Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ методов аппроксимативного анализа законов распределения случайных процессов 10
1.1. Основные понятия и определения в анализе случайных процессов 10
1.2. Методы аппроксимации законов распределения 16
1.2.1. Параметрическая аппроксимация законов распределения 18
1.2.2. Непараметрические оценки плотности вероятности 21
1.3. Выводы 26
Глава 2. Применение ортогональных базисов для оценивания плотности вероятности 27
2.1. Проекционные и гистограммно-аппроксимационные оценки плотности вероятности 27
2.1.1. Проекционные оценки плотности вероятности 3 0
2.1.2. Гистограммно - аппроксимационные оценки плотности вероятности 32
2.1.3. Сравнение проекционных и гистограммно-аппроксимационных оценок 38
2.2. Обеспечение непрерывности аппроксимирующей функции в точке соединения правой и левой ветвей 42
2.3. Обеспечение гладкости аппроксимирующей функции в точке соединения правой и левой ветвей 46
2.4. Свойства проекционных и гистограммно-аппроксимационных оценок 52
2.5. Исследование аппроксимационных возможностей ортогональных базисов 55
2.6. Выводы 59
Глава 3. Определение наилучших оценок плотности вероятности 60
3.1. Определение оценок, удовлетворяющих критериям согласия 60
3.1.1. Поиск набора «наилучших» оценок по критерию Пирсона 61
3.1.2. Применение критерия Колмогорова для проверки согласованности класса оценок плотности вероятности 69
3.2. Зависимость сложности оценки от объема выборки 73
3.3. Исследование погрешности аппроксимации для согласованных оценок 75
3.4. Аналитические выражения для характеристических функций 76
3.5. Выводы 87
Глава 4. Программный комплекс аппроксимативного анализа законов распределения случайных процессов 88
4.1. Описание программного комплекса 88
4.2. Подсистема имитационного моделирования и первичной статистической обработки данных 92
4.3. Подсистема аппроксимации законов распределения функциями заданного вида 94
4.4. Подсистема аппроксимации плотностей вероятности ортогональными функциями 96
4.5. Подсистема аппроксимации характеристических функций ортогональными функциями 99
4.6. Выводы 101
Глава 5. Примеры апробации программного комплекса 102
5.1. Апробация программного комплекса на тестовом примере 102
5.2. Применение комплекса программ для обработки результатов экспериментальных исследований 103
5.3. Выводы 108
Заключение 109
Список литературы
- Методы аппроксимации законов распределения
- Гистограммно - аппроксимационные оценки плотности вероятности
- Применение критерия Колмогорова для проверки согласованности класса оценок плотности вероятности
- Подсистема имитационного моделирования и первичной статистической обработки данных
Введение к работе
Всесторонний анализ первичной экспериментальной информации, как правило, является начальным этапом поиска решений для явлений и объектов различной природы и сложности. Физические явления, которые рассматриваются при решении разнообразных задач научных исследований, зачастую описываются массивами данных, имеющих случайный характер. Иногда, когда исследуемый объект не имеет полного математического описания, экспериментальная информация становится единственным источником получения важных инженерных параметров исследуемого объекта. Целью статистической обработки массивов экспериментальной информации в рамках анализа реализаций случайных процессов часто является получение системы статистических оценок с определенной доверительной вероятностью и точностью. При этом, как правило, оцениваются числовые характеристики, корреляционные и спектральные функции и характеристики, законы распределения.
Функциональные характеристики положения - законы распределения -занимают особое место в статистическом анализе. Их получение требует серьезных вычислительных затрат, однако они несут в себе существенную информацию об исследуемых процессах. В данной работе исходной информацией для проведения анализа являются временные ряды, представляемые для стационарных процессов совокупностью отсчетов. На основе полученных статистических данных строятся аналитические модели законов распределения и характеристических функций с неизвестными параметрами, удовлетворяющими заданному критерию оптимальности.
Задача аппроксимативного анализа случайных процессов сводится к получению аналитического выражения для интересующей характеристики. Такое выражение может быть найдено, например, в виде ряда по некоторой полной ортогональной системе функций, выбор которой связан с видом исследуемых функциональных характеристик.
Следует отметить, что перечисленным задачам в своих работах уделяли большое внимание такие ученые, как М. Розенблат, Г. Крамер, Л.Деврой, Л. Дьерфи, Б.В. Сильверман, В.Н. Вапник, Н.Н. Ченцов, Б.Р. Левин, С.А. Прохоров, Ф.П. Тарасенко, Э.А.Недарая и другие, однако интерес к ним не пропадает. Совершенствуются методы оценивания, информационное обеспечение, разрабатываются специализированные программные комплексы.
Существующие современные автоматизированные системы
математических расчетов предназначены для решения широкого круга задач
и обладают высокой степенью универсальности. Многие позволяют
использовать ортогональные функции для аппроксимации функциональных
характеристик, однако получение непараметрических оценок плотности
вероятности требует дополнительной настройки универсальных программ, то
есть создания специального программного обеспечения.
Узкоспециализированные программные комплексы [3,4] оказываются сильно привязанными к выбранному методу оценивания плотности вероятности и ориентированы на решение задач выбранного класса. Добавление новых методологий и алгоритмов решения задач требует существенного развития имеющихся комплексов программ, то есть создания подсистем, реализующих эти алгоритмы.
В связи с этим актуальной представляется задача создания программного комплекса непараметрического оценивания плотности вероятности ортогональными функциями Эрмита, Лагерра, Лежандра, Дирихле, реализующего предлагаемые и известные алгоритмы построения аппроксимативных оценок плотности вероятности и позволяющего провести исследования оценок. Разработанный комплекс является составной частью программного комплекса, созданного на кафедре информационных система и технологий Самарского государственного аэрокосмического университета.
Целью работы является разработка алгоритмического и
информационного обеспечения программного комплекса
непараметрического оценивания законов распределения случайных процессов ортогональными функциями Эрмита, Лагерра, Лежандра, Дирихле.
В соответствии с поставленной целью решаются следующие задачи исследования:
разработка алгоритмов построения проекционных и гистограммно-аппроксимационных оценок плотности вероятности, удовлетворяющих свойству нормировки, основанных на использовании ортогональных базисов, не содержащих постоянную функцию нулевого порядка (Эрмита, Лагерра, Лежандра, Дирихле);
исследование и сравнительный анализ проекционной и гистограммно-аппроксимационной оценок;
построение аналитических выражений для характеристической функции по параметрам аппроксимации плотности вероятности;
разработка алгоритма формирования класса «согласованных» оценок плотности вероятности в соответствии с критерием согласия Пирсона и исследование оценок построенного класса на альтернативных реализациях;
разработка программного комплекса, реализующего разработанные методы и алгоритмы и его апробация на реальных данных;
Методы исследования. В качестве методологической основы работы используются методы теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории оптимизации и аппроксимации, системного анализа, имитационного моделирования и численные методы.
Научная новизна работы заключается в следующих положениях:
предложен алгоритм получения модифицированной проекционной
оценки плотности вероятности, определенной на всей числовой оси, который
основан на идее разбиения плотности вероятности на две полубесконечные
ветви и применении ортогональных функций Лагерра, Лежандра, Дирихле
для оценивания ветвей с последующим нормированием аппроксимирующего
выражения;
предложен алгоритм построения гистограммно-аппроксимационной оценки плотности вероятности, основанной на сглаживании гистограммной оценки плотности вероятности ортогональными функциями Эрмита и ортогональными функциями Лагерра, Лежандра, Дирихле с разбиением плотности вероятности на две ветви относительно точки, в которой полигон частот не равен нулю;
получены соотношения, обеспечивающие «склеивание» и «гладкое склеивание» аппроксимирующих выражений в точке разбиения;
разработан алгоритм построения класса «согласованных» оценок по критериям согласия и методика отбора «наилучших» оценок из построенного класса.
Практическая ценность работы заключается в создании комплекса программ, который является:
средством построения аппроксимативных оценок плотности вероятности в виде конечных разложений по ортогональным функциям;
средством проведения вычислительных экспериментов методом имитационного моделирования временных рядов с заданным законом распределения для исследования свойств алгоритмов оценивания плотности вероятности;
средством обработки данных натурного эксперимента.
Положения, выносимые на защиту:
предложенные алгоритмы построения оценок плотности вероятности, использующие метод деления плотности вероятности на две ветви, позволяют обеспечить свойство непрерывности, а также гладкости получаемой оценки с обеспечением свойства нормировки;
разработанный программный комплекс аппроксимативного анализа законов распределения случайных процессов ортогональными функциями позволяет эффективно решать задачи построения класса оценок плотности вероятности с помощью разложений по ортогональным функциям, выявлять «наилучшие» оценки из числа согласованных по критериям согласия;
является средством численного моделирования временных рядов (реализаций стационарных случайных процессов) и исследования свойств проекционных и гистограммно-аппроксимационных оценок плотности вероятности методом имитационного моделирования; а также является инструментом для обработки реальных экспериментальных данных.
Внедрение результатов работы
Результаты работы внедрены в Институте Дистанционного Образования УлГТУ (Ульяновск) в работу университетской интегрированной информационной системы Мотор (УИС Мотор),, а также в учебный процесс кафедры информационных систем и технологий Самарского государственного аэрокосмического университета при подготовке студентов 3-4 курсов по специальности 230102 - автоматизированные системы обработки информации и управления- при выполнении лабораторных, курсовых работ и дипломного проектирования. Апробация работы
Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на студенческих научно-технических конференциях (г. Самара), международной конференции "Информационные, измерительные и управляющие системы" (г. Самара, 2005), международном симпозиуме "Надежность и качество 2005" (г. Пенза), II научно-практической конференции "Качество, безопасность и диагностика в условиях информационного общества КБД-инфо 2005" (г. Сочи).
Публикации
По результатам исследований опубликовано 7 печатных работ, в том числе 1 тезисы докладов и 6 статей.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения. Основное содержание работы изложено на ПО страницах, включая 24 рисунка и 8 таблиц. Список использованных источников включает 69 наименований, 4 приложения размещены на 17 страницах.
Методы аппроксимации законов распределения
Задача аппроксимации (восстановления, оценивания) законов распределения (функций распределения, плотностей вероятности) на основе экспериментальных данных решалась многими авторами, разработавшими ряд методов ее решения [2,4,7,8,12,15,16,20,22,29,33,36,40,55,58,63,67], однако интерес к такого рода задачам сохраняется. Знание законов распределения случайной величины, случайного вектора, случайного процесса в аналитическом виде позволяет теоретическим путем определять законы распределения, характеристические функции, числовые характеристики других случайных объектов, связанных известным образом с первыми, определять вероятности одних событий через другие. Такие возможности позволяют значительно экономить время и средства, затрачиваемые на эксперимент.
В то же время следует отметить, что аппроксимативный подход позволяет существенно сократить объем хранимой статистической информации, заменяя ее простыми аналитическими выражениями.
Методы аппроксимации плотности вероятности можно разбить на два крупных класса [55,56]: Методы параметрической аппроксимации. Методы непараметрической статистики.
Методы первого класса основаны на предположении о конкретном функциональном виде искомой плотности вероятности, который зависит от конечного набора параметров, причем число параметров предполагается известным априори. Здесь фактически для получения оценки плотности вероятности нужно оценить параметры модели. Для оценки параметров используются, например, такие методы, как метод максимума правдоподобия [12,27], метод минимального расстояния, метод номограмм [12], метод моментов [2,11,12,52], байесовские методы (например, метод максимума апостериорной плотности вероятности). Далее, после решения задачи оценивания параметров, проводится проверка качества полученной математической модели плотности вероятности на основе статистических критериев.
Практическая пригодность методов параметрической аппроксимации существенно ограничена требованием принадлежности оцениваемой плотности вероятности выбранному функциональному параметрическому классу. На практике нередко бывает затруднительно указать какие-либо веские причины, по которым конкретное распределение результатов наблюдений должно принадлежать тому или иному параметрическому семейству.
В этом случае целесообразно применение методов непараметрического оценивания. Задача восстановления плотности вероятности по экспериментальным данным относится к классу некорректных задач, общий подход к решению которых, основанный на регуляризации эмпирической функции распределения с помощью сглаживающего функционала, был разработан А.Н. Тихоновым [58].
К числу методов непараметрического оценивания относятся гистограммные методы [22], методы ядерных оценок [22,36], методы, основанные на аппроксимации плотности вероятности смесью базисных функций, например, ортогональными разложениями.
Основные принципы и методология непараметрического оценивания плотности вероятности рассматриваются, например, в работах Н.Н. Ченцова [63], В.Н. Вапника [3,14,15], Л. Дьерфи, Л. Девроя [22].
Достоинством ядерных оценок плотности является их положительная определенность, что не всегда наблюдается у оценок, связанных с ортогональными разложениями. В то же время, ядерные оценки несут в себе, по выражению авторов [8], определенный субъективный произвол, связанный с выбором формы и параметров ядра и не позволяют представить информацию в компактном виде, поскольку требуют постоянного хранения всего массива исходных данных. Оценки, связанные с ортогональными разложениями, имеют более лаконичную аналитическую форму.
После ввода исходных данных первым шагом параметрической аппроксимации является идентификация полученного распределения и отнесение его к конкретному классу законов, имеющих определенный функциональный вид. Решение задачи идентификации может быть осуществлено на основе построения и анализа гистограммы наблюдаемого статистического ряда { ,}, / = 1.JV.
Число интервалов группирования задается исследователем самостоятельно с ориентацией на рекомендации специалистов. При объеме выборки, не превышающем несколько сотен элементов, величину К задают в пределах от 10 до 20. Для большого объема выборки (N 1000) количество интервалов может превышать указанные значения. Некоторые исследователи рекомендуют пользоваться соотношением К = 1,441 ln(iV) + l [20].
Для решения задачи идентификации законов распределения используются также метод, основанный на анализе фазовых портретов (структурных функций) и метод, основанный на анализе набора статистических числовых характеристик и их сравнении с теоретическими для различных типовых модельных классов [40].
На основе анализа гистограммы и ее сопоставления с кривыми типовых плотностей вероятности, анализа статистических числовых характеристик и их сравнения со значениями соответствующих аналогов для различных типовых моделей, сопоставления статистических фазовых портретов с модельными делается предположение о принадлежности исследуемого закона распределения к тому или иному параметрическому модельному классу.
Гистограммно - аппроксимационные оценки плотности вероятности
Рассматриваемые в работе методы проекционного и гистограммно-аппроксимационного оценивания основаны на использовании одних и тех же ортогональных базисов. Легко наблюдать и внешнее сходство формульного аппарата вычисления и нормирования оценок обоих видов. Однако между этими методами имеются существенные различия.
Главное различие состоит в следующем. Проекционная оценка плотности вероятности вычисляется непосредственно по эмпирическим данным (по выборке). Расчет коэффициентов оценочного ряда производится с использованием усредняющих формул (2.15), (2.17), (2.18). В этом смысле проекционная оценка похожа на гистограммную, которая тоже получается в результате непосредственной обработки выборки.
Гистограммно-аппроксимационная оценка строится опосредованно, то есть сначала в результате обработки выборки производится построение полигона частот, который затем подвергается аппроксимации с использованием ортогонального базиса. Коэффициенты разложения вычисляются через численное интегрирование. Последнее обстоятельство делает гистограммно-аппроксимационную оценку более трудоемкой в вычислительном отношении. В зависимости от выбора точности аппроксимации полигона время расчета этой оценки может в несколько раз превзойти время расчета проекционной оценки.
Хотя проекционный метод и проще в вычислительном отношении, однако ему в заметно большей степени, чем гистограммно-аппроксимационному, свойственен недостаток, связанный с возможным наличием у функции-оценки области отрицательности. Иначе говоря, полученная оценка может не быть плотностью вероятности и, следовательно, нужно осуществлять коррекцию и перенормировку оценки, описанную в пункте 2.1.1. Но при этом оценка теряет гладкость (если она была гладкой), становится более сложной и трудоемкой.
На рисунке 2.1 приведены графики оценок двумодальной плотности вероятности, представляющей собой линейную комбинацию двух плотностей вероятности (Вейбулла и Релея) и описанной в пункте 5.1.
Здесь пунктиром изображен график теоретической плотности вероятности, которая использовалась для генерирования реализации; ломаной линией — полигон частот; сплошными линиями разных цветов -оценки в ортогональных базисах. Объем выборки N=1000. Все оценки были подвергнуты нормировке.
На рисунке 2.1а) изображен график проекционной оценки в базисе Эрмита. Видно, что эта оценка, в отличие от гистограммно-аппроксимационной, имеет область отрицательных значений. Хотя она обладает неплохой точностью Ат аппроксимации исходной (теоретической)
плотности вероятности (см. таблицу 2.1), но не является плотностью.
На рисунках 2.1 в), 2.1 г), 2.1д) и 2.1е) приведены графики оценок в базисах Лагерра и Дирихле. Эти оценки были рассчитаны с помощью алгоритмов, использующих разбиение на ветви. При этом в качестве точки разбиения была взята мода полигона частот. Хорошо видно, что графики являются разрывными. Вопросы обеспечения непрерывности и гладкости оценок рассмотрены в пунктах 2.2 и 2.3. Несмотря на разрыв, эти оценки имеют точность аппроксимации А , вполне сопоставимую с точностью аппроксимации оценок в базисе Эрмита, полученных без разбиения на ветви. Исключение составляет проекционная оценка в базисе Лежандра, которая оказалась заметно грубее.
Из таблицы видно, что наиболее простыми по числу слагаемых разложения m при вполне сопоставимой точности Ат оказались проекционные оценки в базисах Эрмита и Дирихле, а также гистограммно-аппроксимационные оценки в базисах Эрмита и Лагерра. Однако следует заметить, что оценки с разбиением на ветви имеют определенное преимущество перед оценками без разбиения (то есть в базисе Эрмита). Это преимущество заключается в том, что при равенстве значений параметра сложности m оценки с разбиением на ветви требуют использования базисных функций низших порядков, чем оценки без разбиения. Например, для гистограммно-аппроксимационных оценок в базисах Эрмита и Лагерра число слагаемых в сумме ряда равно 10. Но при этом в состав первой оценки входят функции Эрмита с 0-го по 9-й порядок, а в состав второй оценки -функции Лагерра от 0-го до 5-го порядков. То есть оценка в базисе Лагерра оказывается все-таки более простой.
В заключение отметим еще одно отличие оценки в базисах Лагерра, Лежандра и Дирихле от оценок в базисе Эрмита. Нормировка первых оценок производится по простым формулам (2.50)-(2.52), а нормировка вторых требует численного интегрирования, что существенно более трудоемко в вычислительном отношении.
Применение критерия Колмогорова для проверки согласованности класса оценок плотности вероятности
Класс оценок, согласованных по критерию Пирсона, также можно проверить на согласование с выборкой по критерию Колмогорова. Этот критерий согласия является односторонним и непараметрическим [2].
Согласно критерию Колмогорова вводится следующая мера различия между функциями F(A,)(x) и Fa(x): DN=supF{N\x)-Fa(x)\, (3.5) где F (x) - эмпирическая функция распределения для выборки объема N, Fa(x) - модельная функция распределения, построенная по оценке плотности распределения /а(х), известная полностью, то есть не зависящая от неизвестных параметров.
Статистика 4NDN является статистикой Колмогорова. Для практического использования критерия Колмогорова статистика DN представляется в виде: DN=max\FM-Fa(Xi)\, (3.6) где F N) - і-тое значение кумулятивной кривой, Fa(xt) - значение модельной функции распределения в і-той точке вариационного ряда.
Предельное распределение статистики 4NDN известно (см., например, [10]). Проверка гипотезы о том, что Fa(x,) является функцией распределения генеральной совокупности, для выборки, по которой построена FJ-N\ заключается в следующем:
1. Строятся полигон частот и кумулятивная кривая. Проводится аппроксимация полигона ортогональными функциями, рассчитываются статистические параметры аппроксимации bk,k= 0,т. Затем рассчитываются значения модельной функции распределения F0(x,), / = \,К в точках вариационного ряда.
2. Вычисляется величина критической статистики по формуле (3.6). Задается уровень значимости а. Далее из таблицы квантилей выбирается предельное значение статистики 4NDaN для заданного а.
Если 4NDN JND«, (3.7) то гипотеза о том, что Fa(x) является функцией распределения генеральной совокупности, а следовательно, оценка плотности вероятности /а(х) согласуется с выборкой, принимается.
Можно использовать значение D% для установления доверительных границ для непрерывной функции распределения. Какова бы не была истинная функция распределения Fx(x), можно записать: p{F(N)(x)-da Fx(x) F(N)(x) + danpnBce\x}=\-a (3.8) где da - значение D .
Таким образом, доверительная область представляет собой полосу ±da вокруг выборочной функции распределения F(N)(x), и с вероятностью 1-а истинная функция Fx(x) лежит целиком внутри этой полосы.
На рисунке 3.4 приведен пример построения доверительного интервала для оценки плотности вероятности, изображенной на рисунке 3.3. Объем выборки N=10000, уровень значимости критерия « = 0.01, параметр сложности оценки в базисе Лагерра т = 18. Доверительный интервал строится для оценки функции распределения, полученной по ортогональной оценке полигона частот одной реализации. На рисунке также изображены эмпирические функции распределения двадцати других (контрольных) выборок.
Оценка функции распределения первой реализации согласуется с другими реализациями, если их эмпирические функции попадают в построенный доверительный интервал. На изображенном рисунке одна эмпирическая функция распределения выходит за границы доверительного интервала, что говорит о несогласованности этой выборки с оценкой.
В таблицах 3.3-3.4 представлены значения критической статистики критерия Колмогорова для классов согласованных по критерию Пирсона оценок в базисе Лагерра, представленных на рисунках 3.2-3.3 соответственно. Уровень значимости принимался равным 0.01 и 0.1, объем выборки N=10000. В ячейках выделены те значения критической статистики, которые превышают допустимую границу Я = 1.63 для уровня значимости а = 0.01, а жирным шрифтом обозначены те значения, которые превышают также верхнюю границу Я = 1.23 и для уровня значимости а = 0.1.
Подсистема имитационного моделирования и первичной статистической обработки данных
Первый лист, реализующий подсистему моделирования реализации случайного процесса заданного вида с заданными параметрами и его первичной статистической обработки, изображен на рисунке 4.3.
Прежде всего, необходимо выбрать закон распределения, по которому будет генерироваться реализация процесса, задать его параметры, число ( отсчетов реализации и число интервалов для гистограммы В системе для типовых законов распределения, начиная с нормального, функция, обратная функции распределения, вычисляется линейной интерполяцией, для чего сначала необходимо рассчитать координаты узловых точек функции распределения, нажав кнопку «Р» на панели редактирования узловых точек. Типовой закон распределения можно редактировать, получая различные варианты распределения. Добавить еще одну узловую точку можно, нажав кнопку «Д», удалить текущую точку нажав кнопку «У». Соответствующие изменения сразу будут вноситься и в і графическое изображение функции распределения. Редактирование координат уже рассчитанных узловых точек также возможно изменением самого графика. Для этого необходимо указатель мыши навести на выбранную точку, нажать левую кнопку мыши и перетащить указатель в новую координату. Узловая точка изменит положение. Одновременно будут пересчитаны еф координаты в таблице узловых точек.
Для генерирования реализации процесса с выбранным законом распределения и заданными параметрами нужно нажать функциональную кнопку Ш, после чего также будут рассчитаны статистические числовые характеристики полученного процесса: математическое ожидание, дисперсия, центральные моменты третьего и четвертого порядков, коэффициент асимметрии, коэффициент эксцесса.
В правой части листа находится панель отображения функциональных характеристик сгенерированного процесса. При выборе одной из трех закладок «Гистограмма», «Плотность» или «Функция» на экране отображается соответствующая статистическая характеристика. При выборе закладки «Процесс» отображается график реализации. При выборе закладки «Структурная функция» отображается соответствующая сгенерированному процессу структурная функция.
Сохранение реализации процесса осуществляется нажатием кнопки Ё1. В данной системе также возможна загрузка реализации случайного процесса с внешнего источника (из файла) нажатием кнопки шш, и расчет и построение соответствующих вероятностных характеристик.
На рисунке 4.4 изображен второй лист рабочей формы, который содержит подсистему аппроксимации плотностей вероятности и функций распределения параметрическими моделями.
Статистические плотность вероятности и функция распределения, подлежащие аппроксимации, рассчитываются на листе 1. Их также можно загрузить в подсистему на лист 2 извне, нажав кнопку Ш для плотности или кнопку для функции распределения. Данные вероятностные характеристики можно также сохранить с помощью кнопок 5 - сохранение плотности; и v - сохранение функции распределения.
Сначала из выпадающего списка нужно выбрать закон распределения, моделью которого будет аппроксимировано полученное статистическое распределение. Следует указать, какая характеристика будет аппроксимирована (полигон частот или кумулятивная кривая), отметив ее в списке «Аппроксимация»; затем выбрать метод расчета теоретических параметров распределения (метод моментов или метод наименьших квадратов) в списке «Метод» и критерий согласия (Пирсона или Колмогорова) в списке «Критерий». Затем нажать кнопку й для проведения расчетов параметра, отображения аппроксимирующей функции и отображения вероятности соответствия статистического распределения выбранному теоретическому.
