Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Приближенные уравнения относительного движения вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подвеса шарового гироскопа .13
1.1. Постановка задачи об относительном движении жидкости в зазоре подвеса 13
1.2. Приближенные уравнения относительного движения вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подвеса с учетом сил инерции 14
1.3. Анализ влияния инерции жидкости при установившемся движении и осевом смещении ротора на реакции гидродинамического подвеса 21
1.3.1. Применение метода малых возмущений для нахождения гидродинамического давления 21
1.3.2. Применение метода осреднения сил инерции по толщине слоя жидкости для нахождения гидродинамического давления 28
1.3.3. Численные результаты моделирования распределения избыточного давления 32
1.3.4. Оценка влияния инерции жидкости на реакции гидродинамического подвеса 37
1.4. Основные результаты и выводы первой главы 43
Глава 2. Реакции замкнутого сферического гидродинамического подвеса гироскопа, установленного на подвижном основании 45
2.1. Постановка задачи 45
2.2. Решение краевой задачи для давления слоя жидкости методом разделения переменных 47
2.3. Определение главного вектора сил давления и главного момента сил вязкого трения, приложенных к ротору 51
2.4. Основные результаты и выводы второй главы 55
Глава 3. Математические модели гидродинамических подвесов с полюсными отверстиями, учитывающие геометрические погрешности 56
3.1. Расчетные схемы подвесов, учитывающие погрешности формы статора и ротора 56
3.2. Метод определения реакций гидроподвеса для расчетной схемы А 58
3.2.1. Решение краевой задачи для распределения давления методом малого параметра 58
3.2.2. Разностная схема краевой задачи для распределения давления 64
3.2.3. Определение главного вектора и главного момента гидродинамических сил 68
3.3. Метод определения гидродинамических реакций подвеса для расчетной модели В 73
3.3.1. Численная схема нахождения распределения давления в зазоре подвеса на основе метода конечных элементов 73
3.3.2. Модификация алгоритма Томаса для вычисления сеточных значений функции давления 84
3.3.3. Нахождение интегралов гидродинамических реакций, приложенных к ротору гироскопа, на двумерной сетке 92
3.4. Влияние погрешностей формы подвеса на его реакции для расчетной схемы С 94
3.4.1. Геометрия подвеса 94
3.4.2. Распределение давления по поверхности ротора 98
3.4.3. Определение главного вектора и главного момента гидродинамических сил 104
3.5. Основные результаты и выводы третьей главы 107
Глава 4. Алгоритмы, программы и результаты численного моделирования реакций сферического гидродинамического подвеса,обусловленных геометрическими технологическими погрешностями 108
4.1. Алгоритмы определения характеристик гидроподвесов, выполненных по схемам А, В, С 108
4.2. Программы численного моделирования реакций сферического гидродинамического подвеса гироскопа 112
4.3. Численные оценки влияния погрешностей формы статора на распределение давления, возмущающие моменты и момент сопротивления ротора гироскопа для расчетной схемы А 117
4.4. Численное моделирование характеристик гидродинамического подвеса ротора гироскопа для расчетной схемы В 128
4.5. Результаты численного моделирования реакций гидродинамического подвеса, выполненного по схеме С 140
4.6. К оценке достоверности полученных результатов 153
4.7. Методика применения разработанного программного обеспечения при проектировании гидродинамического подвеса миниатюрного шарового гироскопа 156
4.8. Основные результаты и выводы четвертой главы 160
Заключение 163
Библиографический список
- Анализ влияния инерции жидкости при установившемся движении и осевом смещении ротора на реакции гидродинамического подвеса
- Оценка влияния инерции жидкости на реакции гидродинамического подвеса
- Разностная схема краевой задачи для распределения давления
- Численные оценки влияния погрешностей формы статора на распределение давления, возмущающие моменты и момент сопротивления ротора гироскопа для расчетной схемы А
Введение к работе
Актуальность темы. Одной из определяющих тенденций развития современных систем инерциальной навигации и управления движением объектов различного назначения является их миниатюризация. Разработка перспективных навигационных систем предполагает создание гироскопических датчиков, обладающих малой массой и габаритами, низкими себестоимостью и энергопотреблением, достаточно высокой надежностью [47, 70].
Один из вариантов реализации таких приборов предложен в НПО электромеханики и основан на использовании миниатюрного шарового гироскопа в гидродинамическом подвесе (автор и руководитель проекта - А.С. Золотухин [1]). Ротор шаровой формы, представляющий собой постоянный двухполюсный магнит, заключен в заполненную маловязкой немагнитной жидкостью сферическую полость каркаса статора, сообщающуюся через отверстия с камерой, в которой жидкость находится под давлением (рис. 0.1). Величина зазора между поверхностями ротора и полости в радиальном направлении мала по сравнению с радиусами каждой из поверхностей.
Ротор
Каркас статора
Корпус
Рис. 0.1. Схема подвеса
Ротор приводится в быстрое вращение магнитным полем электрических обмоток 1, 5, расположенных на каркасе статора (рис. 0.2). Прибор, включающий в себя датчик угла 4, датчик момента 3 и синхронизирующие обмотки 2, 6, может служить чувствительным элементом гиростабилизатора. Сигналы с датчика угла 4 и синхронизирующих обмоток 2, 6 подаются на усилительно-преобразовательный блок (УПБ), с помощью которого формируются сигналы Ua,U/j управления двигателями стабилизации Дь Д2.
Датчик момента 3 используется для компенсации постоянных составляющих возмущающих моментов и для начальной выставки платформы. Сферический гидродинамический подвес создает возможность самоцентрирования и демпфирования ротора и обладает большой несущей способностью.
U0 sin
Рис. 0.2. Функционально-кинематическая схема двухосного гиростабилизатора
Уравнения относительного движения шарового гироскопа - чувствительного элемента гиростабилизатора в первом приближении в проекциях на оси Резаля можно записать в виде: lOyl Aa + ba + UP + kxa + k2p = -}\cQa-A ё)п + Mfffl + М, AJ3 + bfi-Hd-k2a + k]/3 = Hay-A(by+Md{ + M0y2, , м
А - экваториальный момент инерции шарового ротора; Н - кинетический момент гироскопа в собственном вращении; b - коэффициент сопротивления вращению в гидроподвесе; к], к2- коэффициенты электромагнитных моментов, характеризующих взаимодействие намагниченного ротора с электрическими обмотками статора [40]; проекции возмущающих моментов со стороны гидроподвеса
Оу\ ' XKt0y2 на оси Резаля;
М()у], MQy2 - проекции возмущающих моментов, обусловленных другими факторами; i, >2, Сз _ оси> связанные с платформой; в)г\,а>п - составляющие угловой скорости платформы; а, /? - углы поворота гироскопа относительно платформы.
При позиционной цепи стабилизации электромагнитные моменты вызывают дрейф. Введением интегрально-позиционной цепи стабилизации влияние этих моментов на дрейф платформы в установившемся режиме {а = 0, /3 = 0) исключается. Представляет практический интерес изучение возмущающих гидродинамических моментов M^Lf, M^J?, обусловленных технологическими погрешностями вследствие условий изготовления и сборки каркаса статора. К ним относятся геометрические погрешности в виде несферичности формы, сдвига центров и усечения сегментов каркаса. Актуальной задачей является анализ таких возмущающих моментов и оценка величины дрейфа, вызванного ими.
Следует учесть особенности задачи, связанные с миниатюризацией. Рассматриваются модели гидродинамического подвеса, радиус R шарового ротора которого может принимать значения в интервале 1-5 мм. Величина радиального зазора 8 между поверхностями статора и ротора при концентричном положении сфер составляет 5-10 мкм. В соответствии с указанными параметрами подвеса слой жидкости, заполняющей зазор, может называться тонким, геометрически соответствующим смазочному слою: относительная толщина зазора S/R имеет порядок 10"3-10"2. При этом заметим, что в гидродинамической теории смазки значения S/R обычно входят в диапазон
10"4-10"3.
При изучении течения тонкого слоя жидкости в задачах гидродинамической теории смазки силами инерции жидкости по сравнению с силами вязкости пренебрегают, если приведенное число Рейнольдса Re =у/ Re = сод /v (где у — кинематический коэффициент вязкости) значительно меньше единицы [71]. Тогда для описания течения жидкости в зазоре применяют приближенные уравнения, полученные из уравнений Навье-Стокса - уравнения Рейнольдса. Большая скорость собственного вращения ротора со: 3,14'103-1,88'104 рад/с, необходимая для обеспечения достаточно большого кинетического момента гироскопа при его малых размерах, приводит к тому, что значения числа Re находятся в интервале 0,1-1,2. Поэтому требуется исследовать возможность применения уравнений Рейнольдса для определения распределения давления слоя жидкости и результирующих реакций подвеса.
Отмеченные особенности определяют цель диссертационной работы.
Цель работы - разработка математических моделей, алгоритмов и программ для определения сил и моментов сферического гидродинамического подвеса миниатюрного шарового гироскопа с учетом геометрических технологических погрешностей.
Цель достигается решением следующих задач:
Обосновать применение приближенных дифференциальных уравнений относительного движения жидкости в зазоре подвеса миниатюрного шарового быстровращающегося гироскопа. Оценить влияние инерции жидкости при установившемся движении на реакции гидродинамического подвеса.
Изучить особенности определения гидродинамических сил и моментов в случае гироскопа, установленного на подвижном основании.
Разработать математические модели и алгоритмы для определения функции давления и гидродинамических реакций сферических подвесов с полюсными отверстиями, имеющих геометрические погрешности.
Создать программное обеспечение для численного моделирования характеристик подвесов: распределения давления по поверхности ротора, результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления жидкости и возмущающих моментов, приложенных к ротору.
Исследовать зависимости значений результирующих гидродинамических сил и моментов от параметров геометрических технологических погрешностей и определить допустимые величины геометрических погрешностей подвеса ротора гироскопа.
Краткий обзор предшествующих работ. Для анализа возмущающих моментов, определяющих уровень точности гироскопического устройства, необходимо решить соответствующую гидродинамическую задачу. Отметим, что рассматриваемый прибор не относится ни к поплавковым, ни к гидродинамическим гироскопам. Особенностью прибора является то, что поверхность быстровращающегося шарового ротора может рассматриваться как опорная поверхность сферического гидродинамического подшипника, в котором жидкость выполняет роль смазочного, поддерживающего и демпфирующего слоя.
Задача о течении смазки в сферическом подшипнике описана в известной монографии Л.Г. Лойцянского [41]. Рассматривается движение жидкости в замкнутой полости между двумя эксцентрично расположенными сферами. Внешняя сфера неподвижна, внутренняя сфера - ротор выполняет поступательное и сферическое движения в пространстве зазора. Приведены аналитические выражения для распределения давления по поверхности внутренней сферы, для главного вектора реакций жидкости и главного момента сил вязкого трения, приложенных к поверхности ротора. Подход Л.Г. Лойцянского используется во второй главе представленной диссертации для определения приложенных к ротору реакций замкнутого сферического гидродинамического подвеса, установленного на подвижном основании.
Расчет сферического гидродинамического подвеса с подачей и выводом смазки через два диаметрально противоположных отверстия с радиусами, соизмеримыми с величиной зазора, приводится в работах Ахвердиева К.С., Ветер B.C., Никитина А.К., Остроухова Б.И. и Хапиловой В.Е. [19, 44, 45]. В диссертации рассматривается подвес, у которого диаметр отверстий на порядок больше величины зазора. Отверстия не являются ограничителями расхода, они обеспечивают сообщение слоя жидкости с камерой, в которой жидкость поддерживается под давлением.
Исследованию моделей сферических гидродинамических подвесов с геометрическими погрешностями формы и анализу влияния этих погрешностей на характеристики подвесов посвящены работы [8, 10, 17, 18, 24]. Ахвердиевым К.С. [10] рассмотрено неустановившееся движение жидкости, заполняющей все пространство между вращающимся валом и неподвижным подшипником, близким к сферическому. Несферичность рабочих поверхностей камеры и поплавка учтена в работе Андрейченко К.П. и Рогожникова Ю.Ф. [8]. Решение системы уравнений Навье-Стокса и неразрывности в [10] было найдено в виде рядов по положительным степеням относительного эксцентриситета. В [8] исходные уравнения движения жидкости в зазоре подвеса решены с помощью метода асимптотического разложения по малому параметру, равному отношению средней амплитуды несферичности к разности радиусов идеальных сфер, искомых составляющих вектора скорости и давления. В рефератах Быкова В.М. и Дементьева О.Н. [17, 18, 24] сообщается о влиянии погрешностей формы сферической полости на поле скоростей жидкости и устойчивость шарового ротора. В отмеченных публикациях поверхности подвеса при учете несферичности его формы имеют непрерывную гладкую геометрию. В представленной работе сдвиг центров и усечение сегментов полости каркаса приводят к кусочно-гладкой геометрии внешней поверхности подвеса и к несимметрии гидродинамического слоя, что усложняет решение задачи.
Многие исследователи решение краевой задачи для распределения давления при сложной конфигурации зазора находят численно, используя конечно-разностные методы: Барсуков В.Н. и Панкратов В.М. [11]; Киселев А.Г., Либин A.M., Приходько О.Б., Шашков В.Я.[27]; Киреев А.С., Лапин А.А., Павловский М.А., Радыш Ю.В., Юрокин А.И. [28, 30]; Токарь И.Я., Данильцев В.Г., Урасов П.Г., Найдис Н.М. [68].
Метод конечных элементов (МКЭ) начали применять к решению задач теории смазки в конце 60-х - начале 70-х годов XX века. В работе Редди [49] предложен численный метод для расчета подшипников на основе совместного использования принципа минимума и МКЭ. Конечноэлементный анализ гидродинамических опор различных типов: ступенчатой опоры скольжения, полусферического и радиального подшипников, радиального подшипника с шевронными канавками и комбинированного радиального и упорного подшипника с плавающим промежуточным элементом приведен в работах Букера, Генки, Хюбнера [14, 20], Аллейра, Николаса и Гантера [2], Zirkelback Nikole, Andres Luis San [81], Hua Shao-jie, Guo Hong, Xia Bo-qian, Zhang Shao-lin, Qi Jian-zhong, Cen Shao-qi [77]. В статьях Зернина M.B., Ефимова К.В [26] и Мишина А.В. [43] на основе конечноэлементных моделей ламинарного течения жидкости между двумя поверхностями вычислены характеристики динамичес- ки нагруженных опор скольжения. Имеется ряд работ, относящихся к конечно-элементным исследованиям газодинамических подшипников. Среди них статья Болдырева Ю.Я., Григорьева Б.С. [13] об определении осевой несущей способности сферической опоры с микроканавками. Методика применения метода конечных элементов в формулировке Галеркина к решению стационарных и нестационарных гидродинамических задач подробно описана в книге Флетчера Л. [69]. МКЭ позволяет легко учитывать нерегулярности геометрических и физических свойств гидродинамических подвесов.
В ряде работ рассмотрено влияние сил инерции жидкости на характеристики гидродинамического слоя. Метод осреднения инерционных сил по толщине смазочного слоя, предложенный Слезкиным Н.А. и Таргом СМ. [58], применен в исследованиях Полецкого А.Т. [48], Бургвица А.Г., Завьялова Г.А. [15, 16], Андрейченко К.П. [3-7], Александрова В. [74], Bourgin Patrick, Tichy John [75]. Методом разложения в ряд по малому параметру проекций скоростей и гидродинамического давления строились решения уравнений Навье-Стокса в работах [23, 45, 46, 50, 72, 73, 79]. Приведенное число Рейнольдса использовано в качестве малого параметра в исследованиях Овсеенко Ю.Г [46]. Якушина В.И. [72, 73], Рейнхарта, Лунна [50], Никитина А.К., Ахвердиева К.С., Остроухова Б.И. [44], Sato Yuichi, Tamura Akiyoshi [79]. . Городецким O.M. и Климовым Д.М. [23] выбраны два малых параметра: величина относительного эксцентриситета и параметр, зависящий от периода движения центра поплавка в камере. Смирновым Б.И. [65] к задаче гидродинамической теории смазки применена идея метода обобщенного подобия Лойцянского Л.Г. расчета пограничного слоя. В работах Сестьери и Пива [56], Анисимова В.Н., Анисимовой Н.В. [9], Kakoty S.K., Majumdar B.C. [78], Cen Shao-qi, Yang Jin-feng, Guo Hong, Zhang Shao-lin [76], Walicki E., Walicka A. [80] анализ влияния сил инерции в стационарных и нестационарных слоях смазки выполнен на основе численного интегрирования уравнений Навье-Стокса.
В статьях Овсеенко Ю.Г [46], Городецкого О.М. и Климова Д.М. [23] приведены численные оценки влияния сил инерции на реакции гидродинамического слоя: при приведенных числах Рейнольдса от 1 до 10 значения гидродинамических сил и моментов изменяются не более чем на 10%. Сестьери и Пива [56] утверждают, что инерционные эффекты в слоях смазки заметны при Re* > 1. Параметры изучаемого подвеса таковы, что число Re* может принимать значения порядка 1, поэтому необходимо оценить влияние инерции жидкости на его характеристики.
На основании выполненного обзора литературных источников выбраны методы решения поставленных задач.
Методы исследования. При исследовании задач гидродинамики тонкого слоя жидкости использованы приближенные аналитические методы - метод осреднения конвективных инерционных слагаемых по толщине слоя и метод малых возмущений и численные методы - конечно-разностный метод для решения систем краевых задач, описанных обыкновенными дифференциальными уравнениями, и метод конечных элементов в формулировке Галеркина для решения двумерной краевой задачи. В работе использованы алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка с матрицами ленточной и разреженной структуры.
Программы численного моделирования характеристик гидродинамического подвеса разработаны в среде Турбо Паскаль 7.0; при представлении результатов расчета применены системы математических расчетов MathCad 2000 Professional и электронных таблиц EXCEL.
Научная новизна результатов диссертации.
Построены математические модели сферических гидродинамических подвесов ротора гироскопа с полюсными отверстиями, учитывающие геометрические погрешности в виде усечения и сдвига центров сегментов, составляющих каркас статора.
Создана методика численного моделирования сферических гидродинамических подвесов с различными видами геометрических погрешностей, содержащая вычислительные схемы и алгоритмы решения систем одномерных и двумерных краевых задач для распределения давления тонкого слоя жидкости, и пакет прикладных программ для определения результирующих сил и моментов подвеса.
Получены приближенные аналитические решения задачи о гидродинамических реакциях сферического подвеса при осевом движении центра ротора с учетом сил инерции жидкости. Определены области допустимых значений физических параметров миниатюрных сферических подвесов, для которых является обоснованным применение уравнений Рейнольдса, не содержащих конвективных инерционных слагаемых.
Определены равновесные положения центра ротора в подвесе и количественные оценки влияния переносного ускорения на результирующую гидродинамическую силу на основе аналитического решения задачи о реакциях замкнутого сферического подвеса при произвольном движении центра ротора с учетом ускоренного поступательного движения основания.
Получены численные оценки возмущающих моментов и угловых скоростей дрейфа платформы гиростабилизатора, обусловленных геометрическими погрешностями подвеса, для класса миниатюрных шаровых гироскопов с гидродинамическими подвесами.
Практическая значимость работы.
1. Создан пакет прикладных программ, предназначенный для численного моделирования распределения давления слоя жидкости и действующих на ротор результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления и возмущающих моментов с учетом геометрических погрешностей.
2. Представлена инженерная методика применения разработанного программного обеспечения, позволяющая решать задачи анализа и синтеза при проектировании миниатюрного шарового гироскопа.
3. Результаты исследования применены при проектировании миниатюр ных сферических гироскопов в НПО электромеханики (г. Миасс).
Достоверность полученных результатов обосновывается выбором корректных вычислительных схем решения краевых задач, анализом точности дискретной аппроксимации дифференциальных уравнений; сопоставлением численных решений тестовых задач с имеющимися аналитическими решениями.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на областной научно-практической конференции «Вклад молодых ученых и специалистов в решение задач технического перевооружения предприятий области» (Челябинск, 1989), на XVII-ой межотраслевой научно-технической конференции памяти Н.Н. Острякова (Ленинград, 1991), на Всесоюзной школе-семинаре «Проектирование и технология изготовления газовых опор экологически чистых машин» (Ростов-на-Дону, Москва, 1991), на Всероссийской научно-технической конференции «Гироскопические системы и их элементы» (Саратов, 1992), на ХХШ-й Российской школе по проблемам науки и технологий (Миасс, 2003), на ежегодных научно-технических конференциях ЮУрГУ.
Публикации. По теме диссертации имеется 16 публикаций, в том числе 2 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ, 9 статей, 5 тезисов докладов на Всесоюзных, Всероссийских, межотраслевых научно-технических конференциях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения, изложена на 177 страницах, включая 88 рисунков, 11 таблиц и библиографический список, содержащий 81 наименование.
Анализ влияния инерции жидкости при установившемся движении и осевом смещении ротора на реакции гидродинамического подвеса
Граничные скорости слоя жидкости определяются при кинематическом условии прилипания частиц жидкости к твердой стенке [41]. Скорость любой точки Mi поверхности статора равна нулю: VMI=0. (1.7) Относительную скорость произвольной точки М2 на поверхности ротора вычислим по теореме о скоростях точек твердого тела: VM2=Vo+ yxr0, _ з где Vo = X xix _ скорость полюса О; i=l (1.8) Го = ОхМ2 -е - радиус-вектор точки Мг относительно полюса О (рис. 1.4); модуль вектора ОхМ2 равен h - величина зазора. ОхМ: = R] - h, где R] - радиус сферы статора, Проекции вектора Умг скорости точки Мг на оси сферической CKr6ty? запишем в матричной форме: где матрица D определяется по (1.5).
В случае малых углов отклонения оси собственного вращения ротора Огз относительно оси статора Охх3 и малых скоростей этих отклонений по сравнению с угловой скоростью у собственного вращения ротора, что соответствует условиям работы чувствительного элемента гиростабилизатора, выполняются соотношения: cosorw 1; cos/?» 1; sina a; sin/?« ; (1-Ю) d«y (d/y-lO 3), P«y (/?/r 10 3).
Раскрывая матричную запись (1.9) и учитывая соотношения (1.10), получим выражения для проекций вектора VM2 на оси сферической CKxdqr. (VM2)r = exisin cos + eX2sin sin + eX3COS + d:(-eX2COS + + eX3sin sin ) + y5(ex]cos -eX3sin cos ) + /[-exl(«cos + + sin в sin (p) - Єх2 (/? cos в - sin в cos p) + Q sin 6{fi sin cp + a cos (p)]; (Умі) в = exiCos#cos + ex2cos#sin# -ex3sin# + + d[-(R\ -h)sin + eX2sin + eX3Cos sin ] + /?[(R] -h)cos# - \ (1.11) -exl sin# -ex3 cos#cos# ] + /{-[Ri -h-ex3 cos#](arcos$9 + /?sin# ) -- exj (cos Qsmcp- a sin #) + 6 (/7 sin # + cos#cos )}; (VM2V = -exlsin + ex2cos + /[(Ri-h)sin6»-exlcos -eX2sin ] + + {-dcosqy- J3sm(p + y{asm(p- /?cos p))[(Ri -h)cos#-ex3].
При записи уравнений Навье-Стокса и уравнения неразрывности (1.6) в сферической СКгвср, отсчитанной в CKxj статора, произведем замену переменной: г = Ri - . Здесь - координата, отсчитанная от поверхности статора в направлении, противоположном полярному радиусу г (рис. 1.3).
С целью упрощения уравнений Навье-Стокса для случая течения жидкости в тонком слое приведем их к безразмерному виду. Для этого введем следующие безразмерные параметры: V, У в, V - компоненты скорости; р - давление; т— время; \ - линейная координата; fj=, f f - проекции вектора плотности массовых сил f; и запишем размерные величины, входящие в уравнения (1.6), через безразмерные: p = p/p0; r = t/t0=t/ft,; 1 = ф; I (1.12) fr = F/7g; f = F//g; f, = F/g; где характерные значения проекций скоростей выбраны на основе анализа выражений для проекций граничных скоростей (1.11); за характерное давление р0 принимаем давление в камере; характерным значением времени t0 при сферическом движении ротора является величина, обратная его угловой скорости со; g - гравитационное ускорение. Введем числа подобия [41, 55]: число Струхала Sh = \j{co t0) = 1, число Фруда Fr = a R2/g, (1-13) Po Eu = (1.14) число Эйлера ра Щ
Числа подобия Fr, Ей для реальных значений параметров гидро-динамического подвеса находятся в интервалах: Fr є [5,03-10 , 1,8-10 ], Еиє[0,1; 4,7].
Соотношения (1.12) - (1.14) подставим в уравнения Навье-Стокса и неразрывности (1.6), записанные в сферической СКгвер. Пользуясь методом оценки порядков членов системы уравнений с помощью параметров подобия и принимая параметр ц/ = б/К2 в качестве основной малой величины, пренебрежем слагаемыми порядка 0{у/) по сравнению со слагаемыми, порядок которых равен 1 [41, 55, 57, 71]. В результате получим: Проекции ускорений A j, A j определим согласно теоремам кинематики относительного движения: А Р= 2( - ), AM0b=2(ux3Vxi-uxlVx3), Aa=2(UxlVx2-ux2Vxl); (1.18) З з Айі = +Ux2rx3 -и хг +uxl Suxirxi -rxl Iuxi, i=l i=l 3 3 (1.19) AMx2=,i: +Ux3rxl-Uxirx3+ux2luxirxi-rx2i:uxi, i=l i=l 3 3 AMx3 = + uxlrx2 -Ux2rxl +ux3 2Xjrxi - 11. i=l i=l Оценим порядок слагаемых в проекциях вектора плотности массовых сил % fft fcp. Запишем выражение (1.17) для fxi, учитывая, что проекции ускорений Амхі Амхі находятся по формулам (1.18), (1.19): fxl =gxi-2 i(ux2Vx3-Ux3Vx2) _з___з_2 -№іЧ\ + з(Чх2ГхЗ -Ux3rx2) + 4(UX1 2Xirxi -rxl uxi)], (1.20) i=l i=l где безразмерные величины, имеющие порядок 1, обозначены чертой сверху и введены коэффициенты щ (j = 1,4 ): щ = исо R2 /g; у/2 = rx/g; щ = uR2 /g; щ = u2 R2 /g. Выполним числовую оценку коэффициентов щ (j = 1,4), задав характерные значения входящих в них величин. Угловая скорость и каркаса статора гироскопического прибора, установленного на стабилизированной платформе, имеет порядок 10" рад/с, угловое ускорение u = 0. За характерные значения радиуса-вектора г полюса каркаса статора примем 105 м, его скорости fx 103 м/с. Статор может испытывать линейные и вибрационные перегрузки гх порядка 100g. Тогда щ » 1,3-10"7; щ « 100; щ «0; щ « 10"17. В выражении (1.20) для проекции fxi отбросим слагаемые с малыми коэффициентами щ, щ, щ и получим fxl =gxl - 2 ! (1.21) Порядок слагаемых в проекциях f , fx3 аналогичный. Тогда безразмерные проекции вектора плотности массовых сил f , f fv на оси СКг&р в матричной форме имеют вид: IfJhD (gxi-rxXi)/g, (1-22) где k = , 9, ф; і = 1,3; матрица D задана в (1.5). Нестационарные уравнения относительного движения несжимаемой жидкости в зазоре подвеса (1.14), содержащие инерционные слагаемые и плотности массовых сил, будем считать исходными для рассматриваемой задачи.
Оценка влияния инерции жидкости на реакции гидродинамического подвеса
Главный вектор гидродинамических сил, действующих на ротор со стороны жидкости, в случае идеальной сферической поверхности ротора определяется по формуле F = - \pndcr, (1.93) ( r) где p - избыточное давление, a - поверхность внутренней сферы, п — нормаль к внутренней сфере. При вычислении главного вектора F реакций жидкости учитываем лишь силы давления, а силами трения пренебрегаем, так как они являются малыми величинами порядка у/ [41, 55]. Угол х между вектором п\ направленным по оси Охг, и нормалью п к поверхности сферы ротора, направленной вдоль луча ОМг, является также величиной порядка ц/, поэтому при определении результирующей силы от давлений принимаем орты п и ri совпадающими (рис. 1.13). Тогда выражение (1.93) для вектора силы F принимает вид
Проекции Fx\, Fx2 являются отнесенными к масштабному коэффициенту яРсДг составляющими результирующей переносной силы инерции жидкости. Анализируя выражение для FX3, можно увидеть, что, без учета слагаемых, содержащих переносное ускорение и множитель Re2, приходим к формуле, приведенной в монографии Л.Г. Лойцянского [41]. Решение, представленное в [41], получено на основе приближенных уравнений движения жидкости в сферическом подвесе с неподвижной внешней сферой, в которых не учитывались инерционные слагаемые. Учет конвективных сил инерции жидкости приводит к уменьшению модуля проекции гидродинамической силы FX3 менее чем на 0,06%, как показано на рисунке 1.14. \Fx3\frf 1 "Л 2 / Є=0 .001 1/ / Re 0.9995 0.9990 0 0.1 0.2 0.3 0.6 0.5 0.6 1 - проекция силы FX3 вычислена без учета инерции жидкости; 2, 3 - проекция силы FX3 вычислена с учетом сил инерции жидкости по методам осреднения и малых возмущений соответственно.
При равновесном положении оси ротора (є = 0) реакция FX3 принимает вид, подобный проекциям Fxl, Fx2 З Ро (1.99) Величины Fxj (і = 1,3) проекций результирующей переносной силы инерции жидкости сравнимы с проекциями гпрАх; переносной силы инерции ротора. Отношение Fxj/mpAxj равно отношению плотности маловязкой тяжелой жидкости р, принимающей значения 1,81-1,72-10 кг/м в диапазоне температур 30-60 С, к плотности материала ротора рр = 8-10 кг/м и составляет 0,226-0,215.
Проекции элементарной силы вязкого трения dR, действующей на элемент поверхности ротора, на оси СКх; статора имеют вид:
1. На основе метода подобия выполнена оценка членов уравнений относительного движения вязкой жидкости в зазоре сферического подвеса; получены приближенные уравнения, содержащие слагаемые, обусловленные вязкостью и инерцией жидкости, а также массовые силы, обусловленные переносным движением.
2. Получены приближенные решения уравнений установившегося движения жидкости в зазоре подвеса при поступательном смещении ротора вдоль оси вращения в замкнутой полости каркаса статора с учетом переносного поступательного движения основания. Найденные двумя методами - методом малых возмущений и методом осреднения конвективных слагаемых по толщине слоя функции распределения избыточного давления слоя жидкости имеют качественно одинаковый вид, отличаются числовыми значениями коэффициентов. Значения функций распределения избыточного давления, вычисленные разными методами, отличаются приблизительно на 10%. Получены аналитические выражения для проекций главного вектора гидродинамических сил и момента сопротивления, действующего на ротор со стороны охватывающего его слоя жидкости, явно учитывающие влияние инерции жидкости и переносное ускорение основания.
3. Количественный анализ влияния конвективных сил инерции показал: для чисел Re (приведенное число Рейнольдса) и Л из интервалов Re є [0,1; 0,5], Л є [0,3; 6] избыточное давление не превышает 10% от характерного давления р0 слоя при выполнении условия Re-Л 0,6. Влияние инерции жидкости на осевую Fx3 и экваториальную R составляющие гидродинамичес кой силы не превышает 0,06% и 0,5% соответственно. Значения момента сопротивления Мсопр и возмущающего момента Мвозм увеличиваются менее чем на 0,01% и 0,015% соответственно.
4. Максимальное значение функции распределения избыточного давления, обусловленного переносным движением основания с перегрузками до 100g, без учета конвективных ускорений составляет менее 1,5% от характерного давления. Величина результирующей переносной силы инерции жидкости сравнима с переносной силой инерции ротора. В рассматриваемом подвесе с использованием маловязкой тяжелой жидкости в диапазоне температур 30-60С отношение F/mpA составляет 0,22.
5. Определены области допустимых значений физических параметров миниатюрных сферических подвесов, при которых влияние инерции жидкости от конвективных ускорений проявляется незначительно. Для таких подвесов применение не содержащих конвективных инерционных слагаемых укороченных уравнений в виде уравнений Рейнольдса является обоснованным. Полученные результаты в виде численных оценок рекомендуется учитывать при проектировании подвесов такого класса.
Разностная схема краевой задачи для распределения давления
На модели замкнутого сферического подвеса ротора гироскопа с горизонтальной осью вращения и произвольным пространственным движением его центра решена задача о гидродинамических реакциях, близкая к задаче Л.Г. Лойцянского [41], но с учетом ускоренного поступательного движения основания. Выполнены преобразования всех параметров движения подвеса от исходной жестко связанной с каркасом статора системы координат CKxj к с подвижной системе координат CKxf, одна из осей которой является осью симметрии зазора. Определено положение и движение системы координат с CKxf с началом в центре статора относительно CKxj статора. В результате получены аналитические зависимости для приложенных к ротору проекций главного вектора сил давления и главного момента сил вязкого трения с учетом переносных сил инерции жидкости и найденной угловой скорости относитель с ного вращения СКх; в CKXJ статора, которые могут применяться как тестовые при оценке достоверности численных решений последующих задач. 2. При установившемся вращении миниатюрного ротора в замкнутой полости, заполненной маловязкой тяжелой жидкостью, с малыми относитель ными экваториальными смещениями его центра 10"4, 10"3 и 10"2, соответствующими переносным ускорениям основания g, 10g и 100g, в экваториальных составляющих Fxb FX2 гидродинамической силы слагаемые, зависящие от переносных сил инерции жидкости, составляют более 20% от слагаемых, обусловленных вязкостью жидкости. При переносных ускорениях до 100g эксцентриситеты ротора в равновесных положениях его оси, вычисленные с учетом и без учета переносных сил инерции жидкости, отличаются на 22%. Численные оценки показали, что в миниатюрных сферических подвесах с использованием маловязкой тяжелой жидкости при определении значений результирующей гидродинамической силы необходимо учитывать инерционные массовые силы от переносных ускорений.
В главе рассматриваются уравнения движения жидкости в зазорах сферических подвесов с полюсными отверстиями, конфигурации зазоров с учетом геометрических погрешностей формы подвесов, постановки краевых задач для распределения давления слоя жидкости и их решения, формулы для вычисления действующих на ротор реакций таких гидродинамических подвесов.
Шаровой ротор быстро вращается с угловой скоростью со вокруг горизонтальной оси в неподвижной полости каркаса статора. Зазор между поверхностями статора и ротора, величина которого в радиальном направлении мала по сравнению с радиусом ротора (S/R2 » Ю"3 ... 5-Ю"3), сообщается с камерой через два противоположных отверстия радиусом 2-Ю"5 м и высотой 2-Ю" м. Зазор и камера заполнены маловязкой тяжелой жидкостью под давлением для исключения кавитации.
Конструктивно каркас статора составлен из двух полусферических сегментов. При изготовлении и сборке возможны геометрические технологические погрешности в виде усечения и сдвига центров сегментов, составляющих каркас статора. Прецизионные технологии позволяют обеспечить малые погрешности: параметры усечения и величина сдвига центров сегментов не превышают 1,5-10"6 ми Ы0"6м соответственно. Рассмотрим расчетные схемы гидродинамического подвеса, учитывающие эти виды погрешностей: схему А: плоскость смещения усеченных сферических сегментов, составляющих статор, перпендикулярна оси вращения ротора (рис. 3.1); схему В: вектор сдвига центров оснований сегментов лежит в плоскости, проходящей через ось вращения ротора (рис. 3.2). Принимаем, что отклонения оси собственного вращения ротора Огз относительно оси статора ОхХз, а также скорости этих отклонений малы и ими можно пренебречь при определении реакций подвеса.
При изучении влияния отклонений формы поверхностей подвеса от идеальной сферической на гидродинамические реакции, рассмотрим также случай, когда поверхности ротора и полости каркаса статора представляют собой близкие к сфере эллипсоиды с произвольно ориентированными главными осями - расчетная схема С (рис. 3.3). Параметры эллипсоидальности поверхности ротора и полости каркаса статора составляют менее 1,5-10" м. Принимаем, что ось собственного вращения ротора Огз отклонена на углы а, /? относительно оси статора Охх3, скорости этих отклонений малы и ими можно пренебречь при определении реакций подвеса.
Рассматривается схема А, в которой плоскость смещения усеченных и имеющих полюсные отверстия сферических сегментов, составляющих статор, перпендикулярна оси вращения ротора (рис. 3.1).
Пространство между статором и ротором разделим на две области, граничащие в плоскости экватора (плоскости сдвига): область I соответствует сегменту I, область II — сегменту II. Величины, относящиеся к областям I и II, будем записывать с индексами ІиІІ соответственно.
Введем дополнительные системы координат, представленные на рисунке 3.1: система координат ОхХіХ2х3 связана с сегментом I, соответствующие координатные оси Ох х; и Охх; совпадают, полюсы Ох и Ох расположены в центре основания сегмента I; система координат Ох Xj х2 х3 связана с сегментом И, полюс Ох совпадает с центром основания сегмента П. В каждой из областей сферические координаты г, в, ф будем отсчитывать, как показано на рис. 3.4: в области І в СКХІ (г є [0, R.f ], 0 є [0,7г/2], ф є [0, 2л:]); в области II - в СКх77 (г є [0, R77], в є [О, л/2], р є [0, 2л:]).
Численные оценки влияния погрешностей формы статора на распределение давления, возмущающие моменты и момент сопротивления ротора гироскопа для расчетной схемы А
Применение метода малых возмущений, как и в схеме А, позволило свести решение двумерной краевой задачи (3.144), (3.145) к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (3.154), (3.155). По известным значениям функций Z\{6) (і = 1, 2); Х0), Y- 0) (j = l,6); Уь(в) (k = 4,6) определяется распределение давления р(0, р) p(0,(p) = l + Y,si[Zi(0) + Xl(0)sm + Yi(0)cos(p]+s3[X3(0)smg) + Y3(0)cosg)]+ i=l з _ + k[Xk+3(0)sm(p + Yk+3{0)cos(p + Vk+3{0)sm2(p\. (3.156) k=l Решение двух краевых задач (1.154) получим, интегрируя дважды дифференциальное уравнение, с учетом, что постоянная интегрирования Ci = 0 из условия конечности производной dZ-Jd0 при 0 — О и в — ж, а постоянная интегрирования С2 = 0,5 L\, исходя из начальных условий: Zj=0,5Zi(l-cos ) (і =1,2). (3.157)
Пятнадцать краевых задач (3.155), аналогичных краевым задачам (3.25), (3.26), полученным при исследовании схемы А, решаются численным методом. Разностная схема строится также интегро-интерполяциоиным методом [53] на равномерной сетке DA по переменной 0 є [0, л] с шагом А = л-/(#-1), (3.158) где N— количество узлов сетки.
Узлы сетки обозначаются к, а соответствующие им значения переменной вк. Для каждого дифференциального уравнения записывается уравнение балансов на отрезке [#к_0,5; #к+одЬ где 0к_о,5 = #к - 0,5А и #к + о,5 = #к + 0,5Д: 102 ft ft k+0,5 ft k-0,5 k+0,5 ft [[sm0—(sme —)-qQ)UQ)]d0= \ Md6 (j = l,15), do do k-0,5 (3.159) Используя численное интегрирование и аппроксимацию производных к+0 5 Центральными разностями, уравнения (3.159) приводим к виду: (3.160) где j = l,15; ак = sin : Csin k-+-i + sin#k)/2A, 4t} = - sin Gk (sin 0k+l + 2 sin (9k + sin 9k_! )/2 A - A (t = ЇД2), m)=-sin k(sin(9k+1+2sin k+sin(9k_1)/2A-4A (t = 13,15), ck = sin 6k (sin #k + sin вк_\ )/2 A, $ = AMJp. (3.161) Выполняем разностную аппроксимацию краевых условий из (3.155): [/0) = 0, /$=0 (j = U5). (3.162) Рассматривая уравнения (3.160) совместно с краевыми условиями (3.162), получаем: (3.163) akU+] + ф$ + ckU = df (k = 2jT\), U$=0.
Итак, получены пятнадцать разностных схем для краевых задач вида (3.155). Структуры разностных задач (3.163) подобны, отличаются лишь значениями входящих в уравнения коэффициентов bg\ dgK Построенные разностные схемы представляют системы линейных алгебраических уравнений трехдиагоналъной структуры относительно узловых значений функций U (j = 1,15; k = l,N) аналогичных системам уравнений (3.42), полученным при исследовании схемы А. Разностная краевая задача (3.163) хорошо обусловлена, т.к. параметры сформулированной задачи удовлетворяют неравенствам: як 0, ск 0, Р ak+ck. Системы уравнений (3.163) решаются методом прогонки, как и в случае схемы А, по алгоритму (3.43) - (3.46). Решения Ug (j = 2, 7), соответствующие (Х2\, (Y\\ (k = l,N), в принятых условиях оказываются нулевыми.
1 Главный вектор гидродинамических сил F определяется по формуле (1.94). Выражения для безразмерных проекций результирующей гидродинамической силы на оси СКх; статора, полученные в соответствии с (1.96) с учетом безразмерной функции давления (3.156), имеют вид: xi =- \є2У2{в) + є33{в) + lj}j+3(0)]sin2 Шв О j=i 3- Л (3.164) Fx2 = - \[єхХх{в) + є3Х3{в) + ZAjXj+3(6 )]sin2 Шв, о j=i Frt=—[asx+Ps2\ В формулах (3. 164) для нахождения Fxi (і = 1,3) в соответствии с приня 9—2 — тыми приближениями отброшены слагаемые порядка 0(у/) и 0{є{ ,Х],єхХ ) (i = U, j = U). Соответствующие размерные величины проекций находим умножением на масштабный коэффициент для сил KF {KF = ;zp0R.2):
