Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор и анализ литературных источников математической теории колебаний упругих систем 9
1.1. Обзор основных дифференциальных уравнений теории колебаний стержней, пластинок и замкнутых колец 9
1.2. Обзор и анализ литературных источников продольных и поперечных колебаний стержня 14
ВЫВОДЫ 26
2. Математическое моделирование продольных колебаний стержня, обусловленных периодическими, мгновенными импульсами 27
2.1. Продольные колебания стержня с одним жестко защемленным концом 27
2.2. Продольные колебания стержня с учетом податливости упругого основания 52
ВЫВОДЫ 60
3. Математическое моделирование поперечных колебаний стержневых элементов с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций их поперечных сечений. обобщенноеуравнение сп. тимошенко 61
3.1. Вывод дифференциального уравнения вынужденных поперечных 61 колебаний призматического стержня.
3.2. Вывод дифференциального уравнения вынужденных поперечных колебаний непризматического стержня специального вида 64
3.3. Одно свойство дифференциального уравнения СП. Тимошенко 67
3.4. Постановка и решение начально-краевой задачи поперечных колебаний непризматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций его поперечных сечений 69
3.5 Постановка и решение начально-краевых задач поперечных колебаний призматического стержня при действии на него продольных периодических импульсов 81
3.6 Численный анализ на ЭВМ поперечных колебаний призматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций 98
3.7. Разработка аналитического метода решения начально-краевых задач поперечных колебаний непризматического стержня при действии сосредоточенных и импульсно действующих сил 108
3.8 Анализ спектра собственных частот поперечных колебаний непризматического стержня 118
3.9. Математическое и компьютерное моделирование динамической устойчивости колебаний упругих стержневых элементов 125
Выводы 133
Заключение 134
Литература
- Обзор и анализ литературных источников продольных и поперечных колебаний стержня
- Продольные колебания стержня с учетом податливости упругого основания
- Вывод дифференциального уравнения вынужденных поперечных колебаний непризматического стержня специального вида
- Постановка и решение начально-краевой задачи поперечных колебаний непризматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций его поперечных сечений
Введение к работе
Актуальность проблемы. Широкий круг задач механических колебаний упругих элементов различных конструкций, деталей машин и механизмов строго моделируются начально-краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных, имеющих некоторые особенности. Коэффициенты этих уравнений выражаются через импульсные функции Хевисайда и Дирака. Эти особенности существенно усложняют решения соответствующих дифференциальных уравнений, и каждый из них требует индивидуальный теоретический подход.
Наиболее наглядно подобные дифференциальные уравнения формулируются для конструкций удлинённого очертания, подверженных действию продольных импульсов, гидравлического удара или удара.движущегося тела. Исследование динамических процессов при таких импульсных воздействиях весьма важно в теоретическом плане, так как в этом случае наиболее явно проявляется динамичность процесса деформаций, который может быть охарактеризован минимальным числом параметров.
При высокочастотных колебаниях упругого непризматического стержня в соответствующем дифференциальном уравнении должны быть учтены инерция вращения и сдвиговые деформации, существенно влияющие на собственную частоту колебаний упругого элемента. Коэффициенты дифференциального уравнения при вышеотмеченных условиях являются переменными величинами, зависящими от продольной координаты. Учёт инерции вращения и сдвиговых деформаций поперечных сечений стержня существенно изменяют характеристики дифференциального уравнения, и оно из неволнового принимает волновой характер. Эти особенности дифференциального уравнения создают существенные математические трудности и до настоящего времени не получено строгое аналитическое решение какой-либо начально-краевой задачи для такого дифференциального уравнения.
Поэтому разработка строгих научно-обоснованных методов решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений колебаний упругих элементов при вышеотмеченных особых условиях является актуальной научной проблемой.
Цель работы - разработка строгих научно-обоснованных аналитических методов решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений механических колебаний упругих элементов, обусловленных действием периодически повторяющихся мгновенных импульсов, имеющих особенности.
Поставленная цель достигается:
-разработкой строгого аналитического метода решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений поперечных колебаний непризматического стержня с учётом инерции вращения и сдвиговых деформаций его поперечных сечений;
-проведением серии численных расчётов на ЭВМ напряжённо-деформированного состояния упругих элементов в зависимости от их геометрических размеров и величин и периодов прилагаемых к ним импульсных сил.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
Математическая модель колебательных процессов в ударных инструментах с учетом податливости упругого основания в виде горной породы. Модель представляет собой начально-краевую задачу математической физики для дифференциального уравнения гиперболического типа, имеющего особенности. Аналитический метод решения указанной начально-краевой задачи.
Математическая модель вынужденных поперечных колебаний упругого стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций, когда на него действуют импульсивные силы. Модель представляет собой начально-краевую задачу для дифференциального уравнения четвертого порядка, имеющего особенности. Аналитический метод решения указанной начально-краевой задачи.
6 3. Компьютерно-математическая модель динамической устойчивости колебаний упругого стержня, когда на него действуют периодически повторяющиеся импульсы.
Методы исследования Для решения поставленных задач использована теория дифференциальных уравнений в частных производных, методы математической физики, теоретические положения обобщенных функций Дирака и Хевисайда, а так же классическая теория удара. Научная новизна диссертации заключается в следующем:
Впервые составлена компьютерно-математическая модель колебательных процессов в ударных инструментах с учетом податливости упругого основания в виде горной породы.
Впервые составлена компьютерно-математическая модель вынужденных поперечных колебаний стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций его поперечных сечений, когда на стержень действуют импульсные силы.
Впервые получено аналитическое решение начально-краевой задачи поперечных колебаний непризматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций, когда на него действуют распределенные и сосредоточенные импульсные силы. Аналога решения этой задачи еще нет.
Впервые доказаны теоремы, которые раскрывают некоторые свойства дифференциального уравнения теории поперечных колебаний с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций.
Практическая значимость работы заключается в следующем:
полученные расчетные формулы и программные средства автоматизировано позволяют установить критические значения импульсных нагрузок и тем самым исключить превышения максимальных напряжений и деформаций до их предельно допускаемых значений;
разработаны ориентированные на систему автоматизации проектирования алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния не-
призматических стержней, моделирующих работу конструктивных элементов машин и механизмов.
Основные положения диссертации используются в проектных организациях РСО-Алания, занимающихся вопросами проектирования машин и механизмов для горнодобывающей и металлургической отраслей промышленности и учебном процессе в вузах при подготовке специалистов в области расчета и проектирования машин и механизмов.
Достоверность научных разработок. Все разработки диссертационной работы получены в рамках общепринятых допущений и предположений. Математические модели колебаний представляют собой начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений, адекватно описывающие динамические процессы в колеблющихся элементах. Эти положения подтверждают обоснованность и достоверность полученных результатов.
Апробация.
Основные результаты работы в ходе выполнения отдельных ее разделов были доложены и обсуждены на научно-технических конференциях и семинарах, в том числе:
международных: XIX Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2001 г.); Международный симпозиум «Неделя горняка - 2001»; III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону, 2003). региональных: ежегодных и юбилейных научно-технических конференциях СКГМИ (ГТУ) в период с 1998 по 2006 г. На научно-технических семинарах института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского отделения РАН (Нальчик, 2003, 2004гг.).
На объединенном научно-исследовательском семинаре кафедр инженерно-технического и математического факультетов КБГУ (Нальчик, 2006г.).
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из 3 глав, введения, заключения, списка использованной литературы и 2 приложений. Содержит 144 страницы основного текста, в том числе 20 рисунков. Список литературы включает 100 наименование работ отечественных и зарубежных авторов.
1. ОБЗОР И АНАЛИЗ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ
Обзор и анализ литературных источников продольных и поперечных колебаний стержня
Если стержень испытывает действие продольной силы F, то дифференциальное уравнений свободных поперечных колебаний имеет вид с.дЮ cd2U d2U п EI—т+F—— + p-Z7 = 0, (1.13) дх4 " дх2 dt2 при этом положительной считается сжимающая сила F. Для случая радиальных колебаний замкнутого кольца под действием радиальной нагрузки дифференциальное уравнение имеет вид Е/ R" Эф 5ф д(рг + — R + дц ц ду + Р дґ ґ 2 дц -U = 0, (1.14) где U(q ,t) -тангенциальные перемещения сечения кольца; ср - полярный угол.
Изгибно-крутильные колебания стержня, происходящие в плоскости наибольшей жесткости, описываются системой дифференциальных уравнений: Е/—т + ЩП— + р—5" = 0; (1.15) дхл wax2 dt2 О У о M(f)—f-Glk— + pr2—5" = 0, (1.16) w5x2 ах2 df2 где E/z - жесткость при изгибе в плоскости наибольшей жесткости; Glk - жесткость кольцевого сечения при кручении; г - полярный радиус инерции сечения; U = U(x,t) - прогиб оси стержня; Ф = Ф(Х,0 - угол поворота сечения; M(t) - момент приложенных сил. Дифференциальное уравнение колебаний пластинки имеет следующий вид: DAAU(x,y,t) + ph - = q, (1.17) дґ где U(x,у, t) - прогиб пластинки; Eh3 D = —т Y\ " цилиндрическая жесткость изогнутой пластинки; р - плотность материала пластинки; q(x,y,t) - интенсивность поперечной нагрузки; Е - модуль упругости первого рода материала стержня; v - коэффициент Пуассона; А - оператор Лапласа; h - толщина пластинки. В начале двадцатого столетия СП. Тимошенко получено более полное дифференциальное уравнение поперечных колебаний призматического стержня. В отличие от существующего уравнения (1.6), в новом дифференциальном уравнении учитываются инерция вращения поперечных сечений стержня, а также их поперечные сдвиговые деформации. Это уравнение имеет следующий вид: С1д4и ( . ЕІрЛ дЮ lp2d4U d2U п ЕІ—г- Р + тт - —5—Т + -Т г + Р—5- = 0f (1.18) Эх4 { k GJdx2dt2 k Gdx4 и dt2 v где к - поправочный коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения стержня. Для стержня прямоугольного поперечного сечения к =0,833.
Анализ уравнения (1.18) показывает, что учет инерции вращения и сдвиговых деформаций поперечных сечений колеблющегося стержня существенно уточняет кинематические характеристики при его высокочастотных и коротковолновых колебаниях. В монографиях [2], [4] решены задачи о продольных колебаниях стержня. Рассмотрен конкретный пример, когда призматический стержень сжат силами, приложенными по его концам. В начальный момент t = 0 стержень внезапно освобождается от сил, в результате чего стержень начинает колебаться. В качестве второго примера рассмотрены продольные колебания стержня, один конец которого жестко закреплен, а второй свободен.
Принято, что стержень был растянут продольной силой Р, приложенной к свободному концу, и в момент t = 0 внезапно освобожден. В результате этого возникают колебания. При начальном относи F тельном удлинении є=—, где со - площадь поперечного сечения Есо стержня. Начальные условия запишутся (1.19) U(x,t)\t=0 = sx; М\Ы0 = 0 Решение задачи получено в следующем виде: /-1 8EL (кх} (іпаіЛ (-1) sin - cos \2Lj 2L U(x,t) = X 71 /=1,3,5,... (1.20) (1.21) Для случая продольных колебаний стержня, у которого один конец жестко закреплен, а другой свободен, к которому в начальный момент времени t = 0 прилагается постоянная сила Р, начальные и граничные условия имеют вид Поставлена и решена начально-краевая задача продольных колебаний призматического стержня с сосредоточенной массой в конце.
Продольные колебания стержня с учетом податливости упругого основания
Начально-краевая задача продольных колебаний стержня, обусловленных периодическими мгновенными импульсами, решена двумя способами: Первый способ впервые разработан в данной работе. Второй способ классический - способ «припасовывания».
Результаты этих решений, при условии, что т - 0 идентичны друг другу. Сравнение этих способов показывает, что первый способ, разработанный в данной работе, намного эффективнее, чем второй - общепризнанный, классический способ. Эффективность разработанного метода по сравнению с другими заключается в том, что в нем с самого начала исключается необходимость решения начально-краевой задачи в промежутках времени совершения очередного импульса. Это в свою очередь существенно упрощает весьма сложные математические выкладки и преобразования.
В классических литературных источниках [1,2,4,8] математическая модель продольных колебаний в ударных инструментах представлена начально-краевой задача математической физики: где U(x,t) - продольные, упругие деформации в штанге; со - площадь поперечного сечения штанги; L - длина; М - масса ударяющего тела; а - скорость распространения звука в материале стержня, а = /— Р
Представленная начально-краевая задача решена методом Д Алам-бера [1,2]. В отличие от этих решений, в данной работе дополнительно учтена податливость упругого основания (упругость горного массива). Кроме этого, в данной работе представленная задача рассматривается в видоизмененной постановке, позволяющей применить метод Фурье. Решения начально-краевых задач, полученных методом Фурье (метод разложения в тригонометрические ряды), легко реализуемы на ЭВМ.
В предложенной постановке дифференциальное уравнение (2.156) остается в силе. Начальные и граничные условия поставлены в следующем виде: и(хДыо=0; діїь (2.159) м ЭфД _JV0, ПРИ 0 х /; dt І0, при L -1 х L, (2.160) х=0=0, дх дх -L = O, где к - коэффициент отпора упругого основания, L -1 - длина стержня (буровой штанги), который подвергается удару; / - длина ударника. Согласно методу Фурье, ищем частные решения дифференциального уравнения (2.156) в виде следующих значениях входных параметров. Длина штанги L=0,75 м; модуль упругости штанги Е=2-105 МПа; длина ударника /=0,125 м; ра кН диус штанги г =0,025 м; плотности материала штанги р=78 —=-; коэффи м циент отпора основания /с=1020 —= (абсолютно жёсткое опирание). м а Максимальное значение равно EV0 а \&oj max =0,00045. amax = 0,00045 EV0 = 9,0 V0 107 (2.180)
В монографии СП. Тимошенко приведены приближенные аналитические формулы для максимального напряжения в стержне при ударе. а ч а сттах=Е -(л/ш+і) приА77 = 24, (2.181) amax=E -(Vm+1,l) при 5 /77 24, (2.182) атах=2Е 1 + е т] прит 5, (2.183) где т - отношение массы ударяющего тела к массе штанги. Для дан ного примера т = — = 0,5, а = 5000м/с.
Поставив эти величины в выражение (2.183), получим amax=0,0004El/0. (2.184)
Сравнение выражений (2.180) и (2.184) показывает согласованность разработанной математической модели с общепринятой классической моделью продольных колебаний стержня при ударе.
Сравнение максимальных напряжений в штанге показывает, что учет упругости материала горной породы существенно уточняет динамические характеристики в продольно колеблющемся стержне при ударе.
Дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня с учетом внутреннего неупругого сопротивления имеет следующий вид[ ]: —--а (\ + ці)—- = 0, (2.185) дг дх2 где і-мнимая единица, г-коэффициент сопротивления. С учетом внутреннего сопротивления решение начально-краевой задачи (2,185), (2,157),(2,158) получается в следующем виде: і L тт( . AV0L « -Уі і sin L . at x U(x,t)= -— J 2 L -8іпця -- cos „ -; (2.186) a „=i ця(2ц„+8іп2ц,,) Z, L 1 sin a(x,0 = M f/2вїл _ І4_8ІПц 8іпця . (2.187) a 2iw+Sin2ii„ Z, L
В механике деформируемого твердого тела одной из главных, определяющих величин при расчетах на прочность, жесткость и устойчивость являются перемещения и напряжения.
Формулы (2.186) и (2.187) представляют аналитически, в явном виде выраженные функции перемещений и напряжений.
1. Разработана математическая модель продольных колебаний стержня в виде начально-краевой задачи математической физики, имеющей особенности.
2. Решена начально-краевая задача, в результате чего получены расчетные выражения для перемещений и напряжений в стержне, моделирующем работу ударного инструмента.
3. Разработан новый аналитический метод решения начально-краевых задач продольных колебаний стержневых элементов с учетом податливости упругого основания, на который одним концом опирается стержень. Предложенный метод существенно сокращает и упрощает математические выкладки по сравнению с существующими классическими методами решения аналогичных задач.
4. Выполнена серия вычислительных экспериментов на ЭВМ и построены графики зависимостей деформаций и напряжений от пространственной переменной и от времени.
Вывод дифференциального уравнения вынужденных поперечных колебаний непризматического стержня специального вида
В литературных источниках, касающихся теории колебаний стержней не представлено ни одного аналитического решения какой-нибудь начально-краевой задачи поперечных колебаний непризматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций.
Ниже приводится решение одной из таких задач для частного случая, когда поперечное сечение стержня является прямоугольником с постоянной высотой, а ширина стержня изменяется по экспоненциальной зависимости от продольной координаты, то есть h = const, b{x) = b0esx. (3.15)
Прежде всего, надо отметить, что при попытке приведения системы дифференциальных уравнений (3.1) - (3.7) для непризматического стержня к одному уравнению относительно полного смещения U(x,t), сталкиваемся с некоторыми математическими трудностями. Сравнительно легко преодолеваются математические трудности в частном случае непризматичности, когда размеры поперечного сечения стержня представлены по зависимостям (3.15) и колебания совершаются вдоль высоты стержня, то есть вдоль h. Для такого стержня
На основании полученных выражений (3.41) и (3.46) можно сделать заключение о том, что при действии импульсивных сил учет инерции вращения и сдвиговых деформаций устраняет разрыв скорости. Этот разрыв переносится на производную третьего порядка по времени. Такое несоответствие дифференциального уравнения (3.11) обусловливается тем, что в постулате, впервые принятом СП. Тимошенко с физической точки зрения неадекватно отражены связи между сдвиговой деформацией поперечной силы и изгибом стержня.
Начально-краевая задача поперечных колебаний непризматического стержня с шарнирно закрепленными концами имеет следующий вид [74]:
С целью приведения дифференциального уравнения (3.48) к каноническому виду, применим следующую подстановку: U(x,t) = eaxV(x,t), а = const. (3.53)
Постоянную а подберем так, чтобы в уравнении (3.48) уничтожились про Выражение (3.98) является решением поставленной начально-краевой задачи (3.48)-(3.51).
В качестве примера рассмотрим частный случай, когда начальное искривление стержня задано синусоидой с одной полуволной, а начальные скорости равны нулю: х - f{x) = Asin7i—є 2 ; ф(х) = 0, (3.100) где А - величина начального прогиба. Для этого случая решение (3.98) упрощается. Прежде всего, вычислим коэффициенты ряда Фурье:
Выражения (3.98), (3.102) и (3.104) определяют поперечные колебания стержня при условии, что начальное искривление задано выражением (3.100), а начальные скорости равны нулю, т.е. ф(х) = 0. (3.105) (3.106)
Для призматического стержня полученные выражения упрощаются и принимают следующий вид: s = 0; Фп(0 = О, /7 = 2,3,4 Поперечные колебания призматического стержня с начальным искривлением описываются дифференциальным уравнением СП. Тимошенко + Ei + F(t) + CU- р/ дх дх K G d4U c,..d2U _.. ( . ЕІрЛ d U дХдГ (3.108) K Gdt4 dt2 dx2 где F{t) - продольная сила, зависящая от времени; с - коэффициент отпора упругого основания; Ц) = Цэ(х) " начальное искривление стержня. Начальные и граничные условия стержня с шарнирно закрепленными концами имеют вид: ) V" /
Продольная сила F(t) имеет импульсный характер и ее можно записать следующим образом: F(t) = -при (/с- 1ХГ + т) f (/с-1)7" + /ст; т (3.112) О при (/с -1)7 + кх t к(Т + т). При т - 0 выражение (3.112) можно записать через импульсную функцию Хевисайда F(f) = F[51(0 + 51(f) + 61a-27) + ...]l (3.113) где F - импульс силы F(t); 8 (t) - импульсная функция Дирака первого порядка.
Для постановки и решения начально-краевых задач поперечных колебаний стержня, когда колебания обусловлены продольной импульсной силой, целесообразно сформулировать и доказать следующие теоремы.
Теорема 1. При поперечных колебаниях первоначально искривленного стержня, обусловленных продольными периодическими мгновенными силами без учета инерции вращения и сдвиговых деформаций, скорость поперечных колебаний терпит разрывы первого рода. Скачок этих разрывов равен F d2U(x,t) рсо дх2 где F - импульс продольной силы; р - плотность материала стержня; со - площадь поперечного сечения; d2U(x,t) дх кривизна в линейном приближении к моменту совершения им пульса.
Постановка и решение начально-краевой задачи поперечных колебаний непризматического стержня с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций его поперечных сечений
Предположим, что на стержень действует сосредоточенная в точке х0 сила F(t). В данном случае поперечные колебания стержня моделируются конкретной начально-краевой задачей:
В такой классической постановке решение контактной задачи связано с некоторыми математическими трудностями, которые возникают при вычислении оригиналов при использовании методов операционного исчисления.
В этом разделе диссертационной работы разработан аналитический метод поставленной начально-краевой задачи. Сначала рассредоточим силу F(t) на бесконечно-малой окрестности (х0 - є; Хо + є) точки х0. q(x,t) = 4 -ф (х) при х0-є х х0+є; 2є при х х0-є и х х0 + є, (3.226) где ф (х) - некоторая нормирующая функция, которая подбирается так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям: 1. является дважды дифференцируемой функцией в промежутке [х0-є; х0 + є]; 2. Значения функции и ее производных до второго порядка включительно в точках Хі = х0-є и х2 = х0 + є равны нулю;
Выражение (3.280) показывает, что с увеличением параметра не-призматичности S, собственные частоты колебаний стержня увеличиваются. Это увеличение одинаково сказывается для положительных и отрицательных значений S.
Очевидно, что выражение (3.280) определяет спектр собственных частот колебаний непризматического стержня без учета инерции вращения и сдвиговых деформаций, то есть колебания, описываемые дифференциальным уравнением Бернулли.
С учетом инерции вращения и без учета сдвиговых деформаций поперечных сечений стержня частотное уравнение имеет вид: Рп = cjanM + (1 + ajr2 + 2_2 Лаі SV (3.281)
В общем случае, в обозначениях, приведенных в справочнике по колебаниям [28], частотное уравнение непризматического стержня имеет следующий вид
Формула (3.282) определяет два значения собственных частот, отвечающих данному числу п полуволн. Низшее значение соответствует такой форме колебаний, при которой поперечные сечения поворачиваются в ту же сторону, что и касательные к изогнутой оси. Второе значение соответствует противоположным направлениям поворота сечений и касательных к изогнутой оси.
На рис. 3.16 представлен график зависимости низшего значения собственной частоты поперечных колебаний от параметра непризма-тичности стержня. Анализ формулы (3.282) показывает, что при малых значениях параметра S спектр собственных частот незначительно отличается от спектра призматического стержня, независимо от того расширяется или сужается стержень. Так, например при S= будем иметь Ь(Ц =2,71- Ь(0), то есть при длине L=1M, ширина стержня увеличивается в 2,71 раза. При этом собственная частота увеличивается лишь на 1,4 %.
При резком расширении стержня, влияние параметра непризматич-ности существенно влияет на спектр собственных частот. Так, например, при значении S=6,28 , что соответствует клинообразному стержню, низшая собственная частота увеличивается в 2 раза.
Теперь рассмотрим краевую задачу поперечных колебаний непризматического стержня при различных граничных условиях.
При жестких заделках концов стержня дифференциальное уравнение (3.267) остается в силе, а граничные условия (3.268) и (3.269) заменяются на следующие:
