Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса и постановка задач исследования 8
1.1. Проблема снижения динамического взаимодействия колес и рельсов при движении в кривых 8
1.2. Современные методы математического моделирования механической части рельсовых экипажей 12
1.3. Моделирование силового взаимодействия в контакте "колесо-рельс". 18
1.4. Методы математического моделирования и современные компьютерные технологии 21
1.5. Выводы и постановка основных задач исследования 24
2. Математическая модель механической части электровоза с осевой формулой 2о-2о-2о 26
2.1. Топология расчетной схемы и метод подсистем 27
2.2. Кинематика расчетной схемы 35
2.3. Описание массо-инерционных характеристик тел, входящих в состав расчетной схемы 44
2.4. Силовое взаимодействие тел, входящих в состав расчетной схемы 46
2.5. Уравнения движения системы твердых тел с замкнутыми кинематическими цепями 50
2.6. Модель системы управления поворотом тележек относительно кузова в плане 54
2.7. Выводы по главе
3. Компьютерная модель пути и контакта "колесо-рельс" 58
3.1. Макрогеометрия оси рельсового пути 58
3.2. Определение геометрических характеристик рабочего контакта "колесо-рельс" 71
3.3. Определение кинематических характеристик рабочего контакта "колесо-рельс" 82
3.4. Силовое взаимодействие в контакте "колесо-рельс"
3.4.1. Определение размеров контактного эллипса 84
3.4.2. Определение нормальных и касательных усилий в контакте 86
3.5. Моделирование контакта гребня колеса и боковой поверхности рельса 95
3 6. Выводы по главе 3
4. Методы интегрирования уравнений движения и программная реализация математической модели 100
4.1. Численное решение систем дифференциальных уравнений движения 101
4.2. Численное решение дифференциально-алгебраических уравнений движения
4.2.1. Методы решения систем дифференциально-алгебраических уравнении 106
4.2.2. Использование многошаговых методов для решения дифференциально-алгебраических уравнений 109
4.2.3. Реализация метода АВМ для решения дифференциально-алгебраических уравнения движения 112
4.2.4. Задание начальных условий 1 4.3. Дифференцирование уравнений связей со вспомогательными переменными 114
4.4. Программная реализация математической модели 1 4.4.1. Объектно-ориентированная реализация последовательной схемы вычислений 120
4.4.2. Объектно-ориентированная реализация параллельной схемы вычислений 124
4.4.3. Описание пакета программ, оценка быстродействия и эффективности параллельной схемы вычислений 128
4.4.4. Средства компьютерной анимации движения 131
Выводы по главе 4 133
5. Результаты расчетов по пассивному и управляемому прохождению криволинейных участков пути и сравнение с экспериментальными данными 134
5.1. Данные ходовых испытаний электровоза ЭП10 134
5.2. Расчет движения локомотива ЭП10 в кривых 140
5.3. Сравнение режимов пассивного и управляемого вписывания электровоза ЭП10 в криволинейные участки пути 148
5.4. Основные подходы к применению навигационных систем при управляемом прохождении локомотивом криволинейных участков пути 152
Выводы по главе 5 155
Заключение и общие выводы 156
Литература
- Современные методы математического моделирования механической части рельсовых экипажей
- Силовое взаимодействие тел, входящих в состав расчетной схемы
- Определение геометрических характеристик рабочего контакта "колесо-рельс"
- Использование многошаговых методов для решения дифференциально-алгебраических уравнений
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время важнейшей задачей является создание перспективного, экономичного, соответствующего мировому уровню тягового подвижного состава. С этой целью необходима разработка и освоение отечественной промышленностью производства локомотивов нового поколения, соответствующих типам и параметрам, утвержденным МПС РФ для железных дорог Российской Федерации.
К главным требованиям, предъявляемым к новым локомотивам, безусловно относятся повышение безопасности движения и уменьшение динамического воздействия на путь. Наиболее сильное воздействие локомотив оказывает на путь при прохождении криволинейных участков в режиме тяги, что сопровождается повышенным износом колес и рельсов. Рінтенсивность износа в кривых в 3-4 раза выше, чем в прямых участках пути, причем доля локомотивов в износе рельсов достигает 70%. При этом срок службы бандажей колесных пар в настоящее время составляет всего 2-3 года, а фактическая интенсивность износа в 3-6 раз превышает предусмотренную нормами эксплуатации пути и подвижного состава.
Перспективным направлением в борьбе с интенсивным износом в системе "колесо-рельс" является применение рациональных конструкций экипажной части локомотивов, дополненных системой активного управления поворотом тележек относительно кузова при движении в кривых. Разработка подобных систем требует проведения компьютерного моделирования динамических процессов в механической части локомотива при прохождении им криволинейных участков.
Таким образом, важная практическая значимость задачи снижения динамического воздействия на путь обусловила выбор темы исследования: математическое моделирование динамических процессов при пассивном и управляемом прохождении локомотивом криволинейных участков пути.
Работа выполнена в рамках научного направления ЮРГТУ (НПИ) "Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы".
Целью диссертационной работы является создание комплексной математической модели локомотива и рельсовой колеи, а также пакета программ, предназначенных для исследования динамических процессов при прохождении криволинейных участков пути; в том числе при наличии
управляющих устройств, позволяющих снизить боковое взаимодействие колес и рельсов при движении в кривых.
Поставленная цель потребовала решения следующих задач исследования:
создания нелинейной математической модели механической части локомотива с осевой формулой 2о-2о-2о, предназначенной для исследования динамических процессов при движении в кривых, в том числе с использованием управляющих устройств;
разработки компьютерной модели пути и контакта "колесо-рельс", работоспособной при изучении движения в криволинейных участках и адекватно описывающей геометрию пути в плане и профиле, действительное положение, размеры и форму площадок контакта на рабочих поверхностях колес и рельсов, упругое проскальзывание в зоне контакта, возникающее в режиме тяги;
реализации эффективных численных методов и алгоритмов в виде проблемно-ориентированного пакета программ для проведения вычислительного эксперимента по пассивному и управляемому прохождению локомотивом криволинейных участков пути;
исследования динамических процессов, возникающих в механической части локомотива при прохождении криволинейных участков пути, и оценки целесообразности применения устройств управляемого поворота тележек относительно кузова для снижения бокового износа рельсов и гребней колес.
Методы исследования. Для получения дифференциально-алгебраических уравнений движения механической части локомотива как системы взаимосвязанных твердых тел применены формальный метод Ньютона-Эйлера и метод подсистем. При синтезе нелинейных уравнений механической системы, имеющей большую размерность (78 степеней свободы), использованы средства компьютерной алгебры. При описании макрогеометрии рельсового пути применены соотношения дифференциальной геометрии. Модель силовых взаимодействий в контакте "колесо-рельс" основывается на нелинейной теории крипа Калкера. Численное интегрирование дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений движения выполнено на основе многошаговых методов "предиктор-корректор" Адамса-Бэшфорта-Моултона. При разработке пакета программ применены концепции объектно-ориентированного и параллельного программирования. Результаты расчетов
движения локомотива в кривых представлены с помощью средств трехмерной компьютерной графики и анимации.
Научная новизна работы заключается:
в модификации метода подсистем, позволяющей наиболее рационально осуществлять синтез и решение нелинейных уравнений движения рельсовых экипажей, сократить количество операций и время вычислений;
в разработке компьютерной модели пути и контакта "колесо-рельс", совместимой с математической моделью механической части локомотива и предназначенной для исследования движения в пути произвольного очертания в плане и профиле (прямые, переходные и круговые кривые, вертикальные и горизонтальные неровности);
в разработке способа получения дифференциальных уравнений связей, необходимых при численном интегрировании дифференциально-алгебраических уравнений движения, содержащих вспомогательные переменные;
в создании эффективного алгоритма вычислений, основанного на параллельном выполнении шагов интегрирования для отдельных подсистем и позволяющего использовать многопроцессорные вычислительные платформы и существенно сократить время расчетов;
в создании эффективных алгоритмов в виде проблемно-ориентированного пакета программ, предназначенных для исследования динамических процессов при прохождении локомотивом криволинейных участков пути, в том числе при наличии управления поворотом тележек относительно кузова;
в сравнительном исследовании динамических процессов, возникающих при прохождении локомотивом криволинейных участков пути, как в пассивном режиме, так и при наличии управления поворотом тележек.
Практическая значимость и реализация результатов работы состоит в создании нелинейной математической модели механической части электровоза с осевой формулой 2о-2о-2о; компьютерных моделей пути и контакта "колесо-рельс"; проблемно-ориентированного пакета программ, которые использованы для исследования прохождения локомотивом криволинейных участков пути. Разработанный программный комплекс нашел применение в ОАО ВЭлНИИ при сравнительном анализе различных вариантов исполнения экипажной части и тягового привода с точки зрения воздействия на путь, в том числе, при движении в кривых. Часть результатов исследования исполь-
зована при постановке лабораторных работ по дисциплине «Горизонтальная динамика локомотивов» на кафедре «Локомотивы и локомотивное хозяйство» РГУПС.
Достоверность и обоснованность полученных результатов вытекают из корректности принятых допущений и строгости формальных преобразований, выполняемых при синтезе дифференциально-алгебраических уравнений движения; из совпадения с удовлетворительной степенью точности результатов выполненных расчетов с результатами приемочных испытаний электровоза ЭП10-001, проведенных ВНИИЖТ в 1999 г. (испытания по воздействию на путь и динамико-прочностные испытания).
Апробация работы. Основные положения и выводы исследования докладывались и обсуждались на международной научно-технической конференции "Математические модели физических процессов и их свойства" (Таганрог, 1997 г.), на международной научно-практической конференции "Моделирование. Теория, методы и средства" (Новочеркасск, 2001 г.), на научно-теоретической конференции "Проблемы и перспективы развития транспортного комплекса Юга России " (Ростов н/Д, РГУПС, 2001 г.), на научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава "Транспорт-2003" (Ростов н/Д, РГУПС, 2003 г.), разработанный пакет программ представлен на Всероссийской выставке-ярмарке "Иннов-2003" (Новочеркасск, 2003 г).
Работа доложена и обсуждена на заседании кафедры "Прикладная математика" ЮРГТУ (НИИ).
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 8 научных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературных источников и двух приложений. Работа изложена на 202 страницах машинописного текста, содержит 49 рисунков, список 105 литературных источников, два приложения на 36 страницах.
Автор выражает благодарность А.А Зарифьяну, д.т.н., профессору РГУПС, Л.Н. Сорину, к.т.н., генеральному директору ОАО ВЭлНИИ, и В.П. Янову, к.т.н., профессору, ученому секретарю ОАО ВЭлНИИ, за внимание к работе и консультации по многим вопросам.
Современные методы математического моделирования механической части рельсовых экипажей
Распоряжением МПС России утверждены основные типы и параметры новых локомотивов [1]. Для пассажирских локомотивов предусмотрены колесные формулы 2о-2о-2о либо 2о-2о, тяговый привод второго либо третьего класса, для грузовых - первого класса.
Предполагается создание новых серий шестиосных и четырехосных пассажирских электровозов, поэтому представляется весьма актуальным создание эффективного инструмента изучения возможных вариантов схем связей кузова с тележками, силовых передач, систем активного управления с целью выбора оптимальной конструкции механической части и ее параметров [21].
Одним из возможных подходов к исследованию различных вариантов конструкции является изготовление опытных образцов, на которых проверяются достоинства и недостатки технических решений. При необходимости, в конструкцию вносятся изменения, и цикл испытаний проводится заново. Однако такой подход имеет существенные недостатки и все реже используется на практике, так как создание опытного образца и его многократная переработка — очень дорогая, длительная и трудоемкая операция. Кроме того, не всегда в экспериментах удается создать условия, близкие к тем, в которых предполагается функционирование системы.
Альтернативный путь анализа нового объекта и получения количественной информации о нем - математическое моделирование физических процессов. Будучи однажды пройденным, он позволяет быстро производить анализ многих вариантов исходных данных, что важно при выборе и оптимизации параметров конструкции. Основная трудность на этом пути состоит в получении достоверной математической модели, хорошо описывающей поведение рассматриваемого объекта.
Анализ исследований в области динамики железнодорожных экипажей показал, что вопросам движения локомотивов в кривых уделялось большое внимание. Впервые математическое обоснованное исследование движения экипажа в кривой было дано в 1896 году инженером А. А. Холодецким [22]. К середине XX века насчитывалось уже более 400 работ по геометрии и динамике вписывания железнодорожных экипажей в круговые кривые и в кривые переменной кривизны.
В монографии К.П. Королева [23], одной из первых отечественных работ по теории движения железнодорожных экипажей в кривых, обобщен и развит опыт исследования движения экипажей в кривых представленный работами А.А. Холодецкого и К.Ю. Цеглинского [24].
Важным моментом в развитии теории динамического вписывания подвижного состава явилась классификация поперечных сил на направляющие, боковые и рамные, предложенная в работах ВВ. Монича и А.В. Смолянского [32, 33]. За направляющее усилие была принята сила, действующая в контакте гребня колеса и рельса и обуславливающая износ гребней колес и боковых граней рельсов. Исследования показали, что износ в кривых участках пути во многом определяется так называемым "фактором бокового износа", который прямо пропорционально зависит от величины направляющего усилия и угла набегания бандажа на рельс.
Как правило, при расчете динамического вписывания экипажа в кривую определяются наибольшие силы, возникающие при движении данного экипажа по кривой. При этом принимаются следующие допущения: скорость движения считается постоянной, бандажи - цилиндрическими, кривая - идеальной круговой. Все силы, действующие на экипаж, переносятся в плоскость пути. Силы трения в точках контакта колеса с рельсом определяются как силы сухого трения, они постоянны при движении в кривой. Все колесные пары (оси) считаются закрепленными в раме жестко, то есть не могут перемещаться друг относительно друга ни в продольном, ни в поперечном направлении. Силы тяги и торможения отсутствуют.
Следует отметить работы В.М. Панского [34] по исследованию движения локомотивов в переходных и окружных кривых, Ю.С Ромена [35, 36] по исследованию движения тележечных экипажей в кривых переменного радиуса с учетом поперечной упругости; В.Н. Кашникова [37] по исследованию входа экипажа в кривую с учетом неравноупругости пути в плане.
Широкое распространение при решении подобных задач в инженерной практике получили обобщенные аналитические методы [38].
В зависимости от конкретных условий взаимодействия системы экипаж-путь исследователями применялась та или иная расчетная схема. Для упрощения задачи не принимаются во внимание особенности конструктивных схем тележек и параметры упругих элементов; используются динамические коэффициенты, полученные, как правило, экспериментальным путем [39]. В современных условиях применение таких подходов для подробного количественного исследования вновь создаваемых и существующих рельсовых экипажей весьма ограничено.
Необходимость априорного задания положения экипажа в колее вызывает значительные трудности при описании и изучении переходных процессов входа и выхода в кривые участки пути, большого числа конструкционных параметров системы, переменных скоростей движения Раздельное рассмотрение вопросов вертикальной, поперечной и продольной динамики фактически означает, что взаимным влиянием этих движений пренебрегают, хотя оно существует и при движении в криволинейных участках пути должно учитываться.
Более эффективным представляется создание единой пространственной модели движения, которая бы учла все взаимодействия системы экипаж-путь. Механическая часть транспортного средства представляется как совокупность (система) некоторого числа твердых тел (СТТ), связанных между собой силовыми элементами и сочленениями, имеющими определенные кинематические свойства [40,41].
Самые сложные задачи, связанные с описанием таких систем, возникают при выводе нелинейных уравнений движения. Несмотря на то, что в аналитической механике существует целый ряд форм уравнений движения для дискретных систем [42] детальное рассмотрение показывает, что классические формы уравнений движения являются неподходящими для исследования сложных СТТ в силу ряда существенных причин [43].
Основные требования к новым методам исследования движения СТТ могут быть сформулированы следующим образом [21]: - простота и рациональность описания структуры взаимодействий в системе независимо от ее сложности; - возможность рассмотрения любых относительных движений значительного числа непосредственно связанных между собой тел; - простота и рациональность описания кинематики системы как по отношению к относительным движениям тел, так и по отношению к абсолютным движениям отдельных тел; - простота составления и компактность записи уравнений всех связей, существующих между телами системы; - минимизация объема и трудоемкости операций формирования дифференциальных уравнений движения, алгоритмизация и автоматизация этого процесса.
В последние 20-25 лет разработаны и получили распространение новые нетрадиционные методы исследования движения СТТ, которые в той или иной степени удовлетворяют сформулированным требованиям. Они могут эффективно использоваться при моделировании транспортных средств. Значительный вклад в разработку таких методов внесли отечественные и зарубежные ученые И. Виттенбург, В. Шилен, М. Вукобратович, Л.К. Лилов, Е. Кройцер, Д.Ю. Погорелов и другие. Наибольшее распространение получил так называемый формальный метод Ньютона-Эйлера [40, 21].
В настоящее время существует несколько пакетов программ, разработанных для автоматизированного анализа технических систем на базе моделирования их системами твердых тел. Все современные программы используют автоматизированный синтез уравнений движения, однако применяются два различных подхода к выводу уравнений движения. Первый можно назвать численным, а второй символьным.
При первом подходе, реализованном, например, в известной системе MSC ADAMS, элементы уравнений движения выводятся в численной форме на каждом шаге их численного решения (интегрирования), то есть процессы вывода уравнений движения и их решения совмещены в одном модуле. При альтернативном подходе сначала выводятся уравнения в полной символьной форме. Обычно файлы уравнений содержат готовые для трансляции подпрограммы, написанные на одном из языков программирования. Затем уравнения компилируются и формируют программу анализа, в том числе и интегрирования. К системам, реализующим этот подход, можно отнести программный комплекс "Универсальный механизм" Д.Ю. Погорелова [40]. Вывод уравнений движения в символьной форме имеет ряд преимуществ. Во-первых, уравнения можно преобразовывать, анализировать с использованием мощных программных средств компьютерной алгебры (Maple, Reduce, Mathematical. Во-вторых, уравнения в символьной форме, как правило, требуют значительно меньшего числа арифметических операций. С другой стороны, при этом подходе сложнее моделировать системы, структура которых может изменяться в процессе моделирования, а при моделировании разных объектов приходится создавать отдельные исполняемые программы. Оба подхода имеют свои преимущества и недостатки, поэтому правомерно их параллельное существование. Перспективным является также комбинированный численно-символьный подход к синтезу уравнений, совмещающий положительные стороны обоих методов.
Из существующих программ моделирования движения железнодорожных экипажей, в которых используется представление механической части рельсового экипажа в виде СТТ, следует отметить программные комплексы ADAMS/Rail, Vampire, UM Loco, а также пакет прикладных программ, разработанный А.А. Зарифьяном и др., который предназначен для исследования совместных электромеханических процессов [21].
В последних публикациях делаются попытки учета упругости некоторых тел системы. В работе [44] представлена простейшая модель пассажирского вагона, состоящая из кузова и двух тележек. Кузов поддерживается над тележками за счет пружин, тележки рассматриваются как абсолютно твердые тела, а кузов - упругое. Общее отклонение кузова представляется как сумма его смещения как твердого тела и упругих деформаций. Уравнения движения строятся на основе значения полной энергии по формуле Лагранжа. К сожалению, результаты моделирования не приведены. Очевидно, что применение данного подхода при решении задачи о движении локомотива в полной пространственной постановке в настоящее время нецелесообразно.
Несмотря на то, что специализированные системы компьютерной алгебры значительно расширяют возможности моделирования, символьный вывод нелинейных уравнений движения объектов, содержащих большое количество тел и степеней свободы, может быть ограничен вычислительными ресурсами ЭВМ. С этой точки зрения перспективным является новый подход - применение метода подсистем, описанного в работе [40]. В связи с тем, что при моделировании сложных систем весьма трудоемким оказывается не только вывод уравнении движения, но и процесс их численного решения, представляется целесообразным расширить применение метода подсистем на все этапы моделирования.
Силовое взаимодействие тел, входящих в состав расчетной схемы
Кинематические связи в расчетной схеме механической части реализованы в виде подшипников (вращение валов двигателей, ведущих шестерен редукторов и колесных пар по отношению к корпусам), возникающим в них трением пренебрегаем и полагаем их идеальными.
Принятое допущение вполне приемлемо при изучении интересующих нас явлений [21] и не вызвано какими-либо принципиальными ограничениями модели. Рассматриваемая математическая модель может включать любые силовые взаимодействия между элементами.
К числу силовых элементов, устанавливаемых в соединениях между телами, относятся пружины (возникающие в них силы упругости считаем подчиняющимся закону Гука), гидравлические демпферы (силы вязкого сопротивления которых полагаем пропорциональными относительной скорости точек крепления), муфты в соединениях механической части тягового привода, работающие на кручение.
Для обозначения номеров тел в силовом соединении а используются функции Ґ(а) - номер "предыдущего" тела и Г(а) - номер "последующего" тела.
Кузов на рамы крайних тележек опирается через четыре пружинных блока, установленных на верхнем листе боковины рамы тележки (см. рис.2.3). Опирание кузова на среднюю тележку на электровозе ЭП10 - сжатые стержневые устройства с пружинами, шарнирно связанные с рамами кузова и тележки.
Перейдем к определению усилий, возникающих в зубчатых передачах. В тяговом приводе второго класса, применяемом на электровозе ЭП10, установлена шевронная передача. Уровень динамических нагрузок в тяговых зубчатых передачах определяется взаимодействием двух основных групп факторов. К первой группе относятся возникающие при движении локомотива в режиме тяги силы и моменты электромагнитного происхождения, ко второй - воздействия со стороны путевой структуры. Зубчатые передачи воспринимают воздействие обеих групп силовых факторов, так как к шестерне приложен активный момент тягового электродвигателя, а на зубчатое колесо непосредственно передается момент от касательного усилия в контакте "колесо-рельс". Так как корпус редуктора несет на себе быстровращаю-щиеся шестерню и колесную пару, то при его пространственных угловых колебаниях возникают гироскопические моменты, приводящие к дополнительным нагрузкам на подшипники. Он должен обязательно приниматься во внимание для скоростных пассажирских локомотивов [75].
В настоящей работе используется модель механической части, которая учитывает как эффект планетарного редуктора, что обеспечивается соответствующим описанием кинематики вращающихся деталей, - колесных пар, шестерен, роторов двигателей, - так и наличие гироскопических моментов.
Принимаем, что взаимодействие между шестерней и колесом осуществляется путем передачи усилия с учетом упругой податливости зубчатого зацепления, причем жестко заданная кинематическая связь между угловыми скоростями собственного вращения шестерни и колеса типа —- = — не ис пользуется. В настоящей работе значение торцовой жесткости пары зубчатых колес принято согласно [76].
Связь рам тележек электровоза с колесными парами осуществляется при помощи буксовых поводков, прикрепленных к корпусу буксы и к кронштейнам рамы тележки посредством сайлент-блоков с резиновыми втулками. Буксовые поводки воспринимают все продольные и поперечные (осевые) силы, передаваемые от колесной пары на раму тележки и обратно. Осевые составляющие этих сил принято называть рамными силами, их определение имеет большое значение, особенно на высоких скоростях движения [77]. Конструктивными параметрами, определяющими характеристики поперечной связи колесных пар с рамами тележек, являются коэффициенты поперечной жесткости ср и вязкости \хр поводковой связи колесной пары с рамой тележки (на одну буксу).
Отметим, что такой подход вызывает необходимость формирования и дальнейшего решения общей системы дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) (2.25). При этом преимущества метода подсистем ограничиваются в основном увеличением скорости и удобством вывода уравнений движения [40]. Учет структуры матриц масс и связей при численном интегрировании для некоторых систем представляет существенные трудности. При этом скорость численного интегрирования остается такой же, как и без использования метода подсистем. Хотя именно решение уравнений динамики приходится выполнять многократно при различных значениях исходных данных и параметров системы, в то время как символьный вывод производится один раз.
В настоящей работе предлагается развитие идеи метода подсистем, позволяющее существенно повысить эффективность этого метода. Действительно, в случае, когда подсистемы рассматриваемого объекта связаны только силовыми элементами, компоненты уравнений для отдельных подсистем зависят только от собственных координат подсистем, за исключением столбца обобщенных активных сил, который содержит силовые взаимодействия между подсистемами Mp=Mp(qp),kp=kp(qpjp),Qp=Q 4 P = l N- (2-26)
Нами предлагается рассматривать динамику объекта на основе совокупности уравнений движения отдельных подсистем без составления полной системы уравнений движения. При этом силовые воздействия на тела подсистем разделяются на внутренние и внешние. К первому типу относятся силовые взаимодействия между телами одной подсистемы, ко второму - взаимодействия между телами различных подсистем.
Одним из перспективных методов улучшения динамических характеристик процесса прохождения рельсовым экипажем криволинейных участков пути является управляемое вписывание [11-13]. Конструкция экипажной части локомотива дополняется активными устройствами, которые осуществляют «подруливание» тележек при прохождении кривых с целью обеспечить снижение бокового усилия от рельса на гребень набегающего колеса.
С помощью некоторого силового устройства - пневматического, гидравлического, электромеханического, - к раме тележки от кузова передается управляющий момент LaKI. Важнейший вопрос при построении алгоритма управления заключается в определении моментов времени включения и выключения управляющего воздействия и закона изменения его величины.
Так, один из возможных способов управления предусматривает зависимость величины управляющего момента от параметров, определяющих текущее положение тележек и колесных пар относительно кузова и рельсовой колеи. Этому препятствует ряд серьезных проблем. Во-первых, необходимо постоянно измерять параметры состояния экипажа, что может потребовать установки сложного дополнительного оборудования. Кроме того, ошибки или полный отказ системы измерения могут привести к аварийной ситуации вследствие подачи слишком большого управляющего момента.
Другая проблема - требование к очень высокому быстродействию системы управления. При прохождении переходных участков пути быстродействия существующих технических средств может оказаться недостаточно, чтобы вовремя среагировать на изменение параметров движения. Особенно это важно на переходных участках выхода из кривой, так как своевременно не погашенный управляющий момент может привести к сходу экипажа с рельсов.
К третьей проблеме следует отнести необходимость наличия сглаживания в системе "переменные состояния - активное управление", так как в реальных условиях происходят случайные колебания механической части, вызванные неровностями пути. Передача этих колебаний в систему управления крайне нежелательна. Между тем требование к сглаживанию управления противоречит требованию быстрой реакции системы.
Поэтому представляется целесообразным создать систему управляемого направления локомотива в кривых не по оперативным параметрам движения, а по известной заранее карте пути и текущему положению экипажа на траектории и его скорости. В самых общих чертах построение управляющего воздействия представляется следующим образом.
Пусть заранее известна функция кривизны пути k(s), зависящая от текущей дуговой координаты s. Тогда, принимая во внимание текущую линейную скорость движения экипажа V, управляющий момент представляет собой некоторую функцию кривизны пути и скорости движения. Построение оптимальной функции U(k(s), V), доставляющей наилучший возможный режим динамического вписывания, является очень сложной задачей и выходит за рамки настоящей работы. Отметим лишь, что она может решаться только вместе с полной математической моделью движения конкретного экипажа. Значения управляющего момента включаются в столбцы активных моментов L, для следующих тел: "кузов" и "рама тележки", см. п. 2.4. Заметим, что передача управляющего момента на тележку приведет к возникновению обратного по знаку момента на кузове. Для определения текущего положения экипажа s= s(t) существует несколько способов. Например, путем сканирования специальных меток вдоль траектории движения или с использованием навигационной спутниковой системы [19, 20], что позволяет обеспечить точность позиционирования порядка нескольких сантиметров.
Определение геометрических характеристик рабочего контакта "колесо-рельс"
При компьютерном моделировании движения железнодорожного экипажа одним из основных элементов является модель качения колесной пары по рельсовой колее. Эта модель должна быть, с одной стороны, достаточно точной, учитывать основные реально существующие факторы, а с другой, быть компактной и удобно вписываться в общий комплекс исследования движения.
При построении математической модели контакта требуется прежде всего получить рациональное описание макрогеометрии пути, по которому движется локомотив. После этого изучены локальная геометрия контактирующих поверхностей колес и рельсов и кинематические характеристики контакта. Заключительным этапом является определение нормальных и касательных усилий, возникающих в контакте при качении.
Исследование динамики локомотивов требует построения достаточно подробной математической модели движения экипажа в переходных и круговых кривых, учитывающей реальную геометрию рельсового пути.
Мы будем принимать zc(w) = 0, то есть рассматривать проекцию оси пути на горизонтальную плоскость. Изменения пути в профиле, такие как возвышение одного из рельсов или вертикальные неровности, можно учитывать в дальнейшем при рассмотрении модели контакта "колесо-рельс" без необходимости задания zc{u) для [SC]. Задание угла ус(и) удобно в случае одинаковых по абсолютной величине и противоположных по знаку вертикальных отклонений от центрального положения уровней левого и правого рельсов (боковое отклонение без изменения уровня центра масс), что применяется, например, при движении в кривых в метрополитене [48]. Однако на отечественных железных дорогах принят способ с возвышением одной из рельсовых нитей, поэтому в данной модели принимаем ус(и) = 0, отклонения в вертикальной плоскости задаются в модели контакта "колесо-рельс" и приводят к изменению угла боковой качки экипажа.
В дальнейшем положение и пространственная ориентация экипажа определяются отклонениями от центрального положения на колее - величинами бокового относа (поперечное направление), подпрыгивания (вертикальное направление), боковой качки (поворот вокруг продольной оси), галопирования (поворот вокруг продольной оси) и виляния (поворот вокруг вертикальной оси) относительно системы [SC]. Последние три угла являются углами Кардана [72].
Ни линейная координата хс, ни полярный угол фс не могут служить универсальной независимой переменной. Одним из вариантов выхода из такой ситуации является остановка процесса моделирования при изменении конфигурации пути, необходимый пересчет переменных и продолжение расчета с новым подходящим параметром. Данный подход очень неудобен и к тому же приводит к необходимости повторного запуска процесса численного интегрирования, что является нецелесообразным, особенно в случае использования многошаговых методов.
Описание обратной переходной кривой строится аналогично с учетом линейного изменения кривизны от заданного значения \/Rc до 0. Обобщая рассмотренные выше три случая, рассмотрим вход с прямолинейного участка длиной /, = 30 м через переходную кривую длиной /2 = 100 м в круговую кривую радиуса Re = 200 м. Пусть центр неподвижной системы координат совпадает с началом движения, а ее первая ось направлена вдоль прямолинейного участка. Операции символьного вывода уравнений ния средствами компьютерной алгебры осуществляются с формально заданными значениями xc(s), yc(s), (pc(s), затем данные неизвестные функции, их первые и вторые производные по s заменяются идентификаторами-переменными х_С, у_С, phi_C, dx_C, dy_C, dphiC, ddx_C, ddy_C, ddphiC, после чего генерируется код на языке программирования, пригодный для компиляции. При численном интегрировании на каждом шаге вычисляются значения данных переменных уже по конкретно заданным зависимостям вида (3.25)-(3.30).
В общем случае, когда конфигурация пути в плане задана табулированными значениями кривизны (по схеме железнодорожного полотна), функция k{s) строится с применением интерполяционных полиномов. Для большинства практических случаев достаточно построить линейную зависимость. Нахождение координат (3.5) осуществляется в процессе численного решения уравнений движения механической системы, дополненных тремя дифференциальными уравнениями первого порядка:
При исследовании динамики железнодорожного экипажа необходимо располагать математической моделью процесса качения колесной пары по рельсовой колее. Пару тел, имеющих точку контакта, которая может перемещаться по их поверхностям, в динамике систем твердых тел принято называть контактным шарниром (КШ) [40]. Построение математической модели контактного шарнира «колесо-рельс» включает в себя параметризацию соприкасающихся поверхностей и получение уравнений связей. Существенное значение имеет также определение геометрических характеристик контактного шарнира - главных кривизн соприкасающихся поверхностей.
Для задания текущего положения колесной пары на траектории движения будем использовать дуговую координату 5 и подвижный базис [SC], начало которого перемещается по проекции оси пути на горизонтальную плоскость (см. п. 3.1). Ось пути - это линия, проходящая посередине между центральными линиями рельсов. Введем в рассмотрение вспомогательную систему координат [«SC], предназначенную для задания возможных изменений уровней рельсов. Она получена переносом базиса [SC] на величину hc{s) в вертикальном направлении и поворотом на угол yc(s) вокруг продольной оси так, чтобы поперечная ось [SC] оказалась направленной по касательной к поверхностям катания на рельсах.
Использование многошаговых методов для решения дифференциально-алгебраических уравнений
Как было показано в главе 2, математическая модель механической части электровоза может быть представлена в двух формах: - полная система дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) вида (2.25), полученная объединением уравнений всех входящих подсистем. В этом случае ее решение проводится методами численного интегрирования ДАУ; - совокупность систем дифференциальных (2.31) и дифференциально-алгебраических (2.32) уравнений, содержащих в виде дополнительных слагаемых в правых частях силы и моменты, действующие между подсистемами. Для ее решения необходима специальная процедура.
Вопросы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) достаточно хорошо исследованы. При интегрировании необходимо принимать во внимание, что математическая модель механической части электровоза характеризуется следующими особенностями: - система уравнений имеет большую размерность и сложные нелинейные зависимости в правых частях; - переменные системы уравнений могут принимать как большие значения (например, скорость движения, величина пройденного пути), так и малые (поперечное смещение колесных пар, углы боковой качки и др.).
Перечисленные особенности приводят к необходимости выбора численных методов, обладающих высокой точностью и устойчивостью. В то же время при изучении различных режимов движения необходима серия из большого числа вычислительных экспериментов. Следовательно, алгоритм должен обладать приемлемым быстродействием.
Вопросы решения систем ДАУ, возникающих при моделировании движения подсистемы "колесная пара", будут рассмотрены в этой главе. Особенностью данной модели является наличие вспомогательных перемен 101
ных (криволинейных координат параметризованных поверхностей касания) в алгебраических уравнениях связей.
Важным требованием является высокоэффективная программная реализация численных алгоритмов. Учет особой структуры уравнений движения позволяет разработать численную процедуру, сокращающую затраты машинного времени. Кроме того, предлагаемый автором пакет программ использует технологию параллельных вычислений и позволяет задействовать возможности современных многопроцессорных компьютерных систем.
В настоящее время для численного решения задачи Коши вида (4.3) наибольшее распространение получили методы Рунге-Кутта и линейные многошаговые методы [68, 85].
Для методов Рунге-Кутты существуют устойчивые формулы высокого порядка, а также методы с оценкой погрешности. Например, хорошие результаты дает вложенная формула Дормана и Принса седьмого порядка [68]. Для данного класса методов не требуется вычисления дополнительных начальных значений, кроме того, легко производить смену шага интегрирования. Главный недостаток методов Рунге-Кутты - необходимость несколько раз выполнять вычисление правой части уравнения (4.3). При решении дифференциальных уравнений движения локомотива эта особенность методов Рунге-Кутты приводит к нецелесообразности их применения, так как вычисление правых частей является наиболее трудоемкой операцией.
Многошаговыми называются численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, использующие в конечно-разностной схеме информацию о значениях координат и их производных по времени на предыдущих шагах, причем -шаговым называется метод, использующий информацию о решении, полученную на предыдущих к шагах процесса интегрирования. Методы данного типа успешно используются для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Современный подход к интегрированию уравнений движения предполагает возможность изменения шага интегрирования с целью поддержания заданной точности численного решения и изменения порядка интегрирования для повышения эффективности процедуры решения (если правые части уравнений достаточно гладкие, то повышение порядка позволяет увеличить шаг интегрирования). Как раз этим условиям удовлетворяют многошаговые методы, в отличие от одношаговых (например, Рунге-Кутты). Для решения «жестких» дифференциальных уравнений решение нелинейной системы осуществляется методом Ньютона, при этом обычно применяется формула дифференцирования назад {BDF), предложенная Гиром [64]. Вычисления якобиана для правых частей дифференциальных уравнений представляет существенную вычислительную сложность. Поэтому для интегрирования дифференциальных уравнений моделей подсистем "кузов" и "тележка" используется схема "предиктор-корректор" по методу АВМ, а для решения задачи, обусловленной контактом колеса и рельса подсистемы "РКП", применяются специальные методы интегрирования дифференциально-алгебраических уравнений.
