Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 9
1.1. Характеристика объекта исследования 9
1.2. Исследование нестационарных гш отношению к тренду временных рядов. . 13
1.2.1. Методы сглаживания и фильтрации 14
1.2.2. Сингулярное разложение 17
1.2.3. Параметрические методы исследования тренда 21
1.3. Методы исследования временных рядов, содержащих периодические компоненты 23
1.3.1. Корреляционные методы 23
1.3.2. Методы исследования временных рядов в частотной области 26
1.3.3. Методы оценивания гармонических компонент, основанные па анализе собственных чисел в пространстве сигнал-шум 29
1.3.4. Исследование временных рядов в частотно-временной области с помощью вейвлет-анализа 31
1.4. Идентификация случайной составляющей временных рядов 33
1.4.1. Анализ временных рядов с помощью модели авторегресии-скользящего среднего 33
1.4.2. Оценивание параметров АР-моделей временного ряда 35
1.5. Особенности идентификации сезонных компонент 37
1.6. Постановка задач исследования 39
ГЛАВА 2. СОЗДАНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
2.1. Основные положения метода сингулярного разложения 41
2.1.1. Алгоритм сингулярного разложения временных рядов 41
2.1.2. Особенности выделения компонент временного ряда методом сингулярного разложения 43
2.2. Создание модифицированного метода сингулярного разложения для
анализа многокомпонентных временных рядов с аддитивным
коррелированным шумом 48
2.2.1. Особенности метода сингулярного разложения при идентификации
компонент временных рядов при известной и неизвестной корреляционной
матрице шума 49
2,2.2. Особенности выбора начальных условий итеративного метода анализа временных рядов 54
2.3, Имитационное моделирование алгоритмов и методов анализа временных рядов 59
2.4. Выводы 74
ГЛАВА 3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА ИДЕНТИФИКАЦИИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 76
3.1. Эффективные численные методы для реализации алгоритма сингулярного разложения 76
3.2. Особенности реализации алгоритма итеративного метода на объектно-ориентировзном языке программирования C++ 81
3.2.1. Проектирование структуры комплекса программ «СВФ-анализ» 82
3.2.2. Организация эффективного хранения и обработки матриц и векторов в оперативной памяти вычислительной машины 86
3.3. Выводы 92
ГЛАВА 4. АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ СИСТЕМ ГАЗОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ 93
4.1, Анализ н моделирование временного ряда газопотребления г. Саратова ...
4.1.1. Оценка порядка модели временного ряда газопотребления 94
4.1.2. Идентификация параметров процесса газопотребления г. Саратова ..
4.2 Анализ и моделирование временного ряда количества технических инцидентов с газовым оборудованием крупного населенного пункта 102
4.2.1. Выбор модели технических ицидентов с газовым оборудованием в системе газораспределения 102
4.2.2. Оценка парметров модели технических инцидентов 109
4.3, Выводы : 112
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 113
ЛИТЕРАТУРА 115
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ 126
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 : 128
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 130
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 133
- Исследование нестационарных гш отношению к тренду временных рядов.
- Основные положения метода сингулярного разложения
- Эффективные численные методы для реализации алгоритма сингулярного разложения
- Анализ н моделирование временного ряда газопотребления г. Саратова ...
Введение к работе
Актуальность исследования. Анализ и прогнозирование физических процессов, зависящих от времени являются распространенными и актуальными научными и инженерными задачами. В данной работе исследуются реальные процессы, в частности, в системах газораспределения, которые относятся к категории опасных производственных объектов. Их важнейшими характеристиками являются объем газопотребления и число технических инцидентов (неисправностей) с газовым оборудованием, которые описываются многокомпонентными временными рядами, т.е. содержат тренд, сезонные, периодические, случайные процессы и помехи измерения. Определение этих компонент необходимо для построения адекватных математических моделей, использование которых актуально для повышения эффективности функционирования систем газораспределения.
Для нахождения компонент обычно применяется аппарат математического моделирования случайных временных рядов (СВР). Теория анализа временных рядов представлена работами Е.Е. Слуцкого, А.Я. Хинчина, Т. Андерсона, Г. Дженкинса, Дж. Бокса, Дж. Кендалла, А. Стьюарта, Э. Хеннана.
В последние годы в работах Н.Э. Голяндиной, Г.Г. Канторовича, М. Гила, М.Р. Алена, В.П. Носко, Р.Н. Каримова и др., предложены методы анализа и прогнозирования временных рядов, использующие различные аспекты разложения по собственным значениям. Для выявления и оценки параметров тренда и периодических компонент при неполной априорной информации об анализируемом процессе разработан ряд параметрических и непараметрических методов. Широко распространено определение структуры и параметров временных рядов, содержащих компоненты с аддитивным белым шумом. Однако, если в состав СВР входит коррелированный шум, то при ма- лом соотношении сигнал-шум существующие методы не выявляют реально присутствующие компоненты и выделяют гармоники, обусловленные шумовой компонентой.
Число и параметры компонент процессов газораспределения априори неизвестны, поэтому для построения их математических моделей необходим непараметрический метод, позволяющий определять компоненты временных рядов при недостатке информации о компонентах и наличии коррелированного шума.
Изложенное определило актуальность данной работы и ее цель.
Целью исследования является повышение эффективности функционирования систем газораспределения на основе разработки моделей многокомпонентных временных рядов.
Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: выбор и обоснование метода выделения тренда; разработка непараметрического метода разведочного анализа временных рядов при наличии коррелированных компонент; выбор и обоснование численных методов для эффективного вычисления сингулярного разложения; создание программного комплекса, реализующего разработанный метод; проведение вычислительного эксперимента для проверки работоспособности предложенного метода; выбор параметрических методов оценки периодических компонент; построение модели процессов газораспределения и нахождение ее параметров для временных рядов газо потребления и обращений в аварийную газовую службу крупного населенного пункта.
Методы исследований. В работе использованы методы статистической обработки многокомпонентных СВР, имитационного моделирования, численные методы линейной алгебры и объектно-ориентированного программирования.
Достоверность и обоснованность диссертационного исследования определяется применением корректных статистических методов исследований и подтверждается результатами имитационного моделирования, успешным внедрением в ОАО «Гипрониигаз».
На защиту выносятся
Метод разведочного анализа малых выборок временных рядов для выделения аддитивных компонент при наличии коррелированного шума.
Математическая модель и процедура идентификации компонент процессов газ о потребления и возникновения технических инцидентов в сети газораспределения крупного населенного пункта.
Комплекс программ, разработанный для обнаружения и идентификации компонент СВР газопотребления и технических инцидентов с газовым оборудованием.
Результаты применения математических моделей к процессам газораспределения г. Саратова.
Научная новизна. Построена математическая модель процессов газопотребления и возникновения технических инцидентов с газовым оборудованием крупного населенного пункта, имеющих сложную многокомпонентную структуру (тренд, сезонные, периодические компоненты и коррелированный шум), что позволило оценить статистики возникновения технических инцидентов с газовым оборудованием.
Предложена процедура декорреляции шума, используемая в методе сингулярного разложения, для выделения компонент временных рядов при недостатке информации об их количестве и параметрах, а также известной корреляционной матрице шума.
Создан итеративный метод разведочного анализа временных рядов, основанный на процедуре декорреляции шума и сингулярном разложении. Метод позволяет определять периодические компоненты временного ряда, скрытые коррелированным шумом с неизвестной корреляционной матрицей при малом соотношении сигнал-шум.
Разработана процедура предварительного выделения периодической компоненты низкой частоты временного ряда, основанная на повышении значения соотношения сигнал-шум для гармоники определенной частоты.
Практическую значимость диссертационной работы представляют следующие результаты.
Построены модели процессов газопотребления и возникновения технических инцидентов, применение которых позволит повысить эффективность эксплуатации систем газораспределения.
Модель газопотребления может использоваться для решения следующих задач: прогнозирование объема потребления газа и абонентских платежей; планирование ремонтных, профилактических работ газораспределительной сети.
Построена модель процесса возникновения технических инцидентов с газовым оборудованием, которая может быть использована для решения следующих задач: пр огнозирование числа технических инцидентов; пр огнозирование числа аварийных ситуаций и возможного ущерба; - оце нивание качества эксплуатации газораспределительных сетей. Разработанные методы и построенная модель процесса технических инцидентов использована в ОАО «Гипрониигаз» при выполнении НИР «Разработка системы количественных и качественных показателей обеспечения безопасности газораспределения и газопотребления», а также в учебном процессе СГТУ, что подтверждено актами внедрения.
Программная реализация разработанных методов анализа входит в состав комплекса программ «СВФ - анализ», на который получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ в Роспатенте РФ.
Апробация работы. Основные теоретические положения и практические результаты работы обсуждались и докладывались на III Всероссийской конференции «Инновационные технологии в обучении и производстве» (Камышин, 2005), XI Международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в моделировании и программировании» (Воронеж, 2006), XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологии» - ММТТ-19 (Воронеж, 2006).
Публикации. Основные положения диссертации отражены в 9 публикациях, том числе в 1 статье в журнале, рекомендованном ВАК. Без соавторов опубликованы 3 работы.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 133 страницах и состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 37 рисунков, 19 таблиц. Список используемых источников включает 132 наименования.
В первой главе рассмотрен объект исследования, а также многокомпонентные случайные временные ряды, представляющие системы газораспределения. Выполнен обзор наиболее распространенных методов идентификации СВР.
Вторая глава посвящена описанию построения методов и алгоритмов анализа временных рядов, основанных на сингулярном разложении. Приведены результаты вычислительного эксперимента, который доказал преимущество разработанного метода при малых выборках временных рядов и наличии коррелированного шума высокой мощности по сравнению с классическим, а также вей влет-анализом.
В третьей главе рассмотрены вопросы программной реализации созданного метода, такие, как выбор эффективных численных методов, проектирование структуры программ и организация данных на объектном языке программирования C++.
В четвертой главе содержатся результаты определения порядка и параметров моделей исследуемых процессов газо потребления и возникновения технических неисправностей с газовым оборудованием. Заключение содержит выводы по работе.
Исследование нестационарных гш отношению к тренду временных рядов
Тренд является гладкой низкочастотной компонентой случайного временного ряда (СВР), которую можно на рассматриваемой длине реализации аппроксимировать параболой. Данное утверждение соответствует теореме математического анализа, согласно которой любую кривую на любом интервале с любой степенью точности можно аппроксимировать параболой достаточно высокой степени точности [88]. По условию определения тренда под высокой степенью будем понимать степень не выше третьей, определение параметров которой не представляет сложностей в вычислительном отношении. Такая трактовка тренда адекватна решаемой задаче анализа процессов газораспределения, в которых линейные и сезонные компоненты удовлетворяют условиям гладкости и низкочастотности спектра.
Случайные временные ряды, содержащие тренд, являются одной из множества видов нестационарностей. Так, например, СВР может быть нестационарен по отношению к дисперсии, корреляционной матрице, спектральной плотности, редким выбросам и аддитивным и мультипликативным помехам.
Из всех видов нестационарных СВР рассматриваем наиболее характерные для промышленных систем [39,64,34].
1. Временные ряды, стационарные после выделения тренда, называют СВР со стационарным остатком (TS - trend stationary). Модель такого ряда имеет вид: где trend[ri\ - парабола не выше третьего порядка, х[п] - случайный стационарный остаток с нулевым средним и неизвестной корреляционной последовательностью R[H], Е[П] - случайная некоррелированная помеха с постоянной неизвестной дисперсией.
2. Второй подход к описанию нестационарных процессов базируется на разностных моделях Дж. Бокса и Г. Дженкинса (DS - ряд) [15]: где с[п] - стационарный СВР, необязательно белый шум. В работах [121, 122] доказано, что DS-ряд не сводится к TS-рядам. В работах [108, 121] показано, что удаление тренда из разностно-нестационарных рядов изменяет спектр, приводя к появлению ложной периодичности.
Для выявления нестационарностей СВР по отношению к тренду применяют различные непараметрические и параметрические методы. Наиболее часто применяются непараметрические методы, основанные на критерии Вальда-Вольфовитца (критерий серий), и критерии инверсии. Наибольшую мощность имеет критерий инверсии, асимптотическая эффективность которого достигает (3/тг) и 0,98 относительно критериев для коэффициента регресии и, он превосходит большинство других непараметрических критериев для тренда [44].
Для определения вида нестационарности ряда применяется ряд процедур [117, 34, 110, 111, 56], простейшей из которых является следующий тест. Рассматривается модель: Ах[п] = а + у х[п -1] + е[п]
Проверяется нуль-гипотеза Но о том, что коэффициент у = 0 Если она не отвергается, то СВР относится к классу DS-рядов. Если нуль-гипотеза отвергается, то принимается альтернативная И\: у 0 т.е. СВР относится к классу TS-рядов. Для ее проверки строится линейная регрессия Ах[п] от х[п - 1] и находится оценка у. В этом случае статистика у/с.к.о(у) отличается от распределения
Стьюдента. Ее распределение выведено в работе [ПО]. Если определено, что ряд является нестационарным относительно тренда, то осуществляется выделение тренда, в противном случае, ряд подвергается дифференцированию до тех пор, пока не станет стационарным [15, 39,64].
Основные положения метода сингулярного разложения
Математическую основу метода составляет сингулярное разложение [95]. Это преобразование является оптимальным по критерию достижения декорреляции исходного сигнала описанию сигнала или ВР малым числом собственных векторов. Согласно теореме о преобразовании Карунена-Лоева, гарантируется, что процентное содержание энергии в данном количестве наибольших сингулярных чисел будет не меньше, чем в том же числе коэффициентов любого другого преобразования.
Алгоритм сингулярного разложения временных рядов
Основная идея метода заключается в преобразовании одномерного ВР в многомерный и дальнейшем применении методов обработки многомерных данных. Скалярный представляя собой траекторию в фазовом пространстве гипотетической системы, которая генерируетх[п] [112, 114, 129, 128].
Следующий шаг - сингулярное разложение (1.4) траекторной матрицы в сумму элементарных матриц.
В ряде источников [130, 132] предлагается альтернативный вариант разложения ВР на компоненты. Если ВР х[п] - стационарный с нулевым средним и автокорреляционной последовательностью (АКП) гхх[к], к= 1, ..., L, то АКП можно преобразовать в теплицеву автокорреляционную матрицу по соотношению Rx[i, j] =/ (! -УІ+1), i,j = 1, 2, ..., L. Строится автокорреляционная матрица анализируемого ряда R и вычисляются ее собственные числа и собственные векторы U. Элементарные матрицы вычисляются по формуле (1.5).
Данный подход можно считать одним из частных случаев базового алгоритма разложения СВР, т.к. для стационарного с нулевым средним СВР с положительно полуопределенной автокорреляционной матрицей R ранга/? существует/? х р матрица К ранга/?, такая, что R = КК
Подход на основе вычисления автокорреляционной матрицы дает в вычислительном отношении большее преимущество при отделении сигнала от шума, однако если анализируемый ВР нестационарный относительно среднего, то оценки будут смещенными. В этом случае преимущество имеет подход на основе сингулярного разложения траекторной матрицы.
Эффективные численные методы для реализации алгоритма сингулярного разложения
Основная вычислительная трудность алгоритма сингулярного разложения заключается в нахождении собственных векторов и собственных чисел ковариационной матрицы. Например, при анализе временного ряда газопотребления, имеющего сильно выраженные сезонные особенности с шагом дискретности по времени одни сутки - длину окна желательно выбирать как минимум равной числу суток в году. Таким образом, размер ковариационной матрицы составляет [365 х 365] и объем вычислений по нахождению собственных чисел и векторов становится значительным.
Для решения задачи нахождения собственных чисел произвольной матрицы применяют следующие методы [55, 49, 16, 87]: степенной метод, метод вращений Якоби, LR - алгоритм, QR - алгоритм, метод Холецкого. В предлагаемом методе вычисление собственных значений осуществляется для корреляционной (ковариационной) матрицы, которая всегда является квадратной, симметричной и положительно полуопределенной. Поэтому поиск собственных чисел лучше выполнять с помощью модификаций указанных методов, предназначенных для симметричных матриц, что в 2 раза снижает объем вычислений. Перед нахождением собственных значений матрица приводится к подобной ей трехдиагоиальной, что позволяет применять более эффективные алгоритмы и, соответственно, резко сокращает число вычислений.
Методы преобразования матрицы к трехдиагоиальной структуре. Распространенными методами приведения квадратной матрицы к трехдиагоиальной форме являются: методы Гивенса и Хаусхолдера [16, 87, 126]. В разработанном программном комплексе применяется метод Хаусхолдера, поскольку он требует в два раза меньше вычислительных операций, чем метод Гивенса.
Метод Хаусхолдера преобразовывает симметричную [L х L] матрицу А к трехдиаго нал ьному виду за L - 2 ортогональных преобразования. Каждое преобразование обнуляет необходимую часть соответствующих строки и столбца матрицы. Матрица Хаусхолдера имеет следующий вид:
Анализ н моделирование временного ряда газопотребления г. Саратова
Газопотребление крупного населенного пункта имеет четко выраженную сезонную составляющую, имеющую четко интерпертируемый механизм генерации - изменение температуры окружающей среды в течение года. Данная сезонная составляющая не является гармонической, поэтому ее можно представить суммой гармоник с периодами, кратными основному периоду сезонности. Разработанным итеративным методом определяются тренд и гармонические составляющие, мощность которых сопоставима с мощностью шума. Под шумом понимается коррелированный случайный остаток. Следует отметить, что если соотношение сигнал-шум для гармоники достаточно высоко, например, для гармоники с периодом 365 суток, то применяется классический метод сингулярного разложения, поскольку он требует меньше вычислительных операций. Также проводятся Фурье-анализ для подтверждения полученных результатов
Определяется приблизительно периоды выделенных гармоник. Далее значение частоты гармоники уточняется, и определяются остальные параметры с помощью МНК.
Оценка порядка модели временного ряда газ о потребления
Анализируемый временной ряд представлен на рис. 4.1. Параметры реализации исходного СВР: шаг дискретности - 1 сутки, начало отсчета - 1 января 2001 года, длительность наблюдения - 1184 суток. Данные получены Саратовской газовой компанией и представляют собой суммарные показатели расхода газа по газораспределительным станциям (ГРС) ГРС-2, ГРС-Пристанное, ГРС-1 за вычетом крупных энергопроизводящих потребителей. Видны четкие сезонные изменения, ряд нестационарен относительно тренда. Предварительно ряд обрезан так, чтобы его длина стала равной целому числу сезонов - 3 годам (1095 суткам).
Процессы, представляемые этими СВР, априори содержат следующие компоненты: тренд, сезонная компонента, периодическая, стационарный СВР. Предлагается следующая модель, состоящая из аддитивных компонент [41]: линейный тренд, s[n] - сезонная компонента, с[п] - периодическая компонента, е[п] - стационарный СВР.
Проведен анализ ВР методом сингулярного разложения. Ширина окна L = 365, кратна периоду сезонности. Построена траєкторная матрица X, найдено ее сингулярное разложение:
X = USV, где U - матрица левых сингулярных векторов, V - матрица правых сингулярных векторов, I - диагональная матрица, элементами которой являются сингулярные числа. Столбцы матрицы U состоят из ортонормированных собственных векторов ковариационной матрицы RX = X X, Сингулярные числа вычислены как неотрицательные квадратные корни из собственных чисел матрицы R . На рис 4.2 представлен график логарифмов из первых 12 сингулярных чисел.
Похожие диссертации на Математические модели многокомпонентных временных рядов в системах газораспределения
