Содержание к диссертации
Введение
Глава 1, Математическое моделирование церебральной гемодинамики и учет механической ауторегуляции 23
1.1. Постановка задачи гемодинамики в квазиодномерном приближении 23
1.1.1, Система уравнений гемодинамики 23
1.1.2. Граф сосудов головного мозга 27
1.13, Свойства системы уравнений гемодинамики для сосуда, подверженного действию механической ауторегуляции 37
1,2. Численное решение разностной задачи гемодинамики 41
1.2.1, Разностная схема с использованием набора осредненных элементов 41
1.2.2, Разностная схема с аппроксимацией "через точку" 43
1.3. Результаты расчетов течения крови в стационарном режиме 47
1.3 Л. Результаты расчетов течения крови в норме 47
1.3.2. Исследование последствий окклюзии магистральных артерий головы 52
1.3.3. Исследование роли механической ауторегуляции в компенсации кровоснабжения тканей мозга при окклюзии ОСА 57
1.3.4. Исследование роли механической ауторегуляции в компенсации повышенного и пониженного артериального давления... 60
Глава 2, Математическое моделирование церебральной гемодинамики с периодически сокращающимся сердцем 65
2.1, Математические модели работы сердца 65
2Л.1. Модель не полностью замкнутой системы кровообращения 65
2Л .2. Модели полностью замкнутой системы кровообращения 67
2.L3. Модель резистивных сосудов 70
2.2. Результаты расчетов течения крови по моделям с периодически сокращающимся сердцем 71
2.2.1. Результаты расчетов течения крови в норме 71
2.2.2. Исследование влияния параметров самосогласованной модели сердца на церебральную гемодинамику 82
2.2.3. Исследование последствий окклюзии магистральных артерий,.. 87
Глава 3. Математическое моделирование гемодинамики сердечнососудистой системы с учетом влияния нейрогенной регуляции 93
3,1. Математическая модель нейрогенной регуляции 93
3 Л Л. Медико-физиологическое описание механизма нейрорегуляции 93
3.1.2. Математическая модель действия барорецепторов 95
3.1.3. Модель изменения тонуса периферических сосудов под влиянием нейрорегуляции 96
3 Л .4- Модель изменения степени заполненности тканей кровью под влиянием нейрорегуляции 100
3.L5. Модель изменения частоты сокращений сердца под влиянием нейрорегуляции 101
ЗЛ.6. Свойства уравнений гемодинамики для сосудов, подверженных влиянию нейрорегуляции 102
3.2. Модификация разностной схемы 112
3.3. Исследование влияния нейрорегуляции на гемодинамику сердечно-сосудистой системы 114
33 Л. Результаты расчетов течения крови в норме 114
3.3.2. Результаты расчетов течения крови при повышении давления... 116
3.3.3. Результаты расчетов течения крови гтри понижении давления.,. 124
Литература
- Свойства системы уравнений гемодинамики для сосуда, подверженного действию механической ауторегуляции
- Исследование последствий окклюзии магистральных артерий головы
- Модели полностью замкнутой системы кровообращения
- Модель изменения степени заполненности тканей кровью под влиянием нейрорегуляции
Введение к работе
Сердечно-сосудистая система относится к числу основных систем организма, и изучение особенностей се функционирования еще не завершено. Заболевания кровеносной системы широко распространены и занимают лидирующее положение среди причин смертности. В связи с этим, исследование сердечно-сосудистой системы является одной из актуальных проблем современной фундаментальной медицины.
Замкнутая система кровообращения была описана У- Гарвеем в XVII веке, и уже в XVIII-XIX веках сделаны первые попытки ее математического описания: Л, Эйлер, Д. Бернулли и Ж. Пуазейль открыли некоторые фундаментальные закономерности течения крови по сосудам. Первая математическая модель кровообращения в замкнутой сердечно-сосудистой системе была разработана намного позже; в начале XX века О. Франк предложил описывать кровеносную систему по аналогии с электрическими схемами, В дальнейшем эта модель получила развитие наряду с другими моделями течения крови [1,2],
В последние годы, в связи развитием численных методов решения задач гемодинамики и значительным увеличением производительности вычислительной техники, математическое моделирование стало играть важную роль в изучении кровеносной системы [1], Оно позволяет получать качественные и количественные характеристики течения крови в норме и патологии, выявлять закономерности функционирования кровеносной системы, прогнозировать последствия хирургических вмешательств и различных заболеваний. Все это обуславливает теоретическую и практическую ценность математического моделирования.
Сердечно-сосудистая система включает в себя сердце и множество сосудов артериального и венозного русла, различающихся размером, морфологией и функциями, поэтому построение ее полномасштабной математической модели является сложной задачей [1, 3]. К настоящему
5 времени существует большое число подходов к моделированию кровеносной системы, основанных на различных физических и физиологических законах и принципах.
Модели течения крови по сосудистому руслу. Модели течения крови можно разделить на стационарные и нестационарные. Стационарные модели позволяют получать усредненные по времени показатели течения крови, что во многих случаях является достаточным для оценки состояния системы кровообращения. Кроме того, решения стационарных уравнений могут использоваться, например, как тесты для проверки эффективности методики численного решения нестационарных уравнений [4]. Нестационарные модели также представляют практический интерес, поскольку одной из особенностей сердечно-сосудистой системы является нестационарный характер течения крови. Эта особенность учитывается при построении математических моделей в работах [3, 5-І I].
Модели течения крови также различаются по принципам и закономерностям, положенным в их основу. Широкое распространение получили модели прямой аналогии с электрическими схемами [1, 12]. В таких моделях напряжение и электрический ток служат аналогами давления и объемного кровотока. Каждый сосуд характеризуется сопротивлением и в электрической схеме представляется омическими сопротивлениями, конденсаторами и катушками индуктивности. Омическое, емкостное и индуктивное сопротивление моделируют гидравлическое сопротивление вязкого трения, упруго-эластические свойства стенок сосуда и инерционные свойства массы крови соответственно. Соединяя участки электрической схемы, представляющие отдельные сосуды, можно получить схему, описывающую кровеносную систему в целом. С математической точки зрения, такие модели представляются системами обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 12].
Другой подход заключается в том, что сосуды или группы сосудов представляются упругими резервуарами с сосредоточенными параметрами,
6 характеризующими их свойства. Сердечно-сосудистая система рассматривается как множество связанных между собой упругих резервуаров. Такие модели могут включать в себя различное число элементов- от двух до нескольких сотен резервуаров. Течение крови по сердечно-сосудистой системе описывается системой алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений, связывающих между собой величины давления и потоков крови в сосудах [12, 13].
Рассмотренные модели течения крови не требуют большого количества вычислений и позволяют исследовать гемодинамику в совокупности различных отделов сердечно-сосудистой системы, В то же время, такие модели позволяют получить лишь средние гемодинамические показатели [1].
Третий подход состоит в математическом описании системы
кровообращения нелинейными динамическими системами
дифференциальных уравнений, В различных фазах функционирование системы кровообращения описывается различными системами уравнений. Например, в работе [10] выделяются две основные фазы- систола и диастола. В основе этой модели лежит представление участков сосудистого русла в виде упругих резервуаров. В этой работе получены достаточные условия существования и единственности решения систем уравнений гемодинамики для некоторых базовых моделей течения крови, что представляет теоретический и практический интерес.
Наиболее полную информацию о течении крови по сосудам предоставляют двумерные [14-16] и трехмерные модели [1, 3, 17]. В основу таких моделей течения крови полагаются уравнения Навье-Стокса, а также может учитываться реология крови. В простейшем случае кровь рассматривается как несжимаемая ньютоновская жидкость.
При построении трехмерных моделей гемодинамики в жестких сосудах в качестве граничных условий на стенках сосуда обычно выбираются условия Дирихле для скорости [3]- При моделировании гемодинамики в эластичных сосудах уравнения течения крови дополняются уравнениями
7 движения стенок сосуда. Таким образом, решение поставленной задачи подразумевает решение уравнений Навье-Стокса в областях с подвижными криволинейными границами, что представляет известную сложность с точки зрения построения численного алгоритма [17, 18]. Также может учитываться биохимическое взаимодействие крови с тканями стенок сосуда, при этом к уравнениям Навье-Стокса добавляются уравнения диффузии [3].
Отличительной чертой многомерных моделей является их большая вычислительная сложность, поэтому в настоящее время они применяются для расчетов течения крови только в некоторых крупных артериях, а не во всей сердечно-сосудистой системе [3]. Это приводит к необходимости постановки корректных граничных условий на входе в моделируемый сосуд (или участок кровеносной системы) и на выходе из него.
Обычно граничные условия на входе в сосуд ставятся на основе данных клинических экспериментов, а на выходе из сосуда ставятся условия Неймана для нормальной компоненты тензора напряжения [3]. Еще одна возможность задания граничных условий - сопряжение трехмерной модели с моделями прямой аналогии с электрическими схемами или другими моделями. Это позволяет учесть такое важное свойство сердечно-сосудистой системы, как замкнутость, и параметры течения крови на выходе из моделируемого сосуда могут влиять на параметры гемодинамики на входе в сосуд [3, 17].
Как правило, длина сосуда достаточно велика по сравнению с его поперечным размером, а течение крови направлено преимущественно вдоль его оси. Это позволяет использовать квазиодномерное приближение, состоящее в том, что все величины зависят от одной пространственной координаты вдоль оси сосуда [11, 18-21]. Квазиодномерные модели передают основные закономерности течения крови по сердечно-сосудистой системе и, зачастую, требуют гораздо меньшего количества вычислений, чем многомерные модели.
При таком походе кровеносная система может быть представлена графом сосудов. Течение крови по каждому сосуду описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, отражающих законы сохранения массы и импульса, а упруго-эластические свойства стенок сосуда задаются уравнением состояния. Под уравнением состояния понимается зависимость площади сечения сосуда от давления и других физических и физиологических параметров.
Уравнение состояния может быть выбрано в соответствии с различными принципами. В работах [11, 19] рассматриваются сосуды с тонкими стенками, а уравнение состояния для них выбирается из условия статического равновесия в поперечном направлении тонкостенной эластичной трубки. В работе [19] также предлагается дифференциальное уравнение состояния, описывающее динамические перемещения стенки с учетом инерционных и вязкоэластичных свойств сосуда и продольных напряжений,
В работах [4, 5, 11] исследуются свойства системы уравнений гемодинамики в случае, когда площадь сечения сосуда зависит только от давления в сосуде. В частности, показано, что при условии положительности ее производной по давлению рассматриваемая система имеет гиперболический тип.
Особый интерес представляют анализ и решение системы линеаризованных уравнений гемодинамики, поскольку с их помощью можно детально изучить процесс распространения волн давления и скорости [4, 11]. Кроме того, точные решения можно использовать в качестве тестов для определения точности и надежности методики численного моделирования
[4].
Сложной математической задачей является построение гибридных
моделей кровеносной системы, в которых разные участки сосудистого русла
описываются различными методами. Так, например, магистральные артерии
могут быть описаны трехмерными моделями, менее крупные-
9 одномерными, а жгуты мелких сосудов - моделями прямой аналогии с электрическими схемами [1]. В работе [18] решена задача сопряжения модели кровеносной системы с сосредоточенными параметрами и одномерной модели одиночного сосуда, В работе [22] для описания дерева крупных сосудов выбрана одномерная модель, а совокупность мелких сосудов органов описывается с помощью двумерной модели. Преимущество такого подхода заключается в том, что он зачастую позволяет значительно снизить вычислительные затраты по сравнению с применением только многомерных моделей.
Одной из проблем моделирования кровеносной системы является отслеживание изменений многочисленных гемодинамических показателей в ходе вычислительных экспериментов и последующий анализ полученных результатов. Для решения этой проблемы и лучшего понимания картины течения крови используется визуализация результатов численных экспериментов средствами машинной графики. Например, при применении моделей с сосредоточенными параметрами полезно отображать временные развертки кривых давления, потока и скорости крови в интересующих сосудах [10]. При использовании квазиодномерных моделей обычно необходимо отображать временные и пространственные развертки этих кривых [23,24]-
Наибольшую сложность представляет визуализация картины течения крови при использовании трехмерных моделей. Для построения трехмерного изображения сосуда обычно применяется триангуляция в соответствии с методом конечных элементов. Визуализация трехмерных векторных величин может быть осуществлена методом отслеживания траекторий частиц. Часто рассматриваются двумерные изображения, полученные при сечении трехмерного объекта (сосуда) плоскостью. В выделенной плоскости могут быть отображены векторные поля или линии уровни гемодинамических величин [17].
В диссертации рассматривается нестационарная квазиодномерная модель гемодинамики, предложенная в работах [5-8]. Граф сосудов, представляющий кровеносную систему, состоит из ребер и вершин. Ребра соответствуют магистральным сосудам или жгутам мелких сосудов» вершины- сердцу, тканям или участкам сопряжения сосудов. Для проведения численных расчетов течения крови по графу сосудов авторами работ [5-8] был разработан программный комплекс Cardio Vascular System Simulation (CVSS).
Упруго-эластические свойства стенок сосудов существенно различны для разных типов сосудов, поэтому построение физиологически адекватного уравнения состояния является нетривиальной задачей. В диссертации рассматриваются как простейшая (кусочно-линейная), так и более сложные (нелинейные) зависимости площади сечения от давления в сосуде,
В диссертации изучаются свойства системы уравнений гемодинамики с уравнениями состояния, моделирующими действие регуляторных факторов. В соответствии с этим, автором были внесены изменения в предложенную модель течения крови, разностную методику решения задачи гемодинамики и комплекс программ CVSS.
Модели сердца. Важной задачей является построение модели сердца. Сердце обеспечивает поступление крови в систему и оказывает существенное влияние на картину течения крови. Геометрия сердца весьма сложна, а его работа характеризуется множеством параметров.
В первых моделях прямой аналогии с электрическими схемами сердце представлялось источником импульсов объемной скорости кровотока или давления, а клапаны- диодами- Также разрабатывались модели сердца в виде переменных электрических емкостей [1, 12, 13].
Позже модели сердца стали основывать на физиологических закономерностях, полученных в результате клинических экспериментов. Широкое распространение получили модели, в которых нагнетательная функция сердца выбрана в соответствии с законом Франка-Старлинга для
11 ударного объема [10, 12]. Также зачастую учитываются эмпирические соотношения между давлением и объемом желудочков [22].
Существуют модели работы сердца с фиксированным сердечным выбросом [25] и модели пульсирующего сердца [9, 10, 13, 26, 27], Последние позволяют более реалистично воспроизвести картину течения крови в организме человека. При этом нельзя отрицать практическую значимость моделей с фиксированным сердечным выбросом, поскольку во многих клинических экспериментах контролируют средние за сердечный цикл показатели [2].
Сократительная деятельность миокарда в некоторых работах описана с помощью предложенной Хиллом механической модели мышцы. При этом мышечные волокна стенок желудочков сердца представляются с помощью сократительных и эластичных элементов. Согласно современным представлениям, уравнение Хилла не отражает в полной мере сложные физико-химические процессы, лежащие в основе сокращений миокарда. Поэтому для описания движения полосок мышечной ткани используются модификации уравнения Хилла, например, уравнения Фунга и Бенекена, Также при разработке моделей учитываются химические процессы, обеспечивающие сокращение миокарда [2, 12, 26, 28].
Для детального исследования гемодинамики, механики и биохимии сердца применяются двумерные и трехмерные модели сердца. В основу таких моделей [27, 29] обычно положены уравнения Навье-Стокса течения крови, уравнения, описывающие деформацию и перемещение стенок сердца и установленные биофизические закономерности.
Еще один подход к моделированию работы сердца- представление его камер в виде системы связанных между собой резервуаров с эластичными стенками [20]. Для описания течения крови в сердце при этом используются осредненные по объему уравнения движения в камерах и уравнения, выражающие закон сохранения массы. Работа клапанов описывается
12 формулами Пуазейля (если клапаны открыты) или условием отсутствия потока крови через клапаны (если они закрыты).
Геометрия сердца может быть описана разными способами, и, в зависимости от целей моделирования, варьируется число рассматриваемых камер сердца. При моделировании малого и большого кругов кровообращения целесообразно рассматривать четырехкамерное сердце [13, 20].
Функционирование сердца зависит от многих факторов, прежде всего, от условий притока и оттока крови [9, 12]. Во многих работах учитывается влияние на деятельность сердца центральной нервной системы (ЦНС) [10, 13, 30] и концентрации химических веществ в крови [10, 13].
В диссертации изучается кровообращение только в большом круге, поэтому рассматриваются модели двухкамерного сердца. Сердце представляет собой насос, обеспечивающий поступление крови в систему сосудов. На выходе из сердца задается зависимость потока крови или давления по времени. В работе используются модели не полностью и полностью замкнутой системы кровообращения. Последняя, в отличие от модели не полностью замкнутой системы, позволяет поддерживать постоянство общего объема крови, что принципиально важно для воспроизведения реалистичной картины течения крови. Объем крови поддерживается постоянным за счет регуляции работы сердца в зависимости от наполнения желудочка кровью. В диссертации также учитывается влияние ЦНС на работу сердца.
Модели регуляции кровообращения. Особенностью гемодинамики является наличие сложной системы регуляции кровообращения, направленной на адаптацию как к локальным, так и системным изменениям гемодинамики [31, 32]. К основным механизмам регуляции кровообращения относятся механическая, метаболическая и нейрогенная регуляция [32, 33]. С одной стороны, для реалистичного воспроизведения процессов течения крови необходимо учитывать действие перечисленных факторов. С другой
13 стороны, многие аспекты регуляции кровообращения еще не изучены окончательно, а известные физиологические концепции более сложны, чем существующие математические модели [2]. Поэтому построение и исследование моделей компенсаторных механизмов представляет теоретический и практический интерес.
Механическая ауторегуляция впервые описана А. Остроумовым (1876) [31], а затем детально изучена Бейлиссом (1902, 1923) [34, 35]. Она выражается в рефлекторном сужении или расширении мышечного слоя сосудистых стенок некоторых мозговых артерий в целях поддержания постоянного кровотока [33].
При построении моделей течения крови по аналогии с электрическими схемами действие ауторегуляции обычно моделирует путем изменения сопротивления участков схемы в зависимости от давления и потока крови [2, 36], В ряде работ ауторегуляция моделируется с помощью механизмов обратной связи, реагирующих на отклонение текущей величины кровотока от заданной величины [37], Некоторые авторы исследуют совместное влияние механической и метаболической регуляции [36].
Нейрогенная регуляция позволяет организму быстро и эффективно адаптироваться к резким изменениям условий функционирования, связанным с изменениями объема крови, сердечного выброса или периферического сопротивления [32]. Принципиально она осуществляется следующим образом: сигналы о кровяном давлении поступают в ЦНС от нервных окончаний (рецепторов), находящихся в аорте и крупных сосудах. С целью компенсации изменений давления ЦНС оказывает влияние на тонус периферических сосудов и на работу сердца [32, 38].
Действие нейрорегуляции в некоторых работах моделируется контуром с отрицательной обратной связью по артериальному давлению. При этом может учитываться не только величина изменения давления, но и скорость его изменения во времени, что отражает реальные физиологические процессы [12],
Широко применяются модели нейрорегуляции, построенные по принципу нейронных сетей, с помощью которых формируется величина нервного фактора [10, 39]. Эта величина оказывает влияние на частоту сокращений сердца, сокращаемость желудочков, проводимость и упругость ряда участков сосудистого русла [10].
Еще одно направление моделирования регуляции кровообращения -учет взаимовлияния процессов, протекающих в нескольких физиологических системах, К настоящему времени разработаны модели, в которых кровообращение зависит от дыхания, метаболизма, энергообмена [12, 20]. Так, в работе [20] легочное и системное кровообращение моделируется с учетом движения воздуха в дыхательной системе. При этом модель движения воздуха в трахейно-бронхиалыюй части дыхательной системы аналогична предложенной в этой же работе квазиодномерной модели гемодинамики.
В настоящей диссертации предложены новые модели механической и нейрогенной регуляции и разработан алгоритм их численной реализации. Механическая ауторегуляция моделируется путем изменения площади сечения сосуда для поддержания заданной величины кровотока, С этой целью проведена модификация уравнения состояния, и изучены свойства системы уравнений гемодинамики с предложенным уравнением состояния.
Предполагается, что механизм нейрорегуляции реагирует на отклонение среднего артериального давления от заданной величины. Действие нейрорегуляции на тонус периферических сосудов, заполненность тканей кровью и частоту сокращений сердца воспроизводится путем изменения параметров модели кровеносной системы. Для описания этих эффектов автором разработаны соответствующие нелокальные модели.
Для исследования влияния систем регуляции на кровообращение автором был проведен ряд вычислительных экспериментов. Результаты этих экспериментов обсуждаются ниже.
Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения, содержит 81 рисунок, 12 таблиц. Библиография насчитывает 58 наименований.
Во введении приведен обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы результаты, которые выносятся на защиту.
В первой главе, состоящей из 3 параграфов, предложено математическое описание графа сосудов головного мозга, сопряженного с большим кругом кровообращения, и разработана модель механической ауторегуляции.
В первом параграфе ставится задача гемодинамики в квазиодномерном приближении. Для описания течения крови по системе сосудов головного мозга построен подробный граф церебральных сосудов, сопряженный с большим кругом кровообращения. Параметры сосудов артериальной части головного мозга согласоваЕіи со средне-нормальными параметрами соответствующих сосудов здорового человека. Параметры остальных сосудов выбраны эффективным образом так, чтобы обеспечить необходимый объем крови в системе и перепад давления на участке от сердца до тканей.
Предлагается математическая модель механической ауторегуляции. Свойства сосудов, подверженных действию ауторегуляции, описываются уравнением состояния, в котором площадь поперечного сечения зависит от скорости течения крови и величины поддерживаемого кровотока. Система уравнений гемодинамики для таких сосудов состоит из интегрируемых уравнений. Далее в параграфе исследуются свойства системы уравнений гемодинамики в общем случае, когда площадь поперечного сечения зависит от двух переменных- давления и скорости крови- Получены достаточные условия гиперболичности этой системы уравнений.
Во втором параграфе рассматривается численное решение задачи гемодинамики. В работах [24] и [40] для решения этой задачи предлагаются две разностные схемы; схема с использованием набора осредненных
16 элементов и схема с аппроксимацией "через точку". В этих работах исследуются свойства предложенных схем - погрешность аппроксимации и устойчивость вблизи стационарного фона. В данной работе в предложенные разностные методики внесены изменения, необходимые для учета действия механической ауторегуляции. Соответствующие изменения внесены в программный комплекс CVSS.
В третьем параграфе рассматривается течение крови в стационарном режиме, то есть, при задании постоянного сердечного выброса или постоянного давления в начале восходящего отдела аорты. Сначала исследуется установившееся течение крови в правильно сформированной системе сосудов головного мозга при средне-нормальных параметрах сосудов, С полученной картиной течения в норме впоследствии сравниваются результаты расчетов течения крови в различных условиях, С помощью вычислительных экспериментов показано, что действие механической ауторегуляции на гемодинамику в норме не проявляется, что соответствует физиологическим представлениям.
Далее рассматривается имеющая практическую значимость задача о последствиях окклюзии магистральных артерий головы, возникающих при патологии сосудов головного мозга или в результате хирургических вмешательств. Проводится оценка изменения кровоснабжения тканей головного мозга при окклюзиях. Исследуется роль резервных путей кровообращения (Виллизиева круга и системы коллатералей) в компенсации кровоснабжения тканей головного мозга. Показано, что преимущественную роль в компенсации кровоснабжения тканей играют коллатерали.
Рассматривается действие механической ауторегуляции в условиях окклюзии магистральных артерий головы, С помощью вычислительных экспериментов показано, что роль этого фактора в компенсации кровоснабжения тканей является второстепенной,
В заключение третьего параграфа исследуется влияние механической ауторегуляции при изменениях артериального давления. Как следует из
17 результатов проведенных расчетов, ее действие в случае повышенного давления в аорте приводит к снижению давления и потока на тканях мозга. При понижении давления в аорте действие механической ауторетуляции на течение крови в тканях практически не проявляется. В этом случае компенсация кровоснабжения тканей осуществляется за счет других регуляторных механизмов - метаболической и нейрогенной регуляции.
Вторая глава, состоящая из 2 параграфов, посвящена математическому моделированию церебральной гемодинамики с периодически сокращающимся сердцем.
В первом параграфе рассматриваются различные модели работы двухкамерного сердца- Для моделирования не полностью замкнутой системы кровообращения задается периодическая функция сердечного выброса, график которой приближает экспериментальную кривую. В такой модели потоки крови из желудочка сердца в аорту и из предсердия в желудочек сердца не связаны между собой, и общий объем крови в системе не обязан быть постоянным.
Развитием такой модели является модель замкнутой системы кровообращения, обеспечивающая постоянство общего объема крови в системе. Величина текущего объема крови в желудочке сердца является переменной и зависит от картины течения крови в системе сосудов. Модель содержит элементы регуляции работы сердца. Если текущий объем крови в желудочке превысит максимально допустимую величину, диастола прекратится, и начнется систола. Если текущий объем станет меньше минимально допустимой величины, систола прекратится, и начнется диастола.
Функция сердечного выброса в такой модели является квазипериодической и зависит от величины ударного объема, то есть, количества крови, выбрасываемого в аорту за сердечный цикл, В диссертации построены две модификации модели замкнутой системы кровообращения: модель с постоянным ударным объемом и модель, в
18 которой ударный объем пропорционален конечнодиастолическому. Последняя модель отражает закон Франка-Старлинга.
Далее описывается модель резистивных сосудов, располагающихся перед тканями и играющих основную роль в снижении давления на пути от сердца до тканей. Резистивы включены в рассматриваемый граф сосудов.
Во втором параграфе исследуется влияние предложенных моделей на гемодинамику. С помощью вычислительных экспериментов показано, что картина течения крови в норме является физиологически адекватной. Следует отметить, что результаты расчетов по всем построенным моделям в норме практически совпадают.
Изучается роль основных параметров работы сердца: величины ударного объема, продолжительности систолы и сердечного цикла. При варьировании перечисленных параметров в физиологически разумных пределах показано, что наибольшее влияние на гемодинамику оказывает величина ударного объема и продолжительность сердечного цикла.
В заключение параграфа рассматривается задача о последствиях окклюзии магистральных артерий в условиях пульсирующего потока крови. Модель периодически сокращающегося сердца позволяет получить детальную картину изменения течения крови в тканях по времени. Проводится оценка кровоснабжения тканей, и изучается течение в резервных путях кровообращения. Как и в случае фиксированного сердечного выброса, можно сделать вывод о том, что основную роль в компенсации кровоснабжения тканей играют коллатерали.
Третья глава, состоящая из 3 параграфов, посвящена математическому моделированию сердечно-сосудистой системы в условиях действия нейрогенной регуляции.
В первом параграфе приводится медико-физиологическое описание механизма нейрорегуляции артериального давления. Предлагаются модели ее влияния на тонус периферических сосудов, заполненность тканей кровью и продолжительность сердечного цикла. При повышении давления тонус
периферических сосудов снижается, то есть, сосуды становятся более мягкими и увеличивается площадь их поперечного сечения. Изменение тонуса осуществляется за счет изменения параметров уравнения состояния по сравнению с начальными значениями. Предполагается, что параметры уравнения состояния линейно зависят от отклонения давления в сосуде с барорецепторами.
Ткани в организме человека пронизаны капиллярами, в норме часть капилляров (около двух третей) заполнена кровью. При повышении давления возрастает число капилляров, заполненных кровью, и в результате увеличивается поток крови через ткани. Моделирование описанного эффекта осуществляется путем изменения коэффициента фильтрации Дарси.
При повышении давления за счет действия нейрорегуляции возрастает продолжительность сердечного цикла. При понижении давления развиваются обратные процессы.
Для сосудов, подверженных действию нейрорегуляции, площадь поперечного сечения зависит от двух переменных (давления в сосуде и давления в сосуде с барорецепторами). Исследуются свойства системы уравнений гемодинамики для таких сосудов. В диссертации получен вид производной от площади сечения по среднему давлению в сосуде с барорецепторами, и найдены условия ее существования и положительности. Также получены достаточные условия положительности производной от площади сечения по давлению в сосуде.
Второй параграф посвящен модификации разностной схемы с аппроксимацией "через точку11 для учета действия нейрорегуляции. Рассматриваемая разностная схема представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений, решаемых методом Ньютона. На каждой итерации требуется решать линеаризованные разностные уравнения неразрывности и движения. Для сосудов, подверженных влиянию нейрорегуляции, эти разностные уравнения модифицируются.
В третьем параграфе исследуется влияние нейрорегуляции в норме и при кратковременных изменениях артериального давления. Повышение и понижение артериального давления моделируется путем повышения или понижения ударного объема. После окончания периода изменения ударного объема возобновляется расчет по модели, в которой ударный объем пропорционален конечнодиастолическому.
С помощью вычислительных экспериментов продемонстрировано, что действие нейрорегуляции в норме не проявляется. Показано, что при повышении ударного объема эффект нейрорегуляции позволяет значительно снизить пиковое систолическое давление в аорте и среднее давление в аорте и периферических резистивных сосудах. При понижении ударного объема наблюдаются обратные процессы.
Продемонстрировано, что при возврате гемодинамики в норму в условиях действия нейрорегуляции наблюдаются колебания артериального давления. Согласно клиническим исследованиям, быстрые сосудистые реакции происходят с колебаниями давления, подобными колебаниям, наблюдаемым в вычислительных экспериментах. Таким образом, построенная модель реалистично воспроизводит гемодинамические процессы, протекающие в организме при компенсировании изменений давления,
В Приложении исследуются некоторые физиологические гипотезы: гипотеза о влиянии церебральной гемодинамики на циркуляцию ликвора между головным и спинным мозгом и гипотеза о влиянии нейрогенной регуляции на возникновение волн Майера.
Существует гипотеза, подтверждаемая данными рентгенологических исследований [41, 42], что течение спинно-мозговой жидкости (ликвора) между головным и спинным мозгом определяется пульсацией крови в сосудах головного мозга, В диссертации эта гипотеза подтверждается без построения модели течения ликвора. С помощью модели пульсирующего сердца проведена оценка изменения суммарного объема крови в сосудах
21 головного мозга за один сердечный цикл. Полученное значение совпадает с данными клинических экспериментов [41, 42] о количестве циркулирующего за сердечный цикл ликвора.
Вторая рассмотренная гипотеза состоит в следующем: в клинической практике наблюдаются колебания артериального давления, происходящие с частотой более низкой, чем частота дыхания (около 0,1 Гц [32]). Такие колебания называются волнами Майера, и, согласно [43], они связаны с барорефлекторной регуляцией тонуса сосудов. В диссертации изучается действие неироретуляции при повышении давления в течение нескольких десятков секунд. Показано, что при одних значениях параметров модели, связанных с регуляцией тонуса сосудов, течение крови является периодическим. При других значениях возникают колебания амплитуд давления, происходящие с частотой, близкой к частоте волн Майера.
Основные результаты диссертации состоят в следующем:
В диссертации построено физиологически адекватное математическое описание графа сосудов головного мозга, сопряженного с большим кругом кровообращения. Разработаны математические модели систем регуляции артериального давления: механической ауторегуляции и нейрогенной регуляции. Для описания действия нейрорегуляции разработаны нелокальные модели, отражающие физиологические процессы изменения тонуса периферических сосудов, заполненности тканей кровью и частоты сокращений сердца.
Разработан и внедрен в систему CVSS численный алгоритм реализации построенных математических моделей.
На основе вычислительных экспериментов исследовано влияние регуляторных факторов на работу сердечно-сосудистой системы. С помощью вычислительных экспериментов проведена оценка кровоснабжения тканей головного мозга в норме и патологии, исследованы некоторые физиологические гипотезы.
Основные результаты опубликованы в работах [9, 25, 30, 33, 44, 45, 46] и докладывались:
на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова;
на научной конференции 'Тихоновские чтения'1 (Москва, МГУ им. МБ. Ломоносова, ВМиК, 2005 г);
на научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004 г);
на третьей всероссийской школе-конференции по физиологии кровообращения (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, ФФМ, 2004).
Автор выражает благодарность научному руководителю к.ф.-м.н. СИ, Мухину за внимание к работе, д.ф.-м.н. АЛ. Фаворскому, к.ф,-м.н. Н.В, Соснину и д.б.н. В.Б. Кошелеву за постоянную поддержку и ценные рекомендации в процессе работы.
Свойства системы уравнений гемодинамики для сосуда, подверженного действию механической ауторегуляции
Исследуем свойства системы уравнений гемодинамики для сосуда, подверженного действию механической ауторегуляции, при условии, что давление р в сосуде принадлежит интервалу (Ро ,Р\). Поскольку площадь сечения такого сосуда S = Qnu!/u, то d{Sn)jdx = dQnu!jdx-0. Отсюда получим, что первое уравнение системы (1.1.1) можно записать в виде: d(LA)_n я /я, п т и, что равносильно уравнению aujot = U. Таким образом, система уравнений (1.1.1) для сосуда, подверженного действию механической ауторегуляции, преобразуется в систему интегрируемых уравнений: и,-О [и2І2 + рІр)х=-%жт2ідпу Однородная система уравнений гемодинамики для сосудов такого типа и, = О имеет вид: р/2 + р/р1 = 0.
Второе уравнение однородной системы отражает закон сохранения интеграла Бернулли вдоль сосуда, подверженного действию механической ауторегуляции. Площадь сечения в уравнении состояния для сосуда, подверженного действию механической ауторегуляции, зависит не от давления р в сосуде, а от скорости течения крови и: S - 5(и). Обобщим это уравнение состояния на случай, когда площадь сечения зависит от двух переменных: S-S(p,u), и исследуем свойства системы уравнений гемодинамики (1.1.1) с уравнением состояния S = S(p,u), Эту систему можно переписать в виде: врг + fmt + Sux + вирх + /ших = О U[+m +Lp F , (1.1.6) Р где ц-dSldu. В работе [4] была исследована аналогичная система с уравнением состояния вида (1.1.2), т.е. при /л = 0.
В данной работе рассмотрим следующие два случая: 1) Пусть М О, 0ФО. Тогда систему уравнений (1.1.6) можно переписать в виде: Отсюда следует, что рассматриваемая система уравнений гемодинамики имеет гиперболический тип и обладает двумя семействами действительных характеристик, определяемых соотношениями: dx/dt = Х]2.
В работе [4] для сосудов, уравнение состояния которых имеет вид (1.1.2), было получено значение собственных чисел матрицы системы уравнений гемодинамики: ХХЛ=и±с. Очевидно, что при р 0 выполняются неравенства Xl Al, / = 1,2. Выясним, как связаны Xi и Я,, i=l, 2 в случае, если р 0. Неравенство Л, равносильно неравенству JS 1{вр) -J//2 /(4ф5) +1 - и 1{рв) д/5/(ф), которое в свою очередь равносильно неравенству Поскольку выражения в обеих частях последнего неравенства положительны при р О, возведем их в квадрат и получим равносильное неравенство р21(4epS) + \ [ + 2p/ [epS + р2 /(OpS). Поскольку 0 2/// +3//2/(46Jc),то Х \.
Неравенство Х2 Х2 равносильно неравенству которое в свою очередь эавая часть равносильно неравенству p2/(48pS) + l \-p/fi№p. Если прг полученного неравенства отрицательна, Я2 Л2. В противном случае возведем обе части этого неравенства в квадрат и получим что равносильно неравенству 2p/ 3p2/(4ePS). Так как, по предположению, 1-/// 6 0, то 1 3p/(&-j0pS) и Л2 12. Таким образом, при р 0 выполняются неравенства Лі Л.,., / = 1,2.
2) Перейдем к рассмотрению случая р О, 0 = 0. Например, такими свойствами обладают сосуды, подверженные действию механической ауторегуляции, при условии, что давление р в сосуде принадлежит интервалу (Ро ,Р]). Систему уравнений (1.1.6) можно записать в следующем виде: \ри, + {pu + S)ux =0 (S/p)ux + pxlp = Fm/
Характеристика первого уравнения определяется соотношением: dxl dt = и +SI p , а второе уравнение не содержит производных по времени, и, тем самым, отличается по типу от системы (1.1.1) с уравнением состояния (1Л .2) и системы (1.1.7).
Численное решение разностной задачи гемодинамики
Для решения системы уравнений гемодинамики (1.1.1) в данной работе применяются две разностные схемы- разностная схема с использованием набора осредненных элементов [40] и разностная схема с аппроксимацией "через точку" [24].
С целью учета влияния механической ауторегуляции на гемодинамику, в разностные методики, предложенные в работах [24] и [40], и в комплекс программ CVSS потребовалось внести изменения.
Рассмотрим произвольный сосуд. На отрезке [0, L], являющемся областью изменения независимой переменной х для данного сосуда, введем равномерную дискретную сетку с шагом h. Узлы дискретной сетки , пронумеруем в порядке возрастания значений переменной х (/ = 0, 1, ..., Ушах) Отрезок времени 0 t T, на котором рассматривается решение задачи, также разобьем на конечное число интервалов, т.е. введем равномерную сетку по временной переменной t. Шаг сетки по времени обозначим г.
Исследование последствий окклюзии магистральных артерий головы
Одной из актуальных проблем хирургического лечения стенозирующей и окклюзирующей патологии магистральных артерий головы, а также эндоваскулярной деко негру ктивной хирургии гигантских аневризм внутренней сонной артерии является предоперационная оценка возможностей коллатерального кровообращения. На основании данных о возможностях компенсации мозгового кровообращения выбирается тактика дальнейшего лечения, планируются как последовательность хирургических вмешательств (при сочетанной патологии магистральных артерий головы, превентивное создание дополнительных экстра-интракраниальных анастомозов), так и сами хирургические вмешательства (использование временного внутрипросветного шунта). В настоящее время в клинической практике для оценки резервов коллатерального кровообращения и толерантности к окклюзии используются ультразвуковые методы (транс краниальная допплерография, дуплексное сканирование), электроэнцефалография (пробы Матаса), церебральная оксиметрия. Однако данные этих исследований не дают полного представления об изменении гемодинамики в сосудах головного мозга.
Для качественной оценки возможностей основных путей коллатерального кровоснабжения была проведена серия расчетов по моделированию изменения кровоснабжения тканей мозга при окклюзии различных участков магистральных артерий головы. Для описания топологии и свойств сосудистой системы головного мозга в качестве исходного был выбран граф, соответствующий замкнутому Виллизиеву кругу с гипоплазией передней и задних соединительных артерий и хорошо развитой системой корковых анастомозов. В качестве точек окклюзии (пережатия) были выбраны наиболее часто встречающиеся участки временной или постоянной окклюзии магистральных артерий головы во время реконструктивных и эндоваскулярных деконструктивных операций. Ниже приведены характеристики проведенных расчетов: Расчет 1: расчет течения крови в норме; Расчет 2: при окклюзии ППГА; Расчет 3: при окклюзии ВСА1 правой; Расчет 4: при окклюзии ВСА2 правой; Расчет 5: при окклюзии ОСА левой; Расчет 6: при окклюзии ВСА1 левой; Расчет 7: при окклюзии ВСА2 левой; Расчет 8: при окклюзии ЛПКА; Расчет 9: при окклюзии ППКА.
Расположение точек окклюзии на графе представлено на рис. 1.3.10, номера точек окклюзии соответствуют номерам расчетов.
На рис. 1.3.11-1.3.12 показаны потоки через ткани головного мозга и в сосудах Виллизиевого круга, а на рис. 1.3.13- потоки в сосудах коллатерального кровообращения для каждого из проведенных расчетов 1-9. На этих диаграммах столбцы в каждой группе расположены в порядке возрастания номеров расчетов (первый столбец - норма).
Анализ диаграмм позволяет сделать ряд выводов. Прежде всего, отметим, что система резервного коллатерального кровообращения обеспечивает достаточно хорошую компенсацию потоков крови через ткани мозга (рис. 1.3.11). В среднем дефицит потока находится в пределах 2-3%. Максимальное падение потока на тканях не превышает 5%, что наблюдается при пережатиях ППГА, ОСА левой и ВСА2 правой и левой (расчеты 2, 5, 4 и 7 соответственно).
В расчетах 2, 5, 4 и 7 аыбор точек оккдюган ІТОЛ-HOOTUO исключает ЇТЇ путей возможного коллатерального кровоснабжения кАротнджь офгаяшйчоекнй аішс-томоа, образованный конечными ветвями наружной сонной артерии (НСАЗ) и :"!а;;ки Н;Ои артерией (ГА). В расчетах 2, 5 окклюзия, производится до отхождешш наружной сонной артернж в расчетах 4. - ПОСІК- отхождоииа пшшг шой артерик от аоугржвей сонной арчер ш.
При сохранения каротндно-офталъ шческвдо анастомоза (расчет 3 -іережзт ;жетракравшо=й.нь;к сегмент оравой ВСА. расчет 6 - передач
кстра:сраниальнык сегмент ЛЄІІОЙ ВСЛ) падение потоков на тканях не прсвыд-ает 2%. Таким образом, в данном случае 5Тро исходит компенезша недостаточности мозгового кровоснабжения за счет бассейна наружной сонной артерии через ;чіроткдночш)-іЗльмнчеекяЙ анастомоз, вте соответствуй-! данным медипижчснх исследований
В ра.счета: S а 9 пзденис ПОТОКОВ на ткалях не ІЇРЄІЇЬЇІПІЗЄІ- 2% относительно исходного кровотока по подоночным артериям. При этом наблюдаєтс-я нзмеяевяе направления потока по аозвоиочкой артерии с обкрадыванием тісаней, К-Ю80еиабжеиие которых осуществляется вертсбро-багияярїшм бассейном {ткани бассейна ЗМА). Незначительное падение кроыпока объясняется как коллатеральным кровообращением иерез корковые анастомозы (МРА), так и компенсацией за счет противоположной позвоно-тной артерии. Воспроизведенный В численном эксперименте эффект широко известен в неврологической хпхтктике и описан а литературе под названием нозаоночтюлюдклюнн шого обкрадывания или "steal" -синдрома.
На. рас. 1.3J 2 показаны потоки и Видлттзиевом круге. При проведении расчетов вхпользовадея .сраф, coo t вегехау юшин недостаточно сформированному Видлиаиезу кругу с лтпоплааией передней и задних соединительных артерий. В с&язв с :т-т ВИДНО ЧТО ПОТОКИ В передней соединительной и задних соединительных артериях либо отсутствуют, либо очень малы, из чего следует, что эти артерии не участвуют в компенсации кровотока. В ВСАЗ,4 левой при окклюзии ВСА1, 2 левой (расчеты 6, 7) происходит практически полное прекращение кровотока, а при окклюзии ППГА (расчет 2) поток возрастает в 3 раза. В ВСАЗ, 4 правой при окклюзии ОСА левой (расчет 5) поток увеличивается в 2 раза, а при окклюзии ППГА и ВСА2 правой падает до 0,2-0,6 мл/с. В Р1 правой и левой наибольшее увеличение кровотока (в 1,5-2 раза) наблюдается при окклюзии ОСА левой, а при окклюзиях ЛПКА и ПИКА (расчеты 8 и 9) кровоток падает на 40%.
Как видно из рис. 1.3.13, наибольшие изменения кровотока по отношению к норме наблюдаются в артериях МРА, AAA, АММ и АРР, соответствующих корковым анастомозам. Следовательно, в данном случае, именно они обеспечивают компенсацию снабжения тканей мозга в данной конфигурации графа при данных параметрах сосудов. В правой МРА происходит существенное увеличение кровотока (в 10 раз) при окклюзии ППГА и правой ВСА2 (расчеты 2 и 4). Аналогично, в левой МРА поток увеличивается (в 15-30 раз) при окклюзии ППГА и ОСА левой (расчеты 2 и 5). В 6-14 раз изменяется поток в АММ в расчетах 2, 4, 5, 6, 7, причем максимальное увеличение соответствует расчетам 2 и 5 (окклюзии ППГА и ОСА левой). В AAA и АРР кровоток возрастает в 15 раз при окклюзиях ППГА и ОСА левой, и в 7 раз при окклюзиях ВСА1,2 левой и правой. При окклюзии ЛПКА и ППКА поток в МРА возрастает примерно в 7 раз.
Модели полностью замкнутой системы кровообращения
Для моделирования большого круга кровообращения достаточно рассматривать модель двухкамерного сердца. В данной главе исследуется влияние различных моделей периодически сокращающегося двухкамерного сердца на течение крови в головном мозге. Первой целью является получение картины течения крови в норме. Такую картину можно использовать в качестве базовой для дальнейших этапов математического моделирования. Второй целью является изучение последствий окклюзии магистральных артерий головы при работе сердца в периодическом режиме. При этом производится сравнение полученных результатов с результатами аналогичных расчетов, описанных в главе 1 и проведенных в условиях фиксированного сердечного выброса. Третья цель- изучение влияния различных параметров модели функционирования сердца (частоты сокращений, величины ударного объема, продолжительности систолы) на церебральную гемодинамику.
Еще одной целью является проверка гипотезы о влиянии церебральной гемодинамики на циркуляцию епшшо-мозговой жидкости (ликвора) между головным и спинным мозгом. Об этой задаче подробно рассказывается в Приложении. Рассмотрим модель не полностью замкнутой системы кровообращения с периодически сокращающимся сердцем [9, 23]. Эта модель состоит в следующем: график функции сердечного выброса приближает экспериментальную кривую; Из формулы (2.1.1) следует, что поток крови из сердца за период равен ЧьоЄ-D
Функция (2.1.1) задается в качестве граничного условия в вершине 80 графа (рис. 1.1.3) и моделирует работу желудочка сердца. В качестве второго граничного условия в вершине 93, соответствующей предсердию, задается постоянным давление р9} = р = const. В такой модели сердца система круга кровообращения является не полностью замкнутой, поскольку поток крови из желудочка не зависит от потока крови в предсердии, и общий объем крови в системе, вообще говоря, не обязан быть постоянным. Развитием такой модели является самосогласованная модель сердца, в которой обеспечивается постоянство суммарного объема крови в системе, т.е. полная замкнутость системы кровообращения.
Рассмотрим самосогласованную модель сердца [9, 55]. Предсердие сердца представляет собой депо крови, которая поступает в желудочек во время диастолы. Предсердие лишено клапанов на участке его сопряжения с венозной частью, поэтому роль предсердия во время систолы желудочков в исследуемой модели будет выполнять участок вены, непосредственно примыкающий к желудочку. Вершину 93, таким образом, сопоставим точке (клапанам) соединения предсердия и желудочка. Следовательно, поток крови во время систолы в вершине 93 будет отсутствовать- Q{t) = 0.
Во время диастолы кровь из предсердия под действием градиента давления поступает в желудочек, поэтому в вершине 93 достаточно задать величину p(t). В простейшем случае эту величину можно задать константой. Величина давления в предсердии, т.е. в последней точке сопоставленной ему вены, является расчетной и определяется, вообще говоря, течением во всей системе, По окончании диастолы в желудочке сердца накапливается некоторое количество крови, которое далее во время систолы выбрасывается желудочком в аорту, и сердечный цикл заканчивается. Заметим, что желудочек в норме выбрасывает порядка 50% накопленной в нем крови. В рассмотренной модели величина объема крови, накапливаемая в желудочке во время диастолы, является переменной и зависит от общей картины течения во всей системе. В частности, накопленной в сердце крови может не хватить для выброса нормы ударного объема желудочка. В этом случае в модель необходимо вводить факторы регуляции параметров работы сердца для нормализации сердечного выброса. Таким образом, можно предложить следующую простейшую принципиальную схему самосогласованной модели сердца.
Модель изменения степени заполненности тканей кровью под влиянием нейрорегуляции
Рассмотрим построение модели изменения степени заполненности тканей кровью в зависимости от величины Ф ДО [44]. Если величина фЬвг положительна, что соответствует случаю повышения давления в BCAI, то число капилляров, заполненных кровью, возрастает, и происходит увеличение потока крови через ткань. Напротив, отрицательное отклонение ФьагО), соответствующее случаю понижения давления в ВСА1, влечет за собой уменьшение числа капилляров, заполненных кровью, и в результате приводит к уменьшению потока крови через ткань.
В терминах принятой в данной работе математической модели описанный эффект соответствует изменению коэффициента фильтрации
Дарси kD, так как в вершинах графа, соответствующих участкам фильтрации крови через мышечную ткань или отдельные органы, предполагаются выполненными закон сохранения массы и закон фильтрации S}u{ =kD(p] -р2) (см. 1Л). В связи с этим, для увеличения потока крови через ткань следует увеличить коэффициент Дарси, н наоборот.
В данной работе предполагается, что на каждом из интервалов рЬоґ -Д и 8pbar Д величина kD постоянна, а на отрезке - А 8рЬйГ Д она изменяется линейно. Изменение коэффициента kD производится по следующей формуле [44]: h = (14- , ) , -A SPbar A. (злл) Здесь до - значение коэффициента фильтрации Дарси в начальный момент времени, fctis - параметр, характеризующий диапазон изменения kD; минимальное и максимальное значения kD составляют (1 - tctis )Д[ и (1 i-Kris)kD0. В данном разделе приведем описание математической модели влияния нейрорегуляции на продолжительность сердечного цикла tpfd [30]. В данной работе предполагается, что на каждом из интервалов 5pbar -Аи Spbar А величина tprd постоянна, а на отрезке - Д 5pbar Д она изменяется линейно. Продолжительность сердечного цикла tprd определяется по следующей формуле:
Необходимо заметить, что уравнение состояния для сосудов, подверженных действию нейрорегуляции, в отличие от уравнения в системе (1Л.1), зависит уже не от одной переменной, а от двух: S S(p,p d(t))t Это обстоятельство необходимо учитывать как при аналитическом исследовании свойств системы уравнений гемодинамики, так и при численной реализации.
Опишем изменение вида уравнения неразрывности системы (1.1.1) для сосудов, подверженных действию нейрорегуляции, по сравнению с обычными сосудами. Для сосудов, не изменяющих свой тонус под действием регуляторных факторов, уравнение неразрывности имеет следующий вид:
Найдем условия, при которых в периферических сосудах, меняющих тонус под действием нейрорегуляции, выполнено неравенство dSIdp 09 что является физиологически адекватным. Для таких сосудов производная dS/dp имеет вид dS/Зр-в \
Очевидно, что Smax - 5ІПІП - SnnJQ - mfn 0 0 , Поскольку на интервале ( 2КРГ ] , то для того -A Spbar A Ашх-Апіп =(Pmax,0 /W) 1 Т" Рсред Рbar) \ А ) чтобы dS I dp была положительной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось неравенство 1— т Рыг 0. При крг 0,5 данное неравенство выполнено, и 3S /8р 0. Аналогично, при крг 0,5 на интервале $pbar A dS і dp 0, поскольку pm - рш = (р - п,о)0"2 г) 0. На интервале фЬаг -Д рпих - р а = (/Wo - Лліп.оХ1 +1кРг) - Таким образом, условие к 0,5 является достаточным для положительности dS/dp.
Учитывая введенные обозначения, площадь сечения можно представить в виде суммы двух функций - fx и f2. Здесь /і = й - ф&д/. + Z линейная функция, а /2 является дробно-линейной J г - с при (e-d / f) 0 или константой (/2 = cdl f) в противном случае. Если функция /2 является дробно-линейной, то у нее есть горизонтальная и вертикальная асимптоты. Поскольку і- rtdSphar +е _cd _ Sm,x(i -ffmjn 0 11111 6 Г 7 , то горизонтальной асимптотой является прямая = ( їmaxso" min.o ) - Вертикальной асимптотой является 1 Л А прямая Р- 7 и Ри я- выполнено неравенство поэтому вертикальная асимптота расположена правее отрезка [-Д;А], и на указанном отрезке знаменатель в выражении для /2 не обращается в нуль. Если e-d/f = p (3Pmhfi+pmaxfi)/4 0, то і, МФьвг) = 1 Ф г- -7- Т
В зависимости от знака выражения (e-d/ f) возможны три варианта расположения графика функции /г: 1) /2 возрастает и выпукла вниз, 2) /2 убывает и выпукла вверх, 3) /2 является константой. Графики функций fx и /2 представлены на рис. 3,1.6:
Если функция f2 - дробно-линейная, то у суммы функций f\+f2 есть наклонная и вертикальная асимптоты. Уравнение для вертикальной асимптоты получено выше. Так как f} +f2 = = a-5pbar+b + cdf f + c e-dlf , то уравнение наклонной асимптоты s = a-Spbar+b + cdIf. Как следует из проведенного выше исследования, в зависимости от знака выражения (e-d/f) сумма функций fx +f2 может являться выпуклой вверх, выпуклой вниз или линейной на отрезке -А ф Д. Поскольку функции Sm2X(t), Sm]n{t\ pm (t\ pm-n(t) непрерывны при Фдаг е І Л ), Рты Ртт ТО И фунКЦИЯ S КЗК ИХ СуПСрпОЗИЦИЯ При фиксированном значении р непрерывна на всей числовой оси Зрьаг е (-0 ). Вне отрезка - А Spbar Д функция S является константой, на отрезке -Д ф Д 5 = У +/2, График функции 5 представлен на рис, 3 Л,7:
