрического поля качественно правильно описывает ситуацию, когда под действием сильного электрического поля энергия ионизации атомов полупроводника и ширины запрещенной зоны многократно уменьшается.
Анализ устойчивости решений задач ОБ
При проведении компьютерных экспериментов было обнаружено, что для некоторых наборов параметров имеют место сильные осцилляции концентраций заряженных частиц полупроводника, которые индуцируют осцилляции потенциала электрического поля. Для того чтобы понять природу их возникновения (присуще ли они данной задаче или развиваются из-за погрешностей при использовании разностных методов решений), проведено теоретическое исследование устойчивости решений системы (1.1.1)-(1.1.3) вблизи стационарного решения по первому приближению.
С помощью стандартной процедуры выделения возмущений на определенной гармонике линеаризованная система приводится к системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Так как решение характеристического уравнения четвертой степени представляет значительные трудности, то для ответа на вопрос: будут ли все его корни иметь отрицательную действительную часть (условия устойчивости решения) или нет, использовалась теорема Гурвица [74,75]. Она состоит в следующем утверждении.
Необходимым и достаточным условием отрицательности действительных частей всех корней многочлена н-ой степени z"+k +... + kn_,z + kn (І.З.І) с действительными коэффициентами является положительность всех главных миноров матрицы Гурвица (1.3.2) Применив теорему Гурвица к многочлену четвертой степени г4 + ;Z3 + k2z2 + къ2 + 4, (1.3.3) получим следующие условия отрицательности действительных частей всех его корней jfc, 0, ktk2 -к} 0, (к{к2 -к3)ку - ,2А4 0, Jfc4 0. (1.3.4)
Такое исследование проводилось для различных зависимостей коэффициента поглощения (1.1.6), (1.1.7). В некоторых частных случаях, например при нулевой подвижности, с помощью формул (1.3.4) удалось записать достаточно лростое выражение условия устойчивости.
Проведем линеаризацию уравнений системы (1.1.1) - (1.1.3) с коэффициентом поглощения 8(N, p) = (\-N)ch(p(p).
Данная зависимость коэффициента поглощения выбрана для удобства вычисления производных функции G. Представим концентрации свободных электронов и ионизированных доноров, а также потенциал электрического поля в виде p=V(x,t ) + 8 pt n = n(x,t ) + h, N = N{x,t ) + SNy (1.3.5) где функции ф(х,Ґ), п(х,Ґ), N(x,t ) являются решением исходной системы уравнений близким к ее стационарному решению в момент времени / , a 5(pt Sn 5N - малые возмущения соответствующих функций.
Следует подчеркнуть, что при записи системы (1.3.9) считалось, что входящие в коэффициенты концентрации и потенциалы изменяются медленно в пределах периодов соответствующих тригонометрических функций. Очевидно, что в общем случае такой подход несправедлив. Однако к рассматриваемой проблеме он оказывается применим из-за реализующихся вблизи стационарного решения распределений концентраций и электрического поля, которые однородны в пределах некоторой области по х. Такие распределения предшествуют развитию осциллирующих характеристик полупроводника.Таким образом, характеристическое уравнение для линеаризованной системы уравнений (1.3.7) запишется в виде:
Решение исходной системы уравнений (1.1.1) - (1.1.3) с определенным в начале данного раздела коэффициентом поглощения будет устойчивым относительно малых возмущений, если действительные части всех корней характеристического уравнения (1.3.15), которые определяются выражением Л,2 _ {А + С) ± J(A + С)2 + ACDaf (1.3.16) будут отрицательными.
Заметим, что с помощью теоремы Гурвица можно получить более простое выражение устойчивости решений исходной системы. Так коэффициенты характеристического уравнения (1.3.15), записанного в виде (1.3.3), определяются выражениями А,=-2(Л + С), k2 = {A + C)2-2CDo?f, къ = 2С(А + С)Оа , к4=С2(ов)?}, а условия Гурвица (1.3,4) сводятся к выполнению неравенств -2(А + С) О, -2(А + С)3 + 2С{А + C)Do)f О, -4С(А +СУ Dm] О, С2(Daff 0.
Из (1.3.17) следует, что первое и четвертое неравенства выполняются всегда. Необходимым условием выполнения третьего неравенства является отрицательность коэффициента С. В этом случае второе неравенство также будет справедливо. В данном случае не удается записать простое условие устойчивости решения исходной системы уравнений. Поэтому знак выражений (1.3.4), записанных для рассматриваемого случая, определялся с помощью компьютерной программы. Коэффициенты характеристического уравнения (1.3.20), записанного в виде (1.3.3), определяются следующими выражениями
Разностные схемы для задач абсорбционной ОБ с нелинейной подвижностью
Для системы уравнений (1.1.1) - (1.1.5) построим разностную схему, аналогичную Схеме 1, учитывая при этом то, что коэффициент поглощения в данном случае является нелинейной функцией от напряженности электрического поля. &x=/(n-JV). /=--1, -1, / 0, (2.2.1) 0.5 п, = D п - + П Ґ0.5 1 \ 0.5 ( Л 0.5 0.5 0.S 0.5 +—\іК,.\и Е +и Е )-п „\й Е +и Е )\ + G-R, N,=G-R, p J G = \ч % { a-m)О - JV) + - 0 - )) Л = - + я$ - я? nN - л„ V TP Граничные условия аппроксимируются либо с первым порядком (2.1,16), либо со вторым /,/ Й -ff 0.5 0.5 —G0 + R6 /0.5 0.5 Щ «r0 + 0.5«0i(/i Е +11 Е ) = \ /0.5 0.5 \ h Щпіч+0.5пК „(fi E + // E )=- J (h -П 0.5 0.5 ——--с»,+ , (2.2.2)
Граничные условия второго порядка для потенциала электрического поля и его напряженности при задании E(x,t) на Q определяются формулой (2.1.18). В случае задания напряженности электрического поля на Q на границах области заданы точные значения (2.1.19).
Построенные таким образом разностные уравнения аппроксимируют соответствующие дифференциальные уравнения с порядком 0\h2 +т2). Проанализируем консервативность Схемы 1.1. Для этого из уравнений относительно концентраций запишем следующую сумму , -Ъ)=Ь%[в + $Ж„Ёл +/ 0-»Ж, +/ Я J]).(2.2.3) Для наглядности вычислим отдельно суммы входящие в правую часть равенства (2,2.3). Ея«=чігХ((й-.-2й+й і)+(и-і-2"+"+.))=т » . .-» Л (2-2-4) (-і 2/i i=1 h\ J = ( и, (/ Ё +// )]-(«„( E +M E )]. Таким образом, получаем l ,- )= С2-2-5) A.5 OS 1 0.5 1 0.5 і.Л, i.o „ 4I \,.)! .V»-0J Aj-OJ л-,-0.5 " s vyOS OS o.J 0J
Следовательно, условием консервативности для Схемы 1.1. является равенство нулю правой части равенства (2.2.5). При аппроксимации граничных условий с первым порядком (2J.16) это условие выполняется и в этом случае схема (2.2.1) консервативна. При аппроксимации граничных условий со вторым порядком условие консервативности, как и в случае постоянной подвижности, может нарушаться.
Решение системы (2.2.1), ввиду ее нелинейности, находится с помощью следующего итерационного процесса: Значения сеточных функций на нулевой итерации на новом временном слое и критерии окончания итерационного процесса задаются формулами (2.1.26)-(2.1.27).
Для решения задачи (2.2.6)-(2.2.7) используются те же методы, что и при решении задачи (2.1.25): дискретный метод Фурье для нахождения напряженности электрического поля и его потенциала и метод прогонки для вычисления значения концентрации свобод ных электронов. При этом также как и в случае Схемы I коэффициенты системы (2.1.36) постоянны.
Так как при нахождении концентрации свободных электронов на s+І итерации сеточные функции, связанные с подвижностью свободных электронов, берутся с 5-ой итерации, то доказать знакоопределенность разностного решения не представляется возможным. Однако следует подчеркнуть, что в численных экспериментах значения концентраций носителей зарядов оставались неотрицательными.
Преобразуем исходную систему уравнений (1.1.1) - (1.1.5), введя новую функцию «( ,/) следующим образом и(х,0 = и(лг,ОемЛ") . (2-2.8) где F(x,t) выбирается таким образом, чтобы в уравнении относительно концентрации свободных электронов в потоковом слагаемом — + /мЕ остался бы только один член, т.е. дх должно выполнятся уравнение ± fee»" )+_р йе Е = e" F—. (2.2.9) a v 1+/, дх Следовательно, функцию F находим из уравнения
Компьютерное моделирование концентрационной ОБ в условиях светоиндуцированного электрического поля полупроводника
При определенных параметрах взаимодействия, в системе оптическое излучение -полупроводник наблюдаются автоколебания ширины зоны высокой концентрации свободных электронов и ионизированных доноров (рис. 3.2.1 — 3.2.2).
Заметим, что без учета влияния подвижности электронов (#=0) в некоторые моменты времени профиль распределения концентрации свободных электронов в 2 раза превышает ширину освещенной зоны, в другие — совпадает с радиусом пучка. На оси пучка концентрация свободных электронов сначала достигает максимального значения, а затем начинает монотонно уменьшаться, в то время как ее значение у боковых границ кристалла монотонно увеличивается. При этом значение концентрации свободных электронов на оси пучка в различные моменты времени является либо точкой локального минимума, либо точкой локального максимума в некоторой окрестности центра освещенной области. Профиль концентрации n(x,t) в определенные моменты времени близок к гипергауссовой функции невысокой степени (рис, 3,2,1 в, пунктирная линия). Однако в другие моменты времени распределение концентрации свободных электронов на интервале 0.2 дг 0.8 приобретает несколько локальных экстремумов, расположенных симметрично, относительно оси пучка (рис. 3.2.1 а, в, д, сплошные линии). Причем разность значений n(x,t) в этих точках может достигать величины 0.5 безразмерных единиц.
Аналогичные колебания наблюдаются и для домена концентрации ионизированных доноров. Однако, изменения N(x,t) вблизи оси пучка и на границе области малы, а разность между значениями функции N(x,t) в точках локальных максимумов и минимумов значительно меньше, чем соответствующие величины у функции n(x,t) (рис. 3.2.1 б, г, е).
Учет подвижности электронов существенно влияет на распределения концентраций свободных электронов и ионизированных доноров полупроводника Так рост /j приводит сначала к сглаживанию распределения n(x,t) и к уменьшению амплитуды колебаний поперечного размера области высокой концентрации свободных электронов. При этом на границе полупроводника концентрация не растет, а ее изменение в центре освещенной зоны существенно замедляется (рис. 3.2.2).
Дальнейшее, по сравнению со случаем изображенным на рис. 3.2.2, увеличение подвижности электронов приводит к тому, что распределение функции n(x,t) справа и слева от центра освещенной области становится монотонным, автоколебания исчезают и система полупроводник - световой пучок достаточно быстро достигает своего стационарного распределения. Например, для // = 10 и неизменных остальных параметрах, соответствующих рис. 3.2.2, это время составляет порядка 100 безразмерных единиц. Для иллюстрации влияния подвижности представлен рис. 3.2.3, на котором изображены стационарные (квазистационарные) распределения концентрации свободных электронов соответствующие различным значениям подвижности. Хорошо видно, что при больших значениях (л распределения концентрации свободных электронов реализуются в виде гипергауссовой функции, в то время как при меньшей подвижности имеют место осцилляции концентрации свободных электронов.
Аналогичное поведение системы наблюдается и при изменении значения //0 в случае зависимости подвижности свободных электронов от напряженности электрического поля вида (1.1.5) (рис. 3,2.4). Важно отметить, что существует некоторое критическое ее значение после которого, дальнейшее ее увеличение не оказывает принципиального влияния на стационарные распределения концентраций и электрического поля полупроводника.
Следует обратить внимание на существование обратной зависимости между подвижностью электронов и напряженностью электрического поля. Так, в случае большой подвижности электронов напряженность электрического поля мала и колебания ширины домена отсутствуют. С уменьшением подвижности наблюдается рост E(x,t) и возникают колебания (рис. 3.2.3 - 3.2.4). Таким образом, можно утверждать, что для модели концентрационной ОБ увеличение подвижности электронов оказывает стабилизирующее влияние на процессы, происходящие в полупроводнике под действием интенсивного оптического излучения.
