Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель одного механизма пульмо-кардиальной системы с известной динамикой исследуемых процессов 17
1.1 Некоторые математические модели пульмо-кардиальных систем 17
1.2 Описание эксперимента 20
1.3 Математическая и имитационная модели 21
1.4 Оценка параметров в модели пульмо-кардиальной системы 26
Глава 2. Оценка параметров в частично-наблюдаемой схеме для модели пульмо-кардиальной системы 33
2.1 Стохастическое описание параметров системы в частично-наблюдаемой схеме 33
2.2 Насыщение гемоглобина кислородом 42
2.3 Анализ имитационной модели 44
Глава 3. Частично-наблюдаемая схема с разладками для модели пульмо-кардиальной системы 49
3.1. Оценка момента разладки в наблюдаемом процессе 51
3.2 Анализ математической и имитационной моделей 55
3.3 Оценка момента разладки в ненаблюдаемом процессе 61
3.4 Анализ математической и имитационной моделей 65
Глава 4. Модель расчета интегрального показателя для оценки функционального состояния пульмо-кардиальной системы 70
4.1 Хроническая обструктивная болезнь легких 70
4.2 Математическая модель интегрального показателя 71
4.3 Анализ интегрального показателя при малом стаже табакокурения 76
Выводы и заключение 79
Литература
- Математическая и имитационная модели
- Насыщение гемоглобина кислородом
- Анализ математической и имитационной моделей
- Математическая модель интегрального показателя
Введение к работе
Исследования медико-биологических процессов составляют важное направление математического моделирования ([11], [16], [37]). В последние годы появилось большое число работ, посвященных построению математических моделей этих процессов (см., например, MB. Абакумов, А.А. Бутов, Г.И. Марчук, А.А. Романюха и др.). В большинстве работ математическое описание моделируемых объектов или явлений осуществляется в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений (А.А. Романюха, С.Г. Руднев и др.) или на основе методов многомерной статистики (И.И Сиротко, С.С. Солдатченко и др.). Как правило, такие модели не предполагают анализ временных характеристик (в том числе и оценку параметров), а направлены лишь на исследование поведения объекта в целом и в различных моделируемых ситуациях. Однако при математическом моделировании медико-биологических явлений не всегда удается адекватно применять детерминистский подход. Следует отметить, что любой биологический объект состоит из множества подсистем (связанных друг с другом), на которые влияют случайные внешние и внутренние факторы. Воздействия этих факторов на параметры механизмов играют существенную роль, и описать их с помощью детерминистического подхода невозможно. Следовательно, одним из инструментов в исследование медико-биологических процессов является использование стохастических имитационных моделей. В связи с этим, разработанные в данной работе модели медико-биологических объектов и методы анализа их временных характеристик являются актуальными и имеют прикладное значение.
В качестве медико-биологического объекта в работе рассмотрена пульмо-кардиальная система человека. Разработанные математические модели позволяют диагностировать отклонения в работе данной системы, приводящие к возникновению хронической обструктивной болезни легких.
Хроническая обструктивная болезнь легких (ХОБЛ) занимает одно из ведущих мест среди всех причин летальности в промышленно развитых странах. В то время как за последние десятилетия смертность от всех заболеваний снизилась на 22%, а от сердечно-сосудистых заболеваний на 23%, смертность от ХОБЛ выросла на 28% (Ferguson, Cherniack). Летальность от ХОБЛ занимает четвертое место среди всех причин смерти в общей популяции (GOLD, 2001). Сегодня эта болезнь диагностируется на поздних стадиях и приводит к преждевременной смерти, что также обосновывает прикладную актуальность разработки математических методов раннего обнаружения и прогнозирования ХОБЛ.
Целью диссертационной работы является разработка стохастических имитационных моделей и их анализ для исследования одного механизма пульмо-кардиальной системы, а также разработка алгоритмов, реализующих данные модели, и их воплощение в виде комплекса программ на языке высокого уровня (Borland C++ Builder). Целью данной работы является построение и исследование трех моделей для пульмо-кардиальной системы. Первая — это модель пульмо-кардиальной системы с известной динамикой исследуемых процессов; вторая — модель частично наблюдаемой системы для процесса насыщения гемоглобина кислородом. В качестве третьего типа предполагается исследовать модели частично наблюдаемой системы с разладками в наблюдаемой компоненте для процесса изменения числа дыхательных движений и с разладками в ненаблюдаемой компоненте для процессов кислородной десатурации гемоглобина и времени задержки дыхания. Также в работе предполагается разработать и адаптировать интефальный показатель для оценки функционального состояния пульмо-кардиальной системы и подтвердить возможность применения данного показателя для выявления ранних функциональных нарушений при малом стаже табакокурения.
Математические модели и методы разрабатываются в семимартингальных терминах. Выбор параметров моделей осуществляется исходя из известной информации о моделируемом объекте. Определение неизвестных коэффициентов проводится с использованием методов оптимального оценивания. При разработке компьютерных моделей используются элементы теории разностных схем.
Все основные результаты настоящей диссертационной работы являются новыми. В диссертационной работе предложены новые имитационные модели пульмо-кардиальной системы в семимартингальных терминах. Методы анализа частично-наблюдаемых систем с разладками также являются новыми. Доказаны новые теоремы о состоятельности оценок частичного правдоподобия. Доказана новая теорема о прогнозировании момента разладки в частично-наблюдаемой схеме. Разработанный интегральный показатель для оценки функционального состояния пульмо-кардиальной системы имеет практическое применение. Этот показатель, а также стохастические имитационные модели и комплекс профамм их реализующий применяются при анализе медико-биологических данных на кафедре пропедевтики внуфенних болезней УлГУ, а также внедрены в Центральную клиническую медико-санитарную часть г. Ульяновска.
На защиту выносятся следующие основные положения: 1. Разработаны и адаптированы стохастические имитационные модели для процессов пульмо-кардиальной системы.
Теоремы о состоятельности оценок частичного правдоподобия для имитационной модели процесса насыщения гемоглобина кислородом в пульмо-кардиальной системе.
Теорема о прогнозировании момента разладки в частично наблюдаемой системе с разладками в наблюдаемой компоненте для имитационной модели процесса изменения числа дыхательных движений.
Построена адекватная приближенная оценка вероятности наступления разладки в частично наблюдаемой системе с разладками в ненаблюдаемой компоненте для имитационной модели процессов кислородной десатурации гемоглобина и времени задержки дыхания.
Разработан и адаптирован интегральный показатель для оценки функционального состояния пульмо-кардиальной системы, и подтверждена возможность применения данного показателя для выявления ранних функциональных нарушений при малом стаже табакокурения.
По теме диссертации опубликовано 9 работ [14], [20], [43]-[48], [65].
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 77 наименований источников отечественных и зарубежных авторов, а также приложений. Общий объем диссертации составляет 104 страницы.
В Главе 1, состоящей из четырех параграфов, рассматривается стохастическая имитационная модель одного механизма пульмо-кардиальной системы с известной динамикой исследуемых процессов. Данная система представлена четырьмя следующими показателями: время произвольной задержки дыхания на вдохе (РД число дыхательных движений в одну минуту (С,), транскутанное насыщение гемоглобина кислородом (St) и степень кислородной десатурации гемоглобина (>,) во время задержки дыхания.
Параграф 1.1 содержит краткий обзор работ по математическому моделированию в пульмонологии и кардиологии.
В параграфе 1.2 содержится описание эксперимента по изучению состояния пульмо-кардиальной системы человека. Имеющиеся реальные данные состоят из трех групп: здоровые некурящие, курящие практически здоровые и индивидуумы с хронической обструктивной болезнью легких. Соответствующие экспериментальные исследования были проведены доцентом кафедры пропедевтики внутренних болезней УлГУ В.В. Гноевых.
Параграф 1.3 содержит математическое описание исследуемого механизма, представленного в параграфе 1.2. Процессы, описывающие пульмо-кардиальную систему, представлены в виде диффузионных процессов со следующими стохастическими дифференциалами: dVt=-Xjyt -VG)dt +
Щ = -Ad(Dt - DQ)dt +
В параграфе 1.4 построены и исследованы оценки неизвестных параметров для модели (0.1) — (0.4) для выявления нарушений в пульмо-кардиальной системе на основе квадратичной вариации и отношения максимального правдоподобия. Также в данном параграфе рассмотрена общая схема построения и исследования моделей механизма пульмо-кардиальной системы, состоящая из десяти этапов.
Вторая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена анализу частично-наблюдаемой линейной схемы на примере процесса насыщения гемоглобина кислородом пульмо-кардиалыюй системы.
В параграфе 2.1 на стохастическом базисе (П, Ft F = (Ft),^0, Р) рассмотрена частично наблюдаемая система стохастических дифференциальных уравнений: 'dzt=exztdt + &wv (а5) dYt=Ztdt + dWt{2) с наблюдаемой компонентой ^=(^)(г0, ненаблюдаемой компонентой Z = (Z,)(0, с заданными начальными значениями ZqgR, У0 є R и независимыми винеровскими процессами W({) = у^^ш и и/<2> = (ff/2,J(b0. Задача состоит в построении в каждый момент времени t > 0 оценок неизвестных параметров вх > 0 и > 0 по результатам наблюдения за процессом Ys, s < t.
В приведенных выше обозначениях справедливы следующие теоремы 2.1-2.2.
Теорема 2.1. Оценка частичного правдоподобия *і(0 = т jY> (0.6) является состоятельной (т.е. построенная оценка 6{{t) сходятся по вероятности к параметру #,).
Теорема 2.2. Оценка частичного правдоподобия (0.7) іщі +1) где ж = (^,)/>о Решение системы: dWt ~ $х (t)jutdt + ft (dYt - Jztdi) ft=e{(t) + s, є>0 является состоятельной (т.е. построенная оценка %(t) сходится по вероятности к параметру ).
В параграфе 2.2 содержится биологическое описание процесса насыщения гемоглобина кислородом и обоснование возможности применения рассмотренной в параграфе 2.1 модели.
В параграфе 2.3 изложены основные методы построения компьютерной имитационной модели и оценок параметров пульмо-кардиальной системы, математическое описание которых рассмотрено в 2.1. Вычислительный алгоритм реализован в виде комплекса программ на языке программирования Borland C++ Builder.
Третья глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена анализу стохастических частично-наблюдаемых систем с разладками.
В параграфе З.Ї приводится описание частично-наблюдаемой линейной схемы с ненаблюдаемой КОМПОНеНТОЙ JC — (-^()(5() и наблюдением У = (^),>0, определяемыми стохастическими дифференциальными уравнениями: (0.8) dYt=l(r>t)-{AXtdt + B-dw) где А*0 и ВфО- параметры, W -(jVt)t^ и # = ((?Ц>0 - независимые стандартные винеровские процессы, т - момент разладки (первый момент пересечения границы процессом Y = (^)а0): r = 'mf(t:Yl>d),d>0.
В качестве оценки для момента разладки т рассматривается в каждый момент времени t > О 3,у - измеримая случайная величина a(t) такая, что условное математическое ожидание процесса, остановленного как раз в момент a(t), совпадает с уровнем d: E(Ya{tyl(T>tp*)=d-l(T>t).
Справедлива следующая
Теорема 3.1. При условии r>t случайная величина a(t)>t: E\YG(A 3f J = d является решением следующего уравнения: \ + е du = d, (0.9) \ + е в
Вк ' где условное математическое ожидание ж, = ЕуХАЗ, J и среднеквадратическая ошибка фильтрации yt = E{Xt - nt) удовлетворяют системе уравнений: d7r^-JL{dYt-A7ttdt}
В парафафе 3.2 рассматривается дискретный аналог математической модели, представленной в параграфе 3.1, который затем алгоритмически реализуется в виде комплекса программ (язык программирования Borland C++ Builder). Имитационная модель построена для процесса изменения числа дыхательных движений в одну минуту пульмо-кардиальной системы. Экспериментальные данные состоят из группы курящих (практически здоровых) и группы с хронической обструктивной болезнью легких. В качестве момента разладки рассматривается накопление повреждений от длительного воздействие на дыхательные пути табачного дыма, которое впоследствии приводит к ХОБЛ.
Адекватность построенной модели реальным данным, наблюдаемым в экспериментах, проверяется на основе сопоставления эмпирических и модельных функций распределения. В качестве критерия достоверности выбранных параметров используется метрика Леви-Прохорова.
В параграфе 3.3 приводится частично наблюдаемая линейная схема с ненаблюдаемой компонентой X = {Xt)feo и наблюдением F = (^)/0, которые определяются стохастическими дифференциальными уравнениями: dXt = a-l(t>e)dt + b-dWt, (0.10) dY, = A-Xtdt + a-dWn (0.11) с заданными начальными значениями J„ и К,. а, ЬфО, Auo-фО - параметры, JV = (W,)t^ и W = (jVt\^ - независимые стандартные винеровские процессы, в - экспоненциально распределенная случайная величина: P{0
В данном параграфе рассматривается приближенная оценка вероятности для оценивания момента разладки в по наблюдениям за процессом Y = (Y!)[^0.
Адекватной приближенной оценкой PJ#(rj является процесс ^ = feLo: dnt = Л(\ -7rt)dt + ~^,(l-x,)-(drt -antdt), (0.12) где r = \r() 0 - решение системы: drt=a-rtdt + —^-(dYt - Ar(dt)
2ayt A2Tt2 a2 + b2
В параграфе 3.4 анализ рассмотренной частично наблюдаемой модели с разладкой и построенной для этой модели оценки вероятности момента разладки осуществляется методами имитационного моделирования на основе имеющихся экспериментальных данных для пульмо-кардиальной системы. В качестве. ненаблюдаемой компоненты системы рассматривается кислородная десатурация гемоглобина во время задержки дыхания. Процесс изменения времени задержки дыхания рассматривается в качестве наблюдаемой компоненты системы. Проверка адекватности построенной приближенной оценки вероятности наступления момента разладки (0.12) и вероятности в случае полного наблюдения основана на среднеквадратической ошибке отклонения.
В четвертой главе, состоящей из трех параграфов, разработана методика расчета нового интегрального показателя для выявления ранних функциональных нарушений в пульмо-кардиальной системе.
В параграфе 4.1 приводится обоснование необходимости разработки нового показателя (респираторно-газового индекса) для оценки функциональных отклонений при хронической обструктивной болезни легких.
В параграфе 4.2 предложена математическая модель, на основе которой строится респираторно-газовый индекс для оценки функционального состояния пульмо-кардиальной системы при хронической обструктивной болезни легких.
Респираторно-газовый индекс f(V,C,S,D) = (ft(V\C,S,D))0tT разрабатывается на основе четырех показателей, определенных в первой главе (0.1) - (0.4) в виде стохастического дифференциального уравнения: ^=ft-<7{Vt1CnSnDt)dWn (0.13) где W = {Wt )0<,
В данной работе респираторно-газовый индекс рассматривается в виде следующего линейного приближения: f(Vk,Ck,Sk>Dk) = exV(a-Vk-0-Ck-y-(\-Sk)+M-Dk\ (0-14) где а, /?, у, (л - константы, для нахождения которых разработана соответствующая программа на Borland C++ Builder 6.0.
Предполагается, что индивид принадлежит группе здоровых индивидов, если p(f!,f{vk,Ck,Sk,Dk))
Р\/1 > fvk >Ck>Sk>Dk)) ~ расстояние от значения респиратор но-газового индекса проверяемого индивида до среднего значения индекса по группе здоровых, которое определяется следующим образом:
В параграфе 4.2 подтверждается предположение о возможности применения разработанного респираторно-газового индекса (0.14) для выявления ранних функциональных нарушений пульмо-кардиальной системы при малом стаже табакокурения, когда классические методы функциональной диагностики малоинформативны, а значительные отклонения в состоянии исследуемых систем практически отсутствуют.
Предполагается, что индивидуум принадлежит группе риска, если p{fsmj{vk,Ck,-Sk,D^
В выводах и заключении перечислены основные результаты диссертационной работы, подчеркнута их новизна и значимость.
В Приложении 1 приводятся графики эмпирических и модельных функций распределения для построенных процессов пульмо-кардиальной системы, а также отдельные моменты компьютерной программы, реализующей модель и построение оценок параметров для механизма пульмо-кардиальной системы.
В Приложении 2 приведены фрагменты программ, реализующих нахождение оценок неизвестных параметров модели, представленных в параграфе 2.1 для процесса насыщения гемоглобина кислородом.
В Приложении 3 представлены фрагменты программ, реализующих вычисление оценки момента разладки в наблюдаемом процессе и вероятности наступления разладки в ненаблюдаемом процессе для процессов пульмо-кардиальной системы.
В Приложении 4 приведены таблицы и графики анализа экспериментальных данных пульмо-кардиальной системы.
Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.А. Бутову за внимание, проявленное к работе.
Математическая и имитационная модели
Экспериментально были определены четыре показателя, на основе которых построена математическая модель пульмо-кардиальной системы: время произвольной задержки дыхания ВЗД на вдохе (проба Штанге) (Vt), число дыхательных движений ЧДД в одну минуту (С,), транскутанное насыщение гемоглобина кислородом Sp02 (St) и степень кислородной десатурации гемоглобина DSpC 2 ( ,) во время задержки дыхания. Проведенные исследования подтверждают существенное различие величины данных показателей у здоровых лиц и больных хронической обструктивной болезнью легких, а также чувствительность этих параметров к проводимым лечебным эффектам ([2], [13], [23]).
В первом (линейном приближении) данные показатели могут быть описаны диффузионными процессами (так, в частности рассматриваемое первое гауссовское приближение не исключает отрицательных значений, которые в эксперименте заведомо не встречаются).
Процесс изменения времени задержки дыхания на вдохе = ( ) , можно представить в виде диффузионного процесса со следующим стохастическим дифференциалом: dVt =-ЛЖ -Vu)dt + r,dW?\ (1.1) где 1) t є [О...Г] - время эксперимента; 2) W(I) = (l (I))os/sr " стандартный винеровский процесс; 3) 2V, xv- определяются экспериментально; 4) VQ - случайная величина, функция распределения которой имеет нормальное распределение с параметрами (av,bv); 5) av - среднее значение параметра по группе индивидуумов; 6) bv - среднеквадратическое отклонение по группе индивидуумов; Процесс изменения числа дыхательных движений за 1 минуту
С = {Ct)Q t T можно представить в виде диффузионного процесса со следующим стохастическим дифференциалом: dCt=-Xc{Ct -C0)dt + rcdWt{1\ (1.2) где 1) W = (Wt )Q t r стандартный винеровский процесс; 2) Яс, тс- определяются экспериментально; 3) С0 - случайная величина, функция распределения которой имеет нормальное распределение с параметрами (ас,Ьс); 4) ас - среднее значение параметра по группе индивидуумов; 5) Ъс - среднеквадратическое отклонение по группе индивидуумов; Процесс изменения насыщения гемоглобина кислородом S = (S,\ T можно представить в виде диффузионного процесса со следующим стохастическим дифференциалом: dSt =-Zs(St-SQ)dt + (TsdWt\ (1.3) где L) JF(3) = OVf3))o tT - стандартный винеровский процесс; 2) Xsy crs- определяются экспериментально; 3) , - случайная величина, функция распределения которой имеет нормальное распределение с параметрами (as,bs); 4) as - среднее значение параметра по группе индивидуумов; 5) bs - среднеквадратическое отклонение по группе индивидуумов;
Процесс изменения степени кислородной десатурации гемоглобина во время задержек дыхания D = (Dt)0 t r можно представить в виде диффузионного процесса со следующим стохастическим дифференциалом: Щ = -Xd (Dt - D0 )dt + rddWtw, (1.4) где 1) W = (W )O , T - стандартный винеровский процесс; 2) Xd, rd - определяются экспериментально; 3) D0 - случайная величина, функция распределения которой имеет нормальное распределение с параметрами (ad,bd); 4) ad - среднее значение параметра по группе индивидуумов; 5) bd - среднеквадратическое отклонение по группе индивидуумов;
Для проверки адекватности построенной математической модели (1.1)-(1.4) экспериментальным данным рассмотривается ее дискретный аналог.
Переход от (1.1) — (1.4) к дискретной модели разбивается на два этапа. На первом этапе происходит замена непрерывной области О t Т на дискретную — совокупность конечного числа точек N eN,T QR+. Рассмотрим совокупность точек tkuk=—y k = 0,l,...,[N]\, (где [N T] - целая часть числа N). N J Тогда такое множество представляет собой равномерную разностную сетку с шагом дискретизации Д = —. На втором этапе перехода от непрерывной модели строятся дискретные аналоги дифференциальных уравнений (замена производных соответствующими конечными разностями).
Насыщение гемоглобина кислородом
Гемоглобин — основной дыхательный пигмент и главный компонент эритроцита, выполняющий важные функции в организме человека: перенос кислорода из легких в ткани и углекислого газа из тканей в легкие.
Молекула гемоглобина, представляющего собой сложный белок, состоит из белковой части глобина и железосодержащей небелковой (простетической) группы, способной связывать одну молекулу кислорода, при этом гемоглобин превращается в оксигемоглобин (НЮ2). Образующаяся система гемоглобин - оксигемоглобин представляет одну из буферных систем крови и в значительной степени обеспечивает поддержание кислотно-щелочного равновесия. При взаимодействии с угарным газом (поступающим в организм при курении) гемоглобин образует плохо диссоциирующий карбоксигемоглобин НЬСО, не способный связывать кислород, что является объяснением пониженного насыщения гемоглобина кислородом у курящих по сравнению с некурящими. Этот факт послужил основой для построения имитационной модели процесса насыщения гемоглобина кислородом.
Насыщение гемоглобина кислородом измеряется пульсоксиметром. В норме этот показатель составляет 95-98%. Датчики надевают на пальцы или на мочку уха. На одной пластине датчика расположены светодиоды, а на другой — фоточувствительный приемник, который улавливает прошедший через ткани пальца свет. Красный (660нм) и инфракрасный (940нм) свет практически одинаково поглощаются всеми тканями, но гемоглобин, насыщенный кислородом, интенсивно поглощает инфракрасный, а гемоглобин, не содержащий кислорода — красный свет. Детектор улавливает изменение соотношения двух световых потоков. По этим данным и рассчитывается насыщение гемоглобина кислородом.
При исследовании насыщения гемоглобина кислородом возможны случайные ошибки, как при измерении, так и при последующей обработке данных. Поэтому представляется целесообразным для построения имитационной модели процесса насыщения гемоглобина кислородом использовать рассмотренную в параграфе 2.1 частично наблюдаемую схему. Имитационное моделирование построенных оценок параметров позволило исследовать возникающие при курении нарушения в процессе насыщения гемоглобина кислородом.
Для исследования процесса насыщения гемоглобина кислородом построим дискретный аналог, рассмотренной в 2.1, частично-наблюдаемой линейной схемы.
На равномерной разностной сетке с шагом А = — yk\tk —, к = 0,1,..., [N-Т] построим дискретную схему, заменив непрерывные функции, входящие в дифференциальные уравнения, их узловыми значениями: (2.24) где є \є — последовательности независимых гауссовских случайных величин с нулевыми средними и дисперсиями —. Начальные значения Х0 и К0 устанавливаются исходя из экспериментальных данных.
Адекватность построенной модели реальным данным, наблюдаемым в экспериментах, проверяется на основе сопоставления эмпирических и модельных функций распределения. В качестве критерия достоверности выбранных параметров используется метрика
Леви-Прохорова с заданным значением ошибки є : є = L(Fep,Fmod) = inf{r 0: Fap(x-e)-e Fmod(x) й F (x + e) + e,Vx = R}, где Fexp(x) - функция распределения времени задержки дыхания, построенная на основе экспериментальных данных, Fmod(x) - функция распределения, полученная в результате компьютерного моделирования.
Пороговое значение ошибки не превышает заданное число є = 0.05. Модельная функция распределения строилась по К-100 реализациям.
Оптимизация осуществляется по параметрам системы. В результате работы оптимизационной программы (язык программирования Borland C++ Builder 6.0) для процесса насыщения гемоглобина кислородом были установлены следующие значения параметров: #, = 0,0012, в2 = 0.67, (93 = 0.01, #4 = 0.73, А = 0.01. На Рис. 2.1 приведены графики полученных модельных и экспериментальных функций распределения.
Анализ математической и имитационной моделей
Анализ полученного прогноза для момента разладки (3.4) был осуществлен также и методами имитационного моделирования для процесса изменения числа дыхательных движений в одну минуту. Было обследовано 83 курящих (практически здоровых) и 19 человек с хронической обструктивной болезнью легких (контрольная группа). В организме курящего человека происходит накопление повреждений (длительное воздействие на дыхательные пути табачного дыма вызывает сужение бронхов, их воспаление, увеличивается выработка в них слизи), которое в последствии приводит к хронической обструктивной болезни легких [56]. Момент разладки г - это момент пересечения процессом изменения числа дыхательных движений = ( )/ 0 rPaHHL№1 d = \9.2. (это значение определено на основе экспериментальных данных по группе больных).
В дискретной модели єк\є{к2) - последовательности независимых гауссовских случайных величин с нулевыми средними и дисперсиями А. Дискретный аналог оценки момента разладки имеет следующий вид: _ т у к+А к I і=к l + Є В (ЗЛО) A d. 2Ак l + Є В 1 ч- — (г — Лг) — In ВК } \ ))
Дискретные аналоги условного математического ожидания жк и среднеквадратической ошибки фильтрации ук также построены методом конечных разностей: - _ - АУк Як+1 — Я к + ЗГ В к ( {АГк-АхкА} А2УГ (3.11) В ) гдеДГ, = Гі+І-ГА.
Адекватность построенной модели реальным данным, наблюдаемым в экспериментах, проверяется на основе сопоставления эмпирических и модельных функций распределения.
В качестве критерия достоверности выбранных параметров используется метрика Леви-Прохорова. Пороговое значение ошибки не превышает заданное число є = 0.05. Модельная функция распределения строилась по К = \00 реализациям. Оптимизация осуществляется по параметрам системы А и В. В результате работы оптимизационной программы (язык программирования Borland C++ Builder версии 6.0) были установлены следующие значения параметров: А =-0.34, 5 = 1.16, Д =0.01.
Для построения оценки момента разладки разработан численный алгоритм (схема 3.1), который затем реализован в виде программы на языке программирования Borland C++ Builder 6.0 (основные моменты представлены во фрагменте 1, Приложение 3).
Функция оценки момента разладки построена на основе исследования группы курящих практически здоровых индивидуумов в возрасте от 18 до 25 лет. В среднем по группе при той же интенсивности курения вероятность развития хронической обструктивной болезни легких к 42,5 годам составляет Р(т = 42,5) = 0.95.
Разработка и анализ представленной имитационной модели осуществлялись согласно этапам общей схемы имитационного моделирования [51]. Все этапы имитационного моделирования представлены в виде следующей схемы.
Схема построения имитационной модели изменения числа дыхательных движений основана на общих принципах построения имитационного моделирования, но имеет несколько особенностей. Во первых, основной особенностью является принадлежность рассматриваемой модели к классу частично наблюдаемых. В отличие от моделей, для которых вся информация об объекте известна (рассмотрены в Главе 1), для этого класса моделей известна лишь часть информация. Во-вторых, объект подлежит наблюдению только до момента наступления разладки, определяемой достижением наблюдаемым процессом определенного порогового значения. Математическая имитационная модель изменения числа дыхательных движений описывается с помощью системы стохастических дифференциальных уравнений (блок 3). Дискретная модель строится методом конечных разностей (блок 4). Настройка неизвестных параметров модели проводится в блоке 5 на основе сравнения эмпирических и модельных функций распределения с использованием метрики Леви-Прохорова. В блоке 6 строится оценка момента разладки по формулам (3.10), (3.11). Вычислительный алгоритм (блок 7) реализован в виде комплекса программ на языке программирования Borland C++ Builder 6.0. Данные, полученные в ходе компьютерного моделирования, представляют собой массивы значений процессов в дискретные моменты времени. Визуализация этих данных осуществляется как при помощи созданной программы в Borland C++ Builder 6.0, так и с использованием пакета STATISTICA 6.0 (блок 8).
Математическая модель интегрального показателя
В данном параграфе предложена математическая модель, на основе которой строится респираторно-газовый индекс (РГИ) для оценки функционального состояния пульмо-кардиальноЙ системы при хронической обструктивной болезни легких. РГИ разрабатывался на основе четырех показателей, определенных в первой главе.
Время задержки дыхания (ВЗД) зависит от выраженности нарушений вентиляции легких, кислотно-основного состояния и газового состава артериальной крови и, косвенно характеризует функциональное состояние аппарата дыхания у больных ХОБЛ различной степени тяжести. Известно, что ВЗД существенно уменьшается по мере медленного, но неуклонного ухудшения легочных функций при прогрессировании ХОБЛ. В результате эффективного лечения больных с хронической обструктивной болезнью легких, как правило, возрастает насыщение гемоглобина кислородом, а во время произвольных задержек дыхания (применяемых для контроля за результативностью лечения) происходит обратный процесс — увеличивается переносимая кислородная десатурация гемоглобина. Кроме того, итоги того или иного этапа лечения ХОБЛ влияют на выраженность одышки и приводят к изменению паттерна дыхания, в частности, числа дыхательных движений ([23], [24]).
Эти факты позволяют утверждать, что каждый из рассмотренных четырех функциональных показателей, взятый по отдельности, вариабелен, но между собой они тесно взаимосвязаны, что позволяет использовать их в разрабатываемом индексе (Таблица 4.1). Использование вместо рассмотренной совокупности показателей единого интегрального признака позволит более точно оценить состояние бронхо-легочной и сердечно-сосудистой систем, за счет определения степени влияния на данные системы каждого из параметров при помощи весовых коэффициентов. Разрабатываемый показатель f(V,C,S,D) = (ft(V,C,S,D))0tT можно представить в виде следующего стохастического дифференциального уравнения: dft=fr j(VnCt,St,Dt)dWt, /0 0, (4.1) где W = {Wt )Q t T - стандартный винеровский процесс, r{VnCt,SnDt) определяет функциональную зависимость между показателями. По формуле Ито, решением уравнения (4.1) является процесс: /(=Л ехР )a(rs,Cs Ss,Ds)dWs ) T(Vs,Cs,Ss,Ds)2ds\ (4.2) о о
Использование диффузионного процесса обеспечивает абсолютную непрерывность его меры относительно винеровскои, а данный частный случай (4.2), являющийся отношением правдоподобия [29], хорошо характеризует рассматриваемые процессы пульмо-кардиальной системы.
В данной работе респираторно-газовый индекс рассматривается в виде следующего линейного приближения: f{rk,CttSk,Dk) = G a.Vk-fi-Ck-y -Sk)+fi-Dk)t f0 0 (4.3) где a, j3, у, fi - параметры. Параметры a, /?, у, ц определяются в соответствии с двумя критериями:
1. Среднее значение РГИ по группе здоровых индивидуумов должно превышать среднее значение РГИ по группе больных.
2. p\fl,fn) max , где p[f \fu) — расстояние между средними значениями РГИ по группе здоровых индивидуумов (/ ) и по группе больных (/") которое определяется следующим образом:
Для нахождения параметров а, /?, у, ju была разработана программа на Borland C++ Builder 6.0. Поиск параметров, удовлетворяющих заданным критериям, осуществлялся методом полного перебора, при заданном шаге {step = 0.01), начальных и конечных значениях параметров (а0 = /30 = у0 = ju0 = 0, аи — PN = YN - MN = 100), а также заданном типе функции (1.28). Фрагмент программы, реализующей алгоритм нахождения параметров для функции (4.3), приведен в Приложении 4.
