Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ проблемы и постановки задач моделирования 7
1.1. Актуальность, основные цели, этапы и задачи исследования 7
1.2. Постановка основных задач исследования 10
2. Математические модели и разностные схемы для анализа нелинейных электрических цепей 16
2.1 Математические модели резистивных, емкостных и индуктивных элементов цепей 16
2.2. Математические модели полупроводниковых и термоэлектронных элементов 29
2.3. Кусочно-линейные дифференциальные уравнения электрических цепей 46
2.4. Опфаторно-аддитивные кусочно-линейные разностные схемы для анализа электрических цепей 61
2.5. Устойчивость параметрически аддитивных частично-неявных разностных схем 84
3. Математические модели и разностные задачи для кусочно-линейных уравнений теплопроводности 95
3.1. Кусочно-линейные задачи теплопроводности и методы их решения 95
3.2. Разностные задачи для линейных уравнений теплопроводности... 105
3.3. Разностные задачи для первой канонической формы кусочно-линейных уравнений теплопроводности 120
3.4. Разностные задачи для второй канонической формы кусочно-линейных уравнений теплопроводности 132
3.5. Кусочно-линейные разностные схемы для задач с пространственными переменными 154
3.6. Устойчивость кусочно-линейных разностных схем 176
4. Математические модели синтеза программных и стабилизирующих управлений тепловыми процессами 195
4.1. Анализ методов температурной стабилизации распределенных объектов и постановка задач синтеза 195
4.2. Синтез модальных управлений для распределенных тепловых систем 200
4.3. Синтез локально-оптимальных стабилизирующих управлений 211
5. Применение математических моделей для проектирования алгоритмического обеспечения технических систем 219
5.1. Математические модели для проектирования приборов на базе термоэлектронных элементов 219
5.2. Применение полупроводниковых термоэлектронных устройств в медицине 241
Заключение 246
Список литературы 269
- Актуальность, основные цели, этапы и задачи исследования
- Кусочно-линейные дифференциальные уравнения электрических цепей
- Разностные задачи для первой канонической формы кусочно-линейных уравнений теплопроводности
- Синтез модальных управлений для распределенных тепловых систем
Введение к работе
Научная база современной техники создается фундаментальными исследованиями в области математических, физических и технических наук. Соединение фундаментальных исследований и практической реализации возможно на основе решения проблем математического моделирования сложных технических комплексов, состоящих из разнородных подсистем. Это позволяет говорить о гибридных (гетерогенных) технических комплексах, неоднородных по функциям подсистем, физическим принципам построения и классам описывающих математических моделей. Создание гибридных (сосредоточенно-распределенных) технических комплексов методами математического моделирования требует использования совокупности неоднородных математических моделей, что определяет актуальность создания на единой научной основе моделей для анализа и синтеза. В данной работе в качестве объединяющего математического аппарата используются негладкие операторы, в частности, кусочно-линейные операторы, определенные в конечномерных и функциональных пространствах, которые позволяют в едином базисе построить модели сосредоточенно-распределенных систем.
Примеры гибридных технических комплексов достаточно разнообразны. Последнее обстоятельство объясняется функционированием современных технических систем на основе различных физических, химических и других принципов. В частности, к числу таких гибридных систем относятся энергетические системы, содержащие электрические, гидравлические, тепловые и другие подсистемы. Решение проблем моделирования гибридных технических комплексов весьма важно для энергетики, медицины и других отраслей национального хозяйства.
В данной работе рассматриваются гибридные комплексы, состоящие из электрических и тепловых подсистем, построенные на основе принципа термоэлектрического охлаждения или нагрева. Эти комплексы используются в технике, медицине и других областях. В медицине термоэлектрическое охлаждение используется в новых областях - криотерапии и криохирургии. Разработанные термоэлектрические холодильники успешно используются в нейрохирургии, пластической хирургии, травматологии, патологической анатомии, офтальмологии, урологии, дерматологии. В 70-х годах прошлого столетия были разработаны термоэлектрические устройства для гипотермии головного мозга.
До разработки электронных устройств наибольшее распространение в
нейрохирургической практике получили аппараты, в которых в качестве
генератора холода используются компрессионные фреоновые агрегаты.
Конструкции предусматривали размещение испарителя холодильника
непосредственно на голове больного, применялись промежуточные
теплоносители (лед, твердая углекислота и другие средства), не
удовлетворяющие требованиям технологичности. Положение существенно
изменилось после разработки теории термоэлектричества в Институте
полупроводников АН СССР под руководством академика А.Ф.Иоффе. В
результате были разработаны новые приборы и устройства для медицины.
Среди них термоэлектрический охлаждающий столик для замораживающего
микротома - термоэлектрический прибор для физиологических
исследований «Термод».
Большое количество отечественных разработок в области медицинского термоэлектричества выполнено в лаборатории охлаждающих приборов при НИИ промышленной и морской медицины. К ним относятся термоэлектрический криоинструмент "КРИОМЕД ТЕ", используемый в офтальмологии, кардиологии, дерматология и косметологии. Приборы использовали эффект Пельтье, обеспечивающий высокую скорость
охлаждения и отогрева при отсутствии хладагентов, что исключило травмирование прилегающих тканей.
В Государственном специальном конструкторском бюро
теплофгоического приборостроения (ГСКБ ТФП) разработан ряд различных
термоэлектрических приборов для широкого применения в отраслях
народного хозяйства. Это термоэлектрические модули "СЕЛЕН",
термоэлектрический слаботочный модуль МТС, который предназначен для
создания заданных температурных режимов объектов медико-
биологического исследования, и различные типы преобразователей теплового потока, которые могут служить в качестве датчиков во многих отраслях народного хозяйства (ПБ-2, ТБО, ТМО, МТС-П). Кроме этого в ГСКБ ТФП разработан целый ряд микрокалориметров предназначенных для измерения теплоемкости твердых, жидких и сыпучих веществ, количества теплоты и постоянно действующего теплового потока процессов, происходящих в калориметрической ячейке (КДА, МИД-200, микрокалориметр проточный КДП - 100, микрокалориметр КДУ и т.п.). Для стабилизации температуры веществ температурные стабилизаторы ТСП-2, ТСП-3, ТСП-4 и "Биостат". В качестве чувствительных датчиков температуры в последнее время все чаще используются термоэлектрические термометры. В ГСКБ ТФП разработан целый ряд нуль - термостатов (НТ-50, НТ-30, НТ-2). Существуют зарубежные аналоги приборов данного класса. Фирмой "Whirepool Corp." (США) разработан аналогичный погружной охладитель, снижающий за один час температуру двух литров жидкости на 20К.
В лаборатории термоэлектричества Дагестанского государственного технического университета (ДГТУ) в течение ряда лет ведется работа по созданию различных термоэлектрических устройств, предназначенных для сохранения и восстановления здоровья человека. На протяжении нескольких лет ДГТУ непрерывно сотрудничает с ведущими учеными Дагестанской медицинской академии (ДМА) при разработке данных устройств.
Лабораторией термоэлектричества ДГТУ совместно с кафедрой общей хирургии ДМА разработано термоэлектрическое устройство для теплового воздействия и интенсификации теплопередачи, которое широко может применяться для локальной гипотермии в различных областях медицины.
Эффективное конструирование термоэлектрических приборов требует формирования фундаментальных основ для создания систем автоматизированного проектирования приборов данного класса. Фундаментальные основы могут формироваться с учетом принципов действия приборов и систем подобного типа, имеющих электрическую подсистему и физическую подсистему. При этом формирование математических моделей приводит к необходимости создавать для первой подсистемы адекватные модели электрических и электронных устройств с учетом нелинейностей их характеристик. Для разработки второй подсистемы адекватное моделирование может строиться на основе уравнений математической физики. В частности, для этой цели могут применяться уравнения теплопроводности, адаптированные к специфике данного класса подсистем за счет учета свойств многослойных материалов.
Дальнейшее развитие методов математического моделирования
технических комплексов и создание новых отечественных приборов на
основе теории термоэлектричества приводит к необходимости
теоретического обобщения и разработки аналитических и численных математических моделей для задач анализа и синтеза совокупности термоэлектронных систем и приборов, имеющих широкое применение в науке, технике и промышленности. Решению этой проблемы посвящена данная работа.
Материалы работы докладывались на Международном семинаре «Возобновляемые нетрадиционные источники энергии: проблемы и перспективы», г. Махачкала, 1997; на III межвузовской научно-методической конференции "Компьютеризация учебного процесса по электротехническим дисциплинам", Астрахань, 1995; на 1 Международной конференции. «Новые
технологии управления движением технических объектов», Ставрополь, 1999; на IV НТС «Актуальные проблемы механики, прочности и теплопроводности при низких температурах», С-Петербург, 1998; на 4-ой Международной конференции «Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов» («ИКАПП-97»), Барнаул, 1997; на научном семинаре «Актуальные проблемы механики, прочности и теплопроводности материалов и конструкций при криогенных температурах», С-Петербург,1998; на НТК «Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления» (Датчик-99), Гурзуф, 1999; на Всероссийской научно- технической конференции "Информационно-управляющие системы и специализированные вычислительные устройства для обработки и передачи данных", Махачкала, 1996; на Втором Международном симпозиуме «Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций», Махачкала, 1997; на 1 Международной конференции «Новые технологии управления движением технических объектов», Ставрополь, 1999; на 3-ей Международной НТК «Новые информационные технологии в региональной инфраструктуре», Астрахань, 1997; на международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки», С - Петербург, 2001, 2002, 2003; на международной научно-технической конференции «Фундаментальные исследования в технических университетах», С-Петербург, 2001, 2002, 2003; на международной научно-практической конференции «Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России», С-Петербург, 2002; на научной конференции «Информационные технологии и управление», С-Петербург, СП6ТЭТУ, 2003.
Актуальность, основные цели, этапы и задачи исследования
Анализ проблемы создания теплоэнергетических, электрофизических, в частности, термоэлектронных систем для сферы приборостроения и средств управления дается с целью теоретического обобщения и применения результатов для более широкого класса объектов. Обосновывается декомпозиция рассматриваемых систем на подсистемы с сосредоточенными и распределенными параметрами. Формулируются основные задачи моделирования, анализа и синтеза, возникающие при проектировании элементов систем энергетики, электротехники и гибридных приборов, имеющих электрические (электронные) подсистемы, сочетаемые с физическими подсистемами температурной стабилизации и управления.
Актуальность темы. Повышение качества отечественных систем температурной стабилизации и управления, приборов и электронных систем, включающих электрические и теплофизические подсистемы, возможно путем создания соответствующих методов и современных систем автоматизированного проектирования. Дальнейшее развитие техники, медицины и других областей возможно на основе соединения электрических подсистем как средств управления и исполнения, а также физических подсистем как сред реализации целей системы в целом. Решение проблемы требует создания методов математического моделирования и алгоритмов анализа процессов в объектах с сосредоточенными и распределенными параметрами. Весьма важная роль отводится ориентации методов и алгоритмов на синтез новых объектов техники. В этой связи в работе поставлена проблема создания новых моделей, методов анализа и синтеза гибридных технических комплексов.
На первом этапе исследования решена проблема создания методики моделирования сложных систем, состоящих из электрических (электронных) и теплофизических подсистем. Выделение электрических и теплофизических процессов приводит к подсистемам с сосредоточенными и распределенными параметрами, что определяет направления единого методологического исследования на базе кусочно-линейных операторов.
На втором этапе разработаны математические модели подсистем с сосредоточенными и распределенными параметрами, включающие постановку, математическую формулировку и анализ качественных свойств системы в целом. Современное развитие вычислительных средств открывает широкие возможности применения численных методов на этапах математического моделирования. Однако повышение качества математического моделирования требует непрерывного совершенствования моделей с целью повышения их адекватности и достоверности.
При этом весьма важно ориентировать новые методы на получение качественных результатов - учет в моделях существенных нелинейностей подсистем, анализ устойчивости разностных схем и синтез программных и замкнутых систем температурной стабилизации. Это создает условия для создания современных отечественных систем автоматизированного проектирования гибридных систем рассматриваемого типа.
В работе предложены улучшенные в смысле устойчивости разностные схемы для моделирования нелинейных теплофизических процессов. Рассмотрены модели синтеза управлений, которые обладают минимальными вычислительными затратами, допускающие реализацию на относительно простых вычислительных средствах.
Перечисленные выше задачи представляются важными в области создания перспективных методов математического моделирования для задач проектирования гибридных систем с электротехническими и электрофизическими подсистемами с учетом их существенных нелинейностей.
Таким образом, можно считать актуальной проблему теоретического обобщения методов математического моделирования и анализа гибридных (сосредоточенно-распределенных) систем при создании новых эффективных методов и алгоритмов проектирования комплексов, состоящих из электротехнических и теплофизических подсистем, а также для формирования современного отечественного прикладного программного обеспечения для решения нелинейных задач.
Цели и задачи работы. Теоретическое обобщение и развитие перспективных методов математического моделирования и анализа управлений тепловыми процессами, которые должны выполняться на основе конструктивных разностных схем для сосредоточенных и распределенных систем с ориентацией на создание приборов и управление с учетом различных целевых условий. Решение этой проблемы требует рассмотрения ряда подпроблем.
Подпроблема 1. Создание методики моделирования сложных систем, состоящих из электрических (электронных) подсистем и теплофизическиех подсистем. Подпроблема 2. Разработка комплекса математических моделей кусочно-линейных электрических (электронных) цепей с сосредоточенными параметрами, являющихся исполнительными элементами систем температурной стабилизации и управления. Подпроблема 3. Разработка кусочно-линейных разностных схем для анализа нелинейных цепей с сосредоточенными параметрами, исследование условий и способов улучшения их устойчивости. Подпроблема 4. Формулировка математических моделей распределенных тепловых подсистем и кусочно-линейных разностных схем для анализа процессов изменения температуры, учитывающих специфику анализируемых объектов и приборов с учетом адекватного моделирования процессов. Разностные схемы должны обеспечивать моделирование процессов распространения тепла в кусочно-неоднородных (многослойных) средах. При этом необходимо сформулировать критерии устойчивости разностных схем для распределенных систем. Подпроблема 5. Разработка математических моделей для синтеза модальных, комплексно-целевых и локально-оптимальных систем температурной стабилизации распределенных подсистем. Подпроблема 6. Адаптация предложенных методов для разработки математического обеспечения автоматизированного проектирования систем температурной стабилизации при решении задач медицины и рекомендаций по применению в других технических комплексах. Перечисленные основные подпроблемы требуют адекватных постановок, определяющих методы и алгоритмы достижения сформулированных целей.
Кусочно-линейные дифференциальные уравнения электрических цепей
Каждая система уравнений описывает свойства одного и того же трехполюсника, и поэтому достаточно рассмотреть одну из них, например, первую. Если в первом уравнении положить и2 = const, то получим входную характеристику - зависимость между входными величинами: її = ij (Uj) при постоянстве одной из выходных величин — напряжения и2. Если во втором уравнении положить і і = const, то получается выходная характеристика - зависимость между выходными величинами: i2 = 12() при постоянстве одной из входных величин - тока і]. Таким образом, входная и выходная характеристики дают полное описание нелинейного трехполюсника. Кроме этого, при описании трехполюсников можно использовать входные и выходные токовые характеристики, выходные характеристики по напряжению, а также гибридные - характеристики по току и напряжению. Далее агнализируются характеристики некоторых управляемых двух- и трехполюсных резистивных элементов.
Фотодиод. Фотодиод представляет собой полупроводниковый диод с одним р-п - переходом, обратный ток которого увеличивается при действии внешнего излучения на область р-п - перехода в результате создания дополнительных носителей заряда из-за фотоэффекта. Семейство вольт - амперных характеристик фотодиода в зависимости от управляющего параметра - светового потока Ф определенной длины волны дано в табл. 2.3 (поз. 2).
Терморезистор (термистор).Термкстор является полупроводниковым резистивным элементом с сильной зависимостью сопротивления от температуры, играющей роль управляющего параметра. Вольт - амперная характеристика термистора как семейство вольт - амперных характеристик при различных температурах внешней среды дана в табл. 2.3, поз. 3. Начиная с некоторого значения тока, характеристика имеет падающий участок. Существуют термисторы с положительным температурным коэффициентом сопротивления, называемые позисторами.
Тиристоры. Тиристор (как и динистор) представляет собой четырехслойный полупроводниковый диод с тремя р-п - переходами, и имеет третий управляющий вывод - затвор, присоединенный к электроду одного из средних слоев. При отсутствии управляющего тока (i3 = 0) характеристики тиристора и динистора совпадают (табл. 2.3, поз. 4.а). Однако при i3 0 происходит уменьшение напряжения включения. Поэтому с помощью управляющего тока (тока затвора) можно управлять моментом включения тиристора, а ток при включенном состоянии тиристора протекает и после прекращения действия тока «затвора». Прекратить анодный ток (выключить тиристор) можно только снижением тока в приборе ниже критического значения, определяемого точкой «Ь». Так как управляется в тиристоре только момент включения, его называют «полууправляемым» прибором. На поз. 4.6 приведена входная характеристика тиристора как зависимость тока «затвора» от напряжения. При этом входная характеристика не зависит от выходных величин.
Биполярный транзистор. Этот элемент есть транзистор типа p-n-р или п-р-п, который состоит из двух встречных р-п- переходов, полученных в монолите полупроводника методами диффузии или вплавления, называют «биполярным». Вывод среднего слоя называют «базой», а выводы крайних слоев с одинаковым типом электропроводности - «эмиттером» и «коллектором». Характеристики зависят от схемы его включения. На поз. 5.а, табл. 2.3 приведены выходные характеристики - зависимости коллекторного тока от напряжения между коллектором и эмиттером для ряда неизменных значений тока базы. Входные характеристики (зависимости тока базы от напряжения между базой и эмиттером при неизменных значениях напряжения на коллекторе) даны на поз. 5.6.
Полевой (униполярный) транзистор. Главной частью транзистора этого типа является проводящий канал в виде пластины из полупроводникового n-материала, охватываемого с двух противоположных плоских сторон р - материалом. Электроды с двух торцов п- канала называются «истоком» и «стоком», а электрод р- материала - «затвором». Ток, приходящий вдоль канала от стока к истоку, является выходным. Управление выходным током производится подачей между «затвором» и стоком отрицательного напряжения, смещающего р-n- переход в обратном направлении и сужающего канал из-за действия отрицательного объемного заряда в п - области. Так как управляющий р-n- переход смещен в обратном направлении, входной ток (ток затвора) получается очень малым, а входное сопротивление - большим. В табл. 2.3, поз. б.а, приведены выходные характеристики полевого транзистора - зависимость тока стока от напряжения стока при нескольких неизменных значениях напряжения «затвора». Скачок тока при больших напряжениях вызывается лавинным пробоем канала. Входная характеристика полевого транзистора (поз.6.6) не зависит от выходных величин.
Управляемые источники. Для линейного управляемого источника, наиболее часто используемого в различных схемах замещения, значение напряжения или тока выходного источника пропорционально управляющему сигналу. Потери, а также накопление энергии во входной цепи идеального управляемого источника должны отсутствовать. Поэтому если управляющим сигналом является напряжение, то на входе должен быть холостой ход (разрыв); если ток - то короткое замыкание. В табл. 2.3 (поз. 7) управляемые источники обозначены ромбоїд в отличие от обычных источников. Свойство зависимости источника отражает запись рядом с ромбом величины напряжения или тока, пропорциональной управляющему сигналу. В зависимости от того, каким источником (напряжения или тока) является выход и какой переменной (напряжением или током) является управляющий сигнал.
Разностные задачи для первой канонической формы кусочно-линейных уравнений теплопроводности
Таким образом, для формирования эквивалентного описания функциональных блоков могут использоваться введенные операции над операторами, к основным из которых можно отнести суперпозицию (композицию) и обращение. Эти операции существенно расширяют элементарные операции (например, формирование линейных комбинаций и др.), что позволяет получить описание нелинейных функциональных блоков.
Большое практическое и теоретическое значение для исследования устойчивости уравнений нелинейных цепей имеют методы A.M. Ляпунова, методы теории абсолютной устойчивости, а при анализе устойчивости разностных схем, адекватным кусочно-линейным дифференциальным системам, принцип сжимающих отображений и другие подходы.
Операторно - аддитивные кусочно-линейные разностные схемы для анализа электрических цепей Разработка модернизированных разностных схем для анализа нелинейных цепей связана с необходимостью повышения их качества за счет расширения условий устойчивости. Модернизация разностных схем возможна на основе современных методов вычислительной математики [14, 36, 64,73, 96,106,117,121]. Для модернизации и улучшения их устойчивости можно использовать «принцип аддитивности» [65,67,125]. Указанный принцип требует аддитивного преобразования уравнений цепей, адекватного математического моделирования цепей, и формирования разностных схем на основе операторных преобразований. При этом далее будут использованы два вида аддитивного представления правой части. Во-первых — операторно-аддитивное представление правой части, которое позволяет дать «расщепление» оператора путем выделения двух операторных слагаемых, выбираемых по условиям монотонности, «частичной обратимости», устойчивости и по другим характеристикам. Во-вторых - параметрически аддитивное представление правой части, которое определяет «расщепление» оператора с помощью введения скалярного (или векторного) параметра. Получаемые при этом вычислительные соотношения будут относиться к классу частично-неявных кусочно-линейных разностных схем.
Для разностных схем частично-неявного типа, полученных на основе частичного обращения кусочно-линейных операторов, приводятся условия, подтверждающие эффект улучшения свойств их устойчивости, обобщающие и дополняющие результаты работ [64,65,66,125].
Необходимо отметить преимущество кусочно-линейных описаний перед полиномиальными аппроксимациями, позволяющие построить частично-неявные классы разностных схем. Это связано с существованием кусочно-линейных монотонных операторов со многими узлами, количество которых можно выбрать из заданной точности аппроксимации. Для полиномиальных описаний выполнение условий монотонности затруднительно.
Математическая формулировка задач. Математическая формулировка дается на основании постановки подпроблемы 3 в п. 1.2 следующим образом. Пусть по методике, разработанной в п. 2.3, сформулированы кусочно-линейные дифференциальные уравнения нелинейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами. Требуется на основе дифференциальных уравнений сформулировать разностные схемы, позволяющие расширить достаточные условия их устойчивости. Это требует формулировки алгебраических уравнений для разностных схем и определения аппроксимирующих уравнений с аддитивно выделенными монотонными кусочно-линейными операторами (обладающие свойством «частичной обратимости»). Как уже отмечалось, выделение аддитивных монотонных компонент кусочно-линейных операторов возможно на основе операторной и параметрической аддитивности. Операторно-аддитивный подход обладает определенными достоинствами и ограничениями на применение [125]. Для этого класса разностных схем необходимо получить сравнительные оценки устойчивости в смысле допустимого шага численного интегрирования. Определение 1. Операторно-аддитивным представлением кусочно-линейных дифференциальных систем, обобщающих уравнения (10, п. 2.3): где произведено аддитивное представление оператора (представление в виде суммы операторов), а переменные и матрицы имеют тот же смысл, что и в системе (10), п. 2.3). Недифференцируемость в обычном смысле кусочно-линейных операторов правых частей системы (1) требует применения аппроксимационного подхода для интегральных уравнений, эквивалентны кусочно-линейным дифференциальным системам цепей (1.6), которые имеют вид [64,65]: Соотношение (2) является основным для формирования явных, неявных и частично-неявных разностных схем на основе принципа операторной аддитивности. Определение 2. Если интеграл в (2) вычисляется по формулам левых прямоугольников, то соответствующая схема называется явной. При вычислении интеграла от первого слагаемого по формуле правых прямоугольников соответствующая разностная схема становиться частично-неявной. 2. Явные разностные схемы на основе операторной аддитивности. Явные разностные схемы обладают существенными ограничениями на величину шага по условию устойчивости. Однако исследование устойчивости данного класса разностных схем представляется интересным, поскольку для кусочно-линейных разностных схем они позволяют анализировать весьма сложные процессы. Если вычислить интеграл в (2) по формулам левых прямоугольников и обозначить - шаг численного интегрирования, то можно прийти к рекуррентному соотношению явной разностной схем [64]:
Синтез модальных управлений для распределенных тепловых систем
Кусочно-линейные уравнения теплопроводности обобщают комплекс линейных моделей технических объектов, необходимых для анализа и синтеза систем управления с учетом различных целевых условий. Обобщенные модели теплопроводности строятся на основе классических уравнений теплопроводности [4,12,81] и разностных схем для решения задач Коши и краевых задач, которые составляют основу для создания пакетов прикладных программ анализа и синтеза. Общая характеристика подходов к моделированию. Основные методы моделирования, численные методы и комплексы прикладных программ могут разрабатываться на основе: - аналитических методов решения задач математической физики в классической и обобщенной постановках [20,27, 60 - 62, 64]; - однородных разностных схем для уравнении теплопроводности с постоянными, переменными или разрывными коэффициентами, обладающих свойствами монотонности [31, 76, 107, 122 - 127, 135, 144]; - обобщенных моделей и разностных задач теплопроводности, учитывающих температурные, температурно-скоростные и температурно координатные изменения параметров с применением кусочно-линейных операторов [69, 90, 95]; - вариационных методов в различных формах [102, ПО, 119], включая методы конечных [29, 134, 136] или граничных [29, 140] элементов.
Подход к моделированию определяется комплексом проблем, возникающих на этапе анализа и синтеза рассматриваемых объектов. Ниже рассматриваются методы моделирования на основе разностных схем в рамках классических и обобщенных моделей [63, 133]. Задачи моделирования формируются с ориентацией на анализ и синтез систем управления процессами температурной стабилизации в технике, медицине и других областях деятельности. Классические модели теплопроводности в виде однородных разностных задач теплопроводности (диффузии) с непрерывными или разрывными (кусочно-постоянными) коэффициентами [123] позволяют учесть свойства технических объектов и требования к медицинским приборам. Кусочно - линейные уравнения теплопроводности позволяют создать однородные разностные схемы, формируемые по одним и тем же рекуррентным соотношениям без явного выделения точек или линий разрывов по параметрам и координатам или их производным [90,95].
Проблема краевых (граничных) условий. Существует три типа основных граничных (краевых) условий. Принципиальное значение при моделировании имеет адекватное формирование краевых условий. Эти условия определяются режимами работы отдельных элементов или требованиями к приборам, устройствам и задаются одним из трех типов краевых условий. Варианты краевых условий формулируются в ряде работ [123, 128]. Адекватные связи между физическими и геометрическими свойствами объектов и типами краевых условий обеспечивают корректность постановки технических задач.
Условия сопряжения. Условия сопряжения иногда называют граничными условиями IV типа [61, 75]. Особенности моделирования должны учитывать специфику моделирования тел сложной формы. При моделировании процессов теплопроводности в сложных телах (состоящих из нескольких частей) необходимо формировать адекватные разностные задачи для каждой из частей, согласуя решения на сопрягаемых нагреваемых (охлаждаемых) поверхностях с помощью условий сопряжения [124]. При этом необходимо учесть следующие ситуации: а). Совокупность двух тел можно рассматривать как одно тело, но с разрывным коэффициентом теплопроводности, причем соответствующие модели теплопроводности приобретают адекватный смысл. б). Условия сопряжения не являются единственными вариантами учета специфики при анализе соединенных тел, а возможны другие модели контакта с учетом прослойки между сопрягаемыми телами [124]. Эти модели приводят к системе уравнений с краевыми условиями и условиями сопряжения. В рассматриваемой ситуации возможен случай, когда тепловой поток на линии контакта непрерывен, а температура - разрывная функция. Это соответствует случаю неидеального контакта тел. в). Варианты условий сопряжения характеризуют ситуации, когда в силу специфики модели на поверхности контакта температура непрерывна, а тепловой поток является разрывной функцией. Конструктивное использование вариантов краевых условий и уравнений позволяет сформулировать комплекс задач, адекватных проблемам моделирования объектов техники, медицины и других объектов. Модели теплопроводности для сопрягаемых тел приведены в [61, 124]. Разностные аппроксимации условий сопряжения рассмотрены в [124]. 2. Основные подходы к анализу моделей теплопроводности. Разностные задачи для уравнений теплопроводности с постоянными и переменными коэффициентами являются важными моделями, позволяющими учесть изменения характеристик многослойных сред. Однако коэффициенты теплопроводности могут изменяться в широких пределах, причем величины этих коэффициентов могут изменяться от значения 0.005 (для газов) до значения 425 (для металлов) [128]. Возможны различные варианты учета в уравнениях характеристик сред, изменяющихся во времени и по координатам, многослойных сред и границ, путем перехода к соответствующим краевым задачам для квазилинейных или нелинейных (в частности, кусочно - линейных) уравнений. Для решения квазилинейных уравнений метод конечных разностей практически является единственным методом, позволяющим эффективно найти решение [124].
