Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние, проблемы и перспективы развития фотоэлектрической энергетики 10
1.1. Энергетический потенциал современного мирового сообщества . 10
1.2. Проблемы углеводородной базы энергетики 13
1.3. Перспективы освоения альтернативных источников энергии 17
1.4. Перспективы и проблемы освоения солнечной энергетики 19
1.4.1. Потенциал солнечного излучения 19
1.4.2. Современные методы преобразования солнечной энергии 20
1.4.3. Принцип действия солнечного элемента 21
1.4.4. Преимущества и проблемы применения в солнечной энергетике аморфного гидрогенизированного кремния 23
1.4.5. Основные характеристики солнечного элемента, пути и проблемы их обеспечения 25
1.5. Современные методы исследования структуры аморфного вещества 30
1.5.1. Экспериментальные методы исследования структур аморфных веществ 30
1.5.2. Теоретические методы исследования структуры аморфного вещества 34
1.6. Проблемы моделирования атомной структуры и свойств аморфного вещества 44
1.7. Обобщение результатов аналитического обзора. Постановка цели и задач исследования 49
Глава 2. Построение системы итерированных функций .54
2.1. Методология фрактального подхода 54
2.2. Периодическая система итерированных функций 56
2.3. Построение фрактального множества псевдослучайных значений диэдрических углов и отклонений валентных углов атомной ячейки аморфного кремния 57
2.4. Выводы 59
Глава 3. Построение фрактальной модели атомной структуры аморфного кремния 60
3.1. Начальные условия моделирования 60
3.3. Определение координат первого атома очередной ячейки аморфной структуры 64
3.3.1. Определение координат виртуального атома в плоскости Р 65
3.3.2. Построение плоскости у 74
3.3.3. Определение координат 6-го атома в плоскости у 97
3.4. Определение координат остальных атомов очередной ячейки аморфной структуры 99
3.5. Выводы 104
Глава 4. Методика оценки адекватности модели 105
4.1. Способы оценки адекватности модели 105
4.2. Методика оценки соответствия модельной и экспериментальной радиальной функции распределения 106
4.3. Методика вычисления плотности модельной структуры 110
4.4. Методика получения распределений валентных и диэдрических углов в модели 111
4.5. Выводы 113
Глава 5. Определение значений коэффициентов системы итерированных функций, обеспечивающих наибольшую адекватность модели 115
5.1. Определение фрактальной размерности фазовых портретов
псевдослучайного множества, получаемого с помощью
периодической системы итерированных функций 116
5.2. Определение вида РФР модели и сравнение её
с экспериментальной РФР 122
5.3. Вычисление плотности модельной структуры и получение распределений валентных и диэдрических углов в модели 123
5.4. Распределение наборов коэффициентов периодической системы итерируемых функций по мере их способности моделирования аморфной структуры кремния 125
5.5. Выводы 132
Заключение : 134
Список литературы
- Проблемы углеводородной базы энергетики
- Периодическая система итерированных функций
- Определение координат первого атома очередной ячейки аморфной структуры
- Методика оценки соответствия модельной и экспериментальной радиальной функции распределения
Введение к работе
Энергетический кризис, охвативший в начале 70-х годов XX столетия многие промышленно развитые страны мира, впервые обратил внимание человечества на ограниченность запасов ископаемого топлива. Современная цивилизация ещё располагает достаточными запасами каменного угля - источника почти трети всей энергии в мире. Однако расширение его использования влечёт дальнейшее загрязнение воздуха и создаёт возможную угрозу климату Земли из-за повышения концентрации двуокиси углерода в её атмосфере, а переработка угля в относительно безопасное жидкое или газообразное топливо требует непомерно больших капиталовложений и огромного количества воды, столь необходимой в сельском хозяйстве. Со второй половины XX столетия основными источниками двух третей всей энергии, добываемой в мире, служат нефть и газ. При этом функционирование тепловых электростанций, работающих на мазуте, также сопровождается вредными выбросами в атмосферу, грунтовые воды и почву, а транспортировка нефти и нефтепродуктов нередко завершается локальными экологическими катастрофами.
Постоянно растущие энергетические потребности мирового сообщества требуют увеличения добычи и разведки новых месторождений ископаемого топлива. Однако, несмотря на открытие обширных месторождений нефти, например в Мексике, количество коммерчески выгодных для освоения месторождений не увеличивается, а уменьшается, что приводит экспертов-аналитиков к единому мнению о невозможности бесконечной зависимости промышленной энергетики от ископаемого горючего. Именно поэтому страны-экспортёры нефти пытаются построить экономику, не зависящую от нефтяных доходов, а мировые топливные компании активно вкладывают нефтяные капиталы в освоение перспективных источников энергии. Атомная энергетика приносит ещё большие проблемы, главная из которых - утилизация радиоактивных отходов. К тому же обычные ядерные реакторы работают на уране. Это ещё один вид истощаемого топлива, мировые запасы которого к тому же сравнительно не велики и по достоверным оценкам составляют всего около 2 763 000 т.
Неизбежность истощения запасов ископаемого топлива, заставляет обратить внимание на два перспективных направления развития энергетики -управляемый термоядерный синтез и освоение солнечной энергии. Ожидается, что решение проблемы управляемого термоядерного синтеза обеспечит человечество энергией в необходимых количествах и на неограниченный срок. Управляемый термоядерный синтез теоретически обоснован, но его промышленному освоению препятствует целый ряд весьма сложных и трудоёмких научно-технических проблем, что постоянно отодвигает создание термоядерной энергетики на неопределённые сроки.
Другим неограниченным источником энергии является энергия солнечного излучения. Подсчёты показывают, что количество солнечной энергии, собранной всего лишь с 0,1% земной поверхности с КПД 5%, в 40 раз превышает количество энергии, вырабатываемой всей современной энергетикой. Естественной основой солнечной энергетики служит электромагнитное излучение Солнца, спектр которого предопределяет создание электростанций, использующих тепловой диапазон солнечного излучения и электростанций, работающих в световой части излучения светила.
Солнечные тепловые электростанции экологически чисты и не нуждаются в ископаемом топливе, что исключает всякие затраты на его разведку, добычу и транспортировку. Однако эффективность таких станций существенно зависит от интенсивности солнечного облучения. Поэтому в качестве перспективной технологии рассматривается преобразование прямого и рассеянного солнечного излучения непосредственно в электроэнергию на фотоэлектрических станциях при помощи кремниевых фотоэлементов. Развитию таких станций способствует растущее производство солнечных элементов, которое уже превышает 50 МВт в год и ежегодно увеличивается на 30%. Однако сравнительно низкий КПД и высокая стоимость современных солнечных элементов на основе дорогого химически чистого монокристаллического кремния являются основными факторами, сдерживающими развитие фотоэлектрической энергетики. Перспектива повышения КПД и снижение стоимости фотоэлектрических преобразователей связывается с построением их на основе аморфного кремния a-Si. Однако современная физика не располагает эффективными методами теоретического моделирования атомных структур аморфных материалов, и частные выводы о структуре конкретного аморфного полупроводника получают на основании экспериментальной радиальной функции распределения его атомов. Это порождает основную научную проблему фотоэлектрической энергетики - невозможность целенаправленно обеспечить необходимые электрофизические и оптические свойства аморфных полупроводников, в частности фотопроводимость, обусловленную явлением внутреннего фотоэффекта, возникающим в полупроводниках при облучении их солнечным светом.
Вместе с тем, отказ от традиционного понимания аморфного вещества как хаотичного, лишённого дальнего порядка и подверженного случайностям образования, и интерпретация его как фрактальной структуры, подчинённой неочевидной, однако строгой закономерности, даёт новые возможности теоретического моделирования атомного строения аморфного материала.
Отсюда сформулирована цель диссертационного исследования: разработка метода фрактального моделирования атомной структуры аморфного полупроводника на основе системы итерированных функций, аргументами которой служат значения диэдрических углов и отклонения валентных углов его атомной ячейки.
Достижение поставленной цели обеспечивается решением следующих задач исследования: 1. Построение системы итерированных функций, порождающей фрактальное множество псевдослучайных значений диэдрических углов и отклонений валентных углов атомной ячейки аморфного кремния.
2. Построение фрактальной модели атомной структуры аморфного кремния на множестве псевдослучайных значений диэдрических углов и отклонений валентных углов его атомной ячейки.
3. Построение теоретической РФР фрактальной модели атомной структуры аморфного кремния.
4. Оценка сходимости результатов построения фрактальной модели атомной структуры аморфного кремния.
5. Определение значений коэффициентов порождающей системы итерированных функций, при которых достигается наибольшее соответствие теоретической и экспериментальной радиальной функции распределения аморфного кремния.
Научная новизна диссертационного исследования заключается в разработке способа детального описания атомной структуры аморфного полупроводника периодической системой итерируемых функций, аргументами которой служат значения диэдрических углов и отклонений валентных углов его элементарной атомной ячейки, позволяющего получить адекватную модель аморфной структуры и на её основе решить актуальную научную задачу создания и производства аморфных полупроводников с необходимыми электрическими и оптическими свойствами.
Положения и результаты исследования, выносимые на защиту:
1. Метод и комплекс программ фрактального моделирования атомной структуры аморфного полупроводника на основе периодической системы итерированных функций.
2. Периодическая система итерированных функций, предназначенная для порождения фрактального множества псевдослучайных значений диэдрических углов и отклонений валентных углов атомной ячейки аморфного кремния. 3. Способ вычисления диэдрических и валентных углов модели атомной ячейки аморфного кремния, основанный на использовании псевдослучайного фрактального множества чисел, порождённого периодической системой итерированных функций.
4. Фрактальная модель атомной структуры аморфного кремния, построенная на множестве псевдослучайных значений диэдрических углов и отклонений валентных углов его атомной ячейки.
5. Эмпирическая зависимость вида радиальной функции распределения фрактальной модели атомной структуры аморфного кремния от значений коэффициентов порождающей системы итерированных функций.
Практическая значимость результатов исследования заключается в разработке комплекса программ для вычисления пространственных координат системы атомов аморфного полупроводника в количестве достаточном для достоверного определения его электрофизических и оптических свойств и организации технологических условий массового производства недорогих и эффективных фотоэлектрических преобразователей.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечены применением методов теории фракталов, систем итерированных функций, физики твёрдого тела и подтверждается идентичностью радиальной функции распределения фрактальной модели атомной структуры аморфного кремния и экспериментальной радиальной функцией распределения реального образца аморфного кремния.
Работа выполнена в научном направлении кафедры Промышленная энергетика ГОУ ВПО ВГТА «Исследование процессов тепло-массообмена, повышение эффективности технологического оборудования и энергоиспользования» (№ г.р. 01960007320).
Проблемы углеводородной базы энергетики
Известно, что современный уровень жизни и высокие темпы научно-технического прогресса промышленно развитых стран обеспечены интенсивным использованием ископаемого топлива, активная разработка которого, началась сравнительно недавно, так каменный уголь в промышленных масштабах добывается с XVII века (Англия), а нефть только с 1859 года, когда в Пенсильвании (США) впервые было применено артезианское бурение. В структуре энергетического потенциала современного мирового сообщества доля ископаемого топлива (рис. 1.1) имеет решающее преимущество [64,137,143].
Основным источником всей энергии, производимой и потребляемой современным мировым сообществом, служит нефть, чему способствует ши рокое распространение её месторождений, сравнительно несложное извлечение из недр, эффективные технологии транспортировки, относительно недорогое и безопасное хранение, возможность переработки в различные виды продуктов, отличающихся высокой энергетической плотностью и высоким КПД высвобождения тепловой энергии [143].
Помимо нефти, человечество располагает запасами других углеводоро-дов - нетрадиционной нефти, включая газ (10 баррелей нефтяного эквивалента, большая часть которого может быть преобразована к жидкому топливу), нефтяной песок (800-Ю9 баррелей), нефтяные сланцы (2700-10 баррелей), гидраты метана и уголь. Кроме газа, нетрадиционная нефть дорога в производстве (до 2040 $ за баррель) и её эксплуатация вызывает существенные экологические проблемы [143].
Каждый вид энергетического ресурса (рис. 1.1) отличается физическим потенциалом, определяющим степень эффективности его использования. Для сравнения потенциалов энергоресурсов определено понятие «сорт». Различают четыре вида «сортов» энергоносителей [138]: веса, объёма, площади и состояния (Приложение 1). Значения сортов основных природных энергоносителей с размерностью в системе СИ по данным [138] приведены в табл. 1.1.
В структуре российской энергетики преобладают природный газ, нефть и уголь (рис. 1.2). В современной России более 40% электроэнергии вырабатывается сжиганием газа, еще четверть - сжиганием нефти и каменного угля [22]. В соответствии с энергетической стратегией РФ на период до 2020 года на внутреннем рынке России основным топливно-энергетическим ресурсом остаётся природный газ. Доля жидкого топлива - нефти и нефтепродуктов, в энергетическом балансе РФ составит до 20-22%, а доля твёрдого топлива до 19-20%. Ожидается достаточно стабильный внутренний спрос на электроэнергию и тепло, производимые атомными и гидроэлектростанциями, а также поставляемых возобновляемыми источниками энергии [104]. Однако по прогнозам [115, 146] эпоха ископаемого топлива будет занимать в истории человечества относительно короткий промежуток времени (Приложение 2 и 3).
Увеличение добычи нефти и природного газа способствует развитию энергетики. Однако именно энергетика первой ощутимо столкнулась с проблемой истощения своей традиционной сырьевой базы. Свыше 40% глобальной потребности в энергии сегодня удовлетворяется нефтью и газом, на которые также претендует интенсивно развивающаяся химическая промышленность и транспорт, 90%) которого работает на нефтепродуктах. Поэтому сохранять высокий темп развития энергетики, используя только ископаемые энергоносители, становится всё труднее [9, 49, 144].
Скорость потребления ископаемого топлива несоизмеримо выше скорости его естественного воспроизводства и ожидается, что индустриальная эксплуатация его месторождений в недалёком будущем приведёт к их истощению [18, 120]. По оценкам специалистов, мировые запасы ископаемого углеводородного топлива составляют: нефти - от 1200-Ю9 до 2300-Ю9 баррелей [47, 120, 142, 143]; газа - 7750 триллионов кубических футов [117]; угля — 2500 миллиардов тонн [120]. При этом Российская Федерация обладает запасами 44-Ю9 тонн нефти [104], 127 триллионов кубических метров газа [104] и более 200-109 тонн угля [104].
Человечество потребляет около 109 т условного топлива в год (1т ус-ловного топлива при сжигании дает 8,14-10 кВт-час электроэнергии) и этот показатель год от года увеличивается [53]. Мировое производство угля растёт на 3% ежегодно и удваивается каждые 16 лет, а производство сырой нефти - на 7% ежегодно, с удвоением каждые 10 лет. Полагают, что после п периодов такого удвоения, производство топлива может быть увеличено в 2" раз. Тогда через 10 периодов удвоения его производство неизбежно увеличится в тысячи, а через 20 периодов - в миллионы раз. Никакой конечный ресурс не выдержит таких темпов разработки, и экспоненциальный рост его производства физически ограничен.
Эффективное средство описания таких процессов в 1956 году предложено американским геологом М. К. Хаббертом [120]. Он предположил, что производство всякого конечного ресурса во времени t описывается некой функцией у = fix) и для моментов t = 0 начала и t = tK0U завершения добычи ископаемого объём его производства имеет нулевое значение [107]. Количественно истощение конечного ресурса Хабберт оценивает выражением: х\ \ydx = A, (1.1) 0 где А — площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и кривой функции у =fix) в пределах изменения её аргумента от 0 до х\. Если при этом за время dt производится dQ количества ресурса, то функция его производства Р имеет вид: Р = (1.2) dt Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и кривой, описываемой функцией Р за время от 0 до t, равна: 1 f dO A=\Pdt=\ dt = Q, (1.3) 0 0 dt где Q - количество ресурса, добытого за время t, и предельное количество ископаемого ресурса составит оо Qmax=\Pdt. (1.4) О
Количественная оценка запасов ископаемого ресурса Qmax и предположение о темпах его производства Р позволяют на основе (1.4) прогнозировать наступление максимума его добычи и физического или экономического истощения. На основе этого подхода Хабберт простроил кривые, описывающие производство различных ископаемых ресурсов [107], две из которых даны на рис. 1.3 и 1.4.
Периодическая система итерированных функций
Наблюдаемая иррегулярность и неупорядоченность аморфных тел даёт возможность отнести их к фрактальным объектам, что позволяет применить к описанию их структур фрактальный подход.
Основоположник современной теории фракталов Бенуа Мандельброт определяет фрактал следующим образом: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Более строгого определения фракталов пока не существует [56, 88]. В моделировании строения аморфных тел фрактальный подход даёт единый закон построения структур любых размеров. Это позволяет с помощью конечного числа параметров однозначно и исчерпывающе описывать аморфные структуры с любым количеством атомов. Задать фрактальную структуру - значит задать принцип её роста, закон изменения её формы. Как правило, алгоритм построения формы гораздо проще, чем полученная с его помощью форма. Фрактал даёт компактный способ описания самых замысловатых форм. Поэтому фрактал не есть конечная форма, а есть закон построения этой формы [20].
Б. Мандельброт замечает: «Никто так и не в состоянии объяснить, почему распределение материи подчиняется иррегулярным иерархическим законам. В то Dice время нежелание иметь дело с иррегулярным проистекает из отсутствия инструментов для его математического описания» [56]. Тогда для применения фрактального подхода к моделированию строения аморфных тел необходимо выбрать фрактал, с помощью которого можно эффективно описать структуру аморфного вещества, в частности аморфного кремния. По общепринятой классификации, фракталы делятся на геометрические, алгебраические и стохастические [97]. Порядок построения геометрических фракталов состоит в действии жёстко заданного правила - генератора над выбранным объектом - инициатором. Путём многократного итерационного повторения действия генератора над инициатором, получается геометрический фрактал типа снежинки Коха, ковра Серпинского, дракона Хартера-Хетуэя или губки Менгера. Основным препятствием в использовании геометрических фракталов для моделирования структуры аморфного кремния является их абсолютная симметричность, регулярность и масштабная упорядоченность [56]. Эти свойства геометрических фракталов расходятся с результатами экспериментальных исследований аморфного кремния.
Алгебраические фракталы являются самой крупной группой фракталов. Их получают с помощью нелинейных итерационных процессов в п-мерных пространствах.
Стохастические фракталы получаются в результате случайного изменения параметров итерационного процесса на каждом шаге итераций при построении как геометрических, так и алгебраических фракталов. Использование этого вида фракталов не может дать новых результатов для исследования аморфного кремния, так как на сегодняшний день уже опробовано множество способов его описания, основанных на случайном подходе так и не давших ощутимых результатов.
Альтернативой методам моделирования аморфного кремния, основанным на случайном характере построения атомной структуры, является детерминированный метод, предлагаемый в данной работе. В его основе лежит предположение о том, что распределение атомов в аморфном кремнии не хаотично, а подчинено вполне конкретному закону. В качестве такого закона предлагается использовать одну из разновидностей алгебраических фракталов - систему итерированных функций. Это предложение основано на том, что аттракторы систем итерированных функций могут порождать детерминированный хаос [48].
Методология систем итерированных функций предоставляет хорошую теоретическую базу для математического исследования многих классических фракталов и их обобщений [48]. При этом отображение (2.1) порождает некоторое множество Е = {(х1+ьуі+\)} и чтобы это множество было предельным, то есть, чтобы выполнялось соотношение Е= Ит Ег-, необходимо обеспечить его сходимость. Для этого на систему итерированных функций накладываются ограничения, препятствующие уходу элементов множества Е на бесконечность. В этом случае множество Е называют аттрактором системы итерированных функций, причём аттрактор является фрактальным множеством [48]. Получаемому таким образом детерминированному хаотическому множеству значений х и у можно придать смысл значений диэдрических и валентных углов в атомных ячейках аморфного кремния.
Определение координат первого атома очередной ячейки аморфной структуры
Определение координат 6-го атома осуществляется в 3 этапа: 1) проведение перпендикуляра к атомной связи 2-3 в плоскости Р атомов 1, 2 и 3 - определение координат (х, у, z) виртуального атома; 2) построение плоскости у, расположенной под углом ф к плоскости р -определение координат (х0, .уо о) виртуального атома; 3) определение координат 6-го атома в плоскости у, при условии, что угол между атомными связями 2-3 и 3-6 должен быть равен а. Это проиллюстрировано на рис. 3.3.
Следующей задачей является построение плоскости у, расположенной под углом ф к плоскости Р, то есть в определении координат (х0, уо, z0) виртуального атома (рис. 3.3). Угол ф является диэдрическим углом в модели аморфного кремния и вычисляется с помощью периодической системы итерируемых функций (2.1), (2.2), (2.3) по соотношению (3.7) после первой итерации (/ = 0). Для решения этой задачи необходимо расположить атом с координатами (х0,уо, zo) так, чтобы угол между атомными связями 2-3 и 3-0 был 90, а угол между связями 3-(х, у, z) и 3-0 равнялся ф.
Решение такой задачи иллюстрирует рис. 3.4. На нём вводятся условные порядковые номера координат атомов, не имеющие общего с номерами координат пяти атомов из первоначального тетраэдра на рис. 3.1, но имеющие эквивалентное расположение. Атом 2 на рис. 3.1 является атомом 1 на рис. 3.4, 3-й - 2-м, (х, у, z) - 3-м, а 0-й - 4-м. (х3, Уз, Z3)
По теореме косинусов Ъ2 - г2 + г2 - 2гг2 со ф и а2 -г2 + г2, где г\ и г2 - известные расстояния между первым и вторым и вторым и третьим атомами соответственно. Таким образом, в новых обозначениях, необходимо вычислить координаты (х4, у% z4), для чего решается система из трёх уравнений:
Из линейной алгебры известно, что эта плоскость будет неперпендикулярна координатной плоскости YX, если НФО. Будем полагать, что точка (х4, У4, ZA)+ расположена выше плоскости заданной выражением (3.18), если выполняется неравенство x4+G + у4+К + J н Z4+ тогда точка (JC4, У\, ZA). будет ниже этой плоскости. Если же x4+G + у4+К + J _ ZA, , то (х4, у4, zx)+ будет ниже, а (х4, у4, za). - выше плоскости (3.18). Этим определяется расположение точек с координатами (je4, у4, z )+ и (х4, у ,, z4). по отношению к плоскости, задаваемой уравнением (3.18).
Теперь опустим перпендикуляры из точек 1, 2 и 3 на плоскость YX. Эта проекция изображена на рис. 3.5.
Ориентацию точек 1, 2, 3 будем считать правой, если при движении по прямой линии от проекции точки 1 к проекции точки 2 и дальше, проекция точки 3 окажется справа от движения, а если слева, то левой.
Таким образом, для случая Н О, из двух точек (х4, ч, z4)+ и (х4, у\, z4). будем выбирать верхнюю точку по отношению к плоскости (3.18) при левой ориентации точек 1, 2, 3, либо нижнюю при правой ориентации.
Плоскость (3.18) может оказаться перпендикулярна плоскости YX, то есть Я=0. В таком случае она проверяется на неперпендикулярность плоскости ZX, что эквивалентно К&0. Тогда будем полагать, что точка ( 4, у A, Z4)+ расположена выше плоскости (3.18), если выполняется неравенство
Для случая КФО, ИЗ двух точек (х4, у\, Z4)+ и (х4, у4, z4). будем выбирать верхнюю точку по отношению к плоскости (3.18) при правой ориентации точек 1, 2, 3, либо нижнюю при левой ориентации.
Если в уравнении (3.18) Н=0 и К=0, тогда G O. В этом случае будем полагать, что точка (х4, ч, z4)+ расположена выше плоскости (3.18), если выполняется неравенство
Методика оценки соответствия модельной и экспериментальной радиальной функции распределения
Основным способом проверки адекватности любой модели является сравнение получаемых с её помощью данных об объекте-оригинале с соответствующими экспериментальными данными о том же объекте [20].
Необходимым критерием оценки пригодности той или иной модели атомной структуры вещества, является хорошее согласие её радиальной функции распределения с экспериментальной [63]. Однако этого может быть недостаточно для однозначного заключения об адекватности модели, так как в образовании экспериментальной радиальной функции распределения (РФР) реального физического образца аморфного кремния участвуют не все атомы структуры, а только около ста. Это ограничение накладывается предельными возможностями экспериментальных методов исследования структуры. В результате оказывается практически невозможным получение экспериментальных РФР на расстояниях более 10А. Даже в случае хорошего совпадения экспериментальной и модельной РФР, это будет справедливо лишь для незначительной части всей структуры, в то время как остальная её часть остаётся неисследованной.
Поэтому для убедительного подтверждения адекватности получаемой модели, наряду с вычислением её РФР, проводят также оценку плотности модельной атомной структуры и статистики распределения валентных и ди-эдрических углов межатомных связей. Два последних критерия проверки модели характеризует наличие и общедоступность экспериментально полученных данных, которые отражают соответствующие свойства всей структуры в целом, а не какой-либо её части.
В связи с этим, оценку адекватности модели аморфного кремния, получаемой с помощью предложенной периодической системы итерируемых функций, целесообразно проводить следующими способами: 1) сравнением модельной и экспериментальной РФР, 2) вычислением плотности модельной структуры и сравнение её с соответствующим справочным значением для реального образца аморфного кремния, 3) получением распределений валентных и диэдрических углов в модели и проведение оценки их соответствия структуре аморфного кремния.
Тогда модель атомной структуры аморфного кремния можно считать адекватной в случае соответствия её всем трём указанным критериям.
Радиальная функция распределения модели атомной структуры аморфного кремния определяется путём формирования гистограммы, отражающей зависимость числа атомов, от расстояния на котором они расположены относительно атома, выбранного в качестве центрального [114]. Исходными данными для построения РФР являются координаты всех атомов структуры, в том числе одного центрального, от которого производится отсчёт расстояний на графике РФР.
Число атомов N(r), находящихся внутри сферического слоя толщиной dr, на расстоянии от г до г + dr от некоторого начального атома, выражается соотношением N(r) = 4тгг p(r)dr [65]. Известно также, что радиальная функ-ция распределения F(r) определяется как F(r) = 4пг р(У) [63]. Тогда выражение для числа атомов можно преобразовать к виду N(r) = F{r)dr, откуда F{r)=N{r)ldr (4.1)
В связи с этим, определение вида РФР модели проводится следующим образом. На модельную структуру условно накладываются концентрические сферы с координатами их центра, совпадающими с координатами (х2, уг, z2) второго атома, выбираемого в качестве центрального (рис. 3.1). Расстояние между этими сферами является фиксированным и имеет смысл dr из выражения (4.1). Затем прямым подсчётом количества атомов, заключённых в шаровом слое между сферами с радиусами г и r+dr, вычисляется величина N(r), которую следует подставит в (4.1). Это все атомы, для координат (х, у, z) которых справедливо условие r (x2-x)2+(y2-y)2+(z2-z)2 r + dr (4.2)
Затем с помощью выражения (4.1) определяется значение модельной радиальной функции распределения в точке г.
Величина dr принимается равной 0,0lA, что является -0,4% от длины атомной связи в аморфном кремнии (2,35А). Величина г из выражения (4.2) изменяется в пределах от 0,01 А до 6А, что совпадает с областью определения экспериментальной РФР аморфного кремния. Соответствие экспериментальной и модельной РФР устанавливается путём их совмещения в единой системе координат.
