Введение к работе
Актуальность проблемы. В основании современной теории удара находятся результаты двух основополагающих работ, первая - это работа Г Герца "О контактном сжатии твердых тел" и вторая - работа С П. Тимошенко "К вопросу о действии удара на балку", в которой рассмотрен поперечный удар сосредоточенной массой по балке
С П Тимошенко впервые составил интегральное уравнение для определения контактной силы удара Благодаря реалистическому описанию процессов в контактной области удалось успешно распространить полученное Герцем в статической задаче нелинейное соотношение между местным сжатием и контактной силой на динамику удара
Методика составления интегрального уравнения для определения основных характеристик удара легла в основу многих последующих работ по удару не только для балок и стержней, но и для пластин, оболочек и других упругих тел Последующие экспериментальные исследования ударных процессов подтвердили применимость контактной теории Герца и интегрального уравнения удара для предсказания основных характеристик удара
Точное решение динамической задачи теории упругости для удара по стержням, балкам или плитам, в общем случае получить не удается вследствие математической сложности, поэтому при решении инженерных задач удара используются различные приближенные математические модели стержней, балок и плит Результаты расчетов задач удара по таким приближенным моделям позволяют в большинстве случаев достаточно точно оценить основные силовые и кинематические характеристики удара
Рассмотрим наиболее общий вид интегрального уравнения удара Считаем, что удар по некоторому упругому телу большой протяженности (стержень,
балка и тд ) наносится другим упругим телом - ударником, обладающим массой»! Перемещение ударяющего тела y(t) с момента начала удара имеет вид
t t
уОР, t) = V0t ~ Jdt Jp(x)dx, (1)
о 0
где V0- скорость ударяющего тела в момент начала удара, t - время, P(t) — контактная сила удара Перемещение в том месте тела, по которому наносится удар, например поперечное смещение балки или продольное смещение стержня Уо(0. имеет вид
і
y0(P,t)= jp(T)f(t-T)dT( (2)
где f(t) - реакция ударяемого тела на единичный импульс По теории Г Герца разность между перемещениями (1) и (2), т е сближение соударяющихся тел, нелинейно зависит от возникающей контактной силы P(t) При этом получается основное интегральное уравнение удара
t t t
kP(t)M = V0t - — Jdt Jp(x)dT - Jp(t)f(t - x)dr (3)
Решение нелинейного интегрального уравнения удара (3) выполняется методами численного интегрирования При численном решении определяются все основные силовые и кинематические характеристики удара (контактная сила, время соударения, перемещение, скорость и ускорение ударяемого тела в месте соударения)
Основной проблемой при постановке любой задачи удара является определение конкретного вида функции f(t), т е отклика рассматриваемой ударяемой механической системы на единичный импульс Если функция f(t) неизвестна, то интегральное уравнение удара (3) не может быть составлено
Существуют различные способы определения неизвестной функции отклика f(t) для произвольной механической системы Так, начиная с работы Тимошенко, поперечное смещение банки в месте удара определялось путем суммирования ряда по формам колебаний Если для решения уравнения вынужденных колебаний балки применяется метод разложения решения в ряд Фурье, то f(t) будет представлена в виде бесконечного ряда по формам колебаний балки При этом неизбежно возникают проблемы выбора необходимого числа членов ряда, оценки величины суммы отброшенных членов, их влияния на конечный результат и т д Эти проблемы становятся очень существенными в случаях, когда период первой формы собственных колебаний рассматриваемой механической системы несоизмерим с продолжительностью удара
Однако все отмеченные математические проблемы при определении функции f(t) могут быть преодолены с самого начала, если для решения задач удара использовать методы интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Ханкеля и др В этом случае неизвестная заранее функция f(t) определяется аналитически при решении задачи удара для данной механической системы в виде некоторой специальной функции и может быть вычислена при решении интегрального уравнения удара (3)
Этот метод определения функции ОД стал применяться с использованием методов интегральных преобразований при решении задач вынужденных колебаний балок, стержней и других механических систем Этой же методике следовал автор данной работы, всю данную работу можно рассматривать как определение функций отклика f(t) для задач удара при использовании различных математических моделей стержней, балок и плит Отдельные частные случаи функций f(t) для некоторых моделей балок, стержней и плит были известны ранее, однако эти решения были рассеяны по литературе, и автору пришлось просмотреть и проанализировать около тысячи работ по механике удара и коле-
баний Актуальность работы заключается в необходимости систематизации как уже известных откликов механических моделей стержней, балок и плит на удар, так и откликов, полученных автором Проведенная систематизация позволяет использовать данную работу для справок при решении прикладных задач удара
Цель и задачи работы. Автор поставил перед собой главной целью получение функций отклика моделей стержней, балок и плит на сосредоточенный удар методами интегральных преобразований. При написании диссертационной работы было необходимо решить следующие задачи
Определить теории стержней, балок и плит, которые возможно использовать для расчетов на сосредоточенный удар, но функции отклика которых были до настоящего исследования неизвестны
Решить математические задачи удара для этих моделей методами интегральных преобразований и определить реакцию рассматриваемых механических систем на действие сосредоточенных сил в виде интегральной свертки контактной силы удара и некоторой специальной функции, что позволяет впоследствии составить общее интегральное уравнение удара (3) для определения основных силовых и кинематических параметров удара
Предложить примерный перечень технических задач, в которых могут быть использованы аналитические результаты, полученные автором В качестве примеров рассмотреть конкретные технические задачи
Научная новизна. В диссертационной работе изложены полученные автором точные выражения откликов упругих механических систем, таких как стержни, балки и плиты, на ударное воздействие для рассмотренных автором моделей При продольном ударе по стержням это относится к моделям стержней Лява, Бишопа и Миндлина-Германа, при ударе по балкам - к моделям балок Рэлея и сдвиговой балки Тимошенко, при ударе по плитам - к модели плиты Рейсснера в различных приближениях
Достоверность полученных результатов заключается в использовании надежных и апробированных в других математических задачах методов интегральных преобразований
Практическая ценность. Полученные выражения для функций откликов, будучи использованы при решении интегрального уравнения удара, позволяют моделировать поведение конкретных механических систем при ударном воздействии на них
Полученные результаты были использованы для расчетов конкретных технических систем, а именно в совместных работах В.Б Мещерякова, автора и Г А Емельяновой [3,6,7] проводилось исследование приближенных моделей балок в задаче удара вагонного колеса с дефектом (ползуном или наваром) по рельсу Также в совместной работе В Б Мещерякова, А О Шимановского и автора [1] балочные модели рассматривались в задачах исследования динамики промышленных электрофильтров при ударных способах регенерации осади-тельных электродов
В кратком перечне возможных технических приложений, составленном автором, отмечена возможность использования полученных результатов при расчетах ударов вагонных колес с дефектами по рельсам, при ударном способе очистки от пыли промышленных электродов, расчетах на прочность балочных ограждений автомобильных дорог от ударов автомобилей, при падении грузов на крыши и полы зданий и промышленных сооружений при интенсивных ударных воздействиях
Апробация работы. Основные полученные результаты были доложены автором на заседаниях кафедры "Теоретическая механика" МИИТа в 1990-1993 гг и на заседании Секции «Упругость и пластичность» Совета Института механики МГУ им М В Ломоносова в 2007 г, решение задачи ударного взаимодействия колеса с дефектом и рельса было доложено на 8-ой Международной
конференции "Проблемы механики и железнодорожного транспорта", проходившей в Днепропетровске в 1992 г
Публикации. Основные полученные результаты проведенных исследований опубликованы в девяти работах [1-9]
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введеній, пяти глав, заключения, списка источников из 527 работ, и изложена на /ЯГ страницах, включает // рисунков и /таблицу
